proyecto de tesis

UNIVERSIDAD DE NAVARRA

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS

SAN SEBASTIÁN

Diseño de elementos estructurales de acero sometidos a flexo-compresión: Desarrollo teórico y

estudio comparativo

M E M O R I A que para optar al Grado de Doctor

presenta

DANNY JIM YONG AYÓN

bajo la dirección de

Dr. Miguel Ángel Serna Oliveira Dra. Aitziber López de Arancibia

San Sebastián, abril de 2007

A Dios, que ilumina y guía mi camino; a mi madre, que está en el cielo; a mi

padre; y a mis hermanos.

i

AGRADECIMIENTOS

Son muchas las personas que han contribuido directa e indirectamente a la realización de esta tesis, y a las que quisiera expresar mi gratitud de manera muy especial.

En primer lugar, quisiera agradecer a mi director de tesis, Miguel Ángel Serna, por su confianza, paciencia y disposición en todo momento. Mi más sincero agradecimiento también a Aitziber López, co-directora de tesis, por todo este tiempo de intensa colaboración. A la Universidad de Navarra y, especialmente, a TECNUN, por darme la oportunidad de realizar mi tesis doctoral en un entorno estimulante.

Agradezco también su ayuda al resto del personal del Instituto de Ingeniería Civil, a Iñigo Puente y Paz Morer, por su cordialidad y su continuo ánimo; a Mikel Azkune, Aimar Insausti y Jaume Albertí, por su amistad, por permitirme compartir su cultura y aprecio, y por los buenos momentos compartidos de risas.

Agradezco también a la Cátedra Arcelor Mittal de la Universidad de Navarra, que con su ayuda ha hecho posible llevar a cabo este trabajo.

Al profesor Eduardo Bayo y a su equipo de trabajo del Departamento de Estructuras, por compartir sus investigaciones en los seminarios anuales de la Cátedra Arcelor Mittal.

A Franklin Díaz, Paul Bustamante, Miguel Castro, Don Juan José De Miguel y sus familias, quienes siempre estuvieron muy atentos conmigo.

A Mikel Arizmendi, por su amistad y por los valiosos comentarios y sugerencias en todo el proceso de redacción de la tesis.

A Juan Villarón, Asier López, Enrique Diez, Antonio Martín, Isaías Cerrillo y al resto del personal de la Escuela y el CEIT, por su amistad y afecto.

ii Agradecimientos

Quisiera agradecer también a la Universidad de Piura por la confianza puesta en mí. A los Dres. Eliodoro Carrera, Sergio Balarezo, César Chinguel, Antonio Mabres y al Mgtr. Jorge Ortiz, quienes se encargaron de todas las gestiones para realizar mis estudios de doctorado en la Escuela. Al Dr. Antonio Abruña, por su aliento constante en la culminación de la tesis y por su grata visita anual a Pamplona. A la Mgtr. Susana Vegas y al Dr. Jorge Reyes, quienes siempre estaban pendientes del avance de mi tesis, y transmitían con mucha alegría mis publicaciones y logros.

A Don Patxi De La Hija, por ser mi guía espiritual durante mi estancia en Donosti; a Joseba Campos, José Ramón Arruebarrena, Justino Fernández, Tomás Gómez-Acebo y toda la gente de la residencia de Ibaeta, por sus enriquecedoras charlas.

A Marisella por sus valiosos y emotivos correos durante todos estos años, y por sus palabras de aliento en los momentos más difíciles.

A mis amigos de Paita: Eneptaly, Martín, Rubén, Tim, Antonio, Alberto y Félix, quienes me escribían y llamaban constantemente, haciéndome sentir que no estaba lejos de casa.

Y finalmente, a mi familia por ser uno de los artífices en el empuje para la culminación de este trabajo.

Gracias a todos, de todo corazón.

Danny, abril de 2007

iii

RESUMEN

Esta memoria presenta, en primer lugar, la teoría y los principios de la estabilidad estructural de los elementos flexo-comprimidos. Incluye tanto los nuevos métodos utilizados para el análisis y diseño de los “beam-columns” como su proceso de desarrollo e incorporación al Eurocódigo 3 (EC3 2005) y a la norma americana (AISC LRFD 1994).

En segundo lugar, se realiza un estudio exhaustivo del factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral (FMUE). Este factor se emplea para determinar el momento crítico elástico, y éste a su vez se emplea para verificar el estado límite último de un elemento sometido a flexión pura y a flexo-compresión. De la revisión bibliográfica se desprende que las normas pueden proporcionar valores de FMUE muy conservadores en vigas simplemente apoyadas, y no conservadores en vigas con apoyos diseñados para prevenir la flexión lateral y el alabeo. Con el propósito de aclarar las situaciones en donde los FMUE de las normas aparecen contradictorios con los resultados computacionales recientes, se brinda en esta memoria un conjunto de valores de FMUE, que han sido obtenidos usando el Método de Elementos Finitos y la técnica de Diferencias Finitas. Una atención muy especial se ha puesto en los casos donde la flexión lateral y el alabeo son impedidos en los apoyos del elemento puesto que son pocos los resultados que existen para estos casos. Una de las grandes ventajas de la norma americana (AISC LRFD 1994) y de la norma británica (BS 5950-1 2000) es que proporcionan expresiones sencillas para determinar el FMUE para cualquier distribución de momentos; sin embargo, estas expresiones no toman en cuentan las restricciones de los apoyos extremos del elemento. En esta memoria, se plantea una nueva expresión general para calcular el FMUE, que es aplicable a cualquier distribución de momentos y condiciones de enlaces, y que proporciona mejores resultados que las expresiones dadas por el AISC LRFD (1994) y BS 5950-1 (2000).

iv Resumen

Por último, con el propósito de identificar similitudes y diferencias en las filosofías de diseño del AISC LRFD (1994) y EC3 (2005), se realiza en este trabajo un estudio comparativo de los estados límites últimos de los elementos sometidos a compresión pura, flexión pura y flexo-compresión. Para cuantificar la diferencia en resistencia, se trabajó con perfiles laminados de secciones H e I, los cuales fueron analizados con diferentes valores de esbeltez y con los casos más frecuentes de distribuciones lineales y parabólicas de momentos. Los resultados son presentados gráficamente en diagramas de interacción para facilitar su interpretación. Este estudio comparativo muestra que las capacidades resistentes dadas por el AISC LRFD (1994) y los dos métodos del EC3 (2005) pueden diferir apreciablemente cuando el valor de la esbeltez es alto y el elemento flexo-comprimido está sometido a una distribución lineal de momento bi-triangular.

v

ABSTRACT

This thesis presents the concepts and principles of structural stability of beam-columns, and includes not only new methods in the analysis and design but also the background about how these procedures were derived and incorporated to the Eurocode 3 (EC3 2005) and the American standard code (AISC LRFD 1994).

Furthermore, this thesis focuses on the equivalent uniform moment factor (EUMF), which is used to compute the elastic critical moment of lateral-torsional buckling. A review of EUMF values given by modern steelwork standards and their comparison with recent results presented in the literature shows that whilst codes may lead to very conservative values for simply supported beams, non- conservative values are obtained in the case of support types designed to restrict lateral bending and warping. In order to clarify situations where EUMF values proposed by modern codes appear contradictory with recent computational results, the thesis presents a significant set of EUMF values obtained using both finite differences and finite elements techniques. Particular attention has been given to instances where lateral bending and warping are prevented at beam supports since very few results from these cases have been published. A major advantage of codes, such as the American AISC LRFD (1994) and the British BS 5950-1 (2000), is that they provide closed-form expressions to compute the EUMF for any moment distribution. Unfortunately, these closed-form expressions do not take into account changes in the EUMF due to end support restrictions. This thesis proposes a general closed-form expression that not only delivers similar advantages but also improves the results given by those codes.

Finally, in order to identify similarities and differences in the design philosophies of AISC LRFD (1994) and EC3 (2005), the thesis presents a comparative study of the ultimate limit states in members under pure compression, pure bending and combined axial compression force and bending.

vi Abstract

This comparative study is performed for a rolled I-section with different slenderness. Most frequent cases of linear and parabolic moment distributions are considered. The results are presented graphically by means of interaction diagrams to facilitate their interpretation and to detect differences in resistance. The comparative study shows that the resistance capacities given by LRFD and the two methods of EC3 can differ appreciably when slenderness is high and the member is subjected to linear moment distribution with opposite end-moments.

vii

ÍNDICE DE CONTENIDOS

AGRADECIMIENTOS ______________________________________________ I

RESUMEN _________________________________________________________III

ABSTRACT _________________________________________________________V

ÍNDICE DE CONTENIDOS________________________________________ VII

LISTA DE FIGURAS _______________________________________________ XI

LISTA DE TABLAS _____________________________________________ XVII

1 INTRODUCCIÓN _______________________________________________ 1 1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA______________________________ 1 1.2 OBJETIVOS_________________________________________________ 3 1.3 ESQUEMA DE LA MEMORIA ___________________________________ 4

2 COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL DE LOS “BEAM-COLUMNS”_____________________________________________________ 5

2.1 RESISTENCIA DE LOS “BEAM-COLUMNS”_________________________ 6 2.1.1 “Beam-columns” con flexión uni-axial: Resistencia “in-plane” ____ 6 2.1.2 “Beam-columns” con flexión respecto al eje fuerte: Pandeo lateral __ 8 2.1.3 “Beam-columns” con flexión bi-axial ________________________ 9 2.1.3.1 Resistencia de los “beam-columns” cortos____________________ 10 2.1.3.2 Resistencia de los “beam-columns” esbeltos y de longitud

intermedia ______________________________________________ 11 2.2 FACTOR DE MOMENTO UNIFORME EQUIVALENTE_________________ 12 2.3 FILOSOFÍA DE DISEÑO DEL AISC LRFD ________________________ 14

2.3.1 Resistencia a compresión pura _____________________________ 15

viii Índice de Contenidos

2.3.2 Factor de longitud efectiva ________________________________ 16 2.3.3 Resistencia a flexión pura_________________________________ 19 2.3.4 Método simplificado para considerar los efectos de segundo orden _ 23 2.3.5 Factor Cm _____________________________________________ 26 2.3.6 Resistencia de los “beam-columns” _________________________ 26 2.3.7 Resistencia a esfuerzo cortante_____________________________ 28

2.4 FILOSOFÍA DE DISEÑO DEL EC3 _______________________________ 30 2.4.1 Análisis de la estabilidad estructural de pórticos _______________ 30 2.4.2 Imperfecciones para el análisis global de los pórticos ____________ 31 2.4.3 Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para la resistencia

a compresión pura ______________________________________ 33 2.4.4 Resistencia a compresión pura _____________________________ 35 2.4.5 Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para la resistencia

a flexión pura __________________________________________ 39 2.4.5.1 Coeficientes del pandeo lateral _____________________________ 40 2.4.5.2 Efecto de un diagrama de momentos variable ________________ 42

2.4.6 Resistencia a flexión pura_________________________________ 43 2.4.7 Resistencia de la sección de un “beam-column”________________ 44 2.4.7.1 Reducción de la resistencia de la sección de un “beam-column”

por la presencia de esfuerzo cortante ________________________ 46 2.4.8 Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para la resistencia

a pandeo de los “beam-columns”: Método 1 del EC3____________ 46 2.4.8.1 Formato general de las fórmulas de interacción del Método 1 ___ 47 2.4.8.2 Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns” sin

desarrollar pandeo lateral: Método 1 ________________________ 49 2.4.8.3 Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns” con

pandeo lateral: Método 1 __________________________________ 51 2.4.8.4 Factor de momento equivalente del Método 1 ________________ 55

2.4.9 Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para la resistencia a pandeo de los “beam-columns”: Método 2 del EC3____________ 59

2.4.9.1 Formato general de las fórmulas de interacción del Método 2 ___ 60 2.4.9.2 Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns” sin

desarrollar pandeo lateral: Método 2 ________________________ 61 2.4.9.3 Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns” con

pandeo lateral: Método 2 __________________________________ 66 2.4.9.4 Factor de momento uniforme equivalente del Método 2 ________ 71

2.4.10 Diferencias entre el Método 1 y el Método 2 __________________ 73

3 FACTOR DE MOMENTO UNIFORME EQUIVALENTE DE PANDEO LATERAL ___________________________________________ 75

3.1 VALORES PROPUESTOS POR LAS NORMAS DE DISEÑO ______________ 77 3.1.1 Eurocódigo 3___________________________________________ 77 3.1.1.1 Distribución lineal de momentos____________________________ 78 3.1.1.2 Distribución no lineal de momentos _________________________ 79

3.1.2 AISC LRFD ___________________________________________ 80

Índice de Contenidos ix

3.1.3 BS 5950 ______________________________________________ 82 3.2 VALORES PROPUESTOS POR DIVERSOS INVESTIGADORES ___________ 82

3.2.1 J.W. Clark y H.N. Hill ___________________________________ 82 3.2.1.1 Distribución lineal de momentos____________________________ 83 3.2.1.2 Distribución no lineal de momentos _________________________ 83

3.2.2 D.A. Nethercot y K.C. Rockey _____________________________ 84 3.2.2.1 Distribución lineal de momentos____________________________ 84 3.2.2.2 Distribución no lineal de momentos _________________________ 85

3.2.3 R. Greiner, R. Ofner y G. Salzgeber ________________________ 86 3.2.4 B. Suryoatmono y D. Ho _________________________________ 88 3.2.4.1 Distribución lineal de momentos____________________________ 88 3.2.4.2 Distribución no lineal de momentos _________________________ 88

3.2.5 N.H. Lim, N.H. Park, Y.J. Kang y I.H. Sung _________________ 90 3.3 COMPARACIÓN DE LOS VALORES PROPUESTOS DE C1______________ 90

3.3.1 Distribución lineal de momentos ___________________________ 90 3.3.1.1 Flexión lateral libre y alabeo libre en los apoyos_______________ 90 3.3.1.2 Flexión lateral impedida y alabeo impedido en los apoyos______ 91

3.3.2 Distribución no lineal de momentos ________________________ 92 3.3.2.1 Casos básicos ____________________________________________ 92 3.3.2.2 Carga uniformemente distribuida con momentos en los

extremos ________________________________________________ 93 3.3.2.3 Carga puntual con momentos en los extremos ________________ 95

3.4 RESULTADOS NUMÉRICOS OBTENIDOS _________________________ 96 3.4.1 Resultados usando el Método de Elementos Finitos_____________ 97 3.4.2 Resultados usando Diferencias Finitas _____________________ 101

3.5 FORMULACIÓN PROPUESTA PARA EL FACTOR DE MOMENTO

UNIFORME EQUIVALENTE __________________________________ 114 3.5.1 Primera aproximación para los coeficientes A1 y A2 ___________ 115 3.5.1.1 Resultados obtenidos usando la primera aproximación _______ 115 3.5.1.2 Limitaciones de la primera aproximación ___________________ 121

3.5.2 Segunda aproximación para los coeficientes A1 y A2 ___________ 122 3.5.2.1 Resultados obtenidos usando la segunda aproximación _______ 123

4 ESTUDIO COMPARATIVO DEL ESTADO LIMITE ÚLTIMO ENTRE AISC LRFD Y EC3__________________________ 135

4.1 ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN PURA __________________ 135 4.1.1 Análisis comparativo de las formulas de diseño para compresión

pura ________________________________________________ 136 4.1.2 Resultados comparativos para compresión pura ______________ 136

4.2 ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN PURA ______________________ 138 4.2.1 Resultados comparativos para flexión pura __________________ 138

4.3 ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXO-COMPRESIÓN _________________ 144 4.3.1 Resultados comparativos para flexo-compresión ______________ 145

x Índice de Contenidos

5 CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN_____________________________________________ 161

5.1 CONCLUSIONES GENERALES ________________________________ 161 5.2 APORTACIONES MÁS SIGNIFICATIVAS _________________________ 165 5.3 FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN__________________________ 166

A ARTÍCULOS Y COMUNICACIONES GENERADOS___________ 169

B FORMULACIÓN DEL COMPORTAMIENTO ELÁSTICO DE UN ELEMENTO ______________________________________________ 177

B.1 DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES GENERALES _____ 177 B.2 ECUACIONES DIFERENCIALES GENERALES SEGÚN EJES GLOBALES ___ 188 B.3 PARTICULARIZACIÓN AL CASO DEL PANDEO LATERAL____________ 189

C PANLAT ______________________________________________________ 191 C.1 TÉCNICA DE INTEGRACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS ___________ 191 C.2 DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA PANLAT _____________________ 193

D EJEMPLO DE CÁLCULO _____________________________________ 199 D.1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA ________________________________ 199 D.2 VERIFICACIÓN ESTRUCTURAL ACORDE CON EL EC3 (2005) ________ 200

D.2.1 Verificación de la resistencia al pandeo usando el Método 1 _____ 204 D.2.2 Verificación de la resistencia al pandeo usando el Método 2 _____ 207

D.3 VERIFICACIÓN ESTRUCTURAL ACORDE CON EL AISC LRFD (1994) _ 208

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ______________________________ 213

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Representación esquemática del concepto del momento uniforme

equivalente........................................................................................................13

Figura 2.2 Curva de pandeo para elementos sometidos a compresión pura

(AISC LRFD 1994). ..........................................................................................16

Figura 2.3 Longitud efectiva en columnas. ....................................................................17

Figura 2.4 Nomogramas para determinar el factor de longitud efectiva en

columnas de pórticos arriostrados y no arriostrados lateralmente

(AISC LRFD 1994). ..........................................................................................18

Figura 2.5 Esquema gráfico de la variación del momento nominal Mn en

función de la longitud lateral no arriostrada Lb (AISC LRFD 1994)...............23

Figura 2.6 Ilustración de los efectos P-δ y P-∆ de segundo orden. ...............................24 Figura 2.7 Modelos de pórtico para determinar los momentos Mnt y Mlt. .....................25

Figura 2.8 Interacción entre la fuerza axial compresiva y el momento flector

(AISC LRFD 1994). ..........................................................................................28

Figura 2.9 Imperfección de pórtico (EC3 2005). ...........................................................32

Figura 2.10 Elemento bi-articulado con imperfección inicial. ......................................33

Figura 2.11 Curvas de pandeo (EC3 2005). ..................................................................36

Figura 2.12 Diagrama de momento real de segundo orden y diagrama de

momento equivalente sinusoidal.......................................................................56

Figura 2.13 Factores de amplificación. .........................................................................57

Figura 2.14 Factor Cm para distribuciones lineales de momentos.

Comparación entre la expresión teórica [Ec. (2.140)] y la expresión

del Método 1 [Ec. (2.143)]. ..............................................................................59

Figura 2.15 Factor ky para momento uniforme: (a) GMNIA (Greiner y Lindner

2006), (b) EC3 [Ec. (2.150)]. ...........................................................................62

Figura 2.16 Comparación de la resistencia al pandeo “in-plane” de un IPE

200 sometido a N+My (Greiner y Lindner 2006): (a) momento

uniforme, (b) momento triangular, (c) momento bi-triangular. .......................64

Figura 2.17 Factor kz para momento uniforme: (a) GMNIA – HEB 300

(Greiner y Lindner 2006), (b) EC3 [Ec. (2.151)]. ............................................65

xii Lista de Figuras

Figura 2.18 Factores kLT obtenidos del GMNIA (Greiner y Lindner 2006): (a)

momento uniforme, (b) momento triangular, (c) momento bi-

triangular. ........................................................................................................ 68

Figura 2.19 Factores kLT del Método 2 [Ec. (2.159)]: (a) momento uniforme,

(b) momento triangular, (c) momento bi-triangular. ....................................... 69

Figura 2.20 Diagrama de interacción para un IPE 200 con L=2.14 m, 1=zλ

y sometido a N+My+Mz (Greiner y Lindner 2006). ......................................... 70

Figura 2.21 Definición de los factores Cm (Greiner y Lindner 2006)............................ 73

Figura 3.1 Distribución lineal de momentos.................................................................. 78

Figura 3.2 Valores de momentos usados en la Ecuación (3.6). ..................................... 81

Figura 3.3 Diagramas de momentos flectores analizados por Suryoatmono y

Ho (2002). ........................................................................................................ 89

Figura 3.4 Comparación del factor C1 para distribuciones lineales de

momentos con flexión lateral libre y alabeo libre en las condiciones

de enlaces......................................................................................................... 91

Figura 3.5 Comparación del factor C1 para distribuciones lineales de

momentos con flexión lateral impedida y alabeo impedido en las

condiciones de enlaces..................................................................................... 92

Figura 3.6 Comparación del factor C1 para una viga con carga uniformemente

distribuida y momentos iguales aplicados en los extremos.............................. 94

Figura 3.7 Comparación del factor C1 para una viga con carga uniformemente

distribuida y un momento aplicado en un extremo. ......................................... 94

Figura 3.8 Comparación del factor C1 para una viga con carga puntual en la

mitad de la longitud y momentos iguales aplicados en los extremos. .............. 95

Figura 3.9 Comparación del factor C1 para una viga con carga puntual en la

mitad de la longitud y un momento aplicado en un extremo............................ 96

Figura 3.10 Resultados para vigas con distribución lineal de momentos (Tabla

3.17). .............................................................................................................. 104

Figura 3.11 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y

momentos iguales en sus extremos (Tabla 3.18). ........................................... 106

Figura 3.12 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un

momento aplicado en uno extremo (Tabla 3.19)............................................ 106

Figura 3.13 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su

longitud y momentos iguales en sus extremos (Tabla 3.20). .......................... 109


longitud y un momento aplicado en un extremo (Tabla 3.21)........................ 109

Figura 3.15 Valores de momentos usados en las Ecuaciones (3.25) y (3.26).............. 115

Figura 3.16 Resultados para la distribución lineal de momentos (k=1).

Ecuación (3.27). ............................................................................................. 116


momentos iguales en sus extremos (k=1). Ecuación (3.27). .......................... 117


momento aplicado en un extremo (k=1). Ecuación (3.27). ............................ 117


longitud y momentos iguales en sus extremos (k=1). Ecuación (3.27). ......... 118

Lista de Figuras xiii


longitud y un momento aplicado en un extremo (k=1). Ecuación

(3.27). .............................................................................................................118

Figura 3.21 Resultados para la distribución lineal de momentos (k=0.5).

Ecuación (3.23). .............................................................................................119


momentos iguales en sus extremos (k=0.5). Ecuación (3.23).........................119


momento aplicado en un extremo (k=0.5). Ecuación (3.23). .........................120


longitud y momentos iguales en sus extremos (k=0.5). Ecuación

(3.23). .............................................................................................................120


longitud y un momento aplicado en un extremo (k=0.5). Ecuación

(3.23). .............................................................................................................121

Figura 3.26 Diagramas de momentos que originan incoherencia en el cálculo

del factor C1 (primera aproximación propuesta). ..........................................122

Figura 3.27 Ilustración sobre la falta de convergencia en el cálculo del factor

C1 (primera aproximación propuesta)............................................................122

Figura 3.28 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=k2=1).

Ecuación (3.31). .............................................................................................124


momentos iguales en sus extremos (k1=k2=1). Ecuación (3.31).....................125


momento aplicado en un extremo (k1=k2=1). Ecuación (3.31). .....................125


longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=k2=1). Ecuación

(3.31). .............................................................................................................126


longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=k2=1). Ecuación

(3.31). .............................................................................................................126

Figura 3.33 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=k2=0.5).

Ecuación (3.23). .............................................................................................127


momentos iguales en sus extremos (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23)..................127


momento aplicado en un extremo (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23). ..................128


longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=k2=0.5). Ecuación

(3.23). .............................................................................................................128


longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=k2=0.5). Ecuación

(3.23). .............................................................................................................129

Figura 3.38 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=1 y

k2=0.5). Ecuación (3.23). ...............................................................................129

xiv Lista de Figuras


momentos iguales en sus extremos (k1=1 y k2=0.5). Ecuación (3.23). .......... 130


momento aplicado en un extremo (k1=1 y k2=0.5). Ecuación (3.23). ............ 130


longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=1 y k2=0.5).

Ecuación (3.23). ............................................................................................. 131


longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=1 y k2=0.5).

Ecuación (3.23). ............................................................................................. 131

Figura 3.43 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=0.5 y

k2=1). Ecuación (3.23)................................................................................... 132


momentos iguales en sus extremos (k1=0.5 y k2=1). Ecuación (3.23). .......... 132


momento aplicado en un extremo (k1=0.5 y k2=1). Ecuación (3.23). ............ 133


longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=0.5 y k2=1).

Ecuación (3.23). ............................................................................................. 133


longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=0.5 y k2=1).

Ecuación (3.23). ............................................................................................. 134

Figura 4.1 Comparación de las curvas de pandeo en elementos sometidos a

compresión pura. ........................................................................................... 137

Figura 4.2 Resistencia a compresión pura. ................................................................. 138

Figura 4.3 Curva de pandeo lateral para IPE 400 con distribución uniforme de

momentos. ...................................................................................................... 140

Figura 4.4 Curva de pandeo lateral para IPE 400 con distribución bi-

triangular de momentos. ................................................................................ 140

Figura 4.5 Curva de pandeo lateral para HEB 300 con distribución uniforme

de momentos................................................................................................... 141

Figura 4.6 Curva de pandeo lateral para HEB 300 con distribución bi-


Figura 4.7 Resistencia a flexión pura - IPE 400 con distribución uniforme de

momentos. ...................................................................................................... 142

Figura 4.8 Resistencia a flexión pura - IPE 400 con distribución bi-triangular

de momentos................................................................................................... 143

Figura 4.9 Resistencia a flexión pura - HEB 300 con distribución uniforme de

momentos. ...................................................................................................... 143

Figura 4.10 Resistencia a flexión pura - HEB 300 con distribución bi-


Figura 4.11 “Beam-columns” con momentos concentrados en los extremos y

cargas transversales. ..................................................................................... 146

Figura 4.12 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, zλ =0.50, caso 1). ............... 148

Figura 4.13 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, zλ =1.50, caso 1). ............... 148

Lista de Figuras xv

Figura 4.14 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, zλ =0.50, caso 2).................149




Figura 4.18 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400, zλ =0.50, caso 1). .................152














Figura B.1 Sistema de cargas distribuidas...................................................................178 Figura B.2 Desplazamientos y rotaciones en un elemento diferencial.........................178 Figura B.3 Fuerzas internas en un elemento diferencial..............................................178 Figura B.4 Nomenclatura para las coordenadas de los puntos de aplicación de

las fuerzas.......................................................................................................179 Figura B.5 Punto de aplicación de la fuerza en la configuración sin deformar

del elemento diferencial..................................................................................182

Figura C.1 Puntos igualmente espaciados para la aproximación por

Diferencias Finitas. ........................................................................................192 Figura C.2 Discretización para la aproximación por Diferencias Finitas. .................192 Figura C.3 Presentación del programa PANLAT. .......................................................193 Figura C.4 Entrada de datos del elemento...................................................................194 Figura C.5 Selección de un perfil laminado.................................................................195 Figura C.6 Creación de un perfil armado....................................................................195 Figura C.7 Selección de las condiciones de contorno..................................................196 Figura C.8 Ingreso de las cargas aplicadas.................................................................197 Figura C.9 Visualización de las cargas ingresadas. ....................................................197

xvi Lista de Figuras

Figura C.10 Visualización del diagrama de momentos. .............................................. 198 Figura C.11 Resultados. .............................................................................................. 198

Figura D.1 HEB 240 sometido a esfuerzos combinados.............................................. 199

xvii

LISTA DE TABLAS

Tabla 2.1 Cm teórico para “beam-columns” con cargas transversales. Chen y

Lui (1987). ........................................................................................................14 Tabla 2.2 Imperfecciones de los elementos (EC3 2005).................................................32 Tabla 2.3 Factores de imperfección para las curvas de pandeo. ...................................36 Tabla 2.4 Determinación de la curva de pandeo para una sección recta. .....................38 Tabla 2.5 Factores de imperfección para las curvas de pandeo LT...............................41 Tabla 2.6 Selección de la curva de pandeo [Ec. (2.77)]. ...............................................41 Tabla 2.7 Selección de la curva de pandeo [Ec. (2.79)]. ...............................................42 Tabla 2.8 Valores de kc (EC3 2005). ..............................................................................43 Tabla 2.9 Factores Cm del Método 2 (EC3 2005)...........................................................72 Tabla 3.1 Factor C1 para distribuciones lineales de momentos. EC3 (1992). ...............79 Tabla 3.2 Factor C1 para distribuciones no lineales de momentos. EC3 (1992). ..........79 Tabla 3.3 Coeficientes kc y C1 del ECCS Technical Committee 8 – Stability

(2006). ..............................................................................................................80 Tabla 3.4 Valores de C1 para distribuciones lineales de momentos. Clark y Hill

(1960). ..............................................................................................................83 Tabla 3.5 Valores de C1 para distribuciones no lineales de momentos. Clark y

Hill (1960). .......................................................................................................84 Tabla 3.6 Nethercot y Rockey (1972). C1 para distribuciones no lineales de

momentos..........................................................................................................86 Tabla 3.7 Valores de C1 para diagramas de momentos parabólicos. Greiner et

al. (1999). .........................................................................................................87 Tabla 3.8 Valores de C1 para diagramas de momentos triangulares. Greiner et

al. (1999). .........................................................................................................87 Tabla 3.9 Valores de S1 y S2. Lim et al. (2003)...............................................................90 Tabla 3.10 Comparación de los valores de C1 para los casos básicos de carga

y condiciones de enlaces...................................................................................93 Tabla 3.11 Diagramas de momentos para el análisis por el Método de

Elementos Finitos y Diferencias Finitas...........................................................97 Tabla 3.12 Valores de C1 para vigas con distribución lineal de momentos

(Método de Elementos Finitos).........................................................................98

xviii Lista de Tablas

Tabla 3.13 Valores de C1 para vigas con carga uniformente distribuida y

momentos iguales en sus extremos (Método de Elementos Finitos). ............... 99 Tabla 3.14 Valores de C1 para vigas con carga uniformente distribuida y un

momento en uno extremo (Método de Elementos Finitos). .............................. 99 Tabla 3.15 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su

longitud y momentos iguales en sus extremos (Método de Elementos

Finitos). .......................................................................................................... 100 Tabla 3.16 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su

longitud y un momento en uno extremo (Método de Elementos

Finitos). .......................................................................................................... 100 Tabla 3.17 Valores de C1 para vigas con distribución lineal de momentos

(Diferencias Finitas). ..................................................................................... 103 Tabla 3.18 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente distribuida y

momentos iguales en sus extremos (Diferencias Finitas). ............................. 105 Tabla 3.19 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente distribuida y un

momento aplicado en un extremo (Diferencias Finitas). ............................... 105 Tabla 3.20 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su

longitud y momentos iguales en sus extremos (Diferencias Finitas). ............ 108 Tabla 3.21 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su

longitud y un momento aplicado en un extremo (Diferencias Finitas). ......... 108 Tabla 3.22 Valores de C1 para vigas con distribución lineal momentos con

diferentes condiciones de enlaces en los apoyos (caso 1).............................. 111 Tabla 3.23 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente distribuida y

momentos iguales en sus extremos (caso 2). .................................................. 112 Tabla 3.24 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente distribuida y un

momento aplicado en un extremo (caso 3)..................................................... 112 Tabla 3.25 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su

longitud y momentos iguales en sus extremos (caso 4). ................................. 113 Tabla 3.26 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su

longitud y un momento aplicado en un extremo (caso 5)............................... 113

1

Capítulo 1 1 INTRODUCCIÓN

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Los elementos flexo-comprimidos, conocidos también como “beam-columns”, son definidos como elementos estructurales sometidos a una combinación de esfuerzo axial de compresión y momento flector. Los pilares de un pórtico son un claro ejemplo de estos elementos porque aparte de soportar carga axial de compresión, soportan también los siguientes momentos flectores: (1) los producidos por las cargas de viento y fuerzas laterales de sismo; (2) los generados por la acción continua de los elementos adyacentes conectados al pilar en cuestión; y (3) los inducidos por los efectos de segundo orden.

El análisis de un elemento flexo-comprimido es más complicado que el de un elemento sometido a compresión pura o a flexión pura porque involucra los problemas de estabilidad de una columna como el pandeo de flexión, el pandeo torsional o el pandeo flexo-torsional; y los problemas de flecha y de estabilidad de una viga como el pandeo lateral.

Una solución ideal para calcular un “beam-column” es basarse en la interacción de toda la estructura. Existe una tendencia a desarrollar tal procedimiento pero por ahora prevalece el método tradicional de aislar cada elemento individual como base para el cálculo.

Las normas de diseño siguen aún el método tradicional, y proponen el uso de las denominadas fórmulas de interacción, las cuales toman en cuenta los efectos de segundo orden, y brindan una aproximación bastante aceptable a los resultados teóricos.

Las fórmulas de interacción correspondientes a la primera versión del Eurocódigo 3 (EC3 1992) fueron desarrolladas en Alemania. Estas fórmulas proporcionan, en la mayoría de los casos, estimaciones excesivamente conservadoras, que conducen a un diseño moderadamente no económico,

2 Capítulo 1: Introducción

especialmente en los elementos sometidos a esfuerzos combinados de compresión axial y flexión bi-axial (Lindner 2003; Gonçalves y Camotim 2004). Desde entonces, con el propósito de corregir este problema indeseable, el Comité Técnico 8 de la European Convention for Constructional Steelwork (ECCS Technical Committee 8 - Stability 2006), liderado por el prof. Lindner de la TU Berlín, presentó una metodología de diseño basada en dos niveles de fórmulas de interacción, los cuales fueron denominados “Level 1” y “Level 2”.

Las fórmulas de interacción del “Level 1” fueron desarrolladas por un equipo de investigadores austriacos-alemanes (Greiner et al. 1998; Greiner y Lindner 1999; Greiner y Ofner 1999; Greiner et al. 1999; Greiner y Lindner 2000; Greiner 2001; Greiner y Ofner 2001; Greiner 2002; Greiner y Lechner 2002; Greiner y Lindner 2006), y están basadas en aproximaciones semi empíricas. Estas aproximaciones fueron ajustadas en base a los resultados obtenidos usando el Método de Elementos Finitos (Ofner 1997; Ofner 1999; Ofner et al. 1999; Ofner 2003), en donde se consideró el comportamiento elástico-plástico de los elementos estructurales individuales, incluyendo la no linealidad geométrica, las imperfecciones iniciales, las tensiones residuales y las zonas plásticas a lo largo de la longitud de elemento. Todos los efectos físicos de la inestabilidad son tomados en cuenta, en las fórmulas del “Level 1”, por medio de un coeficiente compacto.

Por otro lado, las fórmulas de interacción del “Level 2”, las cuales están basadas en la teoría de elasticidad de segundo orden, y analizadas inicialmente en el plano de flexión, fueron desarrolladas por un equipo de investigadores franceses-belgas (Boissonnade et al. 2002; Boissonnade et al. 2004). Estas fórmulas fueron posteriormente mejoradas al incorporarse el comportamiento espacial y el comportamiento elástico-plástico. Cada efecto físico que produce la inestabilidad estructural de los “beam-columns”, está normalmente asociado a un determinado coeficiente, dando lugar a que las fórmulas del “Level 2” tengan una clara transparencia física (Boissonnade et al. 2004).

En los Anexos A y B del Eurocódigo 3 (EC3 2005), las fórmulas de interacción del “Level 1” y “Level 2” están incluidas con el nombre de Método 2 y Método 1 respectivamente. Cabe indicar que estos dos métodos sólo evalúan la estabilidad estructural “in-plane” y “out-of-plane” de los elementos flexo-comprimido. La evaluación de la resistencia de la sección es tratada de manera independiente usando una fórmula de interacción distinta a las de los dos métodos.

Cabe indicar que el EC3 (2005) está sirviendo como documento base para actualizar las normas de diseño de los países de La Unión Europea. Aquí en España, se empleó el EC3 (2005) para elaborar el nuevo Código Técnico de la Edificación, que entrará en vigor en pocos meses, y reemplazará a la Norma Básica de la Edificación EA-95.

1.2 Objetivos 3

En términos generales, el EC3 (2005) plantea procedimientos de cálculo muy complicados en comparación con los procedimientos propuestos por otras normas de diseño. Como ejemplo, se tiene a la norma americana (AISC LRFD 1994), que sólo emplea una simple fórmula de interacción para evaluar todos los posibles modos de fallo (White y Clarke 1997a; White y Clarke 1997b), ya sea por agotamiento de la sección o por problemas de estabilidad.

En vista que el EC3 (2005) requiere de un mayor coste computacional para calcular un “beam-column”, se pueden plantear algunos interrogantes en torno a este tema: ¿es necesario tanta complejidad en los cálculos?, ¿realmente los Método 1 y el Método 2 proporcionan resultados cercanos a los reales?, ¿pueden ser considerados los Método 1 y Método 2 como métodos generales de aplicación?, ¿es posible realizar un pre-diseño rápido de una estructura con el EC3 (2005)?, etc.

Otra problemática que se presenta en el diseño de vigas y elementos flexo-comprimidos, es la falta de valores disponibles del factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral (FMUE), especialmente en los casos cuando el alabeo y la flexión lateral son impedidos en los enlaces del elemento. Cabe resaltar que de los pocos valores disponibles, existe una gran discrepancia entre ellos. Esta tesis permitirá aclarar esta discrepancia y propondrá nuevos valores de FMUE; además planteará una formulación de cálculo que permita hacer posible la elaboración de un algoritmo de programa.

1.2 OBJETIVOS

Los objetivos que se propone la presente tesis son:

- Estudio del comportamiento estructural de un elemento flexo-comprimido.

- Obtención de nuevos valores del factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral a partir de la teoría elástica de segundo orden.

- Propuesta de una fórmula general aproximada para calcular el factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral en vigas con diferentes condiciones de enlaces y diferentes formas de diagrama de momentos flectores.

- Estudio comparativo de las aproximaciones del EC3 (2005) y AISC LRFD (1994) en el cálculo de la capacidad resistente de los elementos sometidos a compresión pura, flexión pura y una combinación de esfuerzo axial de compresión y momento flector.

4 Capítulo 1: Introducción

1.3 ESQUEMA DE LA MEMORIA

El contenido de la presente tesis está organizado en cinco capítulos. Con el propósito de brindar una visión general de la tesis, una breve descripción de los capítulos restantes es mostrada a continuación.

En el Capítulo 2, se presenta un resumen de la teoría desarrollada por diversos investigadores para determinar la capacidad resistente de los elementos flexo-comprimidos. Posteriormente, se muestran las filosofías de diseño del AISC LRFD (1994) y EC3 (2005). Con este capítulo, se logra entender cómo han sido planteadas la mayoría de las fórmulas de las normas de diseño. Se ha puesto una mayor atención a las fórmulas propuestas por los Método 1 y Método 2.

El Capítulo 3 se centra en la obtención de nuevos valores del FMUE, y en la propuesta de una formulación simplificada que tome en cuenta la forma del diagrama de momentos flectores y las condiciones de enlaces del elemento. Los nuevos valores de FMUE serán obtenidos al integrar por Diferencias Finitas las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento elástico del pandeo lateral.

En el Capítulo 4 se realiza un estudio comparativo de la capacidad resistente de los elementos estructurales sometidos a compresión pura, flexión pura y flexo-compresión. El propósito de este estudio es detectar, para los casos más frecuentes de solicitaciones de cargas, diferencias significativas entre las filosofías de diseño del AISC LRFD (1994) y EC3 (2005).

Finalmente, el Capítulo 5 recoge las conclusiones obtenidas del presente trabajo y plantea posibles futuras líneas de investigación.

5

Capítulo 2 2 COMPORTAMIENTO

ESTRUCTURAL DE LOS “BEAM-COLUMNS”

El comportamiento al colapso de un “beam-column” ha sido intensamente estudiado en los últimos 50 años, y es aún el centro de atención de muchos investigadores por su importancia en el cálculo estructural de pórticos.

Los primeros estudios fueron realizados por Timoshenko y Gere (1961), quienes trabajaron en el dominio puramente elástico y plantearon una serie de soluciones para los casos básicos de cargado. Sin embargo, la suposición de un comportamiento totalmente elástico sólo es justificada en elementos cuyas cargas aplicadas no originan esfuerzos que superen el límite de fluencia del material; y no sería válida cuando se analiza el comportamiento de colapso del “beam-column” puesto que en esta situación, el elemento se comporta inelásticamente, dando lugar a que las ecuaciones diferenciales se conviertan en no lineales y no puedan ser tratadas con el uso de las matemáticas formales salvo que se utilicen métodos numéricos para obtener soluciones.

Un estudio exhaustivo sobre el comportamiento inelástico de los “beam-columns” fue realizado por Chen (1970; 1981); Chen y Atsuta (1976; 1977); y Massonnet (1976). Estos investigadores plantearon aproximaciones para los casos con flexión uni-axial y bi-axial. Estas aproximaciones, las cuales se les conocen como fórmulas de interacción, son ahora usadas en muchas normas de diseño en donde toman en cuenta los efectos de segundo orden y los problemas de estabilidad que se producen en el elemento. Estas fórmulas de interacción constituyen una manera práctica de calcular la capacidad de carga sin necesidad de recurrir a simulaciones numéricas basadas en el Método de Elementos Finitos.

6 Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”

A pesar de los estudios realizados por diversos investigadores, no existe aún una solución satisfactoria en el cálculo de los “beam-columns”; además, con la tendencia general de usar elementos más esbeltos en los pórticos de edificación, futuras investigaciones deben ser llevadas a cabo para incluir en las normas, procedimientos que conduzcan a un diseño seguro y económico.

El presente capítulo realiza un estudio de la teoría desarrollada para los elementos flexo-comprimidos, y presenta las filosofías de diseño del EC3 (2005) y AISC LRFD (1994).

2.1 RESISTENCIA DE LOS “BEAM-COLUMNS”

La capacidad de carga de un “beam-column” depende de muchos factores, los cuales pueden ser agrupados en tres grupos: el primero de ellos está relacionado con las cargas aplicadas, las cuales pueden originar cualquier combinación de esfuerzo axial de compresión, momento flector en el eje mayor y momento flector en el eje menor. El segundo grupo está relacionado con propiedades del elemento tales como las proporciones geométricas, la resistencia del material, la longitud no arriostrada del elemento y las condiciones de enlaces. Y el último grupo está relacionado con imperfecciones tales como la falta de rectitud del elemento, las tensiones residuales y la variación de la resistencia del material en toda la sección recta.

Tradicionalmente, los métodos de cálculo de los “beam-columns” estaban basados en el uso de tablas y fórmulas de interacción, que proporcionaban una buena aproximación a los resultados teóricos. Estos métodos estaban basados en estudios realizados a elementos de secciones I de alas anchas.

Recientemente, con la disponibilidad de los programas de ordenadores es posible analizar los “beam-columns” con secciones inusuales; además se pueden obtener nuevos resultados numéricos, tomando en cuenta el comportamiento inelástico asociado con la obtención de la máxima resistencia, para mejorar los métodos de cálculo existentes.

A continuación, se presenta una breve síntesis de las formulaciones básicas para determinar la capacidad de carga de los “beam-columns” sometidos a distintas condiciones de cargado.

2.1.1 “Beam-columns” con flexión uni-axial: Resistencia “in-

plane”

La resistencia “in-plane” hace referencia al colapso del elemento por excesiva deformación en el plano de flexión. Esta situación de fallo ocurrirá cuando el elemento flecta, por las cargas aplicadas, con respecto a su eje débil; o cuando el

2.1 Resistencia de los “beam-columns” 7

elemento, con suficiente arriostramiento lateral que impide el pandeo lateral, flecta con respecto a su eje fuerte.

Para determinar la resistencia en el plano de flexión (“in-plane”), la siguiente expresión lineal y sencilla, citada por Chen y Lui (1987) y Galambos (1988), puede ser usada como punto de partida:

1≤+uu M

M

P

P (2.1)

donde P y M son el esfuerzo axial de compresión y el máximo momento flector al fallo, respectivamente; Pu es la carga última a compresión para el pandeo en el plano en donde se aplica el momento flector; y Mu es el momento último en ausencia de la carga axial de compresión.

Si el cálculo estructural es realizado de tal forma que sólo se alcance la primera fluencia y sin tener en cuenta las tensiones iniciales del elemento, Pu y Mu deben ser iguales a la resistencia del elemento sometido a compresión axial pura y al momento plástico de la sección, respectivamente.

Mientras que el valor de P es simplemente el valor del esfuerzo axial aplicado, el valor de M es difícil de ser obtenido puesto que los momentos flectores actuando en el elemento (momentos de primer orden) serán amplificados por la presencia de la carga P, que actúa conjuntamente con la deformación producida por las cargas aplicadas, dando lugar a los denominados momentos de segundo orden. El máximo valor de los momentos de segundo orden sería el valor de momento M a introducir en la expresión (2.1).

Para el caso de un “beam-column” sometido a una combinación de esfuerzo axial de compresión P y momento uniforme M0, Johnston (1976) propuso la siguiente expresión para determinar el máximo momento actuando en la mitad del elemento:

−=

e

maxP/P

MM1

10 (2.2)

siendo Pe la carga crítica elástica para el pandeo en el plano de los momentos aplicados. El término entre paréntesis de la expresión (2.2) es considerado como un factor de amplificación que multiplica al momento de primer orden M0 para obtener el momento de segundo orden Mmax.

Aunque la expresión (2.2) fue deducida en base a la suposición de un comportamiento elástico, su aplicación en el contexto de carga última de diseño está muy extendida. Sustituyendo la expresión del Mmax en la expresión (2.1) se obtiene la siguiente formula de interacción, la cual ha sido incluida en muchas normas de diseño:


( )1

1

0 ≤−

+euu P/PM

M

P

P (2.3)

Para “beam-columns” sometidos a momentos flectores que varían a lo largo del elemento, la expresión (2.3) puede ser usada si se sustituye el momento M0 por un momento CmM0, donde Cm es un factor de reducción conocido como factor de momento uniforme equivalente, que será tratado más adelante; y M0 es el máximo momento de primer orden. Por consiguiente, la fórmula general de interacción quedaría expresada de la siguiente forma:

( )1

1

0 ≤−

+eu

m

u P/PM

MC

P

P (2.4)

Esta expresión evalúa las condiciones de colapso provocado por la inestabilidad estructural. Sin embargo cuando el “beam-column” es flectado por momentos que producen rótulas plásticas en uno o en ambos extremos del elemento, Chen y Atsuta (1972; 1974) proponen como fórmulas para evaluar la resistencia de la sección las siguientes:

para “beam-columns” flectando en el eje fuerte:

1850 0 ≤

+

py M

M.

P

P con pMM ≤0 (2.5)

para “beam-columns” flectando en el eje débil:

1840 0

2

≤

+

py M

M.

P

P con pMM ≤0 (2.6)

donde Py y Mp de las expresiones (2.5) y (2.6) corresponden a la carga de fluencia y al momento plástico de la sección, respectivamente.

2.1.2 “Beam-columns” con flexión respecto al eje fuerte:

Pandeo lateral

Cuando un elemento, no arriostrado lateralmente, es flectado con respecto a su eje fuerte, existe la tendencia de que éste falle por pandeo lateral, dando lugar a desplazamiento lateral del ala comprimida y giro de la sección por torsión. La presencia de una carga axial de compresión acentuará más esta tendencia puesto que un elemento sometido a compresión axial pura pandearía con respecto a su eje débil. En consecuencia, los “beam-columns” con flexión respecto al eje fuerte presentarán una interacción entre el pandeo de una columna y el pandeo de una viga.


Para este caso, la expresión (2.4) es modificada para incorporar los efectos del pandeo lateral y del pandeo de flexión respecto del eje débil, es decir:

( )1

1

0≤

−+

y,eu

y,m

z,u P/PM

MC

P

P (2.7)

donde Pu,z es la carga resistente a compresión axial sin tomar en cuenta la presencia del momento flector, y es calculada para el pandeo respecto al eje débil; Pe,y es la carga crítica elástica a compresión correspondiente al eje fuerte; M0,y es momento máximo de primer orden actuando en el eje fuerte; y Mu es el momento resistente al pandeo lateral sin considerar la presencia de la carga axial de compresión. La expresión (2.7) es aplicable a cualquier distribución de momentos. Adicionalmente a esta expresión, se debe utilizar la expresión (2.5) para verificar la resistencia de la sección.

Cabe indicar que cuando un elemento flecta, por cargas aplicadas, con respecto al eje menor de inercia, este elemento no pandeará lateralmente y su capacidad resistente será determinada usando las formulaciones que fueron indicadas en el Apartado 2.1.1.

2.1.3 “Beam-columns” con flexión bi-axial

Las aportaciones sobre la capacidad de carga de los “beam-columns” con flexión bi-axial, han sido dadas por Chen y Atsuta (1977); Johnston (1976); Massonnet (1976); y Chen (1977; 1981). Estos investigadores han obtenido una serie de resultados experimentales y han propuesto un conjunto de soluciones analíticas que han servido para crear procedimientos de cálculo más aproximados y fiables. Una síntesis de todas las formulaciones planteadas por aquellos años fue realizada por Galambos (1988), quien clasificó a los “beam-columns” en dos grupos acordes a su modo de fallo: “beam-columns” cortos y “beam-columns” esbeltos. En los “beam-columns” cortos, el colapso estaría gobernado por la resistencia de la sección; es decir el elemento colapsaría en su sección más solicitada, siempre que no se produzca pandeo local en las alas y el alma del perfil. En cambio, el modo de colapso de los “beam-columns” esbeltos es producido por la interacción entre el pandeo de una columna y el pandeo de una viga cargada en sus dos planos.

A continuación se presentan los procedimientos de cálculo, sintetizados por Galambos (1988) para determinar la resistencia de los “beam-columns” cortos y esbeltos.


2.1.3.1 Resistencia de los “beam-columns” cortos

Tal como se comentó anteriormente, la resistencia de los “beam-columns” con bajos valores de esbeltez, estaría gobernada por el desarrollo de la plastificación total de su sección recta, siempre que se trabaje con secciones compactas para evitar que se produzca el pandeo local.

Una expresión lineal y sencilla, sugerida por Johnston (1976), que engloba las diferentes formas de interacción de los “beam-columns” con flexión uni-axial, es la siguiente:

1840850 00≤

+

+

pz

z,

py

y,

y M

M.

M

M.

P

P (2.8)

Si en el elemento sólo interactúan los esfuerzos P y M0,y, esta expresión quedaría reducida a la expresión (2.5). Sin embargo, para la interacción entre P y M0,z, Johnston (1976) aclara que al usar P/Py en lugar de (P/Py)2, la expresión (2.8) sería más conservadora que la expresión (2.6).

Una mejor aproximación se puede conseguir al emplear las siguientes expresiones propuestas por Tebedge y Chen (1974); y Chen y Atsuta (1977):

100≤

+

αα

pcz

z,

pcy

y,

M

M

M

M (2.9)

con

( )[ ]y

y

P/Pln

P/P.

261 −=α (2.10)

siendo Mpcy y Mpcz los momentos resistentes con respecto a sus respectivos ejes, reducidos por la presencia de la carga axial de compresión. Estos momentos pueden ser obtenidos al despejar el momento M0 de las expresiones (2.5) y (2.6).

py

y

pypcy M

P

P

.

MM ≤

−= 1

850 (2.11)

pz

y

pzpcz M

P

P

.

MM ≤

−=

2

1840

(2.12)

En todas las formulaciones antes mencionadas, se ha asumido que la fluencia ocurre como un resultado de las tensiones producidas por compresión y flexión. Sin embargo, la presencia de cualquier tensión cortante reducirá la capacidad resistente de la sección transversal (Galambos 1988). En


consecuencia, Galambos (1988) sugiere que la tensión de fluencia fy del material debe ser reducida a:

2

1

−

y

yfτ

τ (2.13)

donde τ y τy son, respectivamente, la tensión aplicada y la tensión admisible de cortadura.

2.1.3.2 Resistencia de los “beam-columns” esbeltos y de longitud

intermedia

En los “beam-columns” que no son considerados como elementos cortos, el control de la estabilidad estructural gobernará el estado límite último.

La resistencia de los “beam-columns” esbeltos, sometidos a flexión bi-axial, puede ser determinada usando la siguiente fórmula de interacción, la cual combina empíricamente las expresiones (2.4) y (2.7):

( ) ( )1

11

00≤

−+

−+

z,ez,u

z,z,m

y,ey,u

y,y,m

u P/PM

MC

P/PM

MC

P

P (2.14)

El formato de esta expresión es el formato básico de las aproximaciones de diseño de la norma americana AISC y de la norma canadiense CSA (Galambos 1988).

Sin embargo, los dos términos de momentos de la expresión (2.14) brindan una interacción lineal, que difiere con la interacción no lineal obtenida de los resultados experimentales y de las soluciones teóricas.

Una expresión no lineal, cuyos resultados se ajustan a las soluciones teóricas del comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns”, fue propuesta por Tebedge y Chen (1974):

100≤

+

ηη

ucz

z,z,m

ucy

y,y,m

M

MC

M

MC (2.15)

donde

( )[ ] ( )[ ]y,euy,uucy P/PP/PMM −−= 11 (2.16)

( )[ ] ( )[ ]z,euz,uucz P/PP/PMM −−= 11 (2.17)


Para el cálculo del exponente η, Chen recomienda las siguientes expresiones en función de la relación ancho del ala del perfil entre canto de la sección (bf/d):

140 ≥++=d

b

P

P.

f

y

η para 30.d

b f≥

1=η para 30.d

b f<

(2.18)

Estas expresiones de η fueron planteadas en base a estudios numéricos realizados a secciones I con bf/d=0.3 (Ross y Chen 1976) y a secciones H con bf/d=1 (Tebedge y Chen 1974).

2.2 FACTOR DE MOMENTO UNIFORME EQUIVALENTE

Cuando un “beam-column” es cargado en sus extremos por momentos distintos, M0 y ψM0, con ψ comprendido entre -1 y 1, puede ser muy conservador usar directamente el valor de M0 en las expresiones (2.4), (2.7), (2.14) y (2.15), especialmente cuando el elemento flecta en curvaturas opuestas (ψ negativo), puesto que estas expresiones fueron deducidas en base a una distribución uniforme de momentos (ψ=1). Sin embargo, los estudios realizados para los casos “in-plane”(Austin 1961) y para los casos con pandeo lateral (Massonnet 1959), han demostrado que resulta una aproximación bastante razonable si M0 es reemplazado por un momento reducido CmM0; siendo Cm el factor de momento uniforme equivalente.

El concepto de momento uniforme equivalente (Meq=CmM0) es explicado, de manera esquemática, en la Figura 2.1. En esta figura se muestra que los momentos M0 y ψM0 son reemplazados por un momento Meq, que al actuar conjuntamente con la carga P, produce un momento máximo que será igual al momento máximo producido por los esfuerzos M0, ψM0 y P.

2.2 Factor de momento uniforme equivalente 13

0M 0Mψ

PP

+0M

0Mψ

maxM

+

maxM

eqMeqM

11 ≤≤− ψ

eqM

PP

eqM

Figura 2.1 Representación esquemática del concepto del momento uniforme equivalente.

La formulación exacta para calcular el factor Cm es deducida matemáticamente usando la teoría elástica (Chen y Lui 1987):

( )kLcos

kLcosCm

−

+−=

12

122 ψψ (2.19)

con

EI

Pk = (2.20)

Como se puede apreciar en estas expresiones, el factor de momento uniforme equivalente depende de la carga axial de compresión, P; de la rigidez a la flexión, EI; de la longitud del elemento, L; y del parámetro ψ, que es la relación entre el menor y el mayor momento aplicado en los extremos del elemento. El signo de ψ será positivo si el elemento flecta en simple curvatura; y, negativo si el elemento flecta en curvaturas opuestas. La expresión (2.19) sólo tiene validez cuando el máximo momento de segundo orden no se produce en un extremo del elemento.

Existen expresiones simplificadas para calcular el factor Cm las cuales dan una buena aproximación a la expresión teórica (2.19). Estas expresiones fueron propuestas por Massonnet (1959) y Austin (1961), y dependen solamente del parámetro ψ. La expresión de Massonnet es:

304030 2 ...Cm ++= ψψ (2.21)

y, la expresión de Austin es:

404060 ...Cm ≥+= ψ (2.22)


Debido a su sencillez, la expresión (2.22) ha sido incorporada en las especificaciones de diseño de la norma americana (AISC LRFD).

Para “beam-columns” sometidos a cargas transversales, Chen y Lui (1987) dedujeron alguna formulaciones usando la teoría elástica. Estas formulaciones son recogidas en la Tabla 2.1.

Caso C teóricom

PP

L/2

PP

L/2

( )kLcos

kLsin

kL

kLsec

−

−

12

2

12

2 2

2

( )kLcos

kLsin

kLtg

kL

kLkLtg

−

−

12

22

223 2

2

P

P P

P

( )kLcos

kLsin

kLsen

kL

kLcos

−

−

1222

212 2

( )kLcos

kLsin

kL

kLtg

−

122

22

Tabla 2.1 Cm teórico para “beam-columns” con cargas transversales.

Chen y Lui (1987).

2.3 FILOSOFÍA DE DISEÑO DEL AISC LRFD

Las fórmulas de interacción del AISC LRFD (1994) usadas para calcular la capacidad de carga de los elementos flexo-comprimidos, tienen un formato muy parecido al de la expresión (2.14). Estas fórmulas están en función de la resistencia a compresión pura, de la resistencia a flexión pura y de los momentos de segundo orden.

Es preciso indicar que existe una nueva versión de la norma americana (ANSI/AISC 360-05 2005) cuyo estudio no ha sido tratado en este trabajo debido a que esta norma entró en vigor cuando las investigaciones de esta tesis se encontraban en una etapa muy avanzada. El ANSI/AISC 360-05 (2005) introduce ligeros cambios en algunas formulaciones del AISC LRFD (1994) pero sin afectar significativamente los resultados.

2.3 Filosofía de diseño del AISC LRFD 15

2.3.1 Resistencia a compresión pura

En el Capítulo E de las Especificaciones del AISC LRFD (1994), se proponen las siguientes expresiones para calcular la resistencia de los elementos sometidos a compresión axial pura, las cuales están basadas en el estado límite del pandeo elástico e ineslástico de flexión, y del pandeo local del alma y del ala:

para 51.c ≤λ :

yc

cnc fA.P

=

26580 λφφ (2.23)

para 51.c >λ :

yc

cnc fA.

P

= 2

8770

λφφ (2.24)

donde φc es el factor de resistencia a compresión, cuyo valor es igual a 0.85; Pn es la resistencia nominal a compresión; A es el área de la sección recta del elemento; fy es la tensión de fluencia del material; y, λc es la esbeltez del elemento, cuya expresión de cálculo es la siguiente:

E

f

r

KL yc πλ = (2.25)

siendo K el factor de longitud efectiva; L la longitud lateral no arriostrada del elemento; r el radio de giro con respecto al eje de pandeo; y, E el módulo de elasticidad del material.

La expresión (2.23) hace referencia a columnas que fallan por pandeo inelástico; mientras que la expresión (2.24), a columnas que fallan por pandeo elástico.

En la Figura 2.2 se muestra la curva que relaciona la resistencia nominal dividida entre la resistencia de fluencia, con la esbeltez λc. A esta curva se le conoce como curva de pandeo.


0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Esbeltez λc

P

n /

(Af y)

Figura 2.2 Curva de pandeo para elementos sometidos a compresión pura (AISC LRFD 1994).

Puesto que el factor de longitud efectiva, K, es un parámetro que interviene en el cálculo de la resistencia nominal, Pn, se ha creído conveniente realizar a continuación, una síntesis del procedimiento sugerido por el AISC LRFD (1994) para determinar su valor.

2.3.2 Factor de longitud efectiva

El factor de longitud efectiva K tiene su importancia en el cálculo de la longitud efectiva KL, el cual es empleado para estimar, en cualquier elemento comprimido, los efectos de interacción que se producen en todo el pórtico. De esta forma, la resistencia a compresión de un elemento de longitud L, perteneciente a un pórtico, sería equivalente a la resistencia a compresión de un elemento bi-articulado de longitud KL.


Figura 2.3 Longitud efectiva en columnas.

El AISC LRFD (1994) en el Capítulo C de sus Comentarios, proporciona un par de nomogramas para calcular el factor de longitud efectiva en columnas de pórtico intraslacional y traslacional. Estos nomogramas son mostrados en la Figura 2.4. Los subíndices A y B hacen referencia a las uniones en ambos extremos del elemento. La definición de G viene dada por:

( )( )∑

∑=

gg

cc

L/I

L/IG (2.26)

donde Σ indica la suma de todos los elementos rígidamente conectados a la unión y situados en el plano en donde se está considerando el pandeo de la columna; I es el momento de inercia de cada elemento y es calculado con respecto al eje perpendicular al plano de pandeo; y L es la longitud de cada elemento medido desde la unión A a la unión B. Los subíndices c y g son usados para hacer referencia a columna y viga, respectivamente. Asimismo el AISC LRFD (1994) manifiesta que si la base de una columna no está conectada rígidamente a la zapata, G tendería teóricamente al infinito, pero un valor de 10 podría ser considerado en el diseño práctico. Si por el contrario, la base de la columna está rígidamente conectada a la zapata, el valor teórico de G tendería a cero; en este caso, se podría considerar un valor de G igual a 1.


Figura 2.4 Nomogramas para determinar el factor de longitud efectiva en columnas de pórticos arriostrados y no arriostrados lateralmente (AISC LRFD 1994).

Otra forma de determinar el factor de longitud efectiva sin recurrir a estos nomogramas, es emplear las siguientes soluciones iterativas propuestas por ASCE (1997):

para pórticos arriostrados (“sidesway inhibited”):

0122

124

2

=−

+

−

++

K

Ktan

Ktan

KGG

K

GG BABA

π

π

π

π

π (2.27)

para pórticos no arriostrados (“sidesway uninhibited”):

( )

( )( )

( )0

6

362

=−+

−

K/tan

K/

GG

K/GG

BA

BA

π

ππ (2.28)

Para el caso de los pórticos no arriostrados lateralmente, la expresión (2.26) fue deducida con la suposición de que las vigas tienen, en sus extremos, iguales momentos girando en el mismo sentido a las agujas del reloj, produciendo las mismas rotaciones en sus extremos y flexión con curvaturas opuestas; estos momentos son calculados por un análisis de primer orden considerando


solamente las cargas laterales. Si esta suposición no se cumple, la longitud Lg debe ser sustituida por:

−=

N

Fgg

M

ML'L 2 (2.29)

donde MF y MN son los momentos de los extremos más lejano y más cercano, respectivamente, de la viga considerada, y son obtenidos por medio de un análisis de primer orden al tomar solamente en cuenta las cargas laterales actuando en el pórtico. Si la relación MF/MN es mayor a 2, Lg’ se convierte en negativo, dando lugar, en algunos casos, que G sea también negativo. Cuando esta situación se presenta, el nomograma mostrado en la Figura 2.4, para pórticos no arriostrados lateralmente, no sería útil para determinar el valor de K salvo que se emplee la solución iterativa (2.28) de ASCE (1997).

2.3.3 Resistencia a flexión pura

El AISC LRFD (1994) en el Capítulo F de sus Especificaciones, define la resistencia nominal de un elemento sometido a flexión pura, Mn, como el menor valor obtenido acorde con los estados límites de: a) fluencia; b) pandeo lateral; c) pandeo local del ala; y d) pandeo local del alma.

Los estados límites de fluencia y de pandeo lateral sólo serán considerados en este apartado puesto que, en la práctica, el fenómeno del pandeo local puede ser evitado fácilmente por el calculista al limitar la relación ancho y espesor de cada uno de los componentes que conforman la sección I:

para el ala:

yf

f

ft

b 65

2≤ (2.30)

para el alma:

yw ft

d 640≤ (2.31)

donde bf es el ancho del ala; tf es el espesor del ala; d es el canto del alma descontando los radios de los acuerdos; tw es el espesor del alma; y, fy es la tensión de fluencia del material en klb/pulg2.

Las expresiones (2.30) y (2.31), aparte de garantizar que el pandeo local no se produzca, garantizan también que la sección sea compacta; por lo cual, un


diseño por análisis plástico es permitido siempre que la tensión de fluencia del acero no supere a 65 klb/pulg2 (≈450 MPa).

Para identificar qué estado límite predomina en una viga, el AISC LRFD (1994) propone calcular las siguientes longitudes, usando el sistema inglés de unidades:

yf

zp

f

rL

300= (2.32)

22

1 11 L

L

zr fX

f

XrL ++= (2.33)

con

21AIGE

WX t

y,el

π= (2.34)

2

2 4

=

t

y,el

z

w

IG

W

I

IX (2.35)

fL es el menor valor de ( )

−

yw

ryf

f

ff (2.36)

donde Lp es la máxima longitud lateral no arriostrada que, para el caso de una distribución uniforme de momentos, limita la zona en donde se dará la resistencia plástica de toda la sección; Lr es la máxima longitud lateral no arriostrada que limita la zona en donde se dará el pandeo lateral inelástico; rz es el radio de giro del eje menor; Wel,y es el módulo resistente con respecto al eje mayor; A es el área de la sección recta; Iz es la inercia con respecto al eje menor; It es la inercia torsional; Iw es la inercia al alabeo; fyf y fyw son las tensiones de fluencia de los aceros del ala y del alma, respectivamente; fr es la tensión residual de compresión en el ala, y es igual a 10 klb/pulg2 para perfiles laminados y 16.5 klb/pulg2 para perfiles soldados; y E y G son los módulos de elasticidad y de cortadura del acero, respectivamente, (E= 29000 klb/pulg2 y G=11200 klb/pulg2).

Aparte de las longitudes Lp y Lr, el AISC LRFD (1994) emplea la longitud Lb que es la distancia entre puntos arriostrados contra el desplazamiento lateral del ala comprimida o entre puntos arriostrados para prevenir el giro por torsión de la sección recta; esta longitud es obtenida directamente conociendo las condiciones de contorno de la viga.


Para vigas compactas arriostradas lateralmente con Lb≤Lp, solamente se aplica el estado límite de fluencia. Para vigas compactas no arriostradas lateralmente con Lb>Lp, se aplican los estados límites de fluencia y de pandeo lateral. Puesto que el pandeo lateral ocurre en elementos que flectan con respecto al eje mayor de inercia, no se debe aplicar el estado límite de pandeo lateral a elementos sometidos a flexión en el eje menor ni a elementos cuyas secciones son circulares o cuadradas; siendo, para estos casos, aplicable solamente el estado límite de fluencia. Para Lp<Lb≤Lr, el pandeo lateral inelástico podría ocurrir en el elemento; mientras que para Lb>Lr, podría ocurrir el pandeo lateral elástico.

Acorde con el estado límite de fluencia, la resistencia de un elemento sometido a flexión pura queda determinada al multiplicar el momento plástico Mp por el factor de resistencia a flexión φb cuyo valor es igual a 0.90:

pbnb MM φφ = con yelp fW.M 51≤ (2.37)

La limitación del momento plástico es empleada para controlar la deformación inelástica que se produce en secciones con factores de forma mayores a 1.5. El factor de forma es definido como la relación entre el momento plástico y el momento correspondiente a la aparición de la primera fluencia en la fibra extrema.

Para el caso del estado límite de pandeo lateral, se emplean las siguientes expresiones, las cuales son válidas para secciones doblemente simétricas y secciones canales:

para Lb≤Lr:

( ) pbpr

pbrppbbnb M

LL

LLMMMCM φφφ ≤

−

−−−= (2.38)

para Lb>Lr:

pbcrbnb MMM φφφ ≤= (2.39)

con

y,elLr WfM = (2.40)

wy

b

ty

b

bcr IIL

EGIEI

LCM

2

+=

ππ

o

(2.41)


22

211

2

12

+=

zbzb

y,elbcr

r/L

XX

r/L

XWCM

y

CBAmax

maxb

MMMM.

M.C

34352

512

+++= (2.42)

donde Mr es un momento de pandeo que toma en cuenta la presencia de la tensión residual en la sección; Mcr es el momento crítico elástico; Cb es el factor de momento uniforme equivalente o conocido también como gradiente de momento; Mmax, es el valor absoluto del máximo momento flector; MA, MB y MC son los correspondientes valores absolutos de los momentos producidos a un cuarto, a un medio y a tres cuartos de la longitud del elemento.

La expresión (2.41), que se emplea para calcular el momento crítico elástico Mcr, asume que la carga está aplicada en el eje centroidal de la viga. Si la carga se aplica en el ala superior no arriostrado (ala comprimida por flexión), se producirá un efecto desestabilizador en el elemento ocasionando un Mcr menor; por el contrario, si la carga actúa en el ala inferior no arriostrado (ala traccionada por flexión), se producirá un efecto estabilizador dando lugar a un Mcr mayor (Galambos 1988). Para la carga aplicada en el ala superior no arriostrado, el AISC LRFD (1994) recomienda, en el Capítulo F de sus Comentarios, usar un valor de X2 igual a cero para estimar, conservadoramente, el valor reducido del momento crítico elástico.

La expresión (2.42) del AISC LRFD (1994), empleada para calcular el factor Cb, fue propuesta por Kirby y Nethercot (1979), y es aplicable a cualquier distribución de momentos.

La Figura 2.5 muestra un esquema gráfico de la variación del momento nominal Mn frente a la longitud Lb, en donde se pueden apreciar, para el caso de una distribución de momento uniforme (Cb=1), las tres zonas principales definidas por las longitudes Lp y Lr. La primera zona corresponde a la plastificación de la sección [expresión (2.37)], y se encuentra demarcada por la longitud Lp; la segunda zona corresponde al pandeo lateral inelástico, en donde la variación del Mn está representada por una línea recta trazada entre los límites establecidos por Lp y Lr [expresión (2.38)]; y, la tercera zona corresponde al pandeo lateral elástico, en donde Mn varía siguiendo la curva del momento crítico elástico [expresión (2.39)]. Para otras distribuciones de momento, Mn es obtenido multiplicando el momento nominal correspondiente a la distribución de momento uniforme, por el factor Cb; pero con la salvedad de que Mn no debe superar al momento plástico Mp. De esta manera, se permite a Mn llegar al


momento Mp cuando se tienen longitudes Lb mayores a Lp, tal como se indica en la curva trazada con líneas discontinuas para Cb>1.

pC M

b rC M

Mp

r

Lp rL

Lb

cr

crM para C >1

M para C =1

b

b

nM para C =1b

M para C >1bn

b

Plástico Inelástico Elástico

M

Figura 2.5 Esquema gráfico de la variación del momento nominal Mn en función de la longitud lateral no arriostrada Lb (AISC LRFD 1994).

2.3.4 Método simplificado para considerar los efectos de

segundo orden

El AISC LRFD (1994) en el Capítulo C de sus Especificaciones, indica que los momentos deben ser determinados usando un análisis elástico de segundo orden o siguiendo el siguiente procedimiento aproximado:

ltntII MBMBM 21 += (2.43)

donde MII es el momento de segundo orden; Mnt es el momento en el elemento, calculado mediante un análisis elástico de primer orden asumiendo que el pórtico es intraslacional; Mlt es el momento en el elemento, calculado por un análisis elástico de primer orden asumiendo que el pórtico es traslacional; y, B1 y B2 son los factores de amplificación de momentos que toman en cuenta los efectos P-δ y P-∆ de segundo orden, respectivamente.

La Figura 2.6 muestra una ilustración de la amplificación de los momentos de primer orden en elementos que forman parte de un pórtico intraslacional y de un pórtico traslacional.


P

δPMM nt +=1

ntMBM 11 =∆PMM lt +=2

ltMBM 22 =

P

H

HLM lt =

Beam-column de pórtico

intraslacionalBeam-column de pórtico

traslacional

L

Figura 2.6 Ilustración de los efectos P-δ y P-∆ de segundo orden.

El factor B1 es calculado usando la siguiente expresión:

11 1

1 ≥

−

=

e

m

P/P

CB (2.44)

siendo Pe1 la carga crítica de Euler correspondiente al plano de flexión, y es calculada asumiendo que el elemento forma parte de un pórtico arriostrado lateralmente (pórtico intraslacional). Con esta suposición, el AISC LRFD (1994) recomienda que el factor de longitud efectiva de pandeo debe ser igual a la unidad (K=1), salvo que el análisis estructural demuestre que un menor valor pueda ser usado.

Por otro lado, el factor B2 puede ser calculado con la siguiente expresión:

−

=

LH

P

B

h0

2

1

1

∆

Σ

Σ

(2.45)

o alternativamente se puede usar:

2

21

1

eP

PB

Σ

Σ−

= (2.46)

donde ΣP es la suma de la fuerza axial de todas las columnas de la planta considerada; ∆0h es el desplazamiento lateral relativo entre el nivel superior e inferior de la planta considerada, y es determinado por medio de un análisis de primer orden; ΣH es la suma de todas las fuerzas horizontales que producen el


desplazamiento ∆0h, y es calculada en el nivel inferior de la planta considerada; L es la altura de la planta considerada; Pe2 es la carga crítica de Euler correspondiente al plano de flexión, y es calculada asumiendo que el elemento forma parte de un pórtico no arriostrado lateralmente (pórtico traslacional); y, ΣPe2 es la suma de los Pe2 de todas las columnas de la planta considerada.

En la Figura 2.7 se muestra el procedimiento para determinar los momentos Mnt y Mlt. Las cargas verticales (P1, P2 y P3) y las cargas horizontales (V1, V2 y V3) actuando en un pórtico traslacional, son aplicadas, por separadas, a los dos modelos de pórtico indicados en dicha figura. En el primer modelo se aplican las cargas verticales del pórtico original, y unas reacciones horizontales ficticias (R1, R2 y R3) aplicadas a cada planta para arriostrar lateralmente al pórtico original; luego, se realiza un análisis de primer orden para determinar las reacciones horizontales ficticias y los momentos Mnt de cada elemento del pórtico. Posteriormente, en el segundo modelo, correspondiente al pórtico no arriostrado lateralmente, se aplican las cargas horizontales del pórtico original y, en sentido contrario, las reacciones horizontales ficticias. Los momentos Mlt de cada elemento también son obtenidos al realizar un análisis de primer orden.

Para el caso de un elemento que forma parte de un pórtico intraslacional, el valor del momento Mlt sería igual a cero; mientras que, el valor del momento Mnt sería obtenido por un análisis de primer orden realizado en el pórtico intraslacional (pórtico original).

Figura 2.7 Modelos de pórtico para determinar los momentos Mnt y Mlt.

Una vez obtenidos los valores de B1, B2, Mnt y Mlt, se emplea la expresión (2.43) para determinar el momento máximo de segundo orden, MII, que se produce en el elemento.

Cabe señalar que este procedimiento simplificado y aproximado del AISC LRFD (1994) es sólo válido para pórticos con conexiones rígidas. Para otros tipos de conexiones, se puede emplear cualquier programa de análisis


estructural que incluya los efectos de segundo orden en el cálculo de los momentos flectores.

2.3.5 Factor Cm

Para calcular el factor de amplificación B1, es necesario determinar previamente el factor de momento uniforme equivalente Cm, el cual es calculado asumiendo que el pórtico es intraslacional.

La expresión propuesta por el AISC LRFD (1994) para calcular el factor Cm, es la siguiente, la cual es válida para “beam-columns” que no están sometidos a cargas transversales entre sus apoyos en el plano en donde se produce la flexión:

ψ4060 ..Cm += (2.47)

Esta expresión es similar a la expresión de Austin (1961), pero sin tomar en cuenta la condición Cm ≥ 0.4 puesto que, para valores de ψ comprendidos entre -0.5 y -1, esta condición conduce a resultados muy conservadores con respecto a los resultados numéricos exactos basados del análisis elástico-plástico (Chen y Zhou 1987).

Para “beam-columns” sometidos a cargas transversales entre sus apoyos, el AISC LRFD (1994) recomienda realizar un análisis racional para determinar los valores de Cm. Por otra parte, si este análisis no es llevado a cabo, el AISC LRFD (1994) plantea usar los siguientes valores: Cm=0.85, para elementos cuyos extremos están restringidos (empotrados); y Cm=1.00, para elementos cuyos extremos no están restringidos (articulados).

2.3.6 Resistencia de los “beam-columns”

Las fórmulas de interacción de la norma americana (AISC LRFD 1986; AISC LRFD 1994) fueron desarrolladas en base a resultados numéricos obtenidos del comportamiento inelástico de 82 “beam-columns” (Kanchanalai 1977). Estas fórmulas, que se muestran a continuación, son aplicables tanto a secciones con un eje de simetría como a secciones con dos ejes de simetría:

para 20.P

P

nc

≥φ

:

198

≤

++

z,nb

IIz

y,nb

IIy

nc M

M

M

M

P

P

φφφ (2.48)


para 20.P

P

nc

<φ

:

12

≤

++

z,nb

IIz

y,nb

IIy

nc M

M

M

M

P

P

φφφ (2.49)

donde P es la resistencia requerida a compresión; IIyM y II

zM son las

resistencias requeridas a flexión, incluyendo los efectos de segundo orden (Apartado 2.3.4); φc es el factor de resistencia a compresión, y es igual a 0.85; φb es el factor de resistencia a flexión, y es igual a 0.90; y Pn y Mn son las resistencias nominales a compresión (Apartado 2.3.1) y a flexión (Apartado 2.3.3), respectivamente.

Estas fórmulas de interacción describen una curva bi-lineal de resistencia (Figura 2.8), y toman en cuenta todos los estados límites últimos de un elemento flexo-comprimido, tales como: la resistencia “in-plane” de los elementos que flectan con respecto a su eje fuerte o a su eje débil; la resistencia “out-of-plane” de los elementos que flectan con respecto a su eje fuerte; y la resistencia espacial de los elementos sometidos a una combinación de esfuerzo axial de compresión y flexión bi-axial.

Al mantener el valor del efecto de segundo orden, B1, por encima de la unidad [expresión (2.44)], se evita, en las fórmulas de interacción del AISC LRFD, la necesidad de evaluar por separado los estados límites últimos, especialmente en los casos en donde el factor Cm es menor a la unidad (Cheong-Siat-Moy y Downs 1980). Otra ventaja de estas fórmulas de interacción es que son aplicables a “beam-columns” de pórticos intraslacional y traslacional (Chen y Lui 1987).


P

ncPφncP. φ20

u

nbMφ

nbM. φ90

12

=+nb

u

nc

u

M

M

P

P

φφ

198

=+nb

u

nc

u

M

M

P

P

φφ

Figura 2.8 Interacción entre la fuerza axial compresiva y el momento

flector (AISC LRFD 1994).

Alternativamente a las fórmulas de interacción (2.48) y (2.49), el AISC LRFD (1994) en su Apéndice H de sus Especificaciones plantea usar dos fórmulas no lineales, que son sólo válidas para elementos de pórticos arriostrados; estas fórmulas fueron indicadas en los Apartados 2.1.3.1 y 2.1.3.2, y son las siguientes: expresión (2.9), empleada para controlar el estado límite de fluencia; y expresión (2.15), empleada para controlar la estabilidad estructural del elemento. Estas expresiones son menos conservadoras que las fórmulas de interacción bi-lineal, especialmente en los casos en donde los “beam-columns” son cargados espacialmente (ASCE 1997).

2.3.7 Resistencia a esfuerzo cortante

Para completar el proceso de diseño de un “beam-column”, se debe comprobar que los esfuerzos cortantes producidos por una distribución de momentos, no superen la resistencia cortante de la sección. Ocasionalmente, esta comprobación estructural es más importante en elementos de tramos cortos y en aquellos que soportan cargas concentradas.

El AISC LRFD (1994) en el Apéndice F de sus Especificaciones, propone unas expresiones para determinar la resistencia a cortante, las cuales son válidas para almas con o sin rigidizadores transversales:

para ywvw f/kt/h 187≤ :

wywvnv Af.V φφ 60= (2.50)


para ywvwywv f/kt/hf/k 234187 ≤< :

( )wywvwywvnv t/h/f/kAf.V

= 18760 φφ (2.51)

para ywvw f/kt/h 234> :

( ) ( )226400 wvwvnv t/h/kAV φφ = (2.52)

donde Vn es la resistencia nominal a cortante; φv es el factor de resistencia a cortante, y es igual a 0.90; h es, para perfiles laminados, la distancia entre alas menos los radios del acuerdo entre ala y alma, y es, para secciones soldadas, la distancia entre alas; tw es el espesor del alma; Aw es el área del alma en pulg2, que debe ser calculada multiplicando todo el canto del perfil por el espesor del alma; fyw es la tensión de fluencia del alma en klb/pulg2; y kv es el coeficiente de pandeo del alma, que se determina de esta manera:

( )255 h/a/kv +=

pero usar 5=vk cuando 3>h/a ó ( )[ ]2260 wt/h/h/a > (2.53)

siendo a la distancia entre rigidizadores transversales. Para perfiles con almas no rigidizadas se debe tomar kv=5.

La expresión (2.50) indica que para las almas con una relación h/tw menor

a ywv f/k187 , la resistencia nominal a cortante, Vn, sería igual al esfuerzo

cortante de fluencia del alma, cuyo valor es yww fA.60 . Cuando la relación h/tw

es mayor a ywv f/k187 , la resistencia Vn sería calculada en base al esfuerzo

cortante que produce el pandeo del alma. Basler (1961) sugirió tomar el límite

ywv f/k234 para definir las zonas en donde se producen el pandeo inelástico

y el pandeo elástico del alma. Así, cuando h/tw es mayor a ywv f/k234 , la

resistencia Vn [expresión (2.52)] quedaría determinada al multiplicar la tensión crítica de pandeo elástico por el área del alma. La expresión de la tensión crítica de pandeo elástico, fcr, fue propuesta por Cooper et al. (1978), y tiene la siguiente forma:


22

2

112

−

=

w

v

cr

t/h

kEf

ν

π (2.54)

Para una relación h/tw comprendida entre ywv f/k187 y ywv f/k234

(zona en donde se produce el pandeo inelástico del alma), el AISC LRFD emplea como aproximación una línea recta de transición para determinar la resistencia Vn [expresión (2.51)].

2.4 FILOSOFÍA DE DISEÑO DEL EC3

El Eurocódigo 3 (EC3 2005) emplea dos grupos de fórmulas de interacción para determinar la resistencia de los elementos flexo-comprimidos: el primer grupo evalúa el estado límite último de resistencia de la sección; y el segundo grupo, el estado límite último de resistencia al pandeo.

Las fórmulas de interacción del EC3 (2005) empleadas para evaluar la resistencia de la sección, siguen un formato muy similar al de la expresión (2.9). En cambio, el formato de las fórmulas de interacción que evalúan la resistencia al pandeo, es parecido al de la expresión (2.14), pero con la peculiaridad de que los efectos de segundo orden son tomados en cuenta por medio de unos factores, denominados factores de interacción. Para calcular estos factores, el EC3 (2005) propone dos métodos, los cuales aparecen en los Anexos A y B de dicha normativa. Estos anexos son catalogados como “informativos”, lo cual deja al criterio del calculista usar uno u otro método, o no usar ninguno de los dos si se dispone de algún otro procedimiento de cálculo.

El esquema a seguir en este apartado es el siguiente: primero se presentarán los procedimientos propuestos por el EC3 para analizar la estabilidad estructural de los pórticos; luego, se tratará el tema de las imperfecciones; posteriormente se presentarán, con mayores detalles, los fundamentos teóricos para evaluar el estado límite último de los elementos sometidos a compresión pura, a flexión pura y a flexo-compresión; y finalmente, se presentarán las diferencias existentes entre las filosofías de diseño del Método 1 y Método 2.

2.4.1 Análisis de la estabilidad estructural de pórticos

Acorde con el EC3 (2005) en su Apartado 5.2.2, la verificación de la estabilidad de los pórticos o de los elementos individuales debe ser llevada a cabo, considerando las imperfecciones y los efectos de segundo orden.

2.4 Filosofía de diseño del EC3 31

Para la verificación de la estabilidad estructural, el calculista debe optar por uno de los tres procedimientos descrito en el Apartado 5.2.2(3) del EC3.

El primer procedimiento consiste en realizar un análisis global de todo el pórtico, considerando los efectos de segundo orden (P-∆ y P-δ), las imperfecciones del pórtico traslacional y las imperfecciones de cada elemento. Con este procedimiento sólo se requerirá verificar la resistencia de la sección más solicitada.

El segundo procedimiento permite realizar un análisis global de todo el pórtico, considerando parcialmente los efectos de segundo orden y las imperfecciones. Si los efectos de segundo orden P-δ y las imperfecciones de los elementos no son tomados en cuenta en el análisis global, la estabilidad de cada elemento deberá ser verificada. Para llevar a cabo esta verificación, el EC3 (2005) permite emplear una longitud de pandeo igual a la longitud del elemento, siempre que los esfuerzos de los extremos del elemento, los cuales son obtenidos de un análisis global de la estructura, incluyan los efectos globales de segundo orden (P-∆) y la imperfección global del pórtico. Adicionalmente a esta verificación de la estabilidad, es necesario verificar también la resistencia de la sección en los extremos del elemento.

Por último, el tercer procedimiento propone emplear el método de la columna equivalente para evaluar la estabilidad del pórtico y de los elementos estructurales. Este método implica que el valor de la longitud de pandeo, correspondiente a cada elemento, debe ser calculado acorde con el modo de pandeo global del pórtico, en donde se consideran el comportamiento rígido de los elementos y de las uniones, la presencia de las rótulas plásticas y la distribución de las fuerzas de compresión producidas por las cargas de diseño. Con este procedimiento, los esfuerzos internos que deben ser usados tanto en la verificación de la resistencia de la sección como en la verificación de la estabilidad de los elementos, son calculados acorde con la teoría de primer orden sin considerar las imperfecciones.

2.4.2 Imperfecciones para el análisis global de los pórticos

En el análisis de la estabilidad, se deben tener en cuenta los efectos de las imperfecciones, los cuales incluyen las tensiones residuales y las imperfecciones geométricas tales como la falta de verticalidad de los pórticos y la falta de rectitud en los elementos. Los valores de estas imperfecciones son presentados en el Apartado 5.3.2 del EC3 (2005).

La imperfección a nivel de pórtico (Figura 2.9), denominada “equivalent sway imperfection” en el EC3 (2005), puede ser determinada por medio de la siguiente expresión:


200

mhααφ = (2.55)

con

hh

2=α pero 01

3

2.h ≤≤α (2.56)

+=

m.m

1150α (2.57)

donde h es la altura en metros de toda la estructura; y m es el número de pilares por piso, incluyendo solamente los pilares que llevan una carga NEd superior al 50% de la media.

φ

h

φ

h

Figura 2.9 Imperfección de pórtico (EC3 2005).

Por otro lado, la imperfección a nivel de elemento tiene una forma sinusoidal, y su amplitud e0 depende de las curvas de pandeo, del tipo de análisis estructural a realizar y de la longitud del elemento (Tabla 2.2).

Análisis elástico Análisis plástico Curva de pandeo acorde con Tabla 2.3

e0/L e0/L

a0 1/350 1/300

a 1/300 1/250

b 1/250 1/200

c 1/200 1/150

d 1/150 1/100

Tabla 2.2 Imperfecciones de los elementos (EC3 2005).

Cuando se analizan los pandeos “in-plane” y “out-of-plane”, todas estas imperfecciones deben ser consideradas en la dirección más desfavorable.


Otra forma de tomar en cuenta los efectos de las imperfecciones, es emplear un sistema de fuerzas horizontales equivalentes acorde a lo indicado en el Apartado 5.3.2(7) del EC3 (2005).

2.4.3 Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para

la resistencia a compresión pura

Las fórmulas de diseño para calcular la resistencia de los elementos sometidos a compresión pura fueron deducidas considerando un análisis de segundo orden elástico en un elemento con una imperfección geométrica inicial νo(x). Esta imperfección es asumida como una función sinusoidal con un máximo valor de eo,d en la mitad de la luz:

L

xsine)x( d,oo

πν = (2.58)

Esta forma sinusoidal es la más común para representar las imperfecciones.

Figura 2.10 Elemento bi-articulado con imperfección inicial.

Cuando se aplica una fuerza axial NEd en el elemento, aparecerá una flecha adicional ν(x) (Figura 2.10), la cual está asociada con la inestabilidad estructural. Para el elemento bi-articulado mostrado en la Figura 2.10, la flecha adicional puede ser expresada como:

L

xsinA)x(

πν = (2.59)

siendo A un coeficiente que representa el máximo valor de la flecha adicional que se produce en la mitad de la luz.

Al plantear la ecuación de equilibrio y al aplicar la ecuación constitutiva de la flexión, se obtiene la siguiente ecuación diferencial:

( ) 0=++′′ ννν oEd

EI

N (2.60)

Al reemplazar las expresiones (2.58) y (2.59) en (2.60), se lograr determinar una expresión para el coeficiente A:


d,o

Edcr

Ed eNN

NA

−= (2.61)

siendo Ncr la carga crítica del pandeo de flexión (pandeo de Euler). Por consiguiente, la flecha total en la mitad de la luz puede ser expresada como:

d,ocrEd

max eN/N−

=1

1ν (2.62)

Tal como se puede apreciar en esta expresión, la flecha máxima νmax depende del valor de la carga axial de compresión. El término que multiplica a la imperfección inicial, eo,d, es el factor de amplificación de segundo orden.

De esta forma, la fórmula de interacción empleada para verificar estructuralmente la sección más solicitada (sección ubicada en la mitad de la luz), se convertiría en:

11

1≤

−+

yy,el

d,oEd

crEdy

Ed

fW

eN

N/NfA

N (2.63)

Usando la definición de la esbeltez adimensional:

cr

y

N

fA=λ (2.64)

y tomando el máximo valor de NEd que puede soportar el elemento,

ymaxEd fAN χ= (2.65)

se puede escribir la fórmula (2.63) como:

( ) ( ) ηχχλχχ ==−−y,el

d,oW

Ae211 (2.66)

donde χ es el factor de reducción a pandeo de flexión; y η representa la imperfección inicial generalizada, la cual incluye las tensiones residuales, la falta de rectitud inicial en el elemento y la excentricidad de las cargas aplicadas. Puesto que algunas de estas imperfecciones están en función de la longitud del elemento, el Comité Técnico 8 que evalúa las formulaciones del EC3 (ECCS Technical Committee 8 - Stability 2006) sugirió que η debe ser expresada como:

( )20.−= λαη (2.67)


siendo α el factor de imperfección que depende de la forma de la sección recta, del proceso de fabricación (laminado o soldado), del plano de pandeo y del tipo de acero.

Despejando el factor χ de la expresión (2.66), se obtiene que:

22

1

λΦΦχ

−+= pero 1≤χ (2.68)

con

( )

+−+= 220150 λλαΦ .. (2.69)

Una vez que se conoce el valor del factor de reducción χ, se puede determinar el máximo valor del esfuerzo axial NEd usando la expresión (2.65).

2.4.4 Resistencia a compresión pura

Acorde con el EC3 (2005) en sus Apartados 6.2.4 y 6.3.1, la resistencia de un elemento sometido a compresión axial pura es determinada con las siguientes expresiones, las cuales son válidas para secciones de Clases 1, 2 y 3:

para la resistencia de la sección:

0M

y

Rd,c

fAN

γ= (2.70)

para la resistencia al pandeo:

1M

y

Rd,b

fAN

γ

χ= (2.71)

donde γM0 y γM1 son los factores de seguridad parcial tanto para la resistencia de la sección como para la resistencia al pandeo, respectivamente, y son mayores o iguales a la unidad. Para edificaciones, el EC3 (2005) recomienda usar γM0=1 y γM1=1.

El factor χ de la expresión (2.71) tiene la función de reducir la resistencia plástica A fy debido a la aparición del pandeo de flexión, y es siempre menor o

igual a la unidad. Este factor depende de la esbeltez adimensional λ y del factor de imperfección α, que a su vez depende de las curvas de pandeo.


Curva de pandeo a0 a b c dFactor de imperfección α 0.13 0.21 0.34 0.49 0.76

Tabla 2.3 Factores de imperfección para las curvas de pandeo.

La Figura 2.11 presenta las cinco curvas de pandeo del EC3 (2005): a0, a, b, c y d. La curva a0 sólo se emplea en algunas secciones conformadas con acero de alta resistencia; la curva d se emplea en perfiles H laminados cuando el espesor del ala es mayor a 100 mm, o en perfiles I soldados cuando el espesor del ala es mayor a 40 mm.

Para una esbeltez adimensional λ menor o igual a 0.2, no habrá reducción de la resistencia plástica de la sección puesto que las curvas de pandeo del EC3 dan un factor χ igual a 1; en este caso, el pandeo no se produciría en el elemento, y por lo tanto la resistencia de este elemento quedaría determinada al calcular la resistencia de la sección [expresión (2.70)].

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00

Curva a

Curva a

Curva b

Curva c

Curva d

Fac

tor de

reducc

ión χ

Esbeltez adimensional λ Figura 2.11 Curvas de pandeo (EC3 2005).

Para calcular la resistencia al pandeo de un elemento comprimido, primero se determina, usando la Tabla 2.4, la curva de pandeo que le corresponde a la sección recta; luego, se determina el factor de imperfección α con la Tabla 2.3; posteriormente, se calculan la esbeltez adimensional [expresión (2.64)] y el factor χ [expresión (2.68) o Figura 2.11]; y por último, se calcula la resistencia Nb,Rd con la expresión (2.71). La resistencia del elemento sería igual a la menor


de las resistencias Nc,Rd y Nb,Rd. Este procedimiento de diseño es también válido cuando el pandeo torsional o pandeo flexo-torsional predomina en el elemento; en este caso, la carga Ncr de la expresión (2.64) será reemplazada por la carga crítica del pandeo predominante; y el factor de imperfección α será determinado de las Tabla 2.3 y Tabla 2.4, usando la curva de pandeo del eje z-z.


Tabla 2.4 Determinación de la curva de pandeo para una sección recta.



la resistencia a flexión pura

Usando la teoría elástica de segundo orden en un elemento horquillado en sus extremos, sometido a flexión pura con momento uniforme My,Ed y con una imperfección lateral inicial eo,d de la forma dada por la expresión (2.58), se logra definir, por el criterio de la primera fluencia de la tensión longitudinal, el estado límite de pandeo para una sección I doblemente simétrica (Kaim 2004):

12

1

12

2

2

2

2

2≤

+

−

+cr

Ed,y

yz,el

z,cr

cr

Ed,y

yz,el

z,crd,o

cr

Ed,yyy,el

Ed,y

M

M

fW

hN

M

M

fW

Ne

M

MfW

M

(2.72)

donde h es la distancia entre los centroides de las alas del perfil I; y Mcr es el momento crítico elástico de pandeo lateral para una viga sometida a momento uniforme.

El segundo sumando de la expresión (2.72) hace referencia a los momentos de segundo orden desarrollados en el plano lateral; mientras que el tercer sumando hace referencia a los momentos de segundo orden producidos por el alabeo de la sección. Cabe indicar que el factor de amplificación depende del cuadrado de la relación My,Ed/Mcr, lo cual hace que este factor sea diferente al factor de amplificación del pandeo de flexión.

Siguiendo el mismo procedimiento indicado en el apartado 2.4.3 para la compresión pura, se puede plantear la siguiente expresión para determinar el máximo valor que puede alcanzar el momento aplicado My,Ed antes de que se produzca el pandeo lateral:

yy,elLTmaxEd,y fWM χ= (2.73)

Con esta expresión, se puede escribir la siguiente formulación sencilla para evaluar el estado límite de pandeo:

1≤yy,elLT

Ed,y

fW

M

χ (2.74)

Usando la definición de la esbeltez adimensional:

cr

yy,el

LTM

fW=λ (2.75)


e igualando las expresiones (2.72) y (2.74), se obtiene que la imperfección lateral inicial eo,d es igual a:

( )2

4

242

12

111

1

zyLT

LT

zLTLT

LT

zd,o h

W

AA

We

λχλ

λλχ

χ +−

−=

(2.76)

Como se puede apreciar, esta expresión es más compleja que la que se presenta para el pandeo de flexión. Esta forma compleja hace que la calibración de los coeficientes de pandeo lateral, que se utilizan para determinar el factor χLT, sea más difícil de realizar.

2.4.5.1 Coeficientes del pandeo lateral

Amplios estudios paramétricos, basados en un análisis no lineal que considera las imperfecciones geométricas y la no linealidad del material (GMNIA), fueron realizados por Greiner et al. (1998) y Salzgeber (2000a) para obtener las curvas de pandeo lateral de diferentes secciones I. Posteriormente, Greiner y Kaim (2001; 2003) calibraron estas curvas con los resultados de los ensayos obtenidos en el pasado. A pesar de que en este proceso de calibración se presentaron muchas dificultades, especialmente en la identificación de todos los parámetros significativos de los ensayos (determinación de la esbeltez, condiciones de enlace, imperfecciones, etc), Greiner y Kaim (2001; 2003) propusieron las siguientes expresiones, válidas para secciones-I laminadas y secciones-I soldadas equivalentes:

22 750

1

LTLTLT

LT. λΦΦ

χ−+

= pero

≤

≤

2

11

LT

LT

LT

λχ

χ (2.77)

con

+

−+= 275040150 LTLTLTLT ... λλαΦ (2.78)

Con estas expresiones, se reduce la resistencia plástica a flexión cuando los

valores de esbeltez adimensional LTλ son mayores a 0.4. Cabe indicar que en los resultados numéricos conseguidos por Greiner et al. (1998) y Salzgeber (2000a) para una distribución de momento uniforme, la reducción de la

resistencia plástica se origina en valores de LTλ mayores a 0.25. Sin embargo Greiner y Kaim dan dos razones principales para justificar el uso de la expresión (2.77). Primero, las simulaciones numéricas han proporcionado una capacidad del momento plástico correspondiente a la tensión de fluencia


constante en ambas alas del perfil, sin aprovechar el desarrollo de la capacidad plástica del alma, por lo cual la resistencia teórica al pandeo sería mayor. Segundo, el caso de una viga con apoyos horquillados en los extremos y con distribución de momento uniforme, es un caso académico que no se da en la práctica puesto que en la realidad, los apoyos tienen un cierto grado de restricción, que no es tomado en cuenta en el diseño práctico (cuando se evalúa

el Mcr o la LTλ ); por consiguiente, la resistencia teórica al pandeo también sería

mayor.

Para determinar el factor de imperfección αLT (Tabla 2.5), Greiner y Kaim proponen el uso de tres curvas de pandeo (Tabla 2.6), las cuales son seleccionadas dependiendo de la relación canto-base de la sección I.

Curva de pandeo a b c d

Factor de imperfección α LT 0.21 0.34 0.49 0.76 Tabla 2.5 Factores de imperfección para las curvas de pandeo LT.

Sección Límites Curva de pandeo

h/b≤2 b Secciones-I laminadas

h/b>2 c

h/b≤2 c Secciones-I soldadas

h/b>2 d

Tabla 2.6 Selección de la curva de pandeo [Ec. (2.77)].

Existe otra formulación en el EC3 (2005) que es más conservadora que la de Greiner y Kaim, pero tiene la ventaja de ser aplicada a todo tipo de secciones. Esta formulación emplea cuatro curvas de pandeo [Tabla 2.7], las cuales

reducen la resistencia plástica a flexión cuando los valores de LTλ son mayores

a 0.2:

11

22≤

−+=

LTLTLT

LTλΦΦ

χ (2.79)

con

+

−+= 220150 LTLTLTLT .. λλαΦ (2.80)

Los valores de αLT son recogidos de la Tabla 2.5.


Sección Límites Curva de pandeo

h/b≤2 a Secciones-I laminadas

h/b>2 b

h/b≤2 c Secciones-I soldadas

h/b>2 d

Otras secciones - d

Tabla 2.7 Selección de la curva de pandeo [Ec. (2.79)].

2.4.5.2 Efecto de un diagrama de momentos variable

Las curvas de pandeo presentadas en el apartado anterior fueron calibradas en base a un diagrama de momento uniforme actuando a lo largo de la viga. Para otros tipos de diagramas, los valores de χLT son muchos más altos debido a que se reducen las zonas de plastificación del elemento, lo cual origina una mayor capacidad de carga.

Con los resultados del GMNIA (Lindner 2000; Salzgeber 2000b), obtenidos en varios elementos sometidos a distribuciones de momentos variables, el Comité Técnico 8 de la ECCS (ECCS Technical Committee 8 - Stability 2006) propone una fórmula para determinar un nuevo factor de reducción, el cual es denominado factor de reducción modificado χLT,mod:

1≤=fLT

mod,LT

χχ (2.81)

con

( ) ( ) 1802115012

≤

−−−−= .k.f LTc λ (2.82)

siendo kc un factor de corrección que toma en cuenta la variación de los momentos flectores a lo largo de la viga. Los valores de kc son recogidos en la Tabla 2.8. Cabe mencionar que los factores χLT y f, usados para determinar el factor χLT,mod, deben ser calculados con la esbeltez LTλ correspondiente a la forma del diagrama de momentos de la viga.


MψM

001.

ψ3303311.. −

940.

900.

910.

860.

770.

820.

Tabla 2.8 Valores de kc (EC3 2005).

2.4.6 Resistencia a flexión pura

Acorde con el EC3 (2005) en sus Apartados 6.2.5 y 6.3.2, la resistencia de un elemento sometido a flexión pura es determinada con las siguientes expresiones:

para la resistencia de la sección:

0M

yy

Rd,c

fWM

γ= (2.83)

para la resistencia al pandeo:

1M

yyLTRd,b

fWM

γ

χ= (2.84)

siendo Wy el módulo resistente de la sección, y será plástico, si la sección es de Clase 1 ó 2; o elástico si la sección es de Clase 3.


Para determinar el factor de reducción χLT, el EC3 (2005) propone dos procedimientos: el primero emplea la expresión (2.79), y se aplica a casos generales; y el segundo utiliza la expresión (2.77), y sólo se aplica a secciones-I.

Las curvas de pandeo LT del primer procedimiento (para casos generales), cuya formulación es equivalente a la de las curvas de pandeo de una columna, pueden ser usadas en vigas con canto muy grande que están fuera del rango de las formas de las secciones laminadas, y además pueden ser usadas en los casos donde los efectos de las restricciones en los enlaces son tomados en cuenta en la determinación del Mcr. En cambio, las curvas de pandeo LT del segundo procedimiento (para las secciones-I laminadas y secciones-I soldadas equivalentes) no son aplicables a secciones-I con canto muy grande porque el comportamiento estructural será dominado por el desplazamiento lateral del ala comprimida.

Para considerar los efectos de los diagramas de momentos no uniformes, el EC3 (2005) permite el uso del factor de reducción modificado χLT,mod en el segundo procedimiento; en el primer procedimiento, correspondiente a los casos generales, no se indica el uso de este factor a pesar que el Comité Técnico 8 de la ECCS (ECCS Technical Committee 8 - Stability 2006) lo recomienda.

Para la determinación de la resistencia al pandeo de un elemento sometido a flexión pura, primero se selecciona, usando la Tabla 2.6 ó la Tabla 2.7 (dependiendo del procedimiento elegido), la curva de pandeo que le corresponde a la sección recta; luego, se determina el factor de imperfección αLT con la Tabla 2.5; posteriormente, se calculan la esbeltez adimensional [expresión(2.75)] y el factor χLT [expresión (2.79) para el primer procedimiento, o expresión (2.77) para el segundo procedimiento]; a continuación, se determina el factor χLT,mod [expresión (2.81)] si se está trabajando con el segundo procedimiento; y por último, se calcula la resistencia Mb,Rd [expresión (2.84)]. La resistencia del elemento será igual a la menor de las resistencias Mc,Rd y Mb,Rd.

2.4.7 Resistencia de la sección de un “beam-column”

Acorde con el Apartado 6.2.9.1(2) del EC3 (2005), la resistencia de la sección de un elemento sometido a una combinación de esfuerzo axial de compresión y momento flector uni-axial debe ser verificada con el siguiente criterio, válido para las secciones de Clases 1 y 2:

Rd,NEd MM ≤ (2.85)

donde MN,Rd es la resistencia del momento plástico de diseño reducida por la presencia del esfuerzo axial NEd.


Asimismo, el EC3 (2005) en su Apartado 6.2.9.1(4) proporciona unos criterios para determinar si el efecto del esfuerzo axial NEd es despreciable, de tal forma que si estos criterios se cumplen, la resistencia MN,Rd será considerada igual a la resistencia plástica Mpl,Rd :

para el eje y-y: Rd,plEd N.N 250≤ y 0

50

M

yww

Ed

fth.N

γ≤ (2.86)

para el eje z-z: 0M

yww

Ed

fthN

γ≤ (2.87)

Para determinar el momento MN,Rd se emplean las siguientes expresiones, las cuales son válidas para las secciones I o H doblemente simétricas:

( )( ) Rd,y,plRd,y,plRd,y,N M

a.

nMM ≤

−

−=

501

1 (2.88)

para an ≤ : Rd,z,plRd,z,N MM = (2.89)

para an > :

−−

−=2

11

a

anMM Rd,z,plRd,z,N (2.90)

con

Rd,pl

Ed

N

Nn =

( )A

btAa

f2−= pero 50.a ≤

(2.91)

Cuando el elemento está sometido a una combinación de esfuerzo axial de compresión y momentos flectores bi-axial, el EC3 (2005) en su Apartado 6.2.9.1(6) sugiere verificar la resistencia de la sección con la siguiente fórmula de interacción:

1≤

+

βα

Rd,z,N

Ed,z

Rd,y,N

Ed,y

M

M

M

M (2.92)

con

2=α y 15 ≥= nβ (2.93)


Finalmente, para verificar la resistencia de la sección en los elementos con secciones de Clase 3, el EC3 (2005) propone, en su Apartado 6.2.9.2, usar la siguiente fórmula:

0M

y

Ed,x

f

γσ ≤ (2.94)

siendo σx,Ed la tensión longitudinal máxima.

2.4.7.1 Reducción de la resistencia de la sección de un “beam-

column” por la presencia de esfuerzo cortante

El EC3 (2005) en el Apartado 6.2.10, recomienda reducir la tensión de fluencia en el área de cortante para verificar la resistencia de la sección de un “beam-column” cuando el esfuerzo cortante VEd supera al 50% de la resistencia plástica a cortante Vpl,Rd. Esta reducción es calculada con la siguiente expresión:

( ) yfρ−1 (2.95)

con

2

12

−=

Rd,pl

Ed

V

Vρ (2.96)

La resistencia plástica a cortante se determina usando la expresión indicada en el Apartado 6.2.6(2) del EC3 (2005):

( )0

3

M

yv

Rd,pl

/fAV

γ= (2.97)

siendo Av el área de cortante que es calculada con la siguiente expresión, válida para secciones laminadas I y H con carga paralela al alma:

( ) fwfv trttbAA 22 ++−= (2.98)


la resistencia a pandeo de los “beam-columns”: Método 1 del

EC3

Las formulaciones del Método 1 del EC3 (2005), conocidas como “Level 2 formulae”, fueron desarrolladas por un grupo de trabajo del ECCS-TC8 conformado por franceses y belgas. Estas formulaciones tienen la peculiaridad


de poseer coeficientes específicos que toman en cuenta cada fenómeno de inestabilidad que se produce en el elemento estructural.

Las fórmulas de interacción del Método 1 fueron deducidas, inicialmente, considerando la teoría elástica de segundo orden, y analizando el comportamiento “in-plane” de colapso. Posteriormente, estas fórmulas fueron implementadas con el objetivo de evaluar el comportamiento espacial de colapso y el comportamiento elástico-plástico del elemento, considerando además la ocurrencia del pandeo lateral.

2.4.8.1 Formato general de las fórmulas de interacción del

Método 1

Con la teoría elástica de segundo orden y con la consideración de que en el elemento estructural actúa una combinación de esfuerzo axial de compresión y flexión uni-axial, se puede deducir la siguiente expresión, la cual ha sido empleada por muchas normas de estructuras metálicas:

11

1

1

1

111

≤−

+−

+

M

yy,el

Edm

crEd

M

yy,el

d,oEd

crEd

M

y

Ed

fW

MC

N/NfW

eN

N/NfA

N

γγγ

(2.99)

siendo eo,d la imperfección inicial, despejada de la expresión (2.66).

Simplificando la expresión (2.99), se obtiene:

( ) 11

111

1

1

1 2 ≤−

+−

−

−+

Rd,el

Edm

crEdRd

Ed

crEdRd

Ed

M

MC

N/NN

N

N/NN

Nλχ

χ

( )Rd,el

Edm

Rd

Ed

Rd

Ed

Rd

Ed

Rd

Ed

M

MC

N

N

N

N

N

N

N

N−

−≤−

−+

− 222 111

11 λλχ

χλ

Rd,el

Edm

Rd

Ed

Rd

Ed

Rd

Ed

Rd

Ed

Rd

Ed

Rd

Ed

Rd

Ed

M

MC

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

−≤+−+

+−−+−

22

222

2

1 λχλ

λχ

λ

Rd,el

Edm

Rd

Ed

Rd

Ed

Rd

Ed

M

MC

N

N

N

N

N

N−≤−++− 122

2

2

χλχ

λ

(2.100)


Rd,el

Edm

Rd

Ed

Rd

Ed

M

MC

N

N

N

N−≤

−

+− χλχ

211 (2.101)

Ordenando los términos de esta expresión, se obtiene el formato de las fórmulas de interacción propuesto por el Método 1 del Eurocódigo 3 (Bureau et al. 1999):

11

≤−

+Rd,el

Ed

crEd

m

Rd

Ed

M

M

N/N

C

N

Nµ

χ (2.102)

con

crEd

crEd

N/N

N/N

χµ

−

−=1

1 (2.103)

Para la combinación de esfuerzo axial de compresión y flexión bi-axial, la expresión (2.102) se convertiría en:

111

≤

−+

−+

Rd,z,el

Ed,z

z,crEd

mz

Rd,y,el

Ed,y

y,crEd

myy

Rd,ply

Ed

M

M

N/N

C

M

M

N/N

C

N

Nµ

χ (2.104)

111

≤

−+

−+

Rd,z,el

Ed,z

z,crEd

mz

Rd,y,el

Ed,y

y,crEd

myz

Rd,plz

Ed

M

M

N/N

C

M

M

N/N

C

N

Nµ

χ (2.105)

con

y,crEdy

y,crEdy

N/N

N/N

χµ

−

−=1

1 (2.106)

z,crEdz

z,crEdz

N/N

N/N

χµ

−

−=1

1 (2.107)

Desde un punto de vista físico, las expresiones (2.104) y (2.105) evalúan la resistencia al pandeo con respecto a los eje y-y y z-z, respectivamente. Los factores Cmy y Cmz son los factores de momento equivalente del Método 1, los cuales son determinados al considerar un diagrama sinusoidal de momentos; estos factores serán tratados más adelante en el Apartado 2.4.8.4.


2.4.8.2 Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns”

sin desarrollar pandeo lateral: Método 1

El formato general del Método 1, usado en el pandeo elástico de flexión, ha sido extendido al comportamiento elástico-plástico. Esto ha implicado que muchos conceptos empleados en la teoría elástica como el factor de amplificación, momento equivalente o longitud de pandeo sean aún aplicables en el rango inelástico. El formato que sigue el Método 1 es muy parecido al formato de la expresión (2.102), en donde el término Mel,Rd es reemplazado por CMpl,Rd:

11

≤−

+Rd,pl

Ed

crEd

m

Rd,pl

Ed

MC

M

N/N

C

N

Nµ

χ (2.108)

El factor C es conocido como el factor de plasticidad y toma en cuenta la interacción elástico-plástico “in-plane” entre el momento mono-axial aplicado y la fuerza axial de compresión. Este factor tenderá a la unidad cuando la fuerza axial es muy pequeña o cuando la resistencia del elemento está gobernada por el comportamiento a flexión pura. Cuando la longitud del elemento tiende a cero, el factor de amplificación y los factores χ y µ son iguales a uno; en consecuencia, la expresión (2.108) tenderá a:

1≤+Rd,pl

Ed

Rd,pl

Ed

MC

M

N

N (2.109)

Por otra parte, el factor C deberá tender a la inversa del factor de forma cuando la esbeltez del elemento es muy importante. Por consiguiente, el formato general del factor C deberá ser una función de los siguientes parámetros:

pl

elmEd

el

pl

W

W,...,C,N,

W

WfC ≥

= λ (2.110)

Cuando el elemento es sometido a una combinación de esfuerzo axial de compresión y flexión bi-axial, el formato general dado en el Apartado 2.4.8.1 [expresiones (2.104) y (2.105)] sólo sería válido para secciones de Clase 3. Para secciones de Clases 1 ó 2, se emplean las siguientes expresiones que toman en cuenta los efectos inelásticos en el elemento (Boissonnade et al. 2004):


11

1

≤

−+

+

−+

Rd,z,plyz

Ed,z

z,crEd

mz*

Rd,y,plyy

Ed,y

y,crEd

myy

Rd,ply

Ed

MC

M

N/N

C

MC

M

N/N

C

N

N

α

µχ

(2.111)

11

1

≤

−+

+

−+

Rd,z,plzz

Ed,z

z,crEd

mz

Rd,y,plzy

Ed,y

y,crEd

my*z

Rd,plz

Ed

MC

M

N/N

C

MC

M

N/N

C

N

Nβµ

χ (2.112)

Los subíndices indicados en los factores C sirven para indicar los planos en donde se producen la flexión y el pandeo. De esta forma, los factores Cyy y Czz tratan los efectos de plasticidad en la interacción N-M cuando el plano de flexión coincide con el plano de pandeo; mientras que los factores Cyz y Czy tratan los efectos de plasticidad cuando el plano de flexión es perpendicular al plano de pandeo. El Método 1 propone las siguientes expresiones para definir los factores de plasticidad:

( ) ( )i,pl

i,elplmaxmaxmi

i

iiiW

WnC

w

.wC ≥

+−−+= 2261

211 λλ (2.113)

( )j,pl

j,el

i

j

plj

maxmj

jijW

W

w

w.n

W

CwC 6014211

5

22

≥

−−+=

λ (2.114)

con

Rd,pl

Edpl

N

Nn = (2.115)

donde los subíndices i y j hacen referencia a los planos principales del elemento.

maxλ es la mayor esbeltez adimensional escogida entre yλ y zλ . La relación

NEd/Npl,Rd ha sido introducida en estas expresiones porque la interacción elástica-plástica de N-M es diferente en elementos esbeltos sometidos a valores elevados de carga axial de compresión que en elementos cortos sometidos a valores bajos de carga axial de compresión. Cuando se tienen diferentes solicitaciones de cargas transversales, los elementos no pueden desarrollar la misma resistencia elástica-plástica, por esta razón los factores de plasticidad dependen también de la distribución de momentos flectores, la cual es


considerada por medio de los factores de momento equivalente Cm (Apartado 2.4.8.4). La condición impuesta a los factores de Cii y Cij de las expresiones (2.113) y (2.114) fue realizada con el objetivo de limitar el momento resistente CMpl,Rd, de tal forma que éste no llegue a ser menor al momento elástico de diseño Mel,Rd. w es el factor de forma, que es definido como la relación entre el momento plástico y el momento correspondiente a la aparición de la primera fluencia en la fibra extrema, y cuyo valor no debe superar a 1.5:

51.W

Ww

el

pl≤= (2.116)

El factor (w-1) de las expresiones (2.113) y (2.114) representa el máximo potencial disponible de resistencia a flexión medido desde la elasticidad pura hasta la plasticidad total. Los otros coeficientes que aparecen en estas expresiones han sido obtenidos por calibración.

Finalmente, para tomar en cuenta la no linealidad existente en la interacción entre los momentos My,Ed y Mz,Ed, se han introducido los coeficientes α* y β* en las expresiones (2.111) y (2.112):

y

z*

w

w.60=α (2.117)

z

y*

w

w.60=β (2.118)


con pandeo lateral: Método 1

La fórmula de pandeo de un elemento flexo-comprimido con extremos horquillados, y sometido a compresión axial y momento uniforme My,Ed puede ser deducida de las ecuaciones diferenciales obtenidas por la teoría de segundo orden. Asumiendo una imperfección lateral de la forma sinusoidal dada por la expresión (2.58), el estado límite de pandeo puede ser definido, para secciones I de doble simetría, por el criterio de la primera fluencia de tensión axial:


12

11

1

1

20

2

20

2

2

2

≤

++

+

−

−

+

−

+

N,,cr

Ed,y

Rd,z

z,cr

N,,cr

Ed,y

Rd,z

z,cr

Rd,z

z,cr

Ed

Edd,o

cr

Ed,y

Rd,y

y,cr

Ed

Ed,y

Rd,pl

Ed

M

M

M

hN

M

M

M

N

MN

N

Ne

M

MM

N

N

M

N

N

(2.119)

donde My,Rd y Mz,Rd son las resistencias elásticas de diseño a momentos flectores; h es la distancia entre los centroides de las alas de la sección I; y Mcr,0,N es el momento crítico elástico incluyendo el efecto adicional de la compresión axial y cuya expresión es la siguiente:

−

−=

T,cr

Ed

z,cr

Ed,crN,,cr

N

N

N

NMM 1100 (2.120)

siendo Mcr,0 el momento crítico elástico correspondiente a un diagrama de momento uniforme; y Ncr,T es la carga crítica a pandeo torsional, cuyo valor es:

+

+=

2

2

L

EIGI

II

AN

w

tzy

T,cr

π (2.121)

Para el desarrollo de las fórmulas de diseño del Método 1, se simplificó la ecuación teórica, haciendo uso de coeficientes que tomen en cuenta los diferentes efectos del comportamiento al pandeo lateral. Estos coeficientes fueron ajustados en base a los resultados numéricos y a los resultados experimentales disponibles (ECCS Technical Committee 8 - Stability 2006).

El formato propuesto por el Método 1 para “beam-columns” con secciones de Clases 1 y 2, es el siguiente:

11

1

≤

−+

+

−+

Rd,z,plmod,yz

Ed,z

z,crEd

mz*

Rd,y,plmod,yy

Ed,y

y,crEd

*my

LT

mLTy

Rd,ply

Ed

MC

M

N/N

C

MC

M

N/N

CC

N

N

α

χµ

χ (2.122)


11

1

≤

−+

+

−+

Rd,z,plmod,zz

Ed,z

z,crEd

mz

Rd,y,plmod,zy

Ed,y

y,crEd

*my

LT

mLT*z

Rd,plz

Ed

MC

M

N/N

C

MC

M

N/N

CC

N

N

χβµ

χ (2.123)

Este formato general supone, implícitamente, que los conceptos de longitud de pandeo, factor de amplificación y factor de momento equivalente pueden ser aún aplicables cuando el pandeo lateral es posible.

Una expresión modificada del factor de momento equivalente ( *myC ) ha

sido introducida en las expresiones (2.122) y (2.123), de tal forma que los valores

de *myC tenderán a la unidad cuando el efecto de la carga axial de compresión

es despreciable frente al efecto del momento flector aplicado en el eje mayor; y tenderán a los valores de Cmy, cuando el efecto del momento flector aplicado en el eje mayor es despreciable frente al efecto de la carga axial de compresión:

( )yLT

yLTmymy

*my

a

aCCC

ε

ε

+−+=

11 (2.124)

con

y,elEd

Ed,yy

W

A

N

M=ε (2.125)

y

01 ≥−=y

tLT

I

Ia (2.126)

El coeficiente aLT permite una suave transición entre el comportamiento de una sección abierta y el de una sección hueca.

El factor CmLT de las expresiones (2.122) y (2.123) toma en cuenta la influencia de la fuerza axial de compresión en el fenómeno del pandeo lateral, y es definido como:

1

11

2

≥

−

−

=

T,crEdz,crEd

LT*my

mLT

N/NN/N

aCC

(2.127)


Debido a que el fenómeno del pandeo lateral influye también en la obtención de la fluencia a lo largo del elemento, los factores de plasticidad deben ser modificados a:

( ) ( )y,pl

y,el

LTplmaxmax*my

y

ymod,yyW

WbnC

w

.wC ≥

−

+−−+= 2261

211 λλ (2.128)

( )z,pl

z,el

y

zLTpl

z

maxmzzmod,yz

W

W

w

w.cn

w

CwC 6014211

5

22

≥

−

−−+=

λ (2.129)

( )y,pl

y,el

z

y

LTply

max*my

ymod,zyW

W

w

w.dn

W

CwC 6014211

5

22

≥

−

−−+=

λ (2.130)

( ) ( )z,pl

z,elplLTmaxmaxmz

z

zmod,zzW

WneC

w

.wC ≥

−+−−+= 2261

211 λλ (2.131)

con

Rd,z,pl

Ed,z

Rd,y,plLT

Ed,y

LTLTM

M

M

Ma.b

χλ 2050= (2.132)

Rd,y,plLT*my

Ed,y

zLTLT

MC

Mac

χλ

λ4

20

510

+= (2.133)

Rd,z,plmz

Ed,z

Rd,y,plLT*my

Ed,y

zLTLT

MC

M

MC

M

.ad

χλ

λ4

0

102

+= (2.134)

Rd,y,plLT*my

Ed,y

zLTLT

MC

M

.a.e

χλ

λ4

0

1071

+= (2.135)

donde 0λ es la esbeltez reducida de pandeo lateral correspondiente al caso

particular de una viga sometida a momento flector uniforme.

Para las secciones de Clase 3, se emplea el mismo formato de las expresiones (2.122) y (2.123), sólo que en lugar de utilizar el momento plástico resistente, se utiliza el momento elástico resistente:


11

1

≤

−+

+

−+

Rd,z,el

Ed,z

z,crEd

mz

Rd,y,el

Ed,y

y,crEd

*my

LT

mLTy

Rd,ply

Ed

M

M

N/N

C

M

M

N/N

CC

N

N

χµ

χ (2.136)

11

1

≤

−+

+

−+

Rd,z,el

Ed,z

z,crEd

mz

Rd,y,el

Ed,y

y,crEd

*my

LT

mLTz

Rd,plz

Ed

M

M

N/N

C

M

M

N/N

CC

N

N

χµ

χ (2.137)

Los factores de plasticidad y los coeficientes α* y β* son iguales a 1 en estas expresiones puesto que las secciones de Clase 3 se comportan elásticamente.

2.4.8.4 Factor de momento equivalente del Método 1

En las expresiones del Método 1 del Eurocódigo 3, tratadas en los Apartados 2.4.8.1, 2.4.8.2 y 2.4.8.3, aparecen los factores Cmy y Cmz, que son denominados factores de momento equivalente. Estos factores multiplican al momento máximo de primer orden, obtenido del diagrama real de momentos flectores, para obtener el máximo momento de segundo orden.

Estos factores de momento equivalente del Método 1 y los factores Cm de los Apartados 2.2 y 2.3.5 tienen la misma función, pero no son iguales en magnitud porque los factores de momento equivalente son deducidos utilizando un diagrama sinusoidal de momentos, mientras que los factores Cm de los Apartados 2.2 y 2.3.5 son deducidos a partir de un diagrama de momento uniforme.

La Figura 2.12 ilustra el procedimiento empleado por el Método 1 para obtener el factor de momento equivalente. El máximo momento amplificado resultante de la aplicación de la carga de compresión axial en el “beam-column” real, es igual al máximo momento amplificado de una columna similar, sometida a una distribución sinusoidal de momentos.


EdMψ

EdN

maxM

EdMEdNEdN

maxM

Figura 2.12 Diagrama de momento real de segundo orden y diagrama de momento equivalente sinusoidal.

El uso de la distribución sinusoidal de momentos en la determinación del factor de momento equivalente del Método 1 es justificado por Boissonnade et al. (2002) puesto que el factor de amplificación, que aparece en las formulas de interacción de muchas normas (incluyendo el Eurocódigo 3), corresponde al caso de un elemento sometido a una distribución sinusoidal de momentos. Este factor de amplificación es:

crEd N/N−1

1 (2.138)

En cambio, cuando se tiene una columna sometida a una distribución de momento constante, el valor exacto del factor de amplificación es calculado con la siguiente expresión (Maquoi y Rondal 1982):

crEd N/Ncos2

1π

(2.139)

Las expresiones (2.138) y (2.139) dan resultados muy similares cuando la fuerza axial NEd es muy pequeña. Sin embargo, la diferencia entre los resultados de ambas expresiones es significativa cuando NEd se acerca al valor crítico Ncr (Figura 2.13). Esta diferencia puede ser minimizada al adoptar valores apropiados de Cm, deducidos de un diagrama sinusoidal de momentos (Boissonnade et al. 2002).


0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

NEd/Ncr

Factor de amplificación

crEd N/N−1

1

crEd N/Ncos 2

1π

Figura 2.13 Factores de amplificación.

Las expresiones teóricas (DIN 18800 1988) para determinar el factor de momento sinusoidal equivalente, válidas para una distribución lineal de momentos actuando en el elemento, son:

para limEd NN ≥ :

+

−

−=

crEd

crEd

cr

Edm

NNsin

NNcos

N

NC

π

ψπψ 221

1 (2.140)

para limEd NN < :

2

1

−=

πψarccos

Cm (2.141)

con

2

=

πψarccos

NN crlim (2.142)


donde Nlim corresponde al valor de carga axial de compresión con el cual, el colapso se produciría por falta de resistencia en la sección extrema del elemento, y no por fenómeno de inestabilidad.

Cuando NEd es menor a Nlim [expresión (2.141)], el momento máximo de segundo orden se producirá en el extremo del elemento. Esto se debe a la fuerza axial NEd que no es lo suficientemente grande para que dicho momento máximo aparezca localizado en un punto intermedio de la longitud del elemento.

A los efectos prácticos, el Método 1 propone usar la siguiente expresión aproximada cuando se tiene una distribución lineal de momentos (Villette et al. 2000; Villette 2004):

( )cr

Edm

N

N....C 330360210790 −++= ψψ (2.143)

Como se puede apreciar, esta expresión no sólo depende de la distribución de momentos flectores sino también de la relación NEd/Ncr. Cabe resaltar que esta relación de esfuerzo axial no aparece en las expresiones dadas por el AISC LRFD (Apartado 2.3.5) ni en las dadas por el Método 2 del Eurocódigo 3.

La Figura 2.14 presenta una comparación entre los resultados dados por las expresiones (2.143) y (2.140) en donde se aprecia que los valores de Cm del Método 1 se ajustan bastante bien a los valores teóricos. Los valores representados por líneas punteadas no deben ser considerados porque éstos están relacionados con los casos en donde el máximo momento flector aparece en la sección extrema del elemento (NEd<Nlim).


0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

NEd/Ncr

Cm

ψ = 1

ψ = 0.5

ψ = 0

ψ = -0.5

ψ = -1

Figura 2.14 Factor Cm para distribuciones lineales de momentos. Comparación entre la expresión teórica [Ec. (2.140)] y la

expresión del Método 1 [Ec. (2.143)].

Para “beam-columns” sometidos a cargas transversales o a una combinación de cargas transversales y momentos aplicados en los extremos del elemento, el Método 1 recomienda usar la siguiente expresión, propuesta por Maquoi y Rondal (1982):

cr

Edm

N

N

ML

EIC

−+= 11

02

02 δπ

(2.144)

donde M0 es el máximo momento flector de primer orden; y δ0 es la máxima flecha que se produce en el elemento por la aplicación de los momentos de primer orden.


la resistencia a pandeo de los “beam-columns”: Método 2 del

EC3

Las formulaciones del Método 2 del EC3, conocidas como “Level 1 formulae”, fueron desarrolladas por un grupo de trabajo del ECCS-TC8 conformado por austriacos y alemanes. Estas formulaciones se caracterizan por poseer un


número reducido de coeficientes compactos, lo cual simplifica el procedimiento de cálculo para predecir la capacidad al pandeo de los elementos.

La fórmula de interacción y sus factores de interacción fueron inicialmente deducidos del comportamiento elástico de un “beam-column” en pandeo de flexión, y posteriormente han sido modificados para considerar el pandeo lateral y permitir el comportamiento elástico-plástico del elemento.

2.4.9.1 Formato general de las fórmulas de interacción del

Método 2

Las fórmulas de interacción del Método 2 fueron deducidas en base a una expresión muy parecida a la expresión (2.99), sólo que en lugar de usar el módulo resistente elástico se emplea el módulo resistente plástico:

11

1

1

1

111

≤−

+−

+

M

yy,pl

Edm

crEd

M

yy,pl

d,oEd

crEd

M

y

Ed

fW

MC

N/NfW

eN

N/NfA

N

γγγ

(2.145)

Reemplazando la expresión de la imperfección inicial, eo,d, despejada de (2.66) y siguiendo el procedimiento descrito en (2.100), se puede llegar a deducir la siguiente formula de interacción (Greiner 2001):

1≤+Rd,pl

Edm

Rd,pl

Ed

M

MCk

N

N

χ (2.146)

con

21

1

λχRd,pl

Ed

N

Nk

−

= (2.147)

siendo Cm el factor de momento uniforme equivalente. El factor de interacción del Método 2 es determinado al multiplicar los factores Cm y k.

Cabe indicar que la expresión (2.147) no es muy apropiada para considerar el comportamiento plástico del elemento porque ésta ha sido deducida usando la teoría elástica de segundo orden y la interacción lineal de resistencia de la sección. Por lo cual, la expresión del factor k ha tenido que ser determinada en base a simulaciones numéricas del comportamiento elástico-plástico del elemento, pero sin perder la dependencia de los parámetros físicos indicados en (2.147).



sin desarrollar pandeo lateral: Método 2

En principio, el desarrollo de las fórmulas del Método 2 sigue la deducción básica explicada en el Apartado 2.4.9.1. Sin embargo, con el propósito de hacer menos laboriosa la aplicación de estas fórmulas, varios coeficientes que toman en cuenta los efectos de inestabilidad han sido reducidos a tan pocos factores como fue posible, sin perder de vista en las fórmulas los aspectos de continuidad entre la capacidad de pandeo y la capacidad de la sección recta.

El Método 2 plantea sus propias fórmulas de interacción (Greiner y Lindner 2006) para elementos que no son susceptibles a deformaciones torsionales. Estas fórmulas evalúan la resistencia al pandeo respecto a los ejes y-y y z-z, y son válidas para las secciones I y H de Clase 1 y 2:

160 ≤++Rd,z,pl

Ed,zmzz

Rd,y,pl

Ed,ymy

y

Rd,ply

Ed

M

MCk.

M

MCk

N

N

χ (2.148)

160 ≤++Rd,z,pl

Ed,zmzz

Rd,y,pl

Ed,ymy

y

Rd,plz

Ed

M

MCk

M

MCk.

N

N

χ (2.149)

con

( ) yyyyn.n.k 801201 +≤−+= λ (2.150)

( ) zzzzn.n.k 4116021 +≤−+= λ (2.151)

siendo

Rd,ply

Edy

N

Nn

χ= y

Rd,plz

Edz N

Nn

χ= (2.152)

Los factores Cmy y Cmz son los factores de momento uniforme equivalente que serán tratados más adelante en el Apartado 2.4.9.4.

Los resultados de estas fórmulas de interacción han sido comparados y evaluados estadísticamente con los resultados numéricos del GMNIA y con los resultados experimentales disponibles (Ofner 1997; Lindner 2001).

El factor 0.6 que aparece en las expresiones (2.148) y (2.149), mejora la aproximación del Método 2, especialmente para el caso de la interacción bi-axial de momentos (cuando NEd tiende a cero) en donde se explota mejor la capacidad plástica de la sección (Greiner y Lindner 2006).


Por otra parte, los factores ky y kz, han sido determinados en base a los resultados del GMNIA, obtenidos para los diferentes diagramas de momentos y

diferentes secciones I y RHS, y considerando diferentes valores de λ y n. Los cálculos fueron basados en estudios paramétricos hasta alcanzar el estado límite último de carga (Ofner 1997; Lindner 2001).

Los factores ky, que fueron obtenidos usando GMNIA y la expresión (2.150), son presentados en la Figura 2.15 para una distribución uniforme de momentos. Para la obtención de estos factores, se consideró que en el elemento sólo actúan los esfuerzos NEd y My,Ed.

0.5

1.0

1.5

2.0

0 1 2 3

ny =0.8

ny =0.1

ky

λy

EC3 My

(a) (b)

Figura 2.15 Factor ky para momento uniforme: (a) GMNIA (Greiner y Lindner 2006), (b) EC3 [Ec. (2.150)].

La forma de las curvas de ky del GMNIA (Figura 2.15a) ilustra el comportamiento físico de los elementos capaces de desarrollar su resistencia

plástica. Cuando la esbeltez yλ es igual a cero, el valor de ky que corresponde a

cada parámetro ny es menor a 1. Sin embargo, a medida que se incrementan los

valores de yλ , los efectos de segundo orden causan una amplificación en la

magnitud de los momentos flectores, la cual queda reflejada con el incremento

de los valores de ky. Este incremento se detendrá cuando yλ alcanza un valor

aproximado a la unidad. Para valores de yλ mayores a la unidad, los valores de

ky decrecen gradualmente hasta permanecer a un valor casi constante. Este comportamiento se debe a que el pandeo del elemento tiende a comportarse elásticamente; y como consecuencia de esto, el factor ky debe compensar la diferencia entre los valores de los momentos Mel,y y Mpl,y. Cabe recordar aquí, que el momento Mpl,y es usado en las fórmulas de interacción para cualquier valor de esbeltez.


Acorde con las simulaciones numéricas realizadas por Ofner (1997), se

encontró que la variación del factor ky frente a la esbeltez adimensional yλ

también se ve influenciada por la forma de la sección (I, RHS, etc) pero en un menor grado, dando lugar a que ésta no sea considerada como un parámetro de diseño (Greiner y Lindner 2006).

Con los resultados del GMNIA se planteó la expresión (2.150) para calcular el factor ky. Esta expresión considera, para cada valor de ny, una plataforma de

valores constantes de ky cuando se tienen valores de yλ mayores a 1 (Figura

2.15b).

Para el pandeo “in-plane” producido por los esfuerzos NEd + My,Ed, Greiner y Lindner compararon los resultados de la fórmula de interacción del Método 2 [expresión (2.148)] con los resultados del GMNIA y los dados por la aproximación del antiguo Eurocódigo 3 (EC3 1992). Esta comparación fue realizada para las diferentes distribuciones lineales de momentos (Figura 2.16). Los resultados de la fórmula de interacción del Método 2 son presentados gráficamente en la Figura 2.16 por medio de la curva “EC3”; los resultados de la aproximación del EC3 (1992) por medio de la curva discontinua “EC 3 (ENV)”. De la comparación, se puede concluir que para las distribuciones uniforme (Figura 2.16a) y triangular de momentos (Figura 2.16b), la aproximación del Método 2 brinda mejores resultados con respecto a los dados por la aproximación del EC3 (1992). En cambio, para la distribución bi-triangular de momentos (Figura 2.16c), la aproximación del Método 2 es más conservadora que la aproximación del EC3 (1992); esto se debe a que la expresión (2.22) de Austin, la cual es empleada por el Método 2 para determinar factor Cmy, es conservadora para los diagramas bi-triangulares de momentos (Greiner y Lindner 2006).


(a)

(b) (c)

Figura 2.16 Comparación de la resistencia al pandeo “in-plane” de un IPE 200 sometido a N+My (Greiner y Lindner 2006): (a) momento

uniforme, (b) momento triangular, (c) momento bi-triangular.

Cabe indicar que el factor 0.6ky de la expresión (2.149) conduce a resultados conservadores cuando el pandeo “out-of-plane” ocurre por los esfuerzos NEd + My,Ed. Sin embargo, como se comentó antes, este factor ha sido escogido para reflejar mejor el comportamiento bi-axial de momentos (My,Ed + Mz,Ed).

Por otra parte, la expresión del factor kz también ha sido determinada en base a los resultados del GMNIA obtenidos para secciones IPE y HEB. Con


estos resultados del GMNIA, Greiner y Lindner concluyeron que no existen diferencias significativas entre los valores de kz de las diferentes secciones I y H, por lo cual plantearon una única expresión para estos tipos de secciones. Un modelo del comportamiento del factor kz obtenido con GMNIA es mostrado en la Figura 2.17a, la cual muestra que las curvas kz tienen la misma forma típica de las curvas ky de la Figura 2.15a, pero con magnitudes totalmente diferentes. Por otro lado, la Figura 2.17b recoge los factores kz del Método 2 [expresión (2.151)], en la cual se muestran, para cada valor de nz, una aproximación lineal cuando

los valores de zλ son menores a 1 y una plataforma de valores constantes

cuando los valores de zλ son mayores a 1. Al contrastar la Figura 2.17b con la Figura 2.17a se puede afirmar que los resultados de la expresión (2.151) del Método 2 para calcular el factor kz se ajustan bastante bien a los del GMNIA.

(a) (b)

Figura 2.17 Factor kz para momento uniforme: (a) GMNIA – HEB 300 (Greiner y Lindner 2006), (b) EC3 [Ec. (2.151)].

Por lo que respecta a las formulas de interacción del Método 2 para las secciones de Clase 3, se puede decir que éstas tienen el mismo formato de las fórmulas de interacción presentadas para las secciones de Clases 1 y 2 pero cambiando el Mpl por el Mel y usando distintas expresiones de ky y kz a las que se han visto hasta el momento (Greiner y Lindner 2006):

1≤++Rd,z,el

Ed,zmzz

Rd,y,el

Ed,ymy

y

Rd,ply

Ed

M

MCk

M

MCk

N

N

χ (2.153)


180 ≤++Rd,z,el

Ed,zmzz

Rd,y,el

Ed,ymy

y

Rd,plz

Ed

M

MCk

M

MCk.

N

N

χ (2.154)

con

yyyyn.n.k 601601 +≤+= λ (2.155)

zzzzn.n.k 601601 +≤+= λ (2.156)

El comportamiento de las secciones de Clase 3, las cuales son definidas formalmente como secciones elásticas en el Eurocódigo 3, ha sido intensamente discutido en el Comité Técnico 8 de la ECCS (ECCS Technical Committee 8 - Stability 2006), en donde se aclaró que el comportamiento puramente elástico no existe por naturaleza puesto que siempre ocurrirá una cierta cantidad de plastificación aun para cubrir los efectos de las tensiones residuales. En base a las simulaciones numéricas realizadas por Lechner (2005) en elementos con secciones de Clase 3, se logró confirmar la existencia de la resistencia plástica parcial en estas secciones a pesar de estar relacionada con la resistencia Mel,Rd. Este efecto de plastificación parcial ha sido considerado, moderadamente, en las formulas de interacción (2.153) y (2.154) para explotar mejor la capacidad resistente del elemento, y por consiguiente conseguir una norma que conduzca a un diseño más económico.

Los factores ky y kz de las expresiones (2.155) y (2.156) han sido deducidos usando la teoría elástica de segundo orden. El factor que aparece en el segundo término de la expresión (2.154), correspondiente al pandeo “out-of-plane” bajo My,Ed, ha sido definido como 0.8 ky. El coeficiente 0.8 responde al hecho de tomar en cuenta el efecto de la plastificación parcial.


con pandeo lateral: Método 2

El Método 2 plantea sus propias fórmulas de interacción (Greiner y Lindner 2006) para elementos que son susceptibles a deformaciones torsionales. Estas fórmulas evalúan la resistencia al pandeo respecto a los ejes y-y y z-z, y son válidas para las secciones I y H de Clase 1 y 2:

160 ≤++Rd,z,pl

Ed,zmzz

Rd,y,plLT

Ed,ymy

y

Rd,ply

Ed

M

MCk.

M

MCk

N

N

χχ (2.157)

1≤++Rd,z,pl

Ed,zmzz

Rd,y,plLT

Ed,y

LT

Rd,plz

Ed

M

MCk

M

Mk

N

N

χχ (2.158)


con

250

101

250

101

.C

n.

.C

n.k

mLT

z

mLT

zzLT

−−≥

−−=

λ (2.159)

pero cuando 40.z <λ , entonces se debe usar:

zLT .k λ+= 60 (2.160)

Los factores ky y kz son determinados con las expresiones (2.150) y (2.151) respectivamente. El factor CmLT es el factor de momento uniforme equivalente correspondiente al pandeo lateral y será tratado más adelante, conjuntamente con los factores Cmy y Cmz, en el Apartado 2.4.9.4.

Estas fórmulas de interacción se diferencian de las fórmulas (2.148) y (2.149) por la aparición del factor de reducción χLT que afecta al momento plástico resistente del eje fuerte, y por la aparición del factor kLT que sustituye al factor 0.6kyCmy de la fórmula (2.149).

Como ya es sabido, el factor de reducción χLT toma en cuenta el efecto del

pandeo lateral. Si la esbeltez LTλ decrece, el factor χLT se aproximaría a 1, y por

consiguiente, para el modo de pandeo respecto al eje y-y con NEd+My,Ed, la fórmula de interacción (2.157) sería idéntica a la fórmula (2.148). Esto significa que, a pesar de que el elemento es susceptible a deformaciones torsionales, éste fallaría por pandeo de flexión “in-plane”.

En la fórmula de interacción correspondiente al modo de pandeo respecto al eje z-z [expresión (2.158)] se incluye el factor kLT, cuya expresión fue también determinada en base a los resultados del GMNIA.

En la Figura 2.18 se recogen los resultados del GMNIA obtenidos para un perfil IPE 500 sometido a diferentes distribuciones lineales de momento. Tal como se aprecia en esta figura, la no uniformidad del diagrama de momentos produce una reducción significativa en el factor kLT para valores altos de nz.


(a)

(b) (c)

Figura 2.18 Factores kLT obtenidos del GMNIA (Greiner y Lindner 2006): (a) momento uniforme, (b) momento triangular, (c) momento bi-

triangular.

La fórmula del Método 2 [expresión (2.159)], usada para calcular el factor kLT, ha sido definida en un formato similar al empleado en las expresiones de ky y kz. Esta fórmula, cuya aproximación es una representación simplificada de las curvas obtenidas en GMNIA (Figura 2.18), asume una variación lineal para

1<zλ y una plataforma de valores constantes de kLT para 1>zλ (Figura 2.19). El factor CmLT ha sido definido de manera distinta al factor Cmy con el fin de considerar la parte dominante del diagrama de momentos en los elementos con restricciones laterales intermedias. Dado que la forma del diagrama de momentos es también considerada cuando se determina el factor χLT, su efecto


real aparece amortiguado en el factor kLT; es por esta razón que la formulación de kLT [expresión (2.159)] es afectada por el factor CmLT. Por otra parte, puesto

que para 0=zλ , la expresión (2.159) no representa la moderada caída de las curvas reales del GMNIA, se ha añadido una formulación adicional [expresión (2.160)] que permitir explotar la resistencia total de la sección para valores de

zλ menores a 0.4.

(a)

(b) (c)

Figura 2.19 Factores kLT del Método 2 [Ec. (2.159)]: (a) momento uniforme, (b) momento triangular, (c) momento bi-triangular.

Las fórmula de interacción (2.157) y (2.158) fueron inicialmente ajustadas considerando que los esfuerzos NEd+My,Ed sólo actúan en el elemento. Posteriormente, para evaluar el comportamiento espacial, se incorporaron los términos correspondientes al momento Mz,Ed, los cuales son los mismos que se


emplean en las fórmulas de interacción (2.148) y (2.149); de esta forma, cuando My,Ed es igual a cero, el comportamiento del pandeo de flexión bajo los esfuerzos NEd+Mz,Ed queda reflejado en las fórmulas de interacción (2.157) y (2.158).

La Figura 2.20 recoge los resultados de las fórmulas (2.157) y (2.158) del Método 2 (“EC3” en la figura) para un comportamiento bi-axial con distribuciones triangulares de momentos. Estos resultados son comparados con los resultados del GMNIA y los resultados de la aproximación dada por la versión ENV del Eurocódigo 3 (EC3 1992). De esta comparación se puede decir que las fórmulas de interacción del Método 2 proporcionan mejores resultados con respecto a las formulas dadas por el EC3 (1992).

Figura 2.20 Diagrama de interacción para un IPE 200 con L=2.14 m,

1=zλ y sometido a N+My+Mz (Greiner y Lindner 2006).

Para los elementos con secciones de Clase 3, el Método 2 propone las siguientes fórmulas de interacción para evaluar la resistencia al pandeo respecto a los ejes y-y y z-z (Greiner y Lindner 2006):

1≤++Rd,z,el

Ed,zmzz

Rd,y,elLT

Ed,ymy

y

Rd,ply

Ed

M

MCk

M

MCk

N

N

χχ (2.161)

1≤++Rd,z,el

Ed,zmzz

Rd,y,elLT

Ed,y

LT

Rd,plz

Ed

M

MCk

M

Mk

N

N

χχ (2.162)


pero con

250

0501

250

0501

.C

n.

.C

n.k

mLT

z

mLT

zzLT

−−≥

−−=

λ (2.163)

Los factores ky y kz son determinados con las expresiones (2.155) y (2.156) respectivamente. El factor kLT tiene el mismo formato del factor kLT de las Clases 1 y 2, pero con un menor efecto de reducción para tomar en cuenta, moderadamente, el comportamiento plástico de las secciones de Clase 3.

La validez de las fórmulas de interacción (2.161) y (2.162) fue efectuada por Kaim (2004).

2.4.9.4 Factor de momento uniforme equivalente del Método 2

Los factores Cm (Cmy, Cmz y CmLT), mencionados en los Apartados 2.4.9.2 y 2.4.9.3, son determinados usando las expresiones indicadas en la (Tabla 2.9), las cuales fueron planteadas en base a los resultados obtenidos con el programa GMNIA.

El Método 2 emplea el procedimiento ilustrado en la Figura 2.1 para definir el factor Cm; es decir, este método asume un momento uniforme ficticio CmM, de tal forma que su efecto sobre el comportamiento al pandeo sea el mismo al de la distribución real de momentos.

Estos factores Cm pueden ser usados si ambos extremos del elemento son considerados como apoyos simples. Cuando el modo de pandeo traslacional ocurre, debido al simple hecho de que en uno de los extremo del elemento no está restringido, las expresiones indicadas en la (Tabla 2.9) no serían válidas. Para esta situación, se debe usar un valor de Cmy o Cmz (dependiendo del plano en donde se produce el pandeo traslacional) igual a 0.9.


hMψhM sM

MψM

hMψhM

sM

shh M/M=α

hss M/M=α

11 ≤≤− ψ

10 ≤≤ sα 11 ≤≤− ψ

10 ≤≤ψ

01 <≤− ψ01 <≤− sα

mLTmzmy CC,C

404060 ... ≥+ ψ

408020 ... s ≥+ α 408020 ... s ≥+ α

408010 ... s ≥− α 4080 .. s ≥− α

( ) 4080110 ... s ≥−− αψ ( ) 408020 ... s ≥−− αψ

10 ≤≤ hα 11 ≤≤− ψ

10 ≤≤ψ

01 <≤− ψ01 <≤− hα

h.. α050950 +

h.. α050950 +

( )ψα 21050950 ++ h..

h.. α100900 +

h.. α100900 +

( )ψα 21100900 ++ h..

Tabla 2.9 Factores Cm del Método 2 (EC3 2005).

En la Figura 2.21 se ilustra la manera de considerar los diagramas de momentos flectores para determinar los diferentes factores Cm del Método 2. Mientras que Cmy está siempre relacionado con el diagrama de momentos flectores producido en toda la longitud del elemento, CmLT y Cmz son determinados por el diagrama relevante de momentos producido entre restricciones intermedias.


mzC

mLTC

myCyM

yM

zM

Figura 2.21 Definición de los factores Cm (Greiner y Lindner 2006).

Para elementos con una distribución lineal de momentos, el factor Cm es calculado con la fórmula de Austin [expresión (2.22)], la cual ha sido ampliamente usada en muchas normas de diseño. La validez de esta fórmula fue evaluada por Kaim (2004) para un amplio rango de casos. De esta evaluación, se concluyó que el truncamiento de los valores de Cm a 0.4 para

50.−≤ψ conduce a resultados muy conservadores, puesto que valores de Cm

cercanos a 0.2 pueden ser conseguidos por medio de simulaciones numéricas. Este margen, sin embargo, no ha sido explotado en las reglas de diseño del Método 2 puesto que para los valores de ψ menores a -0.5 gobernará, frecuentemente, la resistencia de la sección de los extremos del elemento (Greiner y Lindner 2006).

Para elementos con distribuciones no lineales de momentos, originadas por la aplicación de momentos concentrados en los extremos y cargas transversales, no existe ninguna fórmula general de uso práctico; es por esta razón que el Método 2 propone una serie de expresiones sencillas (Tabla 2.9) para determinar el factor Cm.

Finalmente cabe resaltar que todos los factores Cm están relacionados con el máximo valor de momento flector. Esto implica que los máximos valores de los momentos My,Ed y Mz,Ed deben ser introducidos en las fórmulas de interacción aun si estos valores máximos no ocurren en la misma posición en el elemento.

2.4.10 Diferencias entre el Método 1 y el Método 2

Una de las diferencias principales entre los dos métodos del EC3 (2005) es la forma de definir los factores Cm. El Método 2 define sus factores Cm en base a un


diagrama de momentos uniformes equivalentes, y propone el uso de la fórmula de Austin para los casos con distribución lineal de momentos. En cambio, el Método 1 emplea un diagrama de momentos sinusoidales equivalentes para definir los factores Cm, y sus expresiones están en función de la relación NEd/Ncr.

Por otra parte, los factores CmLT de ambos métodos, los cuales son utilizados para tomar en cuenta la distribución no uniforme de los momentos en los casos con pandeo lateral, son también diferentes. Mientras que el CmLT del Método 1 es un factor que depende de Cmy, el CmLT del Método 2 es un factor independiente que cubre los efectos del diagrama de momentos más relevante de los tramos definidos entre restricciones laterales intermedias.

En los elementos susceptibles a deformaciones torsionales, el Método 1 considera una suave transición al pasar del pandeo de flexión al pandeo lateral; esta transición fue aproximada en función de la rigidez torsional del elemento. En cambio, el Método 2 distingue los dos casos estándares de elementos rígidos torsionalmente y de elementos flexibles torsionalmente, y los analiza separadamente.

La aproximación de cada método fue evaluada estadísticamente con un pequeño número de resultados experimentales (Massonnet 1976; Lindner y Gietzelt 1986) y con un gran número de resultados numéricos usando el programa ABAQUS (Ofner 1997). Por lo tanto, los dos métodos del EC3 (2005) son fiables para ser usados en el diseño. Sin embargo, existen diferencias al comparar los resultados entre los dos métodos. Debido a que el Método 1 se basa en la deducción teórica de la formulación que gobierna el comportamiento espacial del pandeo de flexión, este método aborda mejor los dos modos de pandeo de flexión, en particular el modo “out-of-plane”. En cambio, el Método 2 se basa en la deducción teórica de la fórmula de pandeo “in-plane”, por lo cual este método aborda mejor este modo de pandeo. Para el caso del pandeo lateral, ambos métodos han extendido sus formulaciones deducidas a partir del pandeo de flexión; y sus factores de interacción correspondientes fueron calibrados en base a los resultados de las simulaciones numéricas considerando un comportamiento elástico-plástico.

Con respecto a los formatos de las fórmulas de interacción, se puede decir que el Método 2 proporciona un formato sencillo, en donde se emplean factores compactos que toman en cuenta los efectos de la inestabilidad. En cambio, el Método 1 brinda un formato más complejo, que posee un gran número de factores específicos en su formulación, tanto es así que para efectuar los cálculos es necesario el uso del ordenador.

75

Capítulo 3 3 FACTOR DE

MOMENTO UNIFORME EQUIVALENTE DE

PANDEO LATERAL

Las normas de diseño de estructuras metálicas evalúan la estabilidad estructural considerando tres principales situaciones de esfuerzos: compresión pura, flexión pura y una combinación de flexión y compresión. Dependiendo de la longitud del elemento, de la rigidez a la flexión, de la rigidez a la torsión y de las propiedades de la sección, un elemento sometido a compresión puede tener los siguientes tipos de pandeo: pandeo de flexión, pandeo torsional o pandeo flexo-torsional. Por otro lado, los elementos sometidos a flexión con respecto a su eje fuerte pueden desarrollar el pandeo lateral, en donde el ala comprimida del perfil metálico se desplaza produciendo flexión respecto al eje débil y giro de la sección por torsión. Este fenómeno de inestabilidad ocurrirá cuando el máximo momento flector actuando en el elemento supera al momento crítico elástico. Por último, en los elementos sometidos a una combinación de flexión y compresión se puede producir cualquiera de los cuatros tipos de pandeo mencionados. Cabe indicar además que existen otros tipos de pandeos como el pandeo local y el pandeo distorsional, los cuales tienen importancia en secciones consideradas como no compactas.

Debido a su importancia en el diseño de vigas y de “beam-columns”, el pandeo lateral sigue siendo el centro de atención de muchos investigadores. Las normas de diseño de estructuras metálicas, como AISC LRFD (1986; 1994), BS 5950-1 (2000) y EC3 (1992; 2005), se basan en el concepto del estado límite y dan un procedimiento de diseño para evaluar la resistencia a pandeo lateral de los elementos. Para la aplicación de estos procedimientos es necesario determinar

76 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral

el valor del momento crítico elástico. Las imperfecciones iniciales, las tensiones residuales y el pandeo inelástico son tomados en cuenta a través de las curvas de pandeo (Trahair 1998).

El momento crítico elástico es directamente afectado por los siguientes factores (Lindner 1997): las propiedades del material como módulo de elasticidad y módulo de cortadura; las propiedades geométricas de la sección recta como la constante torsional, constante al alabeo, momento de inercia respecto al eje menor; las propiedades de la viga como su longitud y las restricciones a la flexión lateral y al alabeo en los apoyos; y el tipo de carga y su posición respecto al centro cortante de la sección. Para contemplar los diferentes diagramas de momentos flectores, se utiliza el factor de momento uniforme equivalente (FMUE). El momento crítico elástico correspondiente a cualquier diagrama de momentos es calculado multiplicando este factor por el momento crítico elástico de un elemento bi-articulado sometido a momento flector uniforme.

Un resumen de las investigaciones realizadas antes de la era computacional se encuentra en el renombrado artículo de Clark y Hill (1960) en donde se brinda información importante para el diseño de vigas, siendo la resistencia de estos elementos controlada por el pandeo lateral. Otros investigadores clásicos como Timoshenko y Gere (1961), Chajes (1974) y Trahair (1993), quienes han desarrollado muchas teorías relacionadas con la estabilidad estructural, plantearon soluciones en la determinación del FMUE para simples casos de cargado. Nethercot y Rockey (1972) y Nethercot (1983; 1988), quienes realizaron un estudio más exhaustivo del FMUE, propusieron expresiones en función de la rigidez torsional, de la rigidez al alabeo y de la longitud de pandeo lateral. Ellos analizaron cuatro tipos de condiciones de enlaces en los apoyos (bi-articulada, alabeo restringido, flexión lateral restringida y bi-empotrada) y tres niveles de cargado (en el ala superior, en el centro cortante de la sección y en el ala inferior) mostrando así, 41 casos diferentes. De los investigadores más recientes, se pueden citar a Greiner et al. (1999) y Salzgeber (2000a), quienes proporcionaron valores tabulados de FMUE para diferentes diagramas de momentos flectores pero sin tomar en cuenta las condiciones de enlaces en los apoyos. Posteriormente, Suryoatmono y Ho (2002) proporcionaron una serie de resultados al integrar por Diferencias Finitas, la ecuación diferencial que gobierna el pandeo lateral en vigas. Además, para cada tipo de cargado en el elemento, propusieron expresiones para calcular el FMUE. Sin embargo, ellos no abarcaron, en sus estudios, situaciones en donde la flexión lateral y el alabeo se encuentran impedidos en los apoyos de la viga. Por otra parte, Suryoatmono y Ho (2002) manifestaron que la formulación del AISC LRFD (1994) es muy conservadora para la mayoría de los diagramas de momentos pero puede ser no conservadora para algunos casos concretos. Finalmente, Lim et al. (2003) centraron sus estudios en el diagrama de momento

3.1 Valores propuestos por las normas de diseño 77

lineal considerando tres diferentes condiciones de enlaces: enlaces tipo horquilla, enlaces con alabeo restringido y enlaces con restricción a la flexión lateral y al alabeo. Para estos casos particulares, Lim et al. (2003) proponen nuevas formulaciones. Existen también resultados del FMUE en vigas de sección monosimétrica que fueron proporcionados por Helwig et al. (1997) y Baláz y Koleková (2002). Adicionalmente, vigas con arriostramientos continuos en el ala superior fueron estudiadas por Park y Kang (2003), Park et al. (2004) y Greiner et al. (1999).

A pesar de los últimos estudios realizados por los diferentes investigadores, existen pocos resultados numéricos del FMUE cuando los apoyos extremos de la viga se encuentran impedidos a la flexión lateral y al alabeo. Además existen discrepancias entre los valores propuestos por las diferentes normas de diseño.

El presente capítulo presenta un estudio del FMUE para vigas metálicas que poseen doble simetría en su sección recta, con diferentes condiciones de enlaces en sus apoyos extremos, y que están sometidas a cargas actuando en el centro cortante de su sección. Se asume, como es habitual, que los apoyos extremos de las vigas están arriostrados a la torsión. Para este estudio, primero se presentará un resumen de los procedimientos de cálculo empleados por la norma Americana (AISC LRFD 1994), la norma Británica (BS 5950-1 2000) y la norma Europea (EC3 1992; EC3 2005). Luego, se sintetizarán los estudios realizados por los diversos investigadores. Posteriormente, se realizará una comparación de los valores disponibles de FMUE con la intención de indicar las discrepancias existentes en las norma de diseño e identificar los casos que necesitan alguna consideración adicional. Después, con el propósito de aclarar estas discrepancias, se presentarán los nuevos resultados obtenidos usando el Método de Elementos Finitos y Diferencias Finitas. Y por último, se proponen dos formulaciones simplificadas para determinar el FMUE en función de los momentos flectores y de las condiciones de enlaces de la viga.

3.1 VALORES PROPUESTOS POR LAS NORMAS DE DISEÑO

En este apartado se sintetizan los procedimientos que proponen las normas de diseño para determinar los valores del factor de momento uniforme equivalente C1, usados en el cálculo del momento crítico a pandeo lateral.

3.1.1 Eurocódigo 3

En vigas con doble simetría en su sección y cargadas en su centro cortante, el EC3 (1992) presenta la siguiente fórmula para calcular del momento crítico elástico a pandeo lateral:


( )

( )

z

t

z

w

w

z

crEI

GIkL

I

I

k

k

kL

EICM

2

22

2

2

1π

π+

= (3.1)

Como se puede apreciar, el momento crítico elástico depende del módulo de elasticidad, módulo de cortadura, inercia respecto al eje débil, inercia al alabeo, inercia torsional, longitud del elemento, condiciones de enlace en el elemento y factor de momento uniforme equivalente C1. Las condiciones de enlace del elemento son introducidas por medio del coeficiente a la flexión lateral k y del coeficiente al alabeo kw. k y kw son iguales a la unidad cuando el enlace es libre de flectar lateralmente y libre de alabear respectivamente; y son iguales a 0.5 cuando al enlace se le restringe la flexión lateral y el alabeo respectivamente. Todos los parámetros que intervienen en el cálculo del momento crítico elástico, exceptuando el factor C1, son definidos ya que dependen de las propiedades geométricas del elemento, las condiciones de enlaces y las propiedades del acero.

En lo que respecta al factor C1, el EC3 (1992) brinda valores que dependen de la distribución de momentos flectores y del grado de restricción a la flexión lateral en los enlaces extremos del elemento.

La nueva versión del Eurocódigo 3 (EC3 2005) no proporciona valores de C1; sin embargo, el ECCS Technical Committee 8 – Stability (2006) propone algunos valores de C1 para que se empleen en los procedimientos de diseño de esta norma.

Cabe resaltar que tanto el EC3 (1992) como el ECCS Technical Committee 8 – Stability (2006) no brindan una fórmula general para calcular el factor C1, pero proporcionan valores para los casos más comunes de distribuciones de momentos flectores y condiciones de enlaces.

3.1.1.1 Distribución lineal de momentos

Acorde con el EC3 (1992), el valor de C1 para una viga simplemente apoyada con un k = 1 y con una distribución lineal de momentos como la que se muestra en la Figura 3.1, es determinado con la siguiente expresión:

21 520401881 ψψ ...C +−= siendo 7021 .C ≤ (3.2)

M ψM

Figura 3.1 Distribución lineal de momentos.


Adicionalmente, el EC3 (1992) proporciona valores tabulados en función del parámetro ψ para los casos con flexión lateral libre (k=1) e impedida (k=0.5) respectivamente en los apoyos extremos del elemento. Estos valores son recogidos en la siguiente tabla:

ψ 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25 -0.50 -0.75 -1.00

K=1 [Ec.(3.2) ] 1.000 1.122 1.310 1.562 1.880 2.262 2.700 2.700 2.700 K=1 1.000 1.141 1.323 1.563 1.879 2.281 2.704 2.927 2.752 K=0.50 1.000 1.305 1.514 1.788 2.150 2.609 3.093 3.093 3.149

Tabla 3.1 Factor C1 para distribuciones lineales de momentos. EC3 (1992).

3.1.1.2 Distribución no lineal de momentos

Para la distribución no lineal de momentos, el EC3 (1992) brinda valores de C1 para cinco casos específicos de cargado, los cuales son recogidos en la Tabla 3.2.

01.

50.

1Ck

01.

50.

01.

50.

01.

50.

01.

50.

1321.

9720.

2851.

7120.

3651.

0701.

5651.

9380.

0461.

0101.

Tabla 3.2 Factor C1 para distribuciones no lineales de momentos.

EC3 (1992).

Los valores de C1 de la Tabla 3.2 para la viga bi-empotrada sometida a carga uniformemente distribuida, no están referidos al momento máximo que se produce en los extremos de la viga sino al momento que se produce en el centro de luz. Por lo tanto, estos valores deben ser multiplicados por 2 cuando son comparados con los valores de C1 de otras normas.


El ECCS Technical Committee 8 – Stability (2006) presenta una nueva expresión, basada en los trabajos realizados por Greiner et al. (1999):

211

ckC = (3.3)

siendo kc un factor de corrección que depende de la distribución de momentos. En la Tabla 3.3 se recogen los valores de kc y sus correspondientes valores de C1.

Moment diagram kc C1

ψ330331

1

.. −−−−

0.86

0.82

0.77

0.94

0.91

0.90

2)330331( ψ.. −−−−

1.352

1.487

1.687

1.132

1.208

1.235

M ψM

M

M

M

M

M

M

M

M

Tabla 3.3 Coeficientes kc y C1 del ECCS Technical Committee 8 –

Stability (2006).

3.1.2 AISC LRFD

Las especificaciones del AISC LRFD (1986; 1994) definen al momento crítico elástico de pandeo lateral como:

wz

b

tz

b

bcr IIL

EGIEI

LCM

2

+=

ππ (3.4)


donde Lb es la longitud de pandeo lateral y Cb es el factor de momento uniforme equivalente.

Las expresiones (3.1) y (3.4) son iguales cuando el coeficiente a la flexión lateral, k, y el coeficiente al alabeo, kw, tienen el mismo valor en cada uno de los apoyos extremos del elemento. Así, Lb es igual a kL; y Cb, igual a C1.

Basándose en las investigaciones realizadas por Salvadory (1955), el AISC LRFD (1986) propone la siguiente expresión para determinar el factor Cb la cual es válida para una distribución lineal de momentos:

2300051751 ψψ ...C b +−= siendo 302.C b ≤ (3.5)

Al comparar las expresiones (3.2) y (3.5) se puede apreciar que éstas tienen la misma forma cuadrática pero con diferentes coeficientes.

La última edición del AISC LRFD (1994) incorpora una expresión muy parecida a la fórmula propuesta por Kirby y Nethercot (1979) la cual es aplicable a cualquier distribución de momentos. Con referencia a la Figura 3.2, el factor de momento uniforme equivalente es igual a:

CBAmax

maxb

MMMM.

M.C

34352

512

+++= (3.6)

donde Mmax es el máximo momento flector; MA, MB y MC son los valores de los momentos flectores a 1/4, 1/2 y 3/4 de la longitud del elemento. Todos los valores de momentos en la expresión (3.6) son valores absolutos, es decir, positivos sin considerar el signo de los momentos flectores.

Mmax

MAMB

MC

L/4L/4L/4L/4 Mmax

MAMB

MC

L/4

L/4L/4L/4

Figura 3.2 Valores de momentos usados en la Ecuación (3.6).

A diferencia de la expresión (3.1), el AISC LRFD no considera la posibilidad de tener k y kw diferentes en el cálculo del momento crítico. Además, la expresión (3.6) no toma en cuenta el coeficiente a la flexión lateral, k, ni el coeficiente al alabeo, kw, es decir, se obtendrían los mismos valores de Cb independientemente del valor de k o kw.


3.1.3 BS 5950

La norma británica de estructuras metálicas en edificaciones (BS 5950-1 2000) proporciona una expresión muy similar a la del AISC LRFD (1994). El factor de momento uniforme equivalente de la norma británica es definido como mLT, el cual es el inverso del factor C1.

max

CBALT

M

M.M.M..m

1505015020

+++= siendo 440.mLT ≥ (3.7)

CBAmax

max

M.M.M.M.

MC

15050150201

+++= siendo 27321 .C ≤ (3.8)

Los valores de Mmax, MA, MB y MC son valores absolutos indicados en la Figura 3.2. Al multiplicar por 12.5 tanto al numerador como al denominador de la expresión (3.8), se consigue una cierta similitud con la fórmula del AISC LRFD (1994).

CBAmax

max

M.M.M.M.

M.C

8751256875152

5121

+++= (3.9)

Las expresiones (3.6) y (3.9) difieren en los coeficientes que afectan a los momentos MA, MB y MC. La fórmula del BS 5950-1 (2000) da un mayor peso al momento MB que se produce en la mitad del elemento.

3.2 VALORES PROPUESTOS POR DIVERSOS INVESTIGADORES

En este apartado se presenta un resumen de los estudios realizados por diversos investigadores para obtener el factor de momento uniforme equivalente.

3.2.1 J.W. Clark y H.N. Hill

Clark y Hill (1960) presentan valores tabulados de C1 tanto para una distribución lineal de momentos como para una distribución no lineal. Estos valores son aplicables a vigas con k=1 y k=0.5, es decir a vigas con flexión lateral libre y con flexión lateral impedida, respectivamente, en sus apoyos. Además, como el factor C1 no sólo está en función del diagrama de momento flector sino que también varía con las propiedades de la sección, Clark y Hill (1960) presentan, en ciertos casos, un valor inferior y otro valor superior de C1. La expresión que utiliza estos investigadores para determinar el momento crítico elástico, es conceptualmente idéntica a la expresión (3.1).

3.2 Valores propuestos por diversos investigadores 83


En la Tabla 3.4 se recogen los valores propuestos por Clark y Hill (1960) para una distribución lineal de momentos.

ψk 1.00 0.50 0.00 -0.50 -1.00

1.00 1.00 1.31-1.32 1.77-1.86 2.33-2.62 2.56-2.74

0.50 1.00 1.30-1.32 1.78-1.85 2.29-2.55 2.23-2.58 Tabla 3.4 Valores de C1 para distribuciones lineales de momentos.

Clark y Hill (1960).


Clark y Hill (1960) proponen valores de C1 para los casos básicos de distribución no lineal de momentos, los cuales son recogidos en la Tabla 3.5. Esta tabla muestra que los valores correspondientes a vigas con flexión lateral impedida en los apoyos son significativamente menores a los valores correspondientes a vigas con flexión lateral libre. Por otra parte, al igual que en el EC3 (1992) y en el documento del ECCS Technical Committee 8 – Stability (2006), los valores de C1 de la viga bi-empotrada con carga uniformemente distribuida son referidos al momento flector que se produce en la mitad de la longitud de la viga.


Loading Moment diagram

= = = =

k

1.0

0.5

1.0

0.5

1.0

0.5

1.0

0.5

1.0

C1

1.13

0.97

1.30

0.86

1.35

1.07

1.70

1.04

1.04

Tabla 3.5 Valores de C1 para distribuciones no lineales de momentos. Clark y Hill (1960).

3.2.2 D.A. Nethercot y K.C. Rockey

Nethercot y Rockey (1972) emplearon la expresión (3.4) para determinar el momento crítico elástico. Los valores de Cb que ellos plantean, dependen de la distribución de momentos y, en algunos casos, de las propiedades geométricas del elemento y de las propiedades del material, que son tomadas en cuenta a través del parámetro R.

w

tb

EI

GILR

2

= (3.10)


Usando el parámetro ψ definido en la Figura 3.1, el factor Cb es determinado por las siguientes expresiones:

( )260161 ..C b −−= ψ para 0160 .. ≤≤ψ

( )ψ−+= 60161 ..C b para 6080 .. ≤≤− ψ (3.11)


562.C b = para 80.−≤ψ

Si la flexión lateral y el alabeo son impedidos en los apoyo, la longitud de pandeo Lb debe tomarse igual a L/2. Para el caso particular de momentos iguales en los extremos, Nethercot y Rockey (1972) plantean valores de Cb considerando diferentes grados de restricción a la flexión lateral y al alabeo.

R

.

R

.C.k.k bw

1341787020150

2+−=== (3.12)

R

.

R

.C.k.k bw

7781304015001

2+−=== (3.13)


Los valores de C1 propuestos por Nethercot y Rockey (1972) para una distribución no lineal de momentos son recogidos en la Tabla 3.6. Cabe indicar que Nethercot y Rockey (1972) presentan valores sólo para vigas sin momento flector en sus apoyos extremos.


Loading Moment

diagram

aL aL

k

1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

kw

1.0

0.5

1.0

0.5

1.0

0.5

1.0

0.5

1.0

C1

1.123

R

.

R

..

2631106421

2++++++++

R

.

R

..

020184191

2++++−−−−

R

.

R.

563546431

2++++−−−−

1.350

R

.

R

..

45517884431

2++++++++

R

.

R

..

9550726002

2++++−−−−

R

.

R

..

814518649161

2++++−−−−

1+a2

Tabla 3.6 Nethercot y Rockey (1972). C1 para distribuciones

no lineales de momentos.

3.2.3 R. Greiner, R. Ofner y G. Salzgeber

Usando el Método de Elementos Finitos, Greiner et al. (1999) proporcionaron un conjunto de valores de kc para obtener los valores de C1 por medio de la expresión (3.3). Las Tabla 3.7 y Tabla 3.8 recogen una síntesis de sus resultados.


M ψM M0

M0: Moment at mid span

M/ M0<0 when as in the picture

ψ

M /M 0 1.00 0.60 0.40 0.00 -0.40 -0.60 -1.00

>50 1.000 1.181 1.384 1.778 2.296 2.601 2.687

1.00 1.063 1.085 1.085 1.108 1.156 1.208 1.291

0.50 1.085 1.085 1.108 1.108 1.132 1.132 1.181

0.00 1.132 1.132 1.132 1.132 1.132 1.132 1.132

-0.50 1.235 1.208 1.208 1.181 1.181 1.181 1.181

-0.60 1.929 1.417 1.235 1.208 1.181 1.181 1.181

-0.70 3.078 1.984 1.687 1.235 1.208 1.208 1.208

-1.00 4.726 5.165 4.000 2.228 1.524 1.321 1.291

<50 1.020 1.262 1.452 1.877 2.441 2.687 2.687

Infinity 1.000 1.235 1.417 1.826 2.367 2.687 2.687

Tabla 3.7 Valores de C1 para diagramas de momentos

parabólicos. Greiner et al. (1999).

M ψM M0

M0: Moment at mid span

M/ M0<0 when as in the picture

ψ

M /M 0 1.00 0.60 0.40 0.00 -0.40 -0.60 -1.00

>50 1.000 1.208 1.384 1.778 2.296 2.601 2.687

1.00 1.156 1.181 1.181 1.208 1.208 1.235 1.208

0.50 1.235 1.235 1.262 1.262 1.291 1.291 1.321

0.00 1.352 1.352 1.352 1.352 1.352 1.352 1.352

-0.50 1.731 1.602 1.563 1.487 1.384 1.352 1.321

-0.60 2.601 1.929 1.687 1.487 1.384 1.352 1.291

-0.70 3.306 2.687 2.296 1.644 1.384 1.352 1.262

-1.00 2.687 3.845 4.000 2.973 1.929 1.602 1.208

<50 1.020 1.262 1.417 1.877 2.441 2.687 2.687

Infinity 1.000 1.235 1.417 1.826 2.367 2.687 2.687 Tabla 3.8 Valores de C1 para diagramas de momentos

triangulares. Greiner et al. (1999).


Adicionalmente, Greiner et al. (1999) presentan resultados para vigas con restricciones laterales en el ala superior e inferior del perfil, los cuales no han sido incluidos en este trabajo.

Con respecto a las vigas con apoyos impedidos a la flexión lateral y al alabeo, Greiner et al. (1999) no proponen valores de C1.

3.2.4 B. Suryoatmono y D. Ho

Usando una aproximación por Diferencias Finitas para determinar el momento crítico elástico en perfiles de alas anchas, Suryoatmono y Ho (2002) propusieron una serie de fórmulas para obtener el factor C1 en vigas con distribuciones lineales y no lineales de momentos. Estas fórmulas son válidas cuando la flexión lateral y el alabeo no están impedidos (k=1 y kw=1).


Para la distribución lineal de momentos mostrada en la Figura 3.1, la fórmula propuesta es la siguiente:

321 10370482802584182921 ψψψ ....C ++−=

654 0940300903640 ψψψ ... −+− (3.14)

Esta expresión resulta de ajustar, a un polinomio de grado seis, los resultados numéricos conseguidos por Diferencias Finitas.


En la Figura 3.3, se muestran los tres casos de distribución no lineal de momentos analizados por Suryoatmono y Ho (2002).


Case A

βwL2/12

Case B

Case C

−−−−3

21

8

1 2 βwL

βwL2/12 βwL2

/12

w

βwL2/8

w

P

βwL2/12

Loading Moment diagram

βwL2/8

2

2

41

8

1

−−−−β

wL

PL/4

Figura 3.3 Diagramas de momentos flectores analizados por Suryoatmono y Ho (2002).

Para los casos A y B de la Figura 3.3 el momento flector máximo puede producirse en un extremo o en un punto intermedio de la viga. Sea cual fuera el caso, el factor de momento uniforme equivalente dado por Suryoatmono y Ho (2002) siempre es referido al momento flector máximo, y es determinado usando las siguientes expresiones:

caso A:

21 10440070901311 ββ ...C ++= para 7500 .≤≤ β

321 24106236604167882309 βββ ....C +−+−=

654 096979277482489 βββ ... −+− para 2750 ≤≤ β.

(3.15)

caso B:

21 11420042801311 ββ ...C ++= para 6900 .≤≤ β

321 78193632057110941422 βββ ....C +−+−=

654 439910022077491 βββ ... −+− para 2690 ≤≤ β.

(3.16)


caso C:

36111 .C = (3.17)

3.2.5 N.H. Lim, N.H. Park, Y.J. Kang y I.H. Sung

Usando la aproximación de Bubnov – Galerkin (Vlasov 1961) y el Método de Elementos Finitos, Lim et al. (2003) realizaron un estudio sobre el pandeo lateral en vigas de sección I; además, propusieron una fórmula para determinar el factor C1 en función del diagrama de momento y de las restricciones a la flexión lateral y al alabeo. Sin embargo, esta fórmula solamente es válida para una distribución lineal de momentos. La fórmula propuesta por Lim et al. (2003) es:

( ) ( )222

1

111

2

ψψ −++=

SSC (3.18)

siendo S1 y S2 unos coeficientes que dependen de las condiciones de enlace del elemento, y sus correspondientes valores se encuentran indicados en la Tabla 3.9. Lim et al. (2003) emplea la expresión (3.1) para calcular el momento crítico elástico.

k k w S 1 S 2

1.00 1.00 1.00 0.16

0.50 0.50 1.00 0.18

1.00 0.50 0.80 0.10 Tabla 3.9 Valores de S1 y S2. Lim et al. (2003).

3.3 COMPARACIÓN DE LOS VALORES PROPUESTOS DE C1

Los valores de C1 propuestos por las normas y por los investigadores antes mencionados, son comparados en este apartado.

3.3.1 Distribución lineal de momentos

Las normas y los investigadores mencionados en Apartado 3.2 proporcionan valores de C1 para la distribución lineal de momentos, aunque no todos ellos consideran las restricciones a la flexión lateral y al alabeo en los apoyos.

3.3.1.1 Flexión lateral libre y alabeo libre en los apoyos

En la Figura 3.4 se muestra la comparación de los valores de C1 cuando la flexión lateral y el alabeo son libres en los apoyos extremos del elemento. De la

3.3 Comparación de los valores propuestos de C1 91

comparación se aprecia que la mayor diferencia se produce cuando el parámetro ψ es negativo, es decir cuando los momentos flectores tienen diferentes signos tal como es habitual en columnas de un pórtico de edificación. Para ψ=-0.75, el valor dado por el EC3 (1992) es 31.7% mayor al valor propuesto por el AISC LRFD (1994). Además se aprecia que el AISC LRFD (1994) es conservador para todos los valores de ψ; mientras que el EC3 (1992) no lo es. Por otra parte, los valores propuestos por las normas difieren ligeramente de los resultados numéricos conseguidos por los diversos investigadores.

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

EC3 (1992-1)

EC3 (1992-2)

ECCS TC8 (2006)

AISC LRFD (1986)

AISC LRFD (1994)

BS 5950

Clark y Hill (bajo)

Clark y Hill (alto)

Nethercot y Rockey

Suryoatmono y Ho

Lim et al

Greiner et al

Coeficiente ψ (Fig. 3.1)

Figura 3.4 Comparación del factor C1 para distribuciones lineales de momentos con flexión lateral libre y alabeo libre en las condiciones de enlaces.

3.3.1.2 Flexión lateral impedida y alabeo impedido en los apoyos

La comparación de los valores de C1 para una distribución lineal de momentos, en elementos cuyos apoyos impiden la flexión lateral y el alabeo, es mostrada en la Figura 3.5. Como se aprecia en dicha figura, el EC3 (1992) brinda valores de C1 no conservadores con respecto a los resultados obtenidos por Clark y Hill (1960), y Lim et al. (2003). El AISC LRFD (1994) es siempre conservador para todos los valores de ψ; mientras que el BS 5950 (2000) no lo es para valores de ψ muy cercanos a -1.


1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

EC3 (1992-2)

AISC LRFD (1994)

BS 5950

Clark y Hill (bajo)

Clark y Hill (alto)

Lim et al


Figura 3.5 Comparación del factor C1 para distribuciones lineales de momentos con flexión lateral impedida y alabeo impedido en las condiciones de enlaces.

3.3.2 Distribución no lineal de momentos

Para comparar los valores de C1 de una distribución no lineal de momentos, se ha dividido el trabajo en tres grupos. El primer grupo enfocará los casos básicos de vigas sometidas a carga uniforme y vigas sometidas a una carga concentrada en la mitad de la longitud. El segundo grupo tratará los casos de vigas cargadas uniformemente, ya sea con un momento aplicado en uno de sus extremos o con dos momentos iguales, aplicados uno en cada extremo. Y el último grupo tratará los casos de vigas sometidas a una carga puntual en la mitad de la longitud con un momento aplicado en uno de sus extremos o con dos momentos iguales aplicados uno en cada extremo.

3.3.2.1 Casos básicos

En la Tabla 3.10 se presenta un resumen de los valores de C1 para los casos básicos de carga. El valor de k=1 y k=0.5 corresponden a apoyos con flexión lateral libre e impedida respectivamente. Para k=1, la BS 5950-1 (2000) da valores más bajos, aproximadamente en un 5%, a los valores propuestos por otras normas e investigadores. El AISC LRFD (1994) permanece dentro de los límites promedios excepto en el último caso presentado en la Tabla 3.10. Para k=0.5, sólo el EC3 (1992) y Clark y Hill (1960) presentan valores de C1, los cuales discrepan en los casos de la viga bi-empotrada.


Tabla 3.10 Comparación de los valores de C1 para los casos básicos

de carga y condiciones de enlaces.

3.3.2.2 Carga uniformemente distribuida con momentos en los

extremos

En la Figura 3.6 se muestra la comparación de los valores de C1 en vigas con carga uniformemente distribuida y momentos iguales aplicados en sus extremos. El parámetro β es el mismo parámetro usado por Suryoatmono y Ho (2002), el cual fue indicado en la Figura 3.3. La Figura 3.7 presenta la comparación correspondiente a vigas con carga uniformemente distribuida y un momento aplicado en uno de sus extremos. Para los casos en donde β es mayor a 1, los valores del AISC LRFD (1994) y del BS 5950-1 (2000) son muy conservadores respecto a los resultados numéricos obtenidos por Suryoatmono y Ho (2002) y Greiner et al. (1999). Con respecto a vigas que poseen flexión lateral y alabeo impedidos en sus apoyos, no existen resultados numéricos disponibles.

EC3 (1992) - 2 AISC - LRFD BS5950 Clark and Hill Nethercot ( R =20) Nethercot ( R =5) Greiner et al Suryoatmono an d Ho

k = 1 1.132 1.136 1.081 1.130 1.123 1.123 1.132 1.131

k = 0.5 0.972 0.970 0.949 0.928

k = 1 2.570 2.381 2.051 2.600 2.602 2.604

k = 0.5 1.424 1.72

k = 1 1.365 1.316 1.176 1.350 1.350 1.350 1.352 1.361

k = 0.5 1.070 1.070 1.023 1.081

k = 1 1.565 1.923 1.429 1.700 1.731

k = 0.5 0.938 1.04


1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

AISC LRFD (1994)

BS 5950

Suryoatmono y Ho

Greiner et al

Coeficiente β (Fig. 3.3)

Figura 3.6 Comparación del factor C1 para una viga con carga uniformemente distribuida y momentos iguales aplicados en los extremos.

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

AISC LRFD (1994)

BS 5950

Suryoatmono y Ho

Greiner et al


Figura 3.7 Comparación del factor C1 para una viga con carga uniformemente distribuida y un momento aplicado en un extremo.


3.3.2.3 Carga puntual con momentos en los extremos

Para las vigas sometidas a carga puntual con momentos concentrados aplicados en sus extremos, sólo Greiner et al. (1999) proporcionaron valores de C1, los cuales han sido recogidos en la Tabla 3.8.

La Figura 3.8 y la Figura 3.9 presentan la comparación de los valores de C1 propuestos por Greiner et al. (1999), el AISC LRFD (1994) y el BS 5950-1 (2000). Ambas normas brindan buenos resultados para una relación M/M0 mayor a cero, siendo el BS 5950-1 más conservador que el AISC LRFD. Sin embargo cuando la relación M/M0 es menor a cero, los valores dados por ambas normas no siguen la tendencia de los resultados numéricos obtenidos por Greiner et al. (1999), y pueden presentarse como conservadores o no conservadores. Con respecto a las vigas con flexión lateral y alabeo impedidos en sus apoyos, tampoco existen resultados numéricos disponibles.

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

AISC LRFD (1994)

BS 5950

Greiner et al

Parámetro M/M 0 (Tabla 3.8)

Figura 3.8 Comparación del factor C1 para una viga con carga puntual en la mitad de la longitud y momentos iguales aplicados en los extremos.


1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

AISC LRFD (1994)

BS 5950

Greiner et al


Figura 3.9 Comparación del factor C1 para una viga con carga puntual en la mitad de la longitud y un momento aplicado en un extremo.

3.4 RESULTADOS NUMÉRICOS OBTENIDOS

En este apartado se presentan los resultados numéricos obtenidos usando el Método de Elementos Finitos y Diferencias Finitas.

Para el trabajo con el Método de Elementos Finitos, se empleó el software COSMOS/M27 (2002) en donde se analizó el pandeo lateral en vigas de sección IPE 500 con longitudes de 8 m y 16 m. El objetivo de este análisis es confirmar que el factor C1 no sólo varía con la distribución de momentos flectores sino también con las condiciones de enlace del elemento. Una vez confirmado esto, se usará la técnica de Diferencias Finitas para integrar las ecuaciones diferenciales del pandeo lateral con todas las variaciones posibles en las condiciones de enlace. Los casos considerados para el análisis por el Método de Elementos Finitos y Diferencias Finitas son mostrados en la Tabla 3.11 en donde el caso 1 corresponde a una distribución lineal de momentos; el caso 2, a una distribución de momentos producida por una carga distribuida con momentos iguales en los extremos de la viga; el caso 3, a una distribución de momentos producida por una carga distribuida con un momento aplicado en un extremo de la viga; el caso 4, a una distribución de momentos producida por una carga concentrada en la mitad de la longitud de la viga con momentos iguales en sus extremos; y el caso 5, a una distribución de momentos producida por una carga concentrada en la mitad de la longitud de la viga con un momento aplicado en

3.4 Resultados numéricos obtenidos 97

uno de sus extremos. Se introducen los parámetros ψ, β y M/M0 para tener en cuenta las variaciones en los diagramas de momento flector.

12/2wLβ 12/2

wLβ

8/2wLβ

M Mψ MψM

12/2wLβ12/

2wLβ

8/2

wLβ

22

max4

18

1

−=β

wLM T

−

3

21

8

1 2 βwL

w

M M

M

MM

0M

M

0M

figuralaenindicadoescomo,M/M 00 <

w

longitudlademitadlaenMomento:M0

11 ≤≤− ψ

figuralaenindicadoescomo,M/M 00 <longitudlademitadlaenMomento:M0

Tabla 3.11 Diagramas de momentos para el análisis por el Método

de Elementos Finitos y Diferencias Finitas.

3.4.1 Resultados usando el Método de Elementos Finitos

Con el programa COSMOS/M27 (2002), se ha modelado una viga de sección IPE 500 utilizando elementos Shell, en donde el perfil IPE 500 ha sido simplificado a una sección I conformada por tres chapas. Los valores de C1 han sido obtenidos para los diagramas de momentos indicados en la Tabla 3.11 y para las siguientes condiciones de enlaces: k=kw=1 y k=kw=0.5. Los resultados son presentados desde la Tabla 3.12 hasta la Tabla 3.16.

Para obtener el valor de C1 se han desacoplado los efectos de los coeficientes k y kw en el cálculo del momento crítico elástico. Cuando k es igual a 0.5, el momento crítico es multiplicado por un factor de 2; mientras que para un


kw diferente de 1, el momento crítico quedaría multiplicado por el siguiente factor:

t

w

tw

w

kw

GIL

EI

GILk

EI

F

2

2

22

2

1

1

π

π

+

+

= (3.19)

Este factor ha sido deducido empleando la expresión (3.1) para el cálculo del momento crítico elástico. Para obtener los valores correspondientes a los casos con kw=0.5, se sustituyeron en la expresión (3.19) las siguientes propiedades de la sección simplificada del IPE 500: Iz=2.138e-5 m4, It=7.23e-7 m4 y Iw=1.336e-6 m6, y las siguientes propiedades del acero: E=200 Gpa y G=76 Gpa.

Distribución lineal de momentos

k=1, k w=1 k=0.5, k w=0.5

IPE500 IPE500

ψ L=8 L=16 L=8 L=16

1.00 1.000 1.000 1.000 1.000

0.90 1.052 1.052 1.052 1.052

0.80 1.110 1.109 1.110 1.110

0.75 1.140 1.140 1.140 1.140

0.70 1.173 1.172 1.172 1.173

0.60 1.242 1.241 1.241 1.242

0.50 1.319 1.316 1.317 1.318

0.40 1.403 1.399 1.401 1.402

0.30 1.496 1.489 1.492 1.494

0.25 1.545 1.537 1.541 1.544

0.20 1.597 1.587 1.591 1.595

0.10 1.709 1.694 1.699 1.705

0.00 1.830 1.809 1.815 1.824

-0.10 1.959 1.931 1.936 1.950

-0.20 2.097 2.059 2.061 2.082

-0.25 2.167 2.125 2.123 2.149

-0.30 2.239 2.192 2.184 2.216

-0.40 2.381 2.327 2.299 2.345

-0.50 2.517 2.459 2.399 2.462

-0.60 2.637 2.582 2.472 2.557

-0.70 2.727 2.685 2.508 2.616

-0.75 2.755 2.724 2.509 2.627

-0.80 2.768 2.750 2.498 2.626

-0.90 2.742 2.750 2.439 2.578

-1.00 2.642 2.661 2.339 2.477 Tabla 3.12 Valores de C1 para vigas con distribución lineal de

momentos (Método de Elementos Finitos).


Carga uniforme con dos momentos

k=1, k w=1 k=0.5, k w=0.5

IPE500 IPE500

β L=8 L=16 L=8 L=16

0.00 1.147 1.148 0.975 0.977

0.50 1.203 1.217 0.939 0.958

0.75 1.236 1.277 0.895 0.934

0.90 1.858 1.983 1.268 1.359

1.00 2.421 2.688 1.587 1.751

1.05 2.744 3.136 1.771 1.993

1.20 3.686 4.646 2.415 2.974

1.35 4.006 4.946 3.100 4.351

1.50 3.700 4.262 3.602 5.518

2.00 2.485 2.597 3.223 3.760

75.00 1.017 1.017 1.028 1.020 Tabla 3.13 Valores de C1 para vigas con carga uniformente distribuida y

momentos iguales en sus extremos (Método de Elementos Finitos).

Carga uniforme con un momento

k=1, k w=1 k=0.5, k w=0.5

IPE500 IPE500

β L=8 L=16 L=8 L=16

0.00 1.147 1.148 0.975 0.977

0.50 1.196 1.204 0.964 0.976

0.75 1.397 1.416 1.087 1.113

0.90 1.869 1.909 1.421 1.472

1.00 2.230 2.296 1.671 1.746

1.05 2.422 2.507 1.803 1.895

1.20 3.028 3.201 2.221 2.385

1.35 3.592 3.897 2.648 2.928

1.50 3.961 4.330 3.032 3.469

2.00 3.860 3.954 3.590 4.248

75.00 1.855 1.840 1.866 1.867 Tabla 3.14 Valores de C1 para vigas con carga uniformente distribuida y

un momento en uno extremo (Método de Elementos Finitos).


Carga puntual con dos momentos

k=1, k w=1 k=0.5, k w=0.5

IPE500 IPE500

M/M 0 L=8 L=16 L=8 L=16

2.00 1.113 1.112 1.036 1.032

1.00 1.174 1.174 1.043 1.045

0.50 1.236 1.240 1.043 1.055

0.00 1.358 1.380 1.027 1.070

-0.50 1.514 1.742 0.880 1.040

-0.60 2.092 2.600 1.184 1.486

-0.70 2.533 3.235 1.521 2.058

-1.00 2.347 2.569 2.276 3.281

-1.50 1.729 1.775 2.028 2.253

-2.00 1.482 1.501 1.693 1.755 Tabla 3.15 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y momentos iguales en sus extremos (Método de Elementos

Finitos).

Carga puntual con un momento

k=1, k w=1 k=0.5, k w=0.5

IPE500 IPE500

M/M 0 L=8 L=16 L=8 L=16

2.00 1.137 1.135 1.016 1.020

1.00 1.217 1.220 1.031 1.045

0.50 1.278 1.287 1.035 1.058

0.00 1.358 1.380 1.027 1.070

-0.50 1.435 1.497 0.980 1.061

-0.60 1.441 1.518 0.962 1.053

-0.70 1.548 1.652 1.011 1.121

-1.00 2.622 2.958 1.644 1.923

-1.50 3.421 3.638 2.621 3.253

-2.00 3.160 3.198 2.950 3.446 Tabla 3.16 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y un momento en uno extremo (Método de Elementos Finitos).

De los resultados obtenidos por el Método de Elementos Finitos se pueden sacar dos conclusiones. La primera conclusión es que el factor C1 varía con la longitud de la viga, tal como comentaron Nethercot y Rockey (1972). Esta variación es menos del 2.5% para una distribución lineal de momentos, pero puede ser significativamente mayor para otros casos de cargado. La segunda conclusión es que el factor de momento uniforme equivalente está en función de las restricciones a la flexión lateral y al alabeo en los apoyos. Además, para vigas con apoyos impedidos a la flexión lateral y al alabeo (k=kw=0.5), los valores de C1 son en algunos casos significativamente más bajos que los valores que se obtienen en vigas simplemente apoyadas.


3.4.2 Resultados usando Diferencias Finitas

Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el pandeo lateral de un elemento estructural son presentadas a continuación con la nomenclatura de los ejes empleada en el EC3 (2005):

011 2

2

2

4

4

=+−− zy

z

y

ztw MM

EIM

EIdx

dGI

dx

dEI φ

φφ (3.20)

y

02

2

=+− φyzz MMdx

vdEI (3.21)

con

zy

Vdx

dM= z

zq

dx

dV−=

yz

Vdx

dM−= 0=

dx

dVy

(3.22)

donde qz es la carga distribuida actuando en la viga; Vy y Vz son los esfuerzos cortantes; My y Mz son los momentos flectores; v es el desplazamiento lateral; y φ es el giro de torsión. Los esfuerzos cortantes y los momentos flectores indicados en estas expresiones son referidos a ejes en una configuración no deformada. La deducción de las ecuaciones diferenciales (3.20) y (3.21) es mostrada con mayores detalles en el Apartado B.3 del Apéndice B.

De la Tabla 3.17 a la Tabla 3.21, se presentan los valores de C1 obtenidos al integrar las ecuaciones diferenciales (3.20) y (3.21) por Diferencias Finitas. Para la integración se emplearon las propiedades de la sección de dos perfiles laminados: uno de alas cortas, IPE 500; y otro de alas anchas, HEB 500. Cada uno de estos perfiles ha sido analizado con longitudes de 8 metros y 16 metros. Además, se han contemplado las diferentes condiciones de enlaces, combinando la flexión lateral libre (k=1) o la flexión lateral impedida (k=0.5) con el alabeo libre (kw=1) o el alabeo impedido (kw=0.5). Y por último, se emplearon las mismas propiedades del acero (E=200 Gpa y G=76 Gpa) que se usaron para obtener los resultados por el Método de Elementos Finitos.

Los resultados obtenidos para una distribución lineal de momentos son recogidos en la Tabla 3.17. Una comparación de estos resultados frente a los resultados proporcionados por los diversos investigadores y normas, es presentada en la Figura 3.10, en donde se aprecia que los valores de C1 son más


bajos en vigas con apoyos impedidos a la flexión lateral y al alabeo que en vigas simplemente apoyadas. El AISC LRFD (1994) da valores muy conservadores en todos los casos.


Tab

la 3

.17 V

alor

es d

e C1 p

ara

vigas

con d

istrib

ución lin

eal de

mom

ento

s (D

ifer

encias

Fin

itas

).

Resultados por Diferencias Finitas

k=1, kw=1

k=1, kw=0.5

k=0.5, kw=1

k=0.5, kw=0.5

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

ψL=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

1.00

1.000

1.000

1.000

1.000

1.122

1.107

1.121

1.103

1.109

1.073

1.105

1.067

1.000

1.000

1.000

1.000

0.90

1.052

1.052

1.052

1.052

1.181

1.164

1.180

1.161

1.167

1.129

1.163

1.123

1.050

1.050

1.050

1.050

0.80

1.110

1.109

1.110

1.109

1.246

1.228

1.244

1.224

1.230

1.190

1.226

1.184

1.107

1.107

1.106

1.108

0.75

1.141

1.140

1.140

1.140

1.281

1.262

1.279

1.258

1.264

1.223

1.260

1.216

1.138

1.138

1.138

1.138

0.70

1.173

1.172

1.173

1.172

1.317

1.298

1.315

1.294

1.299

1.257

1.295

1.250

1.170

1.170

1.170

1.170

0.60

1.242

1.240

1.242

1.240

1.396

1.375

1.394

1.371

1.375

1.331

1.371

1.323

1.240

1.239

1.240

1.239

0.50

1.319

1.315

1.318

1.315

1.484

1.460

1.482

1.455

1.458

1.411

1.454

1.403

1.316

1.315

1.316

1.315

0.40

1.403

1.398

1.402

1.397

1.581

1.554

1.578

1.549

1.549

1.499

1.544

1.490

1.401

1.398

1.401

1.398

0.30

1.496

1.487

1.495

1.486

1.689

1.658

1.686

1.652

1.648

1.594

1.642

1.584

1.494

1.490

1.494

1.489

0.25

1.546

1.535

1.544

1.534

1.748

1.715

1.745

1.708

1.700

1.644

1.695

1.634

1.544

1.539

1.544

1.538

0.20

1.598

1.585

1.596

1.583

1.809

1.773

1.806

1.766

1.755

1.697

1.749

1.686

1.597

1.590

1.596

1.589

0.10

1.710

1.690

1.707

1.687

1.944

1.900

1.940

1.891

1.869

1.806

1.863

1.796

1.709

1.699

1.708

1.697

0.00

1.831

1.803

1.828

1.799

2.092

2.039

2.088

2.029

1.989

1.922

1.982

1.910

1.831

1.816

1.830

1.813

-0.10

1.962

1.923

1.957

1.918

2.257

2.191

2.251

2.178

2.112

2.042

2.105

2.029

1.962

1.940

1.960

1.936

-0.20

2.101

2.050

2.095

2.043

2.437

2.355

2.429

2.339

2.235

2.161

2.228

2.148

2.100

2.069

2.097

2.063

-0.25

2.173

2.114

2.166

2.107

2.533

2.441

2.524

2.424

2.294

2.219

2.287

2.206

2.170

2.135

2.167

2.128

-0.30

2.246

2.180

2.238

2.172

2.632

2.530

2.622

2.511

2.351

2.275

2.343

2.262

2.241

2.200

2.237

2.192

-0.40

2.393

2.312

2.383

2.302

2.840

2.715

2.828

2.691

2.452

2.378

2.444

2.365

2.378

2.326

2.374

2.316

-0.50

2.536

2.443

2.524

2.430

3.056

2.905

3.041

2.877

2.529

2.461

2.522

2.448

2.504

2.440

2.498

2.428

-0.60

2.666

2.565

2.654

2.551

3.272

3.095

3.255

3.062

2.573

2.515

2.567

2.504

2.606

2.533

2.599

2.519

-0.70

2.769

2.670

2.757

2.655

3.474

3.273

3.455

3.235

2.577

2.532

2.573

2.523

2.669

2.590

2.662

2.575

-0.75

2.804

2.710

2.793

2.697

3.561

3.351

3.541

3.311

2.563

2.524

2.560

2.517

2.682

2.602

2.674

2.586

-0.80

2.824

2.739

2.815

2.726

3.633

3.417

3.612

3.376

2.539

2.506

2.536

2.499

2.680

2.600

2.672

2.585

-0.90

2.809

2.745

2.802

2.734

3.696

3.481

3.676

3.438

2.462

2.438

2.460

2.433

2.631

2.553

2.624

2.538

-1.00

2.711

2.659

2.706

2.650

3.602

3.396

3.583

3.356

2.356

2.335

2.354

2.330

2.527

2.453

2.521

2.438


0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0


k = 0.5

k w = 0.5

k = 0.5

k w = 1

k = 1

k w = 0.5

k = 1

k w = 1

AISC LRFD (1994)

Suryoatmono y Ho

EC3 (k =1)

EC3 (k =0.5)

Figura 3.10 Resultados para vigas con distribución lineal de momentos (Tabla 3.17).

En la Tabla 3.18 se presentan los resultados numéricos de la integración por Diferencias Finitas, para la distribución de momentos originada por una carga uniformemente distribuida con momentos iguales en cada extremo de la viga. La comparación de estos valores es mostrada en la Figura 3.11, en donde se puede apreciar que los valores del AISC LRFD (1994) son no conservadores para k=0.5 y β<1.3, y son muy conservadores para k=1 y β>1.1. Una similar conclusión se llega para la distribución de momentos originada por una carga uniformemente distribuida con un momento aplicado en un extremo en la viga. Estos resultados son mostrados en la Tabla 3.19 y en la Figura 3.12. Para el caso k= kw=1, los resultados de las Tabla 3.18 y Tabla 3.19 coinciden bastante bien con los valores obtenidos por Suryoatmono y Ho (2002).


Tab

la 3

.18 V

alor

es d

e C1 p

ara

vigas

con c

arga

unifor

mem

ente

distrib

uid

a y

mom

ento

s ig

ual

es e

n s

us

extrem

os

(Difer

encias

Fin

itas

).

Tab

la 3

.19 V

alor

es d

e C1 p

ara

vigas

con c

arga

unifor

mem

ente

distrib

uid

a y

un m

om

ento

aplic

ado

en u

n e

xtre

mo

(Difer

encias

Fin

itas

).


k=1, kw=1

k=1, kw=0.5

k=0.5, kw=1

k=0.5, kw=0.5

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

βL=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

0.00

1.131

1.130

1.131

1.129

1.223

1.212

1.222

1.209

0.990

0.976

0.989

0.973

0.967

0.966

0.967

0.966

0.50

1.182

1.179

1.182

1.178

1.271

1.259

1.270

1.256

0.960

0.950

0.959

0.948

0.965

0.963

0.965

0.962

0.75

1.390

1.383

1.389

1.382

1.496

1.480

1.494

1.476

1.071

1.061

1.070

1.059

1.102

1.096

1.101

1.095

0.90

1.873

1.861

1.872

1.860

2.027

2.002

2.024

1.996

1.391

1.380

1.390

1.378

1.457

1.446

1.456

1.444

1.00

2.252

2.238

2.251

2.236

2.453

2.419

2.450

2.412

1.628

1.617

1.627

1.614

1.730

1.714

1.729

1.711

1.05

2.459

2.443

2.457

2.441

2.691

2.651

2.687

2.643

1.754

1.742

1.753

1.739

1.878

1.859

1.876

1.855

1.20

3.142

3.124

3.140

3.121

3.519

3.456

3.513

3.442

2.157

2.142

2.156

2.139

2.369

2.336

2.366

2.329

1.35

3.854

3.829

3.851

3.825

4.517

4.412

4.508

4.390

2.586

2.562

2.583

2.558

2.919

2.863

2.915

2.851

1.50

4.405

4.312

4.396

4.295

5.563

5.361

5.546

5.316

3.011

2.970

3.007

2.962

3.485

3.390

3.477

3.370

2.00

4.276

3.986

4.240

3.946

5.703

5.206

5.653

5.116

3.936

3.757

3.915

3.729

4.427

4.178

4.403

4.130

75.00

1.867

1.837

1.863

1.833

2.137

2.082

2.132

2.070

2.036

1.967

2.029

1.955

1.874

1.857

1.872

1.854


k=1, kw=1

k=1, kw=0.5

k=0.5, kw=1

k=0.5, kw=0.5

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

βL=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

0.00

1.131

1.130

1.131

1.129

1.223

1.212

1.222

1.209

0.990

0.976

0.989

0.973

0.967

0.966

0.967

0.966

0.50

1.192

1.189

1.192

1.188

1.272

1.262

1.271

1.260

0.929

0.920

0.928

0.919

0.946

0.943

0.946

0.943

0.75

1.244

1.240

1.243

1.239

1.317

1.308

1.316

1.306

0.869

0.864

0.868

0.863

0.922

0.917

0.921

0.915

0.90

1.924

1.916

1.923

1.915

2.036

2.023

2.035

2.020

1.217

1.213

1.217

1.213

1.342

1.330

1.342

1.328

1.00

2.605

2.596

2.604

2.595

2.782

2.764

2.780

2.759

1.516

1.512

1.516

1.511

1.733

1.711

1.731

1.705

1.05

3.042

3.035

3.042

3.033

3.287

3.264

3.285

3.259

1.691

1.686

1.691

1.685

1.975

1.945

1.972

1.937

1.20

4.685

4.648

4.682

4.640

5.702

5.600

5.694

5.575

2.344

2.324

2.342

2.320

2.981

2.892

2.974

2.872

1.35

5.431

5.181

5.405

5.138

8.321

7.568

8.252

7.419

3.210

3.117

3.200

3.100

4.539

4.248

4.513

4.189

1.50

4.703

4.498

4.682

4.464

7.066

6.402

7.002

6.275

4.188

3.901

4.157

3.853

6.130

5.468

6.066

5.344

2.00

2.703

2.680

2.701

2.676

3.382

3.266

3.372

3.241

4.758

4.505

4.744

4.375

3.899

3.857

3.896

3.846

75.00

1.018

1.018

1.018

1.018

1.143

1.127

1.142

1.123

1.133

1.097

1.130

1.090

1.018

1.019

1.018

1.019


0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


k = 0.5

k w = 0.5

k = 0.5

k w = 1

k = 1

k w = 0.5

k = 1

k w = 1

AISC LRFD (1994)

Suryoatmono y Ho

Figura 3.11 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y momentos iguales en sus extremos (Tabla 3.18).

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


k = 0.5

k w = 0.5

k = 0.5

k w = 1

k = 1

k w = 0.5

k = 1

k w = 1

AISC LRFD (1994)

Suryoatmono y Ho

Figura 3.12 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un momento aplicado en uno extremo (Tabla 3.19).


En la Tabla 3.20 y en la Figura 3.13 se muestran los resultados de C1 para la distribución de momentos originada por una carga concentrada actuando en la mitad de la luz con momentos iguales en los extremos de la viga. El comportamiento es similar a los casos previos en donde la AISC LRFD (1994) puede dar valores conservadores o no conservadores dependiendo de las restricciones a la flexión lateral y de la relación M/M0. La Tabla 3.21 y la Figura 3.14 muestran los resultados para la distribución de momentos originada por una carga concentrada aplicada en la mitad de la luz con un momento aplicado en un extremo de la viga, en donde el AISC LRFD (1994) da, en la mayoría de los casos, valores de C1 no conservadores cuando la flexión lateral es impedida.


Tab

la 3

.20 V

alor

es d

e C1 p

ara

vigas

con c

arga

puntu

al e

n la

mitad

de

su longitud y

mom

ento

s ig

ual

es e

n s

us

extrem

os

(Difer

encias

Fin

itas

).

Tab

la 3

.21 V

alor

es d

e C1 p

ara

vigas

con c

arga

puntu

al e

n la

mitad

de

su longitud y

un m

omen

to a

plic

ado

en u

n

extrem

o (D

ifer

encias

Fin

itas

).


k=1, kw=1

k=1, kw=0.5

k=0.5, kw=1

k=0.5, kw=0.5

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

M/M

0L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

2.00

1.131

1.126

1.130

1.125

1.244

1.228

1.243

1.224

1.078

1.052

1.076

1.048

1.015

1.013

1.015

1.012

1.00

1.210

1.206

1.209

1.205

1.313

1.299

1.312

1.296

1.088

1.065

1.086

1.061

1.037

1.036

1.037

1.036

0.50

1.272

1.269

1.271

1.268

1.366

1.355

1.365

1.352

1.089

1.068

1.087

1.065

1.050

1.049

1.050

1.049

0.00

1.359

1.355

1.359

1.354

1.442

1.432

1.441

1.430

1.078

1.061

1.076

1.058

1.061

1.059

1.061

1.058

-0.50

1.471

1.463

1.471

1.462

1.546

1.536

1.546

1.534

1.031

1.020

1.030

1.019

1.055

1.050

1.055

1.049

-0.60

1.492

1.483

1.491

1.482

1.570

1.559

1.569

1.556

1.013

1.003

1.012

1.002

1.048

1.042

1.048

1.041

-0.70

1.623

1.614

1.622

1.612

1.714

1.701

1.713

1.699

1.066

1.057

1.065

1.055

1.117

1.110

1.117

1.108

-1.00

2.919

2.910

2.918

2.908

3.240

3.203

3.237

3.194

1.754

1.741

1.753

1.739

1.931

1.905

1.929

1.900

-1.50

3.901

3.651

3.870

3.617

5.147

4.729

5.106

4.651

2.919

2.829

2.908

2.816

3.373

3.220

3.359

3.190

-2.00

3.433

3.212

3.405

3.183

4.392

4.043

4.357

3.981

3.403

3.195

3.377

3.166

3.629

3.406

3.607

3.366


k=1, kw=1

k=1, kw=0.5

k=0.5, kw=1

k=0.5, kw=0.5

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

IPE500

HEB500

M/M

0L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

L=8

L=16

2.00

1.106

1.106

1.106

1.106

1.219

1.205

1.218

1.202

1.112

1.082

1.109

1.077

1.026

1.026

1.026

1.026

1.00

1.165

1.164

1.165

1.164

1.271

1.258

1.270

1.256

1.108

1.082

1.106

1.077

1.038

1.037

1.038

1.037

0.50

1.227

1.225

1.227

1.225

1.326

1.314

1.325

1.312

1.101

1.078

1.099

1.074

1.048

1.047

1.047

1.047

0.00

1.359

1.355

1.393

1.354

1.442

1.432

1.441

1.430

1.078

1.061

1.076

1.058

1.061

1.059

1.061

1.058

-0.50

1.713

1.702

1.712

1.700

1.794

1.784

1.793

1.781

0.950

0.946

0.950

0.945

1.044

1.033

1.043

1.031

-0.60

2.591

2.583

2.590

2.581

2.854

2.828

2.852

2.821

1.310

1.306

1.310

1.305

1.508

1.484

1.506

1.478

-0.70

3.354

3.316

3.350

3.308

4.248

4.119

4.237

4.090

1.752

1.743

1.751

1.742

2.129

2.074

2.125

2.062

-1.00

2.711

2.659

2.706

2.650

3.602

3.396

3.583

3.356

3.085

2.966

3.073

2.944

3.590

3.406

3.574

3.367

-1.50

1.815

1.807

1.814

1.806

2.189

2.127

2.184

2.114

2.667

2.577

2.660

2.556

2.325

2.312

2.324

2.309

-2.00

1.521

1.518

1.521

1.518

1.783

1.743

1.779

1.735

2.056

1.974

2.048

1.958

1.780

1.777

1.779

1.777


0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


k = 0.5

k w = 0.5

k = 0.5

k w = 1

k = 1

k w = 0.5

k = 1

k w = 1

AISC LRFD (1994)

Greiner et al

Figura 3.13 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y momentos iguales en sus extremos (Tabla 3.20).

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


k = 0.5

k w = 0.5

k = 0.5

k w = 1

k = 1

k w = 0.5

k = 1

k w = 1

AISC LRFD (1994)

Greiner et al

Figura 3.14 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y un momento aplicado en un extremo (Tabla 3.21).


Con los valores de C1 que se obtienen usando Diferencias Finitas, se sacan las siguientes conclusiones: primero, la restricción a la flexión lateral, por lo general, conduce a valores menores de C1; segundo, la restricción al alabeo aumenta significativamente, en la mayoría de los casos, el valor de C1 cuando la flexión lateral es libre (k=1), pero sucede todo lo contrario cuando la flexión lateral es impedida (k=0.5); y por último, el AISC LRFD (1994) brinda en algunos casos, valores no conservadores de C1.

Hasta ahora en este apartado, sólo se han presentado los resultados numéricos para los casos con iguales condiciones de enlace en ambos extremos del elemento. Sin embargo, en la práctica, pueden presentarse situaciones en donde se tienen distintas condiciones de enlace en un extremo del elemento que en el otro extremo, tal como puede ser el caso de un elemento estructural en donde a uno de sus extremos se le restringe la flexión lateral y el alabeo mientras que al otro extremo, no. Para estas situaciones, no existen valores de C1 disponibles en las normas de diseño ni en las fuentes bibliográficas; por lo cual, como ayuda para el calculista, se presentan en esta tesis algunos resultados numéricos que han sido conseguidos usando la técnica de integración por Diferencias Finitas. Estos resultados corresponden al perfil IPE 500, y son recogidos desde la Tabla 3.22 hasta la Tabla 3.26 para los cincos casos de cargado indicados en la Tabla 3.11.


Diferencias Finitas (Perfil IPE 500)

k=k w=1 (apoyo izquierdo) k=k w=0.5 (apoyo izquierdo)

k=k w=0.5 (apoyo derecho) k=k w=1 (apoyo derecho)

ψ L=8 m L=16 m L=8 m L=16 m

1.00 1.018 1.014 1.018 1.014

0.90 1.055 1.051 1.089 1.085

0.80 1.093 1.089 1.170 1.166

0.75 1.113 1.109 1.215 1.210

0.70 1.134 1.129 1.263 1.258

0.60 1.177 1.172 1.371 1.365

0.50 1.223 1.217 1.496 1.488

0.40 1.271 1.264 1.643 1.632

0.30 1.322 1.315 1.817 1.801

0.25 1.349 1.341 1.915 1.895

0.20 1.376 1.367 2.021 1.997

0.10 1.433 1.422 2.261 2.223

0.00 1.493 1.480 2.537 2.477

-0.10 1.555 1.540 2.841 2.750

-0.20 1.620 1.602 3.155 3.024

-0.25 1.654 1.634 3.303 3.153

-0.30 1.687 1.666 3.437 3.270

-0.40 1.756 1.731 3.628 3.443

-0.50 1.826 1.797 3.653 3.486

-0.60 1.896 1.862 3.470 3.344

-0.70 1.964 1.926 3.135 3.044

-0.75 1.997 1.957 2.948 2.868

-0.80 2.028 1.986 2.763 2.692

-0.90 2.088 2.042 2.425 2.366

-1.00 2.139 2.089 2.139 2.089 Tabla 3.22 Valores de C1 para vigas con distribución lineal momentos

con diferentes condiciones de enlaces en los apoyos (caso 1).



k=k w=1 (en un apoyo)

k=k w=0.5 (en el otro apoyo)

β L=8 m L=16 m

0.00 1.125 1.116

0.50 1.157 1.143

0.75 1.171 1.153

0.90 1.750 1.718

1.00 2.290 2.246

1.05 2.685 2.567

1.20 3.755 3.677

1.35 4.301 4.117

1.50 3.958 3.762

1.60 3.622 3.461

1.80 3.043 2.946

2.00 2.812 2.572

75.00 1.036 1.033 Tabla 3.23 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente

distribuida y momentos iguales en sus extremos (caso 2).




β L=8 m L=16 m L=8 m L=16 m

0.00 1.125 1.116 1.125 1.116

0.50 1.078 1.070 1.247 1.228

0.75 1.202 1.192 1.501 1.471

0.90 1.567 1.552 2.026 1.984

1.00 1.844 1.825 2.406 2.358

1.05 1.994 1.972 2.596 2.546

1.20 2.493 2.461 3.091 3.037

1.35 3.075 3.023 3.346 3.273

1.50 3.739 3.653 3.355 3.257

1.60 4.219 4.097 3.285 3.180

1.80 5.200 4.956 3.090 2.987

2.00 6.011 5.588 2.897 2.805

75.00 2.609 2.545 1.516 1.503 Tabla 3.24 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente distribuida y un momento aplicado en un extremo (caso 3).



k=k w=1 (en un apoyo)

k=k w=0.5 (en el otro apoyo)

M/M 0 L=8 m L=16 m

2.00 1.119 1.114

1.00 1.171 1.164

0.50 1.222 1.213

0.00 1.317 1.300

-0.50 1.447 1.414

-0.60 2.074 2.032

-0.70 2.650 2.604

-1.00 2.464 2.388

-1.25 2.054 2.012

-1.50 1.802 1.777

-1.75 1.643 1.626

-2.00 1.536 1.523 Tabla 3.25 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad

de su longitud y momentos iguales en sus extremos (caso 4).




M/M 0 L=8 m L=16 m L=8 m L=16 m

2.00 1.316 1.296 1.000 0.996

1.00 1.322 1.303 1.106 1.100

0.50 1.322 1.305 1.193 1.184

0.00 1.317 1.300 1.317 1.300

-0.50 1.293 1.274 1.449 1.419

-0.60 1.283 1.263 1.459 1.429

-0.70 1.367 1.344 1.564 1.533

-1.00 2.393 2.334 2.460 2.430

-1.25 3.538 3.392 2.712 2.650

-1.50 4.789 4.437 2.633 2.556

-1.75 5.667 5.064 2.493 2.419

-2.00 5.963 5.241 2.364 2.298 Tabla 3.26 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y un momento aplicado en un extremo (caso 5).

Todos los valores de C1 obtenidos por medio de la integración por Diferencias Finitas, pueden ser también obtenidos de manera indirecta usando el programa PANLAT, el cual calcula el momento crítico elástico al integrar las ecuaciones diferenciales (3.20) y (3.21). La descripción del programa PANLAT se encuentra en el Apéndice C.


3.5 FORMULACIÓN PROPUESTA PARA EL FACTOR DE MOMENTO UNIFORME EQUIVALENTE

El uso de una formulación general y simplificada para determinar el factor de momento uniforme equivalente, C1, como la que propone el AISC LRFD (1994) [expresión (3.6)] y el BS 5950-1 (2000) [expresión (3.7)], tiene dos grandes ventajas. Primero, el calculista puede obtener el valor de C1 para cualquier distribución de momentos sin necesidad de interpolar; y segundo, los programas de análisis estructural pueden directamente incorporar la formulación en sus rutinas de cálculo.

Las fórmulas propuestas por el AISC LRFD (1994) y el BS 5950-1 (2000), definidas en las expresiones (3.6) y (3.7), tienen una buena aproximación en la mayoría de los casos analizados. Sin embargo, estas fórmulas dan valores muy conservadores en vigas bi-articuladas para algunas distribuciones de momentos flectores (Figura 3.6 y Figura 3.7); y valores no conservadores para los casos con flexión lateral y alabeo impedidos (Figura 3.11 y Figura 3.12). Por consiguiente, en este apartado se propone una nueva formulación general cuyos resultados tengan una mejor aproximación a los resultados obtenidos. Esta formulación toma en cuenta la distribución de momentos, y puede ser empleada en situaciones en donde la flexión lateral y el alabeo son impedidos en los apoyos extremos del elemento. La expresión de esta formulación es la siguiente:

( ) ( )

1

2

2

21

1

2

1

2

1

A

Ak

Ak

Ak

C

−+

−+

= (3.23)

con

21kkk = (3.24)

Los coeficientes k1 y k2 están relacionados con el grado de restricción a la flexión lateral y al alabeo; y los subíndices 1 y 2 hacen referencia a los apoyos extremos de la viga del lado izquierdo y del lado derecho respectivamente. Así, cuando los apoyos extremos de la viga no están impedidos a la flexión lateral ni al alabeo, los coeficientes k1 y k2 serán iguales a 1; e iguales a 0.5, cuando la flexión lateral y el alabeo están impedidos. Con respecto a los coeficientes A1 y A2 se plantean dos aproximaciones para determinar sus valores en función del diagrama de momentos y del grado de restricción a la flexión lateral y al alabeo en los apoyos extremos. La primera aproximación fue publicada en el Journal of Constructional Steel Research (Serna et al. 2006) y da buenos resultados de C1 en la mayoría de los casos. Sin embargo, esta aproximación tiene ciertas limitaciones y presenta una indeterminación y falta de convergencia en algunos

3.5 Formulación propuesta para el factor de momento uniforme equivalente 115

casos concretos. La segunda aproximación subsana las deficiencias de la primera aproximación y puede ser aplicada para cualquier distribución de momentos y para los casos más habituales de condiciones de enlace del elemento. Esta segunda aproximación fue publicada en el International Colloquium on Stability and Ductility of Steel Structures (López et al. 2006).

3.5.1 Primera aproximación para los coeficientes A1 y A2

En esta primera aproximación se proponen las siguientes expresiones para determinar los coeficientes A1 y A2 indicados en la expresión (3.23) (Serna et al. 2006):

[ ] 2

24

23

22

2

191691

9169

max

max

Mkk

kMMkMMA

+++

+++= (3.25)

max

max

M

MMMMMMA

37

481284 543212

+++++= (3.26)

donde Mmax es el valor del momento flector máximo; y M1, M2, M3, M4 y M5 son los valores de los momentos flectores en las diferentes secciones que se indican en la Figura 3.15. Todos los valores de los momentos flectores deben llevar sus correspondientes signos.

Mmax

M2M3

M4

L/4L/4L/4L/4 Mmax=M5

M2M3

M4

L/4

L/4L/4L/4

M1

M5

M1

Figura 3.15 Valores de momentos usados en las Ecuaciones (3.25) y (3.26).

Para las vigas en donde sus apoyos extremos no están impedidos la flexión lateral ni al alabeo (k1=k2=1), la expresión (3.23) se simplificaría a:

24

23

22

2

2

19169

35

MMMM

MC

max

max

+++= (3.27)

3.5.1.1 Resultados obtenidos usando la primera aproximación

En la Figura 3.16 hasta la Figura 3.20 se presentan los valores de C1 de la primera aproximación para la flexión lateral y el alabeo libres en ambos apoyos


extremos de la viga (k1=k2=1). Estos valores son comparados con los resultados numéricos conseguidos por diversos investigadores y con los propuestos por las normas de diseño. De igual forma, los valores de C1 para la flexión lateral y el alabeo impedidos en ambos apoyos extremos de la viga (k1=k2=0.5) son presentados y comparados en la Figura 3.21 hasta la Figura 3.25. De la comparación, se observa que esta primera aproximación brinda mejores resultados que las formulaciones dadas por el AISC LRFD (1994) y BS 5950-1 (2000).

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Propuesta (1º aprox.)

AISC LRFD (1994)

EC3 (1992)

Diferencias Finitas (IPE 500, L=8 m)


Diferencias Finitas (HEB 500, L=8 m)



Figura 3.16 Resultados para la distribución lineal de momentos (k=1). Ecuación (3.27).


1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950






Figura 3.17 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y momentos iguales en sus extremos (k=1). Ecuación (3.27).

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950






Figura 3.18 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un momento aplicado en un extremo (k=1). Ecuación (3.27).


1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950






Figura 3.19 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y momentos iguales en sus extremos (k=1). Ecuación (3.27).

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950






Figura 3.20 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y un momento aplicado en un extremo (k=1). Ecuación (3.27).


1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0


AISC LRFD (1994)

EC3 (1992)






Figura 3.21 Resultados para la distribución lineal de momentos (k=0.5). Ecuación (3.23).

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950






Figura 3.22 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y momentos iguales en sus extremos (k=0.5). Ecuación (3.23).


0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950






Figura 3.23 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un momento aplicado en un extremo (k=0.5). Ecuación (3.23).

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950






Figura 3.24 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y momentos iguales en sus extremos (k=0.5). Ecuación (3.23).


0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950






Figura 3.25 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y un momento aplicado en un extremo (k=0.5). Ecuación (3.23).

3.5.1.2 Limitaciones de la primera aproximación

Tal como se pudo apreciar en el apartado anterior, la primera aproximación proporciona buenos resultados cuando ambos apoyos del elemento estructural tienen la flexión lateral y el alabeo ambos libres (k1=k2=1) y ambos impedidos (k1=k2=0.5). Sin embargo cuando existen diferencias en las condiciones de enlace entre ambos apoyos de la viga, la primera aproximación no se ajusta bien a los resultados numéricos de la integración por Diferencias Finitas. Además, se han detectado, en algunos casos concretos, incoherencia y falta de convergencia para obtener el valor de C1.

En la Figura 3.26 se muestran un par de casos de incoherencia en el cálculo del coeficiente A2 de la expresión (3.26) puesto que se obtendrían dos valores diferentes si se consideran, independientemente, el signo positivo y el signo negativo del momento flector máximo. Una solución a este inconveniente sería escoger el menor de los dos valores de A2 puesto que éste conlleva a una situación más conservadora en el cálculo del momento crítico elástico. Es preciso indicar que para los casos presentados en la Figura 3.26 no existen diferencias significativas en el valor de C1 si el coeficiente A2 es calculado ya sea considerando el signo positivo o el signo negativo del momento flector máximo.


Figura 3.26 Diagramas de momentos que originan incoherencia en el cálculo del factor C1 (primera aproximación propuesta).

En la Figura 3.27 se muestra un caso de falta de convergencia en el cálculo del factor C1. Los diagramas de momentos flectores indicados en esta figura son prácticamente idénticos, sin embargo los factores C1 no convergen a un mismo valor. Este problema se debe al signo del momento flector máximo que cambia de un diagrama de momentos a otro, produciendo divergencia entre los valores del coeficiente A2. Para el primer diagrama de momentos, el momento flector máximo es –M y se obtiene un valor de A2=0.784; mientras que para el segundo diagrama, el momento flector máximo es 1.001 M y se obtiene un valor de A2=0.729. Esta falta de convergencia sólo se da en elementos cuyos apoyos están impedidos a la flexión lateral y al alabeo (k1=k2=0.5).

Figura 3.27 Ilustración sobre la falta de convergencia en el cálculo del factor C1 (primera aproximación propuesta).

3.5.2 Segunda aproximación para los coeficientes A1 y A2

En este apartado se propone una formulación general que se aplica a cualquier diagrama de momentos y a las condiciones de enlaces más habituales, en donde se tienen las mismas restricciones a la flexión lateral y al alabeo en cada apoyo. De esta manera, los elementos estructurales con apoyos extremos iguales (k1=k2=1 y k1=k2=0.5) o con apoyos extremos diferentes (k1=1 y k2=0.5; y k1=0.5 y k2=1) son abarcados en esta aproximación. Las expresiones que se plantean para determinar los coeficientes A1 y A2, indicados en la expresión (3.23), son las siguientes (López et al. 2006):

( ) 254321

255

244

233

222

211

2

11 max

max

M

MMMMMMA

ααααα

ααααα

+++++

+++++= (3.28)


maxM

MMMMMA

9

232 543212

++++= (3.29)

con

( ) ( )1521

32

4

21

322

31

221 1511

551 k;k

k;

kk;

k

k;k −==

+==−= ααααα (3.30)

donde Mmax, M1, M2, M3, M4 y M5 son los valores de los momentos flectores indicados en la Figura 3.15, todos ellos con sus respectivos signos. Cabe mencionar que el signo del momento flector máximo no afecta al cálculo de los coeficientes A1 y A2, por lo cual no tendrían lugar casos de incoherencia en el cálculo del factor C1. Además con esta aproximación se consigue una buena convergencia cuando se tienen diagramas idénticos de momentos flectores. Para el primer diagrama de momentos flectores de la Figura 3.27 se obtiene un valor de C1 igual a 0.9625; mientras que para el segundo diagrama, C1 es igual a 0.9634.

Para las vigas en donde sus apoyos extremos no están impedidos la flexión lateral ni al alabeo (k1=k2=1), la expresión (3.23) se simplificaría a:

24

23

22

2

2

15105

21

MMMM

MC

max

max

+++= (3.31)

3.5.2.1 Resultados obtenidos usando la segunda aproximación

En la Figura 3.28 hasta la Figura 3.47 se comparan, para los 5 casos de carga presentados en la Tabla 3.11, los valores de C1 de la segunda aproximación con los valores obtenidos usando Diferencias Finitas y los valores propuestos por el AISC LRFD (1994) y el BS 5950-1 (2000).

Los valores de C1 para vigas cuyas condiciones de enlace son iguales en ambos apoyos (k1=k2=1 y k1=k2=0.5), son mostrados en la Figura 3.28 hasta la Figura 3.37. En estas figuras se aprecian que los resultados de la segunda aproximación se ajustan bastante bien a los resultados numéricos de la integración por Diferencias Finitas. Cabe indicar que para la flexión lateral y el alabeo libres en ambos apoyos de la viga (k1=k2=1), la segunda aproximación es ligeramente más conservadora que la primera aproximación; pero pese a esto, la segunda aproximación sigue aún brindando mejores resultados que las formulaciones dadas por el AISC LRFD (1994) y BS 5950-1 (2000).

En la Figura 3.38 hasta la Figura 3.47 se muestran los valores de C1 para las vigas cuyas condiciones de enlace de uno de sus apoyos son opuestas a las del


otro apoyo (k1=1 y k2=0.5; y, k1=0.5 y k2=1). De estas figuras, se puede apreciar que la segunda aproximación capta bastante bien los valores de C1 obtenidos usando Diferencias Finitas, aunque en ciertas situaciones de cargado puede brindar resultados ligeramente no conservadores (Figura 3.43 y Figura 3.45). Este problema puede ser corregido al afinar más las expresiones (3.29) y (3.30), pero se optó por mantener las mismas expresiones porque en general brindan buenos resultados; además, no se ha pretendido complicar más las formulaciones de esta aproximación. Por otra parte, los valores de C1 dados por el AISC LRFD (1994) y el BS 5950-1 (2000), no se ajustan a los resultados numéricos de la integración por Diferencias Finitas, y suelen presentarse como muy conservadores en la mayoría de los casos y no conservadores en otros.

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950

Diferencias Finitas (L=8 m)


Coeficiente ψ

Figura 3.28 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=k2=1). Ecuación (3.31).


1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Coeficiente β

Figura 3.29 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y momentos iguales en sus extremos (k1=k2=1). Ecuación (3.31).

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Coeficiente β

Figura 3.30 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un momento aplicado en un extremo (k1=k2=1). Ecuación (3.31).


1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Parámetro M/M 0

Figura 3.31 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=k2=1). Ecuación (3.31).

1.0

2.0

3.0

4.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Parámetro M/M 0

Figura 3.32 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=k2=1). Ecuación (3.31).


1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Coeficiente ψ

Figura 3.33 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23).

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Coeficiente β

Figura 3.34 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y momentos iguales en sus extremos (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23).


0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Coeficiente β

Figura 3.35 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un momento aplicado en un extremo (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23).

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Parámetro M/M 0

Figura 3.36 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23).


0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Parámetro M/M 0

Figura 3.37 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23).

1.0

1.5

2.0

2.5

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Coeficiente ψ

Figura 3.38 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=1 y k2=0.5). Ecuación (3.23).


1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Coeficiente β

Figura 3.39 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y momentos iguales en sus extremos (k1=1 y k2=0.5). Ecuación (3.23).

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Coeficiente β

Figura 3.40 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un momento aplicado en un extremo (k1=1 y k2=0.5). Ecuación (3.23).


1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Parámetro M/M 0

Figura 3.41 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=1 y k2=0.5).

Ecuación (3.23).

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Parámetro M/M 0

Figura 3.42 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=1 y k2=0.5).

Ecuación (3.23).


1.0

2.0

3.0

4.0

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Coeficiente ψ

Figura 3.43 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=0.5 y k2=1). Ecuación (3.23).

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Coeficiente β

Figura 3.44 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y momentos iguales en sus extremos (k1=0.5 y k2=1). Ecuación (3.23).


1.0

2.0

3.0

4.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Coeficiente β

Figura 3.45 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un momento aplicado en un extremo (k1=0.5 y k2=1). Ecuación (3.23).

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Parámetro M/M 0

Figura 3.46 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=0.5 y k2=1).

Ecuación (3.23).


0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


AISC LRFD (1994)

BS 5950



Parámetro M/M 0

Figura 3.47 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=0.5 y k2=1).

Ecuación (3.23).

135

Capítulo 4 4 ESTUDIO

COMPARATIVO DEL ESTADO LIMITE

ÚLTIMO ENTRE AISC LRFD Y EC3

Con las fórmulas de diseño del AISC LRFD (1994) y del EC3 (2005), se realiza en este capítulo un estudio comparativo de la capacidad resistente de los elementos estructurales sometidos a compresión pura, flexión pura y flexo-compresión. El propósito de este estudio es aclarar las diferencias existentes entre las filosofías de diseño de ambas normas, así como determinar cuantitativamente diferencias significativas en resistencia al evaluar un perfil H (HEB 300) y un perfil I (IPE 400) con diferentes valores de esbeltez. Los casos más frecuentes de distribuciones lineales y parabólicas de momentos son considerados en este estudio.

4.1 ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN PURA

Las fórmulas de diseño del AISC LRFD (1994) y del EC3 (2005) que fueron presentadas en los Apartados 2.3.1 y 2.4.4, son empleadas en este apartado para realizar el estudio comparativo de la resistencia a compresión pura.

136 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3

4.1.1 Análisis comparativo de las formulas de diseño para

compresión pura

Los parámetros comunes que intervienen en las fórmulas del EC3 (2005) y del AISC LRFD (1994) se obtienen al igualar las expresiones (2.71) y (2.23); y, (2.71) y (2.24):

para 51.c ≤λ :

yc

c

M

yfA.

Af

=

2

1

6580 λφγ

χ (4.1)

para 51.c >λ :

yc

c

M

yfA

.Af

=

21

8770

λφ

γ

χ (4.2)

De estas expresiones, se puede observar que el cociente 1/φc del AISC LRFD (1994) y el factor de seguridad parcial γM1 del EC3 (2005) tienen el mismo significado, puesto que ambos reducen la resistencia nominal a compresión. Adicionalmente, es posible obtener, en función de la esbeltez, un factor de reducción χLRFD totalmente equivalente al del EC3 (2005):

para 51.≤λ :

=

2

6580λ

χ .LRFD (4.3)

para 51.>λ :

=

2

8770

λχ

.LRFD (4.4)

En estas expresiones se sustituyó la esbeltez cλ por λ porque ambas tienen la misma definición [expresiones (2.25) y (2.64)].

4.1.2 Resultados comparativos para compresión pura

En la Figura 4.1, se muestran las cinco curvas de pandeo del EC3 (2005) y la única curva de pandeo del AISC LRFD (1994) que es definida por las expresiones (4.3) y (4.4). Como se puede apreciar, el EC3 (2005) no reduce la

resistencia de la sección cuando la esbeltez adimensional λ es menor o igual a 0.2. En cambio, con el AISC LRFD (1994), la no reducción de la resistencia se da

4.1 elementos sometidos a compresión pura 137

sólo cuando λ es igual a 0. Para 001400 .. ≤≤ λ y 502801 .. ≤≤ λ la curva de pandeo del AISC LRFD se encuentra entre la curva “a” y la curva “b” del EC3;

para 801001 .. ≤≤ λ , ésta se encuentra entre la curva “a” y la curva “a0”; y

finalmente, cuando 003502 .. ≤≤ λ la curva de pandeo del AISC LRFD coincide con la curva “b” del EC3. Las seis curvas de pandeo alcanzan un factor de reducción aproximadamente igual a 0.10 para una esbeltez no adimensional de 3.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

EC3 - curva a0

EC3 - curva a

EC3 - curva b

EC3 - curva c

EC3 - curva d

AISC LRFD

Esbeltez adimensional λ

Fac

tor de

reducc

ión

χ

Figura 4.1 Comparación de las curvas de pandeo en elementos sometidos a compresión pura.

Por otro lado, la capacidad resistente a compresión no sólo depende de la curva de pandeo sino que también depende del factor de seguridad parcial que reduce la tensión de fluencia. El EC3 (2005) sugiere emplear un factor de seguridad parcial γM1 igual a 1; mientras que el AISC LRFD (1994) recomienda usar el factor φc igual a 0.85, el cual, como ya ha sido mencionado antes, cumple la misma función que el inverso del factor γM1. La Figura 4.2 presenta las resistencias a compresión, dadas por el EC3 (2005) y el AISC LRFD (1994), en función de la esbeltez adimensional. Por simplificación, sólo se incluyen las curvas “a”, “b” y “c” del EC3, las cuales son comúnmente empleadas en los perfiles laminados con tensiones de fluencia en el acero de 235 a 420 MPa. Como se puede apreciar en esta figura, para valores bajos de esbeltez, el EC3 (2005) da mayores resistencias que el AISC LRFD (1994); encontrándose una diferencia máxima de 19.61% para la esbeltez adimensional de 0.2.


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

EC3 - curva a

EC3 - curva b

EC3 - curva c

AISC LRFD

Nre

sist

ente/ N

pl

Esbeltez adimensional λ

Figura 4.2 Resistencia a compresión pura.

4.2 ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN PURA

Las fórmulas de diseño del AISC LRFD (1994) y del EC3 (2005) que fueron descritas en los Apartados 2.3.3 y 2.4.6, son empleadas en este apartado para realizar el estudio comparativo de la resistencia a flexión pura.

Cabe mencionar que una comparación directa entre las formulaciones de las dos normas no es posible porque las longitudes Lp [expresión (2.32)] y Lr [expresión (2.33)] del AISC LRFD no pueden ser expresadas en función de la

esbeltez adimensional LTλ [expresión (2.75)]. Por este motivo, para realizar el

estudio comparativo, es necesario trabajar con secciones cuyas propiedades geométricas estén definidas.

4.2.1 Resultados comparativos para flexión pura

Para obtener los resultados comparativos de resistencia, se han escogido las secciones IPE 400 y HEB 300, las cuales fueron analizadas variando la esbeltez

LTλ de 0 a 3. Se consideró dos tipos de diagramas de momentos: una

distribución uniforme (ψ=1) y una distribución bi-triangular (ψ=-1). Adicionalmente, se emplearon las propiedades del acero S275 para realizar los cálculos. Para obtener la curva de pandeo correspondiente al AISC LRFD (1994), fue necesario realizar un procedimiento inverso, que consiste en determinar primero el momento nominal Mn y luego el factor de reducción al dividir Mn entre el momento plástico Mpl. En los casos con distribución bi-

4.2 elementos sometidos a flexión pura 139

triangular de momentos, se determinaron las dos curvas de pandeo del EC3 (2005) correspondientes a los factores de reducción χLT [expresión (2.79)] y χLT,mod [expresión (2.81)].

Todos los resultados comparativos son mostrados gráficamente desde la Figura 4.3 hasta la Figura 4.10. En cada una de estas figuras se muestra una escala gráfica que relaciona la longitud de la viga con la esbeltez adimensional

LTλ . La curva de pandeo del EC3 que hace referencia al factor χLT,mod ha sido

denominada en las figuras como “EC3 (curva modificada)”.

Las Figura 4.3 y Figura 4.4 muestran una comparación de las curvas de pandeo para el IPE 400 con distribución uniforme (ψ=1) y bi-triangular (ψ=-1) de momentos. Para este perfil, el EC3 asigna la curva “b” de pandeo lateral. En ambas figuras se pueden apreciar que los factores de reducción del EC3 son más conservadores que los del AISC LRFD. Las diferencias más significativas se

registran para valores de LTλ menores a 1.50. Para la distribución uniforme de

momentos (Figura 4.3), la máxima diferencia encontrada es de 41.95% y se da

para 21.LT =λ , lugar en donde el pandeo lateral del AISC LRFD deja de tener

un comportamiento elástico-plástico a tener un comportamiento elástico. Otra diferencia importante es que el EC3 considera que el pandeo elástico-plástico

empieza a partir de LTλ mayor a 0.2, mientras que el AISC LRFD retrasa este

valor a casi 0.5. Para la distribución bi-triangular con ψ=-1 (Figura 4.4), los factores de reducción del EC3 siguen siendo más conservadores que los del

AISC LRFD. Para el valor de 1=LTλ , en donde el pandeo del AISC LRFD pasa

a tener un comportamiento elástico-plástico, se registra la máxima diferencia. Esta diferencia es de 67.50% entre el factor de reducción del AISC LRFD y el de la curva “b” del EC3, y de 36.86% entre el factor de reducción del AISC LRFD y el de la “curva modificada” del EC3.


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

AISC LRFD

EC3 (curva b)

Esbeltez adimensional λ LT

Fac

tor de

reducc

ión

LT

χ

Figura 4.3 Curva de pandeo lateral para IPE 400 con distribución uniforme de momentos.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

AISC LRFD

EC3 (curva b)

EC3 (curva modificada)


Fac

tor de

reducc

ión

LT

χ

Figura 4.4 Curva de pandeo lateral para IPE 400 con distribución bi-triangular de momentos.

Por otro lado, las Figura 4.5 y Figura 4.6 muestran los resultados comparativos de los factores de reducción para el perfil HEB 300 con distribución uniforme y bi-triangular de momentos respectivamente. En estas


figuras, se aprecia que las curvas de pandeo de este perfil siguen el mismo comportamiento de las curvas de pandeo del perfil IPE 400, pero con una menor diferencia entre los valores dados por ambas normas.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

AISC LRFD

EC3 (curva a)


Fac

tor de

reducc

ión

LT

χ

Figura 4.5 Curva de pandeo lateral para HEB 300 con distribución uniforme de momentos.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

AISC LRFD

EC3 (curva a)

Fac

tor de

reducc

ión

LT

χ



Figura 4.6 Curva de pandeo lateral para HEB 300 con distribución bi-triangular de momentos.


Las Figura 4.7 y Figura 4.8 muestran los resultados comparativos de resistencia para el perfil IPE 400; mientras que para el perfil HEB 300, los resultados son mostrados en las Figura 4.9 y Figura 4.10. Las curvas de resistencia a flexión fueron obtenidas al afectar los valores de las curvas de pandeo del AISC LRFD y del EC3 por los factores φb y 1/γM1, respectivamente. Como se indicó en el Apartado 2.3.3, el AISC LRFD emplea el factor de resistencia φb igual a 0.90, el cual es diferente al que se usa para la resistencia a compresión; por el contra, el EC3 mantiene, para cualquier situación de carga, el mismo factor de seguridad γM1, cuyo valor recomendado es 1. Esto implica que, para el caso del AISC LRFD, la curva de resistencia quedaría determinada al multiplicar por 0.90 los valores de su curva de pandeo; mientras que para el caso del EC3, la curva de resistencia sería igual a su curva de pandeo. De la comparación de las curvas de resistencia, se concluye que para una misma distribución de momentos, las mayores diferencias se encuentran en el perfil IPE 400, que es el más susceptible a sufrir pandeo lateral que el perfil HEB 300.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Mre

sist

ente

/ M

pl

AISC LRFD

EC3 (curva b)


Figura 4.7 Resistencia a flexión pura - IPE 400 con distribución uniforme de momentos.


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Mre

sist

ente

/ M

pl

AISC LRFD

EC3 (curva b)



Figura 4.8 Resistencia a flexión pura - IPE 400 con distribución bi-triangular de momentos.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Mre

sist

ente

/ M

pl

AISC LRFD

EC3 (curva a)


Figura 4.9 Resistencia a flexión pura - HEB 300 con distribución uniforme de momentos.


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Mre

sist

ente

/ M

pl

AISC LRFD

EC3 (curva a)



Figura 4.10 Resistencia a flexión pura - HEB 300 con distribución bi-triangular de momentos.

4.3 ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXO-COMPRESIÓN

Acorde con el EC3 (2005) en su Apartado 6.3.3, la resistencia de un elemento sometido a una combinación de esfuerzo axial de compresión y momento flector es determinada usando dos tipos distintos de formulas de interacción: el primer tipo es usado para evaluar la resistencia de pandeo; mientras que el segundo tipo, para evaluar la resistencia de la sección en cada extremo del elemento. En cambio el AISC LRFD (1994), en su Capítulo H de sus especificaciones, proporciona una simple fórmula de interacción bi-lineal que permite determinar la resistencia de los “beam-columns” y evaluar, a la vez, todos los posibles modos de colapso.

De los tres procedimientos propuesto por el EC3 (2005) para evaluar la estabilidad estructural de los pórticos (Apartado 2.4.1), se empleó el segundo procedimiento, que consiste en tomar en cuenta, en el análisis global, el efecto P-∆ de segundo orden y la imperfección traslacional del pórtico. Con los esfuerzos internos obtenidos del análisis global, se procedió a verificar, en cada elemento, la resistencia de la sección en ambos extremos del elemento y la resistencia a la inestabilidad usando una longitud de pandeo igual a la longitud del elemento. Por otro lado, en lo que respecta al AISC LRFD (1994), se empleó el método simplificado descrito en el Apartado 2.3.4 para considerar los efectos

4.3 Elementos sometidos a flexo-compresión 145

P-∆ y P-δ de segundo orden. Cabe indicar que AISC LRFD (1994) no toma en cuenta las imperfecciones en el cálculo de los esfuerzos internos.

Se ha creído conveniente trabajar en este estudio comparativo con “beam-columns” simplemente apoyados en sus extremos porque las fórmulas de interacción del EC3 están basadas en la modelización de elementos simplemente apoyados de un solo vano, con condiciones de enlaces horquillados, con o sin restricciones laterales continuas, y sometidos a fuerzas de compresión, momentos concentrados en los extremos y cargas transversales.

Al realizar el análisis global de este elemento estructural, siguiendo por separado el método simplificado del AISC LRFD (Apartado 2.3.4) y el segundo procedimiento del EC3 (Apartado 2.4.1), se puede establecer las siguientes relaciones entre los esfuerzos internos de ambas normas: el momento MII del AISC LRFD será igual al momento MEd del EC3 multiplicado por el factor B1, que toma en cuenta el efecto P-δ de segundo orden; y, la resistencia requerida P del AISC LRFD será igual a la resistencia NEd del EC3. Con estas equivalencias y con la consideración de que en el “beam-column” actúan un esfuerzo axial de compresión y una distribución de momentos en el plano fuerte (N+My), se pueden volver a expresar las fórmulas de interacción del AISC LRFD [expresiones (2.48) y (2.49)] de esta manera:

Para 20.P

N

nc

Ed ≥φ

:

198 1

≤

+

y,nb

Ed,yy,

nc

Ed

M

MB

P

N

φφ (4.5)

Para 20.P

N

nc

Ed <φ

:

12

1≤

+

y,nb

Ed,yy,

nc

Ed

M

MB

P

N

φφ (4.6)

Al igual que para el caso de la flexión pura (Apartado 4.2), la comparación directa entre las formulaciones de las dos normas tampoco es posible realizarla para este caso de los elementos flexo-comprimidos, salvo que se especifiquen las propiedades de la sección.

4.3.1 Resultados comparativos para flexo-compresión

Para obtener los resultados comparativos de resistencia, se han escogido las secciones HEB 300 y IPE 400, las cuales forman parte de los grupos de perfiles


de ala ancha y de ala pequeña, respectivamente. Estos perfiles fueron

analizados con valores de esbeltez adimensional zλ de 0.50 y 1.50. Se empleó, en todos los casos, el acero S275.

Adicionalmente, se consideró que en el elemento flexo-comprimido actúan dos tipos de diagramas de momentos, los cuales son detallados en la Figura 4.11: distribuciones lineales con ψ=1 (caso 1), ψ=0 (caso 2) y ψ=-1 (caso 3); y distribuciones parabólicas con ψ=1 (caso 4), ψ=0 (caso 5).

Figura 4.11 “Beam-columns” con momentos concentrados en los extremos y cargas transversales.

Es preciso indicar que algunos de los resultados que se presentan en este apartado, fueron publicados en el International Colloquium on Stability and

Ductility of Steel Structures (Yong et al. 2006).

Desde la Figura 4.12 hasta la Figura 4.31 se presentan las curvas de interacción, que representan los valores máximos de resistencia al combinar el esfuerzo axial de compresión y el momento flector. Las fuerzas internas de diseño NEd y My,Ed son expresadas adimensionalmente al dividir sus valores entre Nb,Rd,z y Mb,Rd, que son las resistencias al pandeo del EC3 (2005) cuando el elemento está sometido a compresión pura y a flexión pura respectivamente. De las cuatro curvas que se presentan en cada figura, tres de ellas corresponden al EC3 (2005) y se refieren al límite impuesto por la resistencia de la sección (“EC3-Resistencia” en las figuras) y la resistencia al pandeo (“EC3-Método 1” y “EC3-Método 2”). La cuarta curva corresponde a la norma americana que, como ya se ha mencionado antes, sólo emplea una simple curva de interacción para evaluar todos los modos de colapso (“AISC LRFD” en las figuras). En todos los casos, se empleó el factor de reducción de pandeo lateral χLT,mod [expresión (2.81)]; y los factores de seguridad parcial del EC3 (2005) han sido tomados como γM0=1.00 y γM1=1.00, que son los valores recomendados para edificaciones. Finalmente, como resultado de las condiciones de enlace, impuestas en el “beam-column”, se tomaron las siguientes consideraciones: (1) los elementos son cargados “in-plane” respecto a su eje fuerte, pero éstos pueden fallar ya sea en un modo “out-of-plane” o en un modo “in-plane”; y (2) la longitud efectiva de pandeo lateral es igual a la longitud del elemento.

Cabe indicar que la clasificación de las secciones HEB 300 y IPE 400 fue realizada acorde con la clase correspondiente a flexión pura porque en todos los


casos analizados, no existe agotamiento de la sección por compresión pura cuando en el elemento actúa sólo un esfuerzo NEd igual a la resistencia Nb,Rd,z.

Al obtener las resistencias de los “beam-columns” en cada uno de los cincos casos de cargado (Figura 4.11), se han detectado comportamientos de colapso distintos entre los dos métodos del EC3 (2005): el Método 1 dio como resultado que el elemento fallaba en un modo de pandeo “in-plane” para NEd menores, en promedio, al 70% de Nb,Rd,z, pero para NEd mayores a este límite la tendencia al fallo se dio en el modo “out-of-plane”; por otro lado, el Método 2 siempre dio como resultado una tendencia al fallo en el modo “out-of-plane” en todos los casos analizados.

Los resultados comparativos son mostrados desde la Figura 4.12 hasta la Figura 4.23 para las distribuciones lineales de momentos; y desde la Figura 4.24 hasta la Figura 4.31 para las distribuciones parabólicas.

La Figura 4.12 y la Figura 4.13 presentan los resultados obtenidos para el perfil HEB 300 con una distribución uniforme de momentos (caso 1), en las cuales se puede apreciar que los valores de resistencia del Método 1 y del Método 2 del EC3 (2005) son muy similares entre sí. Estos valores son mayores que los del AISC LRFD (1994) para la esbeltez de 0.50 (Figura 4.12), mientras que sucede todo lo contrario para la esbeltez de 1.50 (Figura 4.13). La máxima diferencia entre los valores de resistencia de ambas normas se encuentra en el orden del 10%. Esta diferencia, así como todas las demás diferencias que se precisarán más adelante, fue medida en la dirección radial de la gráfica, en donde se tomó como origen la coordenada NEd=0 y My,Ed=0. La curva de resistencia de la sección del EC3 no prevalecerá en el diseño porque sus valores de resistencia son mayores a los valores proporcionados por los dos métodos del EC3. En la Figura 4.13 no ha sido incluida la curva de resistencia de la sección del EC3 porque sus valores son mayores a los límites de la gráfica (para un NEd=0, se obtiene un My,Ed=1.41 Mb,Rd).


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My,Ed/M

b,Rd

EC3 - Método 1 EC3 - Método 2 AISC LRFD EC3 - Resistencia

Figura 4.12 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, zλ =0.50, caso 1).

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NEd/Nb,Rd,z

My,Ed/M

b,Rd

EC3 - Método 1 EC3 - Método 2 AISC LRFD


La Figura 4.14 y Figura 4.15 muestran los resultados correspondientes a la distribución lineal de momentos con ψ=0 (caso 2). La curva de interacción del AISC LRFD mantiene su forma bi-lineal, mientras que las curvas de interacción del pandeo del EC3 adoptan una forma parabólica. También se pueden apreciar


en estas figuras que el AISC LRFD es más conservador que el EC3 y que el Método 1 es el que proporciona mayores resistencias. La máxima diferencia entre los valores de resistencia del Método 1 y del AISC LRFD es del 23%, y fue encontrada para la esbeltez de 0.50 (Figura 4.14). Por otra parte, aparecen discrepancias entre los valores de resistencia proporcionados por los dos métodos del EC3, siendo la máxima diferencia del 12% para la esbeltez de 0.50 (Figura 4.14) y del 9% para la esbeltez de 1.50 (Figura 4.15).

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NEd/Nb,Rd,z

My,Ed/M

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Para el mismo perfil HEB 300, los resultados comparativos de la distribución lineal de momentos con ψ=-1 (caso 3) son presentados en la Figura 4.16 y Figura 4.17, en las cuales se aprecia que la forma parabólica de las curvas de interacción de los dos métodos del EC3 se acentúa más, produciendo mayores diferencias entre los valores de resistencia dados por las dos normas. El AISC LRFD es más conservador que el EC3, y mantiene la forma bi-lineal en su curva de interacción. La máxima diferencia entre los valores de resistencia del AISC LRFD y EC3 es del 26% para la esbeltez de 0.50 (Figura 4.16), y del 35% para la esbeltez de 1.50 (Figura 4.17). Las diferencias en momento resistente, para un determinado valor de esfuerzo axial de compresión, son también significativas; como ejemplo se puede tomar el valor NEd/Nb,Rd,z de 0.70, correspondiente a la esbeltez de 1.50 (Figura 4.17), en donde el AISC LRFD alcanza el estado límite último con una relación de momento My,Ed/Mb,Rd de 0.34, mientras que el Método 1 y el Método 2 del EC3 lo alcanza con My,Ed/Mb,Rd de 0.69 y 0.56; estás cantidades representan diferencias mayores al 100%. Por otra parte, las diferencias encontradas entre los valores de resistencia de los dos métodos del EC3 se mantienen casi en las mismas proporciones a las del caso de la distribución lineal de momentos con ψ=0. Cabe señalar que para la esbeltez de 0.5 (Figura 4.16), los valores de resistencia del Método 1 estarán limitados por los valores de resistencia de la sección del EC3 en un gran rango de valores de NEd/Nb,Rd,z.


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NEd/Nb,Rd,z

My,Ed/M

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Los resultados obtenidos para el perfil IPE 400 con distribución lineal de momentos son presentados desde la Figura 4.18 hasta la Figura 4.23. Como se puede apreciar en estas figuras, las curvas de interacción siguen el mismo comportamiento de las curvas obtenidas para el perfil HEB 300. Sin embargo,


existen mayores diferencias entre las resistencias de las dos normas de diseño. La máxima diferencia entre los valores de resistencia de AISC LRFD y EC3 es del 37%, y se presenta para el caso de la distribución lineal de momentos con ψ=-1 y una esbeltez de 1.50 (Figura 4.23). Por otro lado, la máxima diferencia entre los valores de resistencia del Método 1 y del Método 2 del EC3 es del 13%, y corresponde al caso de la distribución lineal de momentos con ψ=0 y una esbeltez de 0.5 (Figura 4.20).

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NEd/Nb,Rd,z

My,Ed/M

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Figura 4.18 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400, zλ =0.50, caso 1).


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NEd/Nb,Rd,z

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De la Figura 4.24 a la Figura 4.31, se muestran los resultados comparativos correspondientes a los casos con distribución parabólica de momentos. Como se puede apreciar en todas estas figuras, la curva de interacción del AISC LRFD mantiene su forma bi-lineal; mientras que las curvas de interacción de los Método 1 y 2 del EC3 mantienen una forma muy parecida a las correspondientes curvas obtenidas para la distribución uniforme de momentos (caso 1). Por otro lado, en los casos analizados con esbeltez de 0.50, se puede apreciar también, que la curva de resistencia de la sección del EC3 gobernará en el cálculo de los elementos flexo-comprimidos, especialmente cuando los valores de NEd/Nb,Rd,z son relativamente bajos. Una situación similar es también reflejada en el AISC LRFD, en donde el valor del momento resistente My,Ed, correspondiente a un determinado valor de NEd, es limitado por la resistencia de la sección a esfuerzo cortante [expresión (2.50)]; esta limitación está representada en las figuras por una línea discontinua de color verde.

La Figura 4.24 y Figura 4.25 presentan los resultados obtenidos para perfil HEB 300 con distribución parabólica de momentos y con dos momentos iguales en los extremos (caso 4). Para la esbeltez de 0.50 (Figura 4.24), los valores de la curva de resistencia de la sección del EC3 son mayores en un 51%, aproximadamente, a los valores de la curva de resistencia del AISC LRFD por esfuerzo cortante. Esta diferencia es debida, principalmente, al procedimiento propuesto por cada norma para calcular el esfuerzo cortante resistente de la sección. En el AISC LRFD, el esfuerzo cortante resistente es calculado multiplicando el esfuerzo cortante nominal por el factor φv, que vale 0.9; en


cambio, en el EC3, como el factor de seguridad parcial γM0 es igual a 1.00, el esfuerzo cortante resistente sería igual al esfuerzo cortante nominal. Asimismo, los esfuerzos cortantes nominales del AISC LRFD y del EC3 son diferentes entre sí debido a que el AISC LRFD considera un área de cortante que es relativamente menor al considerado por el EC3. Con respecto a los resultados obtenidos para la esbeltez de 1.50 (Figura 4.25), se puede concluir que los mayores valores de resistencias son proporcionados por el Método 2 del EC3, los cuales difieren en un 13% con respecto a los valores del AISC LRFD, y en un 8% con respecto a los valores del Método 1.

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Los resultados comparativos para el mismo perfil HEB 300 con distribución parabólica de momentos y con un momento en uno de los extremos (caso 5), son mostrados en la Figura 4.26 y Figura 4.27. Para la esbeltez de 0.50 (Figura 4.26), el AISC LRFD es más conservador que el EC3 en todo el rango de valores de NEd/Nb,Rd,z. La máxima diferencia entre los valores de resistencia de ambas normas es del 53%, y se registra para NEd/Nb,Rd,z menores a 0.15 aproximadamente. En cambio, para la esbeltez de 1.50 (Figura 4.27) EC3 es más conservador que el AISC LRFD; y las mayores diferencias entre sus valores de resistencia se registran para un valor de NEd/Nb,Rd,z de 0.20.


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Por último, los resultados obtenidos para el perfil IPE 400 con distribuciones parabólicas de momentos y con momentos iguales en ambos extremos o con un momento en un extremo, son presentados desde la Figura


4.28 hasta la Figura 4.31. En general, para este perfil, las curvas de interacción siguen la misma tendencia a las curvas obtenidas para el perfil HEB 300.

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161

Capítulo 5 5 CONCLUSIONES Y

FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN

En este último capítulo se recogen las principales conclusiones del trabajo realizado, resaltando las aportaciones más significativas y las líneas de investigación que quedan abiertas para futuros desarrollos.

5.1 CONCLUSIONES GENERALES

Los trabajos realizados en la presente tesis se centran en el estudio de los elementos flexo-comprimidos, que forman parte de pórticos de edificación y otros sistemas estructurales.

La revisión bibliográfica presentada en el Capítulo 2 ha permitido constatar que, para evaluar la resistencia de un elemento flexo-comprimido, se deben evaluar la resistencia de la sección en los extremos del elemento y la resistencia al pandeo. Para evaluar la resistencia de la sección, Chen y Atsuta (1972; 1974) recomiendan aplicar diferentes fórmulas de interacción dependiendo del plano en donde flecta el elemento; asimismo, Galambos (1988) sugiere que la tensión de fluencia del material debe ser reducida en el cálculo de la resistencia de la sección debido a la aparición de cualquier tensión cortante. Por otra parte, para evaluar la resistencia al pandeo, Tebedge y Chen (1974) proponen una fórmula de interacción no lineal bastante sencilla, cuyos factores de interacción dependen del factor Cm y del factor de amplificación de segundo orden.

El EC3 (2005) sigue una filosofía de diseño muy parecida a la que se ha presentado en la revisión bibliográfica, en donde se mantienen los dos estados límites últimos (ELU) para todas las situaciones de carga: ELU de resistencia de

162 Capítulo 5: Conclusiones y futuras líneas de investigación

la sección y ELU de la resistencia al pandeo. Sin embargo, en lo que respecta a este último ELU, es preciso indicar que las fórmulas de interacción del EC3 (2005) son más complejas comparándolas con la fórmula que presentan Tebedge y Chen (1974). Como un ejemplo de esta complejidad, el Método 1 cuya formulación incorpora todos los fenómenos físicos del pandeo, requiere del cálculo de más de quince términos auxiliares. El AISC LRFD (1994), en cambio, integra en sus especificaciones ambos ELU, y emplea una simple aproximación bi-lineal para evaluar todos los posibles modos de colapso.

Otra diferencia clara entre estas dos normas se encuentra en el análisis estructural. El AISC LRFD (1994) no toma en cuenta la imperfección del pórtico traslacional ni las imperfecciones de los elementos, por lo cual se debe emplear la longitud de pandeo traslacional en la fórmula de interacción. En cambio, el EC3 (2005) permite emplear la longitud del elemento siempre que el análisis estructural de segundo orden sea realizado introduciendo la imperfección del pórtico traslacional.

Por otra parte, en la revisión bibliográfica, se ha visto la importancia del factor Cm en la determinación de la sección más solicitada en un elemento flexo-comprimido. De hecho, la calidad de las expresiones para determinar este factor conduce a fórmulas de interacción más exactas.

Cabe recordar que los Cm del Método 1 y del Método 2 son distintos entre sí debido a que el Cm del Método 1 fue deducido a partir de un diagrama sinusoidal de momentos; y el Cm del Método 2, a partir de un diagrama de momento uniforme.

Al igual que en el Método 2, el AISC LRFD (1994) emplea la fórmula de Austin para determinar el factor Cm en los casos con distribución lineal de momentos. Cabe indicar que esta fórmula es muy conservadora para los casos con distribución bi-triangular de momentos, es por esa razón que para estos casos el AISC LRFD (1994) y el Método 2 del EC3 (2005) son más conservadores que el Método 1.

Para obtener el factor Cm de una distribución lineal de momentos, el Método 2 y el AISC LRFD (1994) proponen el uso de la fórmula de Austin. Sin embargo, esta fórmula brinda resultados muy conservadores en los casos con distribución bi-triangular de momentos; por esta razón, cuando se comparan los resultados de los dos métodos del EC3 (2005), el Método 2 se presenta como más conservador que el Método 1 en estos casos.

Las fórmulas del Método 1, las cuales son más complejas que las del Método 2, poseen factores específicos que toman en cuenta cada fenómeno de inestabilidad que se produce en el elemento. La interacción elástica-plástica es tomada en cuenta por medio de los factores de plasticidad, los cuales hacen que las fórmulas del Método 1 se compliquen aún más. De hecho, sin la ayuda de

5.1 Conclusiones generales 163

un ordenador, sería muy complicado realizar un pre-diseño rápido con las fórmulas del Método 1 debido a que los factores de interacción son calculados de manera iterativa variando el esfuerzo axial de compresión y los momentos flectores.

En cambio, las fórmulas del Método 2 poseen factores compactos que toman en cuenta, de manera global, todos los fenómenos de inestabilidad; y su formato es el más sencillo que se puede plantear acorde con la teoría elástica de segundo orden. Sin embargo, el cálculo de los factores Cm puede resultar un tanto tedioso en este método debido a la cantidad de expresiones que existen para los casos con distribución no lineal de momentos. Además, es discutible la exactitud de estas expresiones puesto que los Cm teóricos, aparte de estar en función de la forma del diagrama de momentos, deben estar en función del esfuerzo axial de compresión, de la rigidez a la flexión y de la longitud del elemento.

Del estudio comparativo realizado para los elementos sometidos a compresión pura, flexión pura y flexo-compresión, se han detectado diferencias entre las filosofías de diseño del EC3 (2005) y AISC LRFD (1994); además, se han encontrado diferencias significativa en los valores de resistencia.

En los elementos sometidos a compresión pura, ambas normas determinan la resistencia del elemento de una manera similar porque basan sus cálculos en curvas de pandeo: el EC3 (2005) emplea cinco curvas de pandeo, mientras que el AISC LRFD (1994) emplea una única curva para el mismo propósito.

En los elementos sometidos a flexión pura, el EC3 (2005) propone dos procedimientos para calcular la resistencia. El primer procedimiento, que es el más conservador, plantea el uso de una única curva de pandeo para cada perfil, independientemente de la forma del diagrama de momentos. El segundo procedimiento plantea también el uso de una curva de pandeo para cada perfil, pero la forma de esta curva cambiará acorde con la forma del diagrama de momentos. En cuanto al AISC LRFD (1994), la resistencia es determinada calculando las longitudes laterales límites no arriostradas, las cuales conducen a una curva de pandeo para cada perfil en función de la forma de diagrama de momentos. Con respecto a los resultados comparativos, se ha logrado registrar una diferencia máxima del 42% entre los valores de las curvas de pandeo de ambas normas; esta diferencia ha sido detectada para la distribución uniforme de momentos con un valor de esbeltez adimensional a pandeo lateral de 1.2. En general, las curvas del EC3 (2005) son más conservadoras que las del AISC LRFD (1994) en los casos analizados en esta tesis.

Asimismo, en los elementos flexo-comprimidos, la mayor diferencia en resistencia entre ambas normas es del 37%, y se registra para la distribución lineal de momentos con ψ=-1 y con un valor de esbeltez de 1.5.


Sorprendentemente, los dos métodos de EC3 (2005) difieren apreciablemente cuando éstos son comparados; la diferencia máxima en resistencia es del 13%, registrada para la distribución lineal de momentos con ψ=0 y con un valor de esbeltez de 0.5. Para la distribución uniforme de momentos con un valor de esbeltez de 0.5, el AISC LRFD (1994) es más conservador en general que el EC3 (2005), pero sucede todo lo contrario para el valor de esbeltez de 1.5. En las distribuciones lineales de momentos con ψ=0 y ψ=-1, el AISC LRFD (1994) es más conservador que el EC3 (2005) en la mayoría de los casos. Por otro lado, en las distribuciones parabólicas de momentos, el EC3 (2005) brinda en algunos casos resistencias más conservadoras; y en otros casos, menos conservadoras con respecto a las resistencias del AISC LRFD (1994).

Si bien es cierto que los miembros del Comité Técnico 8 de la ECCS evaluaron estadísticamente las aproximaciones de los Método 1 y Método 2 con los resultados experimentales disponibles y con los resultados numéricos del GMNIA y ABAQUS, cabe indicar que las aproximaciones de estos métodos fueron muy bien calibradas para una distribución de momento uniforme; sin embargo, para los casos con distribución bi-triangular de momentos, los cuales suelen presentarse en la mayoría de los pilares de edificación, estas aproximaciones no se ajustan bien a los resultados numéricos. Asimismo, del estudio comparativo realizado en esta tesis, se han detectado diferencias significativas entre los valores de resistencia de ambos métodos, originando incertidumbre al calculista en la selección del método adecuado para obtener un diseño óptimo.

Por todo lo expresado, se concluye que no se justifica tanta complejidad en los métodos del EC3 (2005), puesto que sus aproximaciones no consiguen un buen ajuste a los resultados obtenidos numéricamente, especialmente en los casos con solicitaciones más comunes de carga.

Uno de los puntos claves en el análisis de la estabilidad estructural de un elemento sometido a flexión pura o a flexo-compresión, es el factor de momento uniforme equivalente (C1) de pandeo lateral. La tesis presenta una revisión de los factores C1 propuestos por diversos investigadores y normas de diseño como el EC3 (2005), el AISC LRFD (1994) y el BS 5950-1 (2000). Esta revisión ha mostrado que existe suficiente información para el caso de la flexión lateral y el alabeo no impedidos (libres) en ambos apoyos extremos de la viga. Para este caso, los valores proporcionados por las normas concuerdan bastante bien con los resultados numéricos que han sido obtenidos en esta tesis usando aproximaciones del Método de Elementos Finitos y Diferencias Finitas. Por otra parte, con la revisión bibliográfica se ha puesto en manifiesto que había una escasez de valores del factor C1 para los casos con la flexión lateral impedida y el alabeo impedido. En estos casos, se ha detectado que las normas son, en

5.2 Aportaciones más significativas 165

ciertas situaciones, muy conservadores; y en otras situaciones, no conservadores.

Tomando como referencia los valores de C1 correspondientes a apoyos extremos que no tienen impedidos ambas condiciones de flexión lateral y alabeo, se concluye que en la condición de alabeo impedido el factor C1 se incrementa significativamente cuando la flexión lateral es libre; sin embargo, el valor de C1 se mantiene o disminuye, en la mayoría de los casos, cuando la flexión lateral es impedida.

En general, las vigas con flexión lateral impedida en los enlaces tienen valores de C1 más bajos que en vigas con la flexión lateral libre en los enlaces.

Los nuevos resultados obtenidos usando Diferencias Finitas muestran que los valores de C1 dados por las normas de diseño son muy conservadores en la mayoría de los casos, pero pueden presentarse como no conservadores en los casos donde los apoyos extremos tienen impedidos ambas condiciones de enlace de flexión lateral y alabeo.

5.2 APORTACIONES MÁS SIGNIFICATIVAS

A continuación se destacan las aportaciones más significativas de esta tesis:

- Formulación del comportamiento elástico del pandeo lateral. La tesis presenta la deducción de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento elástico del pandeo lateral. Estas ecuaciones fueron obtenidas usando la teoría elástica de segundo orden.

- Determinación del factor de momento uniforme equivalente C1 de

pandeo lateral. Una de las principales contribuciones de esta tesis es la presentación de nuevos valores del factor C1, que fueron obtenidos usando el Método de Elementos Finitos y la técnica de Diferencias Finitas. Los casos de carga que se consideraron para obtener estos valores, fueron: (1) momentos aplicados en los extremos; (2) carga uniformemente distribuida con momento en cada extremo; (3) carga uniformemente distribuida con momento en un extremo; (4) carga puntual en la mitad de la luz con momento en cada extremo; (5) carga puntual en la mitad de la luz con momento en un extremo. En estos casos, se tomaron en cuenta todas las posibles condiciones de enlaces en los apoyos del elemento: flexión lateral libre con alabeo libre; flexión lateral impedida con alabeo impedido; flexión lateral impedida con alabeo libre; y flexión lateral libre con alabeo impedido. Adicionalmente, usando el algoritmo de integración por Diferencias Finitas de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento del pandeo lateral, se elaboró un programa de cálculo, denominado PANLAT, que permite obtener el momento crítico elástico de una viga bajo cualquier situación de carga y condiciones de enlace en los extremos.


- Propuestas de formulaciones sencillas para obtener el factor C1. Dos formulaciones sencillas, denominadas primera aproximación y segunda aproximación, son propuestas en la tesis para obtener el factor C1. Estas formulaciones incorporan las condiciones de enlace de los apoyos, y son aplicables a cualquier distribución de momentos flectores. La formulación de la primera aproximación sólo se aplica cuando ambos apoyos extremos de la viga tienen iguales restricciones a la flexión lateral y al alabeo; mientras que la formulación de la segunda aproximación se aplica tanto a vigas con iguales restricciones a la flexión lateral y al alabeo en ambos apoyos, como a vigas con restricciones a la flexión lateral y al alabeo en uno de sus apoyos pero sin restricciones en el otro apoyo. Ambas formulaciones brindan resultados muy cercanos a los resultados numéricos de la integración por Diferencias Finitas, e inclusive dan una mejor aproximación que las formulas propuestas por el AISC LRFD (1994) y BS 5950-1 (2000). Por otra parte, cabe indicar que el ECCS Technical Committee 8 - Stability (2006) sugiere el uso de ambas formulaciones planteadas en esta tesis.

- Estudio comparativo de la resistencia estructural entre el AISC LRFD (1994) y EC3 (2005). La tesis presenta un estudio comparativo de las filosofías de diseño del AISC LRFD (1994) y EC3 (2005) para los elementos sometidos a compresión pura, flexión pura y flexo-compresión. De los resultados comparativos obtenidos, se han detectado diferencias significativas entre ambas normas y entre ambos métodos del EC3 (2005), especialmente para las solicitaciones de cargas más comunes que suelen presentarse en los pilares de edificación.

5.3 FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN

El trabajo descrito en esta tesis abre nuevas líneas de investigación, las cuales son mencionadas a continuación de manera esquemática.

- Planteamiento de una formulación para determinar los factores Cm. Debido a que los valores de Cm son determinantes para conseguir una mayor exactitud en las fórmulas de interacción, se debe plantear, basándose en un estudio más minucioso, una formulación sencilla para determinar los factores Cm en función de los siguientes parámetros que intervienen en un análisis de segundo orden: diagrama de momentos, esfuerzo axial de compresión, rigidez a la flexión y longitud del elemento. Se sugiere que esta formulación sea deducida a partir de un diagrama de momento uniforme, de tal forma que pueda ser incorporada en los procedimiento de diseño del Método 2 del EC3 (2005) y AISC LRFD (1994).

- Mejoramiento del Método 2 del EC3 (2005) usando valores de Cm más

exactos. Como se sabe, el Método 2 propone un procedimiento de cálculo más sencillo que el propuesto por el Método 1, por lo cual puede ser conveniente

5.3 Futuras líneas de investigación 167

emplear el Método 2 como base para la elaboración de futuras normativas, no sin antes mejorar sus expresiones para calcular los factores Cm.

- Estudio concienzudo para clasificar una sección sometida a flexo-compresión. Un tema que no está claro en el EC3 (2005) y que merece un estudio más profundo, es la clasificación de la sección de los elementos flexo-comprimidos, especialmente cuando se tienen momentos flectores actuando en ambos planos del elemento. Lo ideal sería proponer una formulación sencilla que no dependa del momento flector aplicado, tal como lo hace la norma americana (AISC LRFD 1994).

- Extensión de las formulaciones propuestas para calcular el factor C1 en

elementos que poseen arriostramientos laterales intermedios. Las formulaciones propuestas en esta tesis para determinar el factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral, son aplicables a elementos que no poseen arriostramientos laterales intermedios. Sin embargo, en la realidad, existen casos en donde los elementos tienen arriostramientos laterales intermedios, que de alguna forma pueden influir significativamente en el cálculo del factor C1. Como consecuencia, un estudio más profundo de este factor C1 para estos casos debe ser llevado a cabo, y a la vez se puede extender la aplicación de las formulaciones propuestas en este trabajo.

169

Apéndice A A ARTÍCULOS Y

COMUNICACIONES GENERADOS

En este apéndice se incluyen las publicaciones que han sido originadas al llevar a cabo el presente trabajo. Se adjuntan también las primeras páginas de las publicaciones en donde se pueden ver los resúmenes de los artículos.

Artículo publicado en revista científica:

Miguel A. Serna, Aitziber López, Iñigo Puente & Danny J. Yong. (2006). “Equivalent uniform moment factors for lateral-torsional buckling of steel members”. Journal of Constructional Steel Research, 62(2006), pp. 566-580.

Comunicaciones en congresos internacionales:

Danny J. Yong, Aitziber López & Miguel A. Serna (2006). “A comparative study of AISC LRFD and EC3 approaches to beam-column buckling resistance”, in Proceedings of International Colloquium on Stability and Ductility of Steel Structures, Lisbon, Portugal, vol 2, pp. 1109-1116, September 6-8.

170 Apéndice A: Artículos y comunicaciones generados

Aitziber López, Danny J. Yong & Miguel A. Serna (2006). “Lateral-torsional buckling of steel beams: a general expression for the moment gradient factor”, in Proceedings of International Colloquium on Stability and Ductility

of Steel Structures, Lisbon, Portugal, vol 1, pp. 347-354, September 6-8.

Danny J. Yong, David Fernández-Lacabe, Aitziber López & Miguel A. Serna (2007). “Initial imperfections and buckling analysis for beam-columns: a comparative study of EC-3 proposals”. Third International Conference on Steel and Composite Structures, Manchester, UK, July 30-August 1.

Artículo enviado a revista científica:

Danny J. Yong, Aitziber López & Miguel A. Serna. (2007). “Beam-column resistance of steel members: a comparative study of AISC LRFD and EC3 approaches”. Engineering Structures.

Apéndice A: Artículos y comunicaciones generados 171

177

Apéndice B B FORMULACIÓN DEL

COMPORTAMIENTO ELÁSTICO DE UN

ELEMENTO

En el presente apéndice, se formulan las ecuaciones diferenciales generales que gobiernan el comportamiento elástico de un elemento sometido a un sistema de cargas. Estas ecuaciones han sido empleadas para deducir las Ecuaciones (3.20) y (3.21) del Capítulo 3, que se usaron para determinar el factor C1 de pandeo lateral.

B.1 DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES GENERALES

Para deducir las ecuaciones diferenciales generales, se considera un elemento estructural sometido a un sistema de cargas como el que se muestra en la Figura B.1. Bajo estas solicitaciones, el elemento se deformará desplazándose u, v y w en las direcciones x, y y z respectivamente, con giros de flexión en los dos planos y giro de torsión φ. En esta posición deformada, se tomará un elemento diferencial dx para analizar las variaciones de las deformaciones y de las fuerzas internas que se producen a lo largo del elemento. Estas variaciones son ilustradas en la Figura B.2 y la Figura B.3.

178 Apéndice B: Formulación del comportamiento elástico de un elemento

Figura B.1 Sistema de cargas distribuidas.

Figura B.2 Desplazamientos y rotaciones en un elemento diferencial.

Mx N

My

Vy

Mz

Vz

N+dNV +dVy y

M +dMy y

M +dMz z

V +dVz zM +dMx x

zq

qy

xq

Figura B.3 Fuerzas internas en un elemento diferencial.

B.1 Deducción de las Ecuaciones diferenciales generales 179

A continuación se describen los pasos a seguir para deducir las ecuaciones diferenciales generales:

1) Notación de los ejes y vectores unitarios asociados

Se asumen las siguientes notaciones para los ejes globales y locales, y sus correspondientes vectores unitarios asociados:

- Sistema de ejes globales (x, y, z) y sus vectores unitarios i , j , k .

- Sistema de ejes locales de la sección (X, Y, Z) y sus vectores unitarios

I , J , K .

- Sistema de ejes locales de la sección a distancia dx (X*, Y*, Z*) y sus

vectores unitarios *I , *J , *K .

2) Fuerzas externas aplicadas por unidad de longitud

Acorde con la notación asumida para los ejes globales, las fuerzas externas aplicadas por unidad de longitud (Figura B.1) pueden ser expresadas de forma vectorial:

kqq;jqq;iqq zzyyxx === (B.1)

Además, para generalizar la aplicación de las formulaciones a deducir, se asumirá que estas fuerzas están aplicadas en cualquier punto de la sección recta tal como se muestra en la Figura B.4. Las distancias yq y zq son medidas desde el centroide de la sección al punto de aplicación de la fuerza.

y

z

qxy qxz

xqqzy

qzz

zq

qyyqyz

yq

Figura B.4 Nomenclatura para las coordenadas de los puntos de aplicación de las fuerzas.

3) Origen de los ejes (coordenadas en ejes globales)

Por otra parte, se determinan las coordenadas de los orígenes de cada sistema de ejes con respecto a las coordenadas del origen del sistema de ejes globales:


- O (0, 0, 0) para los ejes (x, y, z).

- C (x+u, v, w) para los ejes (X, Y, Z).

- C* (x+u+dx+du, v+dv, w+dw) para los ejes (X*, Y*, Z*).

con u=u(x), v=v(x) y w=w(x).

4) Ecuaciones de cambio de ejes

A partir de las orientaciones de los desplazamientos y rotaciones, indicadas en la Figura B.2, se dedujeron las ecuaciones que se emplearán para pasar de un sistema de ejes a otro:

}{ [ ] }{eTE =

−−

−=

k

j

i

dx

dw

dx

dv

dx

dw

dx

dv

K

J

I

1

1

1

φ

φ (B.2)

y

}{ [ ] }{e*T*E =

( )

( )

+−

+−

+

+−

+

+

=

k

j

i

ddx

dwd

dx

dw

ddx

dvd

dx

dv

dx

dwd

dx

dw

dx

dvd

dx

dv

*K

*J

*I

1

1

1

φφ

φφ (B.3)

5) Proyección de los esfuerzos de los ejes locales a ejes globales

Las fuerzas internas producidas en los ejes locales pueden ser proyectadas a ejes globales de la siguiente manera:

- Esfuerzos de la sección inicial del elemento diferencial (S ):

KVJVINS zy ++=

{ } { }ESS T=

{ } [ ]{ }eTSS T= (B.4)


- Esfuerzos de la sección final del elemento diferencial ( *S ):

( ) ( ) ( ) *KdVV*JdVV*IdNN*S zzyy +++++=

{ } { }*E*S*S T=

{ } [ ]{ }e*T*S*S T= (B.5)

- Momentos de la sección inicial del elemento diferencial (M ):

KMJMIMM zyx ++=

{ } { }EMM T=

{ } [ ]{ }eTMM T= (B.6)

- Momentos de la sección final del elemento diferencial ( *M ):

( ) ( ) ( ) *KdMM*JdMM*IdMM*M zzyyxx +++++=

{ } { }*E*M*M T=

{ } [ ]{ }e*T*M*M T= (B.7)

6) Puntos de aplicación de las fuerzas aplicadas en la configuración deformada

En una configuración sin deformar (Figura B.5), los puntos de aplicación Cqx, Cqy y Cqz de las fuerzas qx, qy y qz tienen coordenadas (x+dx/2, yqx, zqx), (x+dx/2, yqy, zqy) y (x+dx/2, yqz, zqz) respectivamente. Con estas coordenadas se pueden determinar, de manera vectorial, los puntos de aplicación de las fuerzas externas en una configuración deformada ( qxOC , qyOC y qzOC ):

{ }{ }**Ezykdw

wjdv

vidu

u**OCOC qqq 0222

+

++

++

++=

{ } { }[ ]{ }e**Tzyedw

wdv

vdu

udx

xOC qqq 02222

+

+

+

+++= (B.8)

Estos vectores qOC serán empleados para plantear las ecuaciones de

equilibrio de momentos.


+ qqq z,y,

dxxC

2

y

z

xO

dx

C

Y

X

Z **Z

**X

**Y

**C *C*X

*Z*Y

Figura B.5 Punto de aplicación de la fuerza en la configuración sin deformar del elemento diferencial.

7) Equilibrio de fuerzas

Debido a que las fuerzas externas están aplicadas en los ejes globales, el equilibrio de fuerzas será realizado según estos ejes.

Para identificar los esfuerzos proyectados en los ejes globales, se empleará el subíndice “g“:

{ } { }zgygg

T

g VVNS = y

{ } { }zgzgygygggT*

g dVVdVVdNNS +++= (B.9)

así, los esfuerzos S y *S de las expresiones (B.4) y (B.5) pueden ser escritos nuevamente como:

{ } { }eSST

g= y { } { }eS*ST*

g= (B.10)

con

{ } { } [ ]TSS TT

g = y { } { } [ ]*T*SS TT*g = (B.11)

Realizando ahora el equilibrio de fuerzas en el elemento diferencial con los

esfuerzos S y *S de la expresión (B.10), se obtienen las siguientes ecuaciones:

xg

qdx

dN−= ; y

ygq

dx

dV−= y z

zgq

dx

dV−= (B.12)

Con la primera ecuación indicada en (B.11), los esfuerzos de los ejes globales pueden ser expresados en función de los esfuerzos producidos en los ejes locales:

dx

dwV

dx

dvVNN zyg −−= (B.13)


φzyyg VVdx

dvNV −+=

zyzg VVdx

dwNV ++= φ

Las ecuaciones de equilibrio según ejes locales son obtenidas al derivar las ecuaciones (B.13) con respecto a x, y al sustituir después el primer miembro de cada ecuación por la correspondiente expresión indicada en (B.12):

xzz

yy

qdx

wdV

dx

dw

dx

dV

dx

vdV

dx

dv

dx

dV

dx

dN−=−−−−

2

2

2

2

yzzy

qdx

dV

dx

dV

dx

vdN

dx

dv

dx

dN

dx

dV−=−−++

φφ

2

2

zyyz

qdx

dV

dx

dV

dx

wdN

dx

dw

dx

dN

dx

dV−=++++

φφ

2

2

(B.14)

8) Equilibrio de momentos

El equilibrio de momentos se realizará en el punto C del elemento diferencial (Figura B.5 y Figura B.3) y según los ejes globales.

Se empleará, al igual que en el equilibrio de fuerzas, el subíndice “g” para hacer referencia a los momentos proyectados en los ejes globales:

{ } { }zgygxg

T

g MMMM = y

{ } { }zgzgygygxgxgT*

g dMMdMMdMMM +++= (B.15)

De esta forma, los momentos M y *M de las expresiones (B.6) y (B.7) pueden ser expresados nuevamente como:

{ } { }eMMT

g= y { } { }eM*MT*

g= (B.16)

Por otra parte, los esfuerzos *S [expresión (B.10)] y las fuerzas

( )zyx q,q,qq = producen momentos en el punto C, los cuales son determinados

realizando el producto vectorial de *S*CC ∧ y ( )dxqCC q ∧ respectivamente.

Los vectores *CC y qCC son determinados en la configuración deformada del elemento, y tienen las siguientes expresiones:


( ) kdwjdvidudx*CC +++= (B.17)

{ }[ ]{ }e**Tzykdw

jdv

idudx

OCOCCC qqqq 02222 +++

+=−= (B.18)

En consecuencia, los momentos en el punto C producidos por los esfuerzos

*S serían:

( ) ( )[ ]( ) ( )( )[ ]( )( ) ( )[ ]kdNNdvdVVdudx

jdVVdudxdNNdw

idVVdwdVVdv*S*CC

ggygyg

zgzggg

ygygzgzg

+−++

+++−+

++−+=∧

(B.19)

y los producidos por las fuerzas q :

( ) ( ) ( )dxqCCdxqCCdxqCC zqzyqyxqx ∧+∧+∧ (B.20)

con

( )

kdxqd

zydv

jdxqzd

ydw

dxqCC

xqxqxxqxqx

xqx

+−+−

+

++

=∧

2222φ

φφ

φ (B.21)

( )

kdxqdx

dwd

dx

dwz

dx

dvd

dx

dvy

dudx

idxqzd

ydw

dxqCC

yqyqy

yqyqy

yqy

+−

+−+

+

+

++−

=∧

21

21

22

22φ

φ (B.22)

( )

jdxqdx

dwd

dx

dwz

dx

dvd

dx

dvy

dudx

idxqd

zydv

dxqCC

zqzqz

zqzqz

zqz

+−

+−+−

+

+−+

=∧

21

21

22

22φ

φ (B.23)

Realizando el equilibrio de momentos en el punto C y despreciando los infinitésimos de orden superior, se consiguen las siguientes ecuaciones:


( ) ( ) 0=−++−+− φφ qzqzzqyqyyzgygxg

zyqzyqdx

dvV

dx

dwV

dx

dM

( ) 0=

++++−+

dx

dwz

dx

dvyqzyqV

dx

dwN

dx

dMqzqzzqxqxxzgg

ygφ

( ) 0=

+−−−+−

dx

dwz

dx

dvyqzyqV

dx

dvN

dx

dMqyqyyqxqxxygg

zgφ

(B.24)

Los momentos de los ejes globales pueden ser expresados en función de los esfuerzos producidos en los ejes locales al sustituir, en estas ecuaciones, las expresiones de Ng, Vyg y Vzg indicadas en (B.13):

( ) ( )φφ

φφ

qzqzzqyqyy

zyzyxg

zyqzyq

dx

dvVV

dx

dwN

dx

dwVV

dx

dvN

dx

dM

−−++

+

++−

−+=

( )

+−+−

+

+++

−−−=

dx

dwz

dx

dvyqzyq

VVdx

dwN

dx

dw

dx

dwV

dx

dvVN

dx

dM

qzqzzqxqxx

zyzyyg

φ

φ

( )

++−+

+

−+−

−−=

dx

dwz

dx

dvyqzyq

VVdx

dvN

dx

dv

dx

dwV

dx

dvVN

dx

dM

qyqyyqxqxx

zyzyzg

φ

φ

(B.25)

Asimismo, como { } { } [ ]TMM TT

g = , los momentos de los ejes globales

pueden ser expresados también en función de los momentos producidos en los ejes locales:

dx

dwM

dx

dvMMM zyxxg −−=

φzyxyg MMdx

dvMM −+=

zyxzg MMdx

dwMM ++= φ

(B.26)

Por último, las ecuaciones de equilibrio según los ejes locales son obtenidas al derivar las ecuaciones (B.26) con respecto a x, y al sustituir después el primer


miembro de cada ecuación por la correspondiente expresión indicada en (B.25); los infinitésimos de orden superior son despreciados:

( ) ( ) 0=−++−

+−+

−

−

φφ qzqzzqyqyy

yzzyx

zyqzyq

dx

dwV

dx

dvV

dx

dwM

dx

d

dx

dvM

dx

d

dx

dM

( )

( ) 0=

++++

+−−−

+

dx

dwz

dx

dvyqzyq

VVMdx

d

dx

dvM

dx

d

dx

dM

qzqzzqxqxx

yzzxy

φ

φφ

( )

( ) 0=

+−−−

+−++

+

dx

dwz

dx

dvyqzyq

VVMdx

d

dx

dwM

dx

d

dx

dM

qyqyyqxqxx

zyyxz

φ

φφ

(B.27)

9) Ecuaciones constitutivas de la flexión y torsión

Acorde con la teoría de los desplazamientos pequeños, las ecuaciones constitutivas con esfuerzos y momentos según los ejes de la sección serían:

Ndx

duEA N = ; y

FTy M

dx

wdEI −=

2

2

; zFT

z Mdx

vdEI =

2

2

y

xFT

wFT

t Mdx

dEI

dx

dGI =− 3

3φφ

(B.28)

con

uuN = ; pFT www −= ; pFT vvv −= y pFT φφφ −= (B.29)

donde wp, vp y φp son las deformaciones iniciales del elemento.

Para obtener las ecuaciones constitutivas con esfuerzos y momentos según los ejes globales, se empleará la siguiente ecuación:

{ } { } [ ]TMM TT

g =

Despejando la matriz { }TM , se tiene que:


{ } { } [ ] 1−= TMMT

gT (B.30)

Como [ ] [ ]TTT =−1 en las matrices de cambio de base, la ecuación (B.30)

quedaría:

{ } { }

−

−−

=

1

1

1

φ

φ

dx

dw

dx

dv

dx

dw

dx

dvMMMMMM zgygxgzyx (B.31)

por tanto, las expresiones de los momentos producidos en los ejes locales serían:

dx

dwM

dx

dvMMM zgygxgx ++=

φzgxgygy Mdx

dvMMM +−=

φygxgzgz Mdx

dwMMM −−=

(B.32)

Así, se pueden volver a escribir las ecuaciones constitutivas indicadas en (B.28) en función de los esfuerzos y momentos según los ejes globales:

dx

dwV

dx

dvVN

dx

duEA zgygg

N ++=

φzgxgygFT

y Mdx

dvMM

dx

wdEI −+−=

2

2

φygxgzgFT

z Mdx

dwMM

dx

vdEI −−=

2

2

dx

dwM

dx

dvMM

dx

dEI

dx

dGI zgygxg

FTw

FTt ++=−

3

3φφ

(B.33)


B.2 ECUACIONES DIFERENCIALES GENERALES SEGÚN EJES GLOBALES

En este apartado, se volverán a escribir de manera ordenada las ecuaciones diferenciales deducidas en el Apartado B.1 según los ejes globales y con esfuerzos y momentos globales:

xg

qdx

dN−= (B.34)

yyg

qdx

dV−=

(B.35)

zzg

qdx

dV−=

(B.36)

( ) qzzqyyqzzqyyzgygxg

yqzqzqyqdx

dvV

dx

dwV

dx

dM−+++−= φ (B.37)

qxxqzzqzzqxxzggyg

zqdx

dwzq

dx

dvyqyqV

dx

dwN

dx

dM−−−−+−= φ (B.38)

qxxqyyqyyqxxyggzg

yqdx

dwzq

dx

dvyqzqV

dx

dvN

dx

dM+++−−= φ (B.39)

++=

dx

dwV

dx

dvVN

EAdx

duzgygg

1 (B.40)

+−+−= 2

2

2

2 1

dx

wdEIM

dx

dvMM

EIdx

wd pyzgxgyg

y

φ (B.41)

+−−= 2

2

2

2 1

dx

vdEIM

dx

dwMM

EIdx

vd pzygxgzg

z

φ (B.42)

+−−−−= 3

3

3

3 1

dx

dEI

dx

dGI

dx

dwM

dx

dvMM

dx

dGI

EIdx

d pw

ptzgygxgt

w

φφφφ (B.43)

Las incógnitas que aparecen en estas ecuaciones, son:

)x(NN gg = ; )x(VV ygyg = ; )x(VV zgzg = ;

)x(MM xgxg = ; )x(MM ygyg = ; )x(MM zgzg = ;

B.3 Particularización al caso del pandeo lateral 189

)x(uu = ; )x(vv = ; )x(ww = ; y )x(φφ =

Como se puede apreciar, el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones planteadas.

Por otro lado, para proceder a la integración de las ecuaciones diferenciales, se deben imponer las condiciones de contorno del elemento, las cuales pueden ser:

0=u ; 0=v y 0=w cuando los desplazamientos son impedidos

0=φ ; 0=dx

dv y 0=

dx

dw cuando los giros son impedidos

02

2

=dx

d φ cuando el alabeo es libre

0=dx

dφ cuando el alabeo es impedido

De este modo, usando alguna técnica adecuada de integración, como la técnica de Diferencias Finitas, se pueden obtener resultados numéricos del comportamiento elástico de un elemento sometido a diferentes solicitaciones de cargas.

B.3 PARTICULARIZACIÓN AL CASO DEL PANDEO LATERAL

A partir de las ecuaciones diferenciales generales, se pueden deducir las ecuaciones que gobiernan el comportamiento elástico a pandeo lateral [Ecuaciones (3.20) y (3.21) del Capítulo 3].

Debido a que el pandeo lateral ocurre en elementos que flectan con respecto al eje mayor de inercia de la sección, se consideran, para la deducción de las fórmulas, que qz es la única carga actuando en el elemento estructural y que esta carga está aplicada en el centro cortante de la sección. Adicionalmente, se considera que el pandeo lateral ocurrirá antes de que el elemento flecte (configuración sin deformar); por consiguiente, el desplazamiento w y sus derivadas respecto a x serán iguales a cero. Por último, los valores de wp, vp y φp deben ser iguales a cero porque el momento crítico elástico es calculado considerando que en el elemento no existe ninguna deformación geométrica previa.

Con estas consideraciones, la Ecuación (3.21) se obtiene directamente de la Ecuación (B.42):


02

2

=+− φygzgz MMdx

vdEI

Por otro lado, para deducir la Ecuación (3.20) se deriva la Ecuación (B.43) con respecto a x:

−−−= 2

2

2

2

4

4 1

dx

vdM

dx

dv

dx

dM

dx

dM

dx

dGI

EIdx

dyg

ygxgt

w

φφ

luego, se sustituyen las derivadas dMxg/dx, dMyg/dx y d2v/dx2 por sus respectivas expresiones (Apartado B.2):

( )

−−= φ

φφygzg

zygtw MM

EIM

dx

dGI

dx

dEI

12

2

4

4

y finalmente, al pasar todos los términos del segundo miembro al primer miembro, la ecuación queda:

012

2

2

4

4

=+−− zgyg

zz

yg

tw MMEIEI

M

dx

dGI

dx

dEI φ

φφ

De esta forma, queda demostrada la Ecuación (3.20) del Capítulo 3.

191

Apéndice C C PANLAT

En este apéndice se muestra la descripción de un programa llamado PANLAT, que permite determinar el momento crítico elástico de pandeo lateral en vigas metálicas. El PANLAT fue elaborado en el Instituto de Ingeniería Civil (Tecnun), y su algoritmo matemático consiste en integrar por Diferencias Finitas las Ecuaciones (3.20) y (3.21) tratadas en el Capítulo 3.

C.1 TÉCNICA DE INTEGRACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS

Las expresiones para aproximar por Diferencias Finitas pueden ser deducidas usando el primer término de la serie de Taylor de cada derivada. Para obtener la solución numérica de una función f=f(x), la abscisa x debe ser dividida en puntos de igual espaciamiento tal como se indica en la Figura C.1. Así, para un punto x=xi, la primera, segunda, tercera y cuarta derivadas de f(x) serán iguales a (Cheney y Kincaid 1999):

( )

( )

( )

( )21124

21123

112

11

4641

222

1

21

21

++−−

++−−

+−

+−

+−+−=

+−+−=

+−=

+−=

iiiiiIVi

iiiiIIIi

iiiIIi

iiIi

fffffx

f

ffffx

f

fffx

f

ffx

f

∆

∆

∆

∆

(C.1)

con

192 Apéndice C: PANLAT

n

Lx =∆ y

n

Lix =

donde L, particularizando al caso de un elemento estructural, es la longitud del elemento; y n, su número de particiones (Figura C.2).

x

)x(ff =

ix 1+ix 2+ix2−ix 1−ix

2+if

1+if

if

1−if

2−if

x∆ x∆x∆x∆

Figura C.1 Puntos igualmente espaciados para la aproximación por Diferencias Finitas.

1−i i2−i 1+i 2+i 1−n n2−n 1+n 2+n1− 02− 1 2

L

Figura C.2 Discretización para la aproximación por Diferencias Finitas.

Como se puede apreciar en la ecuación diferencial de cuarto orden [última expresión indicada en (C.1)], la representación de la Diferencia Finita en un punto involucra cinco valores de la función: fi-2, fi-1, fi, fi+1 y fi+2. En consecuencia, en un extremo del elemento, como en el punto O (Figura C.2), el uso de las expresiones (C.1) requerirá de dos valores adicionales de la función: f-1 y f-2; lo cual implica que en ese punto se necesitarán plantear dos ecuaciones adicionales, las cuales deben ser obtenidas al imponer las condiciones de contorno.

Cuando se divide el elemento en n segmentos, el uso de la aproximación por Diferencias Finitas involucrará cuatro valores adicionales de la función, originando n+5 variables desconocidas con n+1 ecuaciones; esto significa que se requerirán de cuatro condiciones de contorno para obtener las cuatro ecuaciones que faltan. En cada extremo del elemento, se pueden imponer dos

C.2 Descripción del Programa PANLAT 193

condiciones de contorno: giro de torsión y alabeo para la Ecuación (3.20); y desplazamiento y giro en el plano lateral para la Ecuación (3.21).

C.2 DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA PANLAT

Usando la técnica de integración por Diferencias Finitas, descrita en el apartado anterior, se realizó el algoritmo matemático del PANLAT en Microsoft Visual C++.

Desde el punto de vista práctico, el PANLAT permite determinar el momento crítico elástico de un elemento sometido a cualquier diagrama de momento flector respecto a su eje fuerte y con distintas condiciones de enlace en sus extremos.

Figura C.3 Presentación del programa PANLAT.

Al ejecutar el PANLAT, aparece una ventana de presentación (Figura C.3) que permite acceder a la ventana principal del programa. Esta ventana principal tiene cuatro solapas: las tres primeras permiten ingresar los datos de la viga, las condiciones de los enlaces y las cargas actuantes; y la cuarta solapa es sólo para visualizar el resultado del momento crítico elástico.


Figura C.4 Entrada de datos del elemento.

En la solapa “Datos de la viga” (Figura C.4), se escogen el tipo de perfil (laminado o armado) y las propiedades del acero (módulo de elasticidad y módulo de cortadura). La selección de las propiedades del acero se puede realizar eligiendo la normativa a usar (EA, EAE y Eurocódigo 3) o introduciendo los valores de las propiedades por medio de la opción “Otras”. Adicionalmente, en esta solapa, se ingresa la longitud del elemento.

Para la selección del perfil laminado (Figura C.5), el PANLAT cuenta con una base de datos de perfiles IPE y HE. Mientras que para los perfiles armados (Figura C.6), el programa permite que el usuario pueda crear su propio perfil ingresando las dimensiones de sus alas y alma. Todas las propiedades de las secciones laminadas y armadas pueden ser visualizadas en el programa.


Figura C.5 Selección de un perfil laminado.

Figura C.6 Creación de un perfil armado.


En la solapa “Condiciones de contorno” (Figura C.7), se pueden indicar las restricciones que tienen los apoyos de los extremos del elemento. Estas restricciones pueden ser: flexión libre (articulado) o impedida (empotrado) tanto en el eje fuerte como en el eje débil; y alabeo libre o impedido.

Figura C.7 Selección de las condiciones de contorno.

La solapa “Cargas” permite ingresar cargas concentradas y cargas distribuidas actuantes en el elemento (Figura C.8). Las cargas ingresadas pueden ser visualizadas en el programa (Figura C.9); e inclusive, si el usuario ingresa mal una de las cargas, ésta puede ser modificada o borrada.


Figura C.8 Ingreso de las cargas aplicadas.

Figura C.9 Visualización de las cargas ingresadas.

Además, desde la ventana de visualización de las cargas (Figura C.9), se puede acceder a una ventana que muestra el diagrama de momentos (Figura C.10), los máximos momentos flectores (positivo y negativo) y los puntos de localización de los momentos máximos en el elemento.


Figura C.10 Visualización del diagrama de momentos.

Por último, la solapa “Momento crítico” (Figura C.11) muestra el valor del momento crítico elástico del elemento y el factor de carga; este último, es calculado dividiendo el momento crítico elástico entre el valor absoluto del máximo momento flector producido por las cargas aplicadas.

Figura C.11 Resultados.

199

Apéndice D D EJEMPLO DE CÁLCULO

Un ejemplo de cálculo se desarrolla en este apéndice con el propósito de presentar los procedimientos propuestos por el EC3 (2005) y el AISC LRFD (1994) en la verificación de la resistencia de un elemento estructural flexo-comprimido.

Las consideraciones de diseño que fueron empleadas para determinar los resultados comparativos del Apartado 4.3.1, son tomadas en cuenta en este ejemplo.

D.1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Usando el EC3 (2005) y el AISC LRFD (1994), verifíquese si el perfil HEB 240 puede resistir los esfuerzos combinados que se indican en la Figura D.1. El elemento mide 8 m de longitud, y no tiene restricciones que impidan el desarrollo del pandeo lateral. Úsese acero S275.

KNNEd 600=

m.KNM Ed,y 140=m.KNM Ed,y 140=

KNNEd 600=

Figura D.1 HEB 240 sometido a esfuerzos combinados.

A continuación, se brindan los datos del problema en unidades del Sistema Internacional y Sistema Inglés:

Sistema de cargas:

Compresión axial: NEd = 600 KN = 134.84 kips

Momento flector máximo y-y: My,Ed = 140 KN.m = 1238.66 kip.in

200 Apéndice D: Ejemplo de cálculo

Propiedades de la sección (HEB 240):

Ancho del ala: bf = 0.240 m = 9.45 in

Espesor del ala: tf = 0.017 m = 0.67 in

Altura del alma: hw = 0.206 m = 8.11 in

Espesor del alma: tw = 0.010 m = 0.39 in

Radio del acuerdo: r = 0.021 m = 0.83 in

Área: A = 1.060*10-2 m2 = 16.43 in2

Inercia y-y: Iy = 1.126*10-4 m4 = 270.52 in4

Inercia z-z: Iz = 3.923*10-5 m4 = 94.25 in4

Inercia torsional de Saint Venant: It = 1.027*10-6 m4 = 2.47 in4

Inercia al alabeo: Iw = 4.869*10-7 m6 = 1813.17 in6

Módulo resistente elástico y-y: Wel,y = 9.383*10-4 m3 = 57.26 in3

Módulo resistente elástico z-z: Wel,z = 3.269*10-4 m3 = 19.95 in3

Módulo resistente plástico y-y: Wpl,y = 1.053*10-3 m3 = 64.26 in3

Módulo resistente plástico z-z: Wpl,z = 4.984*10-4 m3 = 30.41 in3

Sistema geométrico del elemento:

Longitud del elemento: L = 8.00 m = 314.96 in

Longitud de pandeo de flexión: KL = 8.00 m = 314.96 in

Longitud de pandeo lateral: LLT = 8.00 m = 314.96 in

Propiedades del acero:

Tensión de fluencia: fy = 275 MPa = 39.88 ksi

Módulo de elasticidad: E = 210 GPa = 30450 ksi

Módulo de cortadura: G = 81 GPa = 11745 ksi

D.2 VERIFICACIÓN ESTRUCTURAL ACORDE CON EL EC3 (2005)

Para verificar, acorde con el EC3 (2005), la capacidad resistente del perfil HEB 240 indicado en el Apartado D.1, se siguen los siguientes pasos:

1) Clasificación de la sección [Tabla 5.2 - EC3 (2005)]

Para determinar la clase de la sección, primero se debe determinar el valor de ε:

D.2 Verificación estructural acorde con el EC3 (2005) 201

yf

235=ε (fy en MPa) 9240.=ε

luego se determinan las tensiones que producen los esfuerzos actuando en la sección:

y

wEd,y

Edc

I

rhM

A

N

−

+=22

σ MPa.c 56158=σ

y

wEd,y

Edt

I

rhM

A

N

−

−=22

σ MPa.t 3545−=σ

Estas tensiones son menores a la tensión de fluencia fy, por lo cual bastará clasificar el alma de la sección como si ésta estuviera sometida a flexión pura. Para saber si el alma es de Clase 1 se debe cumplir que:

ε72≤w

w

t

c siendo rhc ww 2−=

Con los datos del enunciado, se obtiene que cw/tw=16.40 y 72ε=66.53; por lo tanto, el alma es de Clase 1.

Por otro lado para saber si el ala comprimida de la sección es de Clase 1, se debe cumplir que:

ε9≤f

f

t

c siendo r

tbc

wff −−=

22

Del cálculo, se obtiene que cf/tf=5.53 y 9ε=8.32; por lo cual el ala es de Clase 1.

Como el alma y el ala de la sección son de Clase 1, la sección será también de Clase 1.

2) Factores de seguridad parcial

Se tomarán γM0=1.00 y γM1=1.00 en todos los cálculos, puesto que el valor de 1 es el valor recomendado por el EC3 (2005) para edificaciones.


3) Verificación de la resistencia de la sección [Apartados 6.2.9 y 6.2.10 - EC3 (2005)]

Puesto que las fórmulas del Método 1 y Método 2 se basan en el concepto de factor de momento equivalente, es necesario verificar la resistencia de la sección en los extremos del elemento.

Para esto, primero se debe saber si habrá una reducción de la tensión de fluencia en el área de cortante, causada por el esfuerzo cortante máximo (Vy,Ed) que actúa en los extremos del elemento:

L

MMV

izq,Ed,yder,Ed,y

Ed,y

+= KNV Ed,y 35=

( ) fwffv trttbAA 22 ++−= 20033240 m.Av =

( )

0

3

M

yv

Rd,pl

/fAV

γ= KN.V Rd,pl 76527=

puesto que Vy,Ed es menor a 0.5Vpl,Rd, la reducción de la tensión de fluencia no será necesaria.

Posteriormente, se debe calcular el momento plástico resistente, reducido por la presencia del esfuerzo axial de compresión:

0My

Ed

/fA

Nn

γ= 2060.n =

yww

MEdw

fth

Nn 0γ

= 0591.nw =

como nw es mayor a 0.50, las siguientes expresiones se aplican:

( )

5002

.A

tbAa

ff≤

−= 2300.a =

0Myy,plRd,y,pl /fWM γ= m.KN.M Rd,y,pl 58289=

( )

( ) Rd,y,plRd,y,plRd,y,N Ma.

nMM ≤

−

−=

501

1 m.KN.M Rd,y,N 80259=

Finalmente, para verificar la resistencia de la sección la siguiente condición debe cumplirse:


Rd,y,N

Ed,y

M

MR = debe ser menor o igual a 1

Reemplazando los valores de My,Ed=140 KN.m y MN,y,Rd=259.80 KN.m, se obtiene que R es menor a 1 (R= 0.539), por lo tanto la verificación de la resistencia de la sección es satisfactoria; en otras palabras, el perfil HEB 240 de la Figura D.1 no fallará por resistencia de la sección.

4) Cálculo de los factores de reducción de la resistencia por pandeo [Apartados 6.3.1.2 y 6.3.2.2 - EC3 (2005)]

Usando las Tablas 6.1 al 6.4 del EC3 (2005), se pueden determinar las curvas de pandeo y los correspondientes factores de imperfección para el perfil HEB 240:

Eje y-y de pandeo: curva b αy=0.34

Eje z-z de pandeo: curva c αz=0.49

Pandeo lateral curva a αLT=0.21

Con esta información, se calculan los factores de reducción χy y χz [Apartado 6.3.1.2 – EC3 (2005)]:

2

2

i

i

i,crL

EIN

π=

KN.N

KN.N

z,cr

y,cr

451270

513646

=

=

i,cr

y

iN

fA=λ

5151

8940

.

.

z

y

=

=

λ

λ

( )[ ]220150 iiii .. λλαΦ +−+= 9701

0181

.

.

z

y

=

=

Φ

Φ

11

22≤

−+=

iii

iλΦΦ

χ 3100

6650

.

.

z

y

=

=

χ

χ

Luego, se procede a determinar el factor de reducción χLT con el método denominado “general case” [Apartado 6.3.2.2 del EC3 (2005)]. Adicionalmente, para mantener el mismo valor del momento crítico elástico en ambas normas de diseño, se empleará un único valor de C1, calculado con la expresión (3.27).

24

23

22

2

2

19169

35

MMMM

MC

max

max

+++= 52321 .C =


z

tLT

z

w

LT

z

crEI

GIL

I

I

L

EICM

2

2

2

2

1π

π+= m.KN.Mcr 44894=

cr

yy,pl

LTM

fW=λ 5690.LT =λ

( )[ ]220150 LTLTLTLT .. λλαΦ +−+= 7010.LT =Φ

11

22≤

−+=

LTLTLT

LTλΦΦ

χ 9010.LT =χ

Tomando en cuenta el factor de reducción modificado χLT,mod, correspondiente a la distribución lineal de momentos de la Figura D.1, se tiene que:

Izq,Ed,y

Der,Ed,y

M

M−=ψ 1−=ψ

ψ330331

1..

kc −= 6020.kc =

( ) ( ) 1802115012

≤

−−−−= .k.f LTc λ 8220.f =

1≤=fLT

mod,LT

χχ 1=mod,LTχ

5) Cálculo de los factores de interacción [Anexos A y B - EC3 (2005)] y verificación de la resistencia al pandeo [Apartado 6.3.3 - EC3 (2005)]

Los factores de interacción pueden ser determinados usando el Método 1 o el Método 2 del EC3 (2005). Una vez que se determinan estos factores, se puede realizar la verificación de la resistencia al pandeo.

Los procedimientos de cálculo que siguen los dos métodos del EC3 (2005), son presentados a continuación en los siguientes dos apartados.

D.2.1 Verificación de la resistencia al pandeo usando el Método 1

Para realizar la verificación usando el Método 1, primero se deben determinar los términos auxiliares:


i,crEdi

i,crEd

iN/N

N/N

χµ

−

−=1

1

6180

9380

.

.

z

y

=

=

µ

µ

51.W

Ww

i,el

i,pl

i ≤= 5001

1221

.w

.w

z

y

=

=

1My

Edpl

/fA

Nn

γ= 2060.npl =

01 ≥−=y

tLT

I

Ia 9910.aLT =

y,elEd

Ed,yy

W

A

N

M=ε 6362.y =ε

=z

ymax max

λ

λλ 5151.max =λ

Luego, se determina la esbeltez adimensional a pandeo lateral, correspondiente a una distribución uniforme de momento:

z

tLT

z

w

LT

z

,crEI

GIL

I

I

L

EIM

2

2

2

2

0π

π+= m.KN.M ,cr 573540 =

00

,cr

yy,pl

M

fW=λ 90400 .=λ

Para no tomar en cuenta la influencia de la fuerza axial de compresión en el fenómeno del pandeo lateral, se debe cumplir que:

lim,00 λλ ≤

Determinando la esbeltez lim,0λ , se tiene que:

+

+= 2

2

LT

w

tzy

T,crL

EIGI

II

AN

π KN.N T,cr 546908=

410 1120

−

−=

T,cr

Ed

z,cr

Edlim,

N

N

N

NC.λ 26500 .lim, =λ


Como no se cumple la condición lim,00 λλ ≤ , los factores de momento

equivalente deben ser calculados de la siguiente manera:

( )y,cr

Ed,my

N

N....C 3303602107900 −++= ψψ 50100 .C ,my =

( )LTy

LTy

,my,mymy

a

aCCC

ε

ε

+−+=

11 00 8090.Cmy =

1

11

2 ≥

−

−

=

T,cr

Ed

z,cr

Ed

LTmymLT

N

N

N

N

aCC 0001.CmLT =

Puesto que no existe momento flector actuando en el eje débil del elemento (Mz,Ed=0), los factores de plasticidad son determinados con las siguientes expresiones:

( ) ( )y,pl

y,el

plmaxmaxmy

y

yyyW

WnC

w

.wC ≥

+−−+= 2261

211 λλ

9610.C yy =

( )y,pl

y,el

z

y

ply

maxmyyzy

W

W

w

w.n

W

CwC 6014211

5

22

≥

−−+=

λ

7530.C zy =

Por consiguiente, los valores de los factores de interacción serían:

yy

y,cr

Ed

y

mLTmyyyC

N

NCCk

1

1−

=µ

9450.kyy =

z

y

zy

y,cr

Ed

zmLTmyzy

w

w.

C

N

NCCk 60

1

1−

=µ

4120.k zy =

Finalmente, se aplican las fórmulas de interacción para evaluar la resistencia al pandeo:


11 M

yy,plmod,LT

Ed,yyy

M

yy

Edy

fW

Mk

fA

NR

γ

χ

γ

χ+= debe ser menor o igual a 1

11 M

yy,plmod,LT

Ed,yzy

M

yz

Edz

fW

Mk

fA

NR

γ

χ

γ


Los valores de Ry y Rz salen menores a 1 (Ry=0.766 y Rz=0.864), por consiguiente, la verificación de la resistencia al pandeo es satisfactoria acorde con el Método 1.

D.2.2 Verificación de la resistencia al pandeo usando el Método 2

Para realizar la verificación usando el Método 2, primero se deben determinar los factores de momento uniforme equivalente:

404060 ...Cmy ≥+= ψ 400.Cmy =

404060 ...CmLT ≥+= ψ 400.CmLT =

Luego, se determinan los factores de interacción:

( )

+≤

−+=

11

801201Myy

Edmy

Myy

Edymyyy

/fA

N.C

/fA

N.Ck

γχγχλ

4860.kyy =

puesto que zλ es mayor a 0.4, el factor de interacción kzy se determina con la siguiente fórmula:

( ) ( )

−−≥

−−=

11 250

101

250

101

Myz

Ed

mLTMyz

Ed

mLT

zzy

/fA

N

.C

.

/fA

N

.C

.k

γχγχ

λ

5570.k zy =

Finalmente, se aplican las fórmulas de interacción para evaluar la resistencia al pandeo:


11 M

yy,plmod,LT

Ed,yyy

M

yy

Edy

fW

Mk

fA

NR

γ

χ

γ


11 M

yy,plmod,LT

Ed,yzy

M

yz

Edz

fW

Mk

fA

NR

γ

χ

γ


Los valores de Ry y Rz salen menores a 1 (Ry=0.544 y Rz=0.934), por consiguiente, la verificación de la resistencia al pandeo es satisfactoria acorde con el Método 2.

D.3 VERIFICACIÓN ESTRUCTURAL ACORDE CON EL AISC LRFD (1994)

Para verificar, acorde con el AISC LRFD (1994), la capacidad resistente del perfil HEB 240 indicado en el Apartado D.1, se siguen los siguientes pasos:

1) Factores de resistencia

Los factores de resistencia para la compresión y para la flexión son φc=0.85 y φb=0.90, respectivamente.

2) Verificación de la esbeltez de las alas y alma [Tabla B5.1 – AISC LRFD (1994)]

Para aplicar las fórmulas de interacción [(H1-1a) y (H1-1b) del AISC LRFD (1994)], se debe verificar que las alas y el alma del perfil no sean elementos esbeltos. Para esto, las siguientes condiciones deben cumplirse:

para el ala: f,r

f

f

t

bλ<

2

para el alma: w,r

w

w

t

cλ< con rhc ww 2−=

Los valores de λr,f y λr,w son:

10

141

−=

y

f,r

fλ 7925.f,r =λ

D.3 Verificación estructural acorde con el AISC LRFD (1994) 209

−=

yb

Ed

y

w,rfA

N.

f φλ 7401

970 61127.w,r =λ

Como bf/2tf=7.05 es menor a λr,f, y cw/tw=16.54 es menor a λr,w, las alas y el alma del perfil HEB 240 no son elementos esbeltos.

3) Cálculo de la resistencia nominal a compresión pura [Capítulo E-E2 de las Especificaciones – AISC LRFD (1994)]

La resistencia nominal a compresión pura depende del valor de la esbeltez λc, que es calculado con la siguiente expresión:

E

f

r

KL y

zc

πλ = 5151.c =λ

Como λc es mayor a 1.50, la tensión del pandeo de flexión, fcr, es:

yc

cr f.

f

=

2

8770

λ ksi.f cr 2415=

y, la resistencia nominal a compresión es igual a:

crn fAP = kips.Pn 41250=

4) Cálculo de la resistencia nominal a flexión pura [Capítulo F-F1 de las Especificaciones – AISC LRFD (1994)]

Para determinar la resistencia nominal a flexión pura, se deben conocer las tensiones de fluencia del ala y del alma:

yyf ff = ksi.f yf 8839=

yyw ff = ksi.f yw 8839=

Asimismo, se conoce que la tensión residual de compresión fr es de 10 ksi; este valor es el recomendado por el AISC LRFD (1994) para perfiles laminados. Con este valor, se puede determinar la tensión fL:

fL es el menor valor de ( )

−

yw

ryf

f

ff ksi.f L 8829=

Por otro lado, las longitudes laterales no arriostradas del elemento son:

LTb LL = in.Lb 96314=


yf

zp

f

rL

300= in.Lp 79113=

Para determinar la longitud lateral Lr, se necesitan calcular los parámetros X1 y X2:

21

AIGE

WX t

y,el

π= ksi.X 4546711 =

2

2 4

=

t

y,el

z

w

IG

W

I

IX 24

2 10003 −−= ksi*.X

así,

2

21 11 L

L

zr fX

f

XrL ++= in.Lr 08546=

Por otra parte, se pueden determinar los momentos Mr y Mpl,y:

y,elLr WfM = in.kip.M r 601710=

yy,ply,pl fWM = in.kip.M y,pl 292562=

Para determinar el factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral, se empleará la misma expresión usada en el Apartado D.2:

24

23

22

2

2

19169

35

MMMM

MC

max

max

+++= 52321 .C =

Finalmente, como Lb es menor a Lr, la resistencia nominal a flexión es calculada con esta fórmula:

( ) y,pl

pr

pbry,ply,ply,n M

LL

LLMMMCM ≤

−

−−−= 1

in.kip.M y,n 292562=

5) Cálculo del momento de segundo orden [Capítulo C-C1 de las Especificaciones – AISC LRFD (1994)]

Con el parámetro ψ, definido en el Apartado D.2, se puede determinar el factor Cm:

D.3 Verificación estructural acorde con el AISC LRFD (1994) 211

ψ4060 ..Cmy += 200.Cmy =

Luego, se determinan la carga crítica de Euler correspondiente al plano de flexión y el factor B1 que toma en cuenta los efectos de segundo orden:

E

f

r

KL y

yy,c

πλ = 8940.y,c =λ

21y,c

ye

fAP

λ= kips.Pe 558191 =

( )1

1 1

1 ≥−

=

eEd

m

P/N

CB 11 =B

De esta forma, el momento de segundo orden será igual a:

Ed,yIIy MBM 1= in.kip.M II

y 661238=

6) Verificación estructural del elemento [Ecuaciones (H1-1a) y (H1-1b) – AISC LRFD (1994)]

Como NEd/φcPn es mayor a 0.20 (NEd/φcPn=0.633), se debe aplicar la siguiente fórmula de interacción para realizar la verificación estructural:

y,nb

IIy

nc M

M

P

PR

φφ 9

8+= debe ser menor o igual a 1

El resultado de esta fórmula es R=1.110, por lo cual el perfil HEB 240 no es capaz de soportar, acorde con el AISC LRFD (1994), los esfuerzos combinados que se indican en la Figura D.1.

213

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