programa y bolet´in de problemas de … · de resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales:...

E.T.S. DE INGENIERIA INFORMATICA

PROGRAMA Y BOLETIN DE PROBLEMAS

de

ALGEBRA NUMERICA

para la titulacion de

INGENIERIA INFORMATICA

Programa

Tema 1: Ecuaciones no lineales.

Errores y condicionamiento en problemas numericos. Metodo y algoritmo de

la biseccion: analisis de errores. Punto fijo e iteracion funcional: convergencia

y error. Analisis del metodo de Newton-Raphson. Un ejemplo de problema

mal condicionado: ceros de un polinomio. Sucesiones de Sturm. Algoritmo de

Horner. Sistemas de ecuaciones no lineales.

Tema 2: Sistemas de ecuaciones lineales.

Normas vectoriales y matriciales. Sistemas de ecuaciones lineales: numero de

condicion. Factorizacion LU. Factorizacion de Cholesky. Metodos iterados

de resolucion de sistemas de ecuaciones lineales: Jacobi, Gauss-Seidel y SOR.

Metodos del descenso mas rapido y del gradiente conjugado.

Tema 3: Sistemas inconsistentes y sistemas indeterminados.

Factorizaciones ortogonales. Interpretacion matricial del metodo de Gram-

Schmidt: factorizacion QR. Rotaciones y reflexiones. Transformaciones de

Householder. Sistemas superdeterminados: problema de los mınimos cuadra-

dos. Descomposicion en valores singulares y seudoinversa de Penrose. Aplica-

ciones: seudoinversa, rango numerico de una matriz, compresion de datos.

Tema 4: Autovalores y autovectores.

Conceptos basicos. Metodo interpolatorio para la obtencion del polinomio

caracterıstico. Metodo de la potencia simple y variantes. Cociente de Rayleigh.

Sensibilidad de los autovalores en las transformaciones de semejanza: matrices

normales. Teorema de Schur. Teorema espectral para matrices hermıticas.

Caracterizacion de las matrices normales. Metodos iterados para la obtencion

de autovalores y autovectores. Algoritmo QR de Francis. Metodo de Jacobi

para matrices reales simetricas.

1

2 Algebra Numerica

Bibliografıa

[1] Burden, R.L. y Faires, J.D. Analisis Numerico (Sexta edicion). Interna-

cional Thomson Ed. 1998.

[2] Cobos Gavala, F.J. Algebra Numerica. Apuntes disponibles en la direccion:

http://ma1.eii.us.es/material/alg num ii ap.pdf

[3] Golub, G.H. y Van Loan, C.F. Matrix Computations (Third edition). Johns

Hopkins University Press

[4] Hager, W. Applied Numerical Linear Algebra. Ed. Prentice-Hall Interna-

tional. 1988.

[5] Kincaid, D. y Cheney, W. Analisis Numerico. Ed. Addison-Wesley Ibe-

roamericana. 1994.

[6] Noble, D. y Daniel, J.W. Algebra Lineal Aplicada. Ed. Prentice-Hall. 1989.

[7] Watkins, D.S. Fundamentals of MATRIX Computations. John Wiley &

Sons. 1991.

1. Ecuaciones no lineales

1.1 Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.1 Dada la ecuacion xex − 1 = 0, se pide:

a) Estudiar graficamente sus raıces reales y acotarlas.

b) Aplicar el metodo de la biseccion y acotar el error despues de ocho ite-

raciones.

c) Aplicar el metodo de Newton, hasta obtener tres cifras decimales exactas.

Solucion:

a) La ecuacion puede escribirse de laforma:

ex =1

x

Graficamente, se observa que existeuna unica solucion real (intersec-cion de las dos curvas) y que esta espositiva. La demostracion analıticade este hecho es la siguiente:

Para x < 0:1

x< 0 y ex > 0 =⇒ ex 6= 1

xy por tanto, no existen raıces negativas.

Para x > 0:

f(x) = xex − 1 =⇒

{f(0) = −1 < 0

f(+∞) = +∞ > 0

3

4 Algebra Numerica

y existe, por tanto, un numero impar de raıces positivas (al menos una).

La funcion derivada f ′(x) = xex + ex = (x + 1)ex solo se anula para

x = −1. Dado que, si existiese mas de una raız positiva, el teorema de

Rolle nos asegura que la funcion derivada debe anularse en algun punto

intermedio y hemos visto que f ′(x) no se anula para ningun valor positivo

de la variable, podemos asegurar que solo existe una raız real α, que esta

es positiva y simple, pues f ′(α) 6= 0.

Dado que f(1) = e − 1 > 0 y f(0) = −1 < 0, podemos asegurar que la

unica raız real de la ecuacion se encuentra en el intervalo (0, 1).

b) Metodo de la biseccion:

[a1, b1] = [a, b] = [0, 1] con

{f(0) = −1 < 0

f(1) = e− 1 > 0

f(0.5) < 0 =⇒ [a2, b2] = [0.5, 1]

f(0.75) > 0 =⇒ [a3, b3] = [0.5, 0.75]

f(0.625) > 0 =⇒ [a4, b4] = [0.5, 0.625]

f(0.5625) < 0 =⇒ [a5, b5] = [0.5625, 0.625]

f(0.59375) > 0 =⇒ [a6, b6] = [0.5625, 0.59375]

f(0.578125) > 0 =⇒ [a7, b7] = [0.5625, 0.578125]

f(0.5703125) > 0 =⇒ [a8, b8] = [0.5625, 0.5703125]

Tomando como aproximacion a la raız el punto medio del intervalo

x8 = 0.56640625 =⇒ ε8 ≤1

28= 0.00390625 =⇒ ε8 < 10−2

Si redondeamos a las dos primeras cifras decimales, es decir, si tomamos

α = 0.57, el error acumulado verifica que

ε < |0.57− 0.56640625|+ 0.00390625 = 0.0075 < 10−2

por lo que puede asegurarse que la solucion de la ecuacion es 0.57 con

las dos cifras decimales exactas.

c) Metodo de Newton:

La formula de Newton-Raphson es xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)

Dado que, por el apartado anterior, se conoce que la raız se encuentra

en el intervalo [0.5625, 0.5703125] y que

1.1. Ejercicios resueltos 5

f(x) = xex − 1 =⇒

f(0.5625) < 0

f(0.5703125) > 0

f ′(x) = (x + 1)ex =⇒ f ′(x) > 0 ∀x ∈ [0.5625, 0.5703125]

f ′′(x) = (x + 2)ex =⇒ f ′′(x) > 0 ∀x ∈ [0.5625, 0.5703125]

la regla de Fourier nos dice que x0 = 0.5703125

Al ser positiva la segunda derivada, la primera es creciente, por lo que

minx∈[0.5625,0.5703125]

|f ′(x)| = f ′(0.5703125) = 2.74227290150047 . . .

es decir

εn ≤|f(xn)|

minx∈[0.5625,0.5703125]

|f ′(x)|<|f(xn)|2.74

obteniendose que

x0 = 0.5703125 con ε0 <|f(x0)|2.74

= 0.00320437856505 . . .

x1 = 0.56715149835900 . . . con ε1 <|f(x1)|2.74

= 0.00000827757122 . . .

Si redondeamos a 0.567 el error acumulado es

ε < 0.00015149835900 . . . + 0.00000827757122 . . . < 10−3

Por lo que la solucion de la ecuacion es 0.567 con sus tres cifras decimales

exactas.

Ejercicio 1.2 Probar que la ecuacion x2 + ln x = 0 solo tiene una raız real y

hallarla, por el metodo de Newton, con 6 cifras decimales exactas.

Solucion: Si representamos las graficas de las funciones y = ln x e y = −x2

obtenemos

6 Algebra Numerica

Puede observarse que solo existe un punto de corte entre ellas, por lo que la

ecuacion x2 + ln x = 0 solo posee una raız real.

Analıticamente hay que probar que las graficas no vuelven a cortarse en ningun

otro punto, sin embargo, dado que en su dominio de definicion, que es (0, +∞),

ln x es creciente y −x2 decreciente, no pueden volver a cortarse.

Partiendo de x0 = 0.1 y aplicando el metodo de Newton, en el intervalo (0.1, 1)

(no tomamos (0, 1) por no estar definido el logaritmo en 0), dado por la formula

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)= xn −

x2n + ln xn

2xn + 1xn

=x3

n + xn − xn ln xn

2x2n + 1

con un error, a posteriori, dado por εn ≤|f(xn)|

minx∈(0,1)

|f ′(x)|=|f(xn)|

2, obtenemos:

x1 = 0.32476324441118 . . . con ε1 ≤ 0.509593 . . .

x2 = 0.59809970985991 . . . con ε2 ≤ 0.078137 . . .

x3 = 0.65258567248750 . . . con ε3 ≤ 4.7239 . . . · 10−4

x4 = 0.65291863363348 . . . con ε4 ≤ 9.6269 . . . · 10−9

Por lo que la raız buscada es 0.652919 con un error

ε ≤ 0.00000036636642 . . . + 9.6269 . . . · 10−9 < 10−6

es decir, con las seis cifras decimales exactas.

Ejercicio 1.3 Eliminar las raıces multiples en la ecuacion

x6 − 2x5 + 3x4 − 4x3 + 3x2 − 2x + 1 = 0

Resolver, exactamente, la ecuacion resultante y comprobar la multiplicidad de

cada raız en la ecuacion original.

Solucion: Aplicamos el Algoritmo de Euclides para calcular el maximo co-

mun divisor entre el polinomio P (x) = f0(x) = x6−2x5+3x4−4x3+3x2−2x+1

y su derivada f1(x) = 6x5 − 10x4 + 12x3 − 12x2 + 6x− 2. Para ello podemos

multiplicar, previamente, f0(x) por 3 y dividir f1(x) entre 2.

3x6 − 6x5 + 9x4 − 12x3 + 9x2 − 6x + 3 |3x5 − 5x4 + 6x3 − 6x2 + 3x− 1− 3x6 + 5x5 − 6x4 + 6x3 − 3x2 + x x ‖ − 1

−x5 + 3x4 − 6x3 + 6x2 − 5x + 3 multiplicando por 3−3x5 + 9x4 − 18x3 + 18x2 − 15x + 9

3x5 − 5x4 + 6x3 − 6x2 + 3x− 14x4 − 12x3 + 12x2 − 12x + 8


Por lo que (dividiendo el resto entre 4) f2(x) = x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2.

Dividimos ahora f1(x) (dividido, previamente entre 2) entre f2(x).

3x5 − 5x4 + 6x3 − 6x2 + 3x− 1 |x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2

− 3x5 + 9x4 − 9x3 + 9x2 − 6x 3x + 4

4x4 − 3x3 + 3x2 − 3x− 1

−4x4 + 12x3 − 12x2 + 12x− 8

9x3 − 9x2 + 9x− 9 =⇒ f3(x) = x3 − x2 + x− 1

Dividiendo, ahora, f2(x) entre f3(x) se obtiene:

x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2 |x3 − x2 + x− 1

− x4 + x3 − x2 + x x− 2

−2x3 + 2x2 − 2x + 2

2x3 − 2x2 + 2x− 2

0

El maximo comun divisor entre P (x) y su derivada es

D(x) = x3 − x2 + x− 1

El polinomio cuyas raıces son las mismas que las de P (x), pero simples, es

Q(x) =P (x)

D(x)=

x6 − 2x5 + 3x4 − 4x3 + 3x2 − 2x + 1

x3 − x2 + x− 1= x3 − x2 + x− 1

Como Q(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + i)(x − i) susraıces son 1, i y −i.

Veamos la multiplicidad de ellas en P (x).

Dado que P ′(x) = 2(3x5 − 5x4 + 6x3 − 6x2 + 3x− 1) se tiene:P ′(1) = 2 (3− 5 + 6− 6 + 3− 1) = 0

P ′(−i) = 2 (−3i− 5 + 6i + 6− 3i− 1) = 0

P ′(i) = 2 (3i− 5− 6i + 6 + 3i− 1) = 0

Luego las tres raıces son dobles (no pueden tener mayor multiplicidad ya queel grado de P (x) es 6, es decir, 2+2+2).

8 Algebra Numerica

Ejercicio 1.4 Dado el polinomio P (x) = x3 + 3x2 + 2 se pide:

a) Acotar sus raıces reales.

b) Probar, mediante una sucesion de Sturm, que P (x) solo posee una raızreal y determinar un intervalo de amplitud 1 que la contenga.

c) ¿Se verifican, en dicho intervalo, las hipotesis del teorema de Fourier?En caso afirmativo, determinar el extremo que debe tomarse como valorinicial x0 para garantizar la convergencia del metodo de Newton.

d) Sabiendo que en un determinado momento del proceso de Newton se haobtenido xn = −3.1958, calcular el valor de xn+1 ası como una cota delerror en dicha iteracion.

Solucion:

a)

|x| < 1 +3

1= 4 =⇒ −4 < x < 4

b) f0(x) = P (x) = x3 + 3x2 + 2.

P ′(x) = 3x2 + 6x =⇒ f1(x) = x2 + 2x

x3 + 3x2 + 2 = (x2 + 2x)(x + 1) + (−2x + 2) =⇒ f2(x) = x− 1

x2 + 2x = (x− 1)(x + 3) + 3 =⇒ f3(x) = −1

−4 −3 4

x3 + 3x2 + 2 − + +

x2 + 2x + + +

x− 1 − − +

−1 − − −Cambios de signo 2 1 1

por lo que solo posee una raız real, la cual se encuentra en el intervalo(−4,−3).

c) f(x) = x3 + 3x2 + 2 =⇒

f(−4) = −14 < 0

f(−3) = 2 > 0es decir, la funcion

cambia de signo en los extremos del intervalo (−4,−3).

f ′(x) = 3(x2 + 2x) > 0 ∀x ∈ (−4,−3)


f ′′(x) = 6(x + 1) < 0 ∀x ∈ (−4,−3)

por lo que se verifican las hipotesis del teorema de Fourier y, por tanto,tomando como valor inicial x0 = −4 (extremo en el que la funcion tieneel mismo signo que la segunda derivada) se tiene garantizada la conver-gencia del metodo de Newton.

d) Dado que xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)= xn −

x3n + 3x2

n + 2

3x2n + 6xn

se obtiene que

xn+1 = −3.19582334575880.

El error “a posteriori” viene dado

εn+1 ≤|f(xn+1)|

minx∈(−4,−3)

|f ′(x)|=|f(xn+1)|f ′(−3)

=|f(xn+1)|

9< −3.989·10−10 <10−9.

Ejercicio 1.5 Aplicar el metodo de Sturm para separar las raıces de la ecua-cion

2x6 − 6x5 + x4 + 8x3 − x2 − 4x− 1 = 0

y obtener la mayor de ellas con seis cifras decimales exactas por el metodo deNewton.

Solucion: Comencemos por construir la sucesion de Sturm.

f0(x) = P (x) = 2x6 − 6x5 + x4 + 8x3 − x2 − 4x− 1

P ′(x) = 12x5 − 30x4 + 4x3 + 24x2 − 2x− 4, por lo que

f1(x) = 6x5 − 15x4 + 2x3 + 12x2 − x− 2

Multiplicando f0(x) por tres y dividiendo el resultado entre f1(x) obtenemos:

6x6 − 18x5 + 3x4 + 24x3 − 3x2 − 2x− 3 |6x5 − 15x4 + 2x3 + 12x2 − x− 2− 6x6 + 15x5 − 2x4 − 2x3 + x2 + 2x x ‖ − 1

−3x5 + x4 + 12x3 − 2x2 − 10x− 3 multiplicando por 2−6x5 + 2x4 + 24x3 − 4x2 − 20x− 6

6x5 − 15x4 + 2x3 + 12x2 − x− 2−13x4 + 26x3 + 8x2 − 21x− 8

f2(x) = 13x4 − 26x3 − 8x2 + 21x + 8

10 Algebra Numerica

Multiplicando f1(x) por trece y dividiendo el resultado entre f2(x) obtenemos:

78x5 − 195x4 + 26x3 + 156x2 − 13x− 26 |13x4 − 26x3 − 8x2 + 21x + 8

− 78x5 + 156x4 + 48x3 − 126x2 − 48x 6x− 3

−39x4 + 74x3 + 30x2 − 61x− 26

39x4 − 78x3 − 24x2 + 63x + 24

−4x3 + 6x2 + 2x− 2

f3(x) = 2x3 − 3x2 − x− 1

Multiplicando f2(x) por dos y dividiendo el resultado entre f3(x) obtenemos:

26x4 − 52x3 − 16x2 + 42x + 16 |2x3 − 3x2 − x + 1

− 26x4 + 39x3 + 13x2 − 13x 13x ‖ − 13

−13x3 − 3x2 + 29x + 16 multiplicando por 2

−26x3 − 6x2 + 58x + 32

26x3 − 39x2 − 13x + 13

−45x2 + 45x + 45

f4(x) = x2 − x− 1

Dividimos ahora f3(x) entre f4(x), obteniendo:

2x3 − 3x2 − x + 1 |x2 − x− 1

− 2x3 + 2x2 + 2x 2x− 1

−x2 + x + 1

x2 − x− 1

0

Al haber llegado a un resto nulo sabemos que la ecuacion original tiene raıcesmultiples.

El maximo comun divisor entre P (x) y su derivada es f4(x) = x2 − x − 1,por lo que el polinomio cuyas raıces son las mismas que las de P (x) solo quesimples es

Q(x) =P (x)

x2 − x− 1= 2x4 − 4x3 − x2 + 3x + 1

Debemos, ahora, de construir una sucesion se Sturm para Q(x).

g0(x) = Q(x) = 2x4 − 4x3 − x2 + 3x + 1

g1(x) = f1(x)/(x2 − x− 1) = 6x3 − 9x2 − x + 2

g2(x) = f2(x)/(x2 − x− 1) = 13x2 − 13x− 8

g3(x) = f3(x)/(x2 − x− 1) = 2x− 1

g4(x) = f4(x)/(x2 − x− 1) = 1


Dado que |x| < 1 +A

|a0|, donde A = 4 y |a0| = 2, se tiene que |x| < 3, o lo que

es lo mismo, −3 < x < 3.

−3 −1 −0.5 0 1 1.5 2 3

2x4 − 4x3 − x2 + 3x + 1 + + − + + − + +

6x3 − 9x2 − x + 2 − − − + − + + +

g2(x) = 13x2 − 13x− 8 + + + − − + + +

2x− 1 − − − − + + + +

1 + + + + + + + +

Cambios de signo 4 4 3 2 2 1 0 0

Existen, por tanto, cuatro raıces reales situadas en los intervalos:

[−1,−0.5] [−0.5, 0] [1, 1.5] [1.5, 2]

La mayor de las raıces se encuentra en el intervalo [1.5, 2], pero dado queQ′(1.5) = 0 podemos tomar el intervalo [1.6, 2] en el cual:

Q(x) = 2x4 − 4x3 − x2 + 3x + 1

{Q(1.6) < 0

Q(2) > 0

Q′(x) = 8x3 − 12x2 − 2x + 3 > 0 ∀x ∈ [1.6, 2]

Q′′(x) = 24x2 − 24x− 2 > 0 ∀x ∈ [1.6, 2]

La regla de Fourier no dice que debemos comenzar a iterar en x0 = 2.

Teniendo en cuenta que xn+1 = xn −Q(x)

Q′(x)se obtiene la sucesion:

x0 = 2

x1 = 1.8

x2 = 1.684726867

x3 = 1.632243690

x4 = 1.618923782 =⇒ ε4 ≤ 0.01841

x5 = 1.618037855 =⇒ ε5 ≤ 0.0011

x6 = 1.618033989 =⇒ ε6 ≤ 0.0000047

x7 = 1.618033989 =⇒ ε7 ≤ 0.885 · 10−10

Es decir, la mayor de las soluciones, redondeando a seis cifras decimales es1.618034 con un error acumulado

ε ≤ 0.000000011 + 0.000000000885 < 10−6

por lo que sus seis cifras decimales son exactas.

12 Algebra Numerica

Ejercicio 1.6 En este ejercicio se pretende calcular 10√

1 por el metodo deNewton. Consideramos, para ello, la funcion f(x) = x10− 1 cuya grafica se daen la Figura 1.

Fig. 1 Fig. 2

a) Probar, analıticamente, que en el intervalo [0.5, 1.5] posee una unica raızreal.

b) Si tomamos x0 = 0.5 obtenemos la raız x = 1 en la iteracion numero 43,mientras que si tomamos x0 = 1.5 se consigue el mismo resultado en laiteracion numero 9. ¿Como podrıamos haber conocido a priori el valorque se debe elegir para x0?

c) ¿Sabrıas justificar el porque de la extremada lentitud de la convergenciacuando iniciamos el proceso en x0 = 0.5? y ¿por que sigue siendo lentoel proceso si comenzamos en x0 = 1.5? Justifica las respuestas.

d) Dado que en el intervalo [0.5, 1.5] no se anula la funcion x5, las raıces def(x) son las mismas que las de g(x) = f(x)/x5 = x5 − x−5 cuya graficase da en la Figura 2. ¿Se puede aplicar a g(x) la regla de Fourier endicho intervalo?

e) Si resolvemos, por el metodo de Newton, la ecuacion g(x) = 0, ¿ seobtendra la raız con mayor rapidez que cuando lo hicimos con f(x) = 0?Justifica la respuesta sin calcular las iteraciones.

Solucion:

a) Dado que la funcion f(x) es continua y derivable en R verificandose que f(0.5) = 0.510 − 1 < 0

f(1.5) = 1.510 − 1 > 0

por lo que admite un numero impar de raıces en el intervalo [0.5,1.5].

Como f ′(x) = 10x9 no se anula en [0.5,1.5], solo puede existir una raızreal en dicho intervalo.

1.2. Ejercicios propuestos 13

b) Dado que f ′(x) = 10x9 y f ′′(x) = 90x8 son positivas (tienen signo cons-tante) en todo el intervalo, debe tomarse como valor inicial el extremoen que f(x) tiene el mismo signo que la segunda derivada (Regla deFourier), es decir x0 = 1.5.

c) Basta observar que la recta tangente a la curva y = f(x) en el puntode abscisa x = 0.5 es casi horizontal, por lo que en la primera iteracionnos distanciamos de la raız de forma considerable. Ademas, en las pro-ximidades del 1, la curva es muy vertical, por lo que las tangentes sontambien muy verticales y las iteraciones se aproximan muy lentamentea x = 1. Por tanto, si partimos de x = 0.5 nos distanciamos muchoy nos acercamos muy lentamente, pero si partimos de 1.5 tambien nosacercamos muy lentamente.

d) g′(x) = 5x4 + 5x−6 y g′′(x) = 20x3 − 30x−7 con

g′′(0.5) < 0

g′′(1.5) > 0

por lo que no puede aplicarse la regla de Fourier en dicho intervalo. (Sireducimos el intervalo a [0.5, 1.01] si podemos aplicarla, obteniendo quedebemos tomar x0 = 0.5).

e) El proceso convergera mas rapidamente debido a que hemos eliminadolas tangencias casi horizontales y las casi verticales.

1.2 Ejercicios propuestos

Ejercicio 1.7 Dada la ecuacion 8x3− 4x2− 18x+9 = 0, acotar y separar susraıces reales.

Sol : |x| ≤ 3.25, x1 ∈ (−2,−1), x2 ∈ (0, 1) y x3 ∈ (1, 2).

Ejercicio 1.8 Se considera el polinomio P (x) = x3 − 6x2 − 3x + 7.

a) Probar, mediante una sucesion de Sturm, que posee una unica raız en elintervalo (6, 7).

b) Si expresamos la ecuacion P (x) = 0 de la forma

x = F (x) =1

3(x3 − 6x2 + 7),

¿podemos asegurar su convergencia?

Sol : No. F ′(x) > 1 en todo el intervalo, por lo que no es contractiva.

14 Algebra Numerica

c) Probar, aplicando el criterio de Fourier, que tomando como valor inicialx0 = 7, el metodo de Newton es convergente.

d) Aplicando Newton con x0 = 7 se ha obtenido, en la segunda iteracion,x2 = 6.3039. ¿Que error se comete al aproximar la raız buscada por elvalor x3 que se obtiene en la siguiente iteracion?

Sol : ε3 ≤ 6.62 . . . · 10−6 < 10−5.

Ejercicio 1.9 Dada la ecuacion x7 − 14x + 7 = 0 se pide:

a) Probar que solo tiene una raız real negativa.

b) Encontrar un entero a de tal forma que el intervalo [a, a + 1] contenga ala menor de las raıces positivas de la ecuacion.

Sol : a = 0.

c) ¿Cual de los extremos del intervalo [a, a + 1] debe tomarse como valorinicial para asegurar la convergencia del metodo de Newton?

Sol : x0 = a = 0.

d) Aplicar el metodo de Newton para obtener la menor de las raıces positivasde la ecuacion con seis cifras decimales exactas.

Sol : x = 0.500562.

Ejercicio 1.10 Sea el polinomio p(x) = x4 − x2 + 1/8.

a) Utilizar el metodo de Sturm para determinar el numero de raıces realespositivas del polinomio p, ası como para separarlas.

Sol : x1 ∈ (0, 1/2) y x2 ∈ (1/2, 1).

b) Hallar los 2 primeros intervalos de la sucesion ([a1, b1], [a2, b2], . . .) obte-nida de aplicar el metodo de dicotomıa para obtener la mayor raız, r, delpolinomio p. Elegir el intervalo [a1, b1] de amplitud 1/2 y tal que uno desus extremos sea un numero entero.

Sol : [a1, b1] = [1/2, 1], [a2, b2] = [3/4, 1].

c) Sea la sucesion definida por la recurrencia x0 = 1, xn+1 = F (xn), dondela iteracion es la determinada por el metodo de Newton. Estudiar sila regla de Fourier aplicada al polinomio p en el intervalo [a1, b1] del


apartado anterior garantiza la convergencia de la sucesion a la raız r.¿Y en el intervalo [a2, b2]?

Sol : En el primero no, en el segundo sı con x0 = 1.

d) Hallar la aproximacion x1 del apartado anterior, determinando una cotadel error cometido.

Sol : x1 = 0.9375 con ε1 ≤ 0.0990 . . .

e) ¿Cuantas iteraciones se deben realizar para garantizar una aproximacionde r con veinte cifras decimales exactas?

Indicacion: En+1 =1

k(kE1)

2n, con k =

max |f ′′(x)|2 min |f ′(x)|

en un intervalo

adecuado.

Sol : 5 iteraciones (utilizar el intervalo (0.8385, 0.9375)).

Ejercicio 1.11 Dado el polinomio P (x) = x4 + 4x3 − 2x2 + 4x− 3 se pide:

a) Acotar las raıces y construir una sucesion de Sturm para probar que soloposee dos raıces reales, una positiva y otra negativa, dando intervalos deamplitud 1 que las contengan.

Sol : x1 ∈ (−5,−4) y x2 ∈ (0, 1).

b) Partiendo de que la raız positiva se encuentra en el intervalo (0, 1) ydespejando la x del termino lineal

x = −1

4x4 − x3 +

1

2x2 +

3

4⇐⇒ x = ϕ(x)

¿se puede asegurar la convergencia de la sucesion x1, x2, . . . , xn, . . . defi-nida de la forma x1 = 0, xn+1 = ϕ(xn) ?

Sol : No. La funcion ϕ(x) no es contractiva en [0, 1].

c) Aplicar Fourier para determinar el valor inicial que debe tomarse paragarantizar la convergencia del metodo de Newton en el calculo de la raıznegativa. ¿Tenemos las tres cifras exactas si tomamos como raız -4.646 ?

Sol : x0 = −5. Las tres cifras son exactas.

16 Algebra Numerica

Ejercicio 1.12 Sea el polinomio p(x) = −3− x + x3.

a) Utilizar una sucesion de Sturm para probar que el polinomio p(x) solotiene una raız α ∈ R y que esta se encuentra en el intervalo I = [0, 3].

b) Comprobar que la grafica adjunta se corresponde con la de la funciony = ϕ(x) cuya iteracion, xn+1 = ϕ(xn) = xn − p(xn)/p′(xn), es la obte-nida con el metodo de Newton para resolver p(x) = 0. Tomando x1 = 0,estudiar geometricamente (sobre el dibujo) si se obtendrıa una sucesion(xn) convergente a α. ¿Y empezando en x1 = 3?

Sol : Con x1 = 0 no pero con x1 = 3 sı.


c) Tomar un subintervalo de I en el que la regla de Fourier garantice laconvergencia del Metodo de Newton y, con un valor inicial apropiado,obtener una aproximacion de α con, al menos, tres cifras decimales exac-tas.

Sol : x ∈ [1, 2], x0 = 2, x = 1.672.

Ejercicio 1.13 Dado el polinomio P (x) = x3 + 6x2 + 9x + k con k ∈ R sepide:

a) ¿Puede carecer de raıces reales? ¿y tener dos y solo dos raıces reales?

Sol : No puede carecer de raıces reales. Sı si una de ellas es doble.

b) Utilizar el metodo de Sturm para probar que tiene una unica raız realsi, y solo si, k < 0 o k > 4, y que solo tiene raıces multiples si k = 0 ok = 4 no existiendo, en ningun caso, una raız triple.

c) Para k = −4 admite una unica raız real en el intervalo [0, 1]. Si tomamoscomo valor aproximado de la raız x = 0.3553 ¿de cuantas cifras decimalesexactas disponemos?

Sol : x = 0.35530 con las 5 cifras decimales exactas.

d) Si, en el caso anterior en que k = −4, aplicamos el metodo de Newtonpara hallar la raız del polinomio, ¿cual de los extremos del intervalo [0, 1]deberıamos tomar como valor inicial x0 para garantizar la convergencia?y ¿que valor obtendrıamos para x2?

Sol : x0 = 1, x2 = 0.365079 . . ..

Ejercicio 1.14 Dados los polinomios

P (x) = 2x3 − 2x2 − 2αx + 3α

Q(x) = x3 − 3x2 − 3αx + 2α

a) Determinar el valor de α sabiendo que se trata de un entero par y quelos valores de dichos polinomios solo coinciden, para valores positivos dex, en un punto del intervalo (1, 2).

Sol : α = −2 (estudiar el polinomio diferencia D(x) = P (x)−Q(x)).

b) Probar (mediante una sucesion de Sturm) que, para α = −2, el polinomioP (x) solo tiene una raız real, que esta es positiva, y dar un intervalo de

18 Algebra Numerica

amplitud 1 que la contenga.

Sol : x ∈ [1, 2].

c) ¿Verifica el polinomio P (x) las condiciones de Fourier para la convergen-cia del metodo de Newton en el intervalo (1.2, 1.3)?

Sol : Sı, x0 = 1.3.

d) Si tomamos como valor inicial x0 = 1.3, calcular el valor que se obtienepara x1 dando una cota del error.

Sol : x1 = 1.27606263982103, ε1 ≤ 4.20 · 10−4 < 10−3.

Ejercicio 1.15

“Cuando dos raıces positivas de una ecuacion polinomica estan muy proximas,suele ser difıcil separarlas mediante intervalos cerrados. Para alejarlas sepuede proceder como sigue:

Paso 1: Sea la ecuacion polinomica

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0 = an(x− α1) · · · (x− αn) = 0

Paso 2: Cambiar x por x2 en P (x) = 0

P (x2) = an(x2 − α1) · · · (x2 − αn) = 0

Paso 3: Cambiar x por −x2 en P (x) = 0

P (−x2) = an(−x2 − α1) · · · (−x2 − αn) = (−1)nan(x2 + α1) · · · (x2 + αn)=0

Paso 4: Multiplicar las dos ecuaciones anteriores para obtener la nuevaecuacion

P (x2)P (−x2) = (−1)na2n(x4 − α2

1) · · · (x4 − α2n)=0

Paso 5: En el polinomio obtenido, cambiar x4 por una nueva variable t,obteniendo una ecuacion del tipo (t− α2

1) · · · (t− α2n) = 0.

Se obtiene ası una ecuacion polinomica cuyas raıces son los cuadrados de lasraıces de la ecuacion P (x) = 0. La relacion entre las raıces de la nuevaecuacion con las de P (x) = 0 es α2

i −α2j = (αi + αj)(αi−αj). Ası, se observa

que las nuevas raıces se alejan (o se acercan) αi + αj veces mas que las raıcesde P (x) = 0.


Si este procedimiento se aplica dos veces se obtiene una ecuacion de la forma(t− α4

1) · · · (t− α4n) = 0”

Sea la ecuacion P (x) = 2x2−9x+10 = 0, y sea Q(x) = 0 la ecuacion obtenidaal aplicar dos veces el metodo anteriormente descrito. Se pide:

a) Mediante una sucesion de Sturm, demostrar que P (x) = 0 posee dosraıces reales.

b) Comprobar que se obtiene el polinomio Q(x) = 16x2 − 881x + 10000

c) Separando previamente las raıces de Q(x) = 0, utilizar una formula deerror a posteriori para calcular la mayor de ellas, con dos cifras decima-les exactas, aplicando el metodo de Newton. Denotemos por α la raızobtenida tomando solo dos cifras decimales.

Sol : x1 ∈ [10, 20], x2 ∈ [30, 40], α = 39.06.

d) Para resolver la ecuacion x4 − α = 0 por el metodo de Newton y asıcalcular la raız de P (x) = 0, hacer lo siguiente:

d.1) Encontrar un intervalo [a, b] que solo contenga a la mayor raız realde esta ecuacion y en donde se verifiquen las hipotesis de la reglade Fourier.

Sol : [2, 3].

d.2) ¿Cuantas iteraciones son necesarias para obtener 25 cifras decimales

exactas? Indicacion: En+1 ≤1k(kE1)2

n, con k =

max |f ′′(x)|2 min |f ′(x)|

en un

intervalo adecuado.

Sol : 3 iteraciones (reducir el intervalo inicial al [2, 2.5]).

d.3) Con una calculadora se ha obtenido β = 4√

α = 2.49995999903 comomejor aproximacion.

¿Cuantas de las cifras decimales se podrıan garantizar que coincidencon las de la verdadera raız de P (x)?

Sol : A lo mas de 2 que son las que tenıa el valor de α.

Ejercicio 1.16

a) Dado el polinomio P (x) = x3 − 7x2 + 20x− 26, utilizar una sucesion deSturm para comprobar que P (x) = 0 solo tiene una raız real positiva yque se encuentra en el intervalo [3, 4].

20 Algebra Numerica

b) Justificar la convergencia del metodo de Newton para aproximar la raızreal de la ecuacion P (x) = 0 contenida en el intervalo [3, 4]. Realizardos iteraciones del metodo y dar una cota del error de la aproximacionobtenida. ¿Se trata de un problema bien o mal condicionado? Razonarla respuesta.

Sol : x2 = 3.35483870967742, ε2 ≤ 0.01413849820416. La derivada deP (x) oscila de 5 a 12, por lo que esta bien condicionado.

Ejercicio 1.17 Queremos aproximar las raıces de la ecuacion (5− x)ex = 5.

a) Probar, graficamente, que existen dos soluciones, una es x = 0 y la otrax = α se encuentra en el intervalo [1, 5]. Aproximarla realizando dospasos del metodo de la Regula falsi.

Sol : x2 = 4.78799912600669

b) ¿Es posible aproximar α aplicando un metodo de iteracion funcional

sobre la funcion ϕ1(x) = ln

(5 + xex

5

)partiendo de cualquier punto del

intervalo I = [1, 5]? Justifica tu respuesta.

Sol : No. Solo en [1, ln 5]

c) ¿Y sobre la funcion ϕ2(x) = 5 − 5

expartiendo de cualquier punto del

intervalo I = [1, 5]? Justifica tu respuesta.

Sol : No. Solo en [ln 5, 5]

d) ¿Y sobre ϕ2(x) en I = [2, 5]? Justifica tu respuesta.

Sol : Sı.

2. Sistemas de ecuaciones linea-les


Ejercicio 2.1 Estudiar el numero de condicion de Frobenius de la matriz

A =

(a −b

a + ε −b

).

Solucion: El determinante de A es |A| = −ab + b(a + ε) = b ε.

Si b 6= 0 y ε 6= 0 es |A| 6= 0 y, por tanto, A es invertible, siendo su inversa:

A−1 =1

b ε

(−b b

−a− ε a

)

El numero de condicion de Frobenius viene dado por κF (A) = ‖A‖F‖A−1‖F .

‖A‖2F = a2 + b2 + (a + ε)2 + b2 = 2a2 + 2b2 + 2a ε + ε2

‖A−1‖2F =

b2 + b2 + (−a− ε)2 + a2

b2ε2=

2a2 + 2b2 + 2a ε + ε2

b2ε2

Por lo que:

κ2F (A) =

(2a2 + 2b2 + 2a ε + ε2)2

b2ε2=⇒ κF (A) =

|2a2 + 2b2 + 2a ε + ε2||b ε|

.

Observese que cuando ε tiende a cero, el numero de condicion de FrobeniusκF (A) lo hace a infinito, por lo que la matriz A esta mal condicionada.

21

22 Algebra Numerica

Por ejemplo: para a = 10 y b = 1 se tiene que

κF (A) =202 + 20ε + ε2

|ε|=

202

|ε|± 20 + |ε|

Si ε = 10−8 κF (A) ' 2 · 1010.

Ejercicio 2.2 Dado el sistema:{3x + 4y = 7

3x + 5y = 8

a) Calcular su numero de condicion euclıdeo.

b) Sustituir la segunda ecuacion por una combinacion lineal de ambas, deforma que el numero de condicion sea mınimo.

Solucion:

a) La matriz del sistema es A =

(3 4

3 5

).

A∗A =

(3 3

4 5

)(3 4

3 5

)=

(18 27

27 41

)

P (λ) =

∣∣∣∣∣ λ− 18 −27

−27 λ− 41

∣∣∣∣∣ = (λ− 18)(λ− 41)− 272 = λ2 − 59λ + 9.

Las raıces de P (λ) son: λ =59±

√3481− 36

2=

59±√

3445

2=⇒

σ1 =

√59−

√3445

2y σ2 =

√59 +

√3445

2

κ2(A) =σ2

σ1

=

√59 +

√3445

59−√

3445=

√(59 +

√3445)2

36=

59 +√

3445

6=⇒

κ2(A) = 19.61568707 . . .

b) La matriz resultante de la combinacion lineal es

B =

(3 4

3a + 3b 4a + 5b

).


Una matriz tiene numero de condicion euclıdeo mınimo (y vale 1) si, ysolo si, es proporcional a una matriz unitaria. Por tanto, B debe tenerlas filas (o las columnas) ortogonales y de igual norma.

• (3 4)

(3a + 3b

4a + 5b

)= 0 ⇒ 3(3a + 3b) + 4(4a + 5b) = 0 =⇒

25a + 29b = 0

• Ambas filas han de tener la misma norma, por lo que

(3 4)

(3

4

)= (3a + 3b 4a + 5b)

(3a + 3b

4a + 5b

)=⇒

25 = 25a2 + 34b2 + 58ab

Las condiciones que tenemos son:

25a + 29b = 0

25a2 + 34b2 + 58ab = 25

=⇒

a = ±29

3

b = ∓25

3

Tomando, por ejemplo, a =29

3y b = −25

3(el otro caso es analogo),

obtenemos:

B =

(3 4

4 −3

)= 5 U con U =

(0.6 0.8

0.8 −0.6

)unitaria.

El sistema resultante es

{3x + 4y = 7

4x − 3y = 1y su numero de condicion

euclıdeo es κ2(B) = 1.

Ejercicio 2.3 Sea α ∈ {0.5, 1.5, 2.5} y consideremos el sistema iterado

(xn+1

yn+1

)=

1

α− 1 1

−11

α+ 1

(

xn

yn

)+

1− 1

α

1− 1

α

24 Algebra Numerica

Se pide

a) Resolver el sistema resultante de tomar lımites para probar que, en caso

de que converja, el lımite de la sucesion

( (x0

y0

),

(x1

y1

),

(x2

y2

). . .

)no depende de α.

b) ¿Para que valores de α converge la sucesion?

c) Para los valores anteriores que hacen que la sucesion sea convergente,¿con cual lo hace mas rapidamente?

d) Comenzando con el vector

(x0

y0

)=

(0.5

0.5

), aproximar iteradamente

el lımite de la sucesion utilizando el valor de α que acelere mas la con-vergencia.

Solucion:

a) En caso de que converja, tomando lımites obtenemos que

(1 0

0 1

)(x

y

)=

1

α− 1 1

−11

α+ 1

( x

y

)+

1− 1

α

1− 1

α

o lo que es lo mismo 2− 1

α−1

1 − 1

α

( x

y

)=

1− 1

α

1− 1

α

=⇒

1− 1

α−1 +

1

α

1 − 1

α

( x

y

)=

0

1− 1

α

por lo que

x = y(1− 1

α

)x = 1− 1

α

=⇒ x = y = 1 ya que α 6= 1

es decir, la solucion (el lımite de la sucesion) no depende de α.


b) El polinomio caracterıstico de la matriz

1

α− 1 1

−11

α+ 1

del metodo

iterado es P (λ) = λ2 − 2

αλ +

1

α2que admite la raız doble

1

α.

Dado que el radio espectral de la matriz debe ser menor que 1, α ha deser mayor que 1, por lo que converge para α = 1.5 y para α = 2.5, perono lo hace para α = 0.5.

c) El metodo converge mas rapidamente para el valor de α que hace menorel radio espectral de la matriz, es decir, para α = 2.5.

d) Partiendo de

(x0

y0

)=

(0.5

0.5

)y tomando α = 2.5 se obtiene:

(x1

y1

)=

(4/54/5

) (x2

y2

)=

(23/2523/25

) (x3

y3

)=

(121/125

121/125

). . .

que podemos observar como converge a

(x

y

)=

(1

1

)que era la

solucion del sistema.


Ejercicio 2.4 Dado el sistema

{x + y = 2

2x + y = 3

a) Calcular su numero de condicion de Frobenius.

Sol : κF (A) = 7.

b) Calcular “a” para que el numero de condicion del sistema resultante desumarle a la segunda ecuacion la primera multiplicada por dicha cons-tante “a”, sea mınimo.

Sol : a = −3/2.

26 Algebra Numerica

Ejercicio 2.5 Comprobar que la matriz:

A =

1 2 0 0 0

1 4 3 0 0

0 4 9 4 0

0 0 9 16 5

0 0 0 16 25

admite factorizacion LU y realizarla.

Sol : L =

1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

0 2 1 0 0

0 0 3 1 0

0 0 0 4 1

y U =

1 2 0 0 0

0 2 3 0 0

0 0 3 4 0

0 0 0 4 5

0 0 0 0 5

. Todas sus matrices

fundamentales son regulares.

Ejercicio 2.6 Resolver, por el metodo de Cholesky, el sistema de ecuaciones: 6 −1 + 3i 1− 2i

−1− 3i 3 −1 + i

1 + 2i −1− i 2

x1

x2

x3

=

−1− 2i

1 + i

1− 2i

Sol : x1 = −1− 2i, x2 = 3− i, x3 = 1 + 2i.

Ejercicio 2.7 Dada la matriz A =

p −p 2p

−p p + 2 −1

2p −1 6p− 1

se pide:

a) Determinar para que valores de p es hermıtica y definida positiva.

Sol : p ∈ (1/2, 3/2).

b) Para p = 1, efectuar la descomposicion de Cholesky y utilizarla pararesolver el sistema Ax = b siendo b = (1 0 3)t.

Sol : x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1.

Ejercicio 2.8 Resolver, utilizando MatLab y comenzando con el vector nulo,el sistema:

10x1 − x2 + 2x3 = 6

−x1 + 11x2 − x3 + 3x4 = 25

2x1 − x2 + 10x3 − x4 = −11

3x2 − x3 + 8x4 = 15


por los metodos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR con ω = 1.2.

Sol : (x1, x2, x3, x4) = (1, 2,−1, 1). Jacobi 42 iteraciones, Gauss-Seidel 16 ySOR 24.

Ejercicio 2.9 Al resolver el sistemax− 3y + 5z = 5

8x− y − z = 8

−2x + 4y + z = 4

por el metodo de Gauss-Seidel, utilizando MATLAB, observamos que el pro-grama se detiene en la iteracion 138 dandonos el vector (inf inf -inf)T .

a) El metodo de Gauss-Seidel realiza el proceso xn+1 = L1xn+c. Determinala matriz L1.

Sol : L1 =

0 3 −5

0 24 −41

0 −90 154

b) Utilizar los cırculos de Gerschgorin para estimar el modulo de los auto-

valores de L1.

Sol : |λi| ≤ 244.

c) Justificar el porque de la divergencia del metodo.

Sol : ρ(L1) > 1.

d) ¿Existe alguna condicion suficiente que deba cumplir la matriz de unsistema para garantizar la convergencia del metodo de Gauss-Seidel?Hacer uso de ella para modificar el sistema de forma que el proceso seaconvergente?

Sol : Llevando la primera ecuacion al ultimo lugar, la matriz del sistemaresultante es de diagonal dominante y por tanto converge el metodo.

Ejercicio 2.10 Sea el sistema Ax = b, donde

A =

(1000 999

999 998

), x =

(x1

x2

)y b =

(1999

1997

).

28 Algebra Numerica

a) Obtener la factorizacion LU de la matriz A. ¿Se puede conseguir la fac-torizacion de Cholesky?

Sol : L =

(1 0

0.999 1

), U =

(1000 999

0 −0.001

). No admite factori-

zacion de Cholesky.

b) Resolver el sistema Ax = b utilizando la factorizacion A = LU obtenidaen el apartado anterior.

Sol : (x1, x2) = (1, 1).

c) Calcular ‖A‖∞ , ‖A−1‖∞ y el numero de condicion de la matriz κ∞(A).¿Se puede decir que esta bien condicionada?

Sol : ‖A‖∞ = 1999, ‖A−1‖∞ = 1999, κ∞(A) = 19992 ≈ 4 · 106 es decir,la matriz esta mal condicionada.

d) Comprueba que ‖Ax‖∞ = ‖A‖∞ para la solucion x = (1, 1)T del sistemaAx = b.

¿Cual es el maximo valor que puede tomar ‖Ax‖∞, cuando x es un vectorunitario para la norma ‖ ‖∞?

Sol : 1999.

e) Si se perturba b en b + δb = (1998.99, 1997.01)T , calcular ‖δb‖∞/‖b‖∞.

Si x + δx es la solucion obtenida para el nuevo sistema Ax = b + δb, ¿esel error relativo ‖δx‖∞/‖x‖∞ el maximo que se puede cometer?

Indicacion:‖δx‖∞‖x‖∞

≤ κ∞(A)‖δb‖∞‖b‖∞

.

Sol : Es el maximo posible.

Ejercicio 2.11

a) Dado un sistema Ax = b, el metodo de Gauss-Seidel consiste en cons-truir la sucesion xn+1 = L1xn + c, a partir de un vector inicial x0. Siconocemos el valor de xn+1 ¿podrıamos determinar el de xn haciendoxn = L−1

1 (xn+1 − c)?

Sol : No. L1 no tiene inversa. ¿Porque?, justifıcalo.

b) Si la matriz A del sistema es de diagonal estrictamente dominante,¿puede ser el radio espectral de L1 mayor que 1?

Sol : No. ¿Porque?, justifıcalo.


c) Si, para un determinado sistema y comenzando con un determinado vec-tor x0, el metodo de Gauss-Seidel requiere 50 iteraciones para aproximarla solucion con un error menor que ε y en la iteracion 49 se pierde la pri-mera coordenada del vector x49 y la sustituimos por un valor arbitrario,¿se obtendra en el paso siguiente la solucion buscada con el mismo errorque si no hubiesemos perdido el dato? ¿que ocurrirıa si la coordenadaque perdemos del vector x49 es la segunda en vez de la primera?

Sol : Si se pierde la primera: Sı. Si se pierde la segunda: No.

d) Tomando como vector inicial x0 = (2,−1, 2)T , realizar dos pasos del

metodo de Gauss-Seidel para el sistema

4 2 1

0 2 1

−1 0 2

x

y

z

=

16

0

0

.

¿Podrıas decir cual es la solucion exacta del sistema?

Sol : (4,-1,2).

Ejercicio 2.12 Considerese el sistema Ax = b en el que

A =

(a b

c d

), x =

(x

y

)y b =

(α

β

)con α, β ∈ R.

a) Determinar la matriz B1, para que el metodo iterativo xn+1 = B1xn + c1

sea el que se obtiene con el metodo de Jacobi aplicado al sistema Ax = b.

Sol : B1 =

(0 −b/a

− c/d 0

).

b) Hallar los autovalores de B1 y probar, en este caso particular, que si lamatriz A es simetrica y definida positiva, entonces el metodo de Jacobiconverge.

Sol : λi = ±√

bc/ad =⇒ ρ(B1) = +√

bc/ad. Si A es simetrica y definidapositiva ρ(B1) < 1 y converge.

c) Determinar la matriz B2, para que el metodo iterativo xn+1 = B2xn + c2

sea el que se obtiene con el metodo de Gauss-Seidel aplicado al sistemaAx = b.

Sol : B2 =

(0 −b/a

0 bc/ad

).

30 Algebra Numerica

d) Hallar los autovalores de B2 y dar un ejemplo de matriz A (con a 6= 1)para la que el metodo de Gauss-Seidel no converja. ¿Puede, en tal caso,ser convergente el metodo de Jacobi?

Sol : λ1 = 0, λ2 = bc/ad. Uno de los infinitos ejemplos para A serıa

A =

(0 2

1 1

). Jacobi tambien diverge.

e) Comprobar la matriz A =

(1 2

1 1

)es otro ejemplo para la no conver-

gencia del metodo de Gauss-Seidel.

Calcular, para dicha matriz y el vector b =

(1

1

)el termino general

de la sucesion xk obtenida por el metodo de Gauss-Seidel a partir del

vector x0 =

(m

n

)y comprobar que dicha sucesion no converge para

valores arbitrarios de m y n.

¿Existe algun vector inicial x0 para el que converja el metodo? y, encaso de existir, ¿contradice dicho ejemplo el hecho de que el metodo nosea convergente?

Sol : xk =

(−2kn + 1

2kn

)que diverge si n 6= 0. No existe contradiccion

¿porque?. Justifıcalo.

Ejercicio 2.13 Se quiere encontrar una funcion de la forma f(x) = ax3+bx+cque pase por los puntos (1, 4), (−2,−23) y (2, 21).

a) Plantear un sistema de ecuaciones para calcular los coeficientes de f yresolverlo usando la descomposicion LU de la matriz del sistema.

Sol : f(x) = 2x3 + 3x− 1.

b) Usar una sucesion de Sturm para saber cuantas raıces reales tiene laecuacion f(x) = 0.

Sol : Solo una.

c) Separar dichas raıces por intervalos adecuados para que se den las hipo-tesis de las condiciones de Fourier.

Sol : x ∈ [0.3, 0.4]


d) ¿Cuantas iteraciones son necesarias para obtener las raıces reales con 6cifras decimales exactas usando para su calculo el metodo de Newton?

Sol : Tres.

e) Aplicar dicho metodo para calcularlas con una precision de 12 cifrasdecimales exactas asegurando en cada paso del metodo el numero decifras que se van obteniendo.

Sol : x = 0.312908409479.

3. Sistemas inconsistentes y sis-temas indeterminados


Ejercicio 3.1 Dado el sistema:

4x + 5y = 13

3x + 5y = 11

a) Realizar la factorizacion QR de la matriz, y resolverlo basandose en ella

a.1) Mediante el metodo de Gram-Schmidt,

a.2) Mediante transformaciones de Householder.

b) Calcular el numero de condicion euclıdeo del sistema inicial y del trans-formado, comprobando que son iguales.

Solucion:

a) El sistema a resolver es Ax = b ⇐⇒

(4 5

3 5

)(x

y

)=

(13

11

)a.1) Utilizando el metodo de Gram-Schmidt:

v1 =

(4

3

)v2 =

(5

5

)+ λ

(4

3

)v1 ⊥ v2 =⇒ 〈 v1, v2 〉 = 0 =⇒ 35 + 25λ = 0 =⇒ λ = −7/5

por tanto,

v2 =1

5

[(25

25

)− 7

(4

3

)]=

(−3/5

4/5

)⇒ Q =

(4/5 −3/53/5 4/5

)

33

34 Algebra Numerica

R = Q∗A =

(4/5 3/5

−3/5 4/5

)(4 5

3 5

)=

(5 7

0 1

)Se obtiene, por tanto, que A = QR donde Q es unitaria y R trian-gular superior. El sistema se transforma en otro triangular de lamanera siguiente:

Ax = b ⇐⇒ QRx = b ⇐⇒ Rx = Q∗b

En nuestro caso:

Q∗b =

(4/5 3/5

−3/5 4/5

)(13

11

)=

(17

1

)

quedandonos el sistema triangular(5 7

0 1

)(x

y

)=

(17

1

)

cuya solucion es

x = 2 y = 1.

a.2) Utilizando transformaciones de Householder se obtiene:

x =

(4

3

)y =

( √42 + 32

0

)=

(5

0

)v = x− y =

(−1

3

)

H = I − 2

v∗vvv∗ =

(1 0

0 1

)− 1

5

(1 −3

−3 9

)=

(4/5 3/53/5 −4/5

)

Al solo ser necesaria una transformacion de Householder, se tieneque

Q = H∗ = H =

(4/5 3/53/5 −4/5

)

R = Q∗A = HA =

(4/5 3/53/5 −4/5

)(4 5

3 5

)=

(5 7

0 −1

)Transformando el sistema obtenemos:

Ax = b ⇐⇒ QRx = b ⇐⇒ Rx = Q∗b = Hb


Dado que

Hb =

(4/5 3/53/5 −4/5

)(13

11

)=

(17

−1

)nos queda el sistema triangular(

5 7

0 −1

)(x

y

)=

(17

−1

)cuya solucion

x = 2 y = 1.

b) El numero de condicion euclıdeo viene dado por κ2(A) =σ2

σ1

donde σ2 el

mayor y σ1 el menor de los valores singulares de la matriz A.

Los valores singulares son las raıces cuadradas positivas de los autovalo-res de la matriz A∗A.

Cuando calculamos el numero de condicion de la matriz R del sistematransformado, realizaremos el mismo proceso con esta nueva matriz, esdecir, debemos calcular los autovalores de la matriz R∗R.

Dado que

A∗A =

(4 3

5 5

)(4 5

3 5

)=

(25 35

35 50

)

R∗R =

(5 0

7 1

)(5 7

0 1

)=

(25 35

35 50

)los valores singulares de las matrices A y R son los mismos, por lo quese obtiene el mismo numero de condicion euclıdeo.

El polinomio caracterıstico de A∗A es p(λ) = λ2 − 75λ + 25, porlo que sus autovalores son λ1 ' 74.665 y λ2 ' 0.335 y, por tanto,los valores singulares de la matriz A son σ2 '

√74.665 ' 8.64 y

σ1 '√

0.335 ' 0.58, de donde

κ2(A) = κ2(R) =σ2

σ1

' 14.9

Ejercicio 3.2 Resolver por el metodo de Householder el sistema: 1 −1 −1

2 0 1

−2 7 1

x

y

z

=

0

4

−7

36 Algebra Numerica

Solucion:

x =

1

2

−2

y =

3

0

0

v1 = x− y =

−2

2

−2

H1 = I3 − 2v∗1v1

v1v∗1 = I3 −

2

12

−2

2

−2

( −2 2 −2)

=

= I3 −1

3

2 −2 2

−2 2 −2

2 −2 2

=

1/3 2/3 −2/32/3 1/3 2/3

−2/3 2/3 1/3

Aplicando la transformacion al sistema se obtiene 3 −5 −1/3

0 4 1/3

0 3 5/3

x

y

z

=

22/3

−10/31/3

Dado que la segunda transformacion no va a afectar ni a la primera ecuacionni a la primera columna de la matriz A, la calculamos solo para el menorasociado al elemento a11.

x =

(4

3

)y =

(5

0

)v2 = x− y =

(−1

3

)

H2 = I2 −2

v∗2v2

v2v∗2 = I2 −

1

5

(−1

3

)(−1 3

)=

(4/5 3/53/5 −4/5

)

H2

(4 1/3

3 5/3

)=

(5 19/15

0 −17/15

)H2

(−10/3

1/3

)=

(−37/15

−34/15

)

Por lo que nuestro sistema ha quedado reducido a 3 −5 −1/3

0 5 19/15

0 0 −17/15

x

y

z

=

22/3

−37/15

−34/15

cuya solucion es x = 1, y = −1, z = 2.


Ejercicio 3.3 Buscar la solucion de mınimos cuadrados del sistema Ax = b,siendo:

A =

3 −1

4 2

0 1

y b =

0

2

1

a) A traves de sus ecuaciones normales.

b) Por el metodo de Householder.

Solucion:

a) Las ecuaciones normales, dadas por A∗Ax = A∗b son(3 4 0

−1 2 1

) 3 −1

4 2

0 1

( x

y

)=

(3 4 0

−1 2 1

) 0

2

1

Es decir: (

25 5

5 6

)(x

y

)=

(8

5

)sistema que es equivalente a(

25 5

0 5

)(x

y

)=

(8

17/5

)y cuya solucion (la solucion en mınimos cuadrados buscada) es

x =23

125, y =

17

25.

b)

x1 =

3

4

0

=⇒ y1 =

‖x1‖0

0

=

5

0

0

=⇒ v1 = x1−y1 =

−2

4

0

H1 = I3 − 2v∗1v1

2v1v∗1 = I3 −

2

20

−2

4

0

( −2 4 0)

=

=

3/5 4/5 04/5 −3/5 0

0 0 1

38 Algebra Numerica

Aplicando la transformacion al sistema, se obtiene 5 1

0 −2

0 1

( x

y

)=

8/5

−6/5

1

Para que x

(1)2 =

(−2

1

)se transforme en y

(1)2 =

(‖x(1)

2 ‖0

)=

( √5

0

)construimos la transformacion H

(2)2 de Householder asociada al vector

v2 = x(1)2 − y

(1)2 =

(−2−

√5

1

)

H(2)2 =

(−2

√5/5

√5/5√

5/5 2√

5/5

)=⇒ H2 =

1 0 0

0 −2√

5/5√

5/5

0√

5/5 2√

5/5

que aplicada al sistema anterior nos da 5 1

0√

5

0 0

( x

y

)=

8/517/5

√5

4/5√

5

porlo que la pseudosolucion del sistema es x =

23

125, y =

17

25y el error

viene dado por

∣∣∣∣ 4

5√

5

∣∣∣∣ ' 0.3578.


Ejercicio 3.4 Se considera el sistema de ecuaciones Ax = b con

A =

1 2

1 0

1 1

1 1

y b =

3

2

0

1

.

Se pide:

a) Calcular la pseudosolucion, a traves de las ecuaciones normales, utili-zando el metodo de Cholesky.

Sol : x = 1, y = 1/2.


b) Sea v = (−1, 1, 1, 1)T . Demostrar que la transformacion de Householderasociada al vector v transforma la primera columna de la matriz A en elvector (2, 0, 0, 0)T dejando invariante la segunda columna de A ası comoal vector b.

c) Calcular la pseudosolucion del sistema utilizando transformaciones deHouseholder, ası como la norma del error.

Sol : x = 1, y = 1/2, E = 3√

2/2.

d) Si la matriz A del sistema fuese cuadrada y su numero de condicion fuesemayor que 1, ¿que ventajas e inconvenientes tendrıa el resolver el sistemamultiplicando por la traspuesta de A y el resolverlo por transformacionesde Householder?

Sol : Si κ(A) > 1, κ(AT A) >> 1 mientras que Householder no altera elcondicionamiento.

Ejercicio 3.5 Hallar la recta de regresion de los puntos:

(1.1, 5), (1, 5.1), (2, 7.3), (1.8, 6.9), (1.5, 6.1), (3, 8.8), (3.1, 9) y (2.9, 9.1)

Sol : y = mx + n = 1.959803x + 3.1449029.

Ejercicio 3.6 Hallar la parabola de regresion de los puntos:

(1, 0), (0, 0), (−1, 0), (1, 2) y (2, 3)

Sol : y = ax2 + bx + c =1

2x2 +

1

2x.

Ejercicio 3.7 Dado el sistema superdeterminado:1 1 0

1 0 1

1 1 1

1 2 1

x

y

z

=

1

2

0

−1

calcular, mediante transformaciones de Householder, la solucion en mınimoscuadrados (pseudosolucion) ası como la norma del error.

Sol : x = 5/2, y = −3/2, z = −2/3, ‖E‖ =√

6/6.

40 Algebra Numerica

Ejercicio 3.8 Resolver el sistema 2 1

2 0

−1 2

( x

y

)=

1

1

−5

y obtener la norma del error:

a) Mediante sus ecuaciones normales.

b) Mediante transformaciones de Householder.

c) Hallando la inversa generalizada de la matriz del sistema.

Sol : x = 1, y = −9/5, ‖E‖ = 3√

5/5, A+ =

(2/9 2/9 −1/9

1/5 0 2/5

)

Ejercicio 3.9 Se considera el sistema superdeterminado Ax = b con

A =

1 7 15

1 4 8

1 0 1

1 3 6

y b =

7

7

−5

−9

a) Resolverlo mediante transformaciones de Householder, dando la norma

del vector error.

Sol : x1 = −8, x2 = −2, x3 = −2, ‖E‖ = 10.

b) Hallar la inversa generalizada A+ de la matriz A.

Sol : A+ =1

100

−49 43 49 57

−86 102 −114 98

50 −50 50 −50

.

c) Utilizar la inversa generalizada para resolver el sistema y hallar la normadel vector error.

Ejercicio 3.10 Resolver el sistema superdeterminado−3 1 1

1 −3 1

1 1 −3

1 1 1

x

y

z

=

8

4

0

4


calculando la inversa generalizada de la matriz A.

Sol : x = −1, y = 0, z = 1, ‖E‖ = 8, A+ =

−1/4 0 0 1/4

0 −1/4 0 1/4

0 0 −1/4 −1/4

Ejercicio 3.11 Dado sistema superdeterminado Ax = b con

A =

1 5 5

1 2 3

1 1 3

1 2 1

y b =

7

16

−3

10

a) Resolverlo mediante transformaciones de Householder, dando la norma

del vector error.

Sol : x = 9, y = 3, z = −3, ‖E‖ = 12.

b) Teniendo en cuenta el rango de la matriz A, hallar su inversa generali-zada.

Sol : A+ =1

36

−20 10 12 34

8 −4 −12 8

3 3 9 −15

.

c) Utilizar la inversa generalizada obtenida en el apartado anterior paracalcular la pseudosolucion del sistema y hallar la norma del vector error.

Ejercicio 3.12 Consideremos el sistema de ecuaciones Ax = b, con

A =

2 −2

1 −1

−2 2

, x =

(x1

x2

)y b =

6

3

3

,

y un vector unitario u. Se pide:

a) Demostrar que si H = I−2uuT es la matriz de Householder, asociada alvector u, entonces: H es ortogonal, H2 = I y ‖Ha‖2 = ‖a‖2 cualquieraque sea el vector a.

b) Obtener la matriz de Householder que transforma el vector (2, 1,−2)T

en otro de la forma (α, 0, 0)T , con α > 0.

42 Algebra Numerica

Sol : H =

2 1 −2

1 2 2

−2 2 −1

.

c) Aplicando el metodo de Householder, probar que el sistema Ax = bposee infinitas soluciones en cuadrados mınimos y que el error cometido,al considerar cualquiera de ellas, es el mismo.

Sol : x = (1 + λ, λ)T ∀λ ∈ R, ‖E‖ = 3.

d) Obtener la pseudosolucion del sistema Ax = b.

Sol : (1/2 , −1/2)T .


A =

0 3

−3 5

4 0

, x =

(x

y

)y b =

−10

6

−8

.

a) Probar que la matriz AT A es definida positiva, obteniendo la factori-zacion de Cholesky.

Sol : AT A =

(25 −15

−15 34

)=

(5 0

−3 5

)(5 −3

0 5

).

b) Plantear la iteracion Xn+1 = L1 · Xn + c que se obtiene de aplicar elmetodo de Gauss-Seidel a las ecuaciones normales del sistema Ax = b.¿Sera convergente el proceso iterativo a la pseudosolucion?

Sol : xn+1 =

(0 3/5

0 9/34

)(xn

yn

)+

(−2

−15/17

). Convergente por ser un

sistema de diagonal dominante.

c) Hallar la matriz Hu = I − βuuT de la reflexion que transforma el vectora = (0,−3, 4)T en el vector r = (−5, 0, 0).

Sol : Hu =1

25

0 15 −20

15 16 12

−20 12 9

.

d) Obtener la solucion en mınimos cuadrados del sistema Ax = b, utilizandoel metodo de Householder, y determinar la norma del error.

Sol : x = −68/25, y = −6/5, ‖E‖ = 8.


e) Sin haber resuelto el apartado anterior, ¿podrıan predecirse HuA y Hubde las relaciones geometricas entre L =< u >, L⊥ y los vectores columnasimplicados?

Sol : Sı. Si A = (a1 a2), Hua1 = (−5, 0, 0)T , Hua2 = a2, Hub = −b.


A =

3 2

4 5

12 0

y b =

3

1

13

a) Calcular la pseudosolucion (solucion de mınimos cuadrados) ası como la

norma del error utilizando transformaciones de Householder.

Sol : x = 71/65, y = −3/5, ‖E‖ = 1.

b) Sea T =

1 0 0

0 1 0

0 0 1/12

la matriz asociada a la transformacion elemen-

tal que divide por 12 la tercera de las ecuaciones del sistema:

TAx = Tb ⇐⇒

3 2

4 5

1 0

( x

y

)=

3

113/12

Calcular su pseudosolucion haciendo uso de las ecuaciones normales. De-terminar la norma del error.

Sol : x = 113/72, y = −37/36, ‖E‖ = 5√

78/72.

c) ¿A que se debe que no coincidan las pseudosoluciones obtenidas en losdos apartados anteriores? ¿Que habrıa ocurrido si la matriz T hubiesesido unitaria?

Sol : T no es unitaria. Si T hubiese sido unitaria se hubiesen obtenidolas mismas pseudosoluciones.


A =

3 −2

0 3

4 4

, x =

(x

y

)y b =

2

0

1

.

44 Algebra Numerica

a) Probar que la matriz B = AT A es definida positiva, obteniendo la fac-torizacion de Cholesky B = GT G.

Sol : B =

(25 10

10 29

), G =

(5 2

0 5

).

b) Hacer uso de la factorizacion obtenida en el apartado anterior para hallarla pseudosolucion mediante las ecuaciones normales del sistema. Calcularel numero de condicion, κ∞(B), de la matriz B para la norma ‖ ‖∞.¿Hasta que punto se podrıa considerar fiable la pseudosolucion obtenidacon aritmetica de ordenador?

Sol : x = 58/125, y = −4/25, κ∞(B) = 1521/625 ' 2.4336. Es fiable.

c) Hallar la matriz de la reflexion (matriz de Householder) Hu que trans-forma el vector a = (3, 0, 4)T en el vector r = (−5, 0, 0)T . Una vez de-terminado el vector u, justificar que se pueden conocer HuA y Hub sinnecesidad de efectuar los productos.

Sol : Hu =

−3/5 0 −4/5

0 1 0

−4/5 0 3/5

. Si A = (a1 a2), Hua2 = a2 H2b = −b.

d) Obtener la solucion en mınimos cuadrados del sistema Ax = b, utilizandoel metodo de Householder y determinar la norma del error. Operandocon el ordenador, ¿puede obtenerse una pseudosolucion distinta de laobtenida en el apartado b? Si ası ocurriera, ¿puede ser mayor el error?

Sol : x = 58/125, y = −4/25, ‖E‖ = 3/5. Es posible obtener en elordenador soluciones distintas. Nunca, ya que las transformaciones deHouseholder son unitarias.


A =

1 −1 2

0 3 −3

0 −4 4

, x =

x

y

z

y b =

0

1

2

.

a) Hallar ‖A‖∞. ¿Que se puede decir sobre el numero de condicion de lamatriz A para la norma infinito? ¿Que estimacion darıa MATLAB parael numero de condicion espectral obtenido con el comando cond(A)?

Sol : cond(A) = ∞.


b) Utilizar la descomposicion LU de la matriz AT A para resolver el sistemaAT Ax = AT b. ¿Que propiedad caracteriza a las soluciones en relacion alsistema Ax = b? Interpreta geometricamente el resultado.

Sol : x = t− 1/5, y = 3t− 1/5, z = t.

c) Encontrar una matriz ortogonal Q que transforme el vector a=(0, 3,−4)T

en el vector r = (0, 5, 0)T . Obtener la norma del error para las solucionesen mınimos cuadrados del sistema QAx = Qb.

Sol : Q =

1 0 0

0 3/5 −4/5

0 −4/5 −3/5

. ‖E‖ = 2.

d) ¿Que relacion hay entre las soluciones obtenidas en los apartados ante-riores?

Si se obtienen las soluciones en mınimos cuadrados del sistema Ax = b,escalonando previamente la matriz A, ¿se debe obtener mismo resultadoque en alguno de los apartados anteriores?

Sol : Son las mismas. No, el escalonado no se hace mediante transforma-ciones unitarias.

e) Probar que la matriz P =

23

325

− 425

13

325

− 425

13

0 0

es la pseudoinversa de A,

verificando las propiedades de Penrose. (Hacer la comprobacion solo condos de ellas).

De entre todas las soluciones en mınimos cuadrados del sistema Ax = b,hallar la de menor norma euclıdea.

Solucion: x = −1/5, y = −1/5, z = 0.

Ejercicio 3.17

a) En lo que sigue, Hv denota la transformacion de Householder asociada alvector v. Sean x, y, v, z vectores no nulos, con Hvx = y y z ⊥ v. Probarque Hvv = −v y Hvz = z. Determinar razonadamente todos los vectoresw tales que Hwx = y.

46 Algebra Numerica

b) Se considera el sistema de ecuaciones dado por −12

1 0

1 2 1

1 0 −1

x

y

z

=

2

−1

−1

b.1) Estudiar el condicionamiento del sistema, utilizando la norma 1.

Sol : κ1(A) = 6.

b.2) Resolver el sistema por medio de transformaciones de Householder.

Sol : x = −2, y = 1, z = −1.

b.3) Desde un punto de vista numerico, ¿serıa razonable resolver el sis-tema escalonando por Gauss? Razonar la respuesta.

Sol : No.

c) Demostrar que el vector c = (−4

3,1

2,−4a

3− 1)T y la matriz

L1 =

0 −23

0

0 0 −12

0 −2a3

0

son los propios del metodo de Gauss-Seidel asociado al sistema

32

1 0

0 2 1

a 0 −1

x

y

z

=

−2

1

1

d) Estudiar, en funcion del parametro a, el caracter diagonal dominante

por filas de la matriz de coeficientes del sistema dado, ası como el radioespectral de L1. ¿Para que valores de a es convergente el metodo ante-rior?

Sol : Diagonal dominante si |a| < 1, ρ(L1) =√

a/3. Converge si |a| < 3.

e) Para a = 0 el metodo resulta convergente. Utilizando aritmetica exacta,y tomando como vector inicial x0 = (0, 0, 0)T , realizar dos iteraciones,acotando el error cometido. Razonar que ocurre cuando se itera portercera vez. ¿Hubiera ocurrido otro tanto al trabajar con aritmetica deordenador?


Sol : x1 =

−4/31/2

−1

y x2 =

−5/3

1

−1

, ‖E‖ = 1/2. x3 es la solucion

exacta pero con aritmetica de ordenador es solo una buena aproximacion.


A =

1 1

α 0

−2 2

, x =

(x

y

)y b =

2

β

γ

con α > 0 y β, γ ∈ R

a) Hallar α sabiendo que que existe una matriz de Householder, Hv, quetransforma la primera columna de la matriz A en el vector r = (3, 0, 0)T .¿Quien es Hv?

Sol : α = 2, Hv =

1/3 2/3 −2/32/3 1/3 2/3

−2/3 2/3 1/3

.

b) Determinar el conjunto de vectores b para los que se verifica Hvb = b,siendo Hv la matriz del apartado anterior. Encontrar, entre ellos, el quetiene menor norma euclıdea.

Sol : b = (2, β, β − 2)T con β ∈ R. (2, 1,−1)T .

c) Hallar la pseudosolucion del sistema Ax = bm, para α = 2 y bm =(2, 1,−1)T , utilizando transformaciones ortogonales para determinar elerror.

Sol : x = 5/6, y = 1/2, ‖E‖ = 1.

d) Probar que si una matriz real B tiene sus columnas linealmente inde-pendientes, entonces BT B es definida positiva.

e) Sea el sistema AT Ax = AT bm, con α y bm como en el apartado (c).

e.1) ¿Serıa posible utilizar una descomposicion AT A = GGT , con Gtriangular inferior, para resolver el sistema?

Sol : Sı, AT A admite factorizacion de Cholesky.

e.2) Utilizando la norma ‖ ‖∞ para medir el condicionamiento, ¿es unsistema mal condicionado para utilizar aritmetica de ordenador ensu resolucion?

Sol : No.

48 Algebra Numerica

e.3) Sea (s0, s1, s2, . . .) la sucesion que se obtiene al aplicar el metodode Gauss-Seidel al sistema, con s0 = (0, 0)T . Probar que, operandoen aritmetica exacta, la sucesion (sn) es convergente y obtener sulımite s.

Sol : AT A simetrica y definida positiva =⇒ Gauss-Seidel converge.Al tratarse de las ecuaciones normales, lo hace a la pseudosolucion.

Ejercicio 3.19 Se considera el sistema Ax = b con

A =

0 5

3 0

4 0

, x =

(x

y

)y b =

5

2

11

a) ¿Existe alguna transformacion de Householder que permute las columnas

de la matriz A? Justificar la respuesta.

Sol : Sı, ambas tienen igual norma.

b) Calcular la pseudosolucion del sistema mediante transformaciones deHouseholder dando la norma del vector error.

Sol : x = 2, y = 1, ‖E‖ = 5.

c) Calcular la inversa generalizada A+ de la matriz A a traves de su des-composicion en valores singulares y hacer uso de ella para encontrar lapseudosolucion del sistema Ax = b dando la norma del vector error.

Sol : A+ =

(0 3/25 4/251/5 0 0

)

d) ¿Hubiesemos podido, en este caso, calcular la inversa generalizada sinnecesidad de realizar su descomposicion en valores singulares?

Sol : Sı ya que rg A = 2.

Ejercicio 3.20 Se considera el sistema Ax = b con

A =

1 2

4 8

−1 −2

, x =

(x

y

)y b =

1

5

3

Determinar la pseudosolucion del sistema dando la norma del error:


a) Mediante transformaciones de Householder.

Sol : x = 1/5, y = 2/5, ‖E‖ =√

17.

b) A traves de la inversa generalizada de la matriz A.

Sol : A+ =

(1/90 2/45 −1/901/45 4/45 −1/45

).

Ejercicio 3.21 Hallar la pseudosolucion del sistema Ax = b en el que

A =

3 −4

4 3

0 12

y b =

65

−65

0

ası como la norma del error a traves de la pseudoinversa de la matriz A calcu-lada mediante la descomposicion en valores singulares.

Sol : A+ =

3/25 4/25 0

−4/169 3/169 12/169

, x = −13/5, y = −35/13, ‖E‖ = 84.


A =

2 1

2 0

1 −2

0 2

x =

(x

y

)y b =

3

6

0

3

a) Encontrar una transformacion de Householder que transforme la primera

columna de la matriz A en el vector r = (3, 0, 0, 0)T .

Sol : H =

2/3 2/3 1/3 02/3 −1/3 −2/3 01/3 −2/3 2/3 0

0 0 0 1

.

b) Probar que el producto de dos matrices de Householder es una matrizunitaria.

Hallar una matriz ortogonal Q tal que A = QR siendo R una matriztriangular superior de las mismas dimensiones que A.

50 Algebra Numerica

Sol : Q =

2/3 1/3 0 2/32/3 0 −1/3 −2/31/3 −2/3 2/3 0

0 2 2 −1/3

.

c) Probar que si Q es ortogonal, los sistemas Ax = b y QT Ax = QT b tienenlas mismas soluciones en mınimos cuadrados.

Hallar el error cometido al obtener la pseudosolucion del sistema Ax = b,utilizando transformaciones ortogonales.

Sol : x = 2, y = 1, ‖E‖ = 3.

d) Teniendo en cuenta el rango de la matriz A, calcular el vector s = A+bdonde A+ representa la pseudoinversa de la matriz A.

Sol : A+ =

(2/9 2/9 1/9 01/9 0 −2/9 2/9

).

e) Sea xn+1 = L1xn+c la sucesion resultante de aplicar el metodo de Gauss-Seidel a la resolucion de las ecuaciones normales del sistema Ax = b.¿Cuantas iteraciones son necesarias para la convergencia del metodo?Determina la pseudosolucion ası como la norma del error.

Sol : Solo una iteracion.

Ejercicio 3.23 El equipo Astronomıa para aficionados, adquirido por el pro-fesor Dana este verano, permitıa determinar el plano Π ≡ αx + βy + γz = 1donde se encuentra la trayectoria de Marte alrededor del Sol. En las instruc-ciones indicaba introducir en el “calculador magico” una serie de coordenadaslocales (xi, yi, zi), obtenidas con el “telescopio marciano”, y automaticamenteproporcionarıa los coeficientes α, β, γ. Entre otras cosas, sugerıa introducirentre 5 y 10 coordenadas para que el ajuste obtenido en el sentido delos mınimos cuadrados promediara “cientıficamente” los errores de obser-vacion...

a) Plantear el sistema superdeterminado, Aα= b, con α=(α, β, γ)T , paradeterminar el plano Π, cuando las coordenadas locales son

(2, 1, 0), (−1, 2, 1), (0, 1, 2), (−1, 0, 1), (0, 1, 0).

¿Puede ser nulo el error cometido para la pseudosolucion del sistema?

Sol : El error no puede ser nulo.


b) Poniendo A = [a1 a2 a3], donde ai indica la correspondiente columna deA, razonar si es posible encontrar una transformacion de Householderque transforme a1 en a2. Hallar una matriz unitaria, Q, de modo queQa1 = a3.

Sol : Q =

0 0 1 0 00 −1 0 0 01 0 0 0 00 0 0 −1 00 0 0 0 1

.

c) Obtener las ecuaciones normales, Bα= c, del sistema inicial Aα= b.¿Esta la matriz B mal condicionada para la norma || ||∞?

Sol : κ∞(B) = 15/2. Bien condicionada.

d) Probar que los metodos iterados de Jacobi y Gauss-Seidel aplicados alsistema Bα= c son convergentes. ¿Cual de ellos converge mas rapido?

Sol : Gauss-Seidel mas rapido que Jacobi.

e) Partiendo de α0= (0, 0, 0)T , obtener la aproximacion α3, al aplicar 3pasos del metodo de Gauss-Seidel al sistema Bα= c, operando con doscifras decimales. ¿Cual es el error obtenido al tomar α3 como la solucionen mınimos cuadrados de Aα= b?

Sol : α3 = (0.09, 0.55, 0.33)T con ‖E3‖ ' 1.01.


1 5 5

1 2 1

1 2 3

, se pide:

a) Estudiar si admite factorizaciones LU y/o de Cholesky.

Sol : Solo LU .

b) Utilizar dichas factorizaciones (en caso de existir) para resolver el sistema

Ax = b con x =

x

y

z

y b =

3

2

1

.

Sol : x = 1/2, y = 1, z = −1/2.

c) Resolver, mediante transformaciones de Householder el sistema superde-terminado resultante de anadir a nuestro sistema la ecuacion x+y+3z =

52 Algebra Numerica

α. Hallar la norma del error.

Sol : x = (2α + 3)/6, y = (3− α)/3, z = (α− 2)/4, ‖E‖ = |α|/2.

d) ¿Se puede calcular el valor de α que minimiza la norma del error sinresolver el sistema anterior?

Sol : Sı, α = 0.

Ejercicio 3.25 En R4 se busca un hiperplano de la forma αx + βy + γz = tque pase por los puntos

x

y

z

t

∈

1

0

0

0

1

2

4

1

−1

0

1

2

a) Plantear el sistema de ecuaciones y resolverlo usando la factorizacion LUde la matriz del sistema.

Sol : El hiperplano buscado es 7y − 4z + 2t = 0.

b) Comenzando por el vector x0 = (2, 2, 2)T , resolverlo iterativamente porlos metodos de Jacobi y Gauss-Seidel. ¿Que metodo es mas rapido?Razona la respuesta.

Sol : Jacobi 3, Gauss-Seidel 1 aunque ambos son igualmente convergentes.

c) Al obligar que, ademas, pase por el punto (−1, 2, 0,−1) se obtiene unaecuacion mas que hace incompatible al sistema.

Usar transformaciones de Householder para encontrar la pseudosoluciondel sistema incompatible dando la norma del error.

Sol : x = −2/3, y = −8/9, z = 8/9, ‖E‖ =√

2/3.

Ejercicio 3.26 Se sabe que un movil en R3 sigue una velocidad instantaneadada por una expresion de la forma V (x, y, z) = ax + by + cz con a, b, c ∈ R.Con un velocımetro se han tomado los datos siguientes:

V (1, 2,−53) = −3

V (1, 2,−4) = 2

V (2,−1, 2) = −2

V (1, 0,−2) = −1

V (3, 2,−1) = −2


a) Demostrar que el velocımetro esta desajustado. Es decir, que los datosobtenidos son incompatibles.

b) Una vez planteado el sistema incompatible y usando las ecuaciones nor-males de dicho sistema, usar el metodo de Cholesky para calcular elgrado de desajuste del velocımetro. Es decir, el error al suponer la pseu-dosolucion como los verdaderos valores de a, b y c.

Sol : ‖E‖ = 3.0651.

c) Calcular el error usando transformaciones de Householder en el sistemaincompatible.

Sol : ‖E‖ = 3.0651.

4. Autovalores y autovectores


Ejercicio 4.1 Realizar la descomposicion de Schur de la matriz

A =

1 0 1

0 1 1

−1 0 −1

Solucion: El polinomio caracterıstico de la matriz A es

p(λ) = det(λI − A) =

∣∣∣∣∣∣∣λ− 1 0 −1

0 λ− 1 −1

1 0 λ + 1

∣∣∣∣∣∣∣ = λ3 − λ2 = λ2(λ− 1)

por lo que los autovalores de A son 1 simple y 0 doble.

Para λ = 1 el autovector asociado viene dado por la solucion del sistema

(A− I)v = 0 ⇐⇒

0 0 1

0 0 1

−1 0 −2

v =

0

0

0

=⇒ v =

0

1

0

Para ampliar hasta una base ortonormal de R3 podemos utilizar los vectores

de la base canonica para obtener la matriz de paso P =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

, por lo

que

P−1AP = P T AP =

1 0 1

0 1 1

0 −1 −1

55

56 Algebra Numerica

La submatriz

(1 1

−1 −1

)tiene como autovalores el 0 doble y un autovec-

tor asociado a el es el vector (1 − 1)T que puede ser ampliado hasta unabase ortogonal de R2 con el vector (1 1)T por lo que una base ortonor-mal de R2 es le constituida por ambos vectores normalizados y, por tanto

Q =

1 0 0

0 1√2

1√2

0 − 1√2

1√2

obteniendose que

QT P T APQ = UT AU =

1 −√

22

√2

2

0 0 2

0 0 0

que es una forma de Schur de la matriz A con

U = PQ =

0 1√2

1√2

1 0 0

0 − 1√2

1√2

Ejercicio 4.2 Comprobar que la matriz U =

(0.6 0.8

−0.8 0.6

)es unitaria (or-

togonal) y obtener, basandose en ella, una matriz normal A que tenga porautovalores 2 y 3i. Calcular la conmutatriz de A y comprobar que sus compo-nentes hermıticas conmutan.

Solucion:

U∗U = UT U =

(0.6 −0.8

0.8 0.6

)(0.6 0.8

−0.8 0.6

)=

(1 0

0 1

)= I

Por tanto, la matriz es unitaria.

Si A debe ser normal y ha de tener los autovalores 2 y 3i, tiene que serdiagonalizable unitariamente y, la matriz diagonal tendra a los autovaloresen su diagonal.

U∗AU = D =

(2 0

0 3i

)=⇒ A = UDU∗


Podemos utilizar cualquier matriz unitaria, por ejemplo, la del enunciado delejercicio.

A =

(0.6 −0.8

0.8 0.6

)(2 0

0 3i

)(0.6 0.8

−0.8 0.6

)

=

(0.72 + 1.92i −0.96 + 1.44i

−0.96 + 1.44i 1.28 + 1.08i

).

Hallemos, por ultimo, la conmutatriz de la matriz A.

C(A) = AA∗ − A∗A = 2i(H2H1 −H1H2)

H1 =1

2(A+A∗) =

(0.72 −0.96

−0.96 1.28

)H2 =

1

2i(A−A∗) =

(1.92 1.44

1.44 1.08

)

H1H2 =

(0 0

0 0

)= Θ H2H1 =

(0 0

0 0

)= Θ =⇒ H1H2 = H2H1

Por tanto, C(A) = Θ.

Ejercicio 4.3 Probar, basandose en el teorema de Gerschgorin, que la matriz:

A =

9 1 −2 1

0 8 1 1

−1 0 7 0

1 0 0 1

tiene, al menos, dos autovalores reales.

Solucion:

Los cırculos de Gerschgorin por filas son:

a11 = 9 r1 = 1 + 2 + 1 = 4

a22 = 8 r2 = 1 + 1 = 2

a33 = 7 r3 = 1

a44 = 1 r4 = 1

1 7 9�� &%'$

El cırculo C4(1, 1) es disjunto con los demas:

58 Algebra Numerica

|a44 − a11| = 8 > r4 + r1

|a44 − a22| = 7 > r4 + r2

|a44 − a33| = 6 > r4 + r3

Por tanto, en el hay un autovalor λ1 y los otros tres se encuentran en C1 ∪C2 ∪ C3.

El autovalor λ1 debe ser real ya que, si fuese complejo, su conjugado λ1 tambienserıa autovalor de la matriz1 y deberıa pertenecer a C4 cosa que no sucede,pues en C4 solo existe un autovalor.

En conclusion: la matriz tiene, al menos, un autovalor real λ1 con 0 ≤ λ1 ≤ 2.

Los tres autovalores restantes no pueden ser complejos ya que P (λ) es unaecuacion polinomica de grado cuatro con coeficientes reales, por lo que debeexistir, al menos, otra raız real de P (λ) y, por tanto, la matriz A tiene, almenos, dos autovalores reales.


(2 + 3i 1 + 2i

1 + 2i 2 + 3i

)se pide:

a) Comprobar que es normal sin calcular la matriz conmutatriz.

b) Calcular sus autovalores a partir de los de sus componentes hermıticas.

c) Comprobar que estos autovalores estan en el dominio de Gerschgorin.

Solucion:

a) H1 =1

2(A + A∗) =

(2 1

1 2

)H2 =

1

2i(A− A∗) =

(3 2

2 3

)

H1H2 =

(8 7

7 8

)H2H1 =

(8 7

7 8

)=⇒ H1H2 = H2H1 =⇒

A es normal.

b) Calculemos, en primer lugar los autovalores y autovectores de sus com-ponentes hermıticas H1 y H2.

1En una matriz real, P (λ) tiene coeficientes reales y, por tanto, sus raıces o son reales oson complejas conjugadas.


• Componente H1

P (λ) =

∣∣∣∣∣ λ− 2 −1

−1 λ− 2

∣∣∣∣∣ = λ2 − 4λ + 3 = (λ− 1)(λ− 3) =⇒

λ11 = 1 y λ12 = 3

Los autovectores viene dados por las soluciones de los sistemas:

– Para λ11 = 1 =⇒ (I −H1)x = 0(−1 −1

−1 −1

)(x1

x2

)=

(0

0

)⇒ x1 + x2 = 0 ⇒ u11 =

(1

−1

)

– Para λ12 = 3 =⇒ (3I −H1)x = 0(1 −1

−1 1

)(x1

x2

)=

(0

0

)⇒ x1 − x2 = 0 ⇒ u12 =

(1

1

)• Componente H2

Los autovectores son los mismos que los de H1.

Sus autovalores vienen dados por

λ21 =uT

11H2u11

uT11u11

= 1 λ22 =uT

12H2u12

uT12u12

= 5

La matriz A tiene, por tanto, los autovectores v1 = (1,−1)T y v2 =(1, 1)T asociados, respectivamente, a los autovalores λ1 = 1 + i y λ2 =3 + 5i.

c) Dominio de Gerschgorin.

a11 = 2 + 3i r1 = |1 + 2i| =√

5

a22 = 2 + 3i r1 = |1 + 2i| =√

5

=⇒ C1 ∪ C2 ≡ C(2 + 3i,√

5).

d(λ1, 2 + 3i) = |(1 + i)− (2 + 3i)| =√

5

d(λ2, 2 + 3i) = |(3 + 5i)− (2 + 3i)| =√

5

=⇒

Ambos se encuentran en la frontera del dominio.


6 2 5

2 2 3

5 3 6

se pide:

60 Algebra Numerica

a) Utilizar el metodo de la potencia simple para aproximar su autovalor

dominante partiendo del vector z0 =(

1 1 1)T

b) Hacer uso del metodo de la potencia inversa para, partiendo de z0, apro-ximar el autovalor minimante de la matriz A.

c) Sabiendo que una aproximacion del tercer autovalor de la matriz A es1.5, aproximarlo haciendo uso del metodo de la potencia inversa condesplazamiento.

Solucion:

a) Escalando los vectores zn por su coordenada de mayor valor absoluto(renombrados como wn) y haciendo zn+1 = Awn obtenemos:

z1 =

13.00007.0000

14.0000

z2 =

11.57145.8571

12.1429

z3 =

11.68245.8706

12.2118

z4 =

11.70135.8748

12.2254

z5 =

11.70395.8753

12.2273

z6 =

11.70425.8754

12.2275

z7 =

11.70425.8754

12.2275

por lo que

λ1 'zT7 Az7

zT7 z7

' 12.22753579693696

b) Escalando los vectores zn (renombrados como wn) y resolviendo los sis-temas Azn+1 = wn:

z1 =

0.50001.5000

−1.0000

z2 =

1.66674.3333

−3.6667

z3 =

1.88464.7308

−4.0769

z4 =

1.91064.7724

−4.1220

z5 =

1.91404.7777

−4.1278

z6 =

1.91444.7784

−4.1285

z7 =

1.91454.7785

−4.1286

z8 =

1.91454.7785

−4.1287

z9 =

1.91454.7785

−4.1287

por lo que

λ3 'zT9 Az9

zT9 z9

' 0.20927063325837


c) Escalando los vectores zn (renombrados como wn) y resolviendo los sis-temas (A− 1.5 I)zn+1 = wn:

z1 =

−3.14292.57142.0000

z2 =

−15.870113.84428.5455

z3 =

−15.849913.74668.5663

z4 =

−15.823313.72728.5501

z5 =

−15.824413.72808.5508

z6 =

−15.824413.72798.5508

z7 =

−15.824413.72798.5508

por lo que

λ2 'zT7 Az7

zT7 z7

' 1.56319356980456


(1 + i −2 + i

2− i 1 + i

)se pide:

a) Comprobar que es normal y que v1 =

(−i

1

)es un autovector de su

primera componente hermıtica H1 asociado al autovalor λ1 = 0.

b) Calcular el otro autovalor (y un autovector asociado) de la matriz H1

aplicando el metodo de la potencia simple.

c) Considerese la matriz real y simetrica S =

(x y

y x

). Probar que la

transformacion de Jacobi QtSQ con Q =

(cos α sen α

− sen α cos α

)y α = π/4

nos anula los elementos extradiagonales.

d) Transformar el problema del calculo de los autovalores de la matriz H2

(segunda componente hermıtica de la matriz A) al del calculo de los au-tovalores de una matriz C simetrica real y comprobar que son suficientesdos transformaciones de Jacobi Q1 y Q2, del tipo de las del apartadoanterior, para diagonalizar dicha matriz C y obtener los autovalores deH2.

e) Obtener, a partir de las columnas de la matriz Q = Q1Q2, los autovec-tores de la matriz H2. ¿Cuales son los autovalores de la matriz A?

62 Algebra Numerica

Solucion:

a)A∗A =

(1− i 2 + i

−2− i 1− i

)(1 + i −2 + i

2− i 1 + i

)=

(7 6i

−6i 7

)

AA∗ =

(1 + i −2 + i

2− i 1 + i

)(1− i 2 + i

−2− i 1− i

)=

(7 6i

−6i 7

) =⇒

A∗A = AA∗, por lo que la matriz es normal.

H1 =A + A′

2=

(1 i

−i 1

)y H2 =

A− A′

2i=

(1 2i

−2i 1

)

H1

(−i

1

)=

(1 i

−i 1

)(−i

1

)=

(0

0

)= 0 ·

(−i

1

)lo que prueba que λ1 = 0 es una autovalor de H1 asociado al autovector

v1 =

(−i

1

).

b) Partiendo, por ejemplo, de z0 =

(1

1

)obtenemos w0 = z0

z1 = H1w0 =

(1 + i

1− i

)=⇒ w1 =

z1

1− i=

(i

1

)

z2 = H1w1 =

(2i

2

)=⇒ w2 =

z2

2=

(i

1

).

Hemos obtenido que w2 = w1, por lo que v2 =

(i

1

)es un autovector

de H1 asociado al autovalor

λ2 =v∗2H1v2

v2 ∗ v2

= 2

c) QT SQ =

∗ y(cos2 α− sen2 α)

y(cos2 α− sen2 α) ∗

por lo que, para

α = π/4, se anulan los elementos extradiagonales.


d) Hacemos M = real(H2) =

(1 0

0 1

)y N = imag(H2) =

(0 2

−2 0

)para construir la matriz simetrica y real

C =

(M −N

N M

)=

1 0 0 −2

0 1 2 0

0 2 1 0

−2 0 0 1

Las transformaciones que debemos realizar son

Q1 =

√

2/2 0 0√

2/2

0 1 0 0

0 0 1 0

−√2/2 0 0

√2/2

y Q2 =

1 0 0 0

0√

2/2√

2/2 0

0 −√2/2

√2/2 0

0 0 0 1

Es decir, la transformacion Q = Q1Q2 =

√

2/2 0 0√

2/2

0√

2/2√

2/2 0

0 −√2/2

√2/2 0

−√2/2 0 0

√2/2

y obtenemos QT CQ =

3 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 3 0

0 0 0 −1

por lo que los autovalores

de H2 son -1 y 3.

e) Las columnas de Q son los autovectores de C asociados, respectivamente,a los autovalores 3,−1, 3 y -1, por lo que los autovectores de C asociados

a −1 son

0

1

−1

0

y

1

0

0

1

, que nos definen el autovector

(−i

1

)de

la matriz H2 asociado al autovalor -1.

De manera analoga, los autovectores de C asociados a 3 son

1

0

0

−1

y

64 Algebra Numerica

0

1

1

0

, que nos definen el autovector

(i

1

)de la matriz H2 asociado

al autovalor 3.

Los autovalores de A son, visto todo lo anterior, −i y 2 + 3i, asociados,

respectivamente, a los autovectores

(−i

1

)y

(i

1

).

Ejercicio 4.7 Justifica todas tus respuestas.

a) Se considera el proceso iterado xn+1 = ϕ(xn) = xn − 1 +2

exn.

a.1) ¿Se puede garantizar que, partiendo de cualquier numero realx0 ∈ [0.5, 1], el proceso convergera a un punto fijo?

a.2) En caso de converger, ¿cual es el punto fijo de la sucesion?

a.3) Utiliza la figura adjunta para justificar, geometricamente, la con-vergencia del proceso para cualquier valor inicial x0 ∈ [0.5, 1].

a.4) Si el proceso xn+1 = φ(xn) verifica que |φ′(x)| < 0.1 en el intervalo[0.5, 1] ¿cual de los dos procesos anteriores tendra una convergenciamas rapida?

b) Se considera la matriz A =

0 1/2 1/31/4 0 1/51/6 α 0

b.1) A la vista de los cırculos de Gerschgorin, ¿convergera el proceso

xn+1 = Axn para cualquier valor de α ∈ [0, 1/2] y cualquier vectorinicial x0?

b.2) Probar que si α ∈ [0, 1/2], A no puede tener el autovalor 1.


b.3) ¿Cual es el vector x (punto fijo) lımite de la sucesion (xn) del pro-ceso anterior?

b.4) Para α = 1/2, los autovalores de A son 0.6130 y −0.3065± 0.0352 i.¿Se puede calcular el autovalor real aplicando el metodo de la po-tencia simple?

Si no se realiza ningun tipo de escalado de los vectores y trabajamoscon un ordenador que cualquier numero menor que 10−10 lo hacecero (tolerancia del ordenador), ¿que ocurrirıa con el vector xN sihacemos un excesivo numero N de iteraciones?

¿Ocurrirıa lo mismo haciendo ese numero N de iteraciones esca-lando los vectores?

¿Por que es una buena estrategia escalar por la coordenada de ma-yor modulo de los vectores que se obtienen?

Solucion:

a) a.1) Tenemos un metodo de la forma xn+1 = ϕ(xn) con ϕ(x) = x−1+2

ex.

ϕ′(x) = 1− 2

ex.

Dado que ϕ′′(x) =2

exes siempre positiva, sabemos que ϕ′(x) es

creciente pasando de ϕ′(0.5) = −0.2131 a ϕ′(1) = 0.2642 es decir

|ϕ′(x)| ≤ 0.2642 < 1

por lo que la funcion es contractiva y el metodo es convergente aun punto fijo.

a.2) Aplicando lımites, y llamando lim xn = x, se obtiene x = x−1+2

ex

de donde2

ex= 1 =⇒ ex = 2 =⇒ x = ln 2

a.3) Basta ver el comportamiento de la red que se forma al ir de lagrafica a la recta, de la recta a la grafica y ası sucesivamente.

66 Algebra Numerica

a.4) Teniendo en cuenta que ϕ′(ln 2) = 0 es decir, que la tangente endicho punto es horizontal, el metodo tiene una convergencia de se-gundo orden.

Si φ′(ln 2) 6= 0 el proceso xn+1 = φ(xn) tendra una convergenciade primer orden y sera mas lento, y solo sera mas rapida su con-vergencia si φ′(ln 2) = 0 y ademas es |φ′′(x)| < |ϕ′′(x)| en dichointervalo.

b) b.1) Para que el metodo sea convergente ha de ser el radio espectral dela matriz A menor que 1.Los cırculos de Gerschgorin de la matriz A vienen dados por

C1 : centro en el origen y radio1

2+

1

3=

5

6

C2 : centro en el origen y radio1

4+

1

5=

9

20

C2 : centro en el origen y radio α +1

6

Como el radio del tercer cırculo puede oscilar en el intervalo

[0 + 1/6, 1/2 + 1/6] = [1/6, 2/3]

los dos ultimos estan incluidos dentro del primero, por lo que elmodulo de cualquiera de sus autovalores es menor que 5/6 < 1, esdecir, el radio espectral de la matriz A es ρ(A) < 1 y, por tanto, elmetodo es convergente.

b.2) Dado que, a la vista de los cırculos de Gerschgorin, los autovalorestienen modulos menores o iguales a 5/6 < 1, la matriz A no puedetener el autovalor 1.

b.3) El metodo nos dice que si x es el vector al que converge, se verificaque

x = Ax ⇐⇒ Ax = 1 · x

por lo que si converge a un vector x 6= 0 resultarıa que dicho vectorserıa un autovector de la matriz A asociado al autovalor 1 y, dadoque 1 no es autovalor de la matriz, el metodo no puede convergera ningun vector no nulo, por lo que limxn = 0 es decir, el metodoconverge al vector nulo.

b.4) Al ser |0.6130| > | − 0.3065 ± 0.0352 i|, el autovalor real es domi-nante y, por tanto, podemos aproximarlo mediante el metodo de lapotencia simple.


Al aplicar el metodo de la potencia simple (sin escalar los vectores),es evidente que convergera al vector nulo, por lo que si hacemosun numero excesivo de iteraciones podrıa el ordenador ir anulandotodas sus coordenadas, obtener en dicha iteracion el vector nulo yno permitir el calculo del autovalor.

Si escalamos los vectores evitamos que converja al vector nulo, porlo que lo hara a un vector que tiene la direccion del autovectorasociado al autovalor dominante y podremos calcular este ultimo.

Al escalar por la coordenada de mayor valor absoluto el proceso per-mite calcular el autovalor y la sucesion de vectores que obtenemostendra siempre su mayor coordenada igual a 1.


Ejercicio 4.8 Realizar la descomposicion de Schur de la matriz

A =

−6 9 3

−2 3 1

−4 6 2

.

Sol :

0 0 −7√

14√5

0 0 − 17√5

0 0 −1

con U =1√70

√

14 6 2√

5

0 5 −3√

5

2√

14 −3 −√

5

.


a 1 1

1 a 1

1 1 a

donde a es un numero com-

plejo cualquiera, se pide:

a) Obtener su polinomio caracterıstico.

Sol : P (λ) = λ3 − 3aλ2 + 3(a2 − 1)λ− (a3 − 3a + 2).

b) Probar que tiene por autovalores: λ = a− 1 doble y λ = a + 2 simple.

c) Calcular los autovectores y comprobar que no dependen de a.

Sol : v1 = (1, 0,−1)T , v2 = (0, 1,−1)T , v3 = (1, 1, 1)T .


2− i 0 −2 + 4i

0 4− 5i 2− 4i

−2 + 4i 2− 4i 3− 3i

, se pide:

68 Algebra Numerica

a) Probar que es normal.

b) Obtener su primera componente hermıtica H1 y calcular el polinomiocaracterıstico de dicha componente.

Sol : H1 =

2 0 −2

0 4 2

−2 2 3

, P (λ) = λ3 − 9λ2 + 18λ.

c) Calcular los autovalores y los autovectores de H1.

Sol :

λ1 = 0 v1 = (2,−1, 2)T

λ2 = 3 v2 = (2, 2,−1)T

λ3 = 6 v3 = (−1, 2, 2)T

.

d) Teniendo en cuenta que estos autovectores tambien lo son de la matrizH2 (segunda componente hermıtica), calcular sus autovalores.

Sol : µ1 = 3, µ2 = −3, µ3 = −9.

e) Obtener, a partir de los resultados anteriores, los autovalores y autovec-tores de A, ası como la matriz de paso unitaria U tal que U∗AU = D.

Sol :

λ1 = 3i v1 = (2,−1, 2)T

λ2 = 3− 3i v2 = (2, 2,−1)T

λ3 = 6− 9i v3 = (−1, 2, 2)T

U =

2/3 2/3 −1/3

−1/3 2/3 2/32/3 −1/3 2/3

.


(2 1

1 0

)se pide:

a) Calcular su polinomio caracterıstico por el metodo interpolatorio.

Sol : λ2 − 2λ− 1.

b) Tomar una aproximacion, con dos cifras decimales exactas, del mayor delos autovalores y afinarla con el cociente de Rayleigh.

Sol : λ = 1 +√

2 ' 2.41 =⇒ λ ' 2.41421.


1 2 3

2 2 3

3 3 3


a) Hallar sus autovalores mediante el algoritmo QR.

Sol : Se obtienen con MatLab 7.5165, −1.1776, −0.3389.

b) Hallar el autovalor de mayor valor absoluto, por el metodo de la potencia,partiendo del vector (10, 11, 1)

Sol : 7.51653848519179, ‖E‖ ≤ 6.280369834735101 · 10−15.

Ejercicio 4.13 Sea λ = α + iβ, α, β ∈ R, autovalor de la matriz

A =

(2i −2

2 2i

).

a) Utilizar el teorema de Gerschgorin para probar que el unico autovalorreal de la matriz A solo puede ser λ = 0.

b) Probar que A∗ = −A y deducir, a partir de ello, que A es una matriznormal. ¿Puede no ser diagonalizable una matriz compleja que verifiqueesa relacion?

Sol : No. Siempre es diagonalizable.

c) Utilizar la descomposicion hermıtica de la matriz, A = H1 + iH2, paradeducir que la parte real de los autovalores de A tiene que ser α = 0.

Sol : Basta observar que H1 es la matriz nula.

d) Hallar el autovalor dominante de la componente hermıtica H2 aplicandoel metodo de la potencia. ¿Quien es el autovalor dominante de A?

Sugerencia: Iniciar el metodo con el vector v1 = (1, 0)T .

Sol : 4i en ambos casos.

e) Si se perturba la matriz A en la matriz

A + δA =

((2− 10−3) i −2

2 (2 + 10−2) i

),

hallar la norma euclıdea de la matriz δA. ¿Puedes encontrar una cotadel error E = |µ− λ|, transmitido al autovalor dominante?

Indicacion: |µ− λ| ≤ ‖P‖ ‖P−1‖ ‖δA‖, siendo P−1AP diagonal.

Sol : ‖δA‖ = 10−2, |λ− µ| ≤ 10−2.

70 Algebra Numerica

Ejercicio 4.14

a) Probar que las raıces del polinomio P (λ) = a + bλ + cλ2 + λ3 son los

autovalores de la matriz A(p) =

0 1 0

0 0 1

−a −b −c

.

Sol : P (λ) es el polinomio caracterıstico de A(p).

b) Si el metodo de la potencia simple aplicado a la matriz A(p) converge aun vector v, ¿que relacion tiene v con las raıces del polinomio P (λ)?

Sol : La raız de mayor modulo de P (λ) viene dada porvT A(p)v

vT v.

c) Si el algoritmo QR aplicado a la matriz A(p) converge a una matriztriangular T , ¿que relacion tiene T con las raıces del polinomio P (λ)?

Sol : Sus elementos diagonales son las raıces del polinomio.

d) Si se puede obtener la factorizacion LU de la matriz PA(p), siendo Puna matriz de permutacion, ¿quienes tienen que ser P, L y U?

Sol : P =

0 0 1

1 0 0

0 0 1

, L = I y U =

−a −b −c

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 4.15 Sean el polinomio p(x) = x3+2x2−2x−4 y su correspondientematriz A = A(p), definido en el ejercicio 4.14

a) Utilizar una sucesion de Sturm para probar que el polinomio p(x) tienesus raıces reales y que solo una de ellas, que denotaremos α, es positiva.

Sol : α ∈ [1, 2].

b) Utilizar el metodo de Newton para obtener una aproximacion de la raızα, garantizando 5 cifras decimales exactas.

Sol : α = 1.41421, ε ≤ 8.481 · 10−9.

c) Obtener la pseudosolucion, β, del sistema (A2v)x = A3v, determinandola norma del error, para v = (1, 1, 1)T . ¿Deberıa ser β una aproximacionde α?

Sol : β = −1.71428, ‖E‖ ≤ 14.6385. A2vx = A3v ⇐⇒ Av = xv β


hubiese sido una aproximacion de α si v lo hubiese sido del autovectorasociado a α.

d) Obtener la matriz de Householder que transforma el vector a = (0, 0, 4)T

en el vector b = (4, 0, 0)T . ¿Se podıa haber predicho el resultado?

Sol : H =

0 0 1

0 1 0

1 0 0

y se podrıa haber predicho.

e) Obtener la factorizacion QR de la matriz A, utilizando el metodo deHouseholder. (Sugerencia: ¡el apartado anterior!)

Sol : Q = H, R =

4 2 −2

0 1 0

0 0 1

.

f) Dar el primer paso del algoritmo QR aplicado a la matriz A. Indicarcomo podrıa el metodo de Gram-Schmidt utilizarse para los sucesivospasos del algoritmo y si esto serıa una buena decision para obtener lasraıces del polinomio p(x).

Sol : A1 =

−2 4 2

0 0 1

1 0 0

. Gram-Schmidt no es una buena opcion.

Ejercicio 4.16

a) ¿Que pasos se dan para calcular los autovalores de una matriz cuadradaA mediante el algoritmo QR? y ¿que forma tiene la matriz a la queconverge el algoritmo en los siguientes casos?

a.1) Si todos sus autovalores tienen distinto modulo.

a.2) Si existen autovalores de igual modulo.

b) El polinomio caracterıstico de la matriz A =

−4 2 −4 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

es

el polinomio del Ejercicio 1.11 P (x) = λ4+4λ3−2λ2+4λ−3. Calculandosus autovalores mediante el algoritmo QR el proceso converge a la matriz

72 Algebra Numerica

−4.64575131106459 4.07664693269566 1.32820441231845 −2.21143157264058

0 −0.24888977635522 −0.86635866374600 0.589880790501080 1.22575806673700 0.24888977635522 0.038489788258900 0 0 0.64575131106459

Calcular, a partir de dicha matriz, las raıces del polinomio (autovaloresde A).

Sol : −4.64575131106459, 0.64575131106459, i,−i.

c) Al aplicar el metodo de la potencia y comenzando el proceso con el vec-

tor x =

1

1

1

1

se obtiene en la cuarta iteracion el vector

1

−0.2152

0.0463

−0.0100

.

Determinar una aproximacion de la raız de mayor valor absoluto del po-linomio P (x) (autovalor correspondiente) utilizando el cociente de Ray-leigh.

Sol : −4.64565808596372.

Ejercicio 4.17 Sean las matrices A, An y B definidas como:

A =

0 1 0

0 0 1

3 1 0

, An =

1.671 0.242 2.164

0.00 −0.50 1.47

0.00 −0.81 −1.16

y B =

0 1 0

0 0 1

3 1 0.1

.

a) Aplicando el algoritmo QR real a la matriz A se obtiene (iterando sufi-cientemente), como aproximacion “aceptable” del metodo, la matriz An.¿Por que las matrices A y An deben tener los mismos autovalores?

Hallar las aproximaciones de los autovalores de la matriz A que se ob-tienen de An.

Sol : 1.671, −0.83 + 1.04 i, −0.83− 1.04 i.

b) Tomando v0 aleatoriamente, ¿se debe esperar convergencia o divergenciaen el metodo de la potencia aplicado a la matriz A?

Empezar en v0 = (1, 1, 1)T y determinar los tres primeros vectores v1,v2 y v3 que proporciona el metodo. Hallar la mejor aproximacion delautovalor dominante de A, en norma ‖ ‖2, que se obtiene con v3.

Sol : Se espera convergencia. v1 = (0.25, 0.25, 1)T , v2 = (0.25, 1, 1)T ,


v3 = (0.5714, 0.5714, 1)T y una aproximacion del autovalor dominante es1.9259.

c) Estudiar si A es una matriz normal. Si se perturba A en la matrizB = A + δA, hallar la medida de la perturbacion ‖δA‖2.

¿Se podrıa asegurar que los autovalores dominantes de las matrices A yB difieren, a lo mas, en 0.1?

Sol : No es normal. ‖δA‖2 = 0.1. No se puede asegurar.

Ejercicio 4.18 Sean A =

1 1 2

0 1 1

1 −1 ε

con 0 < ε ≤ 1, b =

0

−1

2

y

J =

0 −1 −2

0 0 −1

−1 1 0

.

a) Obtener la factorizacion A = LU . Utilizar la factorizacion obtenida pararesolver el sistema Ax = b.

Sol : L =

1 0 0

0 1 0

1 −2 1

, U =

1 1 2

0 1 1

0 0 ε

, x = (1,−1, 0)T .

b) Hallar el numero de condicion κ∞(A) de la matriz A para la norma ‖ ‖∞.Razonar si el resultado del apartado anterior, obtenido con aritmeticade ordenador, podrıa ser considerado fiable para ε proximo a cero.

Sol : κ∞(A) = 8 +16

ε. No, mientras mas pequeno sea ε, peor condicio-

nada.

c) Para ε = 1, comprobar que J es la matriz de la iteracion xn+1 = J ·xn + c que se obtiene al aplicar el metodo de Jacobi al sistema Ax = b.Determinar c y, empezando en x1 = (1, 0, 0)T , hallar el vector x3.

Sol : x3 = (−1,−2, 1)T .

d) Hallar la aproximacion λ3 del autovalor dominante λ de la matriz Jutilizando el metodo de la potencia, con v0 = (1, 0, 0)T , y el cociente deRayleigh para determinar λ3 con el valor obtenido para v3.

Sabiendo que λ3 tiene una cota de error estimada en e < 0.5. ¿Es

74 Algebra Numerica

suficiente dicha aproximacion para analizar la convergencia de la sucesion(xn) del metodo de Jacobi?

Sol : λ3 = −1.5. Jacobi no converge.

e) Para ε = 0, hallar la solucion en mınimos cuadrados del sistema A′x = bque se obtiene al suprimir la primera columna de A, utilizando las ecua-ciones normales. Determinar el error y justificar el resultado obtenido.

Sol : x = (−2, 1)T , ‖E‖ = 0 pues se trata de un sistema compatibledeterminado

f) Analizar si es posible encontrar la matriz H de Householder que trans-forma la segunda columna de A′ en el vector b. En caso afirmativo, ¿esnormal la matriz H resultante?

Sol : Es posible encontrarla y ademas es normal.

Ejercicio 4.19 Considerese la matriz A =

3 0 −1

1 −2 2

−1 −1 8

.

a) Hacer uso de los cırculos de Gerschgorin para estudiar el numero deautovalores reales que posee.

Obtener su polinomio caracterıstico P (λ) y un intervalo de amplitud 1que contenga a su autovalor dominante.

Sol : Los tres son reales. P (λ) = λ3 − 9λ2 + 3λ + 39. [8, 9].

b) Comprobar que la formula de Newton-Raphson asociada a dicho polino-mio es

λn+1 = ϕ(λn) =2λ3

n − 9λ2n − 39

3λ2n − 18λn + 3

.

Sabiendo que la grafica de la funcion y = ϕ′(λ) en el intervalo [8, 9]viene dada por la figura adjunta, ¿podemos garantizar la convergenciadel metodo de Newton partiendo de cualquier punto λ0 ∈ [8, 9]?


Nota: ϕ(λ) es la funcion que aparece en la formula de Newton-Raphson.

Sol : Si, ϕ(x) es contractiva.

c) Si tomamos λ0 = 8 ¿con que error se obtiene la aproximacion λ1?

Sol : ε1 ≤ 1.1323 · 10−4.

d) ¿Existe algun vector v0 para el que podamos garantizar la convergenciadel metodo de la potencia simple aplicado a la matriz A? ¿Que aproxi-macion se obtiene para el autovalor dominante aplicando el cociente deRayleigh al vector v1 si partimos de v0 = (1 0 0)T ?

Sol : Cualquiera no nulo. λ1 = 3.7272.

e) Aplicando el metodo QR para el calculo de los autovalores de A, conuna aritmetica de ordenador con una precision de cuatro decimales, elmetodo se estabiliza en la matriz An en la que hemos omitido dos de suselementos x e y

An =

8.0195 −0.5134 2.7121

0 2.7493 1.5431

0 x y

¿Puede ser nulo el elemento x?, ¿se pueden determinar los elementosque faltan sin necesidad de volver a aplicar el algoritmo QR? ¿Sabrıasdecir cual es la aproximacion obtenida para los otros dos autovalores dela matriz A?

Solucion: x = 0, y = −1.7461, λ2 = 2.7493, λ3 = −1.7461.

Ejercicio 4.20 Se considera la matriz A =

0 1 0

0 0 1

−0.25 −0.125 1

.

a) Demostrar que las raıces del polinomio P (x) = 2+x−8x2+8x3 coincidencon los autovalores de A. Acotar y separar las raıces de P (x), indicandocuantas raıces reales y complejas tiene. Comparar los resultados con lainformacion que se desprende del estudio de los cırculos de Gerschgorin.

Sol : La ecuacion caracterıstica es P (x)/8 = 0 ⇐⇒ P (x) = 0. Solo unareal en (−1, 0). Gerschgorin no mejora la informacion.

76 Algebra Numerica

b) Determinar un intervalo de amplitud 0.5 con un extremo entero quecontenga a la raız negativa de P (x). Razonar si se verifican en dicho in-tervalo las condiciones de Fourier. Aproximar por el metodo de Newton-Raphson dicha raız con 2 cifras decimales exactas.

Sol : En [−0.5, 0] se verifican las condiciones de Fourier. x = −0.38.

c) Tomando como vector inicial z0 = (0, 1, 0)T , realizar dos iteraciones delmetodo de la potencia inversa. Por medio del cociente de Rayleigh aso-ciado al vector hallado, determinar una aproximacion del autovalor de Acorrespondiente. ¿Que relacion existe entre este valor y la aproximacionhallada en el apartado anterior? ¿Puede haber autovalores de la matrizA en el cırculo de centro 0 y radio 1

4? Razonar las respuestas.

Sol : λ = −0.3768. No existen autovalores en dicho cırculo.

d) Al aplicar el algoritmo QR a la matriz A se obtiene como salida la matrizT = Q∗AQ, para cierta matriz unitaria Q. ¿Puede ser T una matriztriangular superior? Justificar la respuesta.

Sol : T no puede ser triangular.

Ejercicio 4.21

a) Utilizar el metodo interpolatorio para determinar el polinomio carac-terıstico P (λ) de la matriz

A =

2 −1 0

0 −2 1

1 0 5

Sol : P (λ) = λ3 − 5λ2 − 4λ + 21.

b) A la vista de los cırculos de Gerschgorin, ¿se puede garantizar que elalgoritmo QR aplicado a la matriz A convergera a una matriz triangularcon sus autovalores en la diagonal? ¿Se puede garantizar la convergenciadel metodo de la potencia simple si comenzamos a iterar con el vectorv = (1 1 1)T ?

Sol : Gerschgorin no nos garantiza una triangular pero sı la convergenciadel metodo de la potencia simple.

c) Haciendo uso de los cırculos de Gerschgorin, determinar cuantos auto-valores reales posee y calcular un intervalo de amplitud 1 y extremos


enteros que contenga al autovalor dominante.

Sol : Los tres son reales y el dominante se encuentra en (4, 5).

d) Comprobar que, en dicho intervalo, se verifican las hipotesis de Fou-rier para la convergencia del metodo de Newton. ¿En que extremo de-berıamos comenzar a iterar?

Sol : x0 = 5

e) Tomando x0 = 5 y aplicando el metodo de Newton, ¿con cuantas cifrasexactas se obtiene x1?

Sol : Dos cifras decimales exactas.

Ejercicio 4.22 Dado el polinomio P (x) = x3 − 3x2 + 3x + 5

a) Probar, mediante una sucesion de Sturm, que solo tiene una raız realy determinar α ∈ Z para que dicha raız este contenida en el intervalo[α, α + 1].

Sol : α = −1.

b) Comprobar, mediante las condiciones de Fourier, que el metodo de New-ton converge tomando como valor inicial x = α.

c) Si tomamos como aproximacion de la raız el valor x = −0.50 ¿se tienegarantizada alguna cifra decimal exacta?

Sol : No.

d) Utilizar el metodo interpolatorio para comprobar que el polinomio carac-

terıstico de la matriz A =

3 −3 −5

1 0 0

0 1 0

es el polinomio P (x) dado.

e) Para resolver el sistema (A + 0.5 · I3)x = (1,−1, 1)T observamos queresulta mas comodo llevar la primera ecuacion al ultimo lugar, es decir,

multiplicar el sistema por la matriz P =

0 1 0

0 0 1

1 0 0

. ¿Se altera de

esta forma el condicionamiento del sistema? Comprueba que la soluciones el vector x = 1

21(−50, 58,−74)T .

Sol : No se altera el condicionamiento por ser P ortogonal.

78 Algebra Numerica

f) Tomando −0.50 como una primera aproximacion de su autovalor real,partiendo del vector z0 = (1,−1, 1)T y trabajando solo con dos cifras de-cimales, realizar una iteracion del metodo de la potencia inversa con des-plazamiento para calcular, mediante el cociente de Rayleigh, una nuevaaproximacion de dicho autovalor. ¿Se puede garantizar ahora alguna ci-fra decimal exacta?

Sol : λ = −0.83. La primera cifra decimal es exacta.

Ejercicio 4.23 Sean A, B y C las matrices definidas por

A =

(−1− i 3− 3i

−3 + 3i −1− i

)B =

1√2

(1 i

i 1

)C =

(2 + 2i 0

0 −4− 4i

)

a) Probar que A∗ = −iA y que B∗ = B−1. ¿Es normal la matriz BCB∗?

Sol : BCB∗ es normal.

b) Comprobar que se verifica la igualdad A = BCB∗. Hallar los autovaloresy autovectores de las componentes hermıticas de la matriz A.

Sol : H1 = H2. Autovalores 2 y -4. Autovectores (1, i)T y (i, 1)T .

c) Probar que si una matriz M verifica la propiedad M∗ = −iM , entonceses normal y sus autovalores son de la forma α + iα, con α ∈ R. ¿Puedela matriz M tener unicamente autovalores reales?

Indicacion: De M = QDQ∗, deducir D∗ = −iD.

Sol : M tendra todos sus autovalores reales solo si es la matriz nula.

d) Se perturba la matriz A en A+δA, de modo que ||δA||2 ≤ 10−6. Razonarsi los autovalores de A + δA, obtenidos con MatLab, pueden ser muydiferentes de los de la matriz A. ¿Sucederıa lo mismo para una matrizM , con M∗ = −iM y dimension elevada?

Sol : No, |µ− λ| ≤ 10−6 y no depende de la dimension de M .

e) Hallar la aproximacion del autovalor dominante de A que se obtiene conun paso del metodo de la potencia, partiendo de q0 = (1, 0)T , y utilizandoel cociente de Rayleigh.

Explicar como se aplicarıa el algoritmo QR para obtener aproximacionesde los autovalores y autovectores de la matriz A. ¿Cual serıa la formade Schur de A?

Sol : −2.8− 2.8 i. T es diagonal.


Ejercicio 4.24 En R4 se considera el vector a = (1,−1, 1,−1)T .

a) Determinar el valor que debe tomar β ∈ R − {0} para que la matrizQ = I − βaaT verifique la igualdad Q2 = I. Probar que, entonces, Q esuna matriz normal.

Sol : β = 1/2.

b) Utilizar las ecuaciones normales para obtener la solucion en mınimoscuadrados del sistema superdeterminado S1 ≡ Ax = −a, donde x =(x, y)T y la matriz de coeficientes A = [a1 a2] esta formada por las dosprimeras columnas a1, a2 de la matriz B = 2I − aaT .

¿Esta mal condicionada la matriz AT A para la norma || ||∞?

Sol : (1/2,−1/2)T . No puede estar mejor condicionada, ‖AT A‖∞ = 1.

c) Hallar la matriz H de Householder que transforma el vector a2, definidoen el apartado anterior, en un vector de la forma r = (0, σ, 0, 0)T , conσ > 0.

Partir del sistema S2 ≡ HAx = −Ha, para evaluar el error en el sistemaS1 del apartado anterior utilizando, en caso necesario, transformacionesunitarias. Justificar que los sistemas S1 y S2 tienen la misma pseudoso-lucion y el mismo error.

Sol : H = Q (primer apartado). ‖E‖ =√

2. Al tratarse de transforma-ciones unitarias los dos sistemas son equivalentes.

d) Para calcular un autovector de la matriz H del apartado anterior, aplicarel metodo de la potencia simple partiendo del vector x = (1, 2, 3, 4)T .¿Por que no funciona el metodo en este caso?

Describir como se aplica el algoritmo QR a la matriz H. En este caso,¿por que no converge a la forma de Schur de H?

Indicacion: ¿Cual es la factorizacion QR de cualquier matriz ortogonal?

Sol : H no tiene un autovalor dominante. Sus autovalores son 1, 1, 1,−1todos de igual modulo. La sucesion resultante es x, Hx, x, Hx, . . . quesolo es convergente si se parte de un autovalor asociado al autovalor 1.El algoritmo QR no converge a la forma de Schur (una diagonal) ya quela sucesion que se obtiene es constante igual a H.

e) Probar que Ha = −a y que si v es ortogonal al vector a, entonces Hv = v.En virtud de esto, encontrar razonadamente los autovalores de H y unautovector v1 asociado al autovalor negativo.

80 Algebra Numerica

Si {v1} se completara a una base {v1, v2, v3, v4} formada por autovectoresde H, ¿como se podrıa ortonormalizar dicha base de una forma compu-tacionalmente estable?

Sol : -1 simple con autovector a y 1 triple. Se deberıa ortonormalizarmediante transformaciones unitarias (ortogonales).

Ejercicio 4.25

a) Calcular el polinomio caracterıstico de la matriz A =

0 3 0

3 28 4

0 4 5

mediante el metodo interpolatorio. ¿Puede no ser real alguno de susautovalores?

Sol : P (λ) = λ3 − 33λ2 + 115λ + 45. No, ya que A simetrica.

b) Haciendo uso de los cırculos de Gerschgorin, estudiar si resultara conver-gente el metodo de la potencia simple aplicado a la matriz A partiendode un vector arbitrario z0.

Sol : Convergera por existir un autovalor dominante.

c) Realizar la factorizacion QR de la matriz A mediante transformacionesde Householder. (Dar las matrices Q y R).

Sol : Q =

0 0.6 0.8

1 0 0

0 0.8 −0.6

R =

3 28 4

0 5 4

0 0 −3

.

d) Utilizar la factorizacion anterior para resolver el sistema Ax = b conb = (−3, 6, 1)T .

Sol : x = (10,−1, 1)T .

e) Comenzando por el vector z0 = (−3, 6, 1)T calcular el vector z2 delmetodo de la potencia inversa (al ser solo dos pasos no merece la penaescalar el vector, es decir, dividir en cada paso por su norma infinito) yaproximar el autovalor de menor valor absoluto de la matriz A medianteel cociente de Rayleigh.

Sol : z2 = (−28.1555, 3.3333,−2.4666)T , λ ' −0.3548

f) Teniendo en cuenta que el autovalor de menor valor absoluto es negativo,determinar, haciendo uso del polinomio caracterıstico, una cota del error


de la aproximacion obtenida en el apartado anterior.

Sol : ε ≤ 4.8 · 10−5.

Ejercicio 4.26 Se considera el polinomio P (x) = x3 + 3x2 + 3ax + a cona ∈ R.

a) Hacer uso de una sucesion de Sturm para determinar, en funcion delparametro “ a”, el numero de raıces reales de dicho polinomio ası comosu multiplicidad.

Sol :

a < 0 =⇒ tres raıces reales.

a = 0 =⇒ una real doble (0) y una real simple (-3).

0 < a < 1 =⇒ una real simple y dos complejas conjugadas.

a = 1 =⇒ una real triple (-1).

a > 1 =⇒ una real simple y dos complejas conjugadas.

b) Para a = 3, determinar un intervalo adecuado en el que se encuentrela raız real del polinomio y en el que se verifiquen las condiciones deFourier para garantizar la convergencia del metodo de Newton. ¿Quevalor debemos dar inicialmente a x para comenzar a iterar?

Sol : [−0.5, 0], x0 = 0.

c) Realizar dos iteraciones del metodo de Newton y determinar una cotadel error.

Sol : x2 = −0.3737373737, ε2 ≤ 4.739279 · 10−4.

d) Teniendo en cuenta que la matriz A =

−3 −9 −3

1 0 0

0 1 0

tiene, como

polinomio caracterıstico, el polinomio P (x) cuando a = 3, ¿podemosgarantizar la convergencia del metodo de la potencia simple? ¿y del dela potencia inversa?

Sol : La potencia simple no (los autovalores complejos tienen modulomayor que el real), pero el de la potencia inversa sı.

e) ¿Convergera a una matriz triangular superior el algoritmo QR aplicandoaritmetica real a la matriz A?

Sol : No, lo hara a una triangular por bloque con un bloque de orden 2(las dos raıces complejas conjugadas).

82 Algebra Numerica


4 5 3

3 5 1

0 2 3

.

a) Realizar la factorizacion QR (dar las matrices Q y R) de la matriz A:

a.1) Mediante rotaciones o giros

a.2) Mediante reflexiones

Sol : Q =1

25

20 15 0

−3√

5 4√

5 10√

5

6√

5 −8√

5 5√

5

R =

5 7 3

06√

5√

5

0 0√

5

.

b) Determinar su polinomio caracterıstico por el metodo interpolatorio.

Sol : P (λ) = λ3 − 12λ2 + 30λ− 25.

c) Probar, mediante una sucesion de Sturm, que A solo tiene un autovalorreal y que se encuentra en el intervalo [8,9].

d) Sabiendo que el producto de los autovalores de una matriz coincide consu determinante, probar que A posee un autovalor dominante.

e) Partiendo del vector z0 = (1, 1, 1)T realizar dos iteraciones del metodode la potencia simple (trabajar con 2 cifras decimales) y utilizar z2 paraaproximar el autovalor real de la matriz A.

Solucion: λ ' 8.95.

f) ¿Se ha obtenido, en el apartado anterior, la aproximacion del autovalorreal con un error menor que 10−2?

Sol : ε ≤ 0.04 < 10−1 por lo que solo se dispone de un decimal exacto.

Ejercicio 4.28 Sea la matriz A =

2 −2 0

2 3 ω

1 0 2

a) Para ω = −3, se pide:

a.1) Utilizar los cırculos de Gerschgorin por filas para probar que Acarece de autovalores mayores que 10. De la observacion de dichoscırculos, ¿puede deducirse que A tiene un autovalor de maximomodulo?

Sol : No puede garantizarse la existencia de un autovalor dominante.


a.2) Demostrar que el metodo de Gauss-Seidel aplicado al sistemaAx = (1, 3

4, 0)T es convergente empezando con cualquier vector

x0 ∈ R3. Hacer dos iteraciones de dicho metodo partiendo delvector x0 = (−1

2, 5

4, 1

3)T y hallar la norma del error.

Sol : Es convergente por ser ρ(L1) < 1. x2 = (−1/12,−41/72, 1/24)T ,‖E‖ = 2.987241.

b) Para ω = 0, se pide:

b.1) Partiendo del vector z0 = (1, 1, 1)T , aplicar el metodo de la potenciainversa a la matriz A haciendo dos iteraciones y usar el cociente deRayleigh para aproximar el autovalor de menor modulo de A.

Sol : λ = 2.5.

b.2) Siendo F =

1 0

0 −1

0 −1

y B = AF , hallar la pseudosolucion del sis-

tema Bx=

2

7

4

resolviendo el sistema formado por las ecuaciones

normales usando el metodo de Cholesky. Calcular la norma delerror.

Sol : Las ecuaciones normales son

(9 −4

−4 17

)x =

(22

−25

).

Para la facrorizacion de Cholesky R =

(4 −4/3

0√

137/3

). La pseu-

dosolucion es (2,−1)T y el error ‖E‖ = 0.

Ejercicio 4.29 Consideremos la matriz A =

4

9+

4

9i

2

9i

2

9

5

9+

5

9i

. Se pide:

a) Hallar las componentes hermıticas de la matriz A y probar que esta esnormal.

Sol : H1 = H2 =

(49

19

+ 19i

19− 1

9i 5

9

).

b) A partir de H1, construir una matriz S real y simetrica, de dimension eldoble de la de H1, de forma que a partir de los autovalores y autovectores

84 Algebra Numerica

de S se deduzcan los de H1.

Sol :

4/9 1/9 0 −1/91/9 5/9 1/9 0

0 1/9 4/9 1/9

−1/9 0 1/9 5/9

c) Usando MATLAB se tiene que el polinomio caracterıstico de la matriz

S es

P (λ) = λ4 − 2λ3 +13

9λ2 − 4

9λ +

4

81

Sin realizar ningun calculo ¿podrıas garantizar que P (λ) es el cuadradode un polinomio de segundo grado?.

Sol : Sı. Las raıces de P (λ) son los autovalores de H1 pero todos dupli-cados.

d) Reducir la multiplicidad de las raıces de P (λ) y encontrar una sucesionde Sturm para el polinomio reducido Q(λ).

Sol : Q(λ) = λ2 − λ + 2/9. g0(λ) = Q(λ), g1(λ) = 2λ− 1 y g2(λ) = 1.

e) Haciendo uso de la sucesion de Sturm, separar las raıces de Q(λ).

Sol : [0, 1/2] y [1/2, 1].

f) Encontrar un intervalo que contenga a la menor de las raıces de Q(λ)y en el que se pueda garantizar la convergencia del metodo Newton.Determina las raıces exactas de Q(λ).

Sol : [0, 0.4]. Las raıces son 1/3 y 2/3.

g) En virtud de los resultados anteriores, calcular los autovalores y auto-vectores de la matriz A.

Sol : Autovalores λ1 = 1/3 + 1/3 i y λ2 = 2/3 + 2/3 i. Autovectoresv1 = (1 + i,−1)T y v2 = (1 + i, 2)T respectivamente.


1 −1 1

−1 2 1

1 2 2

a) Calcular su polinomio caracterıstico por el metodo interpolatorio.

Sol : P (λ) = λ3 − 5λ2 + 4λ + 5.


b) Separar sus raıces mediante una sucesion de Sturm.

Sol : [−1, 0], [2, 3] y [3, 4].

c) ¿Convergera el metodo de la potencia simple comenzando por el vectorx0 = (1, 1, 1)T ? Justifica la respuesta.

Sol : Si por tener un autovalor dominante.

d) Realiza dos iteraciones del metodo de la potencia simple comenzando porel vector x0 = (1, 5, 8)T y aproxima el autovalor dominante mediante elcociente de Rayleigh.

Sol : λ ' 3.38685028129986.

e) Realiza dos iteraciones del metodo de la potencia inversa comenzandopor el vector x0 = (6, 5,−6)T . ¿De quien es una aproximacion x2?

Sol : x1 = (−10,−7, 9)T , x2 = (15, 11,−14)T . Es una aproximacion delautovector asociado al autovalor de menor valor absoluto.

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