Mster en Sistemas InteligentesTrabajo Fin de Mster

Junio, 2013

MODELADO MATEMTICO PARA LAGENERACIN DE UN MALLADO ESPACIALCON APLICACIN A NANO-ESTRUCTURAS

SEMICONDUCTORAS

Sergio Garca Snchez

Departamento de Informtica y AutomticaUniversidad de Salamanca

Dirigido por:Dr. Jos Rafael Garca-Bermejo GinerDr. Ignacio iguez-de-la-Torre Mulas

Informacin de los Autores:

Sergio Garca Snchez

Departamento de Fsica Aplicada, Universidad de Salamanca

Plaza de la Merced, s/n

37008 Salamanca, Espaa

sergio_gs@usal.es

Este documento puede ser libremente distribuido.(c) 2013 Departamento de Informtica y Automtica - Universidad de Salamanca.

D. Jos Rafael Garca-Bermejo Giner, Profesor Titular del Departamentode Informtica y Automtica de la Universidad de Salamanca, y

D. Ignacio iguez-de-la-Torre Mulas, Ayudante Doctor del Departamentode Fsica Aplicada de la Universidad de Salamanca,

CERTIFICAN:

Que el trabajo de n de Mster que se recoge en la presente memoria, tituladaMODELADO MATEMTICO PARA LA GENERACIN DE UN MALLADO ES-PACIAL CON APLICACIN A NANO-ESTRUCTURAS SEMICONDUCTORAS,y presentada por Sergio Garca Snchez, se ha realizado bajo su direccin parala superacin de la asignatura TESIS DE MSTER.

Salamanca, 13 de junio de 2013

Jos Rafael Garca-Bermejo GinerProfesor Titular de Informtica

Dpto. de Informtica y AutomticaUniversidad de Salamanca

Ignacio iguez-de-la-Torre MulasAyudante Doctor

Dpto. de Fsica AplicadaUniversidad de Salamanca

AGRADECIMIENTOS

Ha llegado el da de la defensa de este trabajo Fin de Mster! Pareca que noiba a llegar nunca, aunque, por otra parte tampoco deseaba que llegara el da de laentrega de la memoria ya que me agobiaba no haberla terminado an.

Quisiera empezar agradeciendo a Coti toda la atencin y disponibilidad prestadadurante el desarrollo del presente trabajo.

Igualmente agradezco sinceramente a Ignacio toda su permanente dedicacin,paciencia y ayuda desinteresada durante todo el desarrollo de esta memoria.

A mis compaeros del rea de Electrnica, especialmente a Toms, Javier ySusana, que me han ayudado a resolver algunas de las dudas que me iban surgiendo.

A todos mis compaeros de Mster, especialmente a Alicia y Astrid por todoslos momentos inolvidables que hemos compartido y por los que nos quedan porcompartir. Para ellas la siguiente cita: "las huellas de las personas que caminaronjuntas nunca se borran".

Agradezco de forma muy especial a mi abuelo, padres y hermanos que siempreestn a mi lado y cuyo apoyo es imprescindible para realizar cualquier sueo quetenga en mente.

Finalmente, a todos mis amig@s, especialmente a Chema, que siempre est dis-puesto a escucharme y a ayudarme cuando tengo algn problema. Gracias.

Resumen

En este trabajo se presentan distintos mtodos matemticos para resolver laecuacin de Poisson en 2D, concretamente los mtodos de factorizacin LU, Jacobi,Gauss-Seidel y sobre-relajacin sucesiva (SOR); para dos criterios de convergencia.Estos mtodos sern implementados en un potente simulador Monte Carlo (MC)de dispositivos desarrollado por el Grupo de Investigacin de Dispositivos Semi-conductores de la Universidad de Salamanca (USAL). El mtodo de factorizacinproporciona una solucin exacta del potencial en los distintos nodos en los que eldispositivo electrnico es discretizado. Relativo al tiempo de simulacin, el mtodoSOR es competitivo con la tcnica de factorizacin LU. Se descarta la utilizacin delos mtodos de Jacobi y Gauss-Seidel cuando se trabaja con matrices cuadradas deorden superior a 100 por los elevados tiempos de simulacin que se precisan para losdos criterios de convergencia. Un dispositivo electrnico va a ser discretizado a travsde un mallado formado por contornos rectangulares. Dado que el nmero de nodosdel mallado es un factor muy importante en el tiempo de simulacin (concretamenteen la resolucin de la ecuacin de Poisson), se presenta un algoritmo de malladoque respeta cierta restriccin fsica (la longitud de Debye tiene que ser menor que eltamao de las mallas en las diferentes regiones) y adems, se evitar en las fronterascambios bruscos en los tamaos de las mallas. Se analizan simulaciones en un diodovertical de GaAs y en un diodo autoconmutante (SSD) de GaAs vericando el buenfuncionamiento del algoritmo diseado.

Abstract

In this work, we report on dierent mathematical methods to solve Poisson'sequation in 2D, particularly LU factorization, Jacobi, Gauss-Seidel and successiveover-relaxation methods; for two convergence criterions. These methods will be im-plemented in a powerful Monte Carlo (MC) simulator created by the Research Groupon Semiconductor Devices of the University of Salamanca (USAL). LU factorizationmethod provides the exact solution of the potential in the dierent nodes wherethe device has been discretized. Concerning simulation time, the SOR method com-petes with the LU decomposition technique. The Jacobi and Gauss-Seidel methodshave been discarded when we work with square matrixes of order higher than 100,because they require a huge simulation time for the two convergence criterion. Anelectronic device will be discretized using a mesh formed by rectangular contours.As the number of nodes of the mesh is an important factor in the simulation time(specically in the resolution of Poisson's equation), we propose a mesh algorithmthat respects certain physical restriction (Debye length must be less than meshes'sizein the dierent regions), and furthermore, at the frontiers it will be avoided abruptchanges in the meshes size. Simulations will be analyzed in a vertical diode of GaAsand in a self-switching diode (SSD) of GaAs where it will be checked the operationof the algorithm designed.

Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013 i

ii Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013

ndice

ndice de guras v

ndice de tablas vii

1. Introduccin y motivacin 1

2. La ecuacin de Poisson dentro del simulador Monte Carlo 3

2.1. Aspectos generales del simulador Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1. Mtodo de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2. Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3. Caractersticas de nuestro simulador Monte Carlo . . . . . . . 6

2.2. Resolucin de la ecuacin de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1. Mtodo de los elementos nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2. Mtodo de las diferencias nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Parmetros fsicos para la simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Mtodos de resolucin de la ecuacin de Poisson. Anlisis y com-paracin de resultados 14

3.1. Mtodos de resolucin de la ecuacin de Poisson . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1. Mtodos matriciales directos: factorizacin LU . . . . . . . . . 14

3.1.2. Mtodos de relajacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. Anlisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1. Estructura simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2. Anlisis de resultados en funcin de la precisin (p) del mtodoiterativo para MH = 2 usando el criterio de convergencia (C1) 21

3.2.3. Anlisis de resultados para diferentes nmeros de mallas hor-izontales (MH) con p = 4 usando el criterio de convergencia(C1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.4. Anlisis del tiempo de simulacin para MH = 5 usando elcriterio de convergencia (C2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Algoritmo ptimo de discretizacin de dispositivos electrnicos 31

4.1. Algoritmo ptimo versin 1 (V1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1. Aplicacin del algoritmo ptimo (V1) en un SSD de GaAs . . 35

4.1.2. Aplicacin del algoritmo ptimo (V1) en una estructura ver-tical de GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2. Algoritmo ptimo versin 2 (V2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1. Aplicacin del algoritmo ptimo (V2) en una estructura ver-tical de GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013 iii

5. Conclusiones 45

Bibliografa 47

iv Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013

ndice de guras

1. Esquema de la tcnica de rechazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Diagrama de ujo de la simulacin Monte Carlo de dispositivos. . . . 7

3. Anlisis de un HEMT con el simulador Monte Carlo de dispositivos. . 8

4. Estructuras que se pueden estudiar con el simulador Monte Carlo dedispositivos del Grupo de Investigacin en Dispositivos Semiconduc-tores de la USAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Discretizacin espacial. (a) Elementos nitos, (b) diferencias nitas. . 11

6. Esquema para la resolucin de la ecuacin de Poisson. Mtodo de lasdiferencias centradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7. Representacin matricial. Matriz pentadiagonal. . . . . . . . . . . . . 12

8. Diagrama de ujo de la simulacin Monte Carlo de dispositivos. Bloquedonde se deben implementar los diferentes mtodos iterativos. . . . . 15

9. Esquema y geometra de la estructura simulada. . . . . . . . . . . . . 20

10. Mtodo de Jacobi frente a factorizacin LU, (C1). (a) Densidad decorriente frente al potencial aplicado. En el recuadro se representael tiempo de simulacin en funcin de p. (b) Potencial frente a laposicin para una polarizacin de 1.2 V. . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11. Mtodo de Gauss-Seidel frente a factorizacin LU, (C1). (a) Densidadde corriente frente al potencial aplicado. En el recuadro se representael tiempo de simulacin en funcin de p. (b) Potencial frente a laposicin para una polarizacin de 1.2 V. . . . . . . . . . . . . . . . . 23

12. Mtodo de Sobre-relajacin sucesiva (SOR) frente a factorizacin LU,(C1). (a) Densidad de corriente frente al potencial aplicado. En elrecuadro se representa el tiempo de simulacin en funcin de p. (b)Potencial frente a la posicin para una polarizacin de 1.2 V. . . . . . 24

13. Diodo con 3 mallas horizontales donde p = 4 (C1). (a) Densidad decorriente frente al potencial aplicado. En el recuadro se representa eltiempo de simulacin en funcin del mtodo (escala logartmica). (b)Potencial frente a la posicin para una polarizacin de 1.2 V. . . . . . 26

14. Diodo con 4 mallas horizontales donde p = 4 (C1). (a) Densidad decorriente frente al potencial aplicado. En el recuadro se representa eltiempo de simulacin en funcin del mtodo (escala logartmica). (b)Potencial frente a la posicin para una polarizacin de 1.2 V. . . . . . 27

15. Diodo con 5 mallas horizontales donde p = 4 (C1). (a) Densidad decorriente frente al potencial aplicado. En el recuadro se representa eltiempo de simulacin en funcin del mtodo (escala logartmica). (b)Potencial frente a la posicin para una polarizacin de 1.2 V. . . . . . 27

16. Representacin del potencial para cada nodo del mallado espacialpara los mtodos de factorizacin LU y de Jacobi con MH = 2. Enel mtodo de Jacobi se consideran los criterios ((C1) - se observa elproceso de convergencia en funcin del nmero de vueltas) y (C2).(a) NI = 1, (b) NI = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013 v

17. Representacin del nmero de vueltas (mtodo de Jacobi) frente alnmero de iteraciones Monte Carlo para MH = 2. . . . . . . . . . . . 30

18. Comparacin de tiempos de simulaciones Monte Carlo de un diodovertical (MH = 5) para cada mtodo de resolucin de la ecuacin dePoisson donde se tiene en cuenta los criterios de convergencia de lasolucin C1 con p = 4 y C2 con TOL = 105. . . . . . . . . . . . . . 30

19. Self-switching diode de GaAs. (a) Imagen SEM del dispositivo, (b)denicin del dispositivo mediante la interfaz Jersecn . . . . . . . . . 36

20. Self-switching diode de GaAs. Pocos nodos . . . . . . . . . . . . . . . 36

21. Self-switching diode de GaAs. Caso ptimo . . . . . . . . . . . . . . . 37

22. Self-switching diode de GaAs. Muchos nodos . . . . . . . . . . . . . . 37

23. (a) Caracterstica IV bajo las hiptesis de pocos nodos, caso ptimoy muchos nodos. Se representa tambin la curva experimental de lacorriente. (b) Tiempo de simulacin requerido en cada caso. . . . . . 38

24. Estructura vertical de GaAs discretizada con pocos nodos. MH = 7y MV = 20 mallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

25. Estructura vertical de GaAs discretizada con el nmero de nodosptimo (algoritmo ptimo (V1)). MH = 12 y MV = 186 mallas. . . . 40

26. Estructura vertical de GaAs discretizada con muchos nodos (algorit-mo ptimo (V2)). MH = 17 y MV = 274 mallas. . . . . . . . . . . . 40

27. (a) Caracterstica I V frente a la longitud (V1). Se consideran lashiptesis: (1) mallado con pocos (968) nodos, (2) mallado ptimo(2431) nodos, (3) mallado con 3480 nodos, (4) mallado con 4304 nodosy (5) mallado con 4950 nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

28. (a) Campo elctrico y (b) perl de concentracin mdio frente a lalongitud (V1). Se consideran las hiptesis: (1) mallado ptimo (2431)nodos y (2) mallado con muchos (4950) nodos. . . . . . . . . . . . . . 41

29. Diodo vertical. Discretizacin del dispositivo utilizando (a) el algorit-mo ptimo (V1) y (b) el algoritmo ptimo (V2). . . . . . . . . . . . . 42

30. Estructura vertical de GaAs discretizada con el nmero de nodosptimo (algoritmo ptimo (V2)). MH = 12 y MV = 200 mallas. . . . 43

31. Estructura vertical de GaAs discretizada con muchos nodos (algorit-mo ptimo (V2)). MH = 15 y MV = 293 mallas. . . . . . . . . . . . 44

32. (a) Caracterstica I V frente a la longitud (V2). Se consideran lashiptesis: (1) mallado ptimo (2613) nodos y (2) mallado con 4704nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

33. (a) Campo elctrico y (b) perl de concentracin medio frente a lalongitud (V2). Se consideran las hiptesis: (1) mallado ptimo (2613)nodos y (2) mallado con muchos (4704) nodos. . . . . . . . . . . . . . 45

vi Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013

ndice de tablas

1. Mtodo de Jacobi. Nmero de iteraciones en funcin de p (C1) yMH = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Mtodo de Gauss-Seidel. Nmero de iteraciones en funcin de p (C1)y MH = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Mtodo de Sobre-relajacin sucesiva (SOR). Nmero de iteracionesen funcin de p (C1) y MH = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Tiempos de simulacin para los mtodos de Jacobi, Gauss-Seidel ySOR en funcin del criterio que se haya tenido en consideracin. Serecoge tambin el cociente tC2/tC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5. Longitud de Debye en GaAs para los dopajes considerados. . . . . . . 32

Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013 vii

viii Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013

S. Garca

1. Introduccin y motivacin

Una de las tareas ms difciles, sin tener en cuenta su fsica, a la hora de llevara cabo el estudio de un dispositivo electrnico a travs de una simulacin MonteCarlo [1] consiste en denir correctamente cada una de sus regiones. Adems, sedebe resolver la ecuacin de Poisson en cada una de las zonas, con las condicionesde contorno apropiadas, tarea que no es a priori trivial.

En este trabajo, en primer lugar se describen distintas formas de resolver laecuacin de Poisson en 2D mediante varios mtodos matemticos [2], [3]. Se estu-diar con detalle la discretizacin de la ecuacin de Poisson mediante el mtodo dediferencias nitas y se propondrn cuatro mtodos matemticos [4] para resolver talecuacin, siendo estos:

Mtodo matricial directo: factorizacin LU

Mtodos de relajacin:

Jacobi Gaus-Seidel Sobre-relajacin sucesiva (SOR)

Para comprobar la validez de estas tcnicas, se realizar una simulacin de unaestructura vertical de Arseniuro de Galio (GaAs) analizando la caracterstica I-V yel potencial elctrico medio a lo largo de ella. Los factores que se tienen en cuentapara las distintas soluciones propuestas son los siguientes:

la precisin de la solucin para un primer criterio de convergencia proporciona-da por el mtodo iterativo comparando tiempos de simulacin con el mtodoLU.

tiempos requeridos para abordar la simulacin Monte Carlo para diferentesnmeros de mallas para un primer criterio de convergencia.

un segundo criterio de convergencia comparando tiempos de clculo precisadosy evaluando la mejora respecto al primer criterio.

Por otra parte, crear un mallado rectangular para denir la topografa de losdispositivos electrnicos no es una tarea sencilla. Esto resulta especialmente ciertosi el dispositivo posee una geometra y/o composicin de materiales complicada, porintervenir factores fsicos que hacen que sta no sea homognea para una estructura,y tenga que tener caractersticas especiales. Adems, como veremos en el segundo ytercer captulo de este trabajo, cuanto mayor sea el nmero de mallas, mayor ser eltiempo de simulacin; de ah que sea importante la creacin de un algoritmo ptimode mallado que proporcione automticamente el nmero de mallas horizontales yverticales para la denicin del dispositivo electrnico. En el captulo cuarto se

Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013 1

Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

investigarn distintas formas para la creacin del mallado y se disear un algoritmopara elaborar un mallado adaptativo respetando las restricciones fsicas (la longitudde Debye), donde el nmero de nodos mximo vendr impuesto por el usuario,deniendo as de forma optimizada la posicin de los nodos para garantizar una altaprecisin en la magnitud a analizar. Mediante el algoritmo diseado se denirn dosestructuras (a) diodo vertical de GaAs y (b) diodo planar de GaAs (self-switching-diode, SSD) teniendo en cuenta tres tipos de mallados:

pocos nodos donde no se respetarn las restricciones fsicas.

mallado ptimo.

muchos nodos.

Bajo estas tres condiciones y para cada estructura, se compararn los resultadosobtenidos vericando si el algoritmo de mallado diseado reproduce un buen com-portamiento del dispositivo electrnico.

Todas las simulaciones que se presentan en esta memoria han sido realizadas pormedio del simulador Monte Carlo de dispositivos que posee el Grupo de Investigacinen Dispositivos Semiconductores de la USAL (http://www.usal.es/gelec). Esta her-ramienta lleva siendo explotada durante ms de 20 aos, y con el paso de los aos sela han ido aadiendo nuevas funcionalidades. Existen simuladores comerciales conlos que se pueden simular distintos dispositivos electrnicos. Ahora bien, la mayorade ellos son limitados en tanto en cuanto slo permiten estudiar un determinadotipo de estructuras. En la industria, la simulacin es realizada con herramientasmuy especcas que permiten estudiar muchas magnitudes y fenmenos fsicos ytienen un entorno amigable con el usuario. Uno de los principales objetivos de estossimuladores comerciales radica en la optimizacin de los tiempos de desarrollo y porlo tanto, el modelo estndar para el transporte que usan es el de deriva-difusin oel hidrodinmico. Los simuladores comerciales ms utilizados son el ATLAS DeviceSimulation Software de la compaa Silvaco (http://www.silvaco.com) que ofreceun paquete de simulacin integrado por diferentes mdulos para estudiar compor-tamientos elctricos, pticos y trmicos de dispositivos semiconductores, DESSIS(ISE) (http://www.ise.ch) que simula las caractersticas elctricas, pticas y tr-micas de dispositivos semiconductores, DAMOCLES que es un simulador desarrol-lado por IBM (http://www.research.ibm.com/DAMOCLES/home.html), COMSOL(http://www.comsol.com) que posee el mdulo AC/DC para simular componentes ydispositivos electrnicos y SENTAURUS PROCESS (http://www.synopsys.com) deSynopsys. Ntese que nuestro simulador usa la tcnica de Monte Carlo, que aunquerequiere de mayor tiempo de CPU, es mucho ms precisa y adecuada para el estudiode los dispositivos electrnicos de mi trabajo [1]. La ventaja de utilizar un simuladordesarrollado en el propio departamento radica en la posibilidad de realizar cualquiermodicacin en el cdigo fuente para poder estudiar cualquier tipo de dispositivoelectrnico y cualquier tipo de fenmeno fsico de forma sencilla. Cualquier investi-gador, debidamente formado, puede simular el mecanismo que desee implementandoel mdulo correspondiente.

2 Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013

S. Garca

Este Trabajo Fin de Mster (TFM) me ha permitido comprender con gran de-talle el funcionamiento del simulador Monte Carlo (MC) de dispositivos utilizado enel grupo de investigacin del cual soy miembro. Adems, los conocimientos adquiri-dos redundarn en benecio de mi futura Tesis Doctoral ya que pretendo mejorarla herramienta incorporando una resolucin quasi-3D del problema de Poisson. Elobjetivo ser simular la dinmica de los portadores con el ensemble MC-2D actualpero incorporar la resolucin 3D del dispositivo tridimensional. De esta forma podrincorporar efectos nuevos en los dispositivos que ya he estudiado como la disposi-cin de una puerta superior. Es ms, dado que formalmente la ecuacin de Poisson(ecuacin diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden tipo elptico)es anloga a la ecuacin de calor estacionaria, un segundo objetivo ser estudiarlos efectos trmicos presentes en dispositivos electrnicos de alta potencia. En ellos,dado que la disipacin de calor juega un papel clave, resulta necesario implementarla resolucin de la ecuacin de calor en el cdigo MC actual. Pese a que su resolucinser casi idntica, los dominios de simulacin, sus tamaos y tiempos caractersticosson muy diferentes. Por esta razn tambin es principal entender con detalle comodiscretizar correctamente cada una de ellas y como ligar los valores de temperaturaobtenidos a las mallas del problema elctrico. Por ello entiendo que es muy signica-tivo familiarizarme con la tcnica de resolucin de este tipo de ecuaciones as comosu denicin espacial apropiada para poder desarrollar con xito los objetivos de mifuturo trabajo.

2. La ecuacin de Poisson dentro del simulador MonteCarlo

En este captulo se presenta el mtodo de Monte Carlo utilizado para la simu-lacin de los dispositivos que se estudian a lo largo de este trabajo. Seguidamente semuestran los mtodos de elementos nitos y de diferencias nitas como alternativaspara resolver la ecuacin de Poisson (ecuacin elptica).

2.1. Aspectos generales del simulador Monte Carlo

La simulacin es el paso previo a la fabricacin de los dispositivos, evitando tenerque realizar un exceso de ensayos, permitiendo as un ahorro importante de costes.

Bajo el nombre de Mtodo de Monte Carlo o Simulacin Monte Carlo seagrupan una serie de procedimientos que manejan distribuciones de probabilidadcomplejas usando nmeros aleatorios. Este mtodo da solucin a una gran variedadde problemas matemticos haciendo experimentos con muestreos estadsticos en unordenador. La simulacin Monte Carlo fue creada para resolver integrales que nose pueden abordar por mtodos analticos; para ello se usaron nmeros aleatorios.El mtodo fue llamado as por la capital del principado de Mnaco, por ser MonteCarlo la capital del juego de azar, al tomar una ruleta como un generador simple denmeros aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemtico de los Mtodos de Monte

Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013 3

Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

Carlo datan aproximadamente de 1944, coincidiendo con el desarrollo del ordenador.El uso real de los mtodos de Monte Carlo como una herramienta de investigacinviene del trabajo en torno a la bomba atmica durante la Segunda Guerra Mundialen el laboratorio estadounidense de Los lamos. A partir de este momento, debidoa la rpida evolucin de los ordenadores, comenz a usarse en diversos campos dela ciencia.

El mtodo de Monte Carlo en Electrnica consiste en un tratamiento microscpi-co mediante el cual se estudia la dinmica [5], [6] de los portadores que se mueven enel interior de un material semiconductor sometidos a la accin de un campo elctricoauto-consistente y de la red cristalina. Un portador en un cristal con cierta masaefectiva se vera acelerado uniformemente por el campo elctrico. Ahora bien, dentrodel mismo existen impurezas y vibraciones de los tomos de la red que provocan quelos electrones sufran colisiones, llamadas mecanismos de scattering, haciendo queestos tengan una velocidad promedio constante y no se aceleren indenidamente.

A continuacin se expone una breve descripcin del simulador Monte Carlo uti-lizado, pudindose encontrar anlisis ms detallados del mismo en trabajos de TesisDoctoral desarrollados en el Grupo de Investigacin en Dispositivos Semiconductoresde la Universidad de Salamanca [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13].

Para obtener valores de diferentes magnitudes fsicas que obedecen distribucionesde probabilidad muy complicadas, haremos uso de funciones de distribucin pseudo-aleatorias. La esencia del mtodo de Monte Carlo es la manipulacin de distribu-ciones de probabilidad complejas mediante nmeros aleatorios uniformemente dis-tribuidos entre 0 y 1. Este procedimiento es lo que se conoce como mtodo de MonteCarlo [14] y se detalla a continuacin.

2.1.1. Mtodo de Monte Carlo

Sean p() y p(r) las densidades de probabilidad normalizadas asociadas a la dis-tribucin fsica compleja y pseudo-aleatoria respectivamente. En general, podemosestablecer la identidad

0

p()d

=

r0

p(r)dr

(1)

Utilizando una distribucin uniforme p(r) = 1, para r comprendido entre 0 y 1,obtenemos la siguiente expresin

r =

0

p()d

= (r) (2)

De este modo, la inversin de esta expresin nos proporciona valores aleatorios de a partir de valores de r, siendo r un nmero aleatorio uniformemente distribuidoentre 0 y 1. En el caso de que la integral de la Ecuacin 2 sea imposible de evaluaranalticamente o de que la expresin resultante no se pueda invertir, existen ciertastcnicas para poder realizar la inversin, destacando el mtodo de rechazo [15].

4 Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013

S. Garca

El mtodo de rechazo fue propuesto por John von Neumann y puede ser aplicadosi se cumple que:

(a) La variable slo toma valores en el intervalo [a, b].

(b) La funcin de densidad f(x) est acotada dentro de un rectngulo de altura c:

g(x) =

{ c, x [a, b]0, en otro caso

Si las dos condiciones indicadas se cumplen, entonces los valores de una variablealeatoria se simulan empleando el siguiente procedimiento. En primer lugar, gene-ramos dos nmeros aleatorios con distribucin uniforme U1 y U2, donde U1 deberestar comprendido dentro del intervalo [a, b] y U2 dentro del intervalo [0, c]. Comose observa en la Figura 1, los valores de U1 y U2 denen un punto P de coordenadas(U1, U2), que estar incluido dentro del rectngulo en el que la funcin de densidadde probabilidad ha sido acotada. En segundo lugar, aplicaremos el siguiente criterio.Si el punto que hemos obtenido es tal que P se encuentra dentro del rea que cubref(x), entonces x vendr dado por x = U1, desprecindose el punto en caso contrario,es decir, si P se encontrara fuera del rea cubierta por la funcin densidad. De estaforma los valores de x siguen la distribucin f(x).

Figura 1: Esquema de la tcnica de rechazo.

El mtodo de Monte Carlo ser utilizado en la simulacin cada vez que sea precisoobtener una magnitud que depende de una distribucin de probabilidad compleja,como para el clculo de la duracin del recorrido libre, la determinacin del estadonal de la partcula tras un mecanismo de scattering, o la eleccin de los mecanismosde scattering.

Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013 5

Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

2.1.2. Diagrama de bloques

Para realizar el estudio de estructuras con dimensiones nitas y no homogneas(como sern los diodos que se estudiarn en este trabajo) utilizamos un simuladorMonte Carlo de dispositivos. Se simula un conjunto de partculas durante un tiemposucientemente largo bajo la accin de un campo elctrico auto-consistente, que seactualiza cada cierto paso temporal resolviendo la ecuacin de Poisson de acuerdocon la posicin de los portadores y la distribucin del dopaje. De esta forma, losresultados de la simulacin pueden considerarse continuos en el tiempo. Adems esnecesario un mallado espacial lo sucientemente no, tal y como se explicar enla seccin 2.3 de este trabajo, pudiendo considerarse que la solucin tambin escontinua en el espacio.

Una desventaja de este mtodo es que precisa potentes ordenadores para abor-dar todas las operaciones de clculo en un tiempo aceptable. Uno de los consumosmayores es el tiempo requerido para poder obtener el valor del campo elctrico encada una de las celdas que denen el dispositivo electrnico, para lo que es nece-sario resolver la ecuacin de Poisson, cuya resolucin matemtica se describir enla siguiente subseccin. En la Figura 2 se muestra el diagrama de ujo de la simu-lacin Monte Carlo de dispositivos. Inicialmente se suele comenzar con valores delcampo nulos que se actualizan en el primer paso temporal. La base del mtodoconsiste en simular la nube de electrones durante un nmero NI de iteraciones. Encada iteracin (donde se simula el comportamiento de cada uno de los electronesde la nube durante un intervalo de tiempo dt) se actualiza el potencial y el campoelctrico resolviendo la ecuacin de Poisson [caso que estudiaremos en este trabajoempleando distintos mtodos matemticos [4]: factorizacin LU, mtodo de Jacobi,mtodo de Gauss-Seidel y mtodo de relajacin (SOR)]. Se tienen tambin en cuentalos portadores que salen y entran por los contactos. El campo elctrico cambia deuna malla a otra. Por ello, cada vez que se determina la duracin de un recorridolibre es preciso calcular si el mecanismo de scattering tiene lugar despus de que elportador cambie de celda o de que termine el paso temporal (tiempo de simulacinen una iteracin), puesto que de ser as, en parte de ese recorrido sera otro campoel responsable de su aceleracin.

2.1.3. Caractersticas de nuestro simulador Monte Carlo

En la Electrnica actual las reducidas dimensiones (submicromtricas e inclusonanomtricas) de los dispositivos son tales que las tcnicas clsicas utilizadas parasu estudio, basadas en la resolucin de ecuaciones diferenciales (correspondientesa modelos de transporte ms o menos sosticados, como deriva-difusin o hidrodi-nmico) no permiten un anlisis completo de su comportamiento. El mtodo MonteCarlo se basa en un modelo completamente microscpico, por lo que precisa de unaenorme potencia de clculo frente a los otros mtodos, pero con grandes ventajasrespecto a ellos: incluye el detalle de los mecanismos de scattering (impurezas, plas-mones, ptico polar, ptico no polar, acstico, aleacin, piezoelctrico, dislocacionesy autoscattering), efectos de portadores calientes, transporte no estacionario y bals-

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Figura 2: Diagrama de ujo de la simulacin Monte Carlo de dispositivos.

tico (fundamental en dispositivos nanomtricos) de modo intrnseco y es apropiadopara anlisis del ruido y uctuaciones. Existe un consenso entre aquellos que sededican a la modelizacin y simulacin de dispositivos electrnicos en que las tc-nicas Monte Carlo son las ms adecuadas para abordar el problema del transporteen dispositivos submicromtricos y nanomtricos, en especial porque son capacesde proporcionar resultados muy detallados sobre el comportamiento dinmico y de

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Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

ruido de los dispositivos. En la actualidad, el rea de Electrnica del Departamentode Fsica Aplicada de la USAL dispone de un potente simulador Monte Carlo de dis-positivos (Figura 3), consistente en el acoplamiento de una resolucin bidimensionalde la ecuacin de Poisson con un simulador ensemble Monte Carlo de la dinmica delos portadores. Se trata de una herramienta muy completa ya que en los ltimos 20

Figura 3: Anlisis de un HEMT con el simulador Monte Carlo de dispositivos.

aos cada uno de los investigadores del grupo ha ido incorporando subroutinas paramodelizar diferentes fenmenos fsicos. Dicho programa, desarrollado en FORTRAN,se viene utilizando con excelente rendimiento para el estudio de una gran diversidadde dispositivos. En particular se han estudiado diodos Schottky, diodos Gunn, MES-FETs, HEMTs, MOSFETs, nanodispositivos balsticos (YBJs, TBJs, BR y BDT),etc. (Figura 4), basados en diversas familias de semiconductores III-V (GaAs, InP,InGaAs, InAs, GaN,...).

Como es habitual en el mtodo cientco se intenta, en la medida de lo posible,comparar nuestros resultados con medidas experimentales proporcionadas por losgrupos internacionales con los que colaboramos.

Para la realizacin de las simulaciones de este trabajo de Mster se ha empleadoun cluster Linux. Consta de 3 nodos con 2 CPUs Intel Xeon ES-2680 con 8 cores a2.7 GHz (32 Gb RAM). El compilador es el Intel R Fortran Compiler 10.1.011 paraLinux.

2.2. Resolucin de la ecuacin de Poisson

En esta subseccin estudiaremos una posible forma de discretizar en el espacioy resolver la ecuacin de Poisson en 2D dada la dicultad que conlleva la obtencinde una solucin analtica que puede ser atribuida a la complejidad natural de laecuacin diferencial o a las dicultades que pueden ocurrir con las condiciones decontorno.

8 Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013

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Figura 4: Estructuras que se pueden estudiar con el simulador Monte Carlo dedispositivos del Grupo de Investigacin en Dispositivos Semiconductores de la USAL.

Para abordar este tipo de problemas se utilizan aproximaciones numricas queproporcionan una solucin en puntos discretos, llamados elementos. Dentro de estasaproximaciones numricas se tienen dos posibles procedimientos [2], [3]: mtodo delos elementos nitos y mtodo de las diferencias nitas.

2.2.1. Mtodo de los elementos nitos

La idea general de este mtodo es la divisin de un continuo en un conjuntode pequeos elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos. Lasecuaciones que rigen el comportamiento del continuo regirn tambin el del elemento.De esta forma se consigue pasar de un sistema continuo (innitos grados de libertad),que es regido por una ecuacin diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales,a un sistema con un nmero de grados de libertad nito cuyo comportamiento semodela mediante un sistema de ecuaciones, lineales o no.

El mtodo de los elementos nitos supone, para solucionar el problema, el do-minio discretizado en subdominios denominados elementos. El dominio se dividemediante puntos (en el caso lineal), mediante lneas (en el caso bidimensional) osupercies (en el tridimensional) imaginarias, de forma que el dominio total en estu-dio se aproxime mediante el conjunto de porciones (elementos) en que se subdivide.Los elementos se denen por un nmero discreto de puntos, llamados nodos, queconectan entre si los elementos. Sobre estos nodos se materializan las incgnitas fun-damentales del problema. En la Figura 5(a) se presenta la tcnica de discretizacinespacial empleando elementos nitos. Cada tringulo, que es denido por tres lineas,es un elemento.

Ventajas del mtodo de elementos nitos

Mtodo de propsito general

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Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

Mtodo bien establecido Requiere solo la integracin de funciones simples No requiere mallas estructuradas Matrices simtricas y por bandas

Desventajas del mtodo de diferencias nitas

Requiere funcionales o de aplicacin de residuos ponderados Requiere mallas en el dominio Requiere el renamiento de la malla Debe modelar el dominio y el contorno

2.2.2. Mtodo de las diferencias nitas

Este mtodo consiste en una aproximacin de las derivadas parciales por expre-siones algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado nmerode nodos seleccionados. Como resultado de la aproximacin, la ecuacin diferencialparcial que describe el problema es reemplazada por un nmero nito de ecuacionesalgebraicas, en trminos de los valores de la variable dependiente en los nodos selec-cionados. El valor de los nodos seleccionados se convierten en las incgnitas. En laFigura 5(b) se presenta la tcnica de discretizacin espacial empleando diferenciasnitas. Se aproxima el problema a resolver por mallas estructuradas (cuadrados paraeste ejemplo) y se calculara el valor de la variable (incgnitas) en los nodos.

Ventajas del mtodo de elementos nitos

Muy simple de utilizar No requiere integracin numrica Est muy maduro Genera matrices dispersas Matrices simtricas y por bandas

Desventajas del mtodo de diferencias nitas

Requiere mallas estructuradas Difcil representacin de las condiciones de contorno

A continuacin se explica el mtodo usado para determinar el valor del campoelctrico en cada una de las mallas que conforman el dispositivo electrnico, queser necesario para obtener la dinmica de los portadores dentro del semiconductor.Para ello es necesario resolver la ecuacin de Poisson

[0s(r, t)] = (r, t), (3)

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Figura 5: Discretizacin espacial. (a) Elementos nitos, (b) diferencias nitas.

donde es el potencial elctrico en cada punto, la densidad de carga, 0 la cons-tante dielctrica del vaco y s la permitividad relativa esttica. Para resolver estaecuacin empleamos el mtodo de las diferencias nitas, siendo necesaria la dis-cretizacin del dispositivo electrnico estudiado en un mallado de n columnas y mlas. Este mallado no tiene por qu ser uniforme, lo que facilitar una mejor res-olucin del campo elctrico en aquellos lugares en los que su inhomogeneidad seams pronunciada. La ecuacin de Poisson en el caso bidimensional se puede expresarcomo

2

x2+2

y2= (x, y)

0s, (4)

donde s es constante en cada malla.Nuestro sistema tendr nm mallas de distintos tamaos y (n+1)(m+1) nodos.

La resolucin de la ecuacin de Poisson se lleva a cabo en dos fases. Una primerade asignacin de carga, donde se calculan las densidades de carga elctrica que seatribuyen a los nodos del dispositivo [6], las cuales se emplearn en la segunda fase,que consiste en la resolucin del sistema de ecuaciones resultantes de la discretizacinde la Ecuacin 4. Aplicando la discretizacin (mtodo de diferencias centradas) yresolviendo el sistema resultante se determinan los potenciales asociados a cada unode los nodos.

En la Figura 6 se observa el esquema que se emplea para resolver la ecuacin dePoisson. Con esta tcnica se calcula el potencial asociado a cada uno de los nodosdel mallado y el campo elctrico asociado a cada una de las celdas. Aplicando ladiscretizacin a la Ecuacin 4, se obtiene como resultado

i,j12(xn+xn1)

ym1+ i1,j

2(ym+ym1)xn1

+ i+1,j2(ym+ym1)

xn+ i,j+1

2(xn+xn1)ym

i,j2[(xn + xn1)

(1

ym+ 1

ym1

)+ (ym + ym1)

(1

xn+ 1

xn1

)]=

(n1,m1xn1ym1

n1,m1+ n,m1xnym1

n,m1+ n,mxnym

n,m+ n1,mxn1ym

n1,m

).

(5)

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Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

Figura 6: Esquema para la resolucin de la ecuacin de Poisson. Mtodo de lasdiferencias centradas.

Es de resaltar que los potenciales son magnitudes asociadas a los nodos (subndices i,j ) mientras que las permitividades y las densidades de carga se corresponden con lasceldas (subndices n, m) de la discretizacin. Aplicando esta discretizacin a todoslos nodos de la red se obtienen (n+1)(m+1) ecuaciones lineales. Dado que se tratade un sistema pentadiagonal donde todos los elementos de la diagonal son distintosde 0 (i, i [1, ((m+1)(n+1))2], Aii 6= 0) (Figura 7) se podrn emplear distintos

Figura 7: Representacin matricial. Matriz pentadiagonal.

mtodos matemticos mediante los cuales se obtendr el valor de los potenciales encada uno de los nodos. En este trabajo se estudiarn cuatro mtodos matemticos,

12 Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013

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siendo estos como ya se ha comentado previamente el mtodo directo LU y losmtodos iterativos de Jacobi, Gauss-Seidel y sobre-relajacin sucesiva (SOR) [2], [3]que sern explicados ms adelante en esta memoria.

Una vez hallado el potencial en cada nodo, se calcula el campo elctrico asociadoa cada una de las mallas por medio de la Ecuacin 6 y la Ecuacin 7, donde se hanpromediado los valores en el contorno de la celda.

En,mx = x = 1

2

(i+1,j+1 i,j+1

xn+i+1,j i,j

xn

), (6)

En,my = y = 1

2

(i,j+1 i,j

ym+i+1,j+1 i+1,j

ym

). (7)

Se destaca el aspecto dinmico y auto-consistente de la simulacin, y que staproporciona una solucin continua en el tiempo y en el espacio (se actualiza el campoelctrico en cada posicin y en cada paso temporal dt).

2.3. Parmetros fsicos para la simulacin

Para que una simulacin Monte Carlo reproduzca el comportamiento del dispo-sitivo de forma correcta, es necesario que se satisfagan dos condiciones:

El paso temporal est limitado por el inverso de la frecuencia de plasma fp[16] y por el tiempo de relajacin dielctrico d [17], tenindose que vericarque fpdt < 2 y dt < d.

El tamao de las mallas tiene que ser siempre menor que la longitud de Debye[8], [13]

d =

0rkBT

q2n, (8)

siendo q el valor absoluto de la carga del electrn, kB la constante de Boltz-mann, T la temperatura, 0r la permitividad del material y n la concentracinde portadores.

La longitud de Debye es la distancia por encima de la cual puede existir una variacinsignicativa de distribucin de carga. En otras palabras, la interpretacin precisa dela longitud de Debye se encuentra en la solucin de la ecuacin de Poisson

2 = Nq2

kBT0r, (9)

lo que resulta sencillo en coordenadas esfricas debido a la simetra central del prob-lema

(r) =Q0

40r

e(r/d)

r. (10)

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Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

La longitud de Debye es la distancia a la cual el potencial elctrico de la cargaapantallada cae a 1/e del potencial que corresponda a una nica carga puntual Q0

Por lo tanto, parece evidente que la distancia entre nodos del mallado, dondese quiere estudiar las variaciones de carga, ha de ser menor que la longitud deDebye (d). Un ejemplo de ello es la redistribucin de portadores en la interfazentre dos regiones con diferentes impuricaciones. La difusin de portadores a laregin de menor dopaje crea un exceso de portadores que en equilibrio disminuye atravs de una regin en el espacio hasta la concentracin mayor con comportamientoaproximadamente exponencial.

3. Mtodos de resolucin de la ecuacin de Poisson.Anlisis y comparacin de resultados

En este captulo se estudian distintos mtodos matemticos para resolver el sis-tema de ecuaciones dado por la discretizacin de diferencias nitas (Ecuacin 5).Para abordar este tipo de problemas matemticos y dado que se trata de unaecuacin elptica, los mtodos tpicos que se utilizan son [4]:

Mtodos matriciales directos: gradiente conjugado, basados en eliminacinGaussiana y en factorizacin (LU).

Mtodos rpidos: de Fourier y de relajacin cclica.

Mtodos de relajacin: Jacobi, Gauss-Seidel, sobre-relajacin sucesiva (SOR)e implcito de direccin alternante.

En esta memoria se estudiar un mtodo matricial directo: factorizacin LU, y tresmtodos de relajacin: Jacobi, Gauss-Seidel y sobre-relajacin sucesiva (SOR).

Destacamos el carcter pentadiagonal de la matriz (Figura 7) y tambin quetodos los elementos de su diagonal son distintos de 0, lo que les hace idneos para laresolucin de nuestro problema: obtener el potencial en cada nodo para cada pasotemporal dt. En el cdigo del simulador Monte Carlo, Figura 8, se implementarnestos 4 mtodos en el bloque correspondiente a la resolucin de la ecuacin de Poissony clculo del campo elctrico.

3.1. Mtodos de resolucin de la ecuacin de Poisson

3.1.1. Mtodos matriciales directos: factorizacin LU

La descomposicin o factorizacin LU [4], [18] (tambin conocida en la literaturaespecializada como factorizacin triangular) busca expresar una matriz cuadradaregular como producto de una triangular inferior con valores unitarios en la diagonal,L, y otra triangular superior en la que en la diagonal no necesariamente tiene que

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Figura 8: Diagrama de ujo de la simulacin Monte Carlo de dispositivos. Bloquedonde se deben implementar los diferentes mtodos iterativos.

haber nmeros 1, U. La denominacin LU est motivada por los trminos lower(inferior) y upper (superior) que describen los factores triangulares.

Su utilidad inmediata, aparte de que bajo ciertas circunstancias almacenar unamatriz dispersa por ejemplo, en forma factorizada necesita menos posiciones dememoria que en forma compacta, radica en que para resolver un sistema de ecua-ciones lineales Ax = b, si A = LU , el problema se reduce a resolver dos sistemas deecuaciones triangulares.

Una forma de conseguir esta factorizacin LU la constituye la propia eliminacinde Gauss, que reduce la matriz original a una triangular superior mediante unas per-mutaciones y unas transformaciones denidas por una matriz elemental triangularinferior que tiene 1 en la diagonal.

El sistema Ax = b es por tanto L(Ux) = b. En este punto se introduce una nuevavariable (por sustitucin) y = Ux, obteniendo as el nuevo sistema Ly = b.Una vez en este punto, se resuelve dicho sistema para la variable y mediante sustitu-cin hacia adelante. Como paso nal, usamos sustitucin hacia atrs para resolver elsistema Ux = y. Es destacable, que los sistemas Ly = b y Ux = y son relativamentefciles de resolver dado que se trata de matrices de coecientes triangulares inferioresy superiores. Este hecho tiene una importancia indudable cuando se requiere resolversistemas de ecuaciones en los que la matriz A es siempre la misma y lo nico quecambia es el trmino independiente. Este mtodo proporciona un resultado exactode la variable x salvo errores de redondeo, que resultan controlables mediante el usode nmeros de doble precisin. A continuacin se muestra un ejemplo.

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Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

Sea una matriz cuadrada 3 3, A:

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Esquemticamente se busca lo siguiente:

L =

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

, U = u11 u12 u130 u22 u23

0 0 u33

.Debido a que A = LU , al encontrar L y U a partir de A no se altera en nada laecuacin y por lo tanto se tiene que:

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= 1 0 0l21 1 0

l31 l32 1

u11 u12 u130 u22 u230 0 u33

.Si se aplica sustitucin mediante una nueva variable y = Ux, se obtiene:

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

y1y2y3

= b1b2

b3

,encontrando por lo tanto:

y1 = b1 y1 (11)

l21y1 + y2 = b2 y2 (12)

l31y1 + l32y2 + y3 = b2 y2 (13)

El siguiente paso consiste en resolver el siguiente sistema algebraico usando sustitu-cin hacia atrs, encontrando as, la solucin buscada. y1y2

y3

= u11 u12 u130 u22 u23

0 0 u33

x1x2x3

,u33x3 = y3 x3 (14)

u22x2 + u23x3 = y2 x2 (15)

u11x1 + u12x2 + u13x3 = y1 x1 (16)

Este procedimiento ser aplicado a las matrices A con las que se trabajar pararesolver la ecuacin de Poisson.

16 Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013

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3.1.2. Mtodos de relajacin

Mtodo de Jacobi

El siguiente mtodo considerado ser el que Carl Gustav Jacobi (1804-1851)desarroll en 1845 [4], [18]. Su mecnica es muy sencilla. Imaginemos que sedesea resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (17)

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 (18)

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3. (19)

Admitiendo que los coecientes aii son distintos de cero, se puede despejar dela Ecuacin 17, la incgnita x1, de la Ecuacin 18 la segunda x2 y x3 de laEcuacin 19, resultando:

x1 =1

a11(b1 a12x2 a13x3) (20)

x2 =1

a22(b2 a21x1 a23x3) (21)

x3 =1

a33(b3 a31x1 a32x2). (22)

Estas expresiones sugieren emplear como mtodo iterativo el que denen lassiguientes relaciones de recurrencia:

xk+11 =1

a11(b1 a12xk2 a13xk3) (23)

xk+12 =1

a22(b2 a21xk1 a23xk3) (24)

xk+13 =1

a33(b3 a31xk1 a32xk2). (25)

La generalizacin de esta idea es la base del mtodo iterativo de Jacobi. Losvectores en cada iteracin (para un sistema cuadrado n n, suponiendo queaii 6= 0 y que 1 i n) se generan de la forma siguiente:

xk+1i =nj=1j 6=i

(aijx(k)jaii

)+biaii. (26)

El algoritmo que representa el procedimiento iterativo de Jacobi para resolverel sistema de ecuaciones, parte de un punto inicial x0 dado.

Escrito de forma matricial tenemos que si se descompone la matriz de coe-cientes del sistema, A, de la forma A = D + L + U , donde D es la matrizdiagonal formada por los elementos de la diagonal principal de A, y L y U las

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matrices triangulares inferiores y posteriores con ceros en la diagonal principal,se encuentra que el esquema iterativo del mtodo de Jacobi es:

x(k+1) = D1(L+ U)x(k) +D1b. (27)

Para la matriz A33 denida con anterioridad se tiene:

D =

a11 0 00 a22 00 0 a33

, L = 0 0 0a21 0 0

a31 a32 0

, U = 0 a12 a130 0 a23

0 0 0

.Si todos los elementos aii, a = 1, ..., n son no nulos, la matriz D es invertible.

A la matriz J = D1(L+ U) se la denomina matriz de Jacobi.La decisin de parar el proceso iterativo se puede basar en cualquier criterioque se estime adecuado, destacando los siguientes:

Criterio 1 (C1): el nmero de iteraciones r requerido para reducir el erroren un factor 10p partiendo de una solucin inicial arbitraria es:

r 12pJ2. (28)

El nmero de iteraciones es proporcional a J2, con J la dimensin dela matriz. Cuando se tengan matrices cuyas dimensiones sean mayores a100 100 el mtodo de Jacobi ser muy lento. Criterio 2 (C2): se puede forzar a que la parada se produzca cuando:

||x(k) x(k1)||||xmax||

< TOL, (29)

donde el subndice hace referencia a que la condicin se ha de cumplirpara todos los nodos. En este caso el error est referido a la diferenciaentre dos iteraciones consecutivas, pero no respecto de la solucin exacta.

Mtodo de Gauss-Seidel

Una mejora del algoritmo de Jacobi es el mtodo de Gauss-Seidel [4]. Admi-tiendo que la solucin x(k+1)i es una mejor aproximacin que x

(k)i , de la solucin

real, se podra plantear emplear soluciones de la ecuacin i en la iteracin k+1para determinar las soluciones de x(k+1)j con j > i. Esto es, en vez de emplear en

la iteracin k+ 1 todas las soluciones de la iteracin anterior x(k)i (1 i n),se emplearn los valores recientemente calculados en la iteracin k + 1 (losx

(k+1)i ). En tal caso la frmula de recurrencia ya no ser la expresada en la

Ecuacin 26, sino la siguiente:

xk+1i =i1j=1

(aijx(k+1)j

aii

)+

nj=i+1

(aijx(k)jaii

)+biaii. (30)

18 Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013

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Escrito de forma matricial y considerando, al igual que en el mtodo de Jacobi,la descomposicin de la matriz A = D+L+U , dondeD es la matriz diagonal, yL y U las matrices triangulares inferiores y posteriores con ceros en la diagonalprincipal, se encuentra:

x(k+1) = (L+D)1(U)x(k) + (L+D)1b, (31)

donde J = (L+D)1(U).Para parar el proceso iterativo se consideran, al igual que en el mtodo deJacobi, dos alternativas

Criterio 1 (C1): el nmero de iteraciones r requerido para reducir el erroren un factor 10p partiendo de una solucin inicial arbitraria es:

r 14pJ2. (32)

El nmero de iteraciones es reducido un factor 2 con respecto al mtodode Jacobi.

Criterio 2 (C2): la condicin explicada en el mtodo de Jacobi, que secorresponde con la Ecuacin 29.

Mtodo de sobre-relajacin (SOR)

Este mtodo de relajacin emplea el concepto de vector residual [4], que sedene:

r(k+1)i = x

(k+1)i x

(k)i , (33)

x(k+1)i = x

(k)i + r

(k+1)i , (34)

donde x(k+1)i y x(k)i pueden ser las soluciones de la ecuacin i dadas por el mto-

do de Jacobi o por el de Gauss-Seidel. Evidentemente, se espera de cualquiermtodo que el residual converja a cero con k .En contra de lo que cabra pensar en un principio con respecto a la expresinde la Ecuacin 34, reducir el residual r(k+1)i a cero, podra no acelerar el pro-ceso de convergencia. Ntese que el residual est referido a la diferencia entredos iteraciones consecutivas, pero no respecto de la solucin exacta. De he-cho, residuales pequeos podran ralentizar la convergencia. Por el contrario,modicando la Ecuacin 34 segn

x(k+1)i = x

(k)i + r

(k+1)i , (35)

con ciertos / > 0, conducir a una mejora sustancial de la velocidad deconvergencia. Uno de los criterios para la convergencia del mtodo de relajacinSOR es que es parmetro de relajacin cumpla las desigualdades:

0 < < 2. (36)

A los mtodos donde 0 < < 1 se les llama de sub-relajacin. A los mtodos donde > 1 se les llama de sobre-relajacin

Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013 19

Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

Bajo ciertas restricciones matemticas generalmente derivadas/satisfechas pormatrices resultantes de mtodos de diferencias nitas, slo sobre-relajacin(1 < < 2) puede converger ms rpido que Gauss-Seidel. En este caso, elvalor de tiene que ser:

21 + /J

. (37)

Para parar el proceso iterativo en este mtodo se consideran los criterios sigu-ientes:

Criterio 1 (C1): el nmero de iteraciones r requerido para reducir el erroren un factor 10p partiendo de una solucin inicial arbitraria es:

r 13pJ. (38)

El nmero de iteraciones es lineal con J.

Criterio 2 (C2): la condicin explicada en el mtodo de Jacobi, que secorresponde con la Ecuacin 29.

3.2. Anlisis de resultados

En esta subseccin se presentan los resultados obtenidos por medio de simu-laciones Monte Carlo de dispositivos, usando los mtodos iterativos explicados an-teriormente y bajo diferentes hiptesis comparndolos con el mtodo directo LU.

3.2.1. Estructura simulada

En la Figura 9 se muestra el esquema de la geometra de la estructura verticalsimulada: diodo con notch (n+nnn+). El notch consiste en una zona poco dopadapara localizar el campo elctrico y poder generar dominios de acumulacin de cargacontroladamente. Esta estructura tiene dos zonas n+ actuando como contactos, que

Figura 9: Esquema y geometra de la estructura simulada.

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tendrn una longitud ja para todas las simulaciones. La zona n+1 tiene una longitudde 100 nm y la zona n+2 tiene una longitud de 300 nm. La asimetra entre ambas esdebida a que mientras que la regin n+1 est siempre en equilibrio, para polarizacioneselevadas los electrones entran en la regin n+2 con energas altas y muchos estn envalles superiores, siendo necesaria cierta distancia para que desciendan al valle y termalicen antes de llegar al contacto hmico del nodo. El notch n tiene 250nm y la zona activa n tiene una longitud de 650 nm. La dimensin vertical de laestructura simulada es de 50 nm (irrelevante en los resultados). Se considera unaimpuricacin en el diodo de n+ = 1 1024 m3, n = 2 1022 m3 y n = 1 1023m3. Se estudia una estructura con 20 mallas verticales (2 50,0 nm, 3 83,333nm, 10 65,0 nm y 5 60,0 nm) y el nmero de mallas horizontales (MH) variaren funcin del caso a estudiar.

Se estudiar la caracterstica I-V y el perl de potencial elctrico de un diodovertical de GaAs como el descrito (analizando el tiempo de simulacin requerido)para los siguientes casos:

Diodo discretizado con un mallado horizontal (MH = 2) en funcin de laprecisin (p) del mtodo iterativo (C1).

Diodo discretizado con un mallado horizontal de MH = 3, 4, o 5 para lamisma precisin (p = 4) del mtodo iterativo (C1).

Diodo discretizado con un mallado horizontal (MH = 5) cuando se considerael criterio iterativo (C2) con una tolerancia (TOL = 10(p+1), con p = 4).

Los cheros de entrada que se le proporcionan al simulador Monte Carlo dedispositivos han sido creados por medio de un interfaz grca de usuario que disponeel Grupo de Investigacin en Dispositivos Semiconductores de la USAL (proyecto nde carrera de ITIS que fue desarrollado en el ao 2011) [19]. Esta interfaz proporcionaun chero de entrada en formato ASCII, en el que se recogen los datos del dispositivoen cada celda del mallado utilizado para resolver la ecuacin de Poisson. Otroscheros necesarios para abordar la simulacin son los correspondientes a los datosdel material involucrado en la denicin del dispositivo electrnico, adems de unchero donde se indica el potencial que se aplicar entre extremos del diodo y otrochero que recoge los mecanismos de scattering que se tendrn en consideracin.

3.2.2. Anlisis de resultados en funcin de la precisin (p) del mtodoiterativo para MH = 2 usando el criterio de convergencia (C1)

Para abordar este apartado, como se acaba de indicar, se considera un diodocon 2 mallas horizontales. Recurdese que el criterio de convergencia (C1) se aplicacuando se desea reducir el error en un factor 10p, donde el nmero de iteraciones rrequerido para reducir el error en dicho factor es r 1

2pJ2 en el mtodo de Jacobi,

r 14pJ2 en el mtodo de Gauss-Seidel y r 1

3pJ en el mtodo de sobre-relajacin

(SOR). Se destaca que este nmero de iteraciones es el necesario para encontrar la

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Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

solucin de la ecuacin de Poisson cuando se parte de una solucin arbitraria, x0

inicial, del potencial en cada nodo, que en las simulaciones ha sido de 1 V.

Mtodo de Jacobi frente a factorizacin LU

La Tabla 1 recoge el nmero de veces que ha de iterar el mtodo de Jacobipara obtener una solucin que converja en funcin de p teniendo en cuenta elcriterio 1 (C1).

p 1 2 3 4 5r 1984 3969 5953 7938 9922

Tabla 1: Mtodo de Jacobi. Nmero de iteraciones en funcin de p (C1) y MH = 2.

En la Figura 10 (a) se representa la densidad de corriente frente al potencialaplicado entre extremos del diodo.

Figura 10: Mtodo de Jacobi frente a factorizacin LU, (C1). (a) Densidad de corri-ente frente al potencial aplicado. En el recuadro se representa el tiempo de simulacinen funcin de p. (b) Potencial frente a la posicin para una polarizacin de 1.2 V.

p, p [1, 5] se obtiene prcticamente la misma caracterstica I-V en compara-cin con el resultado logrado tras resolver la ecuacin de Poisson por medio delmtodo de factorizacin LU. Esta caracterstica presenta un comportamientolineal para tensiones bajas. La corriente tiende a saturar debido al comienzode los mecanismos de transferencia intervalle que ocurren en el dispositivo.

En el recuadro de la Figura 10 (a) se representa con un diagrama de barras eltiempo requerido para efectuar la simulacin empleando el mtodo de MonteCarlo. Resolviendo la ecuacin de Poisson mediante el mtodo de factorizacinLU se logra el menor tiempo de simulacin.

Por el contrario, si se utiliza el mtodo de Jacobi se observa que el valor dep (que marcar la precisin del resultado) tiene un peso muy importante en

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el tiempo de simulacin, observndose un comportamiento lineal creciente amedida que p es mayor. En este mtodo y para esta estructura, considerarp = 1 proporciona buen resultado de la caracterstica I-V.

En la Figura 10 (b) se representa el potencial medio frente a la longitud deldispositivo cuando se aplica entre extremos del diodo una tensin V = 1,2 Vdonde, de nuevo se observa que el mtodo iterativo de Jacobi proporciona unresultado correcto para todos los valores de p.

Mtodo de Gauss-Seidel frente a factorizacin LU

En la Tabla 2 se presenta el nmero de iteraciones r en funcin de p (C1) enel Mtodo de Gauss-Seidel.

p 1 2 3 4 5r 992 1984 2976 3969 4961

Tabla 2: Mtodo de Gauss-Seidel. Nmero de iteraciones en funcin de p (C1) yMH = 2.

En la Figura 11 (a) y (b) se representa, al igual que en el caso anterior ladensidad de corriente frente al potencial aplicado entre extremos del diodoy el potencial medio frente a la longitud del dispositivo cuando V = 1,2 V,respectivamente.

Figura 11: Mtodo de Gauss-Seidel frente a factorizacin LU, (C1). (a) Densidadde corriente frente al potencial aplicado. En el recuadro se representa el tiempo desimulacin en funcin de p. (b) Potencial frente a la posicin para una polarizacinde 1.2 V.

Este mtodo proporciona el mismo resultado que la factorizacin LU, con laventaja de una reduccin en el tiempo empleado para realizar la simulacinMonte Carlo, en comparacin con la tcnica de Jacobi.

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Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

p, p [1, 5] se obtienen tiempos de simulacin superiores al logrado conla factorizacin LU. Se cumple tambin la tendencia lineal en el tiempo desimulacin cuando se desea obtener mayor precisin, dicho de otra forma, amedida que p aumenta (cuando se desea mayor precisin en la solucin).

En comparacin con la tcnica de Jacobi, el mtodo de Gauss-Seidel propor-ciona una disminucin en el tiempo de clculo considerable.

Mtodo de Sobre-relajacin sucesiva (SOR) frente a factorizacin LU

A continuacin se presentan los resultados cuando se considera el mtodode sobre-relajacin (SOR), para el cual se ha considerado que = 1,905(Ecuacin 29). Al igual que en los dos mtodos anteriores, se presenta el nmerode iteraciones r en funcin de p (C1) para el mtodo SOR, ver Tabla 3.

p 1 2 3 4 5r 21 42 63 84 105

Tabla 3: Mtodo de Sobre-relajacin sucesiva (SOR). Nmero de iteraciones en fun-cin de p (C1) y MH = 2.

Si nos centramos en la caracterstica I-V, Figura 12 (a), se observa que ladensidad de corriente no es igual en todos los casos: para p = 1 se obtieneun resultado que no se corresponde con la caracterstica encontrada con latcnica de factorizacin LU. Si se reduce el error en un factor 0,01 (p = 2) la

Figura 12: Mtodo de Sobre-relajacin sucesiva (SOR) frente a factorizacin LU,(C1). (a) Densidad de corriente frente al potencial aplicado. En el recuadro se rep-resenta el tiempo de simulacin en funcin de p. (b) Potencial frente a la posicinpara una polarizacin de 1.2 V.

caracterstica I-V s coincide en la zona lineal pero en la zona de saturacin nose obtiene el resultado esperado. Se ha comprobado que para otros parmetrosde ( = 1,2 y = 1,5) y otros valores de x0 tampoco se alcanzan valores

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correctos de la I V ni para p = 1 ni para p = 2. Para p = 3 s se obtiene lasolucin deseada tanto para la zona lineal como para la de saturacin.

Con respecto al potencial frente a la longitud del diodo cuando entre extremosdel mismo se aplica un potencial V = 1,2 V (Figura 12 (b)), se observa quepara p 2 se obtiene el resultado correcto.En lo relativo al tiempo de clculo, la simulacin naliza en un tiempo detLU = 5687 s (magnitud ms pequea) si se emplea factorizacin LU. Si secompara el tiempo tras emplear factorizacin LU con los correspondientes trasutilizar el mtodo SOR (con p = 1, 2, 3, 4 y 5) no se obtiene una diferenciatan notoria como para los dos casos anteriores (Jacobi y Gauss-Seidel):

tSORp1 = 6120 s t1 = tSORp1 tLU = 433 s 7,22 min. tSORp2 = 6250 s t1 = tSORp2 tLU = 563 s 9,38 min. tSORp3 = 6513 s t1 = tSORp3 tLU = 826 s 13,77 min. tSORp4 = 6650 s t1 = tSORp4 tLU = 963 s 16,05 min. tSORp5 = 7010 s t1 = tSORp5 tLU = 1326 s 22,1 min.

3.2.3. Anlisis de resultados para diferentes nmeros de mallas horizon-tales (MH) con p = 4 usando el criterio de convergencia (C1)

En esta sub-seccin se presentan los resultados para diferentes nmeros de mallashorizontales, MH = 3, 4 y 5, para los mtodos matemticos estudiados en estamemoria. Se utiliza siempre el criterio de convergencia (C1) y precisin p = 4. Enel recuadro de las caractersticas I V se representa el tiempo de simulacin MonteCarlo requerido para cada mtodo.

Diodo con MH = 3 mallas horizontales

En la Figura 13 (a) y (b) se representa la caracterstica IV frente al potencialaplicado entre extremos del diodo y un perl de potencial frente a la longituddel diodo para V = 1,2 V, respectivamente. Si MV = 20 y MH = 3 se tienen(20 + 1) (3 + 1) = 84 nodos.En ambos casos se obtienen resultados muy similares con los 4 mtodos itera-tivos bajo estudio. En la caracterstica IV aparecen pequeas variaciones enla densidad de la corriente entre las 4 tcnicas debido a que el mtodo MonteCarlo es un mtodo probabilstico, y cualquier variacin en la magnitud delpotencial elctrico en cada uno de los nodos va a producir pequeos cambiosen los resultados de la simulacin Monte Carlo.

Con respecto a los tiempos de simulacin requeridos, representados en escalalogartmica en el recuadro de la Figura 13 (a), se encuentra que:

Factorizacin LU: tLU = 6758 s 1,04 h. Mtodo de Jacobi: tJacobiMH=3 = 206525 s 2,39 das.

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Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

Figura 13: Diodo con 3 mallas horizontales donde p = 4 (C1). (a) Densidad decorriente frente al potencial aplicado. En el recuadro se representa el tiempo desimulacin en funcin del mtodo (escala logartmica). (b) Potencial frente a laposicin para una polarizacin de 1.2 V.

Mtodo de Gauss-Seidel: tGSMH=3 = 79023 s 21,95 h.

Mtodo SOR: tSORMH=3 = 6925 s 1,92 h.

El mtodo de factorizacin LU proporciona el menor tiempo de simulacin,seguido por el mtodo SOR. Los mtodos de Jacobi y de Gauss-Seidel propor-cionan tiempos de simulacin muy elevados y por lo tanto, su uso ya no serarecomendable para matrices cuadradas de orden superior a 84.

Diodo con MH = 4 mallas horizontales

Si se consideran 4 mallas horizontales y por lo tanto (20 + 1) (4 + 1) = 105nodos, se obtienen las caractersticas IV y los perles de potencial recogidosen la Figura 14 (a) y (b). Al igual que en el caso anterior se obtienen valoresde las distintas magnitudes fsicas muy similares.

Si se analizan los tiempos de simulacin para los 4 mtodos (ver recuadro dela Figura 14 (a)), se obtiene:

Factorizacin LU: tLU = 7302 s 2,02 h.

Mtodo de Jacobi: tJacobiMH=4 = 489573 s 5,66 das.

Mtodo de Gauss-Seidel: tGSMH=4 = 178233 s 2,06 das.

Mtodo SOR: tSORMH=4 = 8493 s 2,36 h.

El mtodo de factorizacin LU proporciona nuevamente el menor tiempo desimulacin seguido por el mtodo SOR. Se destaca otra vez que los mtodos deJacobi y de Gauss-Seidel proporcionan tiempos de simulacin muy elevados.

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Figura 14: Diodo con 4 mallas horizontales donde p = 4 (C1). (a) Densidad decorriente frente al potencial aplicado. En el recuadro se representa el tiempo desimulacin en funcin del mtodo (escala logartmica). (b) Potencial frente a laposicin para una polarizacin de 1.2 V.

Diodo con MH = 5 mallas horizontales

Para nalizar esta seccin, se estudia el caso donde se tiene una discretizacinespacial horizontal formada por 5 mallas horizontales.

Figura 15: Diodo con 5 mallas horizontales donde p = 4 (C1). (a) Densidad decorriente frente al potencial aplicado. En el recuadro se representa el tiempo desimulacin en funcin del mtodo (escala logartmica). (b) Potencial frente a laposicin para una polarizacin de 1.2 V.

Los resultados de las magnitudes fsicas se recogen en la Figura 15 (a) y (b),en donde se observa el mismo resultado para los 4 mtodos. Los tiempos desimulacin, mostrados en el recuadro de la Figura 15 (a) son:

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Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

Factorizacin LU: tLU = 7452 s 2,07 h. Mtodo de Jacobi: tJacobiMH=5 = 489573 s 8,58 das. Mtodo de Gauss-Seidel: tGSMH=5 = 178233 s 4,22 das. Mtodo SOR: tSORMH=5 = 8493 s 2,74 h.

Es el mtodo de factorizacin LU el que proporciona mayor rapidez, siendoadems, un mtodo exacto de resolucin salvo errores de redondeo, que soncontrolables. Con el mtodo SOR se consigue que la simulacin nalice en2.74 h, tiempo ms prximo al logrado con el mtodo de factorizacin LU. Elresto de mtodos (Jacobi y Gauss-Seidel) la ralentizaran mucho ya que sonnecesarios das para que sta nalice.

Parece claro pues que al aumentar el nmero de mallas el nico mtodo competitivocon factorizacin LU es el SOR.

3.2.4. Anlisis del tiempo de simulacin para MH = 5 usando el criteriode convergencia (C2)

Pasaremos a realizar una optimizacin de los mtodos iterativos donde se tendren cuenta el criterio 2 (C2) (Ecuacin 29). Segn la bibliografa [20], en dispositivoselectrnicos el valor de la tolerancia comnmente utilizado y admitido como sucien-temente bueno es TOL = 105. Es decir, la parada debe producirse cuando el errorde la magnitud del potencial en todos los nodos, entre dos iteraciones consecutivassea menor que 105. Si este criterio no se cumple, la parada se producir cuando sealcance el nmero de actualizaciones r de acuerdo al criterio 1 (C1), tomndose eneste caso, p = 4.

En la Figura 16 se ilustra el proceso para alcanzar el valor ptimo del potenciala medida que se producen iteraciones MC en el mtodo de Jacobi para MH = 2.

A las iteraciones del mtodo de Jacobi las llamaremos a partir de ahora vueltaspara evitar confundirlas con iteraciones del simulador Monte Carlo. La Figura 16 (a)recoge el potencial en cada nodo, en la iteracin 1, para los mtodos de factorizacinLU y mtodo de Jacobi para los criterios (C1) y (C2). Como se trata de la iteracin1, el valor inicial para el potencial utilizado en el mtodo de Jacobi es 1 V.

Cuando han transcurrido 500 vueltas, an no se ha logrado alcanzar un buenresultado. A medida que el nmero de vueltas va aumentando, el potencial en cadanodo se aproxima ms a la solucin exacta. Si se considera el (C1) se daran 7938vueltas. Por el contrario, si se tiene en cuenta el (C2), para la primera iteracineste mtodo necesitara dar 6678 vueltas para obtener la solucin de la ecuacin dePoisson.

Para la iteracin NI > 1, como potencial de partida en el mtodo de Jacobi seconsidera el potencial de la iteracin NI 1. Para la iteracin NI = 2, Figura 16(b), como se est partiendo del potencial en cada nodo de la simulacin anterior, senecesitan menos vueltas para lograr el valor deseado del potencial en los respectivos

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Figura 16: Representacin del potencial para cada nodo del mallado espacial paralos mtodos de factorizacin LU y de Jacobi con MH = 2. En el mtodo de Jacobise consideran los criterios ((C1) - se observa el proceso de convergencia en funcindel nmero de vueltas) y (C2). (a) NI = 1, (b) NI = 2.

nodos. Si se considera el (C1) seran necesarias 7938 vueltas para que se produzcala parada del mtodo de Jacobi, y si por el contrario se tiene en cuenta el (C2) elmtodo de Jacobi nalizara tras dar 4842 vueltas (3096 vueltas menos con el (C2)en comparacin con el (C1)). En la Figura 17 se representa el nmero de vueltasnecesarias para que se satisfaga el criterio (C2) en el mtodo de Jacobi frente alnmero de iteraciones Monte Carlo. Con el criterio (C2) se logra una reduccin delnmero de vueltas si se compara con las que tendra que dar si se tuviera en cuentael criterio (C1), que son 7938. Para NI > 30 iteraciones, el nmero de vueltas medioen el mtodo de Jacobi (para este diodo) est en torno a 15.

As concluimos que con el criterio 2 se conseguir igualar el tiempo de simulacinMonte Carlo (en el caso menos favorable), o reducirlo si el criterio es efectivo encomparacin con el criterio de convergencia (C1).

En la Figura 18 se realiza una comparacin de tiempos (en escala logartmica)de las simulaciones Monte Carlo de un diodo vertical con MH = 5 mallas paracada uno de los cuatro mtodos de resolucin de la ecuacin de Poisson. En losmtodos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR se presentan los resultados para los doscriterios de convergencia estudiados en este trabajo (C1) con p = 4 y (C2) dondeTOL = 10(p+1) = 105.

En la Tabla 4 se recogen los tiempos de simulacin para los mtodos de Jacobi,Gauss-Seidel y SOR en funcin del criterio que se haya tenido en consideracin.

El mtodo de factorizacin LU, que es un mtodo exacto, proporciona el menortiempo de simulacin t1 = 7452 s 2,07 h.

Las principales conclusiones que se extraen son las siguientes:

Si se utiliza el mtodo de Jacobi considerndose el C2 se reduce en un 80%

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Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

Figura 17: Representacin del nmero de vueltas (mtodo de Jacobi) frente alnmero de iteraciones Monte Carlo para MH = 2.

Figura 18: Comparacin de tiempos de simulaciones Monte Carlo de un diodo ver-tical (MH = 5) para cada mtodo de resolucin de la ecuacin de Poisson donde setiene en cuenta los criterios de convergencia de la solucin C1 con p = 4 y C2 conTOL = 105.

el tiempo de simulacin (6.7 das menos de simulacin).

Si se utiliza el mtodo de Gauss-Seidel considerndose el C2 se reduce en un 80% el tiempo de simulacin (3.29 das menos de simulacin).

Si se utiliza el mtodo de sobre-relajacin sucesiva considerndose el C2 se

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tC1 (s) tC2 (s) tC2/tC1Jacobi 741400 161845 0.218

Gauss-Seidel 365260 80460 0.220SOR 9865 9720 0.985

Tabla 4: Tiempos de simulacin para los mtodos de Jacobi, Gauss-Seidel y SORen funcin del criterio que se haya tenido en consideracin. Se recoge tambin elcociente tC2/tC1.

reduce en un 1,5% el tiempo de simulacin (2.41 minutos menos de simu-lacin).

El mtodo SOR proporciona tiempos similares a la tcnica de factorizacinLU.

Esto indica que en los mtodos de Jacobi y de Gauss-Seidel el criterio C2 es consider-ablemente ms ventajoso si se compara con el primer criterio (C1). Por el contrario,en el mtodo SOR no existe tanta diferencia entre los tiempos para ambos criterios,indicando esto que para la mayora de las iteraciones Monte Carlo, el criterio SORnaliza cuando se alcanzan el nmero de vueltas r de acuerdo al criterio 1 (C1).

Dado que el mtodo SOR es competitivo en lo que a tiempo se reere, podraser utilizado en la futura solucin 3D de la ecuacin de Poisson/Calor.

4. Algoritmo ptimo de discretizacin de disposi-tivos electrnicos

En este captulo se explicar la necesidad de disear un algoritmo ptimo parala discretizacin de dispositivos electrnicos.

Los cheros de entrada necesarios para abordar las distintas simulaciones MonteCarlo que se realizan en el Grupo de Investigacin en Dispositivos Semiconductoresde la USAL se crean por medio de la interfaz grca Jersecn [19], que genera unmallado del dispositivo no uniforme para la resolucin de la ecuacin de Poisson.Mediante esta interfaz el usuario dene el dispositivo electrnico aadiendo los ma-teriales, dielctricos, contactos con volumen y contactos de supercie que lo denen(objetos).

Con anterioridad a este trabajo, para realizar la discretizacin de un objeto, elusuario deba indicar el nmero de las y columnas en las que lo quera dividir.Con este algoritmo el usuario no tendr que realizar esta tarea, ya que medianteel algoritmo ptimo de mallado que se propone a continuacin, se crear de for-ma automtica el mallado ms adecuado para discretizar el dispositivo electrnico.Este algoritmo automtico se ha implementado en la Interfaz de usuario Jersecn,deniendo distintos dispositivos electrnicos que sern estudiados en este captulo.

Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013 31

Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

El algoritmo ptimo (V1) elaborar un mallado regular de forma que se respe-ten las restricciones fsicas que impone la longitud de Debye d (asociada a cadamaterial) (Ecuacin 8). Como ya se ha dicho anteriormente el tamao de las mallastiene que ser siempre menor que la longitud de Debye. Adems, el usuario tendrcontrol del nmero de nodos mximo que intervendr en la denicin del mallado.Para dar un ejemplo de los tamaos a los que nos estamos reriendo, en la Tabla 5se muestran los valores de la longitud de Debye para los casos bajo estudio [21].

Dopaje 1024 (m3) d (nm)1 4.29

0.02 30.350.1 13.57

Tabla 5: Longitud de Debye en GaAs para los dopajes considerados.

Por otra parte, es necesario garantizar que no se produzcan cambios bruscos enlos tamaos de las mallas al pasar, en la estructura de una regin a otra, ya que eneste caso la solucin de la ecuacin de Poisson no sera la correcta. Esto ser tenidoen cuenta en el algoritmo ptimo versin (V2).

Se analizarn los resultados obtenidos cuando se tiene en consideracin tres tiposde mallados:

Pocos nodos: se denir un mallado sin tener en cuenta ninguna restriccinfsica.

Mallado ptimo: se crear el mallado mediante el algoritmo diseado, donde elnmero de nodos ser el necesario para garantizar que todas las mallas tenganun tamao igual o ms pequeo que la longitud de Debye para esa regin.

Muchos nodos: se utilizar el algoritmo de mallado ptimo pero se incluirnms nodos (que sern indicados por el usuario) y por lo tanto, se tendr unmallado ms no.

Este algoritmo ser aplicado para el estudio de las estructuras siguientes:

1. Self-Switching Diode (SSD) [22] de GaAs.

2. Diodo vertical de GaAs.

Las simulaciones han sido realizadas aplicando el mtodo de factorizacin LUpara resolver la ecuacin de Poisson.

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4.1. Algoritmo ptimo versin 1 (V1)

En esta primera sub-seccin se presenta el pseudocdigo del algoritmo ptimo demallado. Es necesario determinar las mallas horizontales y verticales con la correctadimensin para poder abordar la discretizacin de los dispositivos electrnicos, esdecir, para poder aproximar el dispositivo electrnico por polgonos regulares concontornos rectangulares.

Previamente a la elaboracin del mallado ptimo, el algoritmo de mallado exis-tente (nicamente se muestra algoritmo antiguo para las mallas verticales, ya quepara el mallado horizontal la losofa es la misma pero tenindose en cuenta lospxeles verticales) implementado en la interfaz grca Jersecn era el siguiente:

****************************************************************************************************

****************************************************************************************************

% Mallado vertical

for k=1 to k=pxeles_horizontales

tamao=infinity

for o=1 to o=numero_objetos_definicin

if pixel k contenido en el objeto o then

% Tamao de malla vertical asociada al objeto [o]

dim[o]

Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

Un dispositivo electrnico no tiene porqu estar formado nicamente por un ma-terial. Es ms, en la denicin del dispositivo electrnico puede haber involucradosdielctricos (como es el caso de los SSDs) y/o contactos con volumen. Es por tantonecesario un criterio para denir la longitud de malla asociada a las zonas dondeexistan dielctricos o contactos con volumen. En nuestro algoritmo se aplicar:

Tamao malla dielctrico: d(menor) 0,7.

Tamao malla contacto con volumen: d(menor) (0,7 0,1).

El usuario podr elegir el nmero de nodos que quiere que intervengan en ladenicin del mallado, pero siempre existir un nmero de nodos mnimo que garan-tice que se verique la restriccin de la longitud de Debye en cada celda de cadamaterial.

Este algoritmo siempre comenzar obteniendo el mallado ptimo. Si el nmero denodos que desea el usuario (nodos_user) es mayor que el obtenido con el algoritmoptimo, se disminuye la longitud de todas las mallas en un factor 0.95 y se vuelve aiterar hasta lograr que el nmero de nodos se aproxime a nodos_user sin sobrepasardicho valor.

El algoritmo de mallado ptimo versin 1 (V1) para las mallas verticales es elsiguiente (para las mallas horizontales es igual pero teniendo en cuenta los pxelesverticales):

****************************************************************************************************

****************************************************************************************************

% Mallado vertical

% Se calcula el tamao que tendrn los dielctricos y los contactos con volumen en caso de que formen

% parte en la definicin del dispositivo electrnico.

tamaomenor=infinity

for q=1 to q=contenedor_objetos

objeto

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% Si se trata de un dielctrico

if k es dielctrico then

dim[o]

Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

Figura 19: Self-switching diode de GaAs. (a) Imagen SEM del dispositivo, (b) deni-cin del dispositivo mediante la interfaz Jersecn

zadas a temperatura ambiente. Se tiene en cuenta una densidad de carga supercialmax/q = 0,455 1016 m2.

En la Figura 20 se representa el diodo discretizado con un mallado regularMH =50 y MV = 80 mallas (4131 nodos). Dicha discretizacin se ha realizado por mediodel algoritmo antiguo. Se observa la aproximacin de la estructura por contornosrectangulares regulares, en la cual no se obtiene una aproximacin del todo el dela misma ya que las mallas estn muy equiespaciadas y no es un mallado bueno. Nose est respetando la restriccin de Debye.

Figura 20: Self-switching diode de GaAs. Pocos nodos

Si se discretiza el diodo empleando el algoritmo de mallado ptimo (V1), Figu-ra 21, la aproximacin por contornos rectangulares reproduce mejor el diodo. Eneste caso se tiene que MH = 182 y MV = 178 mallas (34547 nodos) y este malladogarantiza que s se respete la restriccin de la longitud de Debye.

Si el usuario indica que desea realizar una discretizacin donde existan 53000nodos, el algoritmo de mallado ptimo (V1) proporciona un mallado conMH = 254y MV = 205 mallas (52530 nodos). La aproximacin por contornos rectangularesreproduce de forma muy precisa el diodo denido por el usuario (ver Figura 22).

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Figura 21: Self-switching diode de GaAs. Caso ptimo

Figura 22: Self-switching diode de GaAs. Muchos nodos

En la Figura 23 (a) se representan las caractersticas I V tras realizar lascorrespondientes simulaciones Monte Carlo y el tiempo de simulacin representadopor diagramas de barras (Figura 23 (b)).

Para este diodo se dispone la caracterstica I V experimental de 4 SSDs enparalelo [resultados que provienen de una comunicacin privada con la Universidadde Manchester]. Como nicamente se simula un SSD, para que los resultados seanequiparables, se multiplica el valor de la magnitud de la densidad de corriente de lasimulacin por el factor 4. La simulacin con el mallado con pocos nodos proporcionaun resultado que no reeja el comportamiento real del diodo, siendo por tanto unresultado malo y que no coincide para nada con la realidad. Si se compara el resultadode la simulacin tras considerar el algoritmo ptimo (algoritmo en el que el usuario noha tenido que indicar qu nmero de mallas que desea en cada regin y el malladose ha creado de forma automtica) con el resultado experimental, se obtiene queen directa el acuerdo es muy bueno mientras que en inversa la discrepancia estasociada a corrientes de prdidas a travs del buer porque el aislamiento elctricode la estructura fabricada no es perfecto. Con 34547 nodos se necesit un tiempo desimulacin de 1.46 das.

Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013 37

Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

Figura 23: (a) Caracterstica I V bajo las hiptesis de pocos nodos, caso ptimoy muchos nodos. Se representa tambin la curva experimental de la corriente. (b)Tiempo de simulacin requerido en cada caso.

Si el usuario desea que el mallado est formado por aproximadamente 53000 no-dos (muchos nodos), la simulacin Monte Carlo proporciona prcticamente la mismacaracterstica I V que en el caso ptimo. Este mallado con muchos nodos tiene ladesventaja de necesitar ms tiempo de simulacin, 2.8 das. Precisa prcticamenteel doble de tiempo que cuando se considera el algoritmo ptimo para conseguiresencialmente el mismo resultado.

4.1.2. Aplicacin del algoritmo ptimo (V1) en una estructura verticalde GaAs

En este apartado se va a simular la estructura presentada en la Figura 9 bajodistintas hiptesis. Como es sabido, para que para que una simulacin de un dispos-itivo electrnico sea correcta, una de las condiciones que se ha de satisfacer es queel tamao de las mallas en todas las regiones sea menor que la longitud de Debye(n

+

d = 4,29 nm, n

d = 30,35 nm y nd = 13,57 nm ,Tabla 5).

Pocos nodos. El dispositivo es discretizado empleando un mallado homogneoque est formado por MH = 7 mallas y MV = 20 mallas, 168 nodos (verFigura 24).

Mallado horizontal: 7 mallas7,1429 nm/malla. En las zonas n+ no sesatisface la condicin de la longitud de Debye, ya que y > n

+

d .

Mallado vertical: 20 mallas65 nm/malla. Para ningn caso se satisfacela condicin de la longitud de Debye, ya que x > n

+

d , n

d , nd .

Mallado ptimo. El dispositivo se discreteiza con un mallado no homogneoformado porMH = 12 mallas yMV = 186 mallas, 2431 nodos (ver Figura 25).

38 Trabajo Fin de Mster. DPTOIA-IT-2013

S. Garca

Mallado horizontal: 12 mallas4,1667 nm/malla. En todas las zonas deldiodo se verica que y < n

+

d , n

d , nd .

Mallado vertical Zona n+1 : 32 mallas3,125 nm/malla,

n+1x < n

+

d . Zona n: 9 mallas27,778 nm/malla, nx < n

d . Zona n: 49 mallas13,265 nm/malla, nx < nd . Zona n+2 : 96 mallas3,125 nm/malla,

n+2x < n

+

d .

Muchos nodos. El dispositivo se discretiza con un mallado no homogneo for-mado por MH = 17 mallas y MV = 274 mallas, 4950 nodos. En este caso elusuario deseaba como mximo 5000 nodos (ver Figura 25).

Mallado horizontal: 17 mallas2,9415 nm/malla. En todas las zonas deldiodo se verica que y

Modelado matemtico para la generacin de un mallado espacial conaplicacin a nano-estructuras semiconductoras

Figura 25: Estructura vertical de GaAs discretizada con el nmero de nodos ptimo(algoritmo ptimo (V1)). MH = 12 y MV = 186 mallas.

Figura 26: Estructura vertical de GaAs discretizada con muchos nodos (algoritmoptimo (V2)). MH = 17 y MV = 274 mallas.

ya respeta la condicin de la longitud de Debye (x, y < d) pero no proporcionael resultado correcto ya que si se aumenta el nmero de nodos, la caractersticaI V cambia. Para los casos donde el nmero de nodos es 3480, 4304 y 4950, lacaracterstica esttic