profesor: damian pierri resoluciones: juan ignacio jacoubian · 2020. 6. 2. · ejercicio 2.2 dls...
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Universidad de Buenos Aires
Macroeconomıa II
Ejercicios Practicos
Profesor: Damian Pierri
Resoluciones: Juan Ignacio Jacoubian
Marzo 2020
Indice
1. Ejercitacion 1 2
1.a. Ejercicio 2.1 DLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.b. Ejercicio 2.2 DLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.c. Ejercicio 2.2 Advanced Macroeconomics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Ejercitacion 2 9
2.a. Ejercicio 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Ejercitacion 3 14
3.a. Ejercicio 1 Seccion 2 SGU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. Ejercitacion 4 18
4.a. Ejercicio 1 capıtulo 7 SGU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5. Ejercitacion 5 33
5.a. Romer (1996), capıtulo 2, ejercicio 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.b. Romer (1996), capıtulo 2, ejercicio 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.c. Romer (1996), capıtulo 2, ejercicio 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6. Ejercitacion 5 45
6.a. Walsh: Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.b. Walsh: Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1
1. Ejercitacion 1
1.a. Ejercicio 2.1 DLS
Un agente tiene preferencias por el consumo y el ocio, las cuales se determinan por la siguiente funcion de utilidad:
U = ln(c) + ln(l)
En primer lugar, notemos que esta funcion de utilidad es la Cobb-Douglas, y cumple todos los supuestos que necesitamos
para obtener el optimo del agente mediante las condiciones de primer orden de su problema de optimizacion.
Por otro lado, la cantidad de horas que el agente trabaja es ns, y con la cantidad de horas trabajadas produce un producto
y = 4n0.5s (notemos que aquı tambien la funcion de produccion es Cobb-Douglas, con k = 1). Por cada hora que trabaja para
alguien mas, recibe un salario w.
Con esto, lo unico que tenemos que hacer es plantear el problema que enfrenta el agente. Vamos a resolver esto de dos
maneras distintas. En primer lugar, siguiendo el capıtulo correspondiente del DLS, podemos plantear el problema como:
maxc,ns
ln(c) + ln(1− ns) sujeto a: c = y = 4n0.5s
Planteando el problema de esta manera, podemos armar el Lagrangiano de la siguiente forma:
L = ln(c) + ln(1− ns) + λ(4n0.5s − c)
Donde λ es lo que se conoce como el multiplicador de Lagrange. Al mismo tiempo, dado que el tiempo esta fijo (y lo suponemos
igual a 1), el tiempo de ocio mas el tiempo de trabajo debe sumar 1, motivo por el cual 1− ns = l.
Notemos que, se puede plantear el problema con el λ restando, y deberıamos reescribir el problema de forma tal que el
consumo quede sumando dentro del parentesis, y los ingresos queden restando. Si tomamos condiciones de primer orden en el
problema, obtenemos:
(c) :1
c= λ (1)
(ns) :1
1− ns= λ 0.5 4n−0.5s (2)
(λ) : c = 4n0.5s (3)
2
Una vez que tenemos las condiciones de primer orden, podemos observar que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres
incognitas. Por lo tanto, introduciendo (1) en (2):
1
1− ns=
1
c
1
2
4
n0.5s
Luego, reemplazando la condicion (3) en la ecuacion anterior:
1
1− ns=
1
4n0.5s
1
2
4
n0.5s
1
1− ns=
1
2ns
1− ns = 2ns
1
3= ns
Por lo tanto, el agente elige trabajar un tercio de su tiempo, y dedicarle al ocio los dos tercios restantes. Una vez que tenemos
ns, podemos calcular el consumo y la produccion:
y = c = 4
(1
3
)0.5
=
(16
3
)0.5
Notemos que hemos desarrollado el modelo, pero no hemos calculado el salario real de equilibrio. Esto se debe a que hemos
planteado un problema en el cual el agente decide el nivel de produccion. Sin embargo, si suponemos que el agente recibe un
salario por la cantidad de horas que decide trabajar, su problema es:
maxc,ns
ln(c) + ln(1− ns) sujeto a: c = w ns + π
Donde π son los beneficios de la firma (dado que tenemos rendimientos decrecientes a escala). Si tomamos condiciones de
primer orden al igual que antes:
(c) :1
c= λ (4)
3
(ns) :1
1− ns= λ w (5)
(λ) : c = w ns + π (6)
Antes de continuar con la solucion, notemos que, si hay una persona cobrando un sueldo, es porque hay otro que se lo esta
pagando. Llamando firma al encargado de la produccion, su problema serıa maximizar sus beneficios, por lo tanto su problema
en terminos reales es (el precio del bien de consumo lo normalizamos a 1):
maxn
4n0.5 − nw
Y la condicion de primer orden es:
(n) : f ′(n) = 4(0.5)n−0.5 = w
Esta condicion nos dice basicamente que el producto marginal del trabajo es igual al salario real. Notemos que, en equilibrio,
la cantidad de trabajo que la firma demanda tiene que ser igual a la cantidad de trabajo que el agente oferta, esto es: n = ns.
Por lo tanto, la condicion anterior la podemos escribir como:
2n−0.5s = w (7)
Si w es igual a la condicion anterior, los beneficios de la firma son:
π = 4n0.5 − n 2 n−0.5 = 2n0.5
Por ultimo, si introducimos la condicion (7) y los beneficios de la firma dentro de las condiciones (4), (5) y (6), obtenemos
exactamente el mismo sistema de ecuaciones que en el caso anterior. Por lo tanto, y para concluir este ejercicio, notemos que
podemos escribir el problema como lo hicimos al inicio, y luego recordar que, si nos piden el salario real de equilibrio, solo
debemos igualarlo a f ′(n∗), donde n∗ es la solucion al problema. En nuestro caso en particular:
w∗ = 41
2
(1
3
)−0.5= 2 30.5
4
1.b. Ejercicio 2.2 DLS
En el presente ejercicio vamos a resolver un ejercicio similar al anterior, pero de forma mas abstracta. La funcion de utilidad
del agente viene dada por:
U = cγ(1− l)1−γ
La funcion de produccion que transforma trabajo en bienes es:
y = Alα
Por lo tanto, siguiendo los mismos pasos que en el ejercicio anterior, el problema del agente es:
maxc,l
cγ(1− l)1−γ Sujeto a: c = Alα
Nuevamente, si escribimos el Lagrangiano:
L = cγ(1− l)(1−γ) + λ(Alα − c)
Si calculamos las condiciones de primer orden, obtenemos:
(c) : γcγ−1(1− l)1−γ = λ (8)
(l) : cγ(1− γ)(1− l)−γ = λAαlα−1 (9)
c = Alα (10)
Al igual que en el ejercicio anterior, tenemos un sistema de tres incognitas con tres ecuaciones. Si introducimos (8) en (9):
cγ(1− γ)(1− l)−γ = γcγ−1(1− l)1−γAαlα−1
c(1− γ)
γ= (1− l)Aαlα−1
Por ultimo, introduciendo (10) en la ecuacion anterior:
5
Alα(1− γ)
γ= (1− l)Aαlα−1
Reacomodando terminos:
l(1− γ)
γ α= 1− l
l
((1− γ)
γ α+ 1
)= 1
l
(1− γ + γα
γα
)= 1
l =γα
1− γ(1− α)
Si queremos corroborar este resultado con el del ejercicio 2.1, notemos que γ = 0.5 y α = 0.5. Por lo tanto:
l =0.25
1− 0.25=
0.25
0.75=
1
3
Retomando este ejercicio, ya tenemos l∗, solo nos queda el consumo optimo:
c∗ = A(l∗)α = A
(αγ
1− γ(1− α)
)α
1.c. Ejercicio 2.2 Advanced Macroeconomics
Consideremos un individuo que vive dos perıodos: t = 1, 2. Dicho agente tiene preferencias sobre el consumo en ambos
perıodos, denotaremos a estos como C1 y C2. La funcion de utilidad que representa las preferencias de este agente viene dada
por:
Ut =C1−θ
1t
1− θ+
1
1 + ρ
C1−θ2t
1− θ
En primer lugar, ρ es la tasa de impaciencia del agente. A mayor ρ, mas impaciente es el agente, y menos utilidad le da el
consumo de manana (notemos que 1/(1 + ρ) cae cuando aumenta ρ). Siguiendo el enunciado, la restriccion de presupuesto del
6
agente es: P1C1 + P2C2 = W .
Antes de plantear el problema, notemos que podemos pensar la eleccion del agente como un problema tradicional, esto es: el
agente elige entre dos bienes, los cuales se denominan C1 y C2, para los cuales tiene un presupuesto igual a W que puede gastar
en ellos. El problema de maximizacion del agente es:
maxC1,c2
C1−θ1t
1− θ+
1
1 + ρ
C1−θ2t
1− θ
Sujeto a: P1C1t + P2C2t = W
Si planteamos el Lagrangiano:
L =C1−θ
1t
1− θ+
1
1 + ρ
C1−θ2t
1− θ+ λ(W − P1C1t − P2C2t)
Al igual que en los ejercicios anteriores, tomamos condiciones de primer orde:
(C1t) : C−θ1t = P1λ (11)
(C2t) :1
1 + ρC−θ2t = P2λ (12)
(λ) : W = P1C1t + P2C2t (13)
Notemos que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas. Utilizando (11) y (12), tenemos:
1
1 + ρC−θ2t =
P2
P1C−θ1t (14)
De la condicion (14) obtenemos:
C−θ2t =P2
P1(1 + ρ)C−θ1t
Cθ2t =P1
P2
1
1 + ρCθ1t
C2t =
(P1
P2
1
1 + ρ
) 1θ
C1t
Una vez que tenemos a C2t en funcion de C1t, utilizamos la condicion (13):
7
W = P1C1t + P2
(P1
P2
1
1 + ρ
) 1θ
C1t
C1t
(P1 + P2
(P1
P2
1
1 + ρ
) 1θ
)= W
C1t =W(
P1 + P2
(P1
P2
11+ρ
) 1θ
)Una vez que tenemos C1t, simplemente reemplazamos en la condicion que encontramos para C2t y tenemos la solucion. Luego,
el enunciado nos solicita que mostremos que la elasticidad entre el consumo de ambos perıodos es 1/θ. Para esto, retomemos la
ecuacion (14):
1
1 + ρC−θ2t =
P2
P1C−θ1t
Notemos que podemos escribir esto como:
1
1 + ρ
P1
P2=
(C1t
C2t
)−θTomando logaritmos de ambos lados:
ln
(1
1 + ρ)
)+ ln
(P1
P2
)= −θln
(C1t
C2t
)
Derivando ambos lados con respecto a ln(P1/P2), tenemos:
1 = −θ
∂ln(C1t
C2t
)∂ln
(P1
P2
)
Por lo tanto, obtenemos lo buscado:
1
θ= −
∂ln(C1t
C2t
)∂ln
(P1
P2
) (15)
8
2. Ejercitacion 2
2.a. Ejercicio 1:
(i) El producto crece a una tasa constante g, esto es:
Yt+1 = (1 + g)Yt
(ii) La tasa de interes es constante e igual a r, con r > g. Esta condicion la necesitamos dado que, si g > r no hay restriccion
intertemporal.
(iii) Vale la teorıa cuantitativa del dinero: Mt = kPtYt. En la teorıa cuantitativa del dinero, el producto se determina en el
mercado de bienes, por lo que en terminos de polıtica monetaria, no lo podemos afectar. Sumado a esto, la velocidad del dinero
es constante en el tiempo, de esta manera, no importa el nivel de inflacion, la velocidad de circulacion siempre es la misma.
(iv) Denominando al deficit fiscal Dt, el deficit fiscal en terminos del producto es:
d = dt =Dt
PtYt
d = dt implica que el ratio de deficit sobre producto es constante en el tiempo. El gobierno puede financiarse con bonos o
creditos del banco central.
(v) El crecimiento de la oferta monetaria viene determinada por:
Mt+1
Mt= 1 + at+1
Con esto, comencemos a resolver lo solicitado por el enunciado.
a) La restriccion de presupuesto del gobierno en el momento t es:
Gt + (1 +R)BGP,t−1 + (1 +R)BGBC,t−1 = BGP,t +BGBC,t + Tt
Dt + (1 +R)BGP,t−1 + (1 +R)BGBC,t−1 = BGP,t +BGBC,t (16)
Usamos la notacion Bij,t es la deuda tomada en el perıodo t por el individuo i, cuyo prestamista es el individuo j.
El lado izquierdo de la ecuacion representan el deficit primario y el pago de deuda, tanto a privados (P) como al banco
central (BC). El lado derecho de la ecuacion representa los ingresos con los cuales puede financiarse: deuda privada o deuda con
9
el banco central. Por otro lado, la restriccion del Banco Central es:
Mt−1 + (1 +R)BBCP,t−1 + (1 +R)BBCG,t−1 = Mt +BBCP,t +BBCG,t (17)
Del lado izquierdo tenemos la emision del perıodo pasado, el pago de la deuda contraıda en el pasado con los privados y los
prestamos al gobierno que cobramos el perıodo pasado (el valor de B es negativo). Del lado derecho tenemos la nueva emision
monetaria, la nueva deuda tomada a los privados y los nuevos prestamos al gobierno.
Notemos que BGBC,t +BBCG,t = 0 (se puede escribir de otra manera si esto no es intiutivo).
La ecuacion (16) la podemos reescribir como:
BBCG,t = −BGBC,t = −(Mt −Mt−1)−BBCP,t + (1 +R)BBCG,t−1 + (1 +R)BBCP,t−1
Introduciendo esto en la ecuacion (16):
Dt + (1 +R)BGP,t−1 + (1 +R)BGBC,t−1 = BGP,t +BGBC,t
Dt + (1 +R)BGP,t−1 + (1 +R)BGBC,t−1 −BGBC,t = BGP,t
Dt + (1 +R)BGP,t−1 + (1 +R)BGBC,t−1 − (Mt −Mt−1)−BBCP,t + (1 +R)BBCG,t−1 + (1 +R)BBCP,t−1 = BGP,t
Reordenando terminos:
Dt + (1 +R)(BGP,t−1 +BBCP,t−1) + (1 +R)(BGBC,t−1 +BBCG,t−1) = (BGP,t +BBCP,t ) + (Mt −Mt−1)
En primer lugar, recordemos que la deuda del gobierno con el banco central mas la deuda del banco central con el gobierno
deben sumar cero, por lo tanto el ultimo termino del lado izquierdo de la igualdad desaparece:
Dt + (1 +R)(BGP,t−1 +BBCP,t−1) = (BGP,t +BBCP,t ) + (Mt −Mt−1)
Luego, llamemos a la deuda del sector publico consolidado BP,t = BGP,t +BBCP,t . Entonces:
Dt + (1 +R)BP,t−1 = BP,t + (Mt −Mt−1) (18)
10
Por lo tanto, obtenemos lo solicitado por el enunciado.
b) Por la ecuacion de Fisher sabemos que:
(1 +R) = (1 + r)(1 + h)
Donde h es la tasa de inflacion, r es la tasa de interes real y R es la tasa de interes nominal. Dado que estamos bajo la teorıa
cuantitativa del dinero, sabemos que:
(1 + a) = (1 + g)(1 + h)
Una manera de ver esta ecuacion es reescribiendola de la siguiente manera:
1 + a
1 + g= 1 + h
Si la tasa de emision es igual a la tasa de crecimiento del producto, la inflacion debe ser cero. Si la tasa de emision es mayor
a la tasa de crecimiento del producto, la inflacion sera positiva. Y si la tasa de emision es menor a la tasa de crecimiento del
producto, la inflacion sera negativa.
Para ver por que esto es ası, supongamos primero que la tasa de emision es cero y la tasa de crecimiento del producto es
positiva. Si el producto aumenta en cierta tasa, tenemos mayores productos en el mercado. Por lo tanto, si el dinero que hay en
el mercado no aumenta, la unica manera de que la misma cantidad de dinero sirva para llevar adelante todas las transacciones
de bienes y servicios (que ahora son mayores), es con una disminucion del nivel de precios. Por lo tanto, si el producto crece,
y la emision de dinero no, habra deflacion. Notemos que, no estamos hablando de cambios en los precios relativos, sino del
nivel general de precios. Es decir, las proporciones bajo las cuales se intercambian los productos se mantienen constantes, y
solo cambian los precios en valor absoluto, no relativo. Si en el mismo contexto la emision aumenta en la misma tasa, habra
exactamente la misma proporcion de dinero en relacion al producto, y el nivel general de precios no cambiara. Recordemos que
este analisis es valido en el contexto de la teorıa cuantitativa del dinero, dado que bajo este modelo el producto se determina en
el mercado de bienes, por fuera de las variables nominales.
c) Retomemos la restriccion de presupuesto del sector publico consolidado:
Dt + (1 +R)BP,t−1 = BP,t + (Mt −Mt−1)
Si dividimos todos los terminos por PtYt y escribimos en minuscula las variables como porcentaje del producto, tenemos:
11
dt + (1 +R)1
PtYtBP,t−1 = bP,t +
1
PtYtMt −
1
PtYtMt−1
Usando la ecuacion de Fisher:
dt + (1 + r)(1 + h)1
PtYtBP,t−1 = bP,t +
1
PtYtMt −
1
PtYtMt−1
Luego, utilizando la ecuacion de la teorıa cuantitativa:
dt + (1 + r)(1 + a)
(1 + g)
1
PtYtBP,t−1 = bP,t +
1
PtYtMt −
1
PtYtMt−1
Recordando que dt = d y Mt = (1 + a)Mt−1:
d+ (1 + r)(1 + a)
(1 + g)
1
PtYtBP,t−1 = bP,t +
1
PtYtMt −
1
PtYt
Mt
(1 + a)
d+(1 + r)(1 + a)
(1 + g)
BP,t−1PtYt
= bP,t +1
PtYt
(Mt −
Mt
(1 + a)
)(19)
La ecuacion (19) es lo solicitado por el enunciado.
Ahora vamos a reexpresar la ecuacion como solicita el enunciado siguiente. De esta manera, primero multiplicamos y dividimos
el segundo termino del lado izquierdo por P y Y en el perıodo pasado:
d+(1 + r)(1 + a)
(1 + g)
BP,t−1PtYt
Pt−1Yt−1Pt−1Yt−1
= bP,t +1
PtYt
(Mt −
Mt
(1 + a)
)
d+(1 + r)(1 + a)
(1 + g)bP,t−1
Pt−1Yt−1PtYt
= bP,t +1
PtYtMt
(1− 1
(1 + a)
)
d+(1 + r)(1 + a)
(1 + g)bP,t−1
1
(1 + h)(1 + g)= bP,t +
1
PtYtMt
(1− 1
(1 + a)
)
d+(1 + r)(1 + a)
(1 + g)bP,t−1
1
(1 + h)(1 + g)= bP,t +
1
PtYtMt
(a
(1 + a)
)Utilizando la relacion (1 + h) = (1 + a)/(1 + g):
12
d+(1 + r)(1 + a)
(1 + g)bP,t−1
(1 + g)
(1 + a)(1 + g)= bP,t +
1
PtYtMt
(a
(1 + a)
)
d+(1 + r)
(1 + g)bP,t−1 = bP,t +
1
PtYtMt
(a
(1 + a)
)Lo unico que nos queda es el ultimo termino del lado derecho. Para esto, recordemos que Mt = kPtYt. Por lo tanto:
d+(1 + r)
(1 + g)bP,t−1 = bP,t + k
(a
(1 + a)
)(20)
Y ası obtenemos el enunciado. Facilmente se puede reexpresar como:
d+(r − g)
(1 + g)bP,t−1 − k
(a
(1 + a)
)= bP,t − bP,t−1 (21)
En primer lugar, notemos que el lado derecho de la ecuacion establece un aumento del nivel de deuda sobre producto si es
positivo o una disminucion si es negativo. Por lo tanto, el aumento o disminucion del nivel de deuda sobre producto dependera
del signo del lado izquierdo de la ecuacion. Este lado esta compuesto por: el deficit primario como porcentaje del producto, el
pago de intereses de deuda como porcentaje del producto y la tasa de emision de dinero. Analicemos cada uno por separado.
Deficit primario como porcentaje del producto: si este aumenta, ceteris paribus todo lo demas, aumenta el nivel de deuda
sobre producto. La intuicion es sencilla.
Pago de intereses de deuda pasada: dada una tasa de interes real y una tasa de crecimiento del producto (y manteniendo el
supuesto r > g), una mayor deuda contraıda ayer implica un mayor pago de intereses hoy, y por lo tanto una mayor necesidad
de financiamiento (aumento de deuda) en el presente, ceteris paribus todo lo demas.
Emision de dinero: notemos que si a aumenta, el termino a/(1 + a) aumenta, y por lo tanto cae el lado izquierdo de la
igualdad. La idea es que si a aumenta, el financiamiento vıa emision monetaria esta aumentando, y por lo tanto el requerimiento
de deuda para financiar el deficit primario y el pago de los intereses de deuda del perıodo pasado caen, por lo que (bt − by−1)
disminuye. Al mismo tiempo, notemos que si pensamos a a/(1 + a) como una tasa impositiva y a k como la base impositiva,
podemos considerar a este termino vinculado con la emision de dinero como el impuesto inflacionario. Dado que la demanda real
de dinero es constante (no depende de la tasa de interes ni de la inflacion esperada), a medida que aumenta a, aumenta esta vıa
recaudatoria y, ceteris paribus todo lo demas, disminuye el nivel de endeudamiento.
13
3. Ejercitacion 3
3.a. Ejercicio 1 Seccion 2 SGU
Consideremos una economıa de dos perıodos. Antes de pasar a las soluciones del problema, escribamos la relacion entre el
pago de intereses de deuda (o recepcion de interes por prestamos), el resultado de la balanza comercial y la cuenta corriente en
un perıodo temporal t, en este caso en particular, t = 1:
TB1 + rB∗0 = CA1
TB = Trade Balance
B0 = posicion de activos externos al inicio del perıodo 1
CA = Current Account
Notemos que la cuenta corriente no es otra cosa que la diferencia entre la posicion de activos externos del paıs en su conjunto
entre el perıodo presente y el pasado. De esta forma:
CA1 = B∗1 −B∗0
Combinando las dos ecuaciones recientemente mencionadas:
TB1 + (1 + r)B∗0 = B∗1
Si hacemos lo mismo para el segundo perıodo:
TB2 + (1 + r)B∗1 = B∗2
Podemos observar rapidamente que B∗1 nos permite unir la ecuacion del perıodo 1 junto con la del perıodo 2:
TB2 + (1 + r)TB1 + (1 + r)2B∗0 = B∗2
Dividiendo todo por (1+r):
TB2
(1 + r)+ TB1 + (1 + r)B∗0 =
B∗2(1 + r)
14
Consideremos los posibles valores de B∗2 . Para evitar esquemas Ponzi, B∗2 ≥ 0. Sumado a esto, como paıs en conjunto no
tiene ningun sentido terminar la vida con activos positivos, dado que no hay proximo perıodo. Por lo tanto, B∗2 = 0. Entonces:
(1 + r)B∗0 = −TB1 −TB2
(1 + r)
En resumen, tenemos el siguiente conjunto de ecuaciones que podemos usar:
CA1 = B∗1 −B∗0 (22)
CA2 = −B∗1 (23)
(1 + r)B∗0 = −TB1 −TB2
(1 + r)(24)
TB1 + (1 + r)B∗0 = B∗1 (25)
TB1 + rB∗0 = CA1 (26)
TB2 + (1 + r)B∗1 = 0 (27)
TB2 + rB∗1 = CA2 (28)
Consideremos ahora sı el ejercicio en cuestion. Si la posicion de activos inicial es -100, esto implica que B∗0 = −100. En el
primer perıodo, CA1 = −0.05× 120 = −6. Sumado a esto, la tasa de interes es del 10 % en cada perıodo. Con esto, utilicemos
la ecuacion (26):
TB1 + 0.1(−100) = −6
Entonces: TB1 = 4. Una vez que tenemos el trade balance del primer perıodo, podemos obtener el nivel de deuda de dicho
perıodo:
TB1 + rB∗0 = B∗1 −B∗0
4 + 0.1(−100) = B∗1 − (−100)
15
−6− 100 = B∗1
B∗1 = −106
Por lo tanto, ya tenemos que TB1 = 4, CA1 = −6 y B∗1 = −106.
Con esto, ahora obtenemos el trade balance en el perıodo 2, usando (24):
(1 + 0.1)(−100) = −4− TB2
(1 + 0.1)
(−110 + 4)1.1 = −TB2
(106)(1.1) = TB2
TB2 = 116, 6
Podemos usar la ecuacion (26) para corroborar que los resultados sean los correctos:
TB2 + (1 + r)B∗1 = 0
116.6 + 1.1(−106) = 0
Sumado a esto, CA2 = B∗2 −B∗1 , por lo tanto CA2 = 106.
En resumen, la solucion es: TB1 = 4, B1 = −106, CA1 = −6, TB2 = 116.6, CA2 = 106.
Consideremos ahora el caso en que el deficit de cuenta corriente es el 10 % del producto. Esto es: CA1 = −12, dado que el
producto sigue siendo 120. Si esto es ası, sabemos que B∗1 = −112. Con esto, podemos obtener la balanza comercial del perıodo
1:
TB1 + rB∗0 = CA1
16
TB1 − 10 = −12
TB1 = −2
Ya tenemos la balanza comercial del perıodo 1 y la posicion de activos externos del perıodo 1. Dado que B2 = 0, la cuenta
corriente del segundo perıodo es igual a CA2 = 112. Por ultimo, la balanza comercial es:
TB2 + (1 + 0.1)(−112) = 0
TB2 = 123.2
En resumen: TB1 = −2, B1 = −112, CA1 = −12, TB2 = 123.2 y CA2 = 112.
Para corroborar si son factibles ambas soluciones, recordemos que:
Qt = Xt −Mt + Ct + It +Gt
TBt = Xt −Mt
Por lo tanto, dado que el consumo, el gasto publico y la inversion tienen un mınimo en cero, la balanza comercial nunca
puede ser mayor al producto. Si observamos las soluciones obtenidas, el primer caso si satisface esta restriccion, pero el segundo
no. Por lo tanto, en el segundo escenario el resultado de la balanza comercial no es factible.
17
4. Ejercitacion 4
4.a. Ejercicio 1 capıtulo 7 SGU
En el presente ejercicio vamos a analizar el escenario de una pequena economıa abierta de dos perıodos ante la presencia de
impuestos distorsivos. En esta economıa, los agentes tienen la siguiente funcion de utilidad:
U(c1, c2) = ln c1 + β ln c2
Siguiendo lo propuesto por el enunciado, el factor de descuento β es igual a 1/(1+0.1). Los hogares reciben dotaciones tanto
en el perıodo 1 como en el perıodo 2:
Q1 = Q2 = 10
Sumado a esto, pueden pedir prestado o prestar en el mercado internacional a una tasa r = 0.10.
Por ultimo, el gobierno cobra impuestos en el perıodo 1 y en el perıodo 2 de la siguiente manera:
T1 = TL + τc1
T2 = τc2
Tanto el gobierno como los agentes empiezan en el momento 0 con una posicion de activos igual a cero, esto es: BP = BG = 0.
a) Para comenzar, derivaremos las restricciones intertemporales del agente, del gobierno y de la economıa en su conjunto.
En el perıodo 1, el agente tiene como ingreso su dotacion, con lo cual consume, ahorra en activos BP y paga impuestos. Esto
es:
Q1 = c1 +BP1 + T1
Para el segundo perıodo podemos plantear la restriccion de manera similar, pero incorporando los cobros de renta (o pago
de intereses si dedicio endeudarse):
Q2 + (1 + r)BP1 = c2 + T2 +BP2
18
Dado que BP1 esta en ambas restricciones, podemos armar una unica restriccion intertemporal:
Q2 + (1 + r) (Q1 − c1 − T1) = c2 + T2 +BP2
c1 +c2
1 + r= (Q1 − T1) +
(Q2 − T2)
1 + r(29)
Por ultimo, podemos introducir la forma que describimos de los impuestos:
c1 +c2
1 + r= (Q1 − TL − τ1)c1 +
(Q2 − τ2c2)
1 + r(30)
La restriccion intertemporal del gobierno, dado que en el momento 0 no tiene activos ni deuda, es:
G1 +G2
1 + r= TL + τ1c1 +
τ2c21 + r
Por ultimo, podemos derivar la restriccion intertemporal de la economıa en su conjunto. Notemos que la ecuacion (30) la
podemos escribir como:
c1 +c2
1 + r= Q1 +
Q2
1 + r− TL − τ1c1 −
τ2c21 + r
Usando la restriccion intertemporal del gobierno, la ecuacion anterior es igual a:
c1 +c2
1 + r= Q1 +
Q2
1 + r−(G1 +
G2
1 + r
)
c1 +c2
1 + r+G1 +
G2
1 + r= Q1 +
Q2
1 + r
El valor presente descontado del consumo total (privado y publico), debe ser igual al valor presente descontado de los ingresos.
b) Pasemos ahora al problema de maximizacion del consumidor representativo:
maxc1,c2
lnc1 + βlnc2 Sujeto a: c1 +c2
1 + r≤ Q1 − TL − τ1c1 +
Q2
1 + r− τ2c2
1 + r(31)
Si escribimos el lagrangiano:
L = lnc1 + βlnc2 + λ
(Q1 − TL − τ1c1 +
Q2
1 + r− τ2c2
1 + r− c1 −
c21 + r
)
19
Tomando condiciones de primer orden:
(c1) :1
c1= λ(1 + τ1)
(c2)β
c2= λ
((1 + τ2)
1 + r
)Si despejamos λ en el primero y lo introducimos en el segundo, obtenemos:
β
c2=
1
c1(1 + τ2)
(1 + τ2)
1 + r
Reordenando terminos:
c1 =(1 + τ2)
(1 + τ1)
(1
β 1 + r
)c2
Notemos que, si los impuestos distorsivos son iguales en ambos perıodos, la relacion entre el consumo del perıodo 1 y el
consumo del perıodo 2 queda determinada por la relacion entre la tasa de impaciencia del individuo y la tasa de interes del
mercado (la cual se puede pensar como la tasa de impaciencia del mercado). En nuestro caso en particular:
c1 =(1 + τ2)
(1 + τ1)c2
La ultima condicion de primer orden es simplemente la restriccion intertemporal del agente:
c1 +c21.1
= Q1 − TL − τ1c1 +Q2
1.1− τ2c2
1.1
Si introducimos la ultima igualdad obtenida:
(1
β 1 + r
)(1 + τ2)
(1 + τ1)c2 +
c21 + r
= Q1 − TL − τ1(
1
β 1 + r
)(1 + τ2)
(1 + τ1)c2 +
Q2
1 + r− τ2c2
1 + r
(1
β 1 + r
)(1 + τ1)
(1 + τ2)
(1 + τ1)c2 +
(1 + τ2)c21 + r
= Q1 − TL +Q2
1 + r
(1
β 1 + r
)(1 + τ2)c2 +
(1 + τ2)c21 + r
= Q1 − TL +Q2
1 + r
20
(1 + τ2)
1 + rc2
(1
β+ 1
)= Q1 − TL +
Q2
1 + r
(1 + τ2)c21 + r
(1 + β
β
)= Q1 − TL +
Q2
1 + r
c2 =
(β
1 + β
)(1 + r)
(1 + τ2)
(Q1 − TL +
Q2
1 + r
)(32)
En primer lugar, notemos que el ultimo termino del lado derecho de la ecuacion es el valor presente de los ingresos futuros,
neto de los impuestos de suma fija (en este ejercicio en particular, no hay impuestos de suma fija en el perıodo 2). El resultado
obtenido nos dice que: cuanto mayor sea el nivel de paciencia del agente, mayor sera el consumo del perıodo 2; cuanto mayor sea
la tasa de interes que reciba el agente, mayor sera el consumo del perıodo 2; y que cuanto mayor sea el impuesto distorsivo del
perıodo 2, menor sera el consumo en dicho perıodo. Sumado a esto, notemos que hemos encontrado la tıpica funcon de demanda
de bienes cuando la funcion de utilidad es Cobb-Douglas, dado que U = lnc1 + βlnc2 es equivalente a maximizar U = c11cβ2
Utilizando el resultado (32), podemos retomar la ecuacion que relaciona al consumo en el perıodo 1 con el consumo en el
perıodo 2:
c1 =(1 + τ2)
(1 + τ1)
(1
β(1 + r)
)c2
c1 =(1 + τ2)
(1 + τ1)c2
c1 =(1 + τ2)
(1 + τ1)
(1
1 + β
)1
(1 + τ2)
(Q1 − TL +
Q2
1.1
)
c1 =1
(1 + τ1)
1
1 + β
(Q1 − TL +
Q2
1.1
)(33)
Aquı, una mayor tasa de paciencia implica un menor consumo en el perıodo 1, y un impuesto distorsivo mayor en el perıodo
1 implica una caıda del consumo en dicho perıodo. Utilicemos ahora los valores del enunciado:
c1 =1
(1 + τ1)
1
1 + 11.1
(10− TL +
10
1.1
)(34)
c2 =
(1
1 + 11.1
)1
(1 + τ2)
(10− TL +
10
1.1
)(35)
21
c) G1 = G2 = 2 ; τ1 = τ2 = 0.2
En primer lugar, si observamos las soluciones (34) y (35), podemos ver que si las tasas impositivas son iguales, c1 = c2. Al
mismo tiempo, notemos que ambos consumos dependeran solo de TL, por lo que si introducimos esto en la RP intertemporal
del gobierno, junto con los valores de los gastos, podemos obtener TL:
G1 +G2
1.1= TL + τ1c1 +
τ2c21.1
2 +2
1.1= TL + 0.2
1
(1 + 0.2)
1
1 + 11.1
(10− TL +
10
1.1
)+
(1
1 + 11.1
)1
(1 + 0.2)
(10− TL +
10
1.1
)0.2
1.1
2 +2
1.1= TL + 0.2
1
1.2
(1
1 + 11.1
)(10− TL +
10
1.1
)+
(1
1 + 11.1
)1
1.2
(10− TL +
10
1.1
)0.2
1.1
2.2 + 2
1.1= TL +
(1
5
)(5
6
)(11
21
)(10− TL +
100
11
)+
(11
21
)5
6
(10− TL +
10
1.1
)(1
5
)10
11
42
11= TL +
(1
6
)(11
21
)(10− TL +
100
11
)+
(1
21
)1
6
(10− TL +
100
11
)10
42
11= TL +
(10− TL +
100
11
)[(1
6
)(11
21
)+
(1
21
)(1
6
)10
]
42
11= TL +
(10− TL +
100
11
)[11
126+
10
126
]
42
11= TL +
(10− TL +
100
11
)1
6
42
11= TL +
(−TL +
210
11
)1
6
42
11=
5
6TL +
35
11
22
7
11
6
5= TL
TL =42
55(36)
Una vez que tenemos TL, podemos obtener los consumos de ambos perıodos:
c1 =1
(1 + 0.2)
1
1 + 11.1
(10− 42
55+
10
1.1
)
c1 =10
12
11
21
(10− 42
55+
100
11
)
c1 =10
12
11
21
(550− 42 + 500
55
)
c1 =1
12
2
21(1008)
c1 =2016
252
c1 = 8 (37)
Dado que sabemos que c1 = c2
c2 = 8 (38)
Una vez que tenemos los consumos, podemos calcular la recaudacion impositiva:
T1 =42
55+
1
58 =
42 + 88
55=
130
55(39)
T2 =1
58 =
8
5(40)
Recordemos que G1 = 2, por lo tanto, en el perıodo 1 la restriccion del gobierno es:
G1 = T1 +BG1
23
2 =130
55+BG1
BG1 = −20
55(41)
Notemos que hemos puesto a B en el gobierno como una forma de financiamiento, por lo que un B positivo es deuda, mientras
que un B negativo es activos. En este escenario, el gobierno esta teniendo un superavit primario y con dicho superavit adquiere
activos externos. Por otro lado, la restriccion del agente en el perıodo 1 es:
Q1 = c1 +BP1 + T1
10 = 8 +BP1 +130
55
2 = BP1 +130
55
BP1 = −20
55(42)
Notemos que para el privado, hemos puesto a B del lado de los gastos, por lo que un B positivo implica una compra de
activos y un B negativo implica endeudamiento, al reves que en el caso del gobierno.
El nivel de deuda agregado que tiene la economıa en su conjunto es la deuda del gobierno BG1 menos los activos del privado
BG1 . Si los sumamos, podemos ver que estos se cancelan y el agregado es cero. Si la deuda a nivel agregado es cero, la posicion
de activos externos tambien es cero (dado que es la deuda con signo contrario). Por lo tanto, si en el perıodo 0 el estado de los
activos externos agregados para el conjunto de la economıa era cero, la cuenta corriente es igual a cero:
CA = B1 −B0 = 0
Sumado a esto, si la cuenta corriente es igual a cero, el trade balance tambien es igual a cero:
TB1 + rB0 = CA
TB1 = CA− rB0 = 0
24
Basicamente, lo que esta pasando es que la tasa de interes internacional es igual a la tasa de interes que tendrıa el paıs en
autarquıa.
d) G1 = G2 = 2 ; τ1 = 0.1 ; TL = 4255
Notemos que el impuesto de suma fija en el primer perıodo se mantiene constante, por lo tanto el consumo en el perıodo 1
es igual a:
c1 =1
(1 + 0.1)
1
1 + 11.1
(10− 42
55+
10
1.1
)El unico cambio esta en la tasa impositiva. Si trabajamos la ecuacion:
c1 =10
11
11
21
(1008
55
)
c1 =10
21
(1008
55
)
c1 =10080
1155=
2016
231= 8.73 (43)
Como era de esperarse, el consumo en el perıodo 1 aumento. Antes de pasar al consumo del perıodo 2, calculemos primero
la tasa impositiva del perıodo 2 a traves de la RP intertemporal del gobierno:
G1 +G2
1.1= TL + τ1c1 +
τ2c21.1
Notemos que el lado izquierdo de la ecuacion es igual a 4211 , la recaudacion por los impuestos distorsivos del perıodo 1 son
20162310 y la recaudacion del mismo perıodo por impuestos de suma fija es de 42
55 . La diferencia, debe financiarse con los impuestos
distorsivos del segundo perıodo en valor del primer perıodo. Esto es:
42
11− 42
55− 2016
2310= τ2c2
10
11
Al mismo tiempo, sabemos que c2 es:
c2 =
(1
1 + 11.1
)1
(1 + τ2)
(10− 42
55+
10
1.1
)
25
c2 =11
21
1008
55
1
1 + τ2
c2 =1008
105
1
1 + τ2
Notemos que si el impuesto es de 0.2, tenemos la misma cantidad de antes, 8. Retomando, introduciendo esto en la condicion
anterior:
42
11− 42
55− 2016
2310= τ2c2
10
11
42
11− 42
55− 2016
2310= τ2
1008
105
1
(1 + τ2)
10
11
42
11− 42
55− 336
385= τ2
1008
105
1
(1 + τ2)
10
11
1470− 294− 336
385= τ2
1008
105
1
(1 + τ2)
10
11
840
385= τ2
10080
1155
1
(1 + τ2)
840
385
1155
10080= τ2
1
(1 + τ2)
1
4= τ2
1
(1 + τ2)
1
4=
3
4τ2
τ2 =1
3(44)
Este resultado es el esperado. Si el primer perıodo bajo la tasa del 20 % al 10 %, en el segundo voy a tener que subir la tasa
26
mas que la baja del primer perıodo, dado que voy a pagar intereses por el endeudamiento que use para financiar esa baja de
impuestos.
Por ultimo, nos queda el consumo del perıodo dos:
c2 =1008
105
1
1 + τ2
c2 =1008
105
3
4
c2 = 7.2 (45)
Ya tenemos las tasas impositivas y los consumos de cada perıodo. Evaluemos ahora que ocurre con la trade balance. Recor-
demos que esta es igual a:
TB1 = Q1 −G1 − c1
No hemos incluıdo la inversion porque estamos en una economıa de dotacion.
Por lo tanto, ya tenemos los tres datos del lado derecho:
TB1 = −0.73 (46)
Dado que no hay deuda al inicio del perıodo 1, la cuenta corriente es igual a la balanza comercial. Por ultimo, el deficit
primario del gobierno en el perıodo 1 es:
D1 = G1 − T1 = 2− 42
55− 0.18.73 = 0.36
Por lo tanto, el gobierno se debera endeudar, a diferencia del inciso pasado. De la misma manera podemos calcular la cartera
de activos del agente:
Bp1 = Q1 − (1 + τ1)c1 − TL
Bp1 = 10− 9.60− 0.76 = −0.36
27
Por lo tanto, ambos se endeudan. Y de esta manera, la deuda del gobierno (0.36) mas la deuda del agente (0.36) sumadas
son equivalentes al saldo de cuenta corriente en el perıodo 1.
e) Ahora, a diferencia de antes, lo que ajuste ante la baja de impuestos distorsivos es TL.
τ1 = 0.1 ; τ2 = 0.2
Retomemos la restriccion intertemporal del gobierno:
G1 +G2
1 + r= TL + τ1c1 + τ2c2
1
1 + r
G1 +G2
1 + r= TL + 0.1c1 + 0.2c2
1
1 + r
Al mismo tiempo, sabemos que:
c1 =1
(1 + τ1)
1
1 + 11.1
(10− TL +
10
1.1
)
c2 =
(1
1 + 11.1
)1
(1 + τ2)
(10− TL +
10
1.1
)Por lo tanto, combinando estas tres ecuaciones:
G1 +G2
1.1= TL + 0.1
1
(1 + 0.1)
1
1 + 11.1
(10− TL +
10
1.1
)+
0.2
1.1
(1
1 + 11.1
)1
(1 + 0.2)
(10− TL +
10
1.1
)
42
11= TL +
1
10
10
11
11
21
((10− TL +
100
11
)+
2
11
11
21
10
12
(10− TL +
100
11
)
42
11= TL +
1
21
(10− TL +
100
11
)+
5
63
(10− TL +
100
11
)
42
11= TL
(1− 1
21− 5
63
)+
(1
21+
5
63
)(10
11
)
28
42
11=
53
63TL +
8
63
10
11
42
11− 80
693=
53
63TL
(2646− 80)
693=
583
693TL
2566
583= TL
TL =2566
583= 4.40 (47)
Ahora debemos encontrar los consumos optimos:
c1 =1
(1 + 0.1)
1
1 + 11.1
(10− 2566
583+
10
1.1
)
c1 =10
11
11
21
(5830
583− 2566
583+
5300
583
)
c1 = 101
21
8564
583
c1 =85640
12243= 6.995 (48)
c2 =
(1
1 + 11.1
)1
(1 + 0.2)
(10− 2566
583+
10
1.1
)
c2 =11
21
10
12
8564
583
c2 =942040
146916= 6.412 (49)
Para el perıodo 1, ya podemos calcular la balanza comercial:
29
TB1 = 10− 85640
12243− 2 =
122430
12243− 85640
12243− 24486
12243=
12304
12243= 1.005
Dado que la deuda inicial es cero, la cuenta corriente es igual a la balanza comercial.
El deficit primario del estado en el perıodo 1 es:
D1 = G1 − TL − τ1c1
D1 = 2− 4.40− 0.1 6.995 = −3.0995
La deuda del agente en el perıodo 1 es: Bp1 = 10− 4.40− 0.6995− 6.995 = −2.0945
Notemos que, a pesar de que la intencion del gobierno es mantener la estructura impositiva del principio del ejercicio (esto
es, bajar el impuesto distorsivo pero como contraposicion subir el impuesto de suma fija), la forma en que el estado recauda y
el nivel de deuda necesario cambia. Esto se debe a que para el individuo, la baja de la tasa impositiva en el primer perıodo es
equivalente a un cambio en el precio relativo, esto es, un abaratamiento del consumo en el perıodo 1, mientras que el aumento
del impuesto de suma fija es simplemente una quita de dotacion, que no afecta precios relativos. Por este motivo, sus decisiones
de consumo cambian, y la recaudacion del gobierno tambien.
g) Eliminacion de impuestos de suma fija. Por otro lado, G1 = 2 y G2 = 1. ¿Cual es el esquema optimo del gobierno tal que
se maximice la utilidad del consumidor?
Para responder esta pregunta, recordemos la condicion de primer orden del consumidor:
c1 =(1 + τ2)
(1 + τ1)c2
Si el gobierno quiere ”molestar”lo menos posible al consumidor, debe fijar las tasas impositivas de forma tal que no afecte
los precios relativos. Esto es: τ1 = τ2. Para encontrar el valor de la tasa, utilicemos la RP intertemporal del gobierno:
2 +1
1.1= τc+ τ
c
1.1
En primer lugar, no indexamos la tasa porque es la misma. Al mismo tiempo, si la tasa es la misma, sabemos que el consumo
es el mismo en cambos perıodos. Por lo tanto, podemos olvidarnos de la indexacion.
2 +1
1.1= τ
(1
1 + 11.1
)1
(1 + τ)
(10 +
10
1.1
)+ τ
1
1.1
(1
1 + 11.1
)1
(1 + τ)
(10 +
10
1.1
)
30
32
11=
τ
(1 + τ)
(210
21+
2100
231
)
32
11=
τ
(1 + τ)
(10 +
100
11
)
32
11=
τ
(1 + τ)
210
11
32
210=
τ
(1 + τ)
τ = 0.18 (50)
Podemos plantear el problema formalmente. Primero, maximizamos el problema del consumidor. La solucion es:
c1 =1
(1 + τ1)
1
1 + 11.1
(10 +
10
1.1
)
c2 =
(1
1 + 11.1
)1
(1 + τ2)
(10 +
10
1.1
)Luego, calculamos la funcion de utilidad indirecta (la funcion de utilidad evaluada en el optimo):
V (τ1, τ2) = ln
(1
(1 + τ1)
1
1 + 11.1
(10 +
10
1.1
))+ β ln
(1
(1 + τ2)
1
1 + 11.1
(10 +
10
1.1
))
Por propiedades de los logaritmos:
V (τ1, τ2) = ln
(1
1 + 11.1
(10 +
10
1.1
))− ln(1 + τ1) + β ln
(1
1 + 11.1
(10 +
10
1.1
))− βln(1 + τ2)
El problema del gobierno es maximizar la utilidad indirecta del agente mediante la eleccion optima de las tasas impositivas,
sujeto a que sea satisfecha la RP del gobierno. Si planteamos el lagrangiano:
L =ln
(1
1 + 11.1
(10 +
10
1.1
))− ln(1 + τ1) + βln
(1
1 + 11.1
(10 +
10
1.1
))− βln(1 + τ2)+
λ
(τ1
1
(1 + τ1)
1
1 + 11.1
(10 +
10
1.1
)+
τ21.1
1
(1 + τ2)
1
1 + 11.1
(10 +
10
1.1
)−G1 −
G2
1.1
)
31
Tomamos condiciones de primer orden:
(τ1) :−1
1 + τ1+ λ
11
21
210
11
(1
1 + τ1− τ1
(1 + τ1)2
)= 0
λ11
21
210
11
(1
1 + τ1− τ1
(1 + τ1)2
)=
1
1 + τ1
λ11
21
210
11
(1− τ1
(1 + τ1)
)= 1
λ11
21
210
11
(1
(1 + τ1)
)= 1
1 + τ1 = λ11
21
210
11(51)
Ahora hacemos lo mismo para τ2:
(τ2) :−β
1 + τ2+ λ
11
21
210
11
(1
1 + τ2− τ2
(1 + τ2)2
)10
11= 0
λ11
21
210
11
(1
1 + τ1− τ1
(1 + τ1)2
)1
1.1=
β
1 + τ1
Recordemos que β es igual a 11.1 , por lo que tenemos:
λ11
21
210
11
(1
1 + τ1− τ1
(1 + τ1)2
)=
1
1 + τ1
Con los mismos pasos que para la otra CPO, obtenemos:
1 + τ2 = λ11
21
210
11(52)
Por lo tanto, como mencionamos antes de hacer las cuentas, τ1 = τ2. Las cuentas para encontrar los valores las hicimos
previamente con la RP intertemporal del agente.
32
5. Ejercitacion 5
5.a. Romer (1996), capıtulo 2, ejercicio 2.14
Consideremos el modelo de Diamond de generaciones superpuestas, con preferencias Cobb-Douglas. La particularidad de este
modelo es que hay agentes que nacen y otros que mueren en cada perıodo. Cada individuo vive solamente dos perıodos y, al
igual que en los modelos anteriores, el tiempo es discreto. La poblacion crece a una tasa n:
Lt = (1 + n)Lt−1
Y cada individuo ofrece una unidad de trabajo cuando es joven, y divide ese ingreso entre el consumo del primer perıodo
y el consumo del segundo perıodo. Siguiendo el apartado 2.8 del libro, denotemos C1t y C2t los consumos en el perıodo 1 y el
perıodo 2 de un agente que nace en el perıodo t, respectivamente.
La funcion de produccion satisface todos los supuestos tradicionales: rendimientos constantes a escala y condiciones de Inada:
Yt = F (Kt, AtLt)
Y la productividad tambien crece a una tasa exogena g:
At = (1 + g)At−1
Si tomamos la funcion de produccion y la dividimos por Lt, tenemos:
F (Kt, AtLt)
AtLt= f
(Kt
AtLt, 1
)= F (kt)
Esto es valido dado que tenemos rendimientos constantes a escala. De esta manera, tenemos al capital en unidades efectivas
de trabajo. Esto sera util si queremos obtener el equilibrio en estado estacionario, dado que si At crece en el tiempo, no podemos
obtener un estado estacionario solo en variables per capita. Notemos que en unidades efectivas de trabajo, la firma solo elegi el
capital, y dado que los mercados son competitivos:
maxLt,Kt
F (Kt, AtLt)− wtLt − rtKt
maxkt
f(kt)− wt − rtkt
33
Si derivamos respecto al capital en unidades efectivas de trabajo, obtenemos la condicion de siempre:
rt = f ′(kt) (53)
Por otro lado, dado que las firmas son perfectamente competitivas, sabemos que sus beneficios deben ser cero:
0 = f(kt)− wt − f ′(kt)kt −→ wt = f(kt)− f ′(kt)kt (54)
Hemos denotado a las variables en unidades efectivas de trabajo en minuscula, y a las variables agregadas en mayuscula.
Por ultimo, hay un stock de capital inicial K0 que lo poseen equitativamente los “viejos”.
Por lo tanto, en el perıodo 0, los ancianos poseen K0, y los jovenes solo poseen como recurso su mano de obra, y con los
ingresos que obtienen, consumen o ahorran a traves de la acumulacion de capital. Para facilitar las cuentas, y siguiendo la seccion
del libro mencionada, utilizaremos una tasa de depreciacion igual a cero. Los ancianos del perıodo 0 consumen su ingreso por
capital y su riqueza, mientras que, como mencionamos recien, los jovenes obtienen recursos mediante su trabajo y su ahorro es
igual a wtAt −C1t (notemos que dado que ofrecen trabajo inelasticamente, ofrecen lo maximo posible, esto es: 1). Podemos ver
que:
Kt+1 = wtAt − C1t
Luego, el proceso comienza nuevamente, donde los nuevos jovenes que nacen trabajan para consumir y ahorrar, y los viejos
solo poseen capital, que utilizan para consumir en su ultimo perıodo de vida. Y ası sucesivamente.
Pasemos ahora al problema del consumidor. Su restriccion en el perıodo 1 es:
C1t +K1,t+1 = wtAt
Y en el segundo perıodo:
C2,t+1 = (1 + rt)(K1,t+1)
Por lo tanto, combinando las dos condiciones:
C2,t+1 = (1 + rt+1)(wtAt − C1t)
Reordenando terminos:
34
C1t +C2,t+1
1 + rt= wtAt (55)
El valor presente descontado de sus consumos debe ser igual al valor presente descontado de sus ingresos. Escribamos entonces
el problema de maximizacion de un agente recien nacido:
maxC1t,C2,t+1
ln(C1t) + βln(C2t)
Sujeto a: C1t +C2,t+1
1 + rt= wtAt
Recordemos que β es la tasa de impaciencia del agente, y esta entre 0 y 1. A mayor β, mas paciente es el agente. Por lo
tanto, podemos reexpresar esta variable como β = 11+ρ , donde ρ ≥ 0, y a mayor ρ mas impaciente es el agente. Entonces:
maxC1t,C2,t+1
ln(C1t) +1
1 + ρln(C2,t+1)
Sujeto a: C1t +C2,t+1
1 + rt= wtAt
Si tomamos condiciones de primer orden:
1
C1t= λ
1
(1 + ρ)C2,t+1=
λ
(1 + rt)
Recordemos que λ es el multiplicador de Lagrange. Combinando las dos condiciones de optimo del agente:
C2,t+1
C1t=
(1 + rt)
(1 + ρ)(56)
Al igual que en la ejercitacion 4, si la tasa de impaciencia del agente es igual a la tasa de interes del mercado, entonces sus
consumos en los dos perıodos seran iguales.
Utilizando la ecuacion (56) junto con la restriccion intertemporal:
C1t +C1t
(1 + ρ)= wtAt
C1t
(2 + ρ
1 + ρ
)= wtAt
35
C1t =(1 + ρ)
(2 + ρ)wtAt (57)
Y para el consumo del perıodo 2:
C2,t+1 =(1 + rt)
(2 + ρ)wtAt (58)
Denotemos a s como la fraccion del ingreso ahorrado:
s =1
2 + ρ
Con preferencias logarıtmicas, la tasa de ahorro no depende de la tasa de interes, sino solamente de la tasa de impaciencia
subjetiva del agente. El hecho de que no dependa de r significa que el efecto sustitucion y el efecto ingreso que genera un aumento
(o disminucion) de la tasa de interes se cancelan entre sı. Cuando la tasa de interes aumenta, por un lado aumenta el costo
de oportunidad de consumir en el perıodo 1, por lo tanto, por efecto sustitucion tengo incentivos a consumir menos en t = 1.
Sin embargo, un aumento de la tasa de interes tambien me vuelve mas rico si soy un agente que ahorra, dado que manana me
pagaran una mayor tasa, por lo tanto tengo incentivos a aumentar ambos consumos. Con preferencias logarıtmicas, los efectos
opuestos en C1t se cancelan, y solo aumenta C2,t+1.
El ahorro de la economıa en el perıodo 1 esta dado por:
Kt+1 =1
(2 + ρ)LtAtwt
Cada agente ahorra (1)(2+ρ)Atwt, y si hay Lt individuos, simplemente lo multiplicamos por dicha cantidad. Para pasarlo en
terminos de unidades efectivas de trabajo, vamos a dividir ambos lados por At+1Lt+1. Del lado izquierdo de la ecuacion, nos
queda el capital en unidades efectivas de trabajo de manana, y del lado derecho podemos usar las tasa de crecimiento de A y L
para simplificar el resultado. Entonces:
kt+1 =1
(2 + ρ)
1
(1 + n)(1 + g)wt (59)
Dadas las condiciones de optimo de la firma representativa, podemos reemplazar wt:
kt+1 =1
(2 + ρ)
1
(1 + n)(1 + g)(f(kt)− f ′(kt)kt) (60)
Por ultimo, utilicemos una funcion de produccion Cobb-Douglas:
36
F (Kt, AtLt) = Aαt LαK1−α
t
f(kt) = Aαt LαK1−α
t
1
AtLt
f(kt) =
(Kt
AtLt
)1−α
= k(1−α)t
Introduciendo esto en la condicion (60):
kt+1 =1
(2 + ρ)(1 + n)(1 + g)
(k1−αt − (1− α)k−αt kt
)=
1
(2 + ρ)(1 + n)(1 + g)
(k1−αt α
)(61)
Notemos que aquı expresamos el capital en unidades efectivas de trabajo de manana en terminos del capital en unidades de
trabajo efectiva de hoy. Nuevamente, no podemos escribirlo solo en terminos per capita porque si lo hacemos, quedarıa At del
lado derecho de la ecuacion, y no podrıamos obtener el estado estacionario, dado que At crece en el tiempo.
Ahora podemos responder lo solicitado por el enunciado.
1- n aumenta: si la tasa de crecimiento de la poblacion aumenta, dado que n esta solo en el denominador, el stock de capital
del proximo perıodo en unidades efectivas de trabajo cae.
2- α aumenta: aquı no es tan sencillo determinar que sucede, dado que por un lado aumenta el termino α que esta en el
numerador pero cae k1−αt . Por lo tanto, calculemos la derivada. En primer lugar, notemos que todo la fraccion es positiva, y
podemos ignorarla a la hora de ver el signo de la derivada. Entonces:
∂(k1−αt α)
∂α= k1−αt + (1− α)k−αt α
Dado que k−αt es positivo y esta en ambos terminos, lo podemos ignorar:
kt + (1− α)α > 0
Por lo tanto, un aumento de α aumenta el stock de capital en unidades efectivas de trabajo del proximo perıodo.
3- Por ultimo, nos preguntan sobre como responde kt ante una caıda de A. Sin embargo, notemos que por como escribimos
el problema, A no nos aparece en la solucion del capital en unidades efectivas de trabajo. Para que aparezca, debemos reescribir
el problema. Supongamos que no hay tasa de crecimiento de la tecnologıa g = 0, de forma tal que podemos escribir el problema
en terminos per capita sin ningun tipo de problema:
37
Si hacemos esto y utilizamos x para hablar de la variable x en terminos per capita:
F (Kt
Lt,LtLt
) = ALαt K1−αt
1
Lt= f(kt) = Akt
1−α
f ′(kt) = A(1− α)kt−α
Al mismo tiempo:
kt =1
(2 + ρ)(1 + n)Awt
Del problema de la firma, si lo hacemos per capita en lugar de en unidades efectivas de trabajo:
maxLt,Kt
F (Kt, Lt)− wtLt − rtKt
maxkt
f(kt)− wt − rtkt
Entonces:
wt = Akt1−α −A(1− α)kt
1−α
Combinando estos resultados:
kt =1
(2 + ρ)(1 + n)A(Akt
1−α −A(1− α)kt1−α)
kt =1
(2 + ρ)(1 + n)A2(kt
1−α − (1− α)kt1−α)
Por lo tanto, si no hay crecimiento tecnologico, y escribo las variables en terminos per capita en lugar de en unidades efectivas
de trabajo, el nivel de capital per capita cae ante una caıda de la productividad.
Si lo queremos mirar en terminos de unidades efectivas de trabajo, un cambio en A no genera ningun cambio en dicha medida,
pero recordando que:
Kt+1 = kt+1Lt+1At+1
38
At+1 = At(1 + g)
Una caıda de At sı genera una caıda del nivel de capital agregado de la economıa.
Antes de pasar al siguiente inciso, retomemos la relacion entre el capital de hoy y el capital de manana en el escenario general:
kt+1 =1
(2 + ρ)(1 + n)(1 + g)
(k1−αt α
)Calculemos ahora el estado estacionario kt+1 = kt = k∗:
k∗ =
(α
(2 + ρ)(1 + n)(1 + g)
) 1α
5.b. Romer (1996), capıtulo 2, ejercicio 2.17
a) En este ejercicio vamos a introducir seguridad social en el modelo de Diamond. Sumado a esto, la productivida es constante
a lo largo del tiempo.
Las restricciones del agente ahora son, en el perıodo 1:
C1t +Kt+1 + T = wtA
Y en el perıodo 2:
C2,t+1 = (1 + rt)Kt+1 + (1 + n)T
La restriccion intertemporal del agente ahora es:
C2,t+1 = (1 + rt)(wtA− C1t − T ) + (1 + n)T
(1 + rt)C1t + C2,t+1 = (1 + rt)(wtA− T ) + (1 + n)T
(1 + rt)C1t + C2,t+1 = (1 + rt)wtA+ (n− rt)T
39
O reordenando terminos:
C1t +C2,t+1
1 + rt= wtA+
T (n− rt)(1 + rt)
(62)
En primer lugar, si n = rt, la RP intertemporal no se ve influenciada por T. Sumado a esto, notemos que las condiciones de
primer orden respecto a los consumos seran iguales, por lo tanto, por la ecuacion (56):
C2,t+1
C1t=
(1 + rt)
(1 + ρ)
Y entonces:
C1t =(1 + ρ)
(2 + ρ)[wtA+
T (n− rt)(1 + rt)
]
El ahorro en el primer perıodo es:
Kt+1 = wtA− T −(1 + ρ)
(2 + ρ)
[wtA+
T (n− rt)(1 + rt)
]
Kt+1 = wtA1
(2 + ρ)− T − (1 + ρ)
(2 + ρ)
[T (n− rt)(1 + rt)
]
Kt+1 = wtA1
(2 + ρ)− T
((1 + ρ)
(2 + ρ)
[(n− rt)(1 + rt)
]+ 1
)
Kt+1 = wtA1
(2 + ρ)− T
((1 + ρ)
(2 + ρ)
[(n− rt)(1 + rt)
]+ 1
)
Kt+1 = wtA1
(2 + ρ)− T
[(1 + ρ)(n− rt) + (1 + rt)(2 + ρ)
(1 + rt)(2 + ρ)
]
Kt+1 = wtA1
(2 + ρ)− T
[n− rt + nρ− ρrt + 2 + ρ+ 2rt + rtρ
(1 + rt)(2 + ρ)
]
Kt+1 = wtA1
(2 + ρ)− T
[n(1 + ρ) + 2 + ρ+ rt
(1 + rt)(2 + ρ)
]
40
Por lo tanto, el ahorro agregado de la economıa es:
Kt+1 =
(wtA
1
(2 + ρ)− T
[n(1 + ρ) + 2 + ρ+ rt
(1 + rt)(2 + ρ)
])Lt (63)
El problema de la firma sigue siendo el mismo, por lo que las ecuaciones (53) y (54) se mantienen. A pesar de que la tecnologıa
es constante en el tiempo, vamos a escribir el problema en unidades efectivas de trabajo igualmente, dado que ası es mas facil
comparar las soluciones:
Kt+1
LtA=
(wt
1
(2 + ρ)− T
A
[n(1 + ρ) + 2 + ρ+ rt
(1 + rt)(2 + ρ)
])
kt+1 =
(wt
1
(2 + ρ)(1 + n)− T
A
[n(1 + ρ) + 2 + ρ+ rt(1 + rt)(2 + ρ)(1 + n)
])Reemplacemos wt utilizando la condicion de Euler:
kt+1 =
((k1−αt α
) 1
(2 + ρ)(1 + n)− T
A
[n(1 + ρ) + 2 + ρ+ rt(1 + rt)(2 + ρ)(1 + n)
])
kt+1 =(k1−αt α
) 1
(2 + ρ)(1 + n)− T
A(1 + n)
((1 + ρ)
(2 + ρ)
[(n− rt)(1 + rt)
]+ 1
)Basicamente, si la tasa de interes es igual a la tasa de crecimiento poblacional, el nivel de capital en unidades efectivas de
trabajo cae en el monto T. Sumado a esto, podemos notar que el nivel de capital optimo cae para cualquier relacion entre la
tasa de interes y el crecimiento poblacional.
Dado que si n = rt, la forma de ahorro vıa T genera el mismo retorno para el agente que si ahorrara vıa capital, el agente
simplemente reduce el monto ahorrado de forma que el ingreso por traslado de ingreso del presente al futuro sea el mismo de
antes. Utilicemos la CPO de la firma para sacar a rt del problema:
kt+1 =(k1−αt α
) 1
(2 + ρ)(1 + n)(1 + g)− T
A(1 + n)
((1 + ρ)
(2 + ρ)
[(n− (1− α)k−αt )
(1 + (1− α)k−αt )
]+ 1
)Calculemos ahora el estado estacionario en este nuevo escenario:
k∗ =(k∗1−αα
) 1
(2 + ρ)(1 + n)(1 + g)− T
A(1 + n)
((1 + ρ)
(2 + ρ)
[(n− (1− α)k∗−α)
(1 + (1− α)k∗−α)
]+ 1
)La solucion esta implıcita, no podemos obtenerla de forma directa.
41
Si, partiendo de este nuevo estado estacionario, aumenta sorpresivamente T, se veran beneficiados los ancianos que mueren en
dicho perıodo, dado que aumentaran las transferencias que reciben hoy, sin haber pagado un monto mayor cuando eran jovenes.
Notemos que, antes de este aumento, el presupuesto del gobierno en cada perıodo estaba equilibrado:
LtT = (1 + n)Lt−1T
Supongamos que en el perıodo 1, aumentan las transferencias que reciben los viejos, entonces el lado derecho de la ecuacion
sera (1 + n)L0T′. Si la suba es transitoria, los jovenes de ese perıodo se veran perjudicados, dado que en el proximo perıodo,
cuando sean viejos, la transferencia volvera a T. Mientras que, si la suba es permanente, la mejor o peor situacion de las futuras
generaciones dependera del signo de n − rt, donde rt depende de la productividad. Recordemos que hemos encontrado que la
RP intertemporal del agente era:
C1t +C2,t+1
1 + rt= wtA+ T
(n− rt)(1 + rt)
b) A diferencia del inciso anterior, ahora supongamos que en lugar de pagarle (1+n) T en el siguiente perıodo, le paga
(1 + rt)T . Si esto es ası, la RP intertemporal del agente que vive dos perıodos es:
C2,t+1 = (1 + rt)(wtA− C1t − T ) + (1 + rt)T
Por lo tanto, reacomodando terminos como en la condicion (62):
C1t +C2,t+1
1 + rt= wtA+ T
(rt − rt)(1 + rt)
Notemos que el ultimo termino se cancela, y por lo tanto la RP intertemporal del agente no se modifica. Si la RP intertemporal
no se modifica, y los impuestos no perjudican o benefician a la firma, entonces el nivel optimo de capital sera el mismo (podemos
pensarlo a traves de la equivalencia ricardiana).
Una manera de ver si el consumidor esta mejor o peor, es observando su restriccion de presupuesto intertemporal. Notemos
que, si el valor T queda restando en dicha restriccion, los ingresos agregados de los consumidores son menores, y por lo tanto
estaran necesariamente peor. Por otro lado, si el valor de T aumenta los ingresos de los consumidores, la restriccion intertemporal
se relaja, y los agentes pueden aumentar su consumo. Como mencionamos, esto dependera de la relacion entre la tasa de interes
y la tasa de crecimiento de la poblacion.
42
5.c. Romer (1996), capıtulo 2, ejercicio 2.18
En el presente ejercicio tenemos la siguiente funcion de utilidad:
U(C1t, C2t) = ln(C1t) + ln(C2t)
En cada perıodo t hay Lt individuos, donde Lt = (1 + n)Lt−1.
En cada perıodo t, los recien nacidos reciben una dotacion A, que pueden consumir o almacenar. Cada unidad almacenada
genera x > 0 unidades en el proximo perıodo.
En el perıodo 0, hay L0 recien nacidos que reciben una dotacion A, y L0
1+n individuos viejos que tienen una dotacion Z y se
la consumen.
En el perıodo 0, hay dos tipos de consumidores, los recien nacidos y los viejos. Notemos que, los viejos solo tienen incentivos
a pedir prestado todo lo que puedan, dado que manana moriran y no lo devolveran. Por otro lado, dado que quieren suavizar
consumo, los agentes recien nacidos tienen incentivos a llevar parte de su riqueza presenta al futuro, mediante un prestamo a
los otros agentes. Sin embargo, dado que los agentes viejos van a morir en el perıodo siguiente y no van a devolver lo que pidan
prestado, los agentes jovenes no pueden prestarle a los viejos. Por lo tanto, en el perıodo 0, los agentes viejos consumen su
dotacion, y los nuevos solo pueden almacenar y consumir manana lo que almacenen. Notemos que, cuando pasamos al perıodo
1, el problema vuelve a ser el mismo. Y ası sucede en todos los perıodos.
En equilibrio, cada agente decide como optimizar su consumo a traves de su dotacion, sin intercambiar con nadie. Por lo
tanto, su problema de maximizacion se reduce a:
maxC1t,C2t
ln(C1t) + ln(C2,t+1) Sujeto a: C1,t +C2,t+1
x= A
(C1t) :1
C1t= λ
(C2,t+1) :1
C2,t+1= λ
1
x
Combinando ambas restricciones:
C2,t+1
C1t= x
43
Si x es igual a 1, los consumos en ambos perıodos son iguales. Si x < 1, el consumo en el perıodo 1 es mayor que en el
primero. Noteos que x < 1 implica que hay un costo de almacenamiento. Por cada una unidad que el agente almacena, lo que
le queda en el proximo perıodo es menor.
Introduciendo esta condicion en la restriccion de presupuesto:
C1,t =A
2(64)
C2,t+1 =xA
2(65)
Por lo tanto, en esta economıa el equilibrio es tal que:
1- Los adultos que estan en el perıodo 0 tienen un consumo igual a Z.
2- Los jovenes para t ≥ 0 y los adultos para t ≥ 0 consumen C1t = A2 y C2,t+1 = xA
2 .
Notemos que el problema que presenta el modelo es un problema de coordinacion. Los agentes recien nacidos, buscan prestar
parte de su dotacion, cobrar una tasa de interes por ese prestamo, y luego recibir los beneficios en el proximo perıodo. Sin
embargo, los unicos habilitados para recibir esos prestamos son los viejos, que en el proximo perıodo van a morir. Por lo tanto,
los agentes quisieran prestarle a los viejos del perıodo, y que estos se lo puedan devolver al proximo perıodo. Una manera de
lograr esto, es introduciendo al gobierno para que arbitre dicha falta de coordinacion. Notemos que si el estado recauda T de los
Lt contribuyentes del perıodo t, les puede devolver dichas unidades en el perıodo proximo, junto con un pequeno interes dado
el incremento poblacional. Por ejemplo, supongamos que el agente en lugar de almacenar, le paga al estado un monto T, y el
proximo perıodo recibe un monto (1+n) T. Entonces, su restriccion de presupuesto ahora es:
C1,t + T = A
C2,t+1 = T (1 + n)
Combinando las restricciones, tenemos la RP intertemporal de cada agente:
C1t +C2,t+1
1 + n= A
Comparemos un segundo esta restriccion con la de antes. Antes, por cada unidad ahorrada, el agente recibıa x > 0 unidades,
y ahora recibe 1+n unidades. Por lo tanto, si 1 + n > x, el agente esta mejor en esta nueva situacion. Lo unico que falta probar,
es que el gobierno puede hacer esto sin problemas. Notemos que, en un perıodo de tiempo t, el gobierno cobra T de Lt agentes, y
44
paga (1+n) a Lt−1 agentes. Dado que Lt+1 = (1+n)Lt, el gobierno tiene un presupuesto balanceado en cada perıodo de tiempo,
y logra que todos los agentes aumenten su consumo en ambos perıodos.
6. Ejercitacion 5
6.a. Walsh: Ejercicio 1
Consideremos la restriccion de presupuesto del tesoro:
Gt + it−1BTt−1 = Tt + (BTt −BTt−1) +RCBt
Donde el exponente T implica deuda total, y RCBt es receipts from the central bank.
La restriccion de presupuesto del banco central es:
(BMt −BMt−1) +RCBt = it−1BMt−1 + (Ht −Ht−1)
El primer termino es equivalente a la compra por parte del banco central de deuda del gobierno. Del lado derecho, el primer
termino es lo que el banco central recibe por la deuda que le acepto al tesoro el perıodo pasado, y el segundo termino es la
diferencia entre los pasivos del perıodo actual y el anterior, generalmente denominados high-powered money o base monetaria.
Siguiendo la notacion del libro, usemos Bt = BTt − BMt . De esta forma, podemos combinar ambas restricciones y encontrar
la del gobierno en su totalidad:
Gt + it−1Bt−1 = Tt + (Bt −Bt−1) + (Ht −Ht−1) (66)
Si dividimos todo por el nivel de precios, podemos tener todo en terminos reales:
gt +1
Ptit−1Bt−1 = τt + (bt −
Bt−1Pt
) + (ht −Ht−1
Pt)
Ahora, para que este todo en terminos reales, multiplicamos y dividimos todos los terminos que son del perıodo pasado por
Pt−1 y utilizamos el hecho de que PtPt−1
= (1 + πt). Entonces:
gt +it−1bt−1(1 + πt)
= τt + (bt −bt−1
(1 + πt)) + (ht −
ht−1(1 + πt−1)
) (67)
Usamos las variables en minuscula para denotar que estan en terminos reales. Ahora, busquemos poner las variables en
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terminos per capita y del producto. Para esto, dividamos todo por NtYt. Notemos que, para aquellas variables que vienen
del perıodo pasado, podemos multiplicar y dividir por Nt−1Yt−1 y utilizar la tasa de crecimiento de la poblacion y la tasa de
crecimiento del producto. Por lo tanto:
gt +it−1bt−1
(1 + πt)(1 + n)(1 + λ)= τ t +
(bt −
bt−1(1 + πt)(1 + λ)(1 + n)
)+
(ht −
ht−1(1 + πt)(1 + λ)(1 + n)
)Utilicemos ahora la condicion (1 + µ) = (1 + n)(1 + λ):
gt +it−1bt−1
(1 + πt)(1 + µ)= τ t +
(bt −
bt−1(1 + πt)(1 + µ)
)+
(ht −
ht−1(1 + πt)(1 + µ)
)Siguiendo el libro, sabemos que el ultimo termino es el senoreaje:
st =
(ht −
ht−1(1 + πt)(1 + µ)
)Ahora solo nos queda reescribir la ecuacion para obtener lo que solicita el enunciado. Para esto, sumemos y restemos ht−1:
st = ht −ht−1
(1 + πt)(1 + µ)+ ht−1 − ht−1
st = (ht − ht−1)− ht−1(1 + πt)(1 + µ)
+ ht−1
st = (ht − ht−1) + ht−1
((1 + πt)(1 + µ)− 1
(1 + πt)(1 + µ)
)(68)
La ecuacion (68) es la solicitada por el enunciado. Consideremos ahora el estado estacionario con ht = ht−1 e inflacion
constante:
s = ht−1
((1 + π)(1 + µ)− 1
(1 + π)(1 + µ)
)Tanto ante un aumento de la inflacion como ante un aumento del crecimiento del producto o de la poblacion, el senoreaje
aumenta. Si la tasa de crecimiento del producto aumenta, los agentes tendran una mayor demanda de dinero para satisfacer los
mayores bienes y servicios en la economıa. Considerando que la inflacion sigue siendo la misma y no cambia, el estado aumentara
el nivel de dinero de la economıa y podra apropiarse de parte de esos nuevos bienes y servicios.
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6.b. Walsh: Ejercicio 2
Consideremos un agente representativo con la siguiente funcion de utilidad:
U(mt, ct) = ln(ct) +mt(B −Dln(mt))
Del capıtulo 2 del libro sabemos que:
U ′mU ′c
=it
1 + it
En nuestro caso:
U ′m = B −Dln(mt)−D = B −D(1 + ln(mt))
U ′c =1
ct
Por lo tanto:
B −D(1 + ln(mt))1ct
=it
1 + it
B −D(1 + ln(mt)) =1
ct
it1 + it
B
D− 1
ct
it1 + it
= (1 + ln(mt))
B
D− 1
ct
it1 + it
− 1 = ln(mt))
mt = exp
(B
D− 1
ct
it1 + it
− 1
)Utilizando la ecuacion de Fisher, esto es aproximadamente igual a:
mt = exp
(B
D− 1
ct
(rt + πt)
(1 + πt + rt)− 1
)
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Notemos que mt es la tenencia real de dinero por parte del agente. Si el consumo aumenta, la tenencia de dinero real aumenta,
tal como sostiene la teorıa. Por ultimo, escribamos ahora el senoreaje:
st = exp
(B
D− 1
ct
(rt + πt)
(1 + πt + rt)− 1
)(π
(1 + π)
)A medida que la inflacion aumenta, el primer termino cae, mientras que el segundo sube, por lo que debe haber un optimo. Por
lo tanto, dado que en estado estacionario π = θ, donde θ es la tasa de crecimiento del dinero, tenemos una tasa del crecimiento
que maximiza el senoreaje. En conclusion, tenemos una curva de Laffer y, sumado a esto, derivando e igualando a cero obtenemos
el maximo.
st = exp
(B
D− 1
ct
(rt + θt)
(1 + θt + rt)− 1
)(θ
(1 + θ)
)Siguiendo la recomendacion del enunciado:
st = θ exp
(B
D− 1
ct
(rt + θt)
(1 + θt + rt)− 1
)(Ver pagina 154 del libro, donde utiliza la misma funcion de utilidad). Derivando e igualando a cero:
exp
(B
D− 1
ct
(rt + θt)
(1 + θt + rt)− 1
)+ θ exp
(B
D− 1
ct
(rt + θt)
(1 + θt + rt)− 1
)(− 1
ct
)(1
1 + θt + rt− (rt + θt)
(1 + θt + rt)2
)= 0
1 + θ
(− 1
ct
)(1
1 + θt + rt− (rt + θt)
(1 + θt + rt)2
)= 0
1 = θ
(1
ct
)(1
1 + θt + rt− (rt + θt)
(1 + θt + rt)2
)
1 = θ
(1
ct
)(1
(1 + θt + rt)2
)
ct =
(θ
(1 + θt + rt)2
)La tasa de emision que maximiza el senoreaje es funcion de la tasa de interes real y del consumo del agente (el cual es funcion
de las dotaciones o producto dependiendo de si estamos en una economıa de dotacion o con produccion).
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Para obtener un solucion exacta, mirar pagina 155-156 del libro, donde utiliza la misma funcion de utilidad pero no aproxima.
En estas soluciones he hecho algunos supuestos: las tasas de emision y de interes son bajas, motivo por lo cual aproxime it = θt+rt
tanto en el numerador como en el denominador del problema en la funcion exponencial.
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