proyecto de refuerzo acadÉmico para … · ejercicios: 1. escribir el valor del término indicado...

NOMBRE DEL ESTUDIANTE:

_______________________________________________

INSTITUCIÓN EDUCATIVA:

________________________________________________

MODALIDAD DE BACHILLERATO:

__________________________________________

SECCIÓN: _________________

NOMBRE DEL DOCENTE APLICADOR:

______________________________________

FECHA:

_______________________________________________________________

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN

PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES

DE EDUCACIÓN MEDIA

DOCUMENTO PARA EL DOCENTE DE

MATEMÁTICA

PRAEM 2010

Ministerio de Educación Dirección Nacional de Educación

PRAEM 2010

Actividades de Refuerzo de Matemática

2

ACTIVIDAD DE REFUERZO PARA LOS ÍTEMES 1 y 2

Bloque de

contenido Contenidos Indicadores de logro

Álgebra Término general de una

sucesión aritmética

1.5 Calcula con seguridad, el n-ésimo

término de una sucesión aritmética.

1.6 Utiliza con seguridad el término general

al calcular cualquier término de una

sucesión aritmética.

Causas por lo que el estudiante no contesta bien el ítem

Dificultad al asociar el ejercicio con la sucesión aritmética.

Dificultad para encontrar la diferencia o razón de la sucesión aritmética.

Aplicación errónea de la fórmula an = a1 + (n -1)d, confundiendo los términos.

Actividad 1: Estudiemos las sucesiones

Descripción: En esta actividad estudiaremos el concepto y la manera de cómo encontrar

el n-ésimo término de una sucesión.

Observa las figuras:

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

El número de cuadros tiene la secuencia: 1, 3, 5, 7,…..

Figura (posición) 1 2 3 4

Nº de cuadritos 1 3 5 7

¿Cuáles son las características de esta secuencia de números?

a) Los números están dispuestos en forma ordenada.

b) El primer número es 1.

c) La diferencia entre un número y el otro es 2.

d) El orden de los números obedece a un criterio bien definido.

Con estas características se puede decir que:

Una sucesión (o progresión) es una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales y la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.


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3

Actividad 2: Relacionemos la sucesión con los números naturales

Descripción: Con la intensión de definir posteriormente el término general de la sucesión;

es necesario asignar a la posición de cada término, un número natural.

Ejemplo: N = {1, 2, 3, 4, 5,…n}

Sucesión: {2, 4, 6, 8, 10,…2n}

Los valores correspondientes a los números naturales (n) están multiplicados por 2. El

primer número (1) se multiplica por 2 y el resultado es 2, el segundo número (2) se

multiplica por 2 y el resultado es 4. Así sucesivamente hasta que forma la sucesión, que es

este caso es infinita.

A los valores correspondientes a “n” se les llama Dominio, y el resultado que se obtiene al

efectuar una o varias operaciones con los números naturales se le llama Rango.

Si hacemos la correspondencia: 2, 4, 6, 8, 10,…

a1, a2, a3, a4, a5,...

a1, a2, a3,...; se llaman términos de la sucesión y el subíndice indica el lugar que ocupa

en la sucesión.

Actividad 3: Encontremos el término general de una sucesión aritmética

Descripción: En esta sección de construye la fórmula que permite encontrar cualquier

término de la sucesión aritmética a partir del primer término y la diferencia entre dos

términos consecutivos.

1. ¿Cuántos cuadros se necesitan para construir la figura número 17?

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 17

a1 = 1 a2 = 3 a3 = 5 a4 = 7

a1 = 1 + 0 a2 = 2 + 1 a3 = 3 + 2 a4 = 4 + 3 a17 = ?

El número que se agrega es (n – 1) con relación al término anterior.

Si la relación se establece en función del primer término, se agrega el producto de la

diferencia entre dos números consecutivos (d) por (n – 1).


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4

Primer término 1 = 1 a1 = a1

Segundo término 1 + 2 = 3 a2 = a1 + d

Tercer término 1 + 2(2) = 5 a3 = a1 + 2d

Cuarto término 1 + 3(2) = 7 a4 = a1 + 3d

Quinto término 1 + 4(2) = 9 a5 = a1 + 4d

Si se conoce el primer término (1) y su diferencia común (2) se pueden encontrar

los otros términos utilizando la fórmula:

an = a1 + (n -1)d

Esta, nos permite encontrar el número de la posición 17: a17 = 1 + (17 – 1)2 = 33

Comprobación 1, 3 , 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33. 35,…an

R: Se necesitan 33 cuadrados para construir la figura que va en el lugar

número 17.

2. Encontrar el término general de la sucesión 5, 8, 11, 14, 17,…an

a) El primer término es a1 = 5

b) La diferencia entre dos términos consecutivos es d = 3

c) La fórmula es an = a1 + (n -1)

an = 5 + (n -1) 3

an = 5 + 3n - 3

an = 5 – 3 + 3n Ordenando términos

an = 2 + 3n Simplificando

La sucesión queda definida: 5, 8, 11, 14,…3n + 2

3. Encontrar el término general (an) en la sucesión 2.5, 4.5, 6.5, 8.5, 10.5…an

a) El primer término es a1 = 2.5

b) La diferencia es d = 4.5 – 2.5 = 2

c) La fórmula es an = a1 + (n -1) d

an = 2.5 + (n -1)2

an = 2.5 + 2n -2

an = 2n + 2.5 – 2 Ordenando términos y simplificando

A la expresión (fórmula) que sirve para obtener un término cualquiera de la

sucesión se le llama término general.


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5

Término general an = 2n + 0.5

El término general de la sucesión: 2.5, 4.5, 6.5, 8.5, 10.5,…2n + 0.5

4. Encuentra el término general (an) en la sucesión 1

2,,

1

3,

1

4,

1

5,…𝑎𝑛

En este caso, se verificarán los valores del numerador y del denominador por

separado. El numerador siempre es 1 por lo que la fórmula se aplica solo al

denominador.

a1 = 2, d = 3 - 2 = 1 → an = a1 + (n -1)d

an = 2 + (n -1)1

an = 2 + n - 1

an = n + 2 – 1 Ordenando términos y simplificando

Término general para el denominador an = n + 1

La sucesión queda definida de la siguiente forma 𝟏

𝟐,,𝟏

𝟑,𝟏

𝟒,𝟏

𝟓,…

𝟏

𝒏+𝟏

Ejercicios:

1. Escribir el valor del término indicado en el rectángulo correspondiente en las

sucesiones siguientes:

a) El valor del término 30 en la sucesión 2, 5, 8, 11, … an

b) El valor del término 50 en la sucesión 3, 11,19, 27, …an

c) El valor del término 80 en la sucesión -3, -1, 1, 3, 5,.. an

d) El valor del término 125 en la sucesión 2, -1, -4, -7,.. an

e) El valor del término 75 en la sucesión 1, -4,-9,-14,. an

f) El valor del término 60en la sucesión -1, 5, 11, 17… an

g) El valor del término 57 en la sucesión -2, 2, 6, 10,.. an


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6

2. Escribe en los espacio el término que hace falta para completar la sucesión

a) 1, 3, 5, , 9, …

b) 3, 5, 9, 11, ,…

c) , 22, 32, , 52 , 62, …

d) 1

2,

1

4, ,

1

16,. ,

1

64,…

3. Encontrar el término general de cada una de las sucesiones.

a) 5, 10, 15, 20, …

b) 7, 12, 17, 22,…

c) 1,2

3,

3

5,

4

7,

5

9,,…

d) 3, 9, 27, 81…

e) 2, 5, 10, 17, 26,…

Bibliografía

Barnett Raymond A. y otros

Precálculo Funciones y Gráficas

Cuarta Edición

McGraw – Hill

Mexico, 1999

Equipo técnico UCA MINED

Matemática Texto para el estudiante Primer Año

MINED EDUCAME

Talleres Gráficos UCA

El Salvador, 2005

Galo de Navarro, Gloria

Matemática Primer año,

UCA Editores,

EL Salvador, año 2000.


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7

ACTIVIDAD DE REFUERZO PARA EL ÍTEM 3

Bloque de


Álgebra Medios aritméticos 1.7 Identifica y calcula con interés, todos los

medios aritméticos entre dos términos de

una sucesión aritmética


Error al contar los términos que faltan en la sucesión.

Desconocimiento de la fórmula para realizar el cálculo.

Problemas de cálculo al utilizar la fórmula de la diferencia y determinar los términos

intermedios de la sucesión aritmética.

Actividad 1: Calculemos los medios aritméticos de una sucesión

Descripción: En esta actividad se considerará la forma de cómo encontrar los medios

aritméticos de una sucesión al construir su fórmula de dos maneras diferentes.

Se quiere saber la profundidad del agua acumulada en una pila al ir llenándose, si al haber

trascurrido la primera hora tiene 2 cm de profundidad. Para ello se le pide a Juan que esté

midiendo la profundidad de la pila cada hora y que escriba las medidas en un reporte.

Pero a Juan se le olvida medir la profundidad y al transcurrir 11 horas se acuerda y al

medirla obtiene que la profundidad es 27 cm.

El reporte de Juan, quedaría en la forma siguiente:

Tiempo

en horas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Profundidad

en cm 2 27

Juan pide ayuda para poder completar su reporte. ¿Podrías tu ayudarle?

Para completar el reporte, Juan puede cerrar la manguera de agua y hacer que el agua se

escape hasta que tenga el nivel inicial de 2 cm de profundidad, luego reiniciar el proceso

de llenado. De esta forma podrá medir nuevamente la profundidad del agua cada hora y

completar su reporte.

Esta solución es viable pero tiene el inconveniente de no contar con el tiempo suficiente

para completar el reporte

¿Existe otra forma de pode encontrar la solución?


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Arturo y María decidieron ayudarle. Para ello, decidieron calcular la profundidad del agua

sin necesidad de vaciar la pila realizando cada uno sus propios cálculos.

Arturo: llega a la conclusión de que los datos conocidos son los extremos de la sucesión

aritmética y que se hará el cálculo de los términos intermedios.

Haciendo el siguiente planteamiento:

2, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, 27 a, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, b

A los términos de la sucesión, comprendidos entre a y b se les llama medios aritméticos.

Al proceso de hallar los términos intermedios que faltan, se le llama interpolar medios aritméticos.

a, a1, a2, a3, a4, a5, … a n -1, b Cuando se conoce el primer y el último término Si queremos intercalar k medios aritméticos entre dos números a y b entonces tendremos una sucesión aritmética finita de k + 2 términos. 𝑎 , 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 , … , 𝑐𝑘 , 𝑏

k Fórmula an = a1 + (n-1)d Sustituyendo b = a + ((k + 2) – 1)d


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Operando b = a + (k + 1) d

Despejando d

En una sucesión aritmética donde se conozcan el primer y el último término la diferencia

común se puede obtener usando la fórmula

Aplicando la fórmula que encontró:

2, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, 27

a b

K = 9

Fórmula

Sustituyendo

La diferencia entre un término y el anterior es 2.5 y con ella se pueden obtener los términos

restantes.

Primer término 2

Segundo término 2 + 2.5 = 4.5

Tercer término 4.5 + 2.5 = 7

Cuarto término 7 + 2.5 = 9.5

Y de esta forma se puede completar el reporte de Juan

Tiempo

en horas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Profundidad

en cm 2 4.5 7 9.5 12 14.5 17 19.5 22 24.5 27


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María: utiliza la fórmula de las sucesiones aritméticas an = a1 + (n-1)d

Sustituye an por b y a1 por a b = a + (n-1)d

Despeja d b – a = (n – 1)d

Otra forma, para obtener la diferencia común o razón en una sucesión aritmética donde

se conocen el primero y el último término es

Aplicando la fórmula que María ha encontrado

n = 11

2, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, 27

a b

Fórmula

Sustituyendo

Como se puede ver el resultado es el mismo por lo que esta fórmula puede servir también

para calcular la diferencia común o razón en una serie aritmética.

En consecuencia también nos ayuda a resolver el problema de Juan, que no tiene

necesidad de vaciar la pila para completar su reporte.


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11

1

K

abd

15

)4 (- 8

d

6

4 8 d

26

12d

El reporte de Juan

Tiempo

en horas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Profundidad

en cm 2 4.5 7 9.5 12 14.5 17 19.5 22 24.5 27

¿Cuál es la diferencia entre la fórmula que encontró Arturo y la fórmula que encontró

María?

Actividad 2: Resolvamos ejercicios de interpolación de términos

Descripción: El abordaje de esta actividad esta centrada en la solución de ejercicios

diversos y el planteamiento de otros para que sean resueltos por el estudiante.

1) Interpolar cinco términos que están entre -4 y 8

Solución

Primer término (a) -4

Ultimo término (b) 8

Términos que se quieren interpolar (k) 5

Encontremos la diferencia común o razón.

Fórmula

Sustitución

La sucesión tiene una diferencia común o razón 2.


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Encuentra de otra forma la diferencia común o razón

Para interpolar los términos de la sucesión, cuando se conoce la diferencia común o razón,

se parte del primer término que es conocido, para el segundo término, se le suma la razón

al primer término, para el tercero se le suma la razón al segundo, etc.

De esta forma se completan los términos que hacen falta, y se comprueba cuando el último

término conocido coincide con los términos que se están calculando al realizar la suma

sucesiva de la razón con del término inmediato anterior que se está realizando el cálculo.

Primer término (conocido) a = - 4

Diferencia d = 2

Segundo término - 4 + 2 = -2

Tercer término - 2 + 2 = 0

Cuarto término 0 + 2 = 2

Quinto término 2 + 2 = 4

Sexto término 4 + 2 = 6

Séptimo término (conocido) 6 + 2 = 8

La sucesión es -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8

2) Interpolar

a) tres términos entre 6 y 10.

b) cinco términos entre 26 y 80.

c) nueve términos entre 65 y 165.

d) cinco términos entre - 5 y - 35.

e) siete términos entre - 45 y - 13.

f) siete términos entre 25 y 21.

g) nueve términos entre 12 y 16.


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Bibliografía



Cuarta Edición

McGraw – Hill

Mexico, 1999

Equipo técnico MINED

Matemática Texto para el estudiante Segundo año

MINED EDUCAME


El Salvador, 2009


Matemática Segundo año,

UCA Editores,

EL Salvador, 2010.


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14

ACTIVIDAD DE REFUERZO PARA LOS ÍTEMES 4 y 5

Bloque de contenido Contenidos Indicadores de logro

Algebra Suma de los n

términos de una

sucesión

1.8 Aplica correctamente y con precisión la fórmula

para obtener la suma de los primeros de una

sucesión aritmética

1.9 Resuelve ejercicios y problemas sobre

sucesiones aritméticas con interés y

perseverancia


Dificultad en aplicar la fórmula para encontrar la sumar de “n” términos de una

sucesión

Dificultad para realizar los procesos que lleven a la solución de problemas

relacionados con la sucesión aritmética

Dificultad para interpretar problemas aplicados a la suma de “n términos de una

sucesión.

Actividad 1: Sumemos términos de una sucesión aritmética

Descripción: en esta sección se describen los procedimientos para poder e sumar

términos de una sucesión aritmética, deduciendo la fórmula que se aplica para dicho

proceso

1) Resolver el problema:

Un ciclista desciende de una pendiente. En el primer segundo recorre 4 metros, pero en

cada segundo siguiente recorre 5 metros más que el anterior. Si el ciclista llega al final de

la bajada en 11 segundos.

1 s 2 s 3 s

│ │ │ │

4 m 9 m 14m

¿Cuál es la distancia total recorrida?

Para obtener la respuesta se cuenta con los siguientes datos:

El primer término es 4.

La diferencia entre dos términos consecutivos es 5.

La sucesión consta de 11 términos.

Pero, se necesita conocer todos los términos para sumarlos o una fórmula para encontrar la

suma con los datos que se conocen.


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¿Cómo encontrar la suma de los primeros n términos de una sucesión?

Para determinar la fórmula se hará el análisis de una sucesión de datos conocidos: los

números impares 1, 3, 5, 7, 9, …2n – 1, encontrando la suma de los diez primeros términos.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

Una manera de resolver esta situación es usar la calculadora para sumar uno a uno los

términos, obteniendo 100.

Pero esto no siempre es posible, por lo que es necesario observar la sucesión en busca de

una forma que pueda generalizarse.

Si se forman pares como muestra la siguiente figura:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

¿Cómo son los totales de los pares que se han formado en la sucesión?

El resultado obtenido en todos los casos es 20.

En forma general es a1 + an = 20; donde a1 es el primero y an el último término.

En este caso los términos que se sumaron fueron 10.

Como la cantidad de términos que se suman es n = 10 y cada suma involucra 2

términos, el total de respuestas obtenidas es: 𝒏

𝟐= 𝟓.

Entonces, la suma de los términos de la sucesión Sn se obtiene de multiplicar la cantidad de

sumas 5 por la suma del primero más el último término de la sucesión a1 + an = 20.

Obteniendo 5 x 20 = 100.

Obteniendo la fórmula: 𝑺𝒏 = 𝒏

𝟐 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏

Entonces para a1 + a2 + a3 + a4 +… an que es una sucesión aritmética cuya

diferencia o razón es d, la suma parcial de sus términos Sn se puede obtener

usando la fórmula:

𝑺𝒏 = 𝒏

𝟐 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏

Este razonamiento fue utilizado por Johann Carl Friedrich Gauss, quien resolvió de forma

rápida y eficaz la forma de calcular la suma de los cien primeros números. Su profesor les

encargo ese ejercicio para que practicaran sumas, y poder disfrutar de un rato de

tranquilidad, aunque Gauss le estropeó la mañana.

Gauss observó que existía una constancia entre la suma del primer término y el último, la

suma del segundo término y el penúltimo, y así sucesivamente, y lo expreso con la

siguiente ecuación general:

𝑺𝒏 = 𝒏

𝟐 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏


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16

¿Existirá otra forma de encontrar la suma parcial de términos de una sucesión aritmética?

Si la ecuación an = a1 + (n -1) d; se sustituye en la ecuación anterior se obtiene:

an = a1 + (n -1) d

𝐒𝐧 = 𝐧

𝟐 𝐚𝟏 + 𝐚𝐧

𝐒𝐧 = 𝐧

𝟐 𝐚𝟏 + 𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏 𝐝)

𝐒𝐧 = 𝐧

𝟐 𝟐𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏 𝐝

Con ella se obtiene la suma de n términos de una sucesión aritmética cuando se conocen

“a”, “n” y “d “

Entonces, para a1 + a2 + a3 + a4 +… an en una sucesión aritmética cuya

diferencia o razón es d, la suma parcial de sus términos Sn se puede

obtener usando las fórmulas:

𝑺𝒏 = 𝒏

𝟐 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏

𝐒𝐧 = 𝐧

𝟐 𝟐𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏 𝐝

Para resolver el problema del ciclista, planteado al inicio:

Un ciclista desciende de una pendiente. En el primer segundo recorre 4 metros, pero en cada segundo siguiente recorre 5 metros más que el anterior. Si el ciclista llega al final de la bajada en 11 segundos. ¿Cuál es la distancia total recorrida? S11 = a1 + a2 + a3 + a4 +…+ a11

Una forma de resolver el problema es usando la ecuación

𝐒𝐧 = 𝐧

𝟐 𝟐𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏 𝐝

En esta ecuación no se requiere conocer el último valor de la sucesión, lo que la hace más conveniente.

𝐒𝟏𝟏 =𝟏𝟏

𝟐 𝟐(𝟒) + (𝟏𝟏 − 𝟏 𝟓

𝐒𝟏𝟏 =𝟏𝟏

𝟐 𝟖) + (𝟏𝟎 𝟓

𝐒𝟏𝟏 =𝟏𝟏

𝟐 𝟖+ 𝟓𝟎

𝑺𝟏𝟏 = 𝟏𝟏

𝟐 𝟓𝟖 = 319

R: El recorrido total hecho por el ciclista es de 319 m.


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17

Si se aplica la formula 𝑺𝒏 = 𝒏

𝟐 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 es necesario encontrar el valor del último término

de la sucesión.

Para lo cual se requiere utilizar an = a1 + (n -1)d con a1 = 4, n = 11 y d = 5

Sustituyendo a11 = 4 + (11-1)5

a11 = 54

Si se conoce el valor del último término se sustituye en la ecuación

𝑺𝒏 = 𝒏

𝟐 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏

𝑺𝟏𝟏 = 𝟏𝟏

𝟐 𝟒+ 𝟓𝟒

𝑺𝟏𝟏 = 𝟏𝟏

𝟐 𝟓𝟖

𝑺𝟏𝟏 = 𝟑𝟏𝟗

R: La distancia total recorrida por el ciclista es de 319 m.

Ejemplos:

1. Encuentra la suma de los múltiplos de 9 que están entre 200 y 300.

En este caso se hace necesario encontrar los términos correspondientes a la sucesión.

Al dividir 200 ÷ 9 = 22.22… obtenemos que el primer múltiplo de 9 que está entre 200 y

300 esta ubicado en la posición 23 23 x 9 = 207 porque 22 x 9 = 198.

Al dividir 300 ÷ 9 = 33.33… obtenemos que el último múltiplo de 9 que está entre 200 y

300 esta ubicado en la posición 33 33 x 9 = 297 porque 34 x 9 = 306.

Con los datos: a1 = 207, an = 297 y d = 9; se aplica la fórmula.

an = a1 + (n -1)d

R: Entre 207 y 209 existen 11 términos.

297 = 207 +(n – 1)9

297 – 207 = 9 (n – 1)

90/9 = n – 1

10 = n -1

n = 11


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18

Con estos datos se puede encontrar la suma de los términos.

𝑺𝒏 = 𝒏

𝟐 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏

𝑺𝒏 = 𝟏𝟏

𝟐 𝟐𝟎𝟕 + 𝟐𝟗𝟕

𝑺𝒏 = 𝟏𝟏

𝟐 𝟓𝟎𝟒

Sn = 2 772

R: La suma de los múltiplos de 9 entre 200 y 300 es 2 772

2. En cuanto tiempo un empleado pagará al banco una deuda de $15,000, que ya incluye los

intereses. Si el primer mes pagó $ 1000, el segundo mes $1250, el tercer mes $1500.

¿Cuál de las fórmulas es pertinente aplicar?

a) La ecuación que permite obtener el n-ésimo término de una sucesión aritmética.

an = a1 + (n -1)d

b) La ecuación que nos permite encontrar la suma parcial de los términos de

una sucesión aritmética si se conoce n, a1 y an.

𝑺𝒏 = 𝒏

𝟐 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏

c) La ecuación que nos permite encontrar la suma parcial de los términos de

una sucesión aritmética cuando se conoce a1, n y d.

𝐒𝐧 = 𝐧

𝟐 𝟐𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏 𝐝

La primera ecuación no se puede aplicar ya que estamos buscando la suma de los

términos.

La segunda ecuación es más difícil de aplicar, ya que se necesita conocer el último

término, aunque nos permite encontrar el valor deseado.

La tercera ecuación es la que más encaja con lo que se quiere calcular y los valores

conocidos.

𝐒𝐧 = 𝐧

𝟐 𝟐𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏 𝐝

𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎 = 𝐧

𝟐 𝟐(𝟏𝟎𝟎𝟎) + (𝐧 − 𝟏 𝟐𝟓𝟎

𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎(𝟐) = 𝐧 𝟐𝟎𝟎𝟎) + (𝐧 − 𝟏 𝟐𝟓𝟎

𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝐧 𝟐𝟎𝟎𝟎 + 𝟐𝟓𝟎𝐧 − 𝟐𝟓𝟎

Sn = 15000 a1, = 1000 d = 1250-1000=250 n = ?


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19

𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝐧 𝟐𝟓𝟎𝐧 + 𝟏 𝟕𝟓𝟎

𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟓𝟎𝐧𝟐 + 𝟏 𝟕𝟓𝟎𝐧

𝟐𝟓𝟎𝐧𝟐 + 𝟏 𝟕𝟓𝟎𝐧 − 𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟎

𝟐𝟓𝟎

𝟐𝟓𝟎𝐧𝟐 +

𝟏 𝟕𝟓𝟎

𝟐𝟓𝟎𝐧 −

𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟓𝟎= 𝟎

𝐧𝟐 + 𝟕𝐧 − 𝟏𝟐𝟎 = 𝟎

𝐧+ 𝟏𝟓 𝐧 − 𝟖 = 𝟎 n1 = -15 y n2 = 8

En este caso, se desprecia n1 = -15, porque, el tiempo no puede ser negativo y se

toma n2 = 8

R: Cancelará en 8 meses.

3. Un vehículo que está valorado en $18 000, se deprecia $1 500 en el primer año, $1 450 el

segundo año y $1400 en el tercer año.

¿Cuál el precio del vehículo después de 10 años de uso?

Observa que los términos de la sucesión

disminuyen, por lo que se le denomina sucesión

estrictamente decreciente.

En el caso de sucesiones que son estrictamente decrecientes en lugar de usar la fórmula:

𝐒𝐧 = 𝐧

𝟐 𝟐𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏 𝐝

Se debe usar:

𝐒𝐧 = 𝐧

𝟐 𝟐𝐚𝟏 − (𝐧 − 𝟏 𝐝

¿Cuál es la diferencia?_______________________

¿Por qué crees que se le debe de hacer el cambio a la fórmula?

Precio base = $18 000 a1 = 1 500 a2 = 1 450 a3 = 1 400 d = 50 Sn = ? n =


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20

Sustituyendo en la fórmula: 𝐒𝐧 = 𝐧

𝟐 𝟐𝐚𝟏 − (𝐧 − 𝟏 𝐝

𝐒𝐧 = 𝟏𝟎

𝟐 𝟐(𝟏𝟓𝟎𝟎)− (𝟏𝟎 − 𝟏 𝟓𝟎

𝐒𝐧 = 𝟓 𝟑𝟎𝟎𝟎 − 𝟒𝟓𝟎

𝐒𝐧 = 𝟓 𝟐 𝟓𝟓𝟎

Sn = 12 750

El vehículo al término de los 10 años se depreciará $12 750 y para encontrar el precio del

vehículo al término de los 10 años se deberá restar el valor de la depreciación al precio

base.

18 000 – 12 750 = 5 250

R: El precio del vehículo a los 10 años de uso es de $ 5 250.

Ejercicios:

1. Efectúa los cálculos:

a) Encuentra la suma de los primeros 26 términos de una serie aritmética si el primer

término es -7 y d = 3

b) Encuentra la suma de los primeros 30 términos de una serie si el primer término es 3 y

su diferencia es 3

c) Encuentra la suma de los primeros 23 términos de una serie si el primer término es 6 y

su diferencia es 3

d) Encuentra la suma de los primeros 52 términos de una serie si el primer término es 23

y su diferencia es -2

e) Encuentra la suma de los múltiplos de 7 que están entre 350 y 700

f) Encuentra la suma de los múltiplos de 8 que están entre 500 y 700

g) Encuentre la suma de los número impares entre 51 y 99 inclusive

h) Encuentre la suma de los número pares entre -22 y 52 inclusive

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

a1 > a2 > a3 > a4 > a5 >…


PRAEM 2010


21

2. Resuelve los problemas:

a) En la ciudad de San Miguel se está jugando un campeonato de futbol que tiene $8

000 para ser repartido como premio entre los equipos participantes. Si el equipo que

quede en el último lugar es premiado con $275 y el premio aumenta la misma

cantidad para el siguiente lugar y así sucesivamente, ¿cuánto recibirá los equipos

que queden el primero, segundo y tercer lugar?

b) Un camión se compró nuevo a un costo de $35 000, se ha estimado que en el primer

año se depreciará $1 450, en el segundo año $ 1 400, para el tercer año $1

300¿Cuál es el precio del camión dentro de 15 años?

c) El Ministerio de Hacienda ha puesto una sanción a una empresa por no hacer los

pagos en las fechas correspondientes. Las multas están especificada en una tabla en

el cual se establece que pasado 1 día de la fecha establecida, pagará una multa de

$750, para dos días $900 y para tres días $1 050.

¿Cuántos días se tardó la empresa si pagó una multa de $12 150?

Bibliografía



Cuarta Edición

McGraw – Hill

Mexico, 1999



MINED EDUCAME


El Salvador, 2005



UCA Editores,

EL Salvador,

año 2000.


PRAEM 2010


22

ACTIVIDAD DE REFUERZO PARA EL ÍTEMS 7, 8 y 9

BLOQUE DE

CONTENIDOS

CONTENIDO INDICADORES DE LOGRO

Álgebra Sucesiones

geométricas

3.3 Establece, con claridad y seguridad,

la diferencia entre una sucesión

aritmética y una geométrica.

4.4 Utiliza, con seguridad, el término general

para calcular cualquier término de una

sucesión geométrica.

1.15 Identifica y calcula los medios

geométricos entre dos términos de

una sucesión geométrica, con

seguridad e interés.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:

Confunde la razón aritmética con la razón geométrica.

Dificultad para encontrar la razón geométrica.

Falta de dominio de las propiedades de la potenciación.

Dificultad para resolver ecuaciones.

Dificultad para extraer la información de una situación problema.

Actividad 1: Encontremos el término general

Descripción:

En este apartado se busca que los estudiantes recuerden los conceptos básicos que se

requieren para el desarrollo del contenido. Por lo que, antes de resolver las actividades, se

recomienda que el estudiante investigue los conceptos de razón geométrica, sucesiones y

series; además de efectuar lectura y planteamiento de diversos problemas de sucesiones

aritméticas, para reforzar la lectura comprensiva.

Ejemplos:

1. Determina si la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 32,… es geométrica y encuentra el término general.

Para que la sucesión sea geométrica, debe cumplir que el cociente entre dos términos

consecutivos es constante.

2

1=

4

2=

8

4=

16

8=

32

16= 2


PRAEM 2010


23

Para construir el término general de la sucesión realizamos lo siguiente:

Asignar al cociente entre dos términos consecutivos (razón geométrica) la variable r.

r = 2

Elevar la razón geométrica al exponente n- 1, donde n es la posición que ocupa el

término.

rn-1

Primer término: a1 = 21-1 = 20 = 1

Segundo término: a2 = 22-1 = 21 = 2

Tercer término: a3 = 23-1 = 22 = 4

Cuarto término: a4 = 24-1 = 23 = 8 ….. El término general es: an = rn-1

2. Encuentra el término general de la sucesión 2, 6, 18, 54, 153, …

Lo construimos como en el ejemplo anterior:

Encontrar la razón geométrica.

6

2=

18

6=

54

18=

153

51= 3

Asignar al cociente entre dos términos consecutivos (razón geométrica) la variable r.

r = 3

Elevar la razón geométrica al exponente n- 1, donde n es la posición que ocupa el

término.

rn-1

Primer término: a1 = 31-1 = 30 = 1 no cumple porque el primer término es 2

Segundo término: a2 =32-1 = 31 = 3 no cumple porque el segundo término es 6

Al sustituir n en la expresión, deben obtenerse los términos de la sucesión.

Si esto no ocurre, la expresión debe multiplicarse por la constante necesaria para

obtener el primer término, en este caso 2.

Obteniendo 2rn-1 que genera la sucesión.

Primer término: a1 = 2(31-1) = 2(30) = 2(1) = 2

Segundo término: a2 = 2(32-1) = 2(31) = 2(3) = 6

Tercer término: a3 = 2(33-1) = 2(32) = 2(9) = 18

Cuarto término: a4 = 2(34-1) = 2(33) = 2(27) = 54 …..

Cuando “a1” es el primer término y “r” es la razón, el término general se

escribe: an= a1rn-1 donde, n es la posición que ocupa el término en la

sucesión.


PRAEM 2010


24

3. Si el primer elemento es “a”, las razón es 3 y el último elemento es 96, encontrar “a”

r = 3, an = 96

96 = a (3n-1)

335

23n

a

na 32335 na 332

25 na 3332

2

De donde se tiene que: a= 32 y (32) = (3n)

Luego, como (32) = (3n) tienen la misma base, entonces n = 2.

4. Dado los términos 162, -54, -18, -6, 2; encontrar el término general y el octavo términoa8.

an = 162 el octavo término es:

31r 18

31

8 162

a

1

31162

n

na 731

8 162 a

2187

18 162 a

2187162

8 a

Entonces, 272

8 a

5. Si la razón “r” es 2 y el quinto término es 80, cuál es el primer término “a”.

r = 2 y a5 = 80

80 = a(2)n-1

2

280n

a n2280 160 = a(2)n 5(25) = a(2n)

Luego: a = 5 y como (25) = (2n) tienen la misma base entonces n = 5 que indica que ese es

el quinto elemento.

Ejercicios:

1) Determina si son sucesiones aritméticas o geométricas y si es sucesión geométrica

encuentra el término general. Justifica la respuesta.

a. 2, 5, 8, …, 96, 98

b. 6, -12, 24, -48, 96, -192…

c. 4, 7, 10, 13, 16, 19

d. 2, 6, 18, 51, 153, …

e. 3, 9, 15, 21, 27, 33, …

f. 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, ……


PRAEM 2010


25

Sucesiones aritméticas: a, c, e.

Porque la diferencia entre el término y el anterior es siempre constante,

para el ejercicio a: la diferencia es 3, y el primer término es 2, luego:

an = 2 + (n-1)3 an = 2 + 3n - 3 an = 3n - 1

para el ejercicio c la diferencia también es 3 y el primer término es 4,luego:

an = 4 + (n-1)3 an = 4 + 3n - 3 an = 3n + 1

para el ejercicio e la diferencia es 6, y el primer término es 3, luego:

an = 3 + (n-1)6 an = 3 + 6n - 6 an = 6n - 3

Sucesiones geométricas: b, d y f.

Porque la razón entre un término y el anterior es constante y

para el ejercicio b la razón es -2 y el primer término es 6, luego:

6 = a(-2)1-1 6 = a(-2)0 6 = a(1) a = 6, entonces an= 6(- 2)n-1

para el ejercicio d la razón es 3 y el primer término es 2

2 = a(3)1-1 2 = a(3)0 2 = a(1) a = 2, entonces an= 2(3)n-1

para el ejercicio f la razón es 1/2 y el primer término es 8

8 = a(1/2)1-1 8 = a(1/2)0 8 = a(1) a = 8, entonces an= 8(1/2)n-1

2) Para las sucesiones siguientes, encontrar el término general:

a. 24, 48, 96, 192, 384, 768,… b. 3, 15, 75, 375,…

a = 24 a = 3

r = 2 r = 5

an = 24(2)n-1 an = 3(5)n-1


PRAEM 2010


26

Actividad 2: Encontremos un término determinado de la sucesión

Descripción: Esta actividad difiere de la anterior porque se trata de encontrar los términos

desconocidos entre dos términos conocidos cuando no se sabe cuál es la razón

geométrica de la sucesión.

Resolver los siguientes ejercicios:

1. Encontrar el primer término y el término general de una sucesión geométrica. Si el tercer

término es 12 y el séptimo 192.

a3 = 12 = ar7-1 y a7 = 192 = ar7-1

Dividiendo ambos términos tenemos:

4266

2

17

131

1611

161

161

19212 ,,,

rrr

r

ar

ar

Despejando tenemos:

r4 = 16, pero como 16 = 24, entonces r = 2.

Sustituyendo en a7 = 192 = arn-1

192 = a 27-1

192 = a26

192 = a(64)

a64

192, a = 3;

Luego: a = 3, r = 2 y an = 3(2n-1)

2. El tercer término es de la sucesión geométrica es 12 y el sexto es 96, encontrar los términos

intermedios, la razón y el término general.

a3 = 12, y a6 = 96

12 = ar3-1 y 96 = ar6-1

Dividiendo ambos términos tenemos:

3255

2

16

131

811

81

81

9612 ,,,

rrr

r

ar

ar

83 r 33 2r

Luego, como r = 2, entonces n = 3

Los otros términos de la serie son:

Para a4

a4 = 3(2)4-1 a4 = 3(2)3 a4 = 3(8) a4 = 24

a5 = 3(2)5-1 a4 = 3(2)4 a4 = 3(16) a5 = 48

Luego, la serie queda determinada así: 12, 24, 48, 96


PRAEM 2010


27

ACTIVIDAD DE REFUERZO PARA LOS ÍTEMES: 10, 11 y 12

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems:

Dificultad en identificar un procedimiento correcto para resolver el problema

planteado.

Falta de dominio del desarrollo de las potencias.

Dificultad en la utilización de las fórmulas.

Actividad 1: Resolvamos problemas

Descripción: En esta actividad se inicia encontrando la suma de los términos sin utilizar la

fórmula, ya que ésta se presenta hasta el final para que se utilice para comprobar los

resultados.

Ejemplos:

1. Un cuerpo es empujado por una fuerza; en el primer impulso se desplazó 2 metros, en el

siguiente impulso 1 metro, en el siguiente medio metro, y así sucesivamente.

La sucesión generada es 2, 1, ½, 1/4, 1/8,…

a. ¿Cuál es la distancia recorrida al décimo impulso?

2561

1281

641

321

161

81

41

2112

La suma de esa distancia es.

s10 = 2 + 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+

1

64+

1

128+

1

256=

512+256+128+64+32+16+8+4+2+1

256=

1023

256

s10 = 3.99609375

BLOQUE DE

CONTENIDOS

CONTENIDO INDICADORES DE LOGRO

Álgebra Sucesiones

geométricas

1.16 Aplica, con precisión, la fórmula para la obtención

de la suma de los términos de una sucesión

geométrica.

1.17 Resuelve correctamente y con interés ejercicios y

problemas aplicando las sucesiones geométricas.


PRAEM 2010


28

Este procedimiento se facilita al aplicar la fórmula. Esta se deduce de la siguiente

forma:

A la sucesión original le restamos la mitad (porque la razón es ½) para eliminar

términos.

𝑆10

2= 1 +

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+

1

64+

1

128+

1

256+

1

512

𝑆10 −𝑆10

2= 2 + 1 +

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+

1

64+

1

128+

1

256− 1 −

1

2−

1

4−

1

8−

1

16−

1

32−

1

64−

1

128

−1

256−

1

512= 2 −

1

512

Como 𝑺𝟏𝟎 −

𝑺𝟏𝟎

𝟐=

𝟏

𝟐𝑺𝟏𝟎 entonces:

1

2𝑆10 = 2−

1

512

𝑆10 = 2(2−1

512) donde 2 =

1

2 −1

= 𝑟−1 =1

𝑟 y

1

512=

1

2

9= 𝑟𝑛−1

Obteniendo la fórmula: 𝑆𝑛 = 𝑎1 1

𝑟− 𝑟𝑛−1 = 𝑎1

1−𝑟𝑛

𝑟

b. ¿cuál es la distancia al impulso 30?

𝑆30 = 2 1−

12

30

12

= 2 1−

1230

12

= 2

230 − 1230

12

= 2 2 230 − 1

230 = 2 230 − 1

229

= 2 1,073,741,824− 1

536,870,912 = 2 1.999999998 = 3.999999996

𝑺𝟑𝟎 = 𝟑.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟔

c. ¿Podría recorrer una distancia de 4 metros si recibe 50 impulsos?

R: No, porque aunque se aproxima a 4 nunca será igual.

La fórmula utilizada anteriormente puede sustituirse por:

𝑆𝑛 =𝑎 𝑟𝑛−1

𝑟−1 Para r ≠ 1


PRAEM 2010


29

2. Un hombre desea ahorrar dinero y guarda 1 centavo el primer día, 2 centavos el segundo día,

4 centavos el tercer día y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada día. ¿Si continúa

así, ¿cuánto deberá guardar el décimo día? Suponiendo que no se acaba el dinero, ¿cuál es

total ahorrado a los 30 días?

a1 = 1, r = 2, n = 10, a10 = ?, S30 = ?

Serie = 1, 2, 4, 8, 16,...

a10 = 210-1

a10 = 29

a10 = 512

Para obtener S30, también sustituimos los datos en la fórmula y obtenemos:

1

1

r

ra

n

n

S

12

121

30

30

S

1

110737418241

30

S

1

10737418231

30 S

S30 =1,0731741,823 centavos o S30 = $101 737, 418. 23

Ejercicio:

Para la sucesión 3, 6, 12, 24,…encuentra el décimo término utilizando ambas fórmulas.


PRAEM 2010


30

Actividad 2: Interpolemos términos geométricos

Descripción: En esta actividad se presentan ejercicios resueltos con la finalidad de que

estudiante pueda seguir con detalle el procedimiento y así, fijar tanto la forma de obtener

datos del ejercicio o problema como la secuencia de operaciones que implica el uso de la

fórmula.

Ejemplos:

1. Si el primer término de la sucesión es 5 y la razón es 3, encuentre el octavo y décimo

término.

a1 = 5 y r = 3

an = a1 rn-1

a8 = 5(38-1) a10 = 5(310-1)

a8 = 5(37) a10 = 5(39)

a8 = 5(2187) a10 = 5(19683)

a8 = 10935 a10 = 98415

2. Si el tercer término de una sucesión geométrica es 5 y el sexto es – 40, encontrar los

términos: cuarto y quinto.

a3 = 5 y a6 = - 40

an = a1rn-

5 = a1r3-1 - 40 = a1r

6-1

5 = a1r2 - 40 = a1r

5


PRAEM 2010


31

Despejando a1 en la primera fórmula y sustituyendo en la segunda:

2

51 r

a - 40 = a1r5

55240 r

r

25540 r

3540 r

3

540 r

- 8 = r3 (-2)3 = r3

Luego r = - 2

Sustituyendo r en la ecuación 5 = a1r2 obtenemos:

5 = a1(-2)2

5 = 4a1

a1 = 𝟓

𝟒

Para encontrar los términos, sustituimos los valores de a1 y r en la ecuación:

an = a1rn-1

a4 = (5

4)(-2)4-1 a5 = (

5

4)(-2)5-1

a4 = (5

4)(-2)3 a5 = (

5

4)(-2)4

a4 = (5

4)(-8) a5 = (

5

4)(16)

a4 = -40

4 a5 =

40

4

a4 = -10 a5 = 20

3. Una bomba de vacío extrae la mitad del aire de un recipiente en cada carrera, ¿qué

porcentaje de aire original queda en el recipiente después de 10 carreras?

Serie: 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, …

a = 1, r = ½, an = ?

a10 = arn-1

a10 = 1(1/2)r10-1

a10 = (1/2)9 a10 = (1/512)

a10 = 001953125


PRAEM 2010


32

ACTIVIDAD DE REFUERZO PARA LOS ÍTEMES: 13,14, 15, 16,17.

Bloque de

contenido:

Contenido: Indicador de logro:

Estadística Principio de la

multiplicación: m

x n

Principio de la

suma: m+ n

Principio de la

suma y la

multiplicación

2.2 Resuelve problemas, utilizando el principio de la

multiplicación con seguridad.

2.4 Calcular la probabilidad de dos eventos

mutuamente excluyentes utilizando el principio

de la suma, con interés y confianza.

2.5 Resuelve problemas, utilizando el principio de la

suma.

2.6 Resuelve, con interés y confianza, problemas del

entorno que involucren la aplicación combinada

de los principios de multiplicación y suma.

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem

Interpreta incorrectamente el problema.

Aplica erróneamente el principio de la multiplicación.

Aplica erróneamente el principio de la suma.

Tienen problemas para identificar la probabilidad de dos eventos mutuamente

excluyentes aplicando el principio de la suma.

Hace mala interpretación del significado matemático de “o” e “y” en la descripción de

la situación.

Actividad 1. Recordemos el principio de la multiplicación.

Descripción: En los primeros grados aprendimos a contar, hoy lo consideramos relativamente

fácil, ¿Sabes que podemos contar mejor y más rápido si utilizamos algunas técnicas? en esta

actividad las recordaremos.

Resolvamos la situación:

Andrés quiere saber cuántos días puede salir vestido de manera diferente, si tiene: 3

pantalones, 4 camisas, y 2 pares de zapatos.


PRAEM 2010


33

Si elige un pantalón, puede combinar con cada una de sus 4 camisas, teniendo entonces 4

alternativas posibles:

Lo mismo puede ocurrir con cada uno de los 3 pantalones formando entonces 12

alternativas para pantalón y camisa.

Cuando ya tiene puesta una de las 12 combinaciones, ocurre que puede combinar cada

una con sus 2 pares de zapatos, teniendo entonces 24 posibilidades en total.

En resumen se pueden ver las 24 combinaciones de la siguiente manera:


PRAEM 2010


34

Resumiendo se tienen 3 pantalones, 4 camisas y 2 pares de zaparos; Andrés tiene

3x4x2 = 24 alternativas para combinarse la ropa.

R: Andrés puede salir vestido 24 formas diferentes

Del ejemplo anterior llegamos a la siguiente regla, conocida como: Principio de la

multiplicación

Si hay m maneras en que puede darse un evento M y n maneras en que puede darse otro

evento N entonces hay m x n formas en que pueden darse ambos eventos.

Número de maneras = m x n x p x s.

También se puede escribir cada evento y el número de formas que puede darse.

Evento Nº de maneras

Elige un pantalón 3

Elige una camisa 4

Elige un par de zapatos 2

Luego por el principio de la multiplicación:

Número total de maneras: 3 x4 x 2 = 24

Actividad 2: Ejercitemos

Descripción: Consta de una serie ejercicios de aplicación del contenido, asegurando la

fijación del principio de la multiplicación.

En la comunidad “El Almendro” eligen la directiva con los candidatos siguientes: 4 para

presidentes, 3 para secretaria o secretario y 5 para tesorero o tesorera.

a) Define las tareas y el número de formas en que puede darse cada una.

b) Calcula el número de maneras resultantes de la elección

Un artesano fabrica 6 muñecas diferentes y 5 vestidos diferentes ¿Cuántos arreglos

pueden formarse?

El almuerzo del día de un comedor es sopa, plato principal, refresco y postre.

Si hay 2 clases de sopas, 4 platos principales, 3 refrescos y 5 postres.

¿De cuántas formas se puede elegir el almuerzo?

¿De cuántas maneras puedes ordenar 4 de 5 libros en un estante de 3 espacios?


PRAEM 2010


35

Actividad 3. Recordemos el principio de la suma

Descripción: Para recordar el principio de la suma lo haremos aplicado a la siguiente

situación:

La cooperativa de pescadores “El coco” está formada por cuatro hombres y dos mujeres

¿De cuántas maneras se puede elegir la presidencia, vicepresidencia y secretario o

secretaria?, si el presidente es mujer los otros dos son hombres, o si el presidente es

hombre los otros directivos son mujeres.

El número de formas en que se da la primera situación es diferente a la segunda, es decir

las dos operaciones no se pueden efectuar simultáneamente.

Entonces el número de formas que puede darse es: 24 + 8 = 32

El ejemplo anterior permite enunciar la siguiente regla, conocida como

Principio de la suma.

Sean M y N dos eventos excluyentes, o sea, que no pueden suceder al mismo tiempo. Si

M puede ocurrir de m maneras y N de n maneras, entonces M o N puede ocurrir de m + n

maneras.


Descripción: En estos problemas aplicaremos el principio de la suma para su resolución.

Rina tiene cuatro pantalones para combinar con tres camisetas, además tiene tres

faldas para combinar con cinco blusas. ¿De cuántas maneras puede vestirse Rina?

En el complejo educativo de Coatepeque organizan una excursión, indecisos si

visitan un centro comercial o un turicentro. Si hay seis posibilidades de visitar un

centro comercial y cuatro turicentros. ¿De cuántas maneras diferentes se puede

organizar la excursión?

Evento Maneras Evento Maneras

El presidente es mujer 2 El presidente es hombre 4

Los otros dos son hombre Los otros dos son mujeres

El vicepresidente es hombre 4 El vicepresidente es mujer 2

El secretario es hombre 3 El secretario es mujer 1

Nº total de maneras = 2 x 4 x 3 = 24 Nº total de maneras = 4 x 2 x 1 = 8

Segunda situación Primera situación


PRAEM 2010


36

En un paquete de naipe hay cuatro ases, tres reyes, dos sotas y cuatro caballos. Si

se realiza una extracción, ¿cuál es la probabilidad de extraer un rey o una sota?

Importante:

Para poder distinguir entre el principio de la multiplicación y el de la suma se debe

considerar dos opciones:

1. Una operación Y la otra, se usa del principio de la multiplicación.

2. Una operación O la otra, se usa el principio de la suma.

Ejemplo:

Dos hombres tres mujeres se dirigen retirar su medicina mensual a la farmacia del

seguro, donde deberán hacer una fila. De cuántas maneras diferentes pueden alinearse.

Puede darse dos casas:

1) Sin restricciones

2) Las mujeres deben ir juntas

1.- Sin restricciones:

5 4 3 2 1 : 120 maneras diferentes de formar filas.

2.- Las mujeres deben ir juntas: Se pueden dar tres casos.

: 12 maneras

: 12 maneras

: 12 maneras

36 maneras


PRAEM 2010


37

El número total de maneras diferentes que pueden alinearse es de 36, por el principio de la

suma.

En el caso 1, se hizo uso únicamente del principio de la multiplicación; en el caso 2, se hizo

uso de los dos principios: el de la multiplicación y el de la suma.

Actividad 5: Apliquemos los principios de la multiplicación y de la suma

Descripción: En esta actividad aplicaremos tanto el principio de la multiplicación como el

de la suma en la resolución de problemas tomando en cuenta los conocimientos anteriores.

Gloria puede elegir un menú entre dos clase de sopas, tres platos principales y cuatro

postres en un restaurante, y en un comedor puede elegir entre tres variedades de sopas

dos platas principales y tres frutas.

En total, ¿cuántas maneras de menú puede elegir Gloria?


PRAEM 2010


38

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM: 18

Bloque de contenido: Contenido:

Indicador de logro:

Estadística Factorial de un número

2.8 Simplifica, con precisión, expresiones que contienen natación factorial


El concepto de factorial no lo tiene claro

Incomprensión de las propiedades de factorial de un número

El proceso básico de simplificación no es de su dominio Actividad 1: Recordemos el factorial de un número

Descripción: Para una mejor comprensión y aplicación al entorno nos planteamos la situación: Un vendedor de calzado quiere colocar cinco pares de zapatos en cinco exhibidores. ¿De cuántas maneras puede colocar los cinco pares de zapatos? Para facilitar la solución a esta situación utilizamos la tabla:

M: Coloca el primer par de zapatos 5

N: Coloca el segundo par de zapatos 5 - 1

O: Coloca el tercer par de zapatos 5 - 2

P: Coloca el cuarto par de zapatos 5 - 3

Q: Coloca el quinto par de zapatos 5 - 4

Nº total de maneras = 5(5 - 1) (5 - 2) (5 - 3) (5 - 4) = 120 Si efectuamos el total de maneras: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. R: 120 maneras

Evento Nº de maneras


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39

La expresión 5 x 4 x 3 x 2 x 1, recibe el nombre de factorial de 5 y se representa por 5!

Es decir: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Si n = 1, decimos que 1! = 1

Si n = 0, decimos que 0! = 1 Definamos el factorial 6: 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Es muy útil conocer esta propiedad del factorial de un número; observa el desarrollo del ejemplo: 6! = 6 x (5 x 4 x 3 x 2 x 1) 6! = 6 x 5! 5! = 5 x (4 x 3 x 2 x 1) 5! = 5 x 4! 4! = 4 x (3 x 2 x 1) 4! = 4 x 3! 8! = 8 x (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) 8! = 8 x 7! Simbolicemos la propiedad:

!1! nnn

El factorial de un número natural n, que se denota n!, es igual al producto de n por todos los números naturales menores que él. El símbolo n! se lee “factorial de n”

En general decimos: n! = n(n - 1) (n – 2) (n – 3)…3 x 2 x 1


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40

Los factoriales anteriores, cuyos desarrollos se pueden mostrar así:

!21! nnnn

!321! nnnnn

Utilicemos la propiedad para simplificar la expresión: !5

!8

Otros ejercicios

Simplifica la expresión: !5!9

!0!12

!5!9

!0!12 =

=

!5!9

!0!12 = 11


Descripción: Utilizando la propiedad estudiada, simplifiquemos las expresiones:

a)!10

!12 b)

!12

!15 c)

!5!8

!10

d)!9

!14 e)

!7

11 f)

!5!8

!13


PRAEM 2010


41

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM 19, 20 y 21

Bloque de

contenido:

Contenido:

Indicador de logro:

Estadística Permutaciones

2.11 Soluciona con autonomía y confianza, ejercicios

que involucren el ordenamiento de un conjunto

de objetos diferentes, tomados todos o parte de

ellos.

2.13 Resuelve problemas aplicando permutaciones

con seguridad.


Interpreta incorrectamente el ejercicio y lo resuelve como combinación

Tiene dificultad para aplicar la propiedad de factorial.

Tiene dificultad en el desarrollo del factorial

Tiene dificultad en el planteamiento de la fórmula.

Aplica incorrectamente la fórmula.

Interpreta erróneamente y considera únicamente el factorial del número.

Actividad 1: Recordemos.

Descripción: Esta actividad pretende identificar el dominio de los saberes previos por los

estudiantes, valorando su importancia para el desarrollo del contenido.

Repaso del concepto factorial de un número (n!)

1. Calcular

a) 3! b) 5! c) 1! d)0!

Repaso de permutaciones (nomenclatura y fórmula)

2. Calcular las permutaciones de 6 elementos.


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42

Actividad 2: Calculemos permutaciones

Descripción: En esta serie de ejercicios se pretende adquirir la habilidad de utilizar

correctamente el algoritmo (uso de la formula) de las permutaciones. Iniciando con un juego

para la definición de permutación.

¿De cuántas manera se pueden ordenar las letras de la palabra ERA?

Veamos: ERA – EAR – RAE – REA – ARE – AER .

Observa que ERA no es lo mismo que ARE, ves que el orden es importante.

Si las ordenas de dos letras, encuentras que: ER – RE – EA – AE – RA – AR.

Y de una letra: E – R – A.

Estas son permutaciones que se pueden formar con la palabra ERA de tres, dos y una letra.

¿Cómo podemos definir permutación?

Si del arreglo anterior tomamos RAE y REA, éstas no tienen significada, no se encuentran

en el diccionario, pero son permutaciones válidas.

Si en general le llamamos código a cada uno de ellos, ¿Cuántos códigos podemos formar

con las letras de la palabra TELAR?

Si tenemos 5 casillas para ubicarlas, en la primera se puede llenar de 5 maneras, en la

segunda de 4 maneras, en la tercera de 3 maneras, en la cuarta de 2 maneras y así

sucesivamente.

Aplicamos el principio de la multiplicación: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Podemos formar 120 códigos

Esto lo podemos escribir así: 120!555 P

55 P : Significa permutar 5 en grupos de 5.

Como una disposición ordenada de un conjunto de objetos, en los cuales hay un primero, un segundo, un tercero, etc. Es todo arreglo de “n” objetos en donde el orden de aparición se toma en cuenta.


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43

Actividad 3: Realicemos los ejercicios, aplicando lo aprendido:

1. Resolver

a) 4P2 b) 9P8 c) 3P1

2. Encontrar cuántas cantidades de 4 cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4,5. Si:

a) se permite la repetición

b) no se permite la repetición

c) deben ser mayores a 2300

3. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden permutar las letras vocales?

4. Evalúa las siguientes expresiones.

a) 66 P

b) 88 P

c) 5!

d) 10!

5. Escribe en notación factorial:

a) 12 x 11 x 10 x 9 x…x 1

b) 77 P

c) 10

5P

6. Explica que entiendes por permutación.

7. Encuentra el número de palabras código que se forman sin importar su significado con

todas las letras de la palabra único.

8. De cuántas maneras pueden ubicarse cinco niños en cinco asientos de un carrusel.


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM 22

Bloque de contenido: Contenido: Indicador de logro:

Estadística Combinaciones 2.14 Interpreta, utiliza y explica con

seguridad la combinación


Interpreta incorrectamente el ejercicio y lo resuelve como permutación

Aplica equivocadamente la fórmula

Desarrolla erróneamente como factor común

Saberes previos

Repaso del concepto factorial de un número (n!) y algunas operaciones utilizando la

expresión.

Calcular

a) 3! + 2! b) 4! – 3! c) 5! X 0! d) 9! / 8! e) (3! X 4!)/ (2! X 3!)

Actividades 1: Calculemos combinaciones usando fórmula

Descripción: En estos ejercicios se pondrá de manifiesto el correcto uso de la formula

para determinar combinaciones y reconocer la diferentes formas de nomenclatura.

1. Calcula

a) 10C6 b) 8C7 c) 7C7

2. Determina

i) C(6,2) ii) C(6,6) iii) C( 5,1)

Actividad 2: Calculemos y manifestemos porque se usa cada fórmula

Descripción: Deberá de poner de manifiesto el porqué el uso de cada formula (para

combinaciones y permutaciones), con lo cual se apropiará del conocimiento esperado

Calcula

a) 5P3

b) 5C3

¿Se obtiene el mismo resultado? ¿Cuál es la explicación matemática?


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45

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMES 23 y 24


Indicador de logro:

Estadística Combinaciones

2.15 Resuelve problemas aplicando las combinaciones con seguridad.

2.17 Utiliza la formula apropiada para calcular, con precisión, el número de combinaciones o permutaciones de “n” objetos tomados “r” a la vez, en ejercicios de aplicación.


Interpreta erróneamente la situación problema.

Aplica erróneamente la fórmula al resolver.

Confunde la combinación con la permutación.

Saberes previos

Repaso del uso de la fórmula para las combinaciones

Actividad 1: Apliquemos combinaciones a situaciones de la vida.

Descripción: La intención de esta actividad es que los estudiantes apliquen la

combinación a situaciones reales y puedan valorar su utilidad.

Resuelve la situación:

Para contestar un examen un alumno debe contestar 10 de 12 preguntas,

a) ¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 10 preguntas?, b) ¿Cuántas maneras tiene, si debe contestar obligatoriamente las 2 primeras preguntas

Actividad 2: Resolvamos problemas aplicando permutaciones y combinaciones

Descripción: A través de estos problemas el estudiante confirmará sus conocimientos al

diferenciar y resolver correctamente entre permutaciones y combinaciones.

Si se cuenta con 10 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza,

a) ¿cuántos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 4 alumnos cada uno de ellos?,

b) si entre los 10 alumnos hay 6 mujeres, ¿cuántos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?,

c) ¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?


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46


Bloque de

contenido:

Contenido:

Indicador de logro:


2.18 Resuelve con seguridad problemas

de aplicación sobre el número de

ordenamientos de objetos, entre los

cuales hay repeticiones o no las

hay.




Repaso del uso de la fórmula para las combinaciones

Actividad 1: Resolvamos problemas aplicando combinaciones con o sin repetición

Descripción: Al resolver este problema los estudiantes deberán determinar las

combinaciones, diferenciando si hay o no repeticiones

1. Cinco amigos hacen cola para entrar al cine. Al llegar sólo quedan 3 entradas. ¿De

cuántas formas podrían repartirse estas entradas para ver la película ?

2. En una clase de 40 alumnos se quiere elegir un grupo de 8 alumnos para participar en un

taller de arte. ¿De cuántas formas podría hacerse?

3. De cuantas formas distintas me podre vestir si dispongo de 2 camisas y 3 pantalones.


PRAEM 2010


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Bloque de

contenido:

Contenido:

Indicador de logro:

Estadística Combinaciones 2.18 Resuelve con seguridad problemas de aplicación

sobre el número de ordenamientos de objetos,

entre los cuales hay repeticiones o no las hay.




Actividad 1: Resolvamos aplicando combinaciones

Descripción: Ante la necesidad de una decisión tan simple el estudiante vera la gama de

combinaciones que realmente.

En un restaurante hay ocho tipos diferentes de bebidas. ¿De cuántas formas se pueden

elegir cuatro botellas?

Actividad 2: Apliquemos el razonamiento lógico y utilicemos lenguaje matemático

Descripción: En este caso los estudiantes pondrán en evidencia su razonamiento lógico

matemático y el conocimiento del lenguaje matemático mismo.

¿Cuántas diagonales tiene un Hexágono y cuántos triángulos se puede formar con sus

vértices?


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Actividad 3: Apliquemos combinaciones en la vida cotidiana

Descripción: Es una situación de lo cotidiano en la cual se pondrá de manifiesto lo útil que

es saber las combinaciones.

Una señora desea invitar a cenar a 7 de 13 amigos que tiene,

a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?,

b. ¿cuántas maneras tiene si entre ellos está una pareja de novios y no asisten el uno sin el

otro,

c. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos si dos de ellos no se llevan bien y no van juntos?


PRAEM 2010


49


Bloque de

contenido:

Contenido:

Indicador de logro:


2.20 Resuelve problemas con seguridad

y orden aplicando el diagrama de

árbol.



Poca habilidad en el uso del diagrama de árbol.

Saberes previos

Arreglos simples

1. La señora del cafetín tiene cuatro monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes

de dinero puede formar con las cinco monedas?

2. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3

mujeres. De cuántas formas puede formarse.

Actividad 1: Apliquemos el diagrama de árbol

Descripción: Se inicia con una aplicación sencilla del diagrama de árbol (cuyo resultado lo

puede comparar con las combinaciones)

De cuantas formas se pueden combinar las prendas de vestir, si posee 2 camisas y dos

pantalones

Actividad 2: Apliquemos el diagrama de árbol con mayor número de variables

Descripción: En este caso el diagrama de árbol aumenta su complejidad (por el número

de variables) lo cual hará que los estudiantes pongan mayor énfasis.

Marlene se va de vacaciones en agosto, teniendo las siguientes posibilidades. De playas:

san Diego, el Cuco, y la Barra de Santiago. En transporte: carro o bus. Vestimenta: traje de

baño, bikinis, short y blusa.

De cuantas maneras distintas podrá realizar sus vacaciones


PRAEM 2010


50


Bloque de


Relaciones y

funciones

Grafica de funciones

exponenciales

3.2 Identifica con interés y seguridad las

propiedades de las funciones exponenciales


Dificultad para aplicar las propiedades de los exponentes en la solución de

ecuaciones exponenciales.

Dificultad para trasformar una ecuación exponencial a una ecuación lineal o

cuadrática

Actividad 1 Resolvamos ecuaciones exponenciales usando sus propiedades

Descripción: En esta actividad se abordará las propiedades de los expones incluyendo

procesos de simplificación y resolución de ecuaciones exponenciales.

Encontremos el valor de x para 4x - 3 = 8

1. Para encontrar el valor de x en la expresión anterior, conviene analizar antes las leyes

de los exponentes.

a) Encontremos el valor de 35

Solución 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

5 veces

b) Encontremos el valor de (33)(32)

Solución

(33)(32) = (3 x 3 x 3) (3 x 3)

= (33) (32)

= 33+2

= 35

= 243

1 Para todo “a” ≠ 1 y n reales an = a x a x a x a x …

n veces

2 Para todo “a” ≠ 1 y si n y m son reales (an ) (am) = am+n


PRAEM 2010


51

c) Encontremos el valor de (32)3 (32)3 = 32 x 32 x 32

= (3 x 3) (3 x 3) (3 x 3) = 32x3 = 36

= 729

d) Encontremos el valor de (3x2)2 (3x2)2 = (3 x 2)(3 x 2) = (3 x 3) (2 x 2) = (3)2 ( 2)2 = (9) (4) = 36

e) Encontremos el valor de 𝟔

𝟑 𝟐

6

3

2=

6

3

6

3

= 62

32

= 36

9 = 4

f) Encontremos el valor de 𝟑𝟓

𝟑𝟑

35

33= 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3

3 𝑥 3 𝑥 3

= 35-3 = 32 = 9

4 Para todo “a” ≠ 1 y si n es real (ab)n = anbn

5 Para todo “b” ≠ 0 y si n y m son reales

=

3 Para todo “a” ≠ 1 y si n y m son reales (an)m = anm

6 Para todo “a” ≠ 0 y si n y m son reales

= an-m


PRAEM 2010


52

g) Resolver 64x = 6 2x+4

64x = 6 2x+4

4x = 2x + 4

x = 2

2. Apliquemos las propiedades de los exponentes simplificando las expresiones siguientes:

a) 103x-1 104x -2

103x-1 104 - x

Aplicando la propiedad (an) (am) = am+n

10(3x-1) + (4 -x)

102x +3

103x-1 104 - x = 102x +3

b) 5x−3

5x−4

5x−3

5x−4 = 5(x-3)-(x-4)

3. Encontremos la solución de la ecuación que nos planteamos al inicio, calculemos el valor de

x para 4x - 3 = 8

4x - 3 = 8

(22)x – 3 = 23

22(x-3) = 23 Aplicando la propiedad (an)m = anm

22x-6 = 23

2x – 6 = 3 Aplicando la propiedad ax = ay si y solo si x = y

2x = 9

x = 9

2

7 Para todo “a” ≠ 0 y si n y m son reales ax = ay si y solo si x = y


PRAEM 2010


53

4. Simplifique las expresiones siguientes:

a) 96x-5 9x – 2 b) 72x−7

7x−6 c) (43x)2y

d) 4𝑥

5𝑦

3𝑧

e) 3𝑥

31−𝑥 f) (2x3y)z

5. Encuentre el valor de x en las expresiones siguientes

a) 53x = 54x – 2

b) 102 - 3x = 105x – 6

c) 7𝑥2 = 72x + 3

d) 45𝑥−𝑥2 = 4-6

e) (1 – x)5 = (2x – 1)5

f) 53 = (x – 2)3

g) 2x = 4x+1

h) 9x – 1 = 3x

i) 27 x+ 1 = 9

j) 4𝑥2 = 2x + 3

Bibliografía



Cuarta Edición

McGraw – Hill

Mexico, 1999



MINED EDUCAME

Talleres Gráficos UCA , El Salvador, 2005



UCA Editores, EL Salvador, año 2000.


PRAEM 2010


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Actividades sugeridas para los ítems 29, 30 y 31

Bloque de


Relaciones y

funciones

Grafica de funciones

exponenciales

3.1 Identifica con interés y seguridad la función

exponencial.

3.5 Identifica y explica con seguridad el

dominio y el rango de una función

exponencial.

3.7 Resuelve problemas utilizando las propiedades

y graficas de una funcione exponencial.


Dificultad para establecer cundo la función exponencial es creciente o decreciente.

Dificultad para ubicar en el plano, puntos que permiten establecer el trazo de una

función exponencial.

Dificultad para identificar las características del dominio y el rango de la función

exponencial.

Dificultad para expresar matemáticamente situaciones en las que se involucren

ecuaciones exponenciales.

Dificultad en la sustitución de variables de funciones exponenciales

Actividad 1: Estudiemos las funciones exponenciales

Descripción: En esta sección se definirán las funciones exponenciales y algunas de sus

propiedades, incluyendo sus gráficas y se considerarán algunas de sus aplicaciones

Resolver el problema:

Si se depositan $ 5 000 en una cuenta que paga el 9% de interés compuesto diariamente

¿Cuánto tendrá en su cuenta en 5 años?

Antes se debe considerar ¿Qué es un Interés compuesto?

El rédito que se paga por usar dinero de otras personas se llama interés, el que se calcula

por un porcentaje llamado tasa de interés de un capital en un periodo dado. Si al final del

periodo de pago de interés obtenido se invierte nuevamente a la misma tasa, entonces,

tanto el interés ganado como el capital, ganarán intereses durante el siguiente periodo de

pago. El interés pagado al interés reinvertido se llama interés compuesto


PRAEM 2010


55

La expresión matemática que representa el monto (S) a una tasa de interés compuesto,

cuando un capital P se invierte a una tasa anual r de interés compuesto m veces al año,

esta dado por:

𝑆 = 𝑃 1 + 𝑟

𝑚 𝑛𝑚

También se necesita recordar la función exponencial.

Se inicia con la representación gráfica.

f(x) = 2x g(x) = x2

Observamos las funciones f y g

f(x) = 2x y g(x) = x2

¿Cuál es la diferencia entre las funciones f y g?

El inicio del estudio de las funciones se define por medio de operaciones algebraicas como

la suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíces con variables y constantes se

llaman funciones algebraicas.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-3 -2 -1 0 1 2 3

Y

x

Y

x


PRAEM 2010


56

La función f es un nuevo tipo de función llamada función exponencial

¿Qué es una función exponencial?

La función exponencial

La función exponencial se define para cada b constante, mayor que cero y diferente de

uno, llamada base donde la variable “x” puede asumir cualquier valor real

f(x) = bx b > 0, b ≠ 1

¿Cómo dibujar la gráfica de funciones exponenciales?

Si le pedimos que grafique la función f(x) = 2x, lo más probable es que hagamos una tabla

asignando valores enteros a x después graficamos los puntos resultantes y al final se unen

los puntos con una línea curva. Ejemplo:

Observando la tabla es fácil saber que 21, 22, 23,, porque 2n

2n = 2 x 2 x 2 x 2…n veces

Pero ¿qué significa? 2 -1, 2 -2, 2 -3; cuando el exponente es un entero negativo.

Para este caso se emplea la propiedad

𝑎−𝑛 = 1

𝑎𝑛 ; para todo a≠0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 0 1 2 3

X F(X) = 2X

-3

-2

-1

0 1

1 2

2 4

3 8


PRAEM 2010


57

Entonces un exponente negativo es igual a una fracción donde el numerador

es la unidad y el denominado es la misma potencia pero positiva.

Comparemos las graficas de f(x) = 3 x y g(x) = 2x, graficando ambas

funciones en el mismo sistema de coordenadas.

¿En qué punto las gráficas f(x) y g(x) interceptan?_____________

¿Cuál es el dominio de la graficas?__________________

¿Cuál es el rango de la grafica?____________________

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

g(x) = 2x

f(x) = 3x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-3 -2 -1 0

x

x

y

y

En el segundo cuadrante las gráficas se encuentran tan cercanas, que parecen la misma gráficas.


PRAEM 2010


58

Otra comparación útil es: observa la graficas y = 2 x con la gráfica

y = (½)x = 2 -x, ambas en el mismo sistema de coordenadas.

La gráfica de y = 2x corresponde a la forma f(x) = b x, donde b > 1, y es un

modelo de función exponencial básica que es la misma que se ha estado

usando en los casos anteriores, en cambio la gráfica y = (½) x = 2 -x corresponde

a la forma f(x) = bx, donde 0 < b < 1.

Se puede observar en ambos casos el eje x es una asíntota horizontal para las

graficas, esto significa que las gráficas por mucho que se extiendan sobre el

eje x nunca se unen, aproximándose a lo largo del eje.

f(x) = bx, donde 0 < b < 1 f(x) = b x, donde b > 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = (½)x = 2

-x

y = 2x

RANGO

(0, ∞)

DOMINIO

(∞, -∞) DOMINIO

(∞, -∞)


PRAEM 2010


59

Las gráficas anteriores sugieren las propiedades generales de las

funciones exponenciales:

Propiedades básicas de f(x) = bx, b > 0; b ≠ 1

1. Todas las graficas pasan por el punto (0, 1)

(b0 = 1, para cualquier base b permitida)

2. Todas las graficas son continúas son huecos ni saltos

3. El eje x es una asíntota horizontal

4. Si b > 1, entonces bx aumenta conforme aumenta x.

5. Si 0 < b <1, entonces bx disminuye conforme aumenta x

6. La función f es uno a uno.

Resolvamos el problema planteado al inicio:

Si se depositan $ 5 000 en una cuenta que paga el 9% de interés compuesto diariamente


Hacer una representación gráfica

Formula 𝑆 = 𝑃 1 + 𝑟

𝑚 𝑛𝑚

Capital P = $5 000

Tasa de interés anual r = 9% (0.09)

Tiempo t = 5 años

m= 365 días que tiene el año

Sustituyendo

𝑆 = 5 000 1 + 0.09

360

(5) 360

S = 7 841.12 (Usar calculadora)

R: Al término de los 5 años la cuenta aumentará a $7 841.12

¿Qué pasaría si en lugar de hacer una capitalización diaria se realiza cada trimestre?

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

13000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dólares

Tiempo en años


PRAEM 2010


60

El planteamiento sería de la siguiente forma:

Si se depositan $ 5 000 en una cuenta que paga el 9% de interés compuesto

trimestralmente.


Formula 𝑆 = 𝑃 1 + 𝑟

𝑚 𝑛𝑚

Capital P = $5 000

Tasa de interés anual r = 9% (0.09)

Tiempo t = 5 años

m = 4 trimestre que tiene el año

Sustituyendo

𝑆 = 5 000 1 + 0.09

4

(5) 4

S = 9 479.19 (Usar calculadora)

R: Al término de los 5 años la cuanta aumentará a $9 479,19

¿Cuál es el plazo que convendría ahorrar, diariamente o trimestralmente?

Explique_________________________________________________________________

Resolvamos otros problemas.

a) El cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria del cólera que se

multiplican exponencialmente por la división de la célula modelada por

N = No e1.386t

N, es el número de bacterias presente después de t horas y No es el número de bacterias presente cuando t = 0. Si se empieza con 100 bacterias, cuantas bacterias habrá en:

a) 1 horas

b) 5 horas

Para 1 hora Para 5 horas R: En 1 hora se tendrá 400 bacterias aproximadamente

N = No e1.386t

= 100 e1.386 (1)

= 400

N = No e1.386t

= 100 e1.386 (5)

= 102249


PRAEM 2010


61

En 5 horas se tendrá 102249 bacterias aproximadamente

El isotopo radiactivo de galio67 (67galio) usado en el diagnostico de tumores malignos tiene una vida media de 46.5 horas, Si se empieza con 100 miligramos de isótopo, ¿cuántos miligramos quedan después de:

a) 24 horas

b) una semana

El modelo de decrecimiento de vida de un isótopo activo es A = Ao(½)t/h = Ao2 - t/h

Cuando t = 24 horas cuando t = 168 horas

R: Al pasar 24 horas quedan 69.9 miligramos de isótopo, pero cuando trascurre una

semana solo se tiene 8.17 miligramos

Actividad 2: Practiquemos las funciones exponenciales

Descripción: En esta sección se proponen una serie de ejercicios y problemas para que

logren una mejor comprensión de la actividad anterior.

1. Evaluemos las operaciones siguientes

a) 27.5 = ______ b ) 9-0.78 =________ c) 7-4.28 =_________

d) e0.67 =______ e) e-20 = ________ f) 3-0.51=_________

2. Encontremos el valor de f(x) para cada uno de los casos:

a) f(2) = 23x = ___________ b) f(3) = 100.34x _______ c) f(4) = 4-1/x________

d) f(5) = 2-3x = _________ e) f(6) = 100.34x _______f) f(4) = (¼)-1/x______

3. Construyamos las graficas de las siguiente funcione exponenciales

a) Y = 3x b) Y = 3-x c) Y = 5(3x)

A = Ao2 - t/h A = 100 (2-24/46.5) = 69.9

05

101520253035404550556065707580859095

100

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225t tiempo en horas

A = Ao2 - t/h A = 100 (2-168/46.5) = 8.17


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4. En un mismo sistema de ejes coordenadas elaboremos las gráficas

a) Y = 2x + 1 b) Y = 2x - 1

5. Resolvamos los problemas siguientes:

a. Manuel hace un depósito de $4 000 al banco de la comunidad al 13% de interés

compuesto. Encuentra la cantidad de dinero que tendrá Manuel para el tiempo y el

plazo especificado en la tabla. ¿Cuál es el plazo más conveniente ahorrar?

b. En un cultivo hay inicialmente 100 bacterias a los “t” minutos la cantidad de

bacterias está representada por Bt = Boe0.05t donde Bo representa la cantidad inicial

de bacterias y Bt, la cantidad final. ¿Cuántas bacterias hay en:

(NOTA No olvide convertir las horas a minutos cuando se aplique la fórmula)

.- Una hora .- 3 horas

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y

x

Tiempo Diario Trimestral Semestral

3 años

5 años


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c. El cultivo de bacterias crece de acuerdo al modelo A = A0e0.8t Si la cantidad inicial

de bacteria (A0 ) es de 2 300 bacteria y el tiempo (t) esta expresado en días

¿Cuántas bacterias existirán después de:

.-Una semana

.-Tres semanas

.-Doce horas

d. Un isótopo radiactivo se desintegra de acuerdo al modelo N = Noe-0.3t si el tiempo t

se dan en años y se tiene una cantidad inicial (No) de 50 gramos

.- ¿Cuál es la cantidad que quedará después de un año?

.- ¿Qué cantidad quedará después de 2 años y 6 meses?

.- ¿Qué cantidad quedará después de 10 años?


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Bloque de contenido:

Contenido:

Indicador de logro:

Relaciones y funciones

Logaritmos

3.9 Determina el logaritmo de un número dada la base.


Dificultad para expresar un número como potencia de base definida.

Falta de dominio del concepto de logaritmo.

Incomprensión del paso de la expresión logarítmica a la exponencial. Actividad 1: Reforcemos saberes previos

Descripción: Antes de iniciar con el refuerzo académico de los logaritmos es importante verificar si los estudiantes tienen dominio de las potencias como saberes previos necesarios para el desarrollo del contenido. Potencias

Es base para la aplicación de las propiedades de los logaritmos, por eso se hará énfasis en las potencias al desarrollar cada propiedad.

Raíces Por tratarse de exponentes fraccionarios, también cumplen las mismas propiedades. Ejemplo:

Aplique las propiedades de los exponentes:

a) b)


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Actividad 2: Encontremos logaritmos

Descripción: Esta actividad se trabaja en función de las potencias, por lo que es clave que conozcan el significado de los exponentes enteros, fraccionarios y negativos; antes de construir el concepto de logaritmo, que aparece a continuación.

Se llama logaritmo base a de b, al número c que es el exponente al que hay que elevar un número real positivo a llamado base y diferente de 1, para obtener el número real positivo b.

loga b = c si y solo si a c = b

De acuerdo con la definición tenemos que:

log2 8 = 3 pues 2 3= 8

log10 𝟏𝟎 =𝟏

𝟐 pues 10 1/2 = 𝟏𝟎

log1/216 = - 4 pues ( 𝟏

𝟐 )-4 = 2 4 = 16

log 121 = 0 pues (12)0 = 1

log7 𝟏

𝟒𝟗 = -2 pues (7)- 2 =

𝟏

𝟒𝟗

log1010 = 1 pues (10)1= 10

El logaritmo de un número negativo no existe (no es un número real) ya que si la base es positiva al elevarla a cualquier exponente el resultado será positivo.

Los números positivos menores que la unidad tienen logaritmo negativo:

log3 𝟏

𝟖𝟏 es igual a - 4 pues (3)- 4 =

𝟏

𝟑𝟒=

𝟏

𝟖𝟏

Calcular por definición de logaritmo:

a) 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟏

𝟏𝟔= b) 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝟏𝟐 =

Logaritmos comunes o logaritmos base 10

Son los que se utilizan con mayor frecuencia dado que nuestro sistema de numeración es decimal y al cambiar la posición de los números solo cambia la parte entera del logaritmo.

A la parte entera se le llama característica y representa el número de cifras enteras menos

1. A la parte decimal, mantisa y depende de las cifras sin importar su posición.


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Ejemplo: log 2356 = 3.372175 (la base cuando es 10 no se escribe)

4 enteros menos 1

log 23.56 = 1.372175

2 enteros menos 1

Logaritmos naturales

Son logaritmos de base e y se designan como ln.

loge x = ln x donde e = 2.71818…

Calcular:

a) 𝒍𝒏 𝟓𝟖 = b) 𝒍𝒏 𝟓.𝟖𝟓 =

Algunas de la aplicaciones del número e: describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la misma manera, describe fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.).

se considera el número por excelencia del Cálculo, así como π lo es de la Geometría.

Proviene de la expresión (1 +1

𝑛)𝑛 cuando n

es un número extremadamente grande (∞).

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM 33 y 34


Indicador de logro:

Relaciones y funciones Propiedades de

los logaritmos

3.10 Identifica, utiliza y explica con seguridad, las propiedades de los logaritmos.

3.11 Resuelve problemas, con confianza, utilizando las propiedades de los logaritmos.


Desconoce las propiedades de los exponentes.

Dificultad para asociar las propiedades de los exponentes con las de los logaritmos.

Sustituye inadecuada de las variables del problema, en la fórmula. Actividad 1: Comprobemos las propiedades de los logaritmos

Descripción: En esta actividad se comprueban las propiedades utilizando números porque a muchos estudiantes les cuesta entender cuando se trabaja solo con variables.

Propiedades de los logaritmos

a) “Logaritmo de la suma” es diferente de “suma de los logaritmos”

log2 (2 + 4 + 8 + 2) log2 2 + log2 4 + log2 8 + log2 2

log2 16 1 + 2 + 3 + 1 24 = 16

4 ≠ 7 No se cumple la igualdad

Al recordar que los logaritmos son exponentes, nos preguntamos:

¿Qué sucede con las potencias? 24 ≠ 22 + 22

24 = 2x2x2x2 = 16 22 + 22= 2x2 + 2x2 = 4+4 = 8

b) “Logaritmo de la resta” es diferente de “resta de los logaritmos”

log2 (64 - 32) log232

log264 - log2 32 = 5

6 - 5

1 ≠ 5 No se cumple la igualdad


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c) El logaritmo de un producto en una base dada, es igual a la suma de los logaritmos de los factores en esa misma base.

log5 (25 x 5) log525 + log55

log5 125 = 2 + 1 53= 125

3 = 3 Cumple loga ( m . n) = loga m + loga n

¿Qué sucede con las potencias? 24 = 22 x 22

24 = 2x2x2x2 = 16 22 x 22= 2x2 x 2x2 = 4x4 = 16

d) El logaritmo de un cociente en una base dada, es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.

log2 (64 ÷ 16) log264 - log216

log2 4 6 - 4

2 = 2 Cumple loga (m ÷ n) = loga m - loga n

e) El logaritmo de una potencia en una base dada, es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia.

log2 8 4 4 log 2 8

log2 4096 4 (3) 212 = 4096

12 = 12 Cumple loga bn = n log a b

f) El logaritmo de una raíz en una base dada, es igual a la división del logaritmo de la base exponente entre el índice del radical.

log2 𝟏𝟔 𝐥𝐨𝐠

𝟐 𝟏𝟔

𝟐

log2 4 𝟒

𝟐

2 = 2 Cumple loga 𝐛𝐧

= 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛

𝐧

Tanto en la suma como en la resta se debe efectuar

la operación y luego calcular el logaritmo.


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g) Logaritmo recíproco se trata de un caso especial del logaritmo de una división en que se aplica que el logaritmo de 1 en cualquier base es cero.

log2 𝟏

𝟒 - log2 4

log2 1 - log2 4 - (2)

0 – 2 - 2

2 = - 2 Cumple loga 𝟏

𝐛 = - loga b

Ejercicio:

Comprueba si son correctas y si no lo son, identifica donde esta el error.

a) 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟔𝟑𝟐𝟑

= 𝟔𝟑𝟐 b) 𝒍𝒐𝒈𝟓𝒙+𝟓

𝟑= 𝒍𝒐𝒈𝟓𝒙+ 𝒍𝒐𝒈𝟓𝟓 − 𝒍𝒐𝒈𝟓𝟑


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Bloque de

contenido:

Contenido:

Indicador de logro:

Relaciones y

funciones

Propiedades

de los

logaritmos

3.14 Identifica y explica, con seguridad, el

dominio y rango de la función

logarítmica.

3.16 Determina e interpreta las propiedades de

las funciones logarítmicas a través de su

gráfica, con interés y seguridad.


Desconoce las características de las funciones logarítmicas.

Confunde los conceptos de dominio y rango de una función.

Dificultad para reconocer cuando una función es creciente o decreciente.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos

Descripción: Se trata de recordar los conceptos básicos que se requieren para el

desarrollo del contenido. No se ejemplificará fuera de la función logarítmica.

Dominio

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función

es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función

está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar.

Rango

Son todos los valores posibles de f(x) o sea de Y. Si tenemos f(X) = sen (X) El rango va de

-1 a +1.

Si F(X) = una parábola cóncava en forma de U. El rango va del vértice a la parábola hacia

arriba hasta + infinito.

Gráfica

Es la representación de datos para ver la relación que esos datos guardan entre sí.

También sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de

elementos que permiten la interpretación de un fenómeno.

http://www.monografias.com/Matematicas/index.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


http://www.monografias.com/trabajos11/basda/basda.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/comportamiento-humano/comportamiento-humano.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCE

http://www.monografias.com/trabajos37/interpretacion/interpretacion.shtml


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71

La representación gráfica también es una ayuda para el estudio de una función. Una

función que tiene una variable dependiente y otra independiente se puede representar

gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas, correspondiendo el valor de cada

variable a la posición en los ejes.

Actividad 2: Encontremos dominio y rango de una función logarítmica

Descripción: Para asignar los valores a x partimos de que el logaritmo de cero y de un

número negativo no existen y por lo tanto solo se asignan valores positivos.

x f ( x ) = log 2 x (x , y)

1

4 log 2

1

4 = -2 porque 2-2 =

1

22

=1

4 (

1

4 , -2 )

1

2 log 2

1

2 = -1 porque 2-1 =

1

21

=1

2 (

1

2 , -1 )

1 log 2 1 = 0 porque 20 = 1 ( 1 , 0 )

2 log 2 2 = 1 porque 21 = 2 ( 2 , 1 )

4 log 2 4 = 2 porque 22 = 4 ( 4 , 2 )

Determinar dominio y rango:

Dominio = ] 0, +∞ [ = 𝑥 ∈ 𝑁/ 𝑏 > 0

Rango = ] -∞, +∞ [ Todos los reales.



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Indicador de logro:

Relaciones y funciones Propiedades de

los logaritmos.

3.17 Resuelve ejercicios aplicando las

propiedades de las funciones

logarítmicas.


Aplica incorrectamente las propiedades de los logaritmos.

Asocia las propiedades de los logaritmos con procedimientos algebraicos de

resolución de ecuaciones.

Actividad 1: Resolvamos con logaritmos

Descripción: En esta sección se debe observar si aplica correctamente las propiedades y

también, si los procedimientos algebraicos son correctos.

Ejercicios:

a) log ( 473

)(45) =

b) 𝑙𝑛 875

𝑒

6

=

c) 𝑙𝑜𝑔3 24 =

Cambio de base se aplica cuando el número no se puede descomponer en una potencia

de base igual, a la base del logaritmo. En este caso calculamos logaritmos base 10 para

los que podemos usar tablas o la calculadora.

log2 16 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟔

𝐥𝐨𝐠 𝟐

log2 24

𝟏.𝟐𝟎𝟒𝟏𝟏𝟗𝟗𝟖𝟐𝟕

𝟎.𝟑𝟎𝟏𝟎𝟐𝟗𝟗𝟗𝟔

4 ≈ 3.99999999 Cumple loga b = 𝐥𝐨𝐠 𝐛

𝐥𝐨𝐠 𝐚

El cambio de base expresa que todos los logaritmos pueden ponerse en términos de

uno solo.


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73


Bloque de

contenido:

Contenido:

Indicador de logro:

Relaciones y

funciones

Propiedades

de los

logaritmos

3.18 Resuelve, con seguridad y confianza,

problemas de aplicación de la función

logarítmica, en cooperación con otros.


Aplica incorrectamente las propiedades de los logaritmos.

Dificultad para comprender el enunciado del problema.

Realiza incorrectamente el cálculo.

Actividad 1: Apliquemos las propiedades en la resolución de problemas

Descripción: Para que los contenidos matemáticos tengan significado para los estudiantes, es

necesaria su aplicación en diversas actividades del ser humano. Resolver problemas de

aplicación al entorno implica no solo habilidades matemáticas sino también de lectura

comprensiva.

Para encontrar el tiempo al que debe invertirse cierta cantidad de dinero para producir un

interés determinado, utilizamos la fórmula:

𝑠 = 𝑝 1 + 𝑖 𝑛

Donde S= monto (suma de capital e interés)

P= capital

i = tasa de interés anual

n= tiempo en años

Para despejar el tiempo n, que es un exponente, aplicamos logaritmos.

𝑠

𝑝= 1 + 𝑖 𝑛

log𝑠

𝑝= log 1 + 𝑖 𝑛

log 𝑠 − log 𝑝 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔 (1 + 𝑖)

log 𝑠 − log𝑝

log(1 + 𝑖)= 𝑛


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Ejemplo:

Si deseamos saber en cuanto tiempo se duplica un capital cualquiera a cierta tasa de

interés anual, el resultado de log I – log P es log 2 (porque la cantidad se duplica y

desconocemos el capital).

La fórmula será entonces:

𝑛 =log 2

log(1 + 𝑖)

Ejemplo: Cuanto tiempo se necesita para que cierto capital se duplique al ser depositado a

una tasa de interés del 5% anual.

𝑛 =log 2

log 1 + 0.05 =

log 2

log 1.05=

0.301030

0.021189= 14.2069

n = 14.2069 años, es decir, n = 14 años, 2 meses y 14 días

Regla del 72.

Se establece para encontrar el tiempo que se requiere para duplicar cierta cantidad de

dinero. Dividiendo la tasa de interés entre 72 para obtener un valor aproximado.

Por ejemplo, si la tasa de interés es del 6% anual es tiempo para duplicarla es:

72

6= 12 12 años

Este valor es bastante aproximado al que se obtiene al aplicar la fórmula

log 2

log 1.06=

0.3010

0.0253= 11.9 11.9 años

Ejercicios:

1. Usa la regla del 72 para hacer un estimado de cuánto tiempo le tomará al dinero

duplicarse si se somete a tasas de interés de 8%, 9% y 12% calculado anualmente.

¿Comparando las respuestas que obtuviste ¿cuán precisa es la regla del 72?

2. La escala de Richter es usada para medir la magnitud de un terremoto, usando la

fórmula 𝑅 = log 𝐸

𝐼0 donde E es la intensidad de un terremoto siendo medido y I0 es la

intensidad de la unidad estándar de terremoto. Si I0 es 1 unidad, la fórmula se deduce a

R = log E

a) Escribe esta fórmula en forma exponencial.


PRAEM 2010


75

b) El terremoto de San Francisco en el año 1989, registro una magnitud de 69 en la

escala de Richter. El número de víctimas fatales fue de 62. En el año 1906, es la

misma ciudad ocurrió un terremoto que midió 8.3 en la escala de Richter. La

cantidad víctimas fatales fue 503. Calcula cuán más poderoso (intenso) fue el

terremoto del año 1906 con relación al de 1989.

c) En el año 2003, hubo un terremoto en el sur de Irán que registró 6.6 en la escala

Richter. El número de víctimas fatales fue una cifra trágica de 31,000. ¿Cuán

menos poderoso fue este terremoto que el de San Francisco en el año 1989? ¿Por

qué crees que la cantidad de víctimas fatales fue mucho más alta?

d) Supón que un terremoto en la ciudad de Los Ángeles es la mitad de poderoso que

el terremoto del año 2005 en Indonesia, que fue de 8.7 en la escala Richter. ¿Cuál

hubiera sido la medida del terremoto de Los Ángeles en la escala Richter?

Sitios web para logaritmos:

http://www.ematematicas.net/eclogaritmica.php?a=5

http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo

http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/logaritmos.htm

http://www.ematematicas.net/eclogaritmica.php?a=5

http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo

http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/logaritmos.htm

proyecto de refuerzo acadÉmico para … · ejercicios: 1. escribir el valor del término indicado...

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