PRODUCTOS NOTABLES VS. FACTORIZACIÓN

Productos Notables Son productos entre expresiones algebraicas que pueden ser generalizados y cuyo desarrollo se puede hacer por simple inspección.

Binomio al cuadrado

a) El cuadrado de la suma de dos términos algebraicos es igual al cuadrado del primer término más el duplo del producto del primer término por el segundo más el segundo al cuadrado.

222 2 bababa Ejemplo:

4236222323223 412392232323 yyxxyyxxyx 36126626 2222 yyyyy

b) El cuadrado de la resta de dos términos algebraicos es igual al cuadrado del primer término

menos el duplo del producto del primer término por el segundo más el segundo al cuadrado.

222 2 bababa Ejemplo:

25105525 2222 xxxxx

1441122212 3264232232232 yxyxyxyxyx

Producto de la suma por la diferencia de dos términos algebraicos El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

22 bababa Ejemplo:

49777 222 xxxx 819939393 422222 xxxx

Producto de dos binomios de la forma:

bxax El producto de dos binomios de esta forma es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes.

 

 

abbaxbxax 2

Ejemplo:

30116.56565 22 xxxxxx 65232323 22 xxxxxx 20454545 22 xxxxxx 352575757 22 xxxxxx

Binomio al cubo

a) El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del

cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

32233 33 babbaaba Ejemplo:

125751512525315553535 232332233 xxxxxxxxxx

32369

32369

323233333

125150608

12525235438

5523523252

yyxyxx

yyxyxx

yyxyxxyx

b) El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

32233 33 babbaaba Ejemplo:

27279

27939

333333

23

23

32233

yyy

yyy

yyyy

15102546

15102546

3525252232352

860150125

84532253125

2253253525

bbabax

bbabax

bbabaaba

 

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Factorización

La factorización es expresar un término algebraico como el producto de otros términos llamados factores. En el caso de números reales utilizamos los números primos que, al multiplicarlos resulta el término original. Por ejemplo, el número 20 se factoriza en números primos de la siguiente manera

2x2x5, y a² se factoriza a x a. Cuando se factoriza un polinomio como 652 xx su resultado es 23 xx .

Factor Común Determinar el factor común es extraer el divisor común de los coeficientes y la parte literal con menor exponente común de un polinomio. Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común. Ejemplos:

)2(4

comúnFactor

48 22

baab

abba

)3(3

comúnFactor

93

aby

yaby

Trinomio cuadrado perfecto

222 2 yxyxyx Se identifican los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante y se calculan sus raíces cuadradas, dichas raíces serán los términos de la factorización. Luego calculo el doble producto de los términos de las raíces; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado. Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichos términos que surgen de las raíces. Si el doble producto que aparece en el “Trinomio dado” es positivo, entonces las raíces del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo. Si el doble producto que aparece en el “Trinomio dado” es negativo, entonces las raíces del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos. Ejemplos:

a)

222

2

2

22

)3+2(=9124 :Entonces

Perfecto Cuadrado Trinomioun Es

123.2.2

39

24

9124

zxzxzx

xzzx

zz

xx

zxzx

 

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b)

2336

33

36

36

)4

1+2(=

16

14 :Entonces

Perfecto Cuadrado Trinomioun Es

4

1.2.2

4

1

16

1

24

16

14

xxx

xx

xx

xx

Cubo perfecto

33223 33 yxyxyyxx Se identifican los cubos perfectos y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán los términos de la factorización. Luego se obtiene el triple producto del cuadrado del primer término de la factorización por el segundo y después el triple producto del primer término de la factorización por el cuadrado de la segunda. Finalmente, si estos cálculos figuran en el polinomio dado se puede decir que es un Cubo Perfecto y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas raíces. Las raíces que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo. Ejemplos:

a)

33223

22

22

3 3

3 3

3223

3b)-2(=2754368 :Entonces

Perfecto Cuboun Es

54)3).(2.(3

36)3.()2.(3

327

28

2754368

ababbaa

abba

baba

bb

aa

babbaa

b)

323

2

22

3

3 3

23

)1-2

1(=1

2

3

4

3

8

1 :Entonces

Perfecto Cuboun Es

2

3)1.(

2

1.3

4

3)1.()

2

1.(3

11

2

1

8

1

12

3

4

3

8

1

xxxx

xx

xx

xx

xxx

 

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Diferencia de cuadrados

))((22 yxyxyx Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos. Calculo los términos de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno), se transforma la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichos términos. Ejemplos:

a) )53)(53(259 :Entonces

525

39

259

22

2

2

22

yxyxyxyy

xx

yx

b)

yzxyzxyzxEntonces

yzyz

xx

yzx

2323246

224

36

246

3

2

3

2

9

4:3

2

9

4

9

4

Trinomio de la forma de la forma

baxx 2

Se le calcula la raíz cuadrado al primer término. Se buscan dos números que multiplicados den el tercer término y sumados el segundo término del trinomio

bxaxabxbaxdcxx 22

Ejemplos:

656.5653011 22 xxxxxx 23232365 22 xxxxxx 45454520 22 xxxxxx

573522 xxxx

Suma de cubos 2233 babababa

Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio. El primer factor de la solución es un binomio conformado por la suma de las raíces cúbicas. El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz cúbica de primer término menos el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término. Ejemplo:

Factorizar 13 x

Aplicando el caso de factorización 223 1111 xxxx

Se obtiene como resultado 111 23 xxxx

 

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Resta de cubos

2233 babababa Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio. El primer factor de la solución es un binomio conformado por la resta de las raíces cúbicas. El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz cúbica de primer término más el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término. Ejemplo:

Factorizar 13 x

Aplicando el caso de factorización 223 1111 xxxx

Se obtiene como resultado 111 23 xxxx

Trinomio de la forma

cbxax 2

Este trinomio se diferencia de los anteriores casos en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1. Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, dejando indicado el

producto en el segundo término. Convirtiéndolo así en un trinomio de la forma baxx 2, se

cambian posición los coeficientes del producto del segundo término y se factoriza el trinomio

utilizando el caso del trinomio de la forma baxx 2. Luego, se extrae factor común de cada uno

de los binomios de la factorización. Por último, se divide por el coeficiente por el cual se multiplicó en el primer paso, y se simplifica. Ejemplo:

Factorizar 26 2 xx 26 2 xx

Se obtiene como resultado: )12(2326 2 xxxx i

                                                            i Apartes tomados de http://karmora.blogspot.com/ 

http://videosmatematicos1.blogspot.com/2012/01/productos‐notables‐teoria‐y‐ejercicios.html 

http://cienciasbasicasyohanmontano.weebly.com/uploads/6/4/6/4/6464658/productos_notables__vs__factorizacin.doc