U.4: Proporcionalitat

Raó i proporcionalitat S’anomena raó de nombres a i b (b≠0) , el

quocient d’aquests dos nombres

Exemple: Per cada 100 grams de farina hi van ous

En efectuar el quocient de les raons anteriors, obtenim sempre el mateix resultat = 25

La igualtat anterior s’anomena proporció

Es llegeix 100 és a 4 com 200 és a 8

b

a

Proporció numèrica

121443·4848

3

_2__:3_

5.210

255·510

10

5

5

:2_

214

12·712·74

12

7

4

:1_

··

2

xxx

x

termesconeixemnoExemple

xxx

Exemple

xxx

Exemple

cbdad

c

b

a

Una proporció numèrica és una igualtat entre dues raons numèriques

Posa’t a prova

Proporcionalitat directa

Dues magnituds són directament proporcionals si en multiplicar (o dividir) una d’elles per un nombre l’altra queda multiplicada (o dividida) pel mateix nombre

Proporcionalitat directaLa Sandra fa feina per hores donant classes particulars Per cada hora que treballa li paguen 20 €. Quant li pagaran si treballa 2h? I si treballa 3h? I 4h? •

Com que les magnituds (temps-diners) són directament proporcionals, es compleix que: •

El nombre 20 s’anomena constant o raó de proporcionalitat

Representació gràficaPodem representar gràficament els valors.Eix de les abscisses (x) tempsEix ordenades (y) metres

Temps (s) Metres (m)

2 10

4 20

6 30

8 40

10 50

En representar en un sistema de coordenades els valors dues magnituds directament proporcionals, sempre obtenim una recta que passa per l’origen de coordenades (0,0)

Regla de tres directaQuan tenim tres nombres coneguts i ens falta trobar el quart nombre, sabent que són proporcionals utilitzarem la REGLA DE TRES DIRECTA

Exemple:Si 4 entrades del cine ens han costat 8€, quant ens costaran 10 entrades?

Regla de tres directaHe comprat 30 llapis per 7,50€. Quant em costaran si en compro 46?

Reducció a la unitat

Magnituds inversament proporcionals

Dues magnituds són inversament proporcionals, si en multiplicar un valor d’una de les magnituds per una constant, el valor de l’altra queda dividit per la mateixa constant

Exemple:

Les magnituds velocitat – temps són magnituds inversament proporcionals. Quan multipliquem (o en dividim) una per un nombre, l’altra queda multiplicada (o dividida ) pel mateix nombre.

Proporcionalitat inversa

Dues magnituds són inversament proporcionals si en multiplicar (o dividir) una d’elles per un nombre l’altra queda dividida (o multiplicada) pel mateix nombre

Regla de tres inversa (inversament proporcional)

Un grup de 23 alumnes han participat en un concurs i han guanyat un premi de 1400€, si haguessin participat 14 alumnes, quants euros s’haguessin repartit?

Exemples de magnituds inversament proporcionals

10 nàufrags tenen menjar per 30 dies. Si només hi ha un nàufrag, per quants dies tindrà menjar?

10·30=1· xx=300 dies

Si un cotxe va a 60km/h i triga 5 hores a fer una distància. Quant trigaria si anés a 20km/h?

60·5=20·xx= 15 hores

Treballant 3 hores cada dia s'acaba un treball en 6 dies . Si treballem 2 hora cada dia, quants dies trigarem? 3·6=2·x

x=9 dies

Reducció a la unitat

Problemes 1. 1.Un cotxe circulant a 90 km/h ha tardat 12 hores

en realitzar un viatge. Quant temps tardarà en el mateix trajecte a una velocitat de 80 km/h? Solució: 13,5h

2. 6 fotocopiadores tarden 6 hores en realitzar un gran nombre de còpies, quant temps tardarien 4 fotocopia-dores en realitzar el mateix treball? Solució: 9h

3. En repartir una quantitat d’euros entre 7 persones cada una rep 12 euros. Quant rebrien si el repartiment es fes entre 6 persones? Solució: 14€

Proporcionalitat compostaUna activitat de proporcionalitat composta relaciona més de dues magnituds que poden ser directament o inversament proporcionals.

Para resoldre una activitat de proporcionalitat composta es fa de manera ordenada amb el procediment de reducció a la unitat.

1r - es deixa fixa la 2ª magnitud, i es relaciona la 1ª amb la 3ª

2n - es deixa fixa la 1ª magnitud, i es relaciona la 2ª amb la 3ª

ProblemesCinc aixetes omplen un dipòsit de 10 m3 en 5 hores. Quant trigaran en omplir un dipòsit de 8 m3 dues aixetes iguals a les anteriors?

Amb 12 quilos de pinso 9 conills mengen durant 12 dies. Quants dies trigaran 4 conills en menjar 8 quilos de pinso?

Per construir 4 cases iguals en 30 dies fan falta 60 paletes. Quants paletes es necessitaran per construir 6 cases en 90 dies?

Per imprimir uns fullets, 9 impressores han funcionat 8 hores diàries durant 40 dies. Quants dies tardaran en imprimir el mateix treball 6 impressores funcionant 10 hores diàries?

Repartiment directament proporcionals

Es vol repartir una quantitat de forma directament proporcionalSi el valor inicial és més gran, li correspondrà una quantitat més gran

Procediment:1.Sumar els valors inicials de cada una de les parts2.Dividir la quantitat a repartir entre la suma obtinguda3.Multiplicar el quocient obtingut pels valors inicials de

cada una de les parts

Exemple de repartiment directament proporcional

Exemple: Tenim 3 amics que han comprat respectivament: 2DVDs, 3DVDs i 5DVDs. Han pagat la factura de 120€. Quant ha de pagar cadascú1.2+3+5=102.120/10=12€3.1. AMIC 1: 12€x2=24€

3.2. AMIC2: 12€x3=36€3.3. AMIC3: 12€x5=60€

L’amic que ha comprat 2DVDs ha de pagar 24€, el que ha comprat 3DVDs 36€ i el que ha comprat 5DVDs ha de pagar 60€

Exercicis de repartiment directament proporcional

Cinc concursants participen en una competició en la que han de trobar objectes en el fons d’una piscina. Per ordre d’actuació aconsegueixen respectivament 8, 12, 13, 7 i 10 objectes. El premi de la prova consisteix en 150 punts repartits deforma proporcional als objectes que trobin. Quants punts corresponen a cada participant?

Tres socis van posar en marxa un negoci aportant, 5000 euros el primer, 25000 euros el segon i 20000

euros el tercer. El primer any s’obtenen 60000 euros de benefici, com se’ls han de repartir?

Repartiment inversament proporcionals

Es vol repartir una quantitat de forma inversament proporcional

Si el valor inicial és més gran, li correspondrà una quantitat menor en el repartiment.

1.Es calcula els inversos dels valors inicials2.Sumar els inversos dels valors inicials3.Dividir la quantitat a repartir entre la suma

obtinguda4.Multiplicar el quocient obtingut pels valors inicials

de cada una de les parts

Exemple de repartiment inversament proporcional

22.Tres amics es reparteixen una pizza de forma inversament proporcional als seus pesos que són respectivament 60, 72 i 90 quilograms. Quina part de

pizza s’ha de menjar cadascú?

23. Un professor lliura una relació de 86 exercicis a quatre alumnes per repartir-se’ls amb la condició que

cada u en resolgui una quantitat inversament proporcional a les qualificacions obtingudes en un examen. Les qualificacions han estat 2, 4, 5 i 8. Quants exercicis ha de resoldre cadascú?

Percentatges

Què en sabem?

PercentatgesUn percentatge o tant per cent (%) és una proporció expressada com una quantitat de cada 100 unitats

El 15% dels tirs llançats han entrat. Significa que 15 tirs de cada 100 han entrat. I el 15% de 600?

Diferents càlculs

Exemple 1: Exemple 2:

Augments percentualsUn augment és una quantitat que s'afegeix a un valor determinatHi ha dos mètodes per fer càlculs d’augment percentual1.Pas a pas2.Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.)

Exemple: El preu d’una bicicleta era de 240 euros. A aquest preu se li ha d’afegir el 16% d’ IVA. Quin és el preu final?

Disminucions percentualsUna disminució és una quantitat que restem a un valor determinatHi ha dos mètodes per fer càlculs de disminució percentual1.Pas a pas2.Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.)

Exemple: El preu d’un ordinador era de 1200 euros, però m’han fet un 15% de descompte. Quin és el preu final?

Calculeu què hem de pagar:

95,12€95,04€93,67€

Exemple 1 de percentatges

Exemple 2 de percentatges

Exemple 3 de percentatges

Interès simpleQuan ingressem una quantitat a un banc, al cap d’un temps ens tornen la quantitat ingressada incrementada en un interès abonat pel banc.Els interessos produïts són directament proporcionals al capital ingressat i al temps.

I= c · i · n

Conceptes:Capital inicial (c): És la quantitat inicial que s’ingressa o es presta.Interès (I). Són els interessos produïts.Interès unitari (i): És l’interès que proporciona el bancAnys (n): Anys que ha durat l’operació bancària

Exemple 1 - interès simple

Una entitat financera ofereix un 4,5% anual pel dipòsit d’un capital. Si disposem de 13500€, quin interès ens produirà al cap de 3 anys?Pas a pas:Calculem l’interès en una any:

4,5% de 13500 = 0,045 · 13500 = 607,5€En tres anys:

607,7 · 3 = 1822,5€

Fórmula:I = c · i ·nI = 13500 · 0.045 · 3 =1822,5€

Exemple 3 - interès simpleEns queden per pagar 1500€ d’un préstec que venç al cap de 90 dies. Si el tipus d’interès és del 10% anual, quant ens descomptaran si el paguem avui mateix? Quant hem de pagar?90 dies= 90:365= 0,247 anysCalculem els interessos que hauríem de pagar per 90 dies (0,247 anys)

I= c · i ·nI = 1500 · 0,1 · 0,247 = 37€La quantitat que hauríem de pagar= 1500 – 37 = 1463€