MINISTERIO DEDUCACION

Universidad Nacional de PiuraFacultad de Ciencias Sociales y Educación

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN Y

CAPACITACIÓN PERMANENTE

COMPONENTE LOGICO MATEMATICO

MODULO No 05

ITEM 33

PIURA - 2008

LOGICA PROPOSICIONAL

INTRODUCCIÓNEn la actualidad, el estudio serio de cualquier tema, tanto en el

campo de las Humanidades como en el de las Ciencias y la

Tecnología, requiere conocer los fundamentos y métodos del

razonamiento lógico preciso, que permita a las personas o al

profesional extraer y depurar sus conclusiones evitando el riesgo

de modificar en forma equivocada la información que posee. El

presente modulo pretende motivar a los docentes participantes

para que con ayuda de la “lógica”, sean capaces de formalizar sus

conocimientos a través de la lógica simbólica, para que de esta

manera tengan una buena estructura cognitiva. Consideramos que

si el participante sabe lógica puede relacionar estos

conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear

otros conocimientos.

La lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que

se realiza tiene un procedimiento lógico, por ejemplo para ir de

compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar

cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si

una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un

procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara

la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no

pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado;

también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de

izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo

esto es la aplicación de la lógica.

La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso

problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano

utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos

conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos,

innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los

mismos.

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PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS

Situación Problemática

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LOGRO DE APRENDIZAJE

Resuelve situaciones problemáticas aplicando conceptos y procedimientos de la lógica proposicional, interpreta textos aplicando los principios lógicos y construye argumentos reconociendo proposiciones a partir de lecturas de su interés y comunica los resultados a través de distintas formas de representación.

Contenidos: Lógica formal: Definiciones. Clases de proposiciones. Formalización de proposiciones. Verdad formal.

¿Cuántas veces ha oído consejos como “Quien a buen árbol se arrima, buena sombra le cobija”, “Agua pasada no mueve molino”, o “Si ves las barbas de tu vecino cortar, pon las tuyas a remojar”?. En muchos casos tales anuncios proverbiales pueden replantearse como una condicional en la forma si… entonces…. Por ejemplo, estos tres enunciados pueden reescribirse de la siguiente manera:

“Si se arrima a un buen árbol, entonces buena sombra le cobija”.

“Si el agua ya ha pasado, entonces no mueve molino”.

“Si ves las barbas de tu vecino cortar, entonces pon las tuyas a remojar”.

Piense en algunos refranes que sean conocidos y plantéelos en la forma si … entonces….

CAP. I.: LOGICA FORMAL

ENUNCIADOSe llama enunciado a toda frase, oración o expresión matemáticaEjemplos: 5 – 2 = 3 ¡Te necesito Ven!. A boca cerrada no entra

mosca.

PROPOSICIÓN (Proposición lógica)

Es todo enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambos simultáneamente.Ejemplos: 5 – 2 = 3 Paris es la capital de Francia. x2 – y2 = (x + y) (x – y)

OBSERVACIÓN :

(a) Se consideran como proposiciones:- Las oraciones aseverativas

a) Informativasb) Descriptivasc) Explicativas

- Las leyes científicas- Las fórmulas matemáticas- Las formulas y/o esquemas lógicos- Los enunciados cerrados

(definiciones)

(b) No son considerados como proposiciones

- Las oraciones no aseverativas a) Exclamativasb) Imperativas c) Desiderativasd) Interrogativas

- Los hechos o personajes literarios- Los proverbios, modismos y refranes- Creencias religiosas, supersticiones y

mitos- Enunciados abiertos o indefinidos.

ENUNCIADO ABIERTO (Función

Proposicional): Llamados también enunciados indefinidos, son aquellos que contienen una variable o variables y que no tienen la propiedad de ser verdadero o falso.Las expresiones que contienen la palabra “El” y “Ella” también se consideran como enunciado abierto.

Ejemplos: x + 2 = 3 Cierto día el Perú entro en

crisis. x2 + y3 = 3

ENUNCIADO CERRADO:

Se considera como enunciado cerrado a todo concepto bien definido.

Ejemplo La historia es una ciencia

social que estudia, analiza e interpreta los hechos importantes del pasado a través del tiempo y el espacio.

Nota:

- Toda proposición es un enunciado pero no viceversa.

- Todo enunciado cerrado es una proposición verdadera.

PROPOSICIONES SIMPLES:

Llamadas también atómicas o singulares, son aquellos enunciados que no llevan conectivos lógicos es decir tienen un solo sujeto y un solo predicado. Ejemplos La biología es una ciencia. Los Chancas fueron grandes

guerreros. 3 6

CLASES DE PROPOSICIONES SIMPLES

a) Proposiciones Simples Predicativas:

Son aquellas expresiones que atribuyen o afirman un predicado a un sujeto.Generalmente obedecen a la fórmula:

Ejemplos La biología es una ciencia. Los Chancas fueron grandes guerreros. 2, es un número primo

b) Proposiciones Simples Relacionales: Son aquellas expresiones en las cuales se relacionan dos o más sujetos que tienen la misma categoría gramatical. (sustantivo, adjetivo, etc.)Obedecen a la fórmula

Ejemplos: Isabel es prima de Juana. 2 + 2 = 5 – 1 3 6

PROPOSICIONES COMPUESTAS:

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S es P

S1 R S2

S1 y S2 R

CAP. II.: CLASES DE PROPOSICIONES

Llamadas también moleculares, coligativas o complejas, son aquellas expresiones que se obtienen de la combinación de dos o más proposiciones simples enlazadas por conectivos lógicos.Ejemplos: “O pedro viaja a Europa o Asia” Si práctico deporte entonces tendré

buen estado físico.

CLASES DE PROPOSICIONES

COMPUESTAS

a) Negativa Son aquellas en donde el adverbio negativo “no” o sus expresiones equivalentes afectan a una o mas proposiciones.

Ejemplos: Es falso que Juan sea peruano. No es cierto que sea utilitarista y

naturalista a la vez.

Conector: , , –

Formalización: p

EL NEGADORSímbolos: A, A, - ATraducción Verbal: se leeNo ANunca A (negadores internos)Jamás AEs absurdo que AEs inconcebible que ANo ocurre que ANo es cierto que AEs imposible que ANo es verdad que AEs mentira que AEs inadmisible que ANo acaece que ANo es innegable que ADe ninguna forma se da AEs erróneo que AEs incierto que ANadie que sea AEs incorrecto que ANo es inobjetable que ANo siempre que ANo es que AEn modo alguno AEn forma alguna A

b) Conjuntiva Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción gramatical copulativa “Y” o expresiones equilvalentes.Ejemplo: La UNP forma profesionales y es un

centro de investigación.

Conector: ; . ; ; x

Formalización: p q

EL CONJUNTOR

Símbolos: AB;A.B;AB;AxBTraducción Verbal: se leeA y BA incluso BA pero BA aunque BA al igual que BA tal como BA tanto como BA también BA así como BA vemos que también BA al mismo tiempo que BA sin embargo BA es compatible con BA aún cuando BA del mismo modo BA de la misma manera BA no obstante BA empero BTanto A como, cuanto BSiempre ambos A con BA sino BNo sólo A sino también BA asimismo BA a pesar de BA a la vez BA igualmente BA de la misma manera BSin que A tampoco BCierto que A lo mismo que BSimultáneamente A con B

c) Disyuntiva Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción disyuntiva “o” su expresión equivalente “u”. Pueden ser:

Disyuntiva IncluyenteSe vincula a través del conector …………... o ……………….

Ejemplo Mónica es poeta o deportista

Conector: , +

Formalización: p q

EL DISYUNTOR INCLUYENTE

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N egadores-Externo

Símbolos: AB,A+BTraducción Verbal: se leeA o BA a menos que Ba menos que A BA salvo que BA y bien, o también BA excepto BA o incluso BA o a la vez BA ya bien BA y/o B

Disyuntiva excluyenteSe vincula a través del conector ”o ………o…….”Ejemplo O estas despierto o estas durmiendo.

Conector: ; ; , , , >-<Formalización: p q

EL DISYUNTOR EXCLUYENTE

Símbolos: A B;A B; A B,A>-<B; ABTraducción Verbal: se lee

O A o BO bien A o bien BA o B (en sentidos excluyentes)A o solamente BA o únicamente BA o solo BA no es equivalente a BNo es equivalente A con BA no biimplica a B

d) Condicional Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción condicional “si…… entonces……………” o sus expresiones equivalentes. Ejemplo: Si práctico deporte entonces tendré

buen estado físico.La proposición condicional consta de dos elementos, el antecedente y el consecuente.Las proposiciones condicionales pueden ser:

Condicional directa ( Implicador )Antecedente y consecuente van en ese orden respectivo.Ejemplo

Si te vas entonces estaré triste.

A C

Conector: ; ;

Formalización: p q

EL IMPLICADORSímbolos: A B; A B; A B

Traducción Verbal: se lee

Si A entonces BSiempre que A por consiguiente BYa que A bien se ve que BCon tal que A es obvio que BCuando A así pues BToda vez que A en consecuencia BYa que A es evidente BDe A deviene BDe A derivamos BA implica BComo quiera que A por lo cual BEn el caso de que A en tal sentido BUna condición necesaria .para A es BA es condición suficiente para BA sólo si BDe A deducimos (inferimos, concluimos, llegamos) en B, etc.

Condicional inversa (Replicador)Consecuente y antecedente van en ese orden respectivo.

Ejemplo

iré de vacaciones siempre que acabe con el trabajo

C A Conector: ;

Formalización: p q

EL REPLICADOR

Símbolos: A B; A B; B ATraducción Verbal: se leeSólo si A BA si BA porque BA siempre que BEs condición necesaria A para BA para BPara A es suficiente BA puesto que BA dado que BA supone que BA pues BA en vista que B, etc.

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e) Bicondicional Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción compuesta “si y sólo si” o sus expresiones equivalentes.Ejemplo:La pera es dulce si y sólo si está madura.Conector: , Formalización: p q

EL BIIMPLICADOR

Símbolos: A B, A BTraducción Verbal: se leeA si y solo si BA siempre y cuando BA se define lógicamente como BA es equivalente, equivale BA por lo cual mismo que BA si de la misma forma BA es idéntica a BA es igualmente (es igual,

entonces )BA cada vez que y sólo si BA es equipotente a BA es condición necesaria y

suficiente para BA siempre que y solo cuando B

Definición:

Es el proceso por el cual una proposición escrita en el lenguaje natural es traducida a un lenguaje simbólico. Para ello cada proposición se reemplaza por una variable proposicional ( p, q, r, etc.) y el conector lógico por el operador correspondiente.

CARACTERÍSTICAS DEL LENGUAJE

FORMALIZADOa) Es simbólicob) Es universalc) Es convencionald) Es abstractoe) No es ambiguo

ELEMENTOS DEL LENGUAJE

FORMALIZADO

Variables: Son símbolos que pueden ser utilizados para reemplazar a cualquier formula o proposición, de allí el nombre de variables.Tenemos los siguientes tipos de variables:Variables Proposicionales: Son símbolos que reemplazan a las proposiciones simples y para ello se utilizan las letras minúsculas a partir de la: p, q, r, s, ....

Constantes: Llamado también operador o conectivo lógico, son símbolos que reemplazan a los conjunciones gramaticales y al adverbio de negación. Se clasifican:A) Monádicos: Cuando afecta a una variable

o un esquema. Específicamente se trata de la negación ().

Ejemplos:* p (la negación afecta a la variable p)* [(pq) (rs)] (la negación afecta a todo

el esquema que esta dentro del corchete)

B) Diádicos: Cuando relaciona a dos variables o dos esquemas. En este rubro se encuentran todos los demás operadores lógicos.Ejemplos

* (pq) (El condicional “” relaciona a dos variables p, q)

* (pq) (pq) (La bicondicional “” relaciona dos esquemas)

* p(qr) (La disyunción “” relaciona a un esquema y a una variable)

CONSTANTES U OPERADORES LÓGICOS

Negación no p p

Conjunción p y q p qDisyunción Débil p o q p qDisyunción Fuerte

o p o q p q

Condicional si p entonces q p q

Bicondicional p si y solo si q p q

SIGNOS DE AGRUPACIÓN:

Son:( ) : paréntesis [ ] : corchete { } : llaves

NOTA: 1) El operador lógico de mayor jerarquía

dentro de un esquema molecular es aquel que esta fuera o entre menos signos de agrupación.

2) Cada esquema molecular tiene un nombre, el cual esta determinado por la constante lógica de mayor jerarquía

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CAP. III.: FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES

PASOS PARA FORMALIZAR:

1) Determinar las proposiciones simples que se encuentran en toda la expresión y reemplazarlos con las variables preposicionales, cada proposición con una variable.

2) Identificar las conjunciones gramaticales y los adverbios de negación para reemplazarlos por sus respectivas constantes.

3) Jerarquizar las constantes lógicas, para ello debemos analizar los signos de agrupación y el sentido de la expresión.

RecomendacionesI) La formalización debe ser literal (tal y como

esta escrito no valen equivalencias)Ejemplos:- Es falso que Manuel no es millonario

(p)- La cucaracha y el tiburón comen cualquier

cosap q

II) Las expresiones lingüísticas de doble negación (innegable, inobjetable, etc.) Se formaliza como talEjemplo:- Es innegable que los vertebrados son

reptiles p

III) Las negaciones por prefijos se formalizan Ejemplo: * Carmen es infeliz : p

OBSERVACIÓNLos términos:Ni p ni q p q p qNo p o no q p q p | q

FUNCIÓN DE VERDAD:

Es la correspondencia que existe entre el conjunto de proposiciones y sus valores de verdad.

COMBINACIÓN DE UNA O MAS PROPOSICIONESObedece a la siguiente fórmula:

Donde:n = número de variables proposicionales

DEFINICIÓN DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

o La Negación

p pVF

FV

o La Conjunción

p q p qV VV FF VF F

VFFF

o La Disyunción Incluyente

p q p qV VV FF VF F

VVVF

o El Implicador

p q p qV VV FF VF F

VFVV

o El Replicador

p q p qV VV FF VF F

VVFV

o La Disyunción Excluyente

p q p qV VV FF VF F

FVVF

o La Bicondicional

p q p qV VV FF VF F

VFFV

TAUTOLOGÍA

Cuando en el esquema molecular todos son verdaderos.

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pqr..

V

F

B fA

Número de Combinaciones = 2 n

CAP. IV.: VERDAD FORMAL

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CONTRADICCIÓN

Cuando en el esquema molecular todos son falsos.

CONTINGENCIA

Cuando en el esquema molecular resultan verdaderos y falsos.

PROBLEMAS PROPUESTOS

Practiquemos en el aula

1. A continuación se te presenta cuatro tarjetas, cada una con cinco alternativas. Selecciona la(s) que consideres correcta y completa en los espacios en blanco:

2. Se te presentan un tablero que contiene, proposiciones simples y compuestas. Identifica cuales son y formalice dichos enunciados.

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De las siguientes

expresiones:

1. ¡Buenas Noches!2. ¿Cómo estas?3. El Perú es un país

sudamericano.4. Vete a comprar al mercado.5. Te deseo suerte en tu

examen.Son enunciados: _____________________________________________

Son ejemplos de

proposiciones:

1. Tres mas dos es mayor que dos mas uno.

2. ¡Hola!3. El cuadrado es un

paralelogramo.4. Deseo viajar al Cuzco.5. La Antártica es un continente

perdido.Son ciertas: ____________________

De las siguientes expresiones:

Dios mío.El Perú es un país latinoamericano.Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.X es un eminente profesor del Pronafcap.El “Tungsteno” es una obra de Vallejo.

No son proposiciones:___________________________________________

De los siguientes enunciados, no son proposiciones:

A grandes males, grandes remedios.Julio y Enrique son amigos.3,1416 es mayor que 3,11112Mañana es sábado si hoy es viernes.El Huascarán tiene 6768mts de altura.Son correctas:____________________

22

33 44

1.- Julio y Dante son Hermanos.

2.- El número 1332 es divisible por 11.

3.- Justo al igual que Gerardo son profesores.

4.- El 28 de julio de 1821 se celebra el día de la Independencia del Perú.

5.- Roberto es político pero es honesto.

6.- No ocurre que, las aguas de las corriente peruana sean calientes.

7.- El Huascarán se encuentra en la cordillera Oriental de los Andes o se encuentra en la cordillera Occidental.

8.- La tierra es un planeta del sistema planetario solar.

9.-El que llueva es condición suficiente para obtener buenas cosechas.

10.-.El Perú posee una extensión de 1 285 215,60 km2

11.- Piura es una ciudad calurosa y emprendedora.

12.-La neurona es la unidad biológica del sistema nervioso.

13.-Todo vegetal realiza la fotosíntesis cuando y sólo cuando tiene clorofila.

14.- Es falso que, los políticos sean honestos.

15.- Mariela estudia sin embargo trabaja.

3. Analiza los siguientes párrafos o argumentos, descomponlos en sus proposiciones simples e identifica los conectores.

a. Si la pena de muerte se implanta en el Perú por

violación a niños menores de edad, las personas que

cometen este delito serian sentenciadas a pena de muerte.

Pero las personas que cometen violación a niños menores de

edad no son sentenciados a pena de muerte, salvo que la

pena de muerte se implante en el Perú por este delito.

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b. Si Lima no es la capital del Perú y Buenos Aires es

la capital de Bolivia, entonces ambas no son capitales de

Chile.

c. O bien el asma afecta a los pulmones o bien al

corazón y a los huesos; pero no es el caso que afecta al

corazón del mismo modo a los pulmones.

d. Thales de Mileto fue matemático tal como filósofo.

Calvino fue protestante si y solamente si no se sometió a la

ortodoxia católica. En consecuencia Thales fue matemático

salvo que también Calvino fue protestante.

4. Decida si cada una de las oraciones siguientes es o no una proposición.a. Tenga un feliz día.

b. Levántese y pase a que lo cuenten.

c. 8+15=23.

d. No todos los números son positivos.

e. El deporte es saludable.

f. Desde 1950, más personas han muerto en accidentes

automovilísticos que de cáncer.

5. Decida si cada una de las proposiciones siguientes es compuesta.a. Mi hermana contrajo matrimonio en Chiclayo.

b. Yo leo novelas y leo periódicos.

c. Se regarán las flores.

d. El nombre de su tía es Lucía

e. Hoy no llovió en el sur de Tumbes.

6. Represente con p a la proposición “Ella tiene ojos azules” y con q a “El tiene 43 años de edad”. Traduzca cada proposición compuesta a palabras.

a. ~p

b. ~q

c. pνq

d. pΛq

e. ~p→q

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7. Formalizar las siguientes proposicionesa) Verónica y Claudia son contemporáneas

__________________

b) Perú y Chile son países con democracia ________________

c) Cuatro y Seis son múltiplos de dos ___________________

d) La Lógica es una ciencia formal, la Matemática también

________

e) Mariátegui fue escritor, revolucionario y periodista

____________

f) Es falso que, voy a la capacitación y no a la biblioteca

_________

g) Para que un cuerpo se caliente es suficiente que se

dilate______

h) Es imposible pensar que Martin cometió este crimen a no

ser que lo hizo por despecho. Sin embargo nunca tuvo

problemas con su esposa, dado que ella fue una mujer

inteligente. _______________

i) Si es absurdo que Morropón o Piura son la capital del

departamento de Piura, luego se ve que Morropón o

Chiclayo son la capital de Lambayeque

_______________________

8. Evaluar los siguientes esquemas moleculares.

j)

p q

V V

V F

F V

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F F

k)

V V

V F

F V

F F

l)

V V

V F

F V

F F

9. Sean las proposiciones p y q falsas y r verdadera. encontrar el valor de verdad de:

a) V b) F c) Tautología d) Contradicción e) Contingencia

10. Si el esquema es falso y verdadera, hallar el valor de verdad de .

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a) V b) F c) Tautología d) Contradicción e) Contingencia

11. Si p, q, r son proposiciones verdaderas y s es falso. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a) VVV b) FFF c) VFV d) FVF e) FVV

12. Si es verdadera y también es verdadera. ¿Cuales son los valores de verdad de p y q?

a) VV b) FF c) FV d) VF

13. Si el esquema es verdadera y el esquema es falso. Hallar el valor de verdad de:

, (T es verdadero)

a) VVV b) FFF c) VFF d) VVF e) FVV

14. Por la tabla de verdad, determina si cada una de los esquemas es tautológico, contradictorio o consistente.

a)b)c)

15. Diga cual(es) son proposiciones condicionales.a) No sólo hay deuda también hay pobreza.b) Es inadmisible que la vaca no es herbívoro ni mamífero.c) Dante no es rico pero es feliz.d) Si hay motivación, hay aprendizaje.e) Es falso que los precios no suben todos los días.f) No es verdad que el etanol no sea un alcohol.

Bibliografía

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