proporcionalidad y porcentajes manual alumno

NIVELACIÓN MATEMÁTICA

Manual del Alumno: Proporciones y Porcentajes

INACAP

Ciencias Básicas

Vicerrectoría de Académica de Pregrado

2015

2 Nivelación

PRESENTACIÓN

Estimado alumno:

Junto con darte la bienvenida a una nueva instancia formativa, te presentamos el manual de nivelación

matemática para el alumno Inacapino. Éste será el documento guía de la asignatura de nivelación

correspondiente y te servirá como apoyo paralelo a la asignatura que cursas.

En esta asignatura trabajaremos la resolución de problemas de manera transversal, desarrollaremos

habilidades para el cálculo de proporciones y porcentajes y podrás utilizar la calculadora en toda ocasión.

En esta asignatura revisaremos ejercicios resueltos, te propondremos otros para que realices grupalmente,

otros de manera individual, y te dejaremos notas al margen para que recuerdes los conceptos y

procedimientos más importantes de la unidad.

Al finalizar esta asignatura, esperamos que puedas establecer tu propia estrategia de resolución de

problemas utilizando las proporciones y porcentajes y, para lograrlo, trabajaremos mediante la estrategia

metodológica de la solución de ejercicios y problemas, donde el docente se transforma en un mediador y

monitor de tu aprendizaje.

3 Nivelación

PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

Esta asignatura contribuye a que puedas: Resolver situaciones problemáticas mediante estrategias matemáticas relacionadas con proporcionalidad y porcentajes, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.

Materiales: Manual de nivelación para el alumno. Calculadora. Bibliografía.

Tiempo: 6 horas pedagógicas.

Clase 1

El objetivo de esta clase es que puedas comprender el concepto de razón, así como también, el concepto

de proporcionalidad, para que los puedas aplicar en la resolución de ejercicios y problemas.

A continuación, te recordaremos los pasos para resolver problemas, con el objetivo de que los trabajes

transversalmente durante todo el módulo y la asignatura.

Pasos para resolver un problema:

1° Leer y comprender

• Leer el enunciado del problema.

• Identificar datos y pregunta del problema.

2°Proponer y fundament

ar

• Proponer una estrategia de resolución.

• Explicar la estrategia y justificarla.

3° Resolver y

comprobar

• Resolver el problema aplicando procedimientos matemáticos.

• Comprobar que el resultado que obtuviste da respuesta al problema

4°Comunicar

• Comunicar los resultado de manera acorde a la situación e interlocutores.

4 Nivelación

Problema resuelto

En una sala de cine, 4 de cada 9 personas tienen a lo más doce años. Si en

total hay 252 personas. ¿Cuántas personas mayores de 12 años hay en la

sala de cine?

Solución:

1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál

es la pregunta del problema?

2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver el

problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?

Datos:

4 de cada 9 personas tienen a lo más 12 años.

En total hay 252 personas.

Pregunta:

Determinar la cantidad de personas mayores de 12 años.

Podemos hacer un esquema que permita saber la cantidad de

personas que hay. Por ejemplo, supondremos que las pelotas rojas

son personas que a lo más tienen 12 años, y las otras serán

representadas por pelotas azules:

Si seguimos con esta estrategia necesitaríamos seguir haciendo

puntitos de colores hasta que logremos un total de 252 personas, lo

que nos llevaría mucho tiempo, pero –de igual manera– estaría

correcto. Por lo tanto, matematizaremos nuestra estrategia.

4 de cada 9 personas

tienen a lo más doce años.







5 20 15 10 Cantidad de personas

mayores de 12 años

Mayores de 12 años

Una razón es una

comparación entre dos

cantidades por medio de un

cociente.

“4 de cada 9 personas” se

escribe 4 : 9 , o bien, 4

9 como

razón.

Este enunciado nos da otras

opciones de comparación:

𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 12 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 12 𝑎ñ𝑜𝑠=

4

5

𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 12 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠=

5

9

¿Qué otras razones se te

ocurren plantear?

En este esquema se aprecian

claramente la cantidad de

personas que hay en la sala de

cine, si vamos aumentando de

9 en 9 el total de personas.

5 Nivelación

3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su

estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide

con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema.

4° Paso: Comunicar. Escribe tu respuesta de acuerdo a la situación e

interlocutores.

Fíjate en lo que tenemos: compararemos la cantidad de personas que

tienen a lo más 12 años, con las personas que son mayores de 12

años, de acuerdo a nuestra representación anterior:

4

5 =

4 ∙ 1

5 ∙ 1

8

10=

4 ∙ 2

5 ∙ 2

12

15=

4 ∙ 3

5 ∙ 3

16

20=

4 ∙ 4

5 ∙ 4

⋮

¿ ?

¿ ?=

4 ∙ 𝑥

5 ∙ 𝑥

Entones, debemos encontrar un número “𝑥” tal que:

4𝑥 + 5𝑥 = 252

Así, resolvemos la ecuación:

4𝑥 + 5𝑥 = 252

9𝑥 = 252

𝑥 =252

9

𝑥 = 28

Por lo tanto,

¿ ?

¿ ?=

4 ∙ 𝑥

5 ∙ 𝑥=

4 ∙ 28

5 ∙ 28=

112

140

En la sala de cine hay 140 personas que son mayores de 12 años.

Todas las razones que establecimos son

equivalentes. Por lo tanto, debemos

determinar el número “x” por el cual hay

que multiplicar 4 y 5 para obtener la razón

que queremos, tal que la suma de sus

componentes sea 252.

n° de personas que tienen a lo más 12 años.

n° de personas que tienen más de 12 años. 9 personas en total

27 personas en total




Recuerda reemplazar el

valor de “x” donde

corresponde, para obtener el

resultado requerido.

6 Nivelación

Problema resuelto

Para hacer pan es necesario agregar 6 cucharadas de levadura por cada

3kg de harina. ¿Cuántas cucharadas de levadura se necesitan para 7kg de

harina?

Solución:

1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es

la pregunta del problema?



Datos:

6 cucharadas de levadura por cada 3kg de harina.

x cucharadas de levadura para 7kg de harina.

Pregunta:

Determinar x

Para resolver el problema primero debemos verificar que las variables

sean proporcionales.

Podemos hacernos una pregunta de este tipo:

¿Si la cantidad de harina aumenta al doble, la levadura también

aumentaría al doble?

Como la respuesta es afirmativa, entonces, las variables son

proporcionales.

Como las variables son proporcionales, entonces, nuestra estrategia

será aplicar la regla de tres.

Una proporción es una

igualdad entre dos razones

equivalentes.

La relación de

proporcionalidad es directa

siempre que: si una variable

aumenta en una cierta medida,

(al doble, al triple, etc.) la otra

variable también lo hace en la

misma medida (al doble, al

triple, etc.).

7 Nivelación



con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema


interlocutores.

Planteamos la regla de tres:

6 𝑐𝑢𝑐ℎ𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎

3 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎=

𝑥 𝑐𝑢𝑐ℎ𝑎𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎

7 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎

Simplificamos la notación de la proporción:

6

3=

𝑥

7

Y multiplicamos cruzado:

6 ∙ 7 = 3 ∙ 𝑥

42 = 3𝑥

42

3= 𝑥

14 = 𝑥

Razón con ambas cantidades conocidas Razón con una cantidad a determinar

Se necesitan 14 cucharadas de levadura para hacer pan con 7 kilos de

harina.

Para plantear la regla de tres

debemos identificar las

razones con las que

trabajaremos. Una de ella

debe tener ambas cantidades

conocidas, y la otra debe

tener la cantidad que

queremos conocer.

La propiedad fundamental de

las proporciones es que “el

producto de los medios es

igual al producto de los

extremos”.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

𝑎 y 𝑑 se denominan extremos.

𝑐 y 𝑏 se denominan medios.

Por eso podemos multiplicar

cruzado.

8 Nivelación

Problema propuesto grupal

Juan y Pedro aportaron un capital para formar una empresa y

decidieron que sus ganancias serían repartidas de manera proporcional

a sus edades, que son 25 y 35 años, respectivamente. Si las ganancias, a

la fecha, son $3.336.000. ¿Cuánto debería recibir cada uno?

Solución:



2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver

el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?

9 Nivelación




4° Paso: Comunicar. Cuéntale a tus compañeros del curso o a tu

profesor(a) cuál es la respuesta al problema.

10 Nivelación


Un automóvil recorre 30 kilómetros en 20 minutos. ¿Cuántos kilómetros

recorrerá en 42 minutos manteniendo la misma velocidad? ¿Cuántos

kilómetros recorrerá en 55 minutos, manteniendo la misma velocidad?

Solución:

1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es

la pregunta del problema?



11 Nivelación






12 Nivelación

Problemas propuestos individuales:

Para cada uno de estos ejercicios, debes realizar los pasos que ya has

aprendido y entrenado en esta clase.

Utiliza las técnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que

puedas ir anotando los conceptos importantes, fórmulas o dudas que tengas

al respecto.

1. En un comercial de televisión, se dice que 4 de cada 5 pediatras

encuestados recomiendan usar una cierta marca de jarabe para la tos. Si se

encuestaron 120 pediatras, ¿Cuántos recomendaron el jarabe?

2. Un grupo de 14 amigos deciden asistir a una fiesta. Saben que por 3

personas se cancelan $6.450 ¿Cuánto deberían cancelar por 14 amigos,

sabiendo que les mantienen el precio por unidad?

3. En dos días, tres personas arman 24 computadores. ¿Cuántos

computadores armarán ocho personas en la misma cantidad de días?

4. Se quiere regalar un CD de música a los 40 alumnos de un curso. Si 16

CD tienen un v alor de $77.280. ¿Cuánto dinero es necesario para pagar 40

CD’s?

5. Un 750 cc de leche da, como promedio, 150grs de nata y 250grs de

mantequilla. ¿Cuánta nata se obtiene con 40 litros de leche? ¿Cuántos litros

de leche se necesitan para tener 3,5 kilos de mantequilla?

6. Para preparar 2 docenas y media de galletas, la receta pide 300 grs de

harina. ¿Cuántas galletas se pueden hacer con 470 gramos de harina?

Si no alcanzas a realizar

estos ejercicios en la

clase, puedes hacerlos en

tu casa, como tarea, y

aclarar tus dudas la

próxima clase.

13 Nivelación

Clase 2

El objetivo de esta clase es que puedas comprender el concepto de porcentaje, para calcular porcentajes

aplicando la regla de tres para resolver situaciones problemáticas, comunicando sus resultados de acuerdo a

la situación.

Problema resuelto

Un comerciante ofrece a un cliente, venderle un producto con un 15% de

descuento. Si el precio normal del producto es $23.600 ¿Cuánto debería

pagar el cliente si aplicamos el descuento al producto?

Solución:





Datos:

Precio normal: 23.600

Descuento del 15%

Pregunta:

Determinar el precio de venta del producto, si aplicamos el

descuento.

Aplicaremos la regla de tres.

Esta regla funciona perfecto para calcular porcentajes, puesto que la

relación entre las variables es de proporcionalidad.

14 Nivelación





interlocutores.

Para aplicar la regla de tres para ejercicios de porcentajes, debemos

comprender la situación y la pregunta que debemos responder.

Para esto, rellenaremos la siguiente tabla:

Cantidades (precio) Porcentajes

$23.600 100%

x 15%

Una vez que tenemos identificados los datos, podemos multiplicar

cruzado.

Cantidades (precio) Porcentajes

$23.600 100%

x 15%

23.600 ∙ 15 = 100 𝑥

354.000 = 100𝑥

354.000

100= 𝑥

3.540 = 𝑥

Ahora ya sabemos que el descuento es $3.540. Ahora calculamos el

precio final de venta.

Precio final de venta = 23.600 – 3.540 = $20.060.

El cliente debería pagar 20.060 por el producto con descuento.

El 100% es el precio

completo

El 15% es el descuento, que

hay que determinar.

Aplicamos la regla de tres

Resolvemos la ecuación

Restamos para calcular el

precio final.

15 Nivelación


Determine cuál es el precio que un vendedor debe poner a un artículo

que a él le cuesta $12.000, para poder ofrecerlo con un descuento del

20% sobre el precio señalado y, todavía, ganar en la operación, un 25%

sobre el precio de venta.

Solución:



2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver

el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?

16 Nivelación






17 Nivelación


Una persona compra un objeto en $80.000 y lo vende con un 10% de

ganancia. En seguida, el objeto se vuelve a vender, pero ahora con un

10% de perdida. ¿Qué porcentaje se perdió o se ganó en la transacción?

Solución:





18 Nivelación






19 Nivelación

Problemas propuestos individuales:

Para cada uno de estos ejercicios, debes realizar los pasos que ya has

aprendido y entrenado en esta clase.

Utiliza las técnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que

puedas ir anotando los conceptos importantes, fórmulas o dudas que tengas

al respecto.

1. Ximena ganó $453.000 durante este mes y pagó $31.710 a su fondo de

salud. ¿Qué porcentaje de su sueldo va al fondo de salud?

2. En un instituto de educación superior, para fomentar la asistencia a

clases, deciden premiar a los alumnos que tenga menos de un 2% de

asistencia. Durante el periodo de clases, hubo 88 días y Paulina fue 84 días.

¿Podrá postular al precio Paulina?

3. Camila tiene un seguro de 2.350 UF por su casa. Esa cantidad es el 80%

del valor de su casa. ¿Cuánto vale la casa?

4. Jaime aporta con el 30% de su sueldo a los gastos de su casa. Si el aporte

de Jaime es $231.000. ¿Cuál es el sueldo de Jaime?

5. En Chile, 3.968.000 hombres tienen trabajo estable, pero esto equivale al

64% de la fuerza laboral del país. ¿Cuál es el total de personas que forman

la fuerza laboral del país?

6. En el mes de enero del 2012, el Senado aprobó la ley que aumenta las

penas a las personas que manejan un automóvil bajo la influencia del

alcohol. De los 38 senadores, 30 votaron a favor y 2 votaron en contra.

¿Qué porcentaje de los senadores no votaron?

7. En el censo 2002, la población de Santiago era 5.928.590 personas, que

representan el 35,9% de la población de Chile. La población de

Latinoamérica es 577.200.000 habitantes. ¿Qué porcentaje de habitantes de

Latinoamérica son chilenos?

Si no alcanzas a realizar

estos ejercicios en la

clase, puedes hacerlos en

tu casa, como tarea, y

aclarar tus dudas la

próxima clase.

20 Nivelación

Clase 3

El objetivo de esta clase es que aclares tus últimas dudas y resuelvas el taller de evaluación de manera grupal. Aquí, dejamos un espacio para que puedas escribir tus dudas y preguntárselas a tu profesor.

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