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PROPORCIONALIDAD 3 MATEMÁTICAS
Página 1 de 16 Dpto. de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid
PROBLEMAS RESUELTOS – Regla de 3 SIMPLE
1. Dos Kg y medio de patatas cuestan 1.75€. ¿Cuánto cuestan tres Kg y medio?
2.5 Kg 1.75 € DIRECTA
3.5 Kg x
;75.15.35.2 x ;5.2
75.15.3 x ;
2500
17535 x ;
1005
752
23
x ;
100
75 2x ;
100
245x x = 2.45€
2. Un coche ha recorrido 30Km en 18 minutos. Si sigue a la misma velocidad, ¿qué
distancia recorrerá en el próximo cuarto de hora?
30Km 18 minutos DIRECTA
X 15 minutos
;153018 x ;18
1530 x ;
32
5322
22
x x = 25Km
3. Cuatro operarios tardan 10 horas en limpiar un solar. ¿Cuánto tardarían 5
operarios?
4 hombres 10 horas INVERSA
5 hombres x
;5104 x ;5
40x x = 8 horas
4. Una cuadrilla de soladores, trabajando 8 horas diarias, renuevan la acera de una
calle en 15 días; ¿cuánto tardarían trabajando 10 horas al día?
8 horas 15 días INVERSA
10 horas x
;10158 x ;10
158 x ;
52
5323
x x = 12 días
5. Un paquete de 500 folios pesa 1,8Kg. ¿Cuánto pesará una pila de 850 folios?
500
folios 1.8Kg
DIRECTA 850
folios x
;8.1850500 x ;500
1885 x ;
52
1753232
2
x ;
52
1732
2
x x = 3.06Kg
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PROPORCIONALIDAD 3 MATEMÁTICAS
Página 2 de 16 Dpto. de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid
6. En una fuente se ha tardado 24 segundos en llenar un cántaro de 30 litros.
¿Cuánto se tardará en llenar un bidón de 50 litros?
24 segundos 30 litros DIRECTA
X 50 litros
;245030 x ;30
2450 x ;
532
532 24
x ;523 x x = 40 segundos
7. Un albañil, trabajando 8 horas al día, construye una pared en 15 días. ¿Cuántas
horas deberá trabajar cada día para realizar el mismo trabajo en 12 días?
8 horas 15 días INVERSA
X 12 días
;12158 x ;12
158 x ;
32
5322
3
x ;52 x x = 10 horas
8. Con una motobomba que extrae agua de un pozo, se ha tardado 18 minutos en
llenar una cisterna de 15000 litros. ¿Cuánto se tardará en llenar otra cisterna de
25000 litros?
18 minutos 15000 litros DIRECTA
X 25000 litros
;150002500018 x ;15000
2500018 x ;
15
2518 x ;
53
532 22
x ;532 x x = 30
minutos
9. El dueño de un supermercado abona una factura de 720€ por un pedido de 15
cajas de aceite; ¿cuánto le costarían 12 cajas?
720€ 15 cajas DIRECTA
X 12 cajas
;1512720 x ;15
12720 x ;
53
532 36
x ;32 26 x ; ;964 x x = 576€
10. Una piscina tiene 3 desagües; si se abren 2, la piscina se vacía en ¾ de hora.
¿Cuánto tardará en vaciarse si se abren los tres?
2 desagües 45 minutos INVERSA
3 desagües x
;3452 x ;3
452 x ;
3
532 2 x ;532 x x = 30 minutos = ½ hora
11. Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora; ¿cuántas
botellas llena en hora y media?
750 botellas 15 minutos DIRECTA
x 90 minutos
;1590750 x ;15
90750 x ;
53
532 432
x ;532 322 x x = 4500 botellas
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PROPORCIONALIDAD 3 MATEMÁTICAS
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En fracciones:
750 botellas ¼ hora DIRECTA
x 3/2 horas
;4
1
2
3750 x ;
4
12
3750
x ;2
43750 x ;23750 x x = 4500 botellas.
12. Un tractor, trabajando 8 horas diarias, labra un campo en 9 días. ¿Cuánto
tardaría en hacer el mismo trabajo si las jornadas fuesen de 12 horas al día?
8 horas / día 9 días INVERSA
12 horas / día x
;1289 x ;12
89 x ;
32
322
23
x x = 6 días
13. Juan ha recibido 20€ por un trabajo de 5 horas. ¿Cuánto cobrará si trabaja 8
horas?
20€ 5 horas DIRECTA
x 8 horas
;5820 x ;5
820 x ;84 x x = 32€
14. Dos socios han invertido 18000 y 24000€, respectivamente, para formar un
negocio. Si el primero, a la hora de repartir beneficios, ha percibido 1446€,
¿cuánto recibirá el segundo?
18000€ 1446€ DIRECTA
24000€ x
;18000144624000 x ;18000
144624000 x ;
18
144624 x ;
36
482346
x ;4824 x x =
1928€
15. En un reconocimiento médico de 120 niños, el 15% presenta problemas de
caries. ¿Cuántos niños son?
100 niños 15 caries DIRECTA
120 niños x
;15120100 x ;100
15120 x ;
10
1512 x ;
52
532 22
x ;32 2x x = 18 niños
16. Una tienda hace unos descuentos del 10%. ¿Cuánto pagaremos por un balón
que marca 18,35€?
18.35€ 100 DIRECTA
x 90
;1009035.18 x ;100
9035.18 x x = 16.52€
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PROPORCIONALIDAD 3 MATEMÁTICAS
Página 4 de 16 Dpto. de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid
17. Por 5€ nos dieron 5.6$. ¿Cuántos dólares nos darán por 18€?
5€ 5.6$ DIRECTA
18€ x
;6.5185 x ;5
6.518 x x = 16.07$
18. Si un coche que circula a 60Km/hora tarda 8 horas en recorrer un trayecto,
¿cuánto tardará otro a 80Km/hora?
60Km / hora 8 horas INVERSA
80Km / hora x
;80860 x ;80
860 x ;
8
86 x x = 6 horas
19. Un satélite da 8 vueltas a la Tierra en 40 minutos. ¿Cuántas dará en 10 horas?
8 vueltas 40 minutos DIRECTA
x 600 minutos
;406008 x ;40
6008 x ;
4
608 x ;602 x x = 120 vueltas
20. Vemos un relámpago y 5 segundos más tarde oímos el trueno; y sabemos que
la velocidad del sonido es de 340metros/segundo. ¿A qué distancia se
encuentra la tormenta, sabiendo que el relámpago y el trueno se producen en el
mismo instante?
1 segundo 340 metros DIRECTA
5 segundos x
;3405 x x = 1700 metros = 1.7Km
21. Un ordenador equipado con un procesador de 400Mhz descifró una clave
secreta en 40 minutos. ¿Qué potencia debería tener para haberlo conseguido en
10 minutos?
400 Mhz 40 min INVERSA
X 10 min
;1040400 x ;10
40400 x ;4400 x x = 1600Mhz
22. Un liquen rojo de montaña ha crecido 6mm en 3 años. ¿Cuántos cm crece cada
siglo?
0.6 3 años DIRECTA
x 100 años
;31006.0 x ;3
1006.0 x ;
3
106 x ;
3
1023 x x = 20 centímetros
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PROPORCIONALIDAD 3 MATEMÁTICAS
Página 5 de 16 Dpto. de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid
23. Un deportista ha necesitado 10 segundos para recorrer una distancia a
36Km/hora. ¿Cuánto tardaría en recorrer la misma distancia un leopardo que se
mueve a 110Km/ hora?
36Km / hora 10 segundos INVERSA
110Km / hora x
;1101036 x ;110
1036 x ;
11
36x x = 3.27 segundos
PROBLEMAS DE REGLA DE 3 COMPUESTA
24. Si 25 obreros, trabajando durante 8 horas, pintan 4Km de carretera, ¿cuántos
obreros, trabajando 10 horas, se necesitarían para pintar 15Km?
8 horas 4 Km 25 obreros
10 horas 15 Km x
Directa
Inversa
;25
15
4
8
10
x ;
410
25158
x
3
33
25
532
x ; x = 75 obreros
25. Un peregrino ha recorrido 600 Km del camino de Santiago en 20 días a razón
de 6 horas diarias. ¿Cuántos Km podría recorrer a la misma velocidad en 30
días, a 5 horas al día?
20 días 6 horas / día 600Km
30 días 5 horas / día x
Directa
Directa
;600
5
6
30
20
x ;
62
53600
x x = 750 Km
26. Obélix empleó 5 horas para comerse 10 jabalíes de 600 Kg cada uno; ¿cuántas
horas precisará para dar cuenta de 12 jabalíes de 400 Kg cada uno?
10 jabalíes 600 Kg 5 horas
12 jabalíes 400 Kg x
Directa
Directa
;5
400
600
12
10
x ;
610
5412
x
325
5232
4
x ; x = 4 horas
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PROPORCIONALIDAD 3 MATEMÁTICAS
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27. Sabiendo que 3 trenes de 12 vagones cada uno pueden transportar 1800
pasajeros, ¿cuántos pasajeros pueden transportar 4 trenes de 10 vagones cada
uno?
3 trenes 12 vagones 1800 viajeros
4 trenes 10 vagones x
Directa
Directa
;1800
10
12
4
3
x ;
123
1800104
x
22
23
23
100032
x ; x = 2000 viajeros
28. Una taladradora perfora 15 metros cada día trabajando 8 horas diarias.
¿Cuánto perforarán 2 taladradoras trabajando 6 horas diarias?
1 taladradora 8 horas / día 15 metros
2 taladradoras 6 horas / día x
Directa
Directa
;15
6
8
2
1
x ;
8
1562 x
3
22
2
532 x ; x = 22.5 metros
29. A causa de los 90 pozos que extraían 40 Hm3 anuales de agua se han agotado
en 100 años los recursos hídricos de una zona. ¿Cuánto habrían tardado en
agotarse con 20 pozos extrayendo 5 Hm3?
90 pozos 40 Hm3 100 años
20 pozos 5 Hm3 x
Inversa
Inversa
;100
40
5
90
20
x ;
10
100409 x 10049 x ; x = 3600 años
30. Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1000
piezas. ¿Cuántos días necesitará para fabricar 3000 piezas en turnos de 10
horas diarias?
8horas / día 1000 piezas 5 días
10 horas / día 3000 piezas x
Directa
Inversa
;5
3000
1000
8
10
x ;
10000
530008 x
10
538 x ;
52
5323
x ; x = 12 días
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PROPORCIONALIDAD 3 MATEMÁTICAS
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31. Si 3 grifos iguales tardan 5 horas en llenar un depósito de 10 m3, ¿en cuánto
tiempo llenarían un depósito de 8 m3 2 grifos como los anteriores?
3 grifos 10 m3 5 horas
2 grifos 8 m3 x
Directa
Inversa
;5
8
10
3
2
x ;
20
815 x
52
2532
3
x ; x = 6 horas
32. Hemos pagado 1800€ a un grupo musical por actuar 3 días en las fiestas del
barrio durante 2 horas diarias. ¿Cuántos días podremos pagar con 3600€ si
actúan durante 3 horas diarias?
1800€ 2 horas / día 3 días
3600€ 3 horas / día x
Inversa
Directa
;3
2
3
3600
1800
x ;
31800
323600
x
23
323
33
x ; x = 4 días
33. Un ciclista consumió 4800Kcal para completar 8 etapas de 30 Km cada una.
¿Cuántas Kcal necesitará para completar 5 etapas de 40 Km cada una?
8 etapas 30 Km / etapa 4800 Kcal
5 etapas 40 Km / etapa x
Directa
Directa
;4800
40
30
5
8
x ;
308
4800405
x
32
1005323
6
x ; x = 4000 Kcal
34. Por 5 días de trabajo con una jornada de 8 horas diarias me han pagado 480€.
¿Cuánto ganaré por 10 días si la jornada se reduce a 5 horas diarias?
5 días 8 horas / día 480€
10 días 5 horas / día x
Directa
Directa
;480
5
8
10
5
x ;
58
480105
x
52
3253
63
x ; x = 600€
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35. Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado
1000 Kg de ropa. ¿Cuántos Kg de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas al
día?
5 días 8 horas / día 1000Kg
12 días 10 horas / día x
Directa
Directa
;1000
10
8
12
5
x ;
58
10001012
x
52
10005323
3
x ; x = 3000 Kg
36. Un ganadero necesita 750Kg de pienso para alimentar 50 vacas durante 10
días; ¿durante cuántos días podrá alimentar 40 vacas con 1800Kg de pienso?
750 Kg 50 vacas 10 días
1800 Kg 40 vacas x
Inversa
Directa
;10
50
40
1800
750
x ;
40750
10180050
x
475
18005
x ;
22
233
235
325
x ; x = 30 días
37. Para llenar un depósito hasta una altura de 0.80m se ha necesitado un caudal
de 20 litros por minuto durante una hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará
en llenarse el mismo depósito con un caudal de 15 litros/minuto hasta una
altura de 90cm?
80cm 20 l / m 4/3 horas
90cm 15 l / m x
Inversa
Directa
;3/4
20
15
90
80
x ;
31580
42090
x
532
52323
42
x ; x = 2 horas
38. Trabajando 8 horas diarias, 12 obreros terminan un trabajo en 25 días. ¿En
cuánto tiempo lo terminarían 5 obreros trabajando 10 horas al día?
12 obreros 8 h / día 25 días
5 obreros 10 h / día x
Inversa
Inversa
;25
8
10
12
5
x ;
105
12258
x
25
3252
52
x ; x = 48 días
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PROPORCIONALIDAD 3 MATEMÁTICAS
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39. Para conseguir una altura de agua de 80cm en una piscina se han necesitado
12 grifos funcionando 8 horas diarias, durante 4 días. ¿Cuántos días
necesitarían 6 grifos, funcionando 7 horas al día, para conseguir una altura de
140cm?
80 cm 12 grifos 8 horas / día 4 días
140 cm 6 grifos 7 horas / día x
Inversa
Inversa
Directa
;4
8
7
12
6
140
80
x ;
7680
4812140
x
4
8
237
237
x ; x = 16 días
40. En 12 días, 30 electricistas, trabajando 10 horas diarias, colocan 6Km de
tendido eléctrico. ¿Cuántos días necesitarían 25 electricistas para colocar 15Km
de tendido trabajando 8 horas al día?
30 hombres 10 horas / día 6 Km 12 días
25 hombres 8 horas / día 15 Km x
Directa
Inversa
Inversa
;12
15
6
10
8
30
25
x ;
6825
12151030
x
24
334
532
532
x ; x = 45 días
41. Para recorrer diariamente 100Km durante 5 días, 6 viajeros han abonado
1300€ en total. ¿Cuánto tendrán que pagar 8 viajeros para cubrir 120Km
durante 20 días?
100 Km 5 días 6 viajeros 1300€
120 Km 20 días 8 viajeros x
Directa
Directa
Directa
;1300
8
6
20
5
120
100
x ;
65100
1300820120
x
532
13532 28
x ; 13527 x ; x = 8320€
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PROPORCIONALIDAD 3 MATEMÁTICAS
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42. Para calentar 2 litros de agua desde 0º Centígrados a 20ºC se ha necesitado
1Kcal. Si queremos calentar 3 litros de agua de 10ºC a 60ºC, ¿cuántas
Kilocalorías son necesarias?
2 litros (+) 20º C 1Kcal
3 litros (+) 50º C x
Directa
Directa
;1
50
20
3
2
x ;
22
53
x X = 3.75 Kilocalorías
43. En una mina, una cuadrilla de 6 mineros abren una galería de 30 metros de
longitud en 17 días. Si otra cuadrilla tiene 17 mineros, ¿cuántos metros de
galerías abrirán en 30 días?
6 mineros 17 días 30 metros
17 mineros 30 días x
Directa
Directa
;30
30
17
17
6
x ;
176
303017
x
6
3030 x ; 305 x ; x = 150 metros
44. Una cuadrilla de albañiles, trabajando 10 horas al día, han construido 600m2
de pared en 18 días. ¿Cuántos m2 construirán en 15 días, trabajando 8 horas
diarias?
10 horas 18 días 600m2
8 horas 15 días x
Directa
Directa
;600
15
18
8
10
x ;
1810
600158
x ;
18
60158 x
2
225
32
532
x ; x = 400m2
45. Un granjero ha necesitado 294 Kg de pienso para alimentar a 15 vacas
durante 7 días. ¿Durante cuántos días podría alimentar a 10 vacas si dispusiese
de 840 Kg de pienso?
294Kg 15 vacas 7 días
840Kg 10 vacas x
Inversa
Directa
;7
15
10
840
294
x ;
29410
715840
x ;
294
71584 x
2
222
732
7532
x ; x=30 días
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46. Una excavadora, trabajando 10 horas al día, abre una zanja de 1000 metros
en 8 días. ¿Cuánto tardaría en abrir una zanja de 600 metros, trabajando 12
horas diarias?
10 horas 1000 m 8 días
12 horas 600 m x
Directa
Inversa
;8
600
1000
10
12
x ;
1210
8610
x ;
12
86 x ;
32
322
4
x x= 4 días
47. Si se abren 3 bocas de riego con un caudal de 1.5 litros por segundo cada una,
un aljibe se vacía en 8 horas. ¿Durante cuánto tiempo daría servicio el aljibe si
se abrieran 4 bocas de riego con un caudal de 0.9 litros por segundo cada una?
3 bocas 1.5 litros / sg 8 horas
4 bocas 0.9 litros / sg x
Inversa
Inversa
;8
5.1
9.0
3
4
x ;
9.04
85.13
x ;
94
8153
x ;
32
53222
23
x x = 10 horas
48. Cincuenta terneros consumen 4200 Kg de alfalfa a la semana. Calcular:
a) El consumo de alfalfa por ternero y día.
b) Los Kg de alfalfa necesarios para alimentar a 20 terneros durante 15 días
c) Los días que se podría alimentar a 10 terneros si se dispone de 600Kg de
alfalfa
Apartado a/
50 terneros 7 días 4200Kg
1 ternero 1 día x
Directa
Directa
;4200
1
7
1
50
x ;
750
4200
x ;
75
420
x ;
5
60x x= 12 días
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Apartado b/
50 terneros 7 días 4200Kg
20 terneros 15 días y
Directa
Directa
;4200
15
7
20
50
y ;
750
15204200
y ;
75
1524200
y ;
75
7532100 22
y y = 3600 Kg
Apartado c/
50 terneros 4200Kg 7 días
10 terneros 600Kg z
Directa
Inversa
;7
600
4200
50
10
z ;
420010
760050
z ;
42
765 z z = 5 días
49. En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado 600
chaquetas en diez días. Calcular:
a) La cantidad de prendas que se fabricarían con 5 máquinas en 15 días.
b) El número de máquinas necesarias para fabricar 750 prendas en 15 días.
c) Los días que se tardarían en fabricar 750 prendas trabajando sólo con 5
máquinas.
Apartado a/
6 máquinas 10 días 600 chaquetas
5 máquinas 15 días x
Directa
Directa
;600
15
10
5
6
z ;
60
600155 z ;10155 z z = 750 chaquetas
Apartado b/
10 días 600 chaquetas 6 máquinas
15 días 750 chaquetas y
Directa
Inversa
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;6
750
600
10
15
y ;
60015
675010
y ;
15
75y y = 5 máquinas
Apartado c/
6 máquinas 600 chaquetas 10 días
5 máquinas 750 chaquetas z
Directa
Inversa
;10
750
600
6
5
x ;
6005
107506
z ;
5
75z z = 15 días
50. Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado
1000Kg de ropa. ¿Cuántos Kg de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas
diarias?
8 horas 5 días 1000Kg
10 horas 12 días x
Directa
Directa
;1000
12
5
10
8
x ;
58
10001210
x ;
104
1000034
x x = 3000Kg de ropa
51. Una alfombra sintética, de 1.80m de larga por 90cm de ancha, ha costado 72€.
¿Cuánto costará otra alfombra de la misma calidad que tiene 3m de larga y
1.20m de ancha?
1.8 m 0.9m 72€
3 metros 1.2m x
Directa
Directa
;72
2.1
9.0
3
8.1
x ;
9.08.1
722.13
x ;
918
1072123
x ;
32
5324
46
x ;525 x x = 160€
52. Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datos para un
estudio de mercado en 27 días. ¿Cuánto tardarán en hacer el mismo trabajo 9
encuestadores trabajando 10 horas al día?
5 encuestadores 8 horas 27 días
9 encuestadores 10 horas x
Inversa
Inversa
;27
8
10
5
9
x ;
109
2785
x ;
325
3252
33
x ;322 x x = 12 días
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REPARTOS PROPORCIONALES
53. Repartir 1000 euros en partes directamente proporcionales a las edades de 3,
5 y 12 años.
Sean x, y z las partes que le corresponderán a 3, 5 y 12 años, respectivamente.
1ª forma de solucionarlo:
Calculando cada parte, una a una:
50 → x=3·50=150
→
→
2ª forma de hacerlo:
→ → →
Es decir:
150€ al de 3 años 250€ al de 5 años 600€ al de 12 años 150+250+600=1000€
54. Repartir 320 euros a 3 personas de edades 2, 5 y 10, de forma inversamente
proporcional.
Sean a,b,c las cantidades correspondientes a 2, 5 y 10 años, respectivamente.
1ª forma de solucionarlo:
2ª forma de hacerlo:
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55. Se va a repartir una herencia de 5 780 000 euros que deja un adinerado
abuelo a sus tres nietos de 4, 6 y 18 años, en función de sus edades. Calcular
cuánto le toca a cada uno, tanto si el reparto es directamente proporcional a las
edades, como si lo es inversamente.
REPARTO DIRECTAMENTE PROPORCIONAL
4 años → a
6 años → b
18 años → c
le corresponde al nieto de
4 años
le corresponde al nieto de 6 años
le corresponde al nieto de 18 años
Si sumamos las tres cantidades:
=5780000 €, que es la cantidad que queríamos repartir.
Observemos que el nieto mayor tiene el triple de edad que el pequeño, y le
corresponde exactamente el triple de dinero.
SI LO RESOLVEMOS CON LA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD k:
Respectivamente:
El resultado al que llegamos es, obviamente, el mismo.
REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL
4 años → x
6 años → y
18 años → z
euros le corresponden al
nieto de 4 años
euros le corresponden al nieto de 6 años
euros le corresponden al nieto de 18 años
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Si sumamos las tres cantidades: = 5780000 €, que es la cantidad que queríamos repartir.
Vemos que al pequeño, que tiene un tercio de la edad del mediano, le corresponde el
triple exacto que a éste.
SI LO RESOLVEMOS CON LA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD k:
Obviamente, es el mismo resultado.
¡ATENCIÓN!
La cantidad que le corresponde al mayor cuando se reparte de forma
directamente proporcional NO es la misma que le corresponde al
pequeño cuando se reparte de forma inversamente proporcional; etc.
56. Las edades actuales de 2 hermanos son 5 y 8 años, respectivamente. ¿Al cabo
de cuántos años sus edades estarán en razón de 3:4?
Si los años que faltan son x:
Dentro de 4 años