proposiciones y conectores lÓgicos

7/31/2019 PROPOSICIONES Y CONECTORES LGICOS

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MINISTERIO DEDUCACION

Universidad Nacional de PiuraFacultad de Ciencias Sociales y Educacin

ENUNCIADO

Se llama enunciado a toda frase, oracin oexpresin matemticaEjemplos: 5 2 = 3

Te necesito Ven!.

A boca cerrada no entra mosca.

PROPOSICIN (Proposicin lgica)Es todo enunciado cuya propiedad fundamentales la de ser verdadero (V) o falso (F), pero noambos simultneamente.Ejemplos:

5 2 = 3

Paris es la capital de Francia.

x2 y2= (x + y) (x y)

OBSERVACIN :

(a) Se consideran como

proposiciones:- Las oraciones aseverativas

a) Informativasb) Descriptivasc) Explicativas

- Las leyes cientficas- Las frmulas matemticas- Las formulas y/o esquemas lgicos- Los enunciados cerrados (definiciones)

(b) No son considerados comoproposiciones

- Las oraciones no aseverativas

a) Exclamativasb) Imperativasc) Desiderativasd) Interrogativas

- Los hechos o personajes literarios- Los proverbios, modismos y refranes- Creencias religiosas, supersticiones y mitos- Enunciados abiertos o indefinidos.

ENUNCIADO ABIERTO (Funcin

Proposicional):Llamados tambin enunciados indefinidos, son

aquellos que contienen una variable o variablesy que no tienen la propiedad de ser verdadero ofalso.

Las expresiones que contienen la palabra El y

Ella tambin se consideran como enunciado

abierto.

Ejemplos:

x + 2 = 3

Cierto da el Per entro en

crisis.

x2+ y3= 3

ENUNCIADO CERRADO:

Se considera como enunciado cerrado a todoconcepto bien definido.Ejemplo La historia es una ciencia social

que estudia, analiza e interpreta los hechos

importantes del pasado a travs del tiempo

y el espacio.

Nota:- Toda proposicin es un enunciado pero no

viceversa.

- Todo enunciado cerrado es una

proposicin verdadera.

PROPOSICIONES SIMPLES:

Llamadas tambin atmicas o singulares, son

aquellos enunciados que no llevan conectivos

lgicos es decir tienen un solo sujeto y un solo

predicado.

Ejemplos

La biologa es una ciencia.

Los Chancas fueron grandes

guerreros.

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b) Proposiciones Simples Relacionales:Son aquellas expresiones en las cuales se

relacionan dos o ms sujetos que tienen la

misma categora gramatical. (sustantivo,

adjetivo, etc.)

Obedecen a la frmula

Ejemplos:

Isabel es prima de Juana.

2 + 2 = 5 1

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A pero B

A aunque B

A al igual que B

A tal como B

A tanto como B

A tambin B

A as como B

A vemos que tambin BA al mismo tiempo que B

A sin embargo B

A es compatible con B

A an cuando B

A del mismo modo B

A de la misma manera B

A no obstante B

A empero B

Tanto A como, cuanto B

Siempre ambos A con B

A sino B

No slo A sino tambin BA asimismo B

A a pesar de B

A a la vez B

A igualmente B

A de la misma manera B

Sin que A tampoco B

Cierto que A lo mismo que B

Simultneamente A con B

c) Disyuntiva

Son aquellas proposiciones que se relacionanmediante la conjuncin disyuntiva o su

expresin equivalente u. Pueden ser:

Disyuntiva IncluyenteSe vincula a travs del conector ... o

.

Ejemplo

Mnica es poeta o deportista

Conector: , +

Formalizacin: pq

EL DISYUNTOR INCLUYENTE

Smbolos: AB,A+B

Traduccin Verbal: se lee

A o B

A a menos que B

a menos que A B

A salvo que B

A y bien, o tambin BA excepto B

A o incluso B

A o a la vez B

A ya bien B

A y/o B

Disyuntiva excluyenteSe vincula a travs del conector o o.

Ejemplo

O estas despierto o estas

durmiendo.

Conector: ; ; , , , >--


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Si te vas entonces

estar triste.

A C

Conector: ; ;

Formalizacin: pq

EL IMPLICADORSmbolos: A B; A B; A B


Si A entonces B

Siempre que A por consiguiente B

Ya que A bien se ve que B

Con tal que A es obvio que B

Cuando A as pues B

Toda vez que A en consecuencia BYa que A es evidente B

De A deviene B

De A derivamos B

A implica B

Como quiera que A por lo cual B

En el caso de que A en tal sentido B

Una condicin necesaria .para A es B

A es condicin suficiente para B

A slo si B

De A deducimos (inferimos, concluimos,

llegamos) en B, etc.

Condicional inversa (Replicador)

Consecuente y antecedente van en ese orden

respectivo.

Ejemplo

ir de vacaciones siempre que acabe con el

trabajo

C AConector: ;

Formalizacin: p q

EL REPLICADOR

Smbolos: A B; A B; B A


Slo si A B

A si B

A porque B

A siempre que B

Es condicin necesaria A para B

A para BPara A es suficiente B

A puesto que B

A dado que B

A supone que B

A pues B

A en vista que B, etc.

e) BicondicionalSon aquellas proposiciones que se relacionan

mediante la conjuncin compuesta si y slo si

o sus expresiones equivalentes.

Ejemplo:La pera es dulce si y slo si est madura.

Conector: , Formalizacin: p q

EL BIIMPLICADOR

Smbolos: A B, A B


A si y solo si B

A siempre y cuando B

A se define lgicamente como B

A es equivalente, equivale BA por lo cual mismo que B

A si de la misma forma B

A es idntica a B

A es igualmente (es igual,

entonces )B

A cada vez que y slo si B

A es equipotente a B

A es condicin necesaria y

suficiente para B

A siempre que y solo cuando B

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CAP. III.: FORMALIZACIN DEPROPOSICIONES


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Definicin:

Es el proceso por el cual una proposicinescrita en el lenguaje natural es traducida a unlenguaje simblico. Para ello cada proposicinse reemplaza por una variable proposicional ( p,q, r, etc.) y el conector lgico por el operadorcorrespondiente.

CARACTERSTICAS DEL LENGUAJE

FORMALIZADOa) Es simblicob) Es universalc) Es convencionald) Es abstractoe) No es ambiguo

ELEMENTOS DEL LENGUAJE FORMALIZADOVariables: Son smbolos que pueden ser utilizadospara reemplazar a cualquier frmula o proposicin,

de all el nombre de variables.

Tenemos los siguientes tipos de variables:

Variables Proposicionales: Son smbolos quereemplazan a las proposiciones simples y para ello

se utilizan las letras minsculas a partir de la:

p, q, r, s, ....

Constantes: Llamado tambin operador o conectivolgico, son smbolos que reemplazan a los

conjunciones gramaticales y al adverbio de negacin.

Se clasifican:

A) Mondicos: Cuando afecta a una variable o un

esquema. Especficamente se trata de la

negacin ().

Ejemplos:

* p (la negacin afecta a la variable p)

* [(pq)(rs)] (la negacin afecta a todo el

esquema que esta dentro del corchete)

B) Didicos: Cuando relaciona a dos variables o dosesquemas. En este rubro se encuentran todos

los dems operadores lgicos.

Ejemplos

* (pq) (El condicional relaciona a

dos variables p, q)

* (pq)(pq) (La bicondicional

relaciona dos esquemas)

* p(qr) (La disyuncin relaciona a

un esquema y a una variable)

CONSTANTES U OPERADORES LGICOS

Negacin no p p

Conjuncin p y q p q

Disyuncin Dbil p o q p q

Disyuncin Fuerte o p o q p q

Condicional si p entonces q pq

Bicondicional p si y solo si q pq

SIGNOS DE AGRUPACIN:

Son:

( ) : parntesis

[ ] : corchete

{ } : llaves

NOTA:1) El operador lgico de mayor jerarqua dentro

de un esquema molecular es aquel que esta

fuera o entre menos signos de agrupacin.

2) Cada esquema molecular tiene un nombre, el

cual esta determinado por la constante lgica

de mayor jerarqua

PASOS PARA FORMALIZAR:

1) Determinar las proposiciones simples que se

encuentran en toda la expresin y

reemplazarlos con las variables

preposicionales, cada proposicin con una

variable.

2) Identificar las conjunciones gramaticales y los

adverbios de negacin para reemplazarlos por

sus respectivas constantes.

3) Jerarquizar las constantes lgicas, para ellodebemos analizar los signos de agrupacin y el

sentido de la expresin.

Recomendaciones

I) La formalizacin debe ser literal (tal y como

esta escrito no valen equivalencias)

Ejemplos:

- Es falso que Manuel no es millonario(p)

- La cucaracha y el tiburn comen cualquier

cosa

pqII) Las expresiones lingsticas de doble negacin

(innegable, inobjetable, etc.)

Se formaliza como tal

Ejemplo:

- Es innegable que los vertebrados son

reptiles

p

III) Las negaciones por prefijos se formalizan

Ejemplo: *Carmen es infeliz : p

OBSERVACINLos trminos:Ni p ni q p q pq

No p o no q p q p | q

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FUNCIN DE VERDAD:

Es la correspondencia que existe entre elconjunto de proposiciones y sus valores deverdad.

COMBINACIN DE UNA O MAS

PROPOSICIONESObedece a la siguiente frmula:

Nmero de Combinaciones = 2n

Donde:n = nmero de variables proposicionales

DEFINICIN DE PROPOSICIONESCOMPUESTAS

o La Negacin

p pVF

FV

o La Conjuncin

p q p qV VV FF VF F

VFFF

o La Disyuncin Incluyente

p q p qV VV FF VF F

VVVF

o El Implicador

p q p qV VV FF V

F F

VFV

V

o El Replicador

p q p qV VV FF VF F

VVFV

o

La Disyuncin Excluyente

p q p qV VV FF VF F

FVVF

o La Bicondicional

p q p qV V

V FF VF F

V

FFV

TAUTOLOGA

Cuando en el esquema molecular todos sonverdaderos.

CONTRADICCIN

Cuando en el esquema molecular todos sonfalsos.

CONTINGENCIA

Cuando en el esquema molecular resultanverdaderos y falsos.

6

p

q

r

.

.

V

F

BfA

CAP. IV.: VERDAD FORMAL


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PROBLEMAS PROPUESTOS

Practiquemos en el aula

1. A continuacin se te presenta cuatro tarjetas, cada una con cincoalternativas. Selecciona la(s) que consideres correcta y completa enlos espacios en blanco:

2. Se te presentan un tablero que contiene, proposiciones simples ycompuestas. Identifica cuales son y formalice dichos enunciados.

1.- Julio yDante son

2.- El nmero1332 es

3.- Justo aligual que

4.- El 28 dejulio de 1821

5.- Roberto espoltico pero es

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De las siguientes

expresiones:

1. Buenas Noches!2. Cmo estas?3. El Per es un pas

sudamericano.4. Vete a comprar al mercado.5. Te deseo suerte en tu

examen.Son enunciados:

____Todas_________

______________________________

Son ejemplos deproposiciones:

1. Tres mas dos es mayor que dosmas uno.

2. Hola!3. El cuadrado es un

paralelogramo.4. Deseo viajar al Cuzco.5. La Antrtica es un continente

perdido.

Son ciertas: ____1,3,5_________De las siguientes expresiones:

Dios mo.El Per es un pas latinoamericano.Los ngulos opuestos por el vrticeson iguales.X es un eminente profesor delPronafcap.El Tungsteno es una obra deVallejo.

No son proposiciones:___________________________________________

De los siguientes enunciados,no son proposiciones:

A grandes males, grandes remedios.Julio y Enrique son amigos.3,1416 es mayor que 3,11112Maana es sbado si hoy es viernes.

El Huascarn tiene 6768mts de altura.Son correctas:____________________

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Hermanos.P. CompuestaP Q

divisible por11.P. Simple

Gerardo sonprofesores.P. CompuestaP Q

se celebra elda de laIndependenciadel Per.P. Simple

honesto.P. CompuestaP Q

6.- No ocurreque, las aguasde lascorrienteperuana seancalientes. p

7.- ElHuascarn seencuentra enla cordilleraOriental de losAndes o seencuentra enla cordilleraOccidental.

P. CompuestaP V Q

8.- La tierraes un planetadel sistemaplanetariosolar.P. Simple

9.-El que lluevaes condicinsuficientepara obtenerbuenascosechas.P. CompuestaP Q

10.-.El Per poseeuna extensin de1 285 215,60 km2

P. Simple

11.- Piura esuna ciudadcalurosa yemprendedora.

12.-La neuronaes la unidadbiolgica delsistemanervioso.

13.-Todovegetal realizala fotosntesiscuando y slocuando tieneclorofila.

14.- Es falsoque, lospolticos seanhonestos.

15.- Marielaestudia sinembargo trabaja.

3. Analiza los siguientes prrafos o argumentos, descomponlos en susproposiciones simples e identifica los conectores.

a. Si la pena de muerte se implanta en el Per por

violacin a nios menores de edad, las personas que cometen este

delito serian sentenciadas a pena de muerte. Pero las personas que

cometen violacin a nios menores de edad no son sentenciados a

pena de muerte, salvo que la pena de muerte se implante en el Per

por este delito.

b. Si Lima no es la capital del Per y Buenos Aires es la

capital de Bolivia, entonces ambas no son capitales de Chile.

c. O bien el asma afecta a los pulmones o bien al corazn

y a los huesos; pero no es el caso que afecta al corazn del mismo

modo a los pulmones.

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d. Thales de Mileto fue matemtico tal como filsofo.

Calvino fue protestante si y solamente si no se someti a la

ortodoxia catlica. En consecuencia Thales fue matemtico salvo

que tambin Calvino fue protestante.4. Decida si cada una de las oraciones siguientes es o no una proposicin.

a. Tenga un feliz da.

b. Levntese y pase a que lo cuenten.

c. 8+15=23.

d. No todos los nmeros son positivos.

e. El deporte es saludable.

f. Desde 1950, ms personas han muerto en accidentes

automovilsticos que de cncer.

5. Decida si cada una de las proposiciones siguientes es compuesta.a. Mi hermana contrajo matrimonio en Chiclayo.

b. Yo leo novelas y leo peridicos.

c. Se regarn las flores.

d. El nombre de su ta es Luca

e. Hoy no llovi en el sur de Tumbes.

6. Represente conpa la proposicin Ella tiene ojos azules y con qa Eltiene 43 aos de edad. Traduzca cada proposicin compuesta apalabras.

a. ~p

b. ~q

c. pq

d. pq

e. ~pq

7. Formalizar las siguientes proposicionesa) Vernica y Claudia son contemporneas __________________

b) Per y Chile son pases con democracia ________________c) Cuatro y Seis son mltiplos de dos ___________________

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d) La Lgica es una ciencia formal, la Matemtica tambin ________

e) Maritegui fue escritor, revolucionario y periodista ____________

f) Es falso que, voy a la capacitacin y no a la biblioteca _________

g) Para que un cuerpo se caliente es suficiente que se dilate______h) Es imposible pensar que Martin cometi este crimen a no ser

que lo hizo por despecho. Sin embargo nunca tuvo problemas

con su esposa, dado que ella fue una mujer inteligente.

_______________

i) Si es absurdo que Morropn o Piura son la capital del

departamento de Piura, luego se ve que Morropn o Chiclayo sonla capital de Lambayeque _______________________

8. Evaluar los siguientes esquemas moleculares.

j) ( )p p q p

p qV VV FF VF F

k) [ ]( ) ( )p q p q q

p q

V VV FF VF F

l) [ ] [ ]( ) ( )p p q p q q

A B

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V V

V F

F V

F F

9. Sean las proposicionespy qfalsas y rverdadera. encontrar el valorde verdad de:

( ) ( )p r r q

a) V b) F c) Tautologa d) Contradiccin e)Contingencia

10. Si el esquema ( )qp es falso y ( )p q r verdadera, hallar elvalor de verdad de ( ) ( )qpqr .

a) V b) F c) Tautologa d) Contradiccin e)Contingencia

11. Si p, q, rson proposiciones verdaderas y ses falso. Hallar el valor deverdad de las siguientes proposiciones.

[( ) ]p q r s

( )p q r [( ) ( )] ( )p q r s q s

a) VVV b) FFF c) VFV d) FVF e) FVV

12. Si p q es verdadera y ( ) ( )p q p q tambin esverdadera. Cuales son los valores de verdad de py q?

a) VV b) FF c) FV d) VF

13. Si el esquema ( ) ( )wsrp es verdadera y el esquema( )sw es falso. Hallar el valor de verdad de:

( ) ( )p q r s

( ) ( )prws

( )[ ] ( )rppwT , (Tes verdadero)

a) VVV b) FFF c) VFF d) VVF e) FVV

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14. Por la tabla de verdad, determina si cada una de los esquemas estautolgico, contradictorio o consistente.

a) ( ) ( )pqqp b) ( ) ( )[ ]prqqp

c) ( ) ( )[ ] ( )prqrqp

15.Diga cual(es) son proposiciones condicionales.a) No slo hay deuda tambin hay pobreza.b) Es inadmisible que la vaca no es herbvoro ni mamfero.c) Dante no es rico pero es feliz.d) Si hay motivacin, hay aprendizaje.e) Es falso que los precios no suben todos los das.f) No es verdad que el etanol no sea un alcohol.

Bibliografa

1. ALLENDOERFER, Carl y OAKLEY, Cletus (1967): Introduccina laMatemtica Superior, Mxico: Mc Graw-Hill.2. ALLENDOERFER, Carl y OAKLEY, Cletus (1973): Fundamentos deMatemticas Universitarias, 3 ed., Mxico: Mc Graw-Hill.3. AYRES, Frank (1991): Teora y problemas de lgebra moderna,Mxico: D.F: McGRAW-HILL.

4. BLAS, Jernimo (1983) Matemticas I, Lima: Instituto MatemticoSuperior Beta.5. CARRANZA, Csar (1993) Matemtica bsica, Lima: CONCYTEC.6. FIGUEROA, Ricardo (2006): Matemtica bsica I, 9 ed., Lima: RFG.7. GMEZ, Pedro (1995): Matemtica bsica, Mxico: Iberoamrica.8. MEDINA, Mario (1987): Matemtica 1000 problemas, Lima: SanMarcos.9. PINZN, lvaro (1973): Conjuntos y estructuras, Mxico: Harla, S.A.de C.V.10. POLYA, George (1965) Cmo plantear y resolver problemas, MxicoD.F.: Trillas.11. SANTIVEZ, Jos (1988): Aritmtica, Lima: Grafotcnica editorese impresores.12. SILVA, Mario (s/a): Aritmtica. Teora y Prctica, Per: San Marcos.

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proposiciones y conectores lÓgicos

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