proporcionalitat
TRANSCRIPT
U.4: Proporcionalitat
Raó i proporcionalitatS’anomena raó de nombres a i b (b≠0) , el quocient d’aquests dos nombres
b
a
10
250
8
200
4
100 ==
Exemple: Per cada 100 grams de farina hi van 4 ousEn efectuar el quocient de les raons anteriors, obtenim sempre el mateix resultat = 25La igualtat anterior s’anomena proporcióEs llegeix 100 és a 4 com 200 és a 8
Proporció numèricaUna proporció numèrica és una igualtat entre dues raons numèriques
121443·4848
3
_2__:3_
5.210
255·510
10
5
5
:2_
214
12·712·74
12
7
4
:1_
··
2
==→=→=
==→=→=
==→=→=
=→=
xxx
x
termesconeixemnoExemple
xxx
Exemple
xxx
Exemple
cbdad
c
b
a
Proporcionalitat directaDues magnituds són directament proporcionals si en multiplicar (o dividir) una d’elles per un nombre l’altra queda multiplicada (o dividida) pel mateix nombre
Proporcionalitat directaLa Sandra fa feina per hores donant classes particulars Per cada hora que treballa li paguen 20 €. Quant li pagaran si treballa 2h? I si treballa 3h? I 4h? •
Com que les magnituds (temps-diners) són directament proporcionals, es compleix que: •
El nombre 20 s’anomena constant o raó de proporcionalitat
Representació gràficaPodem representar gràficament els valors.Eix de les abscisses (x) tempsEix ordenades (y) metres
Temps (s) Metres (m)
2 10
4 20
6 30
8 40
10 50
En representar en un sistema de coordenades els valors dues magnituds directament proporcionals, sempre obtenim una recta que passa per l’origen de coordenades (0,0)
Regla de tres directaQuan tenim tres nombres coneguts i ens falta trobar el quart nombre, sabent que són proporcionals utilitzarem la REGLA DE TRES DIRECTA
Exemple:Si 4 entrades del cine ens han costat 8€, quant ens costaran 10 entrades?
Regla de tres directaHe comprat 30 llapis per 7,50€. Quant em costaran si en compro 46?
Reducció a la unitat
Magnituds inversament proporcionals
Dues magnituds són inversament proporcionals, si en multiplicar un valor d’una de les magnituds per una constant, el valor de l’altra queda dividit per la mateixa constant
Exemple:Les magnituds velocitat – temps són magnituds inversament proporcionals. Quan multipliquem (o en dividim) una per un nombre, l’altra queda multiplicada (o dividida ) pel mateix nombre.
Proporcionalitat inversaDues magnituds són inversament proporcionals si en multiplicar (o dividir) una d’elles per un nombre l’altra queda dividida (o multiplicada) pel mateix nombre
Regla de tres inversa (inversament proporcional)
Un grup de 23 alumnes han participat en un concurs i han guanyat un premi de 1400€, si haguessin participat 14 alumnes, quants euros s’haguessin repartit?
Exemples de magnituds inversament proporcionals
10 nàufrags tenen menjar per 30 dies. Si només hi ha un nàufrag, per quants dies tindrà menjar?
10·30=1· xX=300 dies
Si un cotxe va a 60km/h i triga 5 hores a fer una distància. Quant trigaria si anés a 20km/h?
60·5=20·xx= 15 hores
Treballant 3 hores cada dia s'acaba un treball en 6 dies . Si treballem 2 hora cada dia, quants dies trigarem? 3·6=2·x
x=9 dies
Reducció a la unitat
Repartiment directament proporcionals
Es vol repartir una quantitat de forma directament proporcionalSi el valor inicial és més gran, li correspondrà una quantitat més gran
Procediment:1.Sumar els valors inicials de cada una de les parts2.Dividir la quantitat a repartir entre la suma obtinguda3.Multiplicar el quocient obtingut pels valors inicials de cada una de les parts
Exemple de repartiment directament proporcional
Exemple: Tenim 3 amics que han comprat respectivament: 2DVDs, 3DVDs i 5DVDs. Han pagat la factura de 120€. Quant ha de pagar cadascú1.2+3+5=102.120/20=12€3.1. AMIC 1: 12€x2=24€3.2. AMIC2: 12€x3=36€3.3. AMIC3: 12€x5=60€•L’amic que ha comprat 2DVDs ha de pagar 24€, el que ha comprat 3DVDs 36€ i el que ha comprat 5DVDs ha de pagar 60€
Repartiment inversament proporcionals
Es vol repartir una quantitat de forma inversament proporcional
Si el valor inicial és més gran, li correspondrà una quantitat menor en el repartiment.
1.Es calcula els inversos dels valors inicials2.Sumar els inversos dels valors inicials3.Dividir la quantitat a repartir entre la suma obtinguda4.Multiplicar el quocient obtingut pels valors inicials de cada una de les parts
Exemple de repartiment inversament proporcional
PercentatgesUn percentatge o tant per cent (%) és una proporció expressada com una quantitat de cada 100 unitats
El 15% dels tirs llançats han entrat. Significa que 15 tirs de cada 100 han entrat. I el 15% de 600?
També podem expressar el tant per u
07,0100
7%7 ==
Tota fracció la podem convertir en percentatge
%5,37375,08
3 100·→=
Per fer % amb calculadora
Diferents càlculs
Exemple 1: Exemple 2:
Augments percentualsUn augment és una quantitat que s'afegeix a un valor determinatHi ha dos mètodes per fer càlculs d’augment percentual1.Pas a pas2.Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.)
Exemple: El preu d’una bicicleta era de 240 euros. A aquest preu se li ha d’afegir el 16% d’ IVA. Quin és el preu final?
Augments percentualsExemple 1: Quina quantitat resulta en augmentar el 21% a 45?
45,5445,945
45,9100
45·2145%21
=+
==de
O multiplicar 1,21 a 45:
45,5445·21,1 =
Disminucions percentualsUna disminució és una quantitat que restem a un valor determinatHi ha dos mètodes per fer càlculs de disminució percentual1.Pas a pas2.Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.)
Exemple: El preu d’un ordinador era de 1200 euros, però m’han fet un 15% de descompte. Quin és el preu final?
Calculeu què hem de pagar:
95,12€95,04€93,67€
Exemples 1 de percentatgesEn comprar un regal per un amic , la Irene ha rebut un 5% de descompte. Si el descompte va ascendir a 2,08€. Quin és el preu del regal?
regalpreux
x
x
x
regaldelpreux
_€6,415
208
2085
100·08,25
08,2100
5·
__
==
==
=
=
6,415
100·08,208,2
100
5 ==→= xx
Exemple 2 de percentatgesEl preu d’un article sense IVA és de 21,25€ i amb IVA 24,65€. Determina el % d’IVA.
%161625,21
340
2125246525,21
246525,212125
65,24100·25,2125,21
→==
−==+
=+
=
x
x
x
x
IVAx
%161625,21
340
2125246525,21
246525,212125
65,24100
25,2125,21
65,24)100
1x·1·(25,21
→==
−==+
=+
=+
=
x
x
x
x
IVAx
Exemple 3 de percentatgesEl preu d’un llibre és de 23€. En el transcurs d’un any augmenta un 25%, i després a les rebaixes, disminueix un 20%. Quin és el preu del llibre a les rebaixes?
2375,575,28100
20·75,2875,28%2075,28
75,2875,523100
25·2323
%2523
=−=−=−
=+=+
=+
Interès simpleQuan ingressem una quantitat a un banc, al cap d’un temps ens tornen la quantitat ingressada incrementada en un interès abonat pel banc.Els interessos produïts són directament proporcionals al capital ingressat i al temps.
I= c · i · n
Conceptes:Capital inicial (c): És la quantitat inicial que s’ingressa o es presta.Interès (I). Són els interessos produïts.Interès unitari (i): És l’interès que proporciona el bancAnys (n): Anys que ha durat l’operació bancària
Exemple 1 - interès simpleUna entitat financera ofereix un 4,5% anual pel dipòsit d’un capital. Si disposem de 13500€, quin interès ens produirà al cap de 3 anys?Pas a pas:Calculem l’interès en una any:
4,5% de 13500 = 0,045 · 13500 = 607,5€En tres anys:
607,7 · 3 = 1822,5€
Fórmula:I = c · i ·nI = 13500 · 0.045 · 3 =1822,5€
Exemple 2 - interès simpleDipositem un capital de 3000€ en una entitat financera al 4% anual. Quants anys han de passar perquè es converteixi en 3360€?
Interessos: 3360 – 3000=360€ interessos obtinguts
304,0·3000
360
·
··
===
=
ic
In
nicI
Han de passar 3 anys
Exemple 3 - interès simpleEns queden per pagar 1500€ d’un préstec que venç al cap de 90 dies. Si el tipus d’interès és del 10% anual, quant ens descomptaran si el paguem avui mateix? Quant hem de pagar?90 dies= 90:365= 0,247 anysCalculem els interessos que hauríem de pagar per 90 dies (0,247 anys)
I= c · i ·nI = 1500 · 0,1 · 0,247 = 37€La quantitat que hauríem de pagar= 1500 – 37 = 1463€