Propiedades de los Conjuntos Sean los conjuntos ,A ,B C dentro del universo U . Las seis propiedades que rigen las operaciones con esos conjuntos son las siguientes:

Operaciones con Conjuntos Dr. José Manuel Becerra Espinosa - Teoria de Conjuntos. http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/01.%20Teoria%20de%20Conjuntos.pdf 26/10/2012

Union La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es:

Interseccion La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B . Esto es:

Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común. Por ejemplo:

Complemento El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como 'A . Esto es:

Diferencia La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B . Esto es:

Jerarquia de las operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º.Calcular las potencias y raíces .

3º.Efectuar los productos y cocientes.

4º.Realizar las sumas y restas.

Tipos de operaciones combinadas

1. Operaciones combinadas sin paréntesis

1.1 Combinación de sumas y diferencias.

9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según

aparecen.

= 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7

1.2 Combinación de sumas, restas y productos.

3 · 2 - 5 + 4 · 3 - 8 + 5 · 2 =

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.

10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 2 - 16 : 4 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos

porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 10

1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.

23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 22 - 16 : 4 =

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 4 - 16 : 4 =

Seguimos con los productos y cocientes.

= 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 26

2. Operaciones combinadas con paréntesis

(15 - 4) + 3 - (12 - 5 · 2) + (5 + 16 : 4) -5 + (10 - 23)=

Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.

= (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )=

Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

= 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = 18

3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

[15 - (23 - 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 · 3 ) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

= [15 - (8 - 5 )] · [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) =

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

= [15 -3 ] · [5 + 2 ] - 3 + 2=

Operamos en los paréntesis.

= 12 · 7 - 3 + 2

Multiplicamos.

= 84 - 3 + 2=

Restamos y sumamos.

= 83

4.Con fracciones

Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el

tercero y operamos en el último.

Realizamos el producto y lo simplificamos.

Realizamos las operaciones del paréntesis .

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el

resultado.

Ejercicio de operaciones combinadas

14 − {7 + 4 · 3 - [(-2)2 · 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 23 : 2) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los

paréntesis.

14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) =

Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.

14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =

Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.

14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =

14 − (17) + (-5) + 3 - (1) =

La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que:

Si el paréntesis va precedido del signo + , se suprimirá manteniendo su

signo los términos que contenga.

Si el paréntesis va precedido del signo − , al suprimir el paréntesis hay

que cambiar de signo a todo los términos que contenga.

14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6

Notación matemática

De Wikipedia, la enciclopedia libre

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La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación

matemática, que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos

representan un concepto, una relación una operación, o una fórmula

matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse

abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.

Algunos principios básicos son:

Los símbolos de una letra se representan en letra cursiva: , etc. Los símbolos de varias letras se representan en letra redonda: ,

etc.; en lugar de no debe escribirse , porque eso representaría el producto en lugar del logaritmo neperiano.

Según la norma ISO 31 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales ( ), también se escriben con letra redonda: .[1]

Índice

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1 Teoría de conjuntos o 1.1 Conjuntos numéricos

1.1.1 Conjuntos numéricos especiales 2 Expresiones 3 Lógica proposicional, Álgebra de Boole

o 3.1 Operadores básicos o 3.2 Implicación o 3.3 Cuantificadores o 3.4 Teoría de números

4 Análisis matemático o 4.1 Análisis real

4.1.1 Límites 4.1.2 Derivadas

4.1.2.1 Derivadas ordinarias 4.1.2.2 Derivadas parciales

5 Misceláneos o 5.1 Funciones o 5.2 Tabla de Símbolos

6 Notas 7 Véase también 8 Enlaces externos

Teoría de conjuntos[editar · editar fuente]

Artículos principales: Teoría de conjuntos y Álgebra.

Sean un elemento y conjuntos

Relación Notación Se lee

pertenencia

x pertenece a A

inclusión

A está contenido en B

A está contenido en B o es igual que B

inclusión

A contiene a B

A contiene a B o es igual que B

Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo es

"x no pertenece a A";

Conjuntos numéricos[editar · editar fuente]

La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard

bold. Se muestra el símbolo creado con LaTeX, el carácter Unicode equivalente

(podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra disponibles),

y su significado habitual en matemáticas:

TeX Unicode Uso en matemáticas

ℂ Números complejos

ℍ Cuaterniones

ℕ Números naturales

ℙ Números primos

ℚ Números racionales

ℝ Números reales

Esfera

ℤ Números enteros

Conjuntos numéricos especiales[editar · editar fuente]

Expresiones[editar · editar fuente]

Relación Notación Se lee

igualdad

x es igual a y

menor que

x es menor que y

mayor que

x es mayor que y

aproximado

x es aproximadamente igual a y

Notación Se lee

cuantificador universal

para todo x

cuantificador existencial

Existe por lo menos un x

cuantificador existencial con marca de unicidad

Existe un único x

tal que o bien x, tal que y

por lo tanto

x, por lo tanto y

Ejemplo:

Teorema de Weierstrass:

"Sea f una función real continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b],

donde a es estrictamente menor que b.

Se tiene que:

La función f está acotada. La función f alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo, no

necesariamente únicos."

Este teorema se puede expresar con notación matemática de la siguiente forma:

"

".

Lógica proposicional, Álgebra de Boole[editar · editar

fuente]

Artículos principales: Cálculo lógico y Conectiva lógica.

Operadores básicos[editar · editar fuente]

Los operadores lógicos más básicos son la conjunción, la disyunción, y

la negación.

Sean y dos proposiciones

Operación Notación Se lee

Negación

no 'p'

Conjunción

'p' y 'q'

Disyunción

'p' o 'q'

Los operadores básicos se usan para formar declaraciones atómicas. Las

declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad.

Implicación[editar · editar fuente]

Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la implicación. Se

escribe o como abreviatura de . La declaración "

implica " es falsa siempre que sea verdad pero no necesariamente .

Si y , se escribe , que se lee " implica y es implicada

por ", o bien " si y sólo si ".

Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la

Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de

circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para

la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo:

Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.

Conjunción|Salgo tarde no tengo vehículo llegaré tarde al trabajo.

Si decimos Aquí no hay nadie y aplicamos literalmente la doble negación

expresada en nuestro hablar cotidiano entonces podríamos asegurar que Aquí

hay alguien.

Negación lógica| hay nadie Aquí hay alguien

Viajo en autobús o viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez. (al autor: por

favor considera un ejemplo diferente. Parece ser que has introducido una

disyunción exclusiva referida a la disyunción lógica que pones en el siguiente

enlace)

Disyunción lógica| viajo en bus viajo en mi auto o lo uno o lo otro

Si mi empresa no produce nada quiere decir que mi empresa 'produce algo'.

Negación| produce nada Produce algo

Cuantificadores[editar · editar fuente]

Hasta ahora las declaraciones que podemos hacer no dicen cuándo son verdades.

Para decirnos cuándo una declaración es verdad, necesitamos

los cuantificadores. Hay tres cuantificadores básicos: el cuantificador

universal, el cuantificador existencial y el cuantificador existencial con

marca de unicidad. Aquí están los símbolos.

Nombre Notación Se lee

cuantificador universal

Para todo x...

cuantificador existencial

Existe por lo menos un x...

cuantificador existencial con marca de unicidad

Existe un único x...

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma que

se leen "para todo , es verdad que " y "existe por lo menos un tal que es

verdad".

Estos dos últimos cuantificadores pueden usarse para lo mismo, ya que

dice lo mismo que dice . En palabras, decir "no es para todo que es

verdad" es igual que decir "existe tal que es falsa".

Teoría de números[editar · editar fuente]

Artículo principal: Teoría de números.

Análisis matemático[editar · editar fuente]

Artículo principal: Análisis matemático.

Análisis real[editar · editar fuente]

Límites[editar · editar fuente]

Para decir que el límite de la función es cuando tiende á , se escribe:

o bien .

Igualmente, para decir que la sucesión va á cuando tiende a la

infinidad, se escribe:

o bien .

Derivadas[editar · editar fuente]

Derivadas ordinarias[editar · editar fuente]

Se define la derivada de una función como el límite del cociente del cambio en la

ordenada y la abscisa. Hay varias notaciones para denotar la derivada de una

función de una sola variable:

Las derivadas serian:

Derivadas parciales[editar · editar fuente]

Si la función depende de dos o más variable, por ejemplo:

Las derivadas parciales respecto a cada una de las variables independientes:

Misceláneos[editar · editar fuente]

Funciones[editar · editar fuente]

Para decir que una función va desde el espacio al espacio , se

escribe .

Tabla de Símbolos[editar · editar fuente]

En matemática, existe un conjunto de símbolos que son frecuentemente

utilizados en la formación de expresiones matemáticas. Debido a que los

matemáticos están familiarizados con estos símbolos, los mismos no requieren

ser explicados cada vez que se utilizan.

En vista de esto, para beneficio de los matemáticos novatos, en el Anexo:Tabla

de símbolos matemáticos y Anexo:Constantes matemáticas se lista muchos de

estos símbolos comunes, junto con su nombre, pronunciación y el campo de las

matemáticas con el que se relacionan. Adicionalmente, la segunda línea contiene

una definición informal, mientras que la tercera provee un ejemplo breve.

Nota: Si algunos de los símbolos no se muestran correctamente en tu pantalla,

podría ser que tu navegador no implemente correctamente el estándar HTML 4

sobre codificación de caracteres o, alternativamente, que te falte instalar alguna

fuente requerida adicional.

Notas[editar · editar fuente]

1. ↑ Aunque en ocasiones, es complicado adherirse a esta regla. Considérese, por ej. que el TeX genera todas las letras individuales en cursivas; para que aparezcan en redondas, hay que efectuar el cambio de la fuente.

Anexo:Símbolos matemáticos De Wikipedia, la enciclopedia libre

(Redirigido desde «Anexo:Tabla de símbolos matemáticos»)

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Genéricos

Símbolo Nombre se lee como Categoría

igualdad igual a todos

x = y significa: x e y son nombres diferentes que hacen referencia a un

mismo objeto o ente.

1 + 2 = 6 − 3

definición se define como todos

x := y o x ≡ y significa: x se defene como otro nombre para y (notar, sin

embargo, que ≡ puede también significar otras cosas,

como congruencia)

P :⇔ Q significa: P se define como lógicamente equivalente a Q

cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A B) ¬(A B)

Aritmética

Símbolo Nombre se lee como Categoría

adición más aritmética

4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado,

es 10.

43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9

substracción menos aritmética

9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El

símbolo 'menos' también se utiliza para denotar que un número

es negativo. Por ejemplo, 5 + (−3) = 2 significa que si 'cinco' y 'menos

tres' son sumados, el resultado es 'dos'.

87 − 36 = 51

multiplicación por aritmética

7 x 6 = 42 significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será

42.

4 x 6 = 24 ó 4 * 6 = 24 ó 4 · 6 = 24

división entre, dividido por aritmética

significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y

dos, cada pedazo será de tamaño siete.

sumatoria

suma sobre ... desde ... hasta ...

de aritmética

∑k=1n ak significa: a1 + a2 + ... + an

∑k=14 k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

productorio

producto sobre... desde ... hasta

... de aritmética

∏k=1n ak significa: a1a2···an

∏k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

Lógica proposicional

Símbolo Nombre se lee como Categoría

implicación material o en un

solo sentido

implica; si ..

entonces; por lo

tanto

lógica proposicional

A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también;

si B es verdadero entonces nada se dice sobre A.

→ puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para

denotar funciones, como se indica más abajo.

x = 2 ⇒ x² = 4 es verdadera, pero 4 = x² ⇒ x = 2 es, en general, falso

(ya que x podría ser −2)

doble implicación

si y sólo si; sii,

syss[1] lógica proposicional

A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es

falsa.

x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y

conjunción

lógica o intersección en

una reja

y

lógica

proposicional, teoría de

rejas

la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de

otra manera es falsa.

n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 cuando n es un número natural

disyunción lógica o unión en

una reja o, ó

lógica

proposicional, teoría de

rejas

la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si

ambas son falsas, la proposición es falsa.

n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 cuando n es un número natural

negación lógica no lógica proposicional

la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa.

una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un ¬ colocado

a la izquierda.

¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S ⇔ ¬(x ∈ S)

Lógica de predicados

Símbolo Nombre se lee como Categoría

cuantificador universal

para todos; para

cualquier; para cada

lógica de

predicados

∀ x : P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x

∀ n ∈ N: n² ≥ n

cuantificador existencial

existe por lo menos

un/os

lógica de

predicados

∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.

∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

cuantificador existencial con

marca de unicidad

existe un/os único/s lógica de

predicados

∃! x : P(x) significa: existe un único x tal que P(x) es verdadera.

∃! n ∈ N: n + 1 = 2

reluz tal que lógica de

predicados

∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.

∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

Teoría de conjuntos

Símbolo Nombre se lee como Categoría

delimitadores

de conjunto el conjunto de ...

teoría de

conjuntos

{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c

N = {0,1,2,...}

notación constructora

de conjuntos

el conjunto de los elementos ...

tales que ...

teoría de

conjuntos

{x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es

verdadera. {x | P(x)} es lo mismo que {x : P(x)}.

{n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4}

conjunto vacío conjunto vacío teoría de

conjuntos

{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa.

{n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}

pertenencia de

conjuntos

en; está en; es elemento de; es

miembro de; pertenece a

teoría de

conjuntos

a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es

elemento del conjunto S

(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N

subconjunto es subconjunto de teoría de

conjuntos

A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B

A ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B

A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R

unión de conjuntos la unión de ... y ...; unión teoría de

conjuntos

A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y

también todos aquellos de B, pero ningún otro.

A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B

intersección de

conjuntos

la intersección de ... y ...;

intersección

teoría de

conjuntos

A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos

que A y B tienen en común.

{x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}

complemento de un

conjunto

menos; sin teoría de

conjuntos

A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos

de A que no se encuentran en B

{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}

Funciones

Símbolo Nombre se lee como Categoría

aplicación de función; agrupamiento de funciones

para aplicación de función: f(x) significa: el valor de la

función f sobre el elemento x

para agrupamiento: realizar primero las operaciones dentro del

paréntesis.

Si f(x) := x², entonces f(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, pero 8/(4/2) =

8/2 = 4

mapeo funcional de ... a funciones

f: X → Y significa: la función f mapea el conjunto X al conjunto Y

Considérese la función f: Z → N definida por f(x) = x²

Números

Símbolo Nombre se lee como Categoría

números

naturales

N números

N significa: {1,2,3,...}, pero véase el artículo números naturales para

una convención diferente.

{|a| : a ∈ Z} = N

números enteros Z números

Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...}

{a : |a| ∈ N} = Z

números

racionales

Q números

Q significa: {p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0}

3.14 ∈ Q; π ∉ Q

números reales R números

R significa: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, el límite existe}

π ∈ R; √(−1) ∉ R

números

complejos

C números

C significa: {a + bi : a, b ∈ R}

i = √(−1) ∈ C

raíz cuadrada

la raíz cuadrada de; la principal raíz

cuadrada de

números

reales

√x significa: el número positivo cuyo cuadrado es x

√(x²) = |x|

infinito infinito números

∞ es un elemento de la recta real extendida mayor que todos los

números reales; ocurre frecuentemente en límites

limx→0 1/|x| = ∞

valor absoluto valor absoluto de números

|x| significa: la distancia en la recta real (o en el plano complejo)

entre x y [[zero], se le llama también módulo]

|a + bi | = √(a² + b²)

Órdenes parciales

Símbolo Nombre se lee como Categoría

comparación es menor a, es mayor a órdenes parciales

x < y significa: x es menor a y; x > y significa: x es mayor a y

3 < 4 5 > 4

Símbolo Nombre se lee como Categoría

comparación es menor o igual a, es mayor o igual a órdenes parciales

x ≤ y significa: x es menor o igual a y; x ≥ y significa: x es mayor o igual

a y

x ≥ 1 ⇒ x² ≥ x

Geometría euclídea

Símbolo Nombre se lee como Categoría

pi pi Geometría euclideana

π significa: la razón de la circunferencia a su diámetro.

A = πr² es el área de un círculo con radio r

Combinatoria

Símbolo Nombre se lee como Categoría

factorial factorial combinatoria

n! es el producto 1×2×...×n

4! = 24

Análisis funcional

Símbolo Nombre se lee como Categoría

norma norma de; longitud de análisis funcional

x es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado

x+y ≤ x + y

Cálculo

Símbolo Nombre se lee como Categoría

integración

integral desde ... hasta ... de ... con

respecto a ... cálculo

∫ab f(x) dx significa: el área, con signo, entre el eje-x y la gráfica de

la función f entre x = a y x = b

∫0b x² dx = b³/3; ∫x² dx = x³/3

derivación derivada de f; f prima cálculo

f '(x) es la derivada de la función f en el punto x, esto es,

la pendiente de la tangente en ese lugar.

Si f(x) = x², entonces f '(x) = 2x y f ' '(x) = 2

gradiente del, nabla, gradiente de cálculo

∇f (x1, …, xn) es el vector de derivadas parciales (df / dx1, …, df / dxn)

Si f (x, y, z) = 3xy + z² entonces ∇f = (3y, 3x, 2z)

derivada parcial derivada parcial de cálculo

Con f (x1, …, xn), ∂f/∂xi es la derivada de f con respecto a xi, con todas

las otras variables mantenidas constantes.

Si f(x, y) = x²y, entonces ∂f/∂x = 2xy

Ortogonalidad

Símbolo Nombre se lee como Categoría

perpendicular es perpendicular a ortogonalidad

x y significa: x es perpendicular a y; o, más generalmente, x es

ortogonal a y.

Álgebra matricial

Símbolo Nombre se lee como Categoría

perpendicular traspuesta matrices y vectores

(a,b) con al lado o a modo de potencia significa que el vector se

debe colocar no de izquierda a derecha, sino de arriba a abajo. En

numerosos trabajos de investigación se utiliza esta sintaxis al no poder

representar en un documento vectores verticales.

Teoría de rejas

Símbolo Nombre se lee como Categoría

fondo el elemento fondo teoría de rejas

x = significa: x es el elemento más pequeño.