Profesora: Daniela Araya Tapia

𝑽 = 𝝈𝟐 = 𝟐𝟎𝟓𝟏𝟒

=14,64..

𝑺 = 𝝈 = !𝟏𝟒,𝟔𝟒 = 𝟑,𝟖𝟐

𝑪𝑽 =𝟑,𝟖𝟐𝟏𝟔

∙ 𝟏𝟎𝟎

𝑪𝑽 = 𝟐𝟑,𝟖𝟕%

Los puntos varian 3,82 puntos sobre la media que es 16 puntos.

La variabilidad de los puntos es de 23,87%.

GUÍA DE RETROALIMENTACIÓN N°2

“DATOS Y AZAR: Esperanza, Varianza y Desviación Estándar de una Variable Aleatoria Discreta y su función de probabilidad.”

NOMBRE CURSO FECHA 4º MEDIO / 04/20 Capacidades: Resolución de problemas. Razonamiento lógico. Destrezas: Interpretar, Analizar, Calcular INSTRUCCIONES: Imprimir esta guía, pegarla y desarrollarla en tu cuaderno. Si no puedes imprimirla deja el espacio para la guía y sólo realiza el desarrollo en tu cuaderno poniendo el nombre de la guía. Cuando vuelvas se te entregará una copia para pegarla.

RECORDANDO ALGUNOS ESTADÍGRAFOS QUE DESCRIBEN UNA MUESTRA VARIANZA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y COEFICIENTE DE VARIACIÓN: Estos estadígrafos nos indican el grado de variabilidad de los datos en una muestra. Determinan el grado de dispersión de la muestra con respecto al promedio o media de esta. VARIANZA: Corresponde al promedio de los cuadrados de las diferencias entre la media aritmética y cada uno de los valores observados (en datos no agrupados) o de cada marca de clase (en datos agrupados). DESVIACIÓN ESTÁNDAR: Es la raíz cuadrada de la varianza, con esto se obtiene un estadígrafo de dispersión expresado en la misma unidad de medida de la variable. COEFICIENTE DE VARIACIÓN: Este estadígrafo indica la variabilidad de la muestra, expresada en porcentaje. Compara la desviación estándar con respecto al promedio de la muestra. FÓRMULAS VARIANZA DESVIACIÓN ESTÁNDAR COEFICIENTE DE VARIACIÓN DATOS NO AGRUPADOS

𝑽 = 𝝈𝟐 =(𝒙𝒊 − 𝒙)𝟐𝒏

𝒊!𝟏

𝒏

𝝈𝟐: Varianza 𝒙𝒊: Valor de la variable 𝒙: Promedio o media de la muestra. 𝒏: total de datos

𝑺 = 𝝈 = 𝑽 𝑪𝑽 =𝑺𝒙∙ 𝟏𝟎𝟎

DATOS AGRUPADOS 𝑽 = 𝝈𝟐 =

(𝒙𝒊 − 𝒙)𝟐𝒎𝒊!𝟏 ∙ 𝒇𝒊

𝒏

𝝈𝟐: Varianza 𝒎: Número de intervalos. 𝒙𝒊: Marca de clase de cada uno de los intervalos. 𝒙: Promedio o media de la muestra. 𝒏: total de datos 𝒇𝒊: Valor de la frecuencia del intervalo.

𝑺 = 𝝈 = 𝑽 𝑪𝑽 =𝑺𝒙∙ 𝟏𝟎𝟎

EJEMPLO 1: Exequiel juega fútbol en el equipo de Sunnyland School. Los puntos obtenidos por los equipos en el campeonato de apertura de los colegios de San Felipe han sido los siguientes:12, 10, 18, 7, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 20, 10, 11, 15. Calcular el promedio de los puntos, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación de los puntos. PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA

𝐱 =𝟏𝟐 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟖 + 𝟏𝟕 + 𝟏𝟒 + 𝟏𝟓 + 𝟏𝟕 + 𝟏𝟖 + 𝟐𝟎 + 𝟐𝟏 + 𝟐𝟎 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟏 + 𝟏𝟓

𝟏𝟒

𝒙 = 𝟏𝟓, 𝟓𝟕. .≈ 𝟏𝟔

𝒙𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 (𝒙𝒊 − 𝒙)𝟐 12 12−16= − 4 16 10 10−16= − 4 16 18 18−16= 4 16 17 17−16= − 4 16 14 14−16= − 4 16 15 15−16=− 1 1 17 17−16= 1 1 18 18−16= 2 4 20 20−16= 4 16 21 21−16= 5 25 20 20−16= 4 16 10 10−16=− 6 36 11 11−16=− 5 25 15 15−16= −1 1 ∑ = 205

Valores truncados a la centésima.

Profesora: Daniela Araya Tapia

EJEMPLO 2: El director técnico del equipo de Exequiel agrupa en la siguiente tabla las alturas de los jugadores. Calcular el promedio de los puntos, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación de los puntos.

ALTURA (CM)

MARCA DE CLASE 𝒙𝒊

FRECUENCIA 𝒇𝒊

𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊

[160-165[ 162,5 2 325 [165-170[ 167,5 4 670 [170-175[ 172,5 6 1035 [175-180] 177,5 3 532,5

∑=15 ∑=2562,5 𝒏 = 𝟏𝟓 𝒎 = 𝟒

𝐱 =𝟐𝟓𝟔𝟐,𝟓𝟏𝟓 = 𝟏𝟕𝟎.𝟖𝟑 ≈ 𝟏𝟕𝟏

ALTURA

(CM) 𝒙𝒊

𝒇𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙)𝟐 (𝒙𝒊 − 𝒙)𝟐 ∙ 𝒇𝒊 [160-165[ 162,5 2 (162,5 − 171)!=72,25 72,25∙2=144,5[165-170[ 167,5 4 (167,5 − 171)!=12,25 12,25∙4=49[170-175[ 172,5 6 (172,5 − 171)!=2,25 2,25∙6=13,5[175-180] 177,5 3 (177,5 − 171)!=42,25 42,25∙3=126,75

∑=15 ∑=333,75

𝑽 = 𝝈𝟐 = 𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟓

𝟏𝟓=22,25

𝑺 = 𝝈 = 𝟐𝟐,𝟐𝟓 = 𝟒,𝟕𝟏

𝑪𝑽 =𝟒,𝟕𝟏𝟏𝟕𝟏

∙ 𝟏𝟎𝟎𝑪𝑽 = 𝟐,𝟕𝟓%Las estaturas de los jugadores varían 4,71 puntos sobre la media que es 171 cm. La variabilidad de los puntos es de 2,75%.

ACTIVIDAD 1: Calcular la media aritmética, la varianza, desviación estándar y el coeficiente de variación en los siguientes contextos. Interpretar la muestra en función de los estadígrafos. 1) En el CESFAM de San Felipe se realizó una encuesta de las edades (en años) de las personas que entraron el día lunes 16 de Marzo del 2020 a vacunarse contra la Influenza. Los datos son los siguientes:

2)A los estudiantes del 4 medio del Sunnyland School se les pidió que estimen el número de horas que habrían dedicado la semana pasada a estudiar online por la CONTINGENCIA SANITARIA. Los datos se reflejan en la siguiente tabla.

TIEMPO (HORAS)

MARCA DE CLASE 𝒙𝒊

FRECUENCIA 𝒇𝒊

𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊

[20-25[ 6 [25-30[ 4 [30-35[ 7 [35-40[ 3 [40-45[ 10

∑= ∑=

3) Las Calificaciones de la prueba sumativa de DATOS Y AZAR del 4° medio del Sunnyland School, se reflejan en el siguiente gráfico:

Profesora: Daniela Araya Tapia

ESPERANZA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

VALOR ESPERADO O ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X Se define como:

𝑬 𝑿 = 𝒙𝒊 ∙ 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊)𝒌

𝒊!𝟏

𝑥!= valor i-ésimo de la variable aleatoria. 𝑃(𝑋 = 𝑥!)= probabilidad de que X tome el valor 𝑥!. 𝑘= cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria. VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X Se define como:

𝑽 𝑿 = (𝒙𝒊 − 𝑬 𝑿 )𝟐 ∙ 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊)𝒌

𝒊!𝟏

𝑥!= valor i-ésimo de la variable aleatoria. 𝑃(𝑋 = 𝑥!)= probabilidad de que X tome el valor 𝑥!. 𝑘= cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria. 𝐸 𝑋 = Valor esperado de la variable aleatoria X. DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA X Se define como: 𝑺 𝑿 = 𝑽(𝑿) EJEMPLO 1: En las siguientes tablas se muestran las rentabilidades de los bancos BCI y Santander desde el año 2014 hasta el 2019. X e Y son la variable aleatoria “rentabilidad anual” para el banco BCI y Santander, respectivamente. P(X=x) y P(Y=y) son las funciones de probabilidad para X e Y.

RENTABILIDAD BCI

AÑOS X P(X=x) 2014 0,20 0,20 2015 0,15 0,30 2016 0,30 0,30 2017 0,60 0,12 2018 0,45 0,06 2019 0,45 0,02 ∑= 1

RENTABILIDAD

SANTANDER AÑOS Y P(Y=y) 2014 0,080 0,2 2015 0,361 0,06 2016 0,091 0,2 2017 0,660 0,24 2018 0,200 0,28 2019 0,600 0,02 ∑= 1

Por lo tanto el banco con mayor VARIABILIDAD es el banco Santander, luego es más rentable el banco BCI.

Se calculan los valores esperados 𝐸(𝑥) y 𝐸(𝑦).

𝑬(𝒙) = 0,2 ∙ 0,2 + 0,15 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,3 + 0,6 ∙ 0,12 + 0,45 ∙ 0,06 + 0,45 ∙ 0,02 = 𝟎,𝟐𝟖𝟑

𝑬(𝒚) = 0,08 ∙ 0,2 + 0,361 ∙ 0,06 + 0,091 ∙ 0,3 + 0,66 ∙ 0,24 + 0,2 ∙ 0,28 + 0,6 ∙ 0,02 = 𝟎,𝟐𝟖𝟐

Luego la rentabilidad de los bancos son BCI 28,3% y SANTANDER 28,2%.

Como los VALORES ESPERADOS son similares, por lo que no se dice mucho respecto a la TOMA DE DECISIONES. En este caso la VARIANZA y la DESVIACIÓN ESTÁNDAR permiten realizar una comparación para determinar el nivel de la variabilidad en la rentabilidad de cada banco.

𝑽(𝒙) = (0,2 − 0,283)! ∙ 0,2 + (0,15 − 0,283)! ∙ 0,3 + (0,3 − 0,283)! ∙ 0,3+ (0,6 − 0,283)! ∙ 0,12 + (0,45 − 0,283)! ∙ 0,06 + (0,45 − 0,283)! ∙ 0,02= 𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟎𝟔𝟏

𝑺(𝑿) = !𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟎𝟔𝟏 = 0,145

𝑽(𝒀) = (0,08 − 0,282)! ∙ 0,2 + (0,361 − 0,282)! ∙ 0,06 + (0,091 − 0,282)! ∙ 0,3+ (0,66 − 0,282)! ∙ 0,24 + (0,2 − 0,282)! ∙ 0,28 + (0,6 − 0,282)! ∙ 0,02= 𝟎,𝟎𝟓𝟒𝟏𝟓𝟔

𝑺(𝒀) = !𝟎,𝟎𝟓𝟒𝟏𝟓𝟔 = 0,232

Profesora: Daniela Araya Tapia ACTIVIDAD 2: Calcular el valor esperados, la varianza y la desviación estándar de las siguientes variables aleatorias para la toma de decisiones.

1) En la siguiente tabla se muestra el pronóstico de la rentabilidad en millones de pesos para los próximos 7 meses de los Bancos Estado y Chile. X e Y son la variable aleatoria “rentabilidad en millones de pesos” para el banco Estado y Chile, respectivamente. P(X=x) y P(Y=y) son las funciones de probabilidad para X e Y. X=Y P(X=x) P(Y=y) 44 0,04 0,02

55 0,07 0,003 59 0,03 0,03 62 0,04 0,04

65 0,07 0,087 69 0,72 0,72 71 0,03 0,1

2) En la siguiente tabla se muestra la cantidad de tornillos defectuosos obtenidos durante una semana de trabajo (Lunes-Viernes) en la Empresa ARMANDO CASAS. ¿Cuántos tornillos se esperan que sean defectuosos? X 2 3 5 6 10 P(X=x) 0,5 0,3 0,1 0,07 0,03

En otra empresa, CARPENTER se realiza el mismo registro durante la misma semana. Y 1 2 7 8 9 P(Y=y) 0,1 0,4 0,3 0,15 0,05

¿Qué empresa tiene menos tornillos defectuosos en los ensamblajes? ¿Cuál de las empresas tiene mayor variabilidad en los tornillos defectuosos al ensamblar?

¿Qué banco es más rentable?