REFERENCIAS:  Matemáticas  2º  ESO  (2003)    

MATEMÁTICAS  2º  ESO  

TEMA  8:  PROPORCIONALIDAD  NUMÉRICA  REPARTOS  DIRECTAMENTE  PROPORCIONALES  

Los   repartos  directamente  proporcionales  hacen   referencia   a  una  distribución  no  equitativa,   es  decir,   la   cantidad  a   repartir   no   será  siempre  fija  sino  que  dependerá  de  las  partes  entre  las  que  se  va  a  dividir.  

 

 

 

 

Un  ejemplo  de  reparto  directamente  proporcional  sería  el  siguiente  ejercicio:  

 

Para  llenar  un  estanque  de  42.500  litros  se  utilizan  3  grifos  A,  B  y  C,  cuyos  caudales  son  800,  500  y  400  litros  por  hora,  respectivamente.  ¿Cuántas  horas  cuesta  llenar  el  estanque  y  cuántos  litros  de  agua  ha  vertido  cada  grifo  en  el  proceso?  

Llamaremos  y,  x  y  z  al  número  total  de  litros  que  verterán  los  grifos  A,  B,  y  C,  respectivamente.  Estas  3  cantidades  son  proporcionales  a  sus  caudales,  800,  500  y  400.  

400500800zyx ==  

Teniendo  en  cuenta  la  relación  anterior,  podemos  obtener  el  valor  de  k  de  la  siguiente  manera:  

horashora

litroslitroszyxzyx 25

1700500.42

400500800400500800==

++++===

 De  aquí  obtenemos  que:  

x  =  k  ·∙  a  =  25·∙800  =  20.000  litros  

y  =  k  ·∙  b  =  25·∙500  =  12.500  litros  

z  =  k  ·∙  c    =  25·∙400  =  10.000  litros  

 

EJERCICIOS:  

1. Si   se   reparte  un  capital  de  92.500  €  entre  3  personas  de  5,  12  y  20  años  de   forma  directamente  proporcional   sus  edades,  ¿Cuánto  le  corresponde  a  cada  uno  de  ellos?  

2. Dos  amigos,  Víctor  y  Elena,  se  asocian  para  formar  una  sociedad  a  la  que  aportan  20.000  y  30.000  €,  respectivamente.  Al  cabo  del   primer   año   han   tenido   unas   ganancias   de   3.500€.   ¿Cuánto   le   corresponde   a   cada   uno   si   el   reparto   se   hace  proporcionalmente  al  dinero  aportado  inicialmente?  

3. Un  abuelo  reparte  16.875€  entre  sus  3  nietos  de  2,3  y  10  años  de  edad,  de  forma  directamente  proporcional  a  sus  edades.  ¿Qué  cantidad  le  corresponde  a  cada  uno?  

Repartir  una  cantidad  M  en  partes  directamente  proporcionales  

kcba

Mcz

by

ax =

+++====

.......  

 

 

REFERENCIAS:  Matemáticas  2º  ESO  (2003)    

MATEMÁTICAS  2º  ESO  

PROPORCIONALIDAD  COMPUESTA  DIRECTA  

Para   resolver   un   problema   de   proporcionalidad   compuesta,   primero   se   determina   el   tipo   de   proporcionalidad   que   hay   entre   cada  magnitud  y  la  magnitud  de  la  incógnita.  Después,  se  resuelve  mediante  reducción  a  la  unidad.  

Esta  proporcionalidad  se  puede  manejar  también  a  través  de  una  regla  de  tres  compuesta  directa.    

 

En  una  oficina,   45   radiadores   encendidos   durante   5   horas   consumen  405   kWh.   ¿Cuál   será   el   consumo  de   25   radiadores   encendidos  durante  6  horas?  

En  este  problema  intervienen  3  magnitudes  que  están  relacionadas  entre  sí  de  forma  directamente  proporcional.  El  proceso  que  hay  que  seguir  es:  

Nº  DE  RADIADORES   Nº  DE  HORAS   CONSUMO  

 

45  

 

5  

 

405  

 

1   1  8,1

545405 =⋅

 

 

25  

 

6  

 

25·6·1,8  =  270  

 

En  primer  lugar,  calculamos  el  consumo  de  1  radiador  de  1  hora  (método  de  reducción  a  la  unidad).  Después  se  multiplica  la  cantidad  obtenida  (1,8)  por  el  número  de  radiadores  y  horas  para  los  que  hemos  de  hallar  el  consumo.    

 

EJERCICIOS:  

1. Un  grupo  de  7  amigos  pernoctan  en  un  hotel  durante  4  días  y  pagan  448€.  Si  en  otro  viaje  se  apuntan  2  amigos  más  y  están  todos  2  días  más,  ¿Cuánto  pagarán?  

2. Un   laboratorio   fotográfico   dispone   de   varias  máquinas   de   revelar   carretes.   Si   cinco  máquinas   trabajando   durante   5   horas  revelan  750  carretes,  

a. ¿Cuántos  carretes  revelarán  6  máquinas  durante  8  horas  de  trabajo?  

b. ¿Y  10  máquinas  en  6  horas?  

3. En  una  granja  de  gallinas,  600  gallinas  consumen  630kg  de  pienso  durante  7  días.  

a. ¿Cuántos  kg  de  pienso  consumirán  1000  gallinas  durante  15  días?  

b. ¿Y  1500  gallinas  durante  10  días?  

 

 

Sabemos  que  

Consumo  de  1  radiador  en  1  hora.  

Consumo  de  25  radiadores  en  6  hora.  

REFERENCIAS:  Matemáticas  2º  ESO  (2003)    

MATEMÁTICAS  2º  ESO  

REPARTOS  INVERSAMENTE  PROPORCIONALES  

Los   repartos  directamente  proporcionales  hacen   referencia   a  una  distribución  no  equitativa,   es  decir,   la   cantidad  a   repartir   no   será  siempre  fija  sino  que  dependerá  de  las  partes  entre  las  que  se  va  a  dividir.  

 

 

 

 

 

Un  ejemplo  de  reparto  inversamente  proporcional  sería  el  siguiente  ejercicio:  

 

1. Se   reparten   2987€   entre   3   jóvenes   de   edades   14,   16   y   20   años   de   forma   inversamente   proporcional   a   éstas.   ¿Cuánto   le  corresponde  a  cada  uno  de  ellos?  

Teniendo  en  cuenta  la  ecuación  inicial:  

 

Si  hacemos  las  operaciones  con  el  m.c.m.  nos  queda:  

 

 

Por  tanto:      

Al   primero:                                                                                                                                                                                          Al   segundo:           Al  tercero:    

 

EJERCICIOS:  

1. Si  62.000  €  se  reparten  inversamente  proporcionales  a  2,  3  y  6,  ¿Qué  cantidad  le  corresponde  a  cada  uno?.  

2. Reparte  240.000  €  en  partes  inversamente  proporcionales  a  3,  4  y  7,  ¿Qué  cantidad  le  toca  a  cada  uno?.  

3. Si  67.500  €  se  reparten  en  partes  inversamente  proporcionales  a  2,  3  y  7,  ¿Qué  cantidad  corresponde  a  cada  uno?.  

 

 

 

 

 

Repartir  una  cantidad  M  en  partes  directamente  proporcionales  a  los  números  a,  b,  c…consiste  en  dividirla  en  partes  x,  y,  z…de  tal  forma  que:  

kcba

Mcz

by

ax =

+++====

.......  

 

 

Si   una   cantidad   M   se   reparte   en   partes   inversamente  proporcionales   a   los   números   a,   b,   c…   las   cantidades  

correspondientes   xb

xa

1,1  y   xc1  respectivamente  con:  

...111 +++=

cba

Mx  

 

 

114

x +116

x +120

x = 2987; m.c.m.(14,16,20) = 560

40x + 35x + 28x = 1.672.720

x =1.672.720103

= 16.240!

114

!16.240 = 1.160!116

!16.240 = 1.015!120

!16.240 = 812!