progresiones - hui · pdf filede acuerdo a las condiciones del problema, ... ejercicio 286...

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  • PROGRESIONES

    RESEA HISTORICA

    El matemtico Ruso YAKOV PERELMAN en su reconocido y excelente libro de

    matemticas recreativa, afirma que la progresin ms antigua no es como se cree

    que la de la recompensa del inventor del ajedrez, sino la descrita en los papiros de

    la regin egipcia de Rend: Entre cinco personas se repartieron cien medidas de

    trigo, de tal manera que la segunda recibi ms que la primera tanto como le

    correspondi a la tercera ms que a la segunda , a la cuarta ms que a la tercera y

    a la quinta ms que a la cuarta. Adems, las dos primeras obtuvieron siete veces

    menos que las 3 restantes .

    Cunto le corresponde a cada una.

    Solucin: La progresin se puede escribir de la siguiente manera

    a1

    xa +2 xa 23 +

    xa 34 +

    xa 45 +

    De acuerdo a las condiciones del problema, podemos establecer dos ecuaciones.

    1. ( ) ( ) ( ) ( ) 100432 =++++++++ xaxaxaxaa 100105 =+ xa

  • 202 =+ xa ( )1

    2. ( )[ ] ( ) ( )( )xaxaxaxaa 4327 ++++=++ xaxa 93714 +=+ 0211 = xa ( )2

    Resolviendo ( ) ( )21 como

    ( ) 02011 = aa 02011 =+ aa

    2012 =a

    1220=a

    3

    5=a

    Reemplazando este valor en ( )2

    xa 211 =

    ax2

    11=

  • =35

    211

    x

    6

    55=x

    Lo que correspondi a cada persona fue:

    3

    51 = a

    6

    65

    6

    5510

    6

    55

    3

    52 =+=+=+ xa

    +=+655

    235

    23 xa

    203

    60

    3

    55

    3

    5 =++=

    6

    553

    35

    34 +=+ xa

    6

    175

    6

    16510

    2

    55

    3

    5 =+=+

  • 3110

    35

    655

    435

    45 +=

    +=+ xa

    3

    115=

    LA SUCESION DE GAUSS

    Cuenta la historia una interesante ancdota, en la vida Gauss. Estando en clase de

    matemticas con el profesor Brtner, queriendo tomar un descanso, le puso un

    curioso problema.

    Cul es la suma de los primeros 100 nmeros naturales?

    Gauss apenas contaba con baos, le contest rpidamente y con exactitud: 5050.

    El procedimiento utilizado por Gauss, fue el siguiente:

    1 + 2 + 3 + 4 + + 98 + 99 + 100

    100 + 99 3 + 2 1

    101 + 101 +... +101+101+101

    Observ que existe 100 resultados 101, pero la suma est escrita dos veces,

    entonces

    50502101100 =x

  • La frmula generalizada es

    Primer miembro de la ecuacin es una progresin geomtrica cuya suma

    nrS

    11=

    27

    11=S

    128

    11=S

    128

    127=S

    Volviendo a la ecuacin

    1128

    127

    +=

    x

    x

    ( )2

    1+= nnS

  • RECOMPRENSA DEL AJEDREZ

    Se relata que el inventor del ajedrez pidi como recompensa un grano de trigo por

    el primer cuadro de 2 tableros, dos granos por el segundo, cuatro por el tercero y

    as sucesivamente hasta completar los sesenta y cuatro del ajedrez

    Si el rey no hubiera tenido asesores matemticos, no habra podido cumplirle con

    la recompensa. En efecto, puesto que al llegar al cuadrado20, la recompensa

    habra ascendido a ms de un milln de granos y al llegar al cuadrado 64, la cifra

    de granos sera astronmica. En efecto:

    1+2+4+8+16+ +632

    Cul ser el total de granos?

    DEFINICION DE PROGRESIONES:

    Una progresin es una secuencia de nmeros, cada uno (a excepcin del primero),

    se puede obtener del anterior mediante la aplicacin de una ley.

    Ejemplos: son progresiones las siguientes secuencias de nmeros:

  • 1. { },.....11,9,7,5,3

    2. { }....64,32,16,8,4,2

    3. { }...17,14,11,8,5,2

    4.

    ...

    811

    ,271

    ,91

    ,31

    Las progresiones ms frecuentes en matemticas son las aritmticas y las

    geomtricas.

    DEFINICION:

    Es una secuencia de nmeros relacionados de tal manera que cada uno, a

    excepcin del primero se pueden obtener del anterior, sumando o restando una

    cantidad llamada diferencia comn.

    Ejemplos:

    1) { }....17,14,11,8,5 El primer trmino es 18 y la diferencia comn es 3.

    2) { }....2,6,10,14,18 El primer trmino es 18 y la diferencia es -4

    ULTIMO TERMINO DE UNA PROGRESION ARTIMETICA (P. A.)

  • Por definicin de progresin aritmtica podemos resaltar que:

    1 Trmino: a 2 Termino: ra + 3 Trmino: ( ) rarra 2+=++ 4 Trmino: ( ) rarra 3:2 +++

    ..

    ..

    ..

    :an Ultimo trmino: ( ) rna ++ 1

    Por tanto el ltimo o n-simo trmino de una progresin aritmtica viene dado por

    la ltima frmula:

    ( )rnaan 1+=

    Donde :a el primer trmino :an ltimo trmino :n El nmero de trminos :r Diferencia comn o razn :s Suma de todos los trminos

  • HALLAR EL TERMINO QUE OCUPA LAS POSICION DE UNA PROGRESION ARITMETICA

    Para calcular el trmino que ocupa la posicin de una P.A., se emplea la frmula.

    Ejemplos

    1. Hallar el octavo trmino de la P.A, 3, 7, , 11,

    S// 8 a 3 7 3 4 ? . # $% &

    $% ' & $ %

    2. Hallar el noveno trmino de la P.A : ( 7, 3 1

    S// 9 7 1 3 1 3 4 * ?

    + #

    * 7 9 14

    7 84

  • 7 32

    25

    3. Hallar el sexto de la P.A : .%& ,

    '

    / ,

    /0

    /, 1

    6 %& /0/

    '

    /

    /

    /%

    3 ? 3 + # 3 $45 36748

    3 $ 45 0 6748

    3 $ 75 #94 3 &*/

    Ejercicio 286 (del Algebra Baldor) Hallar el

    1. Noveno trmino de P.A. : 7, 10, 13, . . .

    S// 9 7 13 10 3 * ?

    + #

  • * $' *% 7 ;8< ;3< 31

    2. Doceavo trmino de la P.A. : 5, 10, 15, . . .

    S// 12 + 5 15 10 15 / ?

    + # / $0 /0

    5 ;11< ;5< 5 55 60

    3. 48+ trmino de la P.A : 9, 12, 15, . . .

    S// 48 + 9 15 12 3 + #

    & $* & % 48 9 ;47< ;3< 9 141 150

    4. 63+ trmino de la P.A : 3, 10, 17, . . .

    S// 63

  • + 3 3 10 7 3% ?

    + # 3% $% 3%'

    63 3 ;62< ;7< 3 434 437

    5. 12+ trmino de la P.A : 11, 6, 1, . . .

    S// 12 + 11

    6 11 5 / ?

    + #

    / $

    /0 11 ;11< ;5< 11 55 44

    6. 28+ trmino de la P.A : 19, 12, 5, . . .

    S// 28 + 19 5 12 7

  • + #

    19 28 17 19 189 170

    7. 13+ trmino de la P.A : 3, 1, 5, . . .

    S// 13

    3

    + #

    5 1 5 1 4 + # 2 13 14

    3 12 4

    3 48 45

  • 8. Hallar el 54= trmino de la P.A, 8, 0, 8,

    S// 54 = 8 08 = 8= 0& ? 9. Hallar el o31 trmino de la P. A.: { }...,1,3,7

    S// 31=kn

    7=oa ( )31 = 31+= 4= ?31 =a 10. Hallar el

    o17 trmino de la P.A : { }...,12,2,8 S// 17=kn

    8=oa 212 = 10= 4=

    ( )( )( )( )( )( )

    416

    4248

    8538

    81548

    10

    ==

    +=+=

    += rnaa kk

    ( )( )( )( )

    ( )( )

    113

    1207

    4307

    41317

    10

    =+=+=

    += += rnaa kk

    ( )( )( )( )

    ( )( )

    152

    1608

    10168

    101178

    10

    =+=+=

    += += rnaa kk

  • 11. Hallar el o12 trmino de la P.A :

    ...,1,

    43

    ,21

    S// 12=kn

    21=oa

    21

    43 =

    4

    23 =

    21=r

    12. Hallar el o17 trmino de la P. A :

    ...,1,

    65

    ,32

    S// 17=kn

    3

    2=oa

    6

    51=

    6

    1=

    ( )( )

    ( )

    ( )

    62111

    211

    21

    21

    1121

    21

    11221

    10

    =

    +=

    +=

    +=

    +=

    += rnaa kk

    ( )( )

    ( )

    ( )

    31

    3

    310

    38

    32