propiedades y clasificación de...

Clase

Propiedades y clasificación de triángulos

MT-22

Síntesis de la clase

Ángulos

Clasificación

de ángulos

Polígonos convexos

Relaciones

angulares

Congruentes

(ángulos iguales)

Complementarios

+ = 90°

Suplementarios

+ = 180°

Adyacentes

Opuestos

por el vértice

Ángulos

entre paralelas

Regulares Irregulares

Generalidades0º < Agudo < 90°

Recto = 90°

90º < Obtuso < 180°

Extendido = 180°

Completo = 360°

2

3)n(nD

Número diagonales desde un vértice

d = n – 3

Número total de diagonales

Suma de ángulos interiores

Si = 180° (n – 2)

Suma de ángulos exteriores

360°

180º < Cóncavo < 360°

Aprendizajes esperados

• Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades.

• Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus

propiedades.

• Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos.

• Aplicar las propiedades de un triángulo equilátero.

Pregunta oficial PSU

En la figura 4, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen

exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el

lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) El área total de la nueva figura duplica al área del hexágono.

II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono.

III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.

A) Solo III

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2005.

1. Elementos primarios

2. Elementos secundarios

3. Área y perímetro

4. Clasificación


1.1 Definición

El triángulo es un polígono de tres lados que tiene los siguientes

elementos primarios:

Vértices: intersección de dos lados.

Lados : segmentos que delimitan el triángulo.

A B

C

ab

c

= c AB = a BC = b AC

Teorema: “La suma de dos lados debe ser siempre mayor que la medida

del tercer lado”.

a + b > c b + c > a a + c > b

Ejemplo: ¿Puede existir un triángulo de lados: 3, 4 y 7 cm?

Verificando el teorema se tiene: 3 + 4 = 7 4 + 7 > 33 + 7 > 4

Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.


1.1 Definición

Ángulos interiores: se forman por la intersección de

dos lados, en el interior de la figura.

Ángulos exteriores : son los ángulos adyacentes a

los ángulos interiores.

, y g

´, ´ y g´ son los ángulos exteriores del triángulo ABC.

C

A B

son los ángulos interiores del triángulo ABC.

Teoremas:

“La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º”.

“En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa”.

+ + g 180°

“La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º”. ´ + ´ + g´ 360°

“Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes

a él”.

’ = + g ’ = + g g’ = +


2.1 Altura (h)

Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o

a su prolongación.

En la figura, CD es la altura (hC) desde el vértice C.

A B

C

hC

D

El ortocentro (H) es el punto de

intersección de las alturas (hA , hB, hC).

A B

C

H


2.2 Transversal de gravedad (t)

Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

El baricentro o centro de gravedad (G)

es el punto de intersección de las

transversales de gravedad.

tC

En la figura, CD es la transversal de gravedad (tC)

desde el vértice C y D es el punto medio del lado AB.


Propiedad del centro de gravedad o baricentro (G)

El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.

D, E y F: Puntos medios

AE = tA

BF = tB

CD = tC

G: Centro de gravedad

Ejemplo:

En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.


2.3 Simetral (S)

Recta perpendicular a un segmento, trazada en su punto medio.

En la figura, está representada la simetral del lado AB, que pasa por su punto

medio D.

A B

C

S

El punto de intersección de las simetrales

se llama circuncentro y corresponde al

centro de la circunferencia circunscrita al

triángulo.D, F y G:

Puntos medios.

E: Circuncentro


2.4 Bisectriz (b)

Rayo que dimidia un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.

B

C

DA

bC

El punto de intersección de las bisectrices

se llama incentro y corresponde al centro

de la circunferencia inscrita en el triángulo.

E: Incentro


2.5 Mediana (M)

Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. La

mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él.

Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4

triángulos iguales entre sí. El área de cada uno es la cuarta

parte del área total del triángulo original.

D, E y F: Puntos medios

DF, DE y EF: Medianas

3. Área y perímetro

A B

C

ab

c

hC

hA hB

Área = base ∙ altura

2

Para obtener el área y perímetro en un triángulo cualquiera se utilizan las

siguientes fórmulas:

A B

C

ab

c

Perímetro = a + b + c

Perímetro = 10 + 17 + 21

Perímetro = 48u

Área = base ∙ altura

2

Área = 21 ∙ 8

2

Área = 84u²

Ejemplo: Determinar el área y perímetro del triángulo de la figura.

D

C

21

17

10

B

A

8

4. Clasificación

Según ángulos Según lados

Acutángulo

Todos sus ángulos

interiores son agudos.

Rectángulo

Tiene un ángulo

recto.

Obtusángulo

Tiene un ángulo

obtuso.

Escaleno

Todos sus lados y

ángulos son distintos.Ejemplo:

Isósceles

Tiene solo 2 lados

congruentes y el lado

distinto es la base.

(Base)

Equilátero

Tiene todos sus lados y

ángulos congruentes.

4.1 Propiedades en el triángulo equilátero

AB BC CA

4. Clasificación

Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales

coinciden sobre la misma recta. Por lo tanto, el

ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro

coinciden.

23ah

4

3aA

2

30º30º

60º 60º

ha a

a

2

a

2

Área (A) y altura (h) de un triángulo equilátero

con a: lado del triángulo

23a

Ejemplo

Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide cm. 33

Sea x la medida del lado, entonces:

Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será:

2

3xh

2

3x33

2

x3

6 = x

39 A 4

336 A

436A

2

cm2

A partir de la altura determinaremos el lado.

4. Clasificación

Relación entre el triángulo equilátero y

la circunferencia circunscrita

h = r + 2

r h =

2

3rh = 3r

Relación entre el triángulo equilátero

y la circunferencia inscrita

4.1 Propiedades en el triángulo equilátero

4. Clasificación

4.2 Propiedades en el triángulo isósceles

Las alturas y transversales que se trazan desde los

vértices congruentes, miden lo mismo.

hA = hB tA = tB

La altura, transversal, bisectriz y simetral que llegan a la

base, coinciden sobre la misma recta.

x = 50°

DBA = 40° y ADB = 90°

Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC.

Si D es punto medio, entonces BD es transversal.

BD es altura, bisectriz y simetral.

40°

90°

= 50°

Ejemplo: En la figura, el triángulo ABC es isósceles en B y D es punto

medio de AC. Determine la medida del ángulo x.

4.3 Propiedades en el triángulo rectángulo

Triángulo rectángulo isósceles

En el triángulo rectángulo isósceles de lado a

de la figura, se cumple que:

A

C

B

Ejemplo: En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa).

A

C

B

CBA = 45°

BC = 4 2

AC = 4 y

45°

44 2

4. Clasificación

Triángulo rectángulo y transversal de gravedad

tC : transversal

Si M es punto medio de AB, entonces AM MB CM

4. Clasificación

4.3 Propiedades en el triángulo rectángulo

Ejemplo: Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el DCB.

D es punto medio

Por lo tanto, DCB = 40°

Si CD es transversal de gravedad,

El triángulo CDB es isósceles de base BC

AD DB CD

CBA DCB

40°

40°

Pregunta oficial PSU

ALTERNATIVA CORRECTA

E

En la figura 4, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen

exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el

lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) El área total de la nueva figura duplica al área del hexágono.

II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono.

III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.

A) Solo III

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2005.

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

1 E Triángulos Aplicación

2 B Triángulos Aplicación


4 D Triángulos Análisis

5 E Triángulos Análisis

6 C Triángulos Análisis


8 C Triángulos Aplicación

9 A Triángulos Aplicación

10 D Triángulos Aplicación

11 C Triángulos Aplicación

12 B Triángulos Análisis

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad


14 E Triángulos Análisis



17 A Triángulos Aplicación

18 D Triángulos Aplicación


20 B Triángulos Análisis

21 C Triángulos Análisis

22 A Triángulos Análisis

23 A Triángulos Análisis

24 C Triángulos Evaluación

25 C Triángulos Evaluación

Síntesis de la clase

secundariosprimarios área

perímetro

según sus

ángulos

según sus

lados

acutángulo

rectángulo

obtusángulo

escaleno

isósceles

equilátero

vértices

lados

ángulos

interiores

ángulos

exteriores

Triángulos

Elementos Generalidades Clasificación

altura

simetral

bisectriz

transversal

mediana

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En la próxima sesión, resolveremos el

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