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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulos
Prof. Marcio [email protected]
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica
Disciplina: Matematica Basica II - 2014.2
3 de setembro de 2014
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Sumario
1 Angulo
2 Unidade de Medida - Grau
2 / 23
AnguloUnidade de Medida - Grau
Sumario
1 Angulo
2 Unidade de Medida - Grau
3 / 23
AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Angulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto).
e a figura formada por duas semi-retas de mesma origem.
Notacao: AOB ou BOA−→OA e
−→OB: lados do angulo.
4 / 23
AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Angulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto).
e a figura formada por duas semi-retas de mesma origem.
Notacao: AOB ou BOA−→OA e
−→OB: lados do angulo.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Angulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto).
e a figura formada por duas semi-retas de mesma origem.
Notacao: AOB ou BOA
−→OA e
−→OB: lados do angulo.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Angulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto).
e a figura formada por duas semi-retas de mesma origem.
Notacao: AOB ou BOA−→OA e
−→OB: lados do angulo.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Geralmente sao usadas letras gregas ou letras “de forma”pararepresentar um angulo
α = AOB = O = O
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Geralmente sao usadas letras gregas ou letras “de forma”pararepresentar um angulo
α = AOB = O = O
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Alguns angulos recebem nome especial
Angulo raso: Quando as semirretas tem a mesma direcaomas sentido oposto.
Angulo nulo: Quando as semirretas tem a mesma direcao esentido.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Alguns angulos recebem nome especial
Angulo raso: Quando as semirretas tem a mesma direcaomas sentido oposto.
Angulo nulo: Quando as semirretas tem a mesma direcao esentido.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Alguns angulos recebem nome especial
Angulo raso: Quando as semirretas tem a mesma direcaomas sentido oposto.
Angulo nulo: Quando as semirretas tem a mesma direcao esentido.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Angulo reto: Quando as semirretas sao perpendiculares.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Angulo agudo: Quando o angulo formado e menor que umangulo reto.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Angulo obtuso: Quando o angulo formado e menor que umangulo raso e maior que um angulo reto.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Angulos Complementares: angulos que quando justapostosformam um angulo reto.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Angulo
Angulos Suplementares: angulos que quando justapostosformam um angulo raso.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Sumario
1 Angulo
2 Unidade de Medida - Grau
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Imagine varias semirretas partindo deum mesmo ponto, como mostra afigura ao lado.
Considere que o angulo determinadopor quaisquer duas semirretasconsecutivas e sempre o mesmo.
Se tivermos 360 semirretas, teremos360 angulos iguais. Cada um delessera chamado grau.
Notacao: 10.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Imagine varias semirretas partindo deum mesmo ponto, como mostra afigura ao lado.
Considere que o angulo determinadopor quaisquer duas semirretasconsecutivas e sempre o mesmo.
Se tivermos 360 semirretas, teremos360 angulos iguais. Cada um delessera chamado grau.
Notacao: 10.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Imagine varias semirretas partindo deum mesmo ponto, como mostra afigura ao lado.
Considere que o angulo determinadopor quaisquer duas semirretasconsecutivas e sempre o mesmo.
Se tivermos 360 semirretas, teremos360 angulos iguais. Cada um delessera chamado grau.
Notacao: 10.
13 / 23
AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Imagine varias semirretas partindo deum mesmo ponto, como mostra afigura ao lado.
Considere que o angulo determinadopor quaisquer duas semirretasconsecutivas e sempre o mesmo.
Se tivermos 360 semirretas, teremos360 angulos iguais. Cada um delessera chamado grau.
Notacao: 10.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Imagine varias semirretas partindo deum mesmo ponto, como mostra afigura ao lado.
Considere que o angulo determinadopor quaisquer duas semirretasconsecutivas e sempre o mesmo.
Se tivermos 360 semirretas, teremos360 angulos iguais. Cada um delessera chamado grau.
Notacao: 10.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: De um mesmo ponto,partem 120 semirretas determinandoangulos iguais entre si. Qual amedida, em graus, de cada angulo?
Resposta: 30
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: De um mesmo ponto,partem 120 semirretas determinandoangulos iguais entre si. Qual amedida, em graus, de cada angulo?
Resposta: 30
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: De um mesmo ponto,partem 120 semirretas determinandoangulos iguais entre si. Qual amedida, em graus, de cada angulo?
Resposta: 30
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
A fracao de 1/60 de um grau e
chamada minuto. Notacao:10
60= 1′
E a fracao de 1/60 de um minuto, e
chamada segundo. Notacao1′
60= 1′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
A fracao de 1/60 de um grau e
chamada minuto. Notacao:10
60= 1′
E a fracao de 1/60 de um minuto, e
chamada segundo. Notacao1′
60= 1′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
A fracao de 1/60 de um grau e
chamada minuto. Notacao:10
60= 1′
E a fracao de 1/60 de um minuto, e
chamada segundo. Notacao1′
60= 1′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Considere um cırculo de raio R. De seu centro O,partem 175 semirretas determinando angulos iguais entre si.
Qual a medida em graus de cada angulo?
Aproxidamente 2, 060
Qual a medida em minutos de cada angulo?
Aproximadamente 123, 43′
Qual a medida em segundos de cada angulo?
Aproximadamente 7405, 71′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Considere um cırculo de raio R. De seu centro O,partem 175 semirretas determinando angulos iguais entre si.
Qual a medida em graus de cada angulo?
Aproxidamente 2, 060
Qual a medida em minutos de cada angulo?
Aproximadamente 123, 43′
Qual a medida em segundos de cada angulo?
Aproximadamente 7405, 71′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Considere um cırculo de raio R. De seu centro O,partem 175 semirretas determinando angulos iguais entre si.
Qual a medida em graus de cada angulo?
Aproxidamente 2, 060
Qual a medida em minutos de cada angulo?
Aproximadamente 123, 43′
Qual a medida em segundos de cada angulo?
Aproximadamente 7405, 71′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Considere um cırculo de raio R. De seu centro O,partem 175 semirretas determinando angulos iguais entre si.
Qual a medida em graus de cada angulo?
Aproxidamente 2, 060
Qual a medida em minutos de cada angulo?
Aproximadamente 123, 43′
Qual a medida em segundos de cada angulo?
Aproximadamente 7405, 71′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Considere um cırculo de raio R. De seu centro O,partem 175 semirretas determinando angulos iguais entre si.
Qual a medida em graus de cada angulo?
Aproxidamente 2, 060
Qual a medida em minutos de cada angulo?
Aproximadamente 123, 43′
Qual a medida em segundos de cada angulo?
Aproximadamente 7405, 71′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Observacao: Em vez da notacao decimal, algumas vezes einteressante usar graus, minutos e segundos na mesmarepresentacao
2, 50 = 20 + 0, 50 = 20 + (0, 5).60′ = 2030′
3, 120 = 30 + 0, 120 = 30 + (0, 12).60′ = 30 + 7, 2′ =30 + 7′ + 0, 2′ = 307′ + 0, 2(60′′) = 307′12′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Observacao: Em vez da notacao decimal, algumas vezes einteressante usar graus, minutos e segundos na mesmarepresentacao
2, 50 = 20 + 0, 50 = 20 + (0, 5).60′ = 2030′
3, 120 = 30 + 0, 120 = 30 + (0, 12).60′ = 30 + 7, 2′ =30 + 7′ + 0, 2′ = 307′ + 0, 2(60′′) = 307′12′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Observacao: Em vez da notacao decimal, algumas vezes einteressante usar graus, minutos e segundos na mesmarepresentacao
2, 50 = 20 + 0, 50 = 20 + (0, 5).60′ = 2030′
3, 120 = 30 + 0, 120 = 30 + (0, 12).60′ = 30 + 7, 2′ =30 + 7′ + 0, 2′ = 307′ + 0, 2(60′′) = 307′12′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650,
Converta A e B para a notacao grau/minuto/segundo
A ∼= 124023′20′′ e B = 75045′54′′
Expresse A + B, A− B na notacao grau/minuto/segundo
A + B = 200, 1540 ∼= 20009′14′′ eA− B = 48, 6240 ∼= 48037′26′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650,
Converta A e B para a notacao grau/minuto/segundo
A ∼= 124023′20′′ e B = 75045′54′′
Expresse A + B, A− B na notacao grau/minuto/segundo
A + B = 200, 1540 ∼= 20009′14′′ eA− B = 48, 6240 ∼= 48037′26′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650,
Converta A e B para a notacao grau/minuto/segundo
A ∼= 124023′20′′ e B = 75045′54′′
Expresse A + B, A− B na notacao grau/minuto/segundo
A + B = 200, 1540 ∼= 20009′14′′ eA− B = 48, 6240 ∼= 48037′26′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650,
Converta A e B para a notacao grau/minuto/segundo
A ∼= 124023′20′′ e B = 75045′54′′
Expresse A + B, A− B na notacao grau/minuto/segundo
A + B = 200, 1540 ∼= 20009′14′′ eA− B = 48, 6240 ∼= 48037′26′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,determine:
A + B
69059′58′′
A− B
14055′06′′
A
2+
B
3Aproximadamente 30024′32′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,determine:
A + B
69059′58′′
A− B
14055′06′′
A
2+
B
3
Aproximadamente 30024′32′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,determine:
A + B
69059′58′′
A− B
14055′06′′
A
2+
B
3
Aproximadamente 30024′32′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,determine:
A + B
69059′58′′
A− B
14055′06′′
A
2+
B
3
Aproximadamente 30024′32′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,determine:
A + B
69059′58′′
A− B
14055′06′′
A
2+
B
3Aproximadamente 30024′32′′
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,
Converta A e B para a notacao decimal
A e aproximadamente 42, 460 e B e aproximadamente 27, 540
Expresse A + B, A− B na notacao decimal
A + B ∼= 69, 990 e A− B ∼= 14, 920
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,
Converta A e B para a notacao decimal
A e aproximadamente 42, 460 e B e aproximadamente 27, 540
Expresse A + B, A− B na notacao decimal
A + B ∼= 69, 990 e A− B ∼= 14, 920
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,
Converta A e B para a notacao decimal
A e aproximadamente 42, 460 e B e aproximadamente 27, 540
Expresse A + B, A− B na notacao decimal
A + B ∼= 69, 990 e A− B ∼= 14, 920
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,
Converta A e B para a notacao decimal
A e aproximadamente 42, 460 e B e aproximadamente 27, 540
Expresse A + B, A− B na notacao decimal
A + B ∼= 69, 990 e A− B ∼= 14, 920
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Um relogio marca 2 : 25. Qual o menor angulo entre osponteiros de horas e minutos?
Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maiorpercorre 3600 e o menor, 300.
Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre60 e o menor 0, 50.
Daı, as 2:25, o ponteiro maior tera percorrido (apartir do 12) 25× 60 = 1500 e o menor,25× 0, 50 = 12, 50.
Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, omenor angulo seria de 1500 − 600 = 900, mascomo o ponteiro menor se movimentou 12, 50,segue que o angulo procurado e de 77, 50.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Um relogio marca 2 : 25. Qual o menor angulo entre osponteiros de horas e minutos?
Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maiorpercorre 3600 e o menor, 300.
Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre60 e o menor 0, 50.
Daı, as 2:25, o ponteiro maior tera percorrido (apartir do 12) 25× 60 = 1500 e o menor,25× 0, 50 = 12, 50.
Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, omenor angulo seria de 1500 − 600 = 900, mascomo o ponteiro menor se movimentou 12, 50,segue que o angulo procurado e de 77, 50.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Um relogio marca 2 : 25. Qual o menor angulo entre osponteiros de horas e minutos?
Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maiorpercorre 3600 e o menor, 300.
Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre60 e o menor 0, 50.
Daı, as 2:25, o ponteiro maior tera percorrido (apartir do 12) 25× 60 = 1500 e o menor,25× 0, 50 = 12, 50.
Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, omenor angulo seria de 1500 − 600 = 900, mascomo o ponteiro menor se movimentou 12, 50,segue que o angulo procurado e de 77, 50.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Um relogio marca 2 : 25. Qual o menor angulo entre osponteiros de horas e minutos?
Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maiorpercorre 3600 e o menor, 300.
Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre60 e o menor 0, 50.
Daı, as 2:25, o ponteiro maior tera percorrido (apartir do 12) 25× 60 = 1500 e o menor,25× 0, 50 = 12, 50.
Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, omenor angulo seria de 1500 − 600 = 900, mascomo o ponteiro menor se movimentou 12, 50,segue que o angulo procurado e de 77, 50.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Um relogio marca 2 : 25. Qual o menor angulo entre osponteiros de horas e minutos?
Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maiorpercorre 3600 e o menor, 300.
Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre60 e o menor 0, 50.
Daı, as 2:25, o ponteiro maior tera percorrido (apartir do 12) 25× 60 = 1500 e o menor,25× 0, 50 = 12, 50.
Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, omenor angulo seria de 1500 − 600 = 900, mascomo o ponteiro menor se movimentou 12, 50,segue que o angulo procurado e de 77, 50.
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:
15:35
102, 50
18:10
1250
16:20
100
12:33
178, 50
22 / 23
AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:
15:35
102, 50
18:10
1250
16:20
100
12:33
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:
15:35
102, 50
18:10
1250
16:20
100
12:33
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:
15:35
102, 50
18:10
1250
16:20
100
12:33
178, 50
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:
15:35
102, 50
18:10
1250
16:20
100
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Unidade de Medida - Grau
Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:
15:35
102, 50
18:10
1250
16:20
100
12:33
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Origem das palavras
Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau.
Minuto: primeiras menores partes - partes minutae primae
Segundo: segundas menores partes - partes minutae secundae
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Origem das palavras
Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau.
Minuto: primeiras menores partes - partes minutae primae
Segundo: segundas menores partes - partes minutae secundae
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AnguloUnidade de Medida - Grau
Origem das palavras
Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau.
Minuto: primeiras menores partes - partes minutae primae
Segundo: segundas menores partes - partes minutae secundae
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