procesos y cambio y variacion 19ensech.edu.mx/documentos/antologias/par/semestre par2-12/6sem… ·...
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INDICE
INTRODUCCION……………………………………………………………………………………………………………………….
3
ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS………………………………………………………………………………….
3
ORIENTACIONES DIDACTICAS
4
SUGERENCIAS DE EVALUACION…………………………………………………………………………………………….
4
BLOQUE I
Cantidades Proporcionales y No Proporcionales…………………………………………………………………….
6
BLOQUE II
La Razón De Cambio……………………………………………………………………………………………………………….
18
BLOQUE III
La Razón De Cambio Instantánea y la Noción de Derivada…………………………………………………..
25
MATERIALES DE APOYO
¿Por qué Enseñar Proporcionalidad?
Fiol. Mora Ma. Luisa…………………………………………………………………………………………………………………
43
La Existencia De Diferentes Interpretaciones de las fracciones
Linares, Salvador…………………………………………………………………………………………………………………….
46
Modelación Matemática con Apoyo De la Calculadora Graficadora TI-92
Hitt, Espinoza Fernando………………………………………………………………………………………………………….
72
2
Nuevas Tendencias En La Didáctica Del Calculo Diferencial
Wenselburger, Guttenberger Elfride………………………………………………………………………………………
80
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS……………………………………………………………………………………………
113
3
INTRODUCCIÓN
Un aspecto central en el estudio y desarrollo de Procesos de cambio y variación es el poder
expresar, de manera compacta y eficiente, una gran variedad de ideas matemáticas inmersas
tanto en la misma disciplina como en otros contextos. Esto permite que con ideas algebraicas se
puedan estudiar diferentes clases de relaciones, uno a uno, uno a dos, etcétera, entre objetos
matemáticos, entre las que destacan las funciones. La proporcionalidad es útil para abordar y
analizar una gran cantidad de problemas usando propiedades de manera adecuada.
El uso de alguna computadora (software) o calculadora graficadora puede ser de utilidad para los
estudiantes en el planteamiento de conjeturas y como herramienta para graficar, visualizar y
entender el significado de ciertas relaciones matemáticas. En particular se recomienda el uso de
la "hoja de cálculo" como herramienta, para que el estudiante desarrolle conceptos de la
proporcionalidad tales como la búsqueda de patrones, funciones y modelación. Por supuesto, su
uso depende de la disponibilidad de estos instrumentos y de los materiales de apoyo que el
profesor pueda recibir y generar durante su práctica.
ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS
El estudio de esta asignatura se organiza alrededor de tres bloques fundamentales. Aun cuando
cada eje se presenta por separado, es importante mencionar que éstos siempre aparecen
conectados y relacionados en la práctica de promover el desarrollo del proceso de cambio y
variación; por ejemplo, las actividades que se mencionan en cada uno de los ejes, generalmente
abordan temas de varios de ellos. Además, en las actividades se ilustran algunas estrategias
como el uso de tablas, diagramas, gráficas y fórmulas que los estudiantes deben emplear
continuamente en sus experiencias de aprendizaje.
Las actividades que se presentan son vistas como ejemplos tipificados que los maestros pueden
utilizar para llevar a cabo el estudio; se trata de que se tomen como punto de referencia para
construir o diseñar otros tipos de problemas o extensiones. En cada bloque se identifica un
conjunto de contenidos que el maestro debe atender durante la aplicación de las actividades; se
pretende que los recursos matemáticos y las estrategias adquieran sentido o emerjan durante el
proceso de solución de las actividades.
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ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme
en un medio donde el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la
disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el
estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se
presentan de cierto modo. Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de
problemas o preguntas con los cuales el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y
resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta
perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver
incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas.
Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de clase un espacio
de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En esta comunidad, la
actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a resolver los
problemas o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la situación. Analizar la
pertinencia de los procedimientos y evaluar el potencial particular o general de éstos, son
actividades que ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de clase. El papel
del maestro es seleccionar y presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por
parte de los estudiantes. En tal sentido, es importante que tenga en consideración los
conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes.
SUGERENCIAS EVALUACIÓN
Al término de las actividades propuestas en cada bloque, se sugiere aplicar el análisis de los
contenidos bajo las técnicas que permite la evaluación de portafolio, agrupados en cuatro
grandes categorías:
El desempeño actitudinal del participante
El desempeño de las actividades o tareas de aprendizaje
El diseño del curso
El desempeño del maestro estudiante durante las clases presénciales
En la primera categoría se sugiere rescatar los puntos de vista del maestro estudiante, como: la
disposición hacia la integración como miembro del grupo, la apertura hacia compartir ideas y
juicios; apertura ante las tareas de aprendizaje; tolerancia a las opiniones de los demás; su
participación en actividades de trabajo colaborativo; entre otras.
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En el segundo rubro sugerido, se propone evaluar todas las actividades que supone el presente
programa de Los números naturales y sus relaciones, como; la capacidad de análisis y síntesis,
las habilidades desarrolladas a través de cada una de las actividades, entre otras.
En el tercer apartado que se sugiere para evaluar el proceso, es importante recuperar los puntos
de vista del maestro estudiante en cuanto a la conducción, desempeño y dominio de los temas no
solo del maestro estudiante, sino también de los profesores frente al despliegue de la disciplina,
este apartado, debe considerar algunas subcategorías como: la declaración de intenciones por
parte del facilitador, si este explicita las formas de trabajo en el salón de clases, si presenta los
propósitos generales y particulares del curso, si incorpora aprendizajes de conocimiento,
habilidades y actitudes; si las actividades están directamente relacionadas con los propósitos
implícitos y explícitos; si esas se orientan hacia el trabajo colaborativo en el que implique al
alumno estudiante como un activo promotor de su propio proceso de aprendizaje, y todos
aquellos aspectos que el docente considere necesarios, y sobre todo que ayuden en la
reorientación y planificación de actividades que tengan mayor consistencia.
Finalmente, en el último aspecto sugerido, es conveniente incorporar reflexiones que tiendan a
evaluar la asistencia y participación del maestro alumno, como: si las tareas solicitadas se
realizan en tiempo y forma; si el maestro alumno asiste a la clase presencial con los materiales
analizados previamente; si escucha las presentaciones y opiniones de sus compañeros; si hace
contribuciones en las discusiones que se generen en el grupo, si tiene dominio sobre la
información que discute; si sus aportaciones tienen el carácter de novedosos y relevantes en las
discusiones generadas; si sus argumentos e ideas son presentadas con la lógica proposicional,
etcétera.
Por lo anterior, este proceso de evaluación, debe permitir, tanto al docente como al maestro
estudiante, por un lado la integración en un grupo estructurado y por otro las reorientaciones
pertinentes a la dirección, planeación, desempeño y evaluación del curso.
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BLOQUE I
CANTIDADES PROPORCIONALES Y NO PROPORCIONALES
PROPÓSITOS
Al término de las actividades propuestas, el profesor – estudiante será capaz de:
1. Resolver problemas que impliquen proporción directa
2. Resolver por el método de comparación problemas que impliquen el uso indirecto de la
proporcionalidad
3. Utilizar los principios de semejanza (Teorema de Tales) para el planteamiento y
resolución de problemas por triangulación utilizando la proporcionalidad múltiple
TEMAS
1. Proporcionalidad directa
2. Proporcionalidad inversa
3. Proporcionalidad múltiple
ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN:
Analice, junto con los profesores estudiantes, el estudio inicial que propone el Dr. David Block S,
respecto de la “proporcionalidad”, del ciclo de conferencias editadas por la Secretaría de
Educación Pública durante el período 2001 – 2002, (octubre 5 de 2001); en particular, analice los
patrones que se presentan en:
1. Razón interna
2. Razón externa, y
3. Conservación de la propiedad aditiva
De Fiol, Mora Ma. Luisa y Josep Ma. Fortuny, (1990), Proporcionalidad directa. La forma y el
número, analice y discuta con los profesores alumnos el apartado 6. 1, ¿POR QUÉ ENSEÑAR LA
PROPORCIONALIDAD?, páginas 117 – 119, al final, pida a los participantes que agrupados en
equipos de 5, presenten sus conclusiones al grupo, se sugiere que utilicen medios alternativos,
como el escritorio del software “Power – Point” para promover el pensamiento critico y creativo
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De Fiol, Mora Ma. Luisa y Josep Ma. Fortuny, (1990), Proporcionalidad directa. La forma y el
número, discuta con los profesores estudiantes en qué sentido se utilizan las “matemáticas y el
lenguaje” como un sistema sintáctico y como un sistema semántico, en particular, en el primer
caso, como un sistema sintáctico, revise por qué el uso del lenguaje de las matemáticas está en
sentido peyorativo y como consecuencia sin un marco real tal, que pueda ser apropiado para los
alumnos del nivel de secundaria, discuta además, en qué sentido los autores definen al lenguaje
de las matemáticas como un sistema de signos y reglas que no tienen sentido para quienes
estudian matemáticas y que proponen en su caso. En el segundo rubro de este primer apartado,
“como un sistema semántico”, revise la propuesta de los autores desde la perspectiva de la
Psicogenética para el estudio de las relaciones, en particular, las asociaciones a que refieren este
apartado con la teoría cognitiva, al término de las discusiones, presente al grupo sus
conclusiones, cuide que estas se encuentren en el marco del mapa conceptual de la teoría
cognitiva y el campo de la proporcionalidad.
Analice, del material de apoyo, el comportamiento de los números racionales y establezca las
formas en que se combina este con las razones y proporciones; así mismo, solicite a los
profesores estudiantes redacten un informe en el que se consigne cómo el estudio de los
números racionales permite un mejor acercamiento con el estudio de la proporcionalidad.
De los mismos autores, discuta con los profesores estudiantes en qué sentido se plantean los tres
conceptos básicos de la proporcionalidad, el lenguaje cotidiano, el lenguaje gráfico y el lenguaje
formal, por ejemplo, el sentido del término proporcionalidad como equivalente de “armonía”, en
este sentido, cite algunos otros ejemplos para consignar, en el lenguaje cotidiano a la
proporcionalidad; respecto del uso de la proporcionalidad en el lenguaje gráfico, señale ejemplos
como un avión en miniatura (réplica de uno real), la fotografía de un almacén, etcétera y cómo
se puede utilizar el lenguaje gráfico para el cálculo de la proporcionalidad de estos y otros
objetos, como se puede apreciar en el siguiente esquema:
finalmente, en el apartado del lenguaje formal, encuentre la relación del video analizado y los
registros que se pudieran haber tomado, ya que será el estudio que nos ocupe durante el período
semestral.
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Utilizando el recurso de la “ficha bibliográfica”, registre algunos aspectos que aludan a los puntos
anteriores, en el periódico, por ejemplo, o en revistas, o en algunos textos; utilice los referentes
consignados en el documento rector que aparece en el apartado de “material de apoyo de la
asignatura”
Establezca, con los profesores estudiantes, una especie de debate para establecer las normas y
patrones que se presentan en tablas, gráficas, etcétera y con ellas interpretar mediante patrones
algebraicos, las relaciones de las cantidades que puedan quedar implicadas, ejemplos como:
O bien:
Resolver ejercicios vinculados a otras ciencias del conocimiento, resultan atractivos para
establecer los patrones numéricos y las reglas que le anteceden, como:
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EL ERROR NORMAL ASOCIADO AL TACTO
Observa el gráfico de la izquierda, representa
el “error asociado al tacto” significa que al
presionar una determinada área d nuestro
cuerpo, esta se siente de dos formas: las
barras negras, representan la distancia
mínima necesaria para que el estímulo
produzca una reacción y las barras blancas
señalan la distancia mínima media necesaria
para que el contacto percibido realmente se
sienta la precisión del sentido del tacto varia
mucho de una zona del cuerpo a otra.
Con esta información y de acuerdo con el
gráfico de la izquierda, contesta la siguiente
tabla:
FUENTE: Libro para el maestro, Página No. 326
Teniendo como referencia el marco teórico de la proporcionalidad entre magnitudes, discuta junto
con los profesores estudiantes, vía múltiples ejercicios, el comportamiento de las mismas, así
mismo, establezca los patrones que se presentan en cada uno de ellos, por ejemplo, utilizar la
Ley de Hooke en sus dos vertientes
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CARGA DEFORMACIÓN RAZÓN K %
25 kg
50 kg
75 kg
100 kg
125 kg
150 kg
175 kg
TOTAL
CARGA ELONGACIÓN RAZÓN K %
25 kg
50 kg
75 kg
100 kg
125 kg
150 kg
175 kg
TOTAL
Este tipo de situaciones, y sin duda muchas más, resultan un buen ejercicio para establecer:
1. El concepto de magnitud y medida
2. Propiedades de la magnitud
3. Proporcionalidad entre magnitudes
4. Constante de proporcionalidad
5. Razones entre magnitudes
6. Teoría de la proporción
Por lo que se sugiere que solicite a los profesores estudiantes establezcan dichos conceptos y
presenten al grupo los registros que los condujeron a obtener estas conclusiones.
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Por su parte, el Fichero de actividades didácticas de matemáticas de la SEP, ofrece otras
alternativas para el ejercicio y aplicación de estos patrones encontrados, por lo que se sugiere:
1. Respecto del primer gratado las fichas:
No. 9, 11, 13, y 16 sean contestadas
2. Respecto de segundo grado,
Las fichas: 3, 11, 17 sean contestadas
3. Respecto del Tercer grado
Las fichas 1, 3, 11, 13, y 16 sean contestadas
El ejercicio de la homotecia, ofrece alternativas múltiples para aplicar los patrones encontrados,
como:
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10. Otras aplicaciones de la proporción directa es el caso del Teorema de Tales para encontrar
magnitudes inaccesibles, como:
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Por lo que se sugiere el trabajo colegiado a fin de corroborar si dichos patrones forman parte de
los contenidos procedimentales en las aplicaciones mencionadas en los esquemas anteriores.
Establecer otras relaciones numéricas, por ejemplo, con el movimiento uniformemente acelerado,
resulta conveniente discutirlo con el grupo de profesores estudiantes para establecer otros
patrones, que sin duda se encuentran en el marco de la proporcionalidad, en tal caso, se sugiere
utilizar el material elaborado por la Secretaría de Educación Pública a través de la Dra. Teresa
Rojano y su grupo de colaboradores, entre la cual está el diseño del material elaborado en la hoja
electrónica de cálculo del Dr. Simón Mochón Cohen (material adjunto, exclusivo para el titular de
la materia)
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O el archivo de referencia para el tiro vertical:
O el archivo para revisar el comportamiento frecuencial de ondas sonoras
Conviene, en la formación de los profesores estudiantes, que revisen la lectura “Modelación
matemática con apoyo de la calculadora graficadora TI-92” de Fernando Hitt Espinosa, a fin de
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establecer los patrones y modelar los comportamientos encontrados, se sugiere remplazar la
calculadora TI – 92 o TI – 92 PLUS por la hoja electrónica de cálculo
Sin embargo, estas citas permiten establecer el patrón que debe ser utilizado en la “proporción
indirecta”; por lo que se sugiere se citen en el salón de clase algunos ejemplos que tengan que
ver con variaciones inversamente proporcionales, es decir, al crecer una magnitud, en la relación
con otra, resulta inversamente proporcional, en ese sentido, es conveniente citar algunos
patrones numéricos en tablas que permiten advertir estos patrones y las condiciones en que
operan, como:
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Realice una especie de debate para que los profesores estudiantes señalen los principios básicos
de la proporcionalidad de segmentos citada por Ma. Luisa Foil y Joseph M. Fortuny en
“proporcionalidad directa, la forma y el número”, páginas 45 – 51; destaque en este debate, la
importancia que tiene este estudio para establecer los principios del Teorema de Tales,
consignados en la misma lectura:
De igual manera, analice el postulado de “la proporción divina”, e intente establecer la misma en
algunas obras, como la de Leonardo Da Vinci, Miguel Ángel o Luca Pacioli, y que a continuación
se muestran:
El hombre Virtuvian
Templo de Artemisa en Efeso
En la naturaleza, como:
Un buen ejercicio que tiene que ver con la proporción, es realizar los trazos en algunas de las
obras o construcciones de la antigüedad, más aún, en las obras modernas, el propósito de esta
actividad, es, a juicio del esquema, poner en práctica, por un lado la razón áurea y por otro las
aplicaciones que se han hecho a lo largo de la historia hasta nuestros días.
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La cara de una persona
en El cuerpo humano
El Hombre Virtuvian de
Leonardo Da Vinci
El Templo de Artemisa en Efeso
Como colofón de este primer bloque de estudio, solicite a los profesores alumnos integren una
colección de problemas que tengan que ver con el cálculo de la proporción, además de que
aparezcan algunas razones y sus constantes, estos deberán cumplir con las restricciones de las
que hemos venido hablando y sobre todo que incorporen problemas relativos a secuencias
numéricas respecto de la economía, la física, la química, densidades poblacionales, etcétera y
sobre todo que se pondere lo relativo a las constantes estudiadas en este primer apartado de la
materia
Finalmente:
Resuelva los ejercicios que se presentan en Proporcionalidad directa. La forma y el número,
páginas 42 – 44.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Fiol, Mora Ma. Luisa y Josep Ma. Fortuny, (1990), Proporcionalidad directa. La forma y el número, Madrid,
Síntesis (Matemáticas: Cultura y aprendizaje, 20).
Llinares, Salvador y Ma. Victoria Sánchez, (1988), Fracciones, Madrid, Síntesis (Matemáticas: Cultura y
aprendizaje, 4).
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BLOQUE II
LA RAZÓN DE CAMBIO
TEMAS
1. Cálculo de razones de cambio en diferentes contextos
2. Relación entre razones de cambio y pendientes de rectas
3. Razones de cambio constantes y variables
PROPÓSITOS
Al término de las actividades propuestas el profesor estudiante será capaz de:
1. Comprender las tendencias actuales para el tratamiento del Cálculo diferencial
2. Analizar el desarrollo histórico de dichas tendencias
3. Analizar y comprender el problema de la continuidad
4. Determinar el concepto de la determinación de la razón de cambio
5. Analizar la relación entre razón de cambio y pendientes de rectas
6. Analizar la razón de cambio variables entre dos puntos de una curva
7. Determinar la gráfica de razones de cambio de curvas y su representación como función
ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN
Socialice con el grupo de profesores estudiantes cómo fue el tránsito por el estudio del Cálculo
diferencial, cómo lo aprendió, qué tanto recuerda, cómo lo recuerda, con qué lo relaciona y si
tuvo alguna aplicación práctica en su vida, primero como estudiante, luego como parte de una
sociedad en vías de cambio y ahora como parte importante en la formación de jóvenes
Discuta con el grupo de profesores estudiantes cómo es que se habla de “las nuevas tendencias”,
es decir, en qué sentido se editaban libros de texto, sus fundamentos, correlaciones, etcétera,
respecto del tratamiento básico para el estudio del Cálculo diferencial, se sugiere centrar la
atención en la propuesta de Elfride Wenzelburger en lo que el llama matematizar como recurso
para abatir la falta de comprensión por parte de los alumnos para el alcance verdadero en el
significado de los números, motivo de estudio del presente bloque de trabajo de la materia.
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Se sugiere utilizar la lectura: “Nuevas tendencias en la didáctica del Cálculo diferencial” propuesto
en la sección de materiales de apoyo
Discuta con el grupo de profesores estudiantes los fundamentos que se presentan a los alumnos
en cuanto a las series, sucesiones y límites, como referentes previos para el tratamiento del
Cálculo Diferencial, se sugiere poner en la mesa de discusión algunos aspectos que tiene que ver
con la formalización y sistematización de este tipo de tratamiento
Es importante ver “series y sucesiones” de Baldor (Pp. ), y “límites” de Granville (Pp. 16 – 24)
con el propósito de revisar puntualmente las intenciones de los autores en las sugerencias
didácticas para su tratamiento; por otro lado, discuta con el grupo a qué condujo este proceso de
formación de los docentes que desplegaron estas formas de trabajo, sobre todo, puntualice el
impacto que tiene este tipo de despliegue áulico en los alumnos. Al respecto, se sugiere analizar
y discutir la lectura “Desarrollo histórtico del Cálculo Diferencial y el problema de continuidad”
que se presenta en el apartado de los materiales de apoyo
Revise, a partir de dos series dependientes, la representación gráfica de ella; al respecto, dicuta
la relevancia de este análisis a partir del video de la conferencia de David Block, analizada al
inicio de las tareas de la materia, centre la atrención en la razón entre dos puntos y establezca si
esta tiene un movimiento continuo o discontinuo; de igual manera, discuta con el grupo de
profesores estudiantes el contexto en que se analizaría dicha serie. La lectura sugerida en el
punto anterior nos proporciona elementos sustanciales para el propósito esperado, de modo que
se sugiere que nuevamente se ponga en la mesa de la discusión su contenido.
De igual manera, discuta con el grupo de profesores estudiantes en qué sentido aparece la
continuidad o discontinuidad de puntos sobre la recta y sobre todo puntualice la necesidad de ir
construyendo las bases fundamentales de la razón de cambio.
Después de analizar la lectura “Consideraciones generales” que aparece en el apartado de los
materiales de apoyo, resuelva los siguientes planteamientos:
Al lanzar un pequeño cohete para observaciones meteorológicas se observa la siguiente
trayectoría
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0100200300
400500600700
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16(a) Tiempo en segundos
Altu
ra e
n ki
lóm
etro
s
Altura máxima
Se abre el paracaidas
Termina el combustible
Y se miden las siguientes velocidades:
-200
-100
0
100
200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
(b) Tiempo en segundos
Altu
ra e
n ki
lóm
etro
s/s
Altura máximaSe abre el paracaidas
Termina el combustible
Conteste las siguietes preguntas:
Indique las variables dependientes e independientes de cada uno de los gráficos
anteriores.
¿Qué representa la figura 2.1b y qué información proporciona?
¿Cuál es la altura máxima del cohete?
¿Por qué se encuentra la gráfica en la figura 2.1b después de 24 segundos por debajo el
eje de las “x”.
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Una enfermera controla la temperatura de un paciente y registra los resultados:
Horas 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
Temperatura36 37 37.2 37.8 37.9 40 40 40 37.6
¿Cuáles es cambio de temperatura entre las 16:00 y las 17:00 horas, las 19:00 y las
22:00 y las 22:00 horas y ls 23:00?
Trazar la curva de fiebre del paciente
Calcular las razones de cambio entre las 15:00 y las 23:00 horas para intervalos de una
hora
Graficar los valores obtenidos en c
Complete la siguiente tabla:
Horas Temperatura Razón de cambio
15:00 36
16:00 37
17:00 37.2
18:00 37.8
19:00 37.9
20:00 40
21:00 40
22:00 40
23:00 37.6
Conteste la siguente tabla respecto del gráfico correspondiente
Temperatura Gráfica Razón de cambio
Sube sube positiva
queda igual
Baja
Obtenga algunas conclusiones, como:
¿Qué es una razón de cambio?
¿Cómo se calcula la razón de cambio?
¿Qué es una razón de cambio promedio?
¿Cómo se calcula la razón de cambio promedio respecto de la variable temperatura?
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¿Cuál es el modelo matemático que en general se utilizaría para el Cálculo de la razón de
cambio promedio de “y” respecto de “x”?
Para apoyar las conclusiones que se solicitan, discuta con el grupo de profesores estudiantes la
lectura “Derterminación de la razón de cambio” que se propone en el apartado de los materiales
de apoyo.
Otro aspecto importante de la mesa de discusión entre los profesores alumnos es aquella que
tiene que ver con una superficie como el resultado del movimiento de una línea, al respecto,
intente recuperar los conocimientos adquiridos en “Medición y Cálculo Geométrico”, este
engarzamiento constituye la base fundamental para la comprensión de la razón de cambio en la
curva y que más adelante formará parte importante de la cultura matemática en la formación de
los estudiantes, tal es el caso del tratamiento de “Plano cartesiano y sus funciones”
Se sugiere discutir los siguientes problemas:
El francés De Montbeillard midió la estaura de su hijo entre los años de 1759 a 1777 todos los
años el día de su cumpleaños. Con los valores obtenidos hizo las siguientes gráficas:
analice los gráficos anteriores utilizando los siguientes planteamientos como punto de partida:
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De acuerdo con la gráfica de la izquierda, ¿cuál fue el período de crecimiento más rápido
del niño?
Ídem para la gráfica de la derecha
Durante la pubertad, suele aumentar “la tasa de crecimiento” ¿Con qué edad empezó
este aumento?
De acuerdo con la gráfica de la izquierda, calcule las razones de cambio para períodos de
3 años ¿Cuál es la razón de cambio más grande y cuál más pequeña?
La gráfica de la izquierda está dada por
segmentos, determine las pendientes de cada
uno de los segmentos
La siguiente gráfica, representa la producción de 100 Kg. de cocoa entre los años de 1972 y
1977, analice y conteste los siguientes planteamientos:
¿En qué año se produjo el incremento más grande en el precio?
¿En qué año hubo una baja?
Elabore una gráfica en la que registre los años 1972, 1874 y 1976
¿Qué información se pierde de esta manera?
La gráfica esta dada por segmentos de recta. Calcule las pendientes de cada segmento de recta
¿Qué segmento de recta tiene la mayor pendiente?
¿Qué segmento de recta tiene la menor pendiente?
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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Wenzelburger, Elfride. Cálculo diferencial. Una guía para maestros y alumnos, México 1993, Grupo Editorial
Iberoamérica.
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BLOQUE III
LA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA Y LA NOCIÓN DE DERIVADA
PROPÓSITO:
Al término de las actividades que se sugieren el profesor estudiante será capaz de:
1. Establecer una relación numérica para el cálculo de la razón de cambio instantánea
2. Construir, a partir de la noción de derivada, los primeros modelos para el cálculo
diferencial
TEMAS
1. Métodos numéricos para calcular razones de cambio instantáneas
2. Construcción de las primeras fórmulas para las derivadas
ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN
Discuta con el grupo de profesores estudiantes el contenido de la lectura “El problema de las
decisiones simultáneas”, se sugiere centrar la atención, por un lado, en los aspectos relacionales
de dos magnitudes y por otro en el establecimiento de dos funciones para determinar la derivada,
como resultado de tomas decisión, además, se sugiere discutir y argumentar, por qué E.
Wenzelburger llama a estos procesos propuestos material significativo.
De igual manera, y teniendo como marco la lectura sugerida en el punto anterior, solicite a los
alumnos que describan algunas funciones de la familia cuadráticas a fin de establecer series y
sucesiones que tengan la continuidad para el cálculo de razones de cambio instantánea e ir
relacionando estos procesos cualitativos con procesos numéricos algebraicos
Analice y discuta los elementos constitutivos que plantea E. Wenzelburger para la resolución el
problema del lanzamiento del cohete, discuta con el grupo de profesores estudiantes en torno a
las dificultades que se pueden enfrentar al realizar un análisis grafical de un problema, al mismo
tiempo elabore algunas conclusiones acerca de las dificultades que representa hacer un análisis
de tipo grafical
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Ponga en la mesa de la discusión la lectura “Una notación más compacta para el cociente de
diferencias” a fin de llegar a la conclusión que se espera de parte de quienes participan en el
proceso de formación de docentes en un primer acercamiento de dicha notación (∆x), advierta
que esta connotación tiene su origen en la materia de “pensamiento algebraico” en el
establecimiento del modelo que responde al cálculo de la pendiente de una recta, al mismo
tiempo que se inicia con los primeros acercamientos al Cálculo diferencial respecto del cálculo de
la razón de cambio instantánea
De acuerdo con el gráfico de la izquierda:
Encuentre las pendientes de cada uno de los segmentos de recta, es
decir, del punto(1,3) al punto (2, 5); del punto (2, 5) al punto (3, 7) y
del punto (3, 7) al punto (0, 1), advierta que en todos los casos la
razón de cambio es igual. Concluya que esta puede tomarse como el
valor numérico de la pendiente, pero que además representa la
derivada de la recta, es decir, y’ = 2
De igual modo, utilice el gráfico de la izquierda.
Para calcular las razones cambio de cada segmento de
recta, su representación algebraica y la relación que guarda
cada razón de cambio respecto de las demás, advierta que
en este caso, ocurren rompimientos en la continuidad de las
razones de cambio, de modo que difícilmente se puede
establecer, al menos por este método, el cálculo de la
derivada de la curva
Utilice el siguiente gráfico para determinar razones de
cambio en la curva y registre los datos en la siguiente
tabla::
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Agregue una columna en la tabla anterior para en ella calcular las razones de cambio
instantáneas de punto a punto, analice el comportamiento que se obtiene a fin de concluir con la
derivada de curvas, como en el caso anterior
Discuta con el grupo de profesores estudiantes el contenido de la lectura “La transición de la
razón de cambio promedia de cambio instantánea”, propuesta en la sección del material e apoyo
para el estudio de la materia “procesos de cambio y variación”; advierta que este contenido nos
lleva a la conclusión:
12
12xx
yy
xy
−
−=
∆∆
Ponga en la mesa del análisis la lectura “Una interpretación geométrica del procesos ∆x → 0”
propuesta en el apartado de los materiales de apoyo, a fin de clarificar el comportamiento de las
tangentes e diferentes contextos, concluya que: “El valor numérico al cual se aproxima x
y
∆
∆
cuando ∆x → 0 es la razón d cambio instantánea
Discuta con el grupo de profesores estudiantes la génesis d los métodos numéricos que puede
utilizar para aproximar las razones cambio instantáneas, a partir del siguiente gráfico:
Resuelva, junto con sus compañeros de grupo los siguientes planteamientos:
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De un globo de aire caliente dejamos caer un saco de arena. En el siguiente esquema vemos
donde se encuentra el saco de arena después de 1, 2, 3, 4,... segundos
En la siguiente tabla organice los datos recogidos del análisis
realizado:
Establezca, en la siguiente tabla, los pares ordenados encontrados en
el análisis
Dibuje la gráfica de la distancia recorrida por el saco en el siguiente
sistema de coordenadas
Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Distancia
Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Distancia
Pares ordenados
30
Calcule las razones de cambio promedio (velocidad) en los intervalos 0 – 1 segundos y 7 – 8
segundos
¿Cómo se puede ver de la gráfica en qué intervalo de tiempo el saco alcanzó su velocidad
máxima?
¿Qué trayectoria describe la caída del saco de arena?
En un experimento de laboratorio estudiamos la caída libre de una pequeña bola de hierro. La
siguiente figura representa la distancia recorrida por la bola como función del tiempo entre 1 y 5
segundos
31
De acuerdo con los gráficos anteriores:
Calcule las razones de cambio de la distancia (velocidad promedio) en el intervalo de 15. a 2.5
segundos
Calcule la pendiente de la recta AB
Complete la siguiente tabla. Los intervalos ∆t empiezan a los 1.5 segundos. ¿Cuál es
aproximadamente la velocidad “instantánea” después de 1.5 segundos?
32
Intervalo ∆t 1.0 seg 0.8 seg 0.6 seg 0.4 seg 0.2 seg
Razón de cambio 64 ft/s
Velocidad promedio
Estimar la velocidad instantánea después de 2 segundos. Elegir intervalos de 0.5, 0.1 y 0.01
segundos
Grafique en un sistema de coordenadas los resultados obtenidos en la tabla
Para 1.0 segundos
Para 0.8 segundos
Para 0.6 segundos
Para 0.4 segundos
33
Para 0.2 segundos
Advierta que la secante AB, en todos los casos, se convierte en tangente en A en la medida en
que B se acerca a A
La siguiente figura representa el área de una herida abierta en relación al tiempo
34
Estimar las razones cambio instantáneas (velocidad de curación) después de 1, 3, 5, 11 y 13 días
Trazar tangentes a la curva en los puntos que corresponden al área después de 1, 3, 5, 11 y 13
días
Calcular las pendientes de las tangentes en b
Trazar una curva aproximada que represente las velocidades de curación
¿Cuál es la velocidad de curación máxima?
¿Cuál es la velocidad de curación mínima?
La siguiente figura representa las distancias que recorre una bola de hierro entre 0 y 3.5
segundos
35
La fórmula que describe la caída libre es:
h(t) = 16 t2 (distancia en ft, tiempo en segundos)
Compare los valores de h(t) después de 1, 2 y 3 segundos obtenidos por la fórmula, con los de la
gráfica.
Usar en lo que sigue la notación:
t1: tiempo al principio del intervalo
t2: tiempo al final del intervalo
h1: Distancia recorrida en el tiempo t1
h2: Distancia recorrida en el tiempo t2
∆h = h2 – h1
∆t = t2 – t1
36
Calcular con la fórmula (1) la velocidad promedio en el intervalo de 1.5 a 2.5 segundos. Compare
el resultado con el experimento anterior que refiere a la bola de hierro
Complete la siguiente tabla
Tiempo al
principio del
intervalo (seg)
Intervalo
(seg)
Tiempo al final
el intervalo
(seg)
Distancia al final
el intervalo (ft)
Cambio de
distancia (ft)
Velocidad
promedio
(ft/s)
t1 + ∆t = t2 h2
(h1 = 36 ft) ∆h
t
h
∆
∆
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
+ 1.00
+ 0.8
+ 0.6
+ 0.4
+ 0.2
+ 0.01
+ 0.001
2.5 100 64 64
Responda las siguientes cuestiones:
- ¿Cuál es el valor aproximado de la velocidad instantánea despues de 1.5 segundos?
Usando el método de c para aproximar las velocidades instantáneas después de 1, 2 y 3
segundos
Graficar los valores aproximados de las velocidades instantáneas obtenidos en c y d. ¿Qué forma
tiene la gráfica?
Resuelva los siguientes casos:
Grafique la función y = x3 entre 0 y 5
Complete la siguiente tabla para aproximar la razón de cambio instantánea en x = 2. Donde x1 =
2 e y1 = 8
x1 + ∆x = x2 y2 ∆y = y - 8 x
y
∆
∆
2 + 1 = 3
2 + 0.5 =
2 + 0.1 =
2 + 0.01 =
2 + 0.005 = a
27 19 19
37
Usar el método de b para aproximar las pendientes de las tangentes a la curva y = x3 para x =
0,1, 2, 3, 4 y 5
Graficar los valores obtenidos en b y c. ¿Qué forma tiene la gráfica?
Utilice el método de aproximación de razones de cambio instantáneas para aproximar la
pendiente de la tangente a la curva y = x2 para x = 1
Usar la fórmula h(t) = 16 t2 para encontrar una buena aproximación de la velocidad instantánea
en la caída libre de un objeto a los 3.5 segundos
Usaremos un método de tres pasos para explicarnos mediante el ejemplo de la conocida función
h(t) = 16 t2.
Paso 1: Encontrar una fórmula para t
h
∆
∆, o sea la velocidad (razón de cambio promedio)
Paso 2: Simplificar algebraicamente la fórmula conocida
Paso 3: Determinar lo que pasa cuando ∆t se aproxima a 0
La siguiente serie de gráficos ilustra cómo encontrar una fórmula para t
h
∆
∆ (paso 1)
39
Velocidad promedio = t
tttth
∆−∆+=
∆∆ 22 16)(16
Simplifique la fórmula para la velocidad encontrada para t
h
∆
∆ lo más posible (paso 2)
Encuentre la fórmula para la velocidad instantánea (derivada = razón de cambio instantánea)
Compara los resultados con los valores obtenidos en la tabla utilizada para el cálculo de la
velocidad promedio de la bola de hierro
Grafique la derivada de h(t) = 16 t2.
Use el método de los tres pasos para obtener una fórmula para t
h
∆
∆ y la derivada para y = x2
Grafique la función h(t) = 16 t2 y su derivada (la función de las velocidades instantáneas o
razones de cambio instantáneas ) en los siguientes sistemas de coordenadas
Use el método de los tres pasos para encontrar la derivada de y = 2x
Los tres pasos del método para la función h = 16 t2 son:
Encontrar una fórmula para th
∆∆
40
h1 = 16 t2
h2 = 16(t + ∆t)2
∆h = h2 – h1 = 16(t + ∆t)2 - 16 t2
tttt
th
∆−∆+=
∆∆ 22 16)(16
Simplificar la fórmula
tttt
th
∆−∆+=
∆∆ 22 16)(16
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆
−∆+=∆
−∆+=∆∆
tttt
tttt
th 2222
1616)(16, de donde
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆
−∆+∆+t
ttttt 222 )(216 , de donde
16 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∆∆+∆=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
∆+∆t
tttt
ttt )2(16)(2 2
y por lo tanto
= 16(2t + ∆t) = 32t + 16∆t
∆t se aproxima a cero (∆t → 0)
h’ =
[ ]0→∆
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∆∆
tCuandothimadoValorAprox
; de donde
h’ = 0
)1632(→∆
∆+tCuando
ttimadodeValorAprox, por lo tanto:
h’ = 32t
41
Esta derivada es la velocidad instantánea del objeto que cae en caída libra, para cualquier tiempo
(tiempo en segundos, altura en pies y la derivada (h’) en ft/s).
43
Fiol, Mora Ma. Luisa y Josep Ma. Fortuny, (1990),
Proporcionalidad directa. La forma y el número,
páginas 117 a 120, Vol. 20
esde la didáctica de las
Matemáticas hay dos preguntas
básicas que se nos plantean cada
vez de forma más acuciante:
¿Qué procedimientos espontáneos utilizamos
para matematizar?
¿Cómo hacer matemáticas de forma que sea
un lenguaje semántico, o sea que digan
algo, que nos dé información sobre el mundo
que nos rodea?
Son preguntas que sirven como marco de
referencia.
La primera incide en los métodos que de
forma espontánea, “natural”, utiliza el niño y
utilizamos muchas veces nosotros los
adultos para resolver problemas.
La segunda quiere hacernos reflexionar
sobre las matemáticas como un lenguaje.
Pero, debemos ser prudentes puesto que
esta expresión se ha interpretado muchas
veces de forma errónea.
Hemos vivido, mejor dicho padecido tantas
veces las matemáticas como un juego de
lenguaje sintáctico y vacío de sentido, o sea
que no interesa de qué hablar, solo atenta
sobre sus propias leyes de estructura interna
que cuesta hacer otro tipo de lectura de la
palabra lenguaje. Sin embargo, nos
referimos aquí a las matemáticas como un
lenguaje en el más elemental y cotidiano
sentido de la palabra: un lenguaje que dice
algo, que nos dice algo, que es transmisor
de ideas, imágenes, etcétera, en fin, a un
lenguaje de relación a un lenguaje
semántico.
Tomando como referencia estas reflexiones,
podemos justificar la importancia de la
Proporcionalidad en la enseñanza por las
siguientes razones:
Desde la enseñanza de las Matemáticas y
desde los finales de la primaria y en todo el
período de la secundaria, se puede
considerar que el tema de la
proporcionalidad es núcleo a partir del cual
se unifican las líneas básicas de nociones
como:
Razón y proporción
Fracción y número racional
Número decimal y problema de la
medida
Cambio de unidades, cambio de
escalas
Problemas de reparto proporcionales
D
POR QUE ENSEÑAR LA PROPORCIONALIDAD
Fiol. Mora Ma. Luisa
POR QUE ENSEÑAR LA PROPORCIONALIDAD__________________________________
Problemas “clásicos” de regla de tres
Porcentajes
Probabilidad
Gráfica de funciones lineales
Teorema de Tales
Semejanza de figuras
Problemas de mezcla y aleaciones
Escalas, mapas y maquetas
Funciones trigonométricas
El número �
En las ciencias y la técnica, la
proporcionalidad es uno de los instrumentos
más importantes. Nos encontraremos con
que muchos de los conceptos de Física y
Química son en realidad nombres dados a
relaciones de proporcionalidad, como por
ejemplo, la velocidad, la aceleración, la
densidad, presión, concentraciones,
dilataciones, etcétera, o la formulación de
leyes como la de Ohm, la Ley de Hooke o la
de Proust.
Incluso la idea de proporcionalidad entre
magnitudes la que da lugar a buena parte de
los instrumentos de medida utilizado en
estas Ciencias.
Además del concepto de proporcionalidad
aparece a finales de la primaria en el vitae
de Ciencias Sociales bajo distintas formas:
densidad de población, tasa de natalidad, así
como en la lectura de mapas y de diversos
tipos de gráficos, como la línea del tiempo.
Pero la proporcionalidad no es importante
desde el punto de vista de las ciencias, sino
que también tiene una importancia
fundamental desde el punto de vista del
desarrollo de la inteligencia. Así, la
epistemología genética la considera como
uno de los esquemas operativos
fundamentales del estadio de las
operaciones formales (Inhelder y Piaget,
1955)
Aparte de estas consideraciones, hay un
hecho evidente: el niño ya desde sus
primeros años de vida, para moverse en su
entorno físico, utiliza la noción de
proporcionalidad, así, en estimar el tamaño
real del objeto que está lejos o en
interpretar imágenes tan cotidianas como
dibujos, fotografías, cine, posters, carteles,
etcétera. Y esto, no solo a nivel cualitativo,
sino que también muy pronto aparecen
intentos de cuantificación.
He aquí unas cuantas anécdotas:
Freudenthal (1983) cuenta conversaciones
con su nieto:
En uno de sus paseos el pequeño (5 años)
señala unas nubes y dice que son de lluvia.
Freudenthal, le dice que no, que las nubes
están muy altas y que las nubes de lluvia
están muy bajas (dando una altura
aproximada) El niño, que entiende la
respuesta, hace con las manos una
reproducción de la situación a escala.
Años después y durante otro paseo el niño
(7 años y medio) pregunta por la altura de
una torre. Al principio intenta dar por el
mismo una respuesta a la pregunta y estima
que la torre es de 100 metros. Freudenthal
le dice que no, que ni la torre de la Catedral
tiene esa altura y para ayudar en el cálculo
se sitúa él al pie de la torre pegado a la
POR QUE ENSEÑAR LA PROPORCIONALIDAD__________________________________
45
pared. Pero este método sugerido, por
comparación directa, no va bien al niño.
Finalmente, y después de una pequeña
conversación en que se sugiere la utilización
de un palo, el pequeño es capaz de plantear
el problema, como aparece en la figura al
final de este apartado. Apoyando el palo
sobre un muro bajo y calculando la distancia
en pasos del muro a la torre se contesta a la
pregunta: 40 metros aproximadamente.
Otra situación familiar: un domingo por la
mañana la madre de encuentra en casa con
dos de sus hijos. Kepa (7 años) mide a su
hermana pequeña. Ha hecho que se ponga
en el suelo, la mide con los pies y dice: “6
pies y medio de Kepa”.
Más tarde en la terraza juegan y toman el
sol. De repente Kepa que está mirando a la
calle dice: “la calle es un pulgar”, luego
insiste “... es un pulgar y la ventana una uña
y aquella ventana una uña del dedo
meñique”
Van Den Brink y Streefland (1979) cuentan
la conversación de un niño llamado Coen,
también de 7 años, con su padre. Están en
la habitación del pequeño mirando unas
reproducciones de barcos. Coen pregunta
por las dimensiones de la hélice y el padre le
contesta “no cabría aquí una adentro”
Entonces Coen muy contento dice: “¡Sí, en
un libro que he visto en el colegio hay una
foto de una hélice (señala con los dedos
unos 3 centímetros) y al lado se ve un
hombre pequeño, así (1 centímetro)”
Pero, continuando con Freudenthal (1983)
éste afirma que: “el niño adquiere muy
pronto la capacidad de identificar”
POR QUE ENSEÑAR LA PROPORCIONALIDAD__________________________________
46
Llinares, Salvador y Ma. Victoria Sánchez1
a idea de fracción, o mejor aun, la
palabra “fracción” indicando un par
ordenado de números naturales
escritos de la forma ba
, es utilizado en
contextos y situaciones que muchas veces
puede parecer que no tengan nada en
común. Por ejemplo:
a) Para indicar la relación que existe entre la
parte sombreada y un “todo”,
“tres de las cinco partes”, 53
b) Si Un litro de cerveza vale sesenta
pesetas, ¿cuánto valdrán tres quintos?
c) En Un grupo de niños y de niñas hay diez
niñas y cinco niños. En un momento
determinado alguien dice: “Hay la mitad de
niños que de niñas” (hay doble niñas que
niños). La expresión mitad esta empleada en
esta situación para describir una relación
entre dos partes de un conjunto. Se ha
realizado una comparación parte-parte y
1 Fracciones, Ed. Síntesis, Matemáticas:
Cultura y aprendizaje, Madrid 1988, Vol 4
como resultado de esta comparación Se
utiliza una fracción para cuantificar la
relación.
Sin embargo Si estamos utilizando el mismo
“ente matemático” para referirnos a dichas
situaciones, es de suponer que tengan algo
en común. Desde una perspectiva escolar
nos podríamos plantear la siguiente
situación: si identificamos uno de los
contextos en el que la idea de fracción tiene
sentido (Contexto significativo) y
desarrollamos el proceso de enseñanza
(concepto, relaciones, equivalencia y orden,
operaciones significado y algoritmos) con
dicha interpretación ¿cabría esperar que los
niños fueran capaces de trasladar esa
comprensión y destrezas conseguidas a
interpretaciones y contextos diferentes?
Parece ser que la capacidad de “trasladar
esa comprensión” a situaciones distintas no
es del todo clara: es decir, puede ser que el
L
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES
Linares, Salvador
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
47
que el niño tenga claro el significado de una
fracción en una situación, sabiendo realizar
su representación con diagramas y de forma
numérica, así como reconocer el significado
de las diferentes operaciones en dicho
contexto y esto no implica que sepa utilizar
la misma “herramienta” en contextos
distintos, aunque también conlleven
implícitamente la idea de fracción.
Además los resultados de numerosas
investigaciones (BEHR, et al., 1983;
KERSLASKE, 1986; LESH, et al., 1983)
relativas al proceso de enseñanza-
aprendizaje de las ideas de “fracción” han
empezado a indicar que para que el niño
pueda conseguir una comprensión amplia y
operativa de todas las ideas relacionadas
con el concepto de fracción se deben
plantear las secuencias de enseñanza de tal
forma que proporcionen a los niños la
adecuada experiencia con la mayoría de sus
interpretaciones (KIEREN, 1976; DIENES,
1972).
De todas maneras el alcanzar el concepto de
fracción con todas sus relaciones conlleva un
proceso de aprendizaje a largo plazo. La
variedad de estructuras cognitivas a las que
las diferentes interpretaciones de las fraccio-
nes están conectadas condiciona este
proceso de aprendizaje. En otras palabras, al
concepto global de fracción no se llega de
una vez totalmente. Desde las primeras
experiencias de los niños con “mita de” y
“tercios” (relación parte-todo) vinculadas a
la habilidad de manejar el mecanismo de
dividir (repartir), y la habilidad de manejar
la inclusión de clases, hasta el trabajo con
las razones y la proporcionalidad de los
jóvenes adolescentes, vinculada a la
habilidad de comparar y manejar dos
conjuntos de datos al mismo tiempo, y del
desarrollo del esquema de la
proporcionalidad, existe un largo camino que
recorrer.
Los profesores debemos tener en cuenta
todas estas características, es decir:
- las muchas interpretaciones, y
- el proceso de aprendizaje a largo plazo
cuando pensemos en el desarrollo de
secuencias de enseñanza que pretendan el
aprendizaje de nociones relativas a las
fracciones. De la misma forma también
existe un largo camino desde el primer
contacto intuitivo de los niños con las
fracciones (relación parte-todo, “mitades”,
“tercios”...) hasta afianzar el conocimiento
de carácter algebraico asociado a las
fracciones. Con el conocimiento de carácter
algebraico nos referimos, por ejemplo, a la
interpretación de la suma de fracciones
como
bdbcad
dc
ba +
=+
o que la solución de la ecuación (es decir, el
número que en el lugar de la “x” satisface la
igualdad)
53 =• X
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
48
es x = 35
, o también x = 9
156
10 = ...; es
decir, poder ver al conjunto de las fracciones
(números racionales) formando un sistema
numérico, cerrado para ciertas operaciones y
con unas propiedades determinadas.
Puede ser que alguna de las dificultades que
plantea la enseñanza-aprendizaje de las
fracciones, en alguno de sus aspectos,
venga determinada por encontrarnos tan
rápidamente con su carácter algebraico en la
secuencia circular. Esto es debido a que
muchas veces se empieza a trabajar con
reglas de carácter algebraicas, sin tener
previamente un trasfondo concreto
desarrollado ampliamente, en razón de la
“atracción” que puede proporcionar el
comenzar a trabajar rápidamente con
símbolos cuando nos enfrentamos a las
fracciones, por la relativa facilidad que
pueden proporcionar para resolver
situaciones.
Es decir, hay que considerar (DICKSON,
1984) el equilibrio que debe existir entre:
- el significado de las fracciones en
contextos concretos prácticos (situaciones
problemáticas), y
- en situaciones más abstractas-cálculo sin
contexto (carácter algebraico).
Las destrezas que se pueden conseguir en el
manejo de los símbolos relativos a las
fracciones y a las operaciones con
fracciones, no son fáciles de retener si no
hemos sido capaces de crear un esquema
conceptual a partir de situaciones concretas.
La comprensión operativa del concepto de
fracción (número racional) debe
proporcionar la fundamentación en la que se
apoyen las operaciones algebraicas que se
van a desarrollar posteriormente. Un buen
trabajo con las fracciones puede contribuir a
que estas operaciones algebraicas no se
conviertan en algo sin sentido para los
niños.
Llegados a este punto se nos presenta la
necesidad de plantear los procesos de
enseñanza-aprendizaje de las fracciones
desde todas sus perspectivas, en todas sus
interpretaciones posibles, para que un
trabajo continuado con dichas
interpretaciones ayude al niño a conseguir
una comprensión conceptual (operativa) de
La idea de fracción, sin crear “agujeros
conceptuales”.
Una vez determinada esta necesidad se
plantea la tarea de identificar las diferentes
interpretaciones, contextos, en los que
aparezca el concepto fracción: La fracción
como un megaconcepto.
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
49
La sección siguiente se va a centrar en la
identificación y la caracterización de los
contextos que hacen significativa la noción
de fracción (interpretaciones o
subconstructos del megaconcepto). Esta
identificación de las interpretaciones
principales del número racional ha sido
realizada teniendo en cuenta los trabajos de
T. KIEREN (1916), BEHR, et al. (1983) y
DICKSON, et al. (1984).
Las diferentes interpretaciones que se van a
describir son:
a) La relación parte-todo y la medida.
a. 1. Representaciones en
contextos continuos y discretos.
a.2. Decimales.
a.3. Recta numérica.
b) Las fracciones como cociente.
b.1. División indicada.
b.2. Como elemento de
un cuerpo cociente.
c) La fracción como razón.
c. 1. Probabilidades.
c.2. Porcentajes.
La fracción como operador.
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
50
LA RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA
Op cit Pp. 55 - 62
e presenta esta situación cuando un
“todo” (continuo o discreto) se
divide en partes “congruentes”
(equivalentes como cantidad de superficie o
cantidad de “objetos”). La fracción indica la
relación que existe entre un número de
partes y el número total de partes (que
puede estar formado por varios “todos”).
El todo recibe el nombre de unidad. Esta
relación parte-todo depende directamente de
la habilidad de dividir Un objeto en partes o
trozos iguales. La fracción aquí es siempre
“fracción de un objeto”.
Sobre esta interpretación Se basan
generalmente las secuencias de enseñanza
cuando se introducen las fracciones
(normalmente en su representación
continua). Parece ser que tiene una
importancia capital para el desarrollo
posterior de la idea global de número
racional. El estudio de esta relación se
realizará con detalle en el capitulo siguiente.
Para una comprensión operativa de este
subconstructo Se necesita previamente el
desarrollo de algunas habilidades como:
tener interiorizada La noción de inclusión de
clases (según La terminología de PLAGET);
La identificación de la unidad (que
“todo” es el que se considera como
unidad en cada caso concreto);
La de realizar divisiones (el todo se
conserva aun cuando lo dividamos
en trozos, conservación de la
cantidad), y
manejar la idea de área (en el caso
de las representaciones continuas).
Las representaciones de esta relación que
vamos a describir son las desarrolladas en
contextos continuos, discretos y mediante la
utilización de la recta numérica.
Representaciones continúas (área) y
discretas
En un contexto continuo, en el que las
representaciones más frecuentes suelen ser
diagramas circulares o rectangulares (dos
dimensiones):
a)
«De las cinco partes del todo se han
sombreado tres»;
“3 de las 5”; «3/5.»
b) o bien
“De las cinco partes del todo, se han
sombreado tres”,
“3 de las 5”; «3/5.»
S
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
51
c) Si la unidad la representamos por
entonces,
“431 es la parte sombreada, siendo
431 la
forma mixta
de la fracción 1 + 43
”
Si utilizáramos para los diagramas La
magnitud longitud, al dividir un segmento en
partes iguales
La fracción indica las partes que se toman en
relación al número de partes en que se ha
dividido el segmento.
En un contexto discreto se puede
representar
aquí el «todo» esta formado por el conjunto
global de las cinco bolas, tres de las cuales
son negras “5
3”; indica la relación entre el
numero de bolas negras y el número total de
bolas.
Si por otra parte representamos el todo por
entonces en la situación
“23
1 representa la parte sombreada”.
Es interesante resaltar que si se utilizan
contextos discretos se fuerza a que el niño
amplíe su esquema de La relación parte-todo
ya que en este caso, cuando usamos un
conjunto de objetos discretos como
unidades, por ejemplo
Si queremos representar la fracción 5
3 (tres
quintos) (dividir el conjunto en cinco partes
y tomar tres) los subconjuntos que resultan
también están formados cada uno de ellos
por varios objetos (en este caso por dos)
en contraposición al contexto continuo en
que las partes están formadas por trozos
simples.
Lógicamente la dificultad aumenta si se
toma como unidad
y se piden los 5
3, es decir, situaciones en las
que la fracción no se puede aplicar.
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
52
En La caracterización de la relación parte-
todo se habla de “partes congruentes” lo que
no indica necesariamente partes de la
misma forma. En La figura siguiente la
relación entre las partes sombreadas y el
número de partes también se puede
representar por 5
3 (tres quintos).
La noción de “partes congruentes” es de
vital importancia para poder justificar que en
la siguiente figura
no podemos indicar por 5
3 (tres quintos) la
parte sombreada, al no estar formada por
partes congruentes. Esto es debido a que
entendemos por 5
3: “La figura tiene
sombreada los tres quintos de su superficie”.
DECIMALES
na estandarización de la relación
parte todo, junto con las
características de nuestro sistema
de numeración decimal, dan pie a la
introducción de los decimales (fracciones
decimales). Por ejemplo, utilizando la
representación continua y el modelo
rectángulo, considerando la unidad como un
rectángulo y dividiéndolo en diez partes.
Cada una de las partes es en relación al todo
(unidad) 10
1, una de las diez (una décima).
Si cada «parte» (decimal) la dividimos en
otras diez partes, obtenemos “una de diez
de una de diez”, 10
1 de
10
1 (una centesimal).
Queremos indicar con esto, que los
decimales (la notación decimal de algunas
fracciones) están vinculados a la relación
más general “parte-todo”. Así concebidas,
las fracciones como decimales forman una
extensión natural de los números naturales.
(Para un estudio más detallado del caso de
los decimales podemos consultar el tomo 5
de esta colección, DECIMALES de JULIA
CENTENO).
LAS FRACCIONES COMO PUNTOS SOBRE
LA RECTA NUMÉRICA
En esta situación se asocia la fracción b
a con
un punto situado sobre La recta numérica en
la que cada segmento unidad se ha dividido
en b partes (o en un múltiplo de b)
congruentes de las que se toman “a”.
También se puede considerar corno un caso
particular de La relación parte-todo.
U
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
53
Se destaca esta interpretación ya que aquí
implícitamente se realiza la asociación de un
punto a una fracción.
1 + 5
3 = 1
5
3
en este caso se puede pensar que La
fracción no Se asocia a una parte de una
figura o aun subconjunto de objetos, Si no
que se reduce a un número abstracto; así
como el 5
3 es un número entre el cero y el
uno, el 2
3 es un número entre el uno y el
dos.
Esta representación hace que se pueda
pensar en las fracciones como números
parecidos al 1, 2, 3, 4,… y que se pueden
colocar entre ellos.
Aunque esta forma de representar las
fracciones provoca algunas dificultades a
algunos niños (8-12 años), también presenta
algunas ventajas (DICKSON, 1984):
hace que las fracciones impropias
(fracciones mayores que la unidad)
aparezcan de forma mucho más natural, así
como La notación como números mixtos;
hace hincapié en el hecho de que el conjunto
de las fracciones forma una extensión del
conjunto de los números naturales (las
fracciones rellenan «huecos» entre los
naturales);
tiene conexiones con la idea de medida (uso
de escalas).
Pero, como decíamos, su utilización puede
presentar algunos problemas. Los resultados
de algunas investigaciones sugieren que la
interpretación de las fracciones mediante la
recta numérica es especialmente difícil para
los niños (NOVILUS, 1977).
Uno de los problemas que se pueden
plantear es la identificación del segmento
unidad cuando la recta numérica se ha
extendido más allá del uno:
Si se les pide señalar el 5
3 los niños suelen
indicar el punto donde está el tres, sin
embargo esta dificultad no se presenta si se
les proporciona la representación siguiente:
También se plantean problemas cuando el
segmento unidad está dividido en un
múltiplo del denominador. Por ejemplo:
“Señala el 5
3”
La recta numérica sirve también como una
buena representación de la interpretación de
las fracciones como medida
Identificada una unidad de medida
(segmento), admite subdivisiones con-
gruentes. El numero de “adiciones iterativas”
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
54
de la parte resultante de la subdivisión que
«cubren» el objeto, indica la medida del
objeto (proceso de contar iterativo del
número de unidades, subunidades, que se
han utilizado en cubrir el objeto).
¿Cuánto mide esta cuerda?
3 + 2
1 = 3
2
1 = 3 + 0,5 = 3,5
Así, desde esta perspectiva más general, en
un contexto de medida, este modelo viene
caracterizado por la elección de una unidad
arbitrarla y sus subdivisiones (la unidad
debe ser invariante bajo las divisiones)
(KIEREN, 1980), significando la tarea de
medir, la asignación de un numero a una
«región» (en el sentido general).
Al considerar las fracciones (numero
racional) en la interpretación de medida, Se
proporciona el contexto natural para la
“suma” (unión de dos medidas), y para la
introducción de los decimales (notación
decimal) (KIEREN, 1980).
Además, el manejo de la representación de
las fracciones a través de La recta numérica
debe ayudar al niño a “conceptuar” las
relaciones parte-todo en un contexto y
reconocer contextos equivalentes que
proceden de nuevas divisiones de la unidad.
Es decir, el manejo con La recta numérica
(contextos de media) puede ser una buena
introducción a La noción de equivalencia: la
misma parte de La unidad recibe nombres
diferentes en función del número de
divisiones.
Un adecuado recurso didáctico para
desarrollar estas ideas que relacionan las
fracciones y la noción de medida lo pueden
constituir Los Números en Color.
Este material está formado por regletas de
madera de diferentes colores y diferentes
longitudes,
con estas regletas, la pregunta ¿qué es la
regleta roja de la blanca?; tiene una
traducción en términos de medida que indica
“qué mide la regleta roja tomando la blanca
corno unidad”.
Para contestar a esta cuestión, hacemos un
“tren” de regletas blancas de la misma
longitud que la regleta roja dada, tal y como
indica La figura:
“La roja es dos veces la blanca”
Si la pregunta fuera ¿qué es la blanca de la
roja? (¿qué mide La regleta blanca cuando
tomamos la roja corno unidad?), entonces la
“blanca es una de las dos que cubre a la
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
55
roja”. Entonces la relación entre la blanca y
la roja es de 2
1.
b = 2
1 x r
En este caso se dice que la regleta blanca es
un medio de la roja.
Esta situación se puede generalizar. Si
consideramos como unidad la regleta
amarilla y preguntarnos: ¿qué mide la verde
clara?, entonces se puede volver a la regleta
blanca y se tiene,
“Cinco veces la blanca es una amarilla”
la regleta blanca es una de las cinco que
cubren a La amarilla; así, utilizando la
misma notación anterior
b = 5
1 x a
Luego la verde clara que esta formada por
tres blancas, será
v = 3 x b = 5
3 x a
es decir, la verde clara es los tres quintos de
la amarilla.
En general, podemos indicar que la relación
parte todo (tanto en su representación
continua como discreta), constituye el
fundamento de la interpretación de las
fracciones como medida.
(Para un estudio más detallado del problema
de la medida recurrir al tomo 17 de esta
misma colección El problema de la medida,
de Chamorro y Belmonte)
LAS FRACCIONES COMO COCIENTE
Op cit, Pp. 63 - 67
n esta interpretación se asocia la
fracción a La operación de dividir un
numero natural por otro (división
indicada a ÷ b = b
a). Dividir una cantidad en
un número de partes dadas. T. E. KIEREN
(1980) señala la diferencia de esta
interpretación con la anterior indicando que,
para el niño que está aprendiendo a trabajar
con las fracciones, el dividir una unidad en
cinco partes y coger tres (5
3) resulta
bastante diferente del hecho de dividir tres
unidades entre cinco personas, aunque el
resultado sea el mismo.
En esta interpretación se considera que las
fracciones tienen un doble aspecto:
Ver a la fracción 5
3 como una división
indicada, estableciéndose la equivalencia
entre 5
3 y 0,6 en una acción de reparto, y
Considerar las fracciones (números
racionales) como los elementos de una
E
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
56
estructura algebraica; es decir, como los
elementos de un conjunto numérico en el
que se ha definido una relación de
equivalencia, y en el conjunto conciente
resultante unas operaciones -suma y
multiplicación- que cumplen ciertas
propiedades de tal forma que dotan a dicho
conjunto de una estructura algebraica de
cuerpo conmutativo.
Debido a que bajo esta interpretación se
concibe a las fracciones (números
racionales) pertenecientes a un sistema
algebraico abstracto donde las relaciones
entre los elementos son de índole deductiva,
esta interpretación debe tener un carácter
globalizador y ser posterior en la secuencia
de enseñanza a las demás interpretaciones.
En las secciones siguientes vamos a intentar
desarrollar ambos aspectos de esta
interpretación.
DIVISIÓN INDICADA (REPARTO)
a interpretación de la fracción
indicando una división de dos
números naturales (5
3 = 3 ÷ 5)
aparece en un contexto de reparto:
“Tenemos tres barras de chocolate y hay
que repartirlas de forma equitativa entre
cinco niños ¿Cuánto le tocará a cada uno?
Según los trabajos de la profesora HART
(1980) sólo la tercera parte de los niños de
doce y trece años eran capaces de darse
cuenta que dos números naturales se
pueden dividir uno por otro pudiéndose
expresar el resultado exacto mediante una
fracción.
La resistencia de los niños a ver 3 ÷ 5 como
5
3 puede ser debido a que muchos de ellos
se encuentran familiarizados con la
interpretación parte-todo para las fracciones
y por tanto ven los 5
3 como la descripción de
una situación (de cinco partes hay tres
sombreadas), mientras que por otra parte,
la división indica un proceso, precisamente
el proceso de repartir 3 pasteles entre cinco
niños.
No hay que olvidar tampoco que muchos
niños (incluso en el Ciclo Superior), debido
al manejo de los números naturales, dicen
que la división 3 ÷ 5 no se puede realizar
cuando se les presenta de forma aritmética.
Sin embargo, a pesar de esto, existen
opiniones (STREEFLAND, 1984) que centran
L
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
57
el desarrollo de las secuencias de enseñanza
de las fracciones alrededor de esta
interpretación, indicando que la dificultad
que presenta la enseñanza de las fracciones
en la escuela, consiste en que se tiende
rápidamente a centrarse en un tratamiento
formal y algorítmico de estas ideas.
La alternativa consistiría en buscar
situaciones de la vida real, diaria de reparto
y de medida que conllevarán al trabajo con
las fracciones y, apoyados en el
conocimiento informal que sobre éstas llevan
los niños cuando entran en La escuela,
potenciar a través de estas situaciones la
“construcción” del concepto, las operaciones
y las relaciones en las fracciones por los
propios niños.
L. STREEFLAND al destacar esta
interpretación (situaciones de reparto -
medida en las que están implicadas las
fracciones) marca la diferencia con otras
aproximaciones indicando que ante la
situación
“En un restaurante, hay que repartir tres
pizzas entre cinco niños ¿cuánto
corresponde a cada uno?
el resultado 5
3 aparece a partir de un
proceso de diferenciar, dividir, abreviar,
representar, simbolizar,... indicando mucho
más que la simple representación del
diagrama.
Además, la secuencia que se deriva de
plantear la situación anterior, se apoya en
los procesos de verbalización que realizan
los niños de los pasos realizados.
De forma esquemática los principios de
enseñanza de las fracciones defendidos por
este autor con esta aproximación son (L.
STREEFLAND, 1984):
Lo que es importante es la “construcción” de
las operaciones con las fracciones por los
propios niños; construcción basada en la
propia actividad de los niños: estimación,
desarrollo de cierto sentido del orden y
tamaño...;
La valoración del trabajo de los niños, sus
métodos y procedimientos, aunque difieran
de las aproximaciones formales; el énfasis
se traslada a la verbalización de los niños,
verbalización del conocimiento adquirido, ser
capaz de formular una regla, comprender el
poder de las generalizaciones...;
Se utiliza el conocimiento informal de los
niños como bases para empezar la secuencia
de enseñanza (ideas relativas a mitades,
tercios,... los procesos básicos de dividir,
repartir,...).
Desarrollo de situaciones de comprar y
ordenar en las que los niños construyan
procedimientos de solución mediante
procesos de dividir, ordenar, medir,
componer,...
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
58
Utilización de modelos de apoyo (regiones o
segmentos, recta numérica, tablas de
razones,...) y situaciones problemáticas
(situaciones de la vida diaria) que sirvan de
“puente” (conexión) entre las situaciones
problemáticas en diferentes contextos y el
trabajo numérico.
Bajo esta perspectiva el significado de
fracción y las operaciones están conectados
de tal: forma que se desarrollan al mismo
tiempo.
Defiende la idea de que son los niños que
tienen que “construir” y no los profesores.
Sin embargo al desarrollo de las secuencias
de enseñanza con la interpretación de la
idea de cociente (reparto) se le puede
plantear algunas matizaciones según se
utilicen en contextos discretos o continuos
(área, longitud) (BEHR et al 1983).
Dado un contexto discreto:
“Repartir veinte cartas entre cinco buzones”
o contexto continúo:
“tenemos una cinta de 22 cm. Hay que
repartirla entre 4 niños ¿cuánto le toca a
cada uno?
los niños realizan considerablemente mejor
las tareas de reparto en contextos discretos
que en contextos continuos. Se ha señalado
la explicación de que en el caso continuo los
niños necesitan un “esquema anticipatorio
bien desarrollado, es decir, “plan de acción”
previo a la realización de la tarea, mientras
que en el caso discreto se puede realizar
mediante procedimientos directos. Entonces
como señala M. BEHR et al. (1983):
Debido a que las estrategias empleadas por
los niños para las tareas con cantidades
discretas son tan diferentes a las empleadas
en tareas con cantidades continuas, se
puede asumir que la estructura cognitiva
implicada en resolver una u otra tarea son
diferentes.
Ante los dos ejemplos anteriores, en el
contexto discreto, el proceso de solución se
puede realizar simplemente empezando a
repartir las cartas (proceso directo). El
resultado de cuatro cartas por buzón puede
ser visto por los 5
4 del estado unidad
descrito por las veinte cartas del principio.
En el contexto continuo no existe ese
proceso tan directo. Un procedimiento de
estimación o de tanteo, o una operación
aritmética pueden ser necesarios para
acercarnos a La solución.
Sin embargo la necesidad de un “plan de
actuación” previo para realizar la tarea, que
aumenta la dificultad de realización por
parte del niño, no sólo esta vinculada al
contexto continuo o discreto de la tarea a
realizar sino también al tipo de tarea de que
Se trate. Como veremos en el próximo
capítulo, cuando la tarea no es de “división-
reparto” sino de ordenación de fracciones,
parece ser, según señala el profesor T. R.
POST (1985) que es el contexto discreto el
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
59
que parece exigir la existencia de un
“esquema anticipatorio (plan) para realizar
con éxito la tarea”
Atendiendo a esto, no se puede generalizar
la dificultad que presenta un tipo de
contexto (discreto o continuo) frente a otro
sin vincularlo de antemano a un tipo de
tarea.
De todas maneras, en esta interpretación de
“división-reparto”, la principal habilidad que
se refleja es la de dividir un objeto u objetos
en un número de partes iguales.
Retomando el ejemplo del principio de esta
sección:
“Repartir tres barras de chocolate entre
cinco niños de forma equitativa”
los procesos de solución (división – reparto)
y las simbolizaciones representaciones de
estos procesos que se pueden acometer aquí
se convierten en el trabajo previo
(preactividades) a la resolución de
ecuaciones. En este caso:
5 • x = 3
siendo “x” la cantidad de barra de chocolate
que le corresponderla a cada niño. Es decir,
este tipo de actividades se pueden convertir
en los pilares sobre los que se fundamenten
el trabajo con los números racionales como
precursor del álgebra.
Para finalizar, podemos considerar que, en
esta interpretación de las fracciones como
cociente y en las situaciones de división-
reparto en las que una cantidad se divide en
un número de partes dadas, se pueden
distinguir dos aspectos:
a) Cuando nos proporcionan la cantidad
y el número de partes en las que hay que
dividirlo y nos piden lo que vale cada parte
(reparto).
“Tres pizzas entre cinco niños”
b) Cuando nos proporcionan la cantidad
y lo que vale cada parte y nos piden el
número de partes (medida).
“Tenernos tres pizzas y a cada niño le ha
correspondido los 3/5 de una pizza. ¿A
cuántos niños hemos podido dar pizza?”
Las fracciones como elementos de una
estructura algebraica
Como hemos indicado, las actividades en
situaciones de reparto-medida constituyen el
sustrato sobre el que se construye la
interpretación de las fracciones como
elementos de un cuerpo conmutativo
(estructura algebraica). Se conciben las
fracciones (números racionales) como
elementos de La forma b
a, siendo a y b
naturales (para Q +) (b ≠ 0) que
representan la solución de la ecuación
b • x = a
(Para un desarrollo detallado de las
relaciones, y propiedades que se dan en el
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
60
conjunto Q, se puede recurrir a cualquier
libro de Álgebra Elemental).
De forma clara “esta interpretación de las
fracciones (números racionales) como
elementos de un cuerpo (estructura
algebraica) no esta estrechamente vinculada
al pensamiento natural del niño al
desarrollarse de forma deductiva las
operaciones y propiedades” (KIEREN, 1975).
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
61
LA FRACCIÓN COMO RAZÓN
Op cit Pp. 67 - 72
n las secciones anteriores Se han
caracterizado las fracciones en situa-
ciones de comparación parte-todo,
pero algunas veces las fracciones son usadas
como un “índice comparativo” entre dos
cantidades de una magnitud (comparación
de situaciones). Así nos encontramos con el
uso de las fracciones como razones. En este
caso no existe de forma natural una unidad
(un “todo”) como podía ocurrir en los otros
casos (podíamos entender esto como que la
comparación puede ser bidireccional)
En esta situación, la idea de par ordenado de
números naturales toma nueva fuerza. En
este caso normalmente la relación parte-
parte (o La relación parte-todo) se describe
con a ÷ b.
Algunos ejemplos en diferentes contextos
pueden ayudarnos a clarificar esta
interpretación (subconstructo) de las
fracciones:
a)
La relación entre los puntos de A y de B es
de 5
3: (3 ÷ 5).
La relación entre los puntos de B y de A es
de 3
5): (5 ÷ 3).
b)
La altura del muñeco A es 5
3 de La de B: (3
÷ 5).
La altura del muñeco B es 3
5 de la del A: (5
÷ 3)
c) Las escalas en los dibujos de mapas,
planos,
A es los 5
3 de B: (3 ÷ 5)
B es los 3
5 de A: (5 ÷ 3)
E
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
62
e) Las recetas de comidas, las mezclas de
líquidos, las aleaciones,...
Las comparaciones realizadas en los
ejemplos anteriores describen una relación
“conjunto a conjunto” (todo-todo), aunque
las fracciones como razones también
aparecen cuando se describen
comparaciones “parte-parte”.
EJEMPLO 1
la relación (razón) entre bolas negras y
blancas es de tres quintos (5
3).
EJEMPLO 2.
La relación de niños y niñas en este grupo es
de tres quintos (5
3).
EJEMPLO 3
La razón entre los círculos y los cuadrados
es de tres quintos (5
3), (3 ÷ 5).
Algunos autores utilizan contextos cotidianos
para dotar de significado a la idea de razón.
El particular, L. STREEFLAND (1984) utiliza
la “situación del restaurante” para
contextualizar (dotar de contexto como un
modelo de comprensión) la proporcionalidad
(igual de razones) cuando se interpretan las
fracciones como razones.
“En Un restaurante donde existen mesas de
diferentes tamaños y en los que se colocan
cantidades diferentes de bocadillos los niños
se distribuyen por mesas”
Se pretende que los niños a través del
trabajo en esta situación se den cuenta de la
equivalencia de situaciones (en relación al
número de bocadillos que le corresponde a
cada niño), además de iniciar una
esquematización progresiva de esta relación.
Evidentemente podemos mantener la
estructura de estas situaciones variando el
contexto. Se puede aplicar a la relación
entre cantidades de puntos conseguidos por
un equipo de niños y el número de niños de
cada equipo. Se determina la relación niños
÷ puntos.
Realmente la operación que estamos
realizando (establecer una relación) se
puede representar mediante una aplicación
que asocie cada grupo de tres bocadillos con
un grupo de cuatro niños, según indica
DIENES (1972).
Otro contexto “natural” para esta
interpretación de las fracciones como
razones lo podemos encontrar en la relación
entre cantidades de una magnitud (o de
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
63
magnitudes diferentes) (contextos
particulares, mezclas, aleaciones...).
Si denominamos por Ml y M2 a las
magnitudes y por a1 a las cantidades de Ml y
b1 a las cantidades de M2
La relación entre las cantidades de Ml y M2
(a1 ÷ b1) puede no tener dimensión (cuando
Ml y M2 son la misma magnitud) o puede
tener dimensión, lo que ocasiona que
aparezca otra magnitud. Un ejemplo lo
tenemos al comparar longitudes, como en el
caso de la altura de los muñecos, ejemplo b)
anterior, en donde la relación que aparece
es sin dimensión, y otro caso aparece
cuando compramos longitudes (metros) con
tiempo (segundos) para hablar de
velocidades (metros/segundos).
Este camino conduce a situaciones en las
que se tienen que comparar razones,
Un coche A recorre un trayecto de 3 km en 5
minutos. Un coche B recorre un trayecto de
4 km en 6 minutos. ¿Que coche lleva una
velocidad mayor?
Un niño compra 3 caramelos por 5 pesetas.
Otro niño compra 4 caramelos par 6 pesetas
¿quién ha comprado los caramelos más
baratos?
o a buscar valores adicionales a las razones
que se pueden construir (problemas de regla
de tres),
Un coche A recorre un trayecto de 3 km en 5
minutos ¿Cuanto tardará en recorrer un
trayecto de 4 km?
Un niño compra 3 caramelos por 5 pesetas.
¿Cuánto pagará par 4 caramelos?
que constituyen un marco natural para las
proporciones (igualdad de razones-
equivalencia de fracciones) con esta
interpretación.
(Para un estudio más detallado de las
razones y las proporciones, recurrir al tomo
20 de esta colección PROPORCIONALIDAD
de MA. LUISA FIOL y J. M. FORTUNY)
Otras interpretaciones de las fracciones
como razón aparecen asociadas a otros
contextos corno son la representación de la
probabilidad y los porcentajes.
Mostramos a continuación algunos ejemplos
de estos aspectos.
LA PROBABILIDAD
e todos es conocida la dificultad
que presenta el estudio de las
probabilidades en los niveles
superiores, desconectada de cualquier otro
tópico de La enseñanza primarla. La
utilización de las fracciones en este contexto
se le da un carácter de cálculo (aritmético)
sin pensar que La estructura cognitiva
subyacente a las relaciones implícitas en
D
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
64
contextos de probabilidad está vinculada a la
red de relaciones establecida para los
números racionales.
Podernos considerar algunos ejemplos de su
utilización, en los que se establece una
“comparación” todo-todo entre el conjunto
de casos favorables y el conjunto de casos
posibles, como en:
En una bolsa hay tres bolas negras y dos
blancas sacamos aleatoriamente una bola.
¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?
Al lanzar un dado cuál es la probabilidad de
obtener un Seis
PORCENTAJES
a relación de proporcionalidad que se
establece entre un número y 100 (ó
1000) recibe el nombre particular de
porcentaje. Por regla general los porcentajes
tienen asignado un aspecto de “operador”,
es decir, al interpretar “el 60 % de 35” se
concibe “actuando La fracción 100
60 sobre 35”
(hacer 100 partes de 35 y coger 60). (La
interpretación de las fracciones como
operador será descrita en la sección
siguiente.)
Utilizando el lenguaje de aplicaciones, los
porcentajes se pueden entender como el
establecimiento de “relaciones” entre
conjuntos (razones), estableciéndose
subconjuntos de cien partes. Por ejemplo
cuando se establecen las rebajas del 15 %,
estamos estableciendo una relación “de 15
es a 100” que para una cantidad de 300
pesetas vendría representado por:
entonces existe la “misma relación”
(definiendo La “relación” en el sentido de la
aplicación biunívoca entre subconjuntos)
entre “15 es a 100” como en “45 es a 300”.
De todas formas la diferencia entre estas
dos interpretaciones de las fracciones como
razones (probabilidad y porcentajes) y la
relación parte-todo descrita en la primera
sección de este capitulo puede resultar
bastante sutil.
L
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
65
LAS FRACCIONES Y LOS OPERADORES
Op cit P. 72
ajo esta interpretación las fracciones
son vistas en el panel de
transformaciones: “algo que actúa
sobre una situación (estado) y la modifica)”.
Se concibe aquí la fracción como una
sucesión de multiplicaciones y divisiones, o a
la inversa.
Por ejemplo Si en un contexto discreto
tomarnos como una situación de partida
(estado-unidad) el conjunto formado por los
36 niños de una clase, el efecto de la
aplicación del operador 3
2 (dos tercios) se
puede representar por,
ESTADO
UNIDAD
(SITUACIÓN)
OPERADOR ESTADO
FINAL
36 niños
Dividir por 3
Multiplicar
por 2
24 niños
al estado final “24 niños” también recibe el
nombre de estado “dos tercios” como La
descripción de un estado de cosas.
En un contexto continuo, por ejemplo
cuando actúa la fracción 3
2 considerada
como operador sobre un segmento de
longitud dada, se obtiene otro segmento de
longitud 3
2 del original.
De nuevo hay que insistir en que el operador
lleva implícito un convenio: primero actúa la
división y luego la multiplicación,
identificándose así con la interpretación
parte-todo. También se puede invertir el
convenio y actuar siempre la multiplicación
en primer lugar y luego la división.
Hay que observar que, bajo esta
interpretación, las fracciones se utilizan en
un doble aspecto:
a) describiendo una orden, una acción a
realizar (operador), y
b) describiendo un estado de cosas, es decir,
describiendo una situación.
En el ejemplo anterior utilizando el contexto
discreto se mostraban los dos aspectos de la
utilización de las fracciones bajo esta
interpretación.
De forma esquemática, Si representamos el
estado unidad por uno, el resultado de
aplicarle el operador “dos tercios” nos
proporciona el estado final 3
2.
ESTADO OPERADOR ESTADO
1 x(3
2)
3
2
Este doble aspecto de las fracciones en esta
interpretación predetermina un poco el
estudio que se pueda realizar. En este caso,
por ejemplo, podemos establecer de dos
formas la equivalencia de fracciones:
Equivalencia de operadores. Operadores
fraccionarios diferentes, que al actuar sobre
B
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
66
el mismo estado-inicial dan el mismo estado
final
ESTADO OPERADOR ESTADO
12
12
12
x(3
2)
x(6
4)
x(12
8)
8
8
8
Equivalencia de estados. Un mismo operador
que al actuar sobre estados unidad
diferentes produce La misma transformación
(comparando el estado inicial y final en el
sentido descrito en la sección anterior sobre
la “razón”), lo que nos introduce de forma
natural a la noción de proporción.
ESTADO OPERADOR ESTADO
12
15
24
x(3
2)
x(6
4)
x(12
8)
8
10
16
La relación entre el estado inicial y el estado
final siempre es “dos a tres”. Esta
interpretación enfatiza el papel de las
fracciones (números racionales) como
elementos del álgebra de funciones
(transformaciones) al mismo tiempo que
conduce a la idea de que los números
racionales forman un grupo (estructura
algebraica) con la multiplicación.
Encontramos así un contexto natural para la
composición de transformaciones (funciones,
operador), La idea de inversa (el operador
que reconstruye el estado inicial), la idea de
identidad (el operador que no modifica el
estado inicial).
Este aspecto de las fracciones ha sido
tratado con detalle por Z. P. DIENES al
desarrollar una aproximación estructuralista
en la enseñanza de las Matemáticas (en la
aproximación estructuralista la actividad del
niño Se dirige hada la construcción de
estructuras matemáticas formales). En pala-
bras del propio Z. P. DIENES (1972, Pág.
111):
Se observará que todas estas diferentes
facetas del estudio de las fracciones (razón,
porcentajes, decimales, etcétera) pueden ser
comprendidas dentro de un esquema de la
estructura operacional de las matemáticas si
consideramos una fracción como la sucesión
de una partición y una operación de
multiplicar...
Como resultado de este método de
tratamiento, deberá también constatarse
que el estudio de las fracciones forma parte
de un estudio mucho más amplio y general
sobre los estados y los operadores. Esta
constatación se confirmará cuando se aborde
el estudio de la geometría, donde las
transformaciones son los operadores y las
distintas posiciones de las figuras los
estados y en el campo del álgebra donde los
vectores serán los estados y las matrices los
operadores, etcétera pág. 112).
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
UNA VISIÓN GLOBAL DE LAS
FRACCIONES
Op cit Pp. 75 - 78
elaciones entre las distintas
interpretaciones
En las secciones previas hemos descrito las
diferentes interpretaciones que se pueden
asociar a la idea de fracción,
caracterizándolas en sus rasgos más
relevantes.
Debido a las diversas perspectivas con las
que se puede concebir el concepto fracción,
algunos autores lo consideran un
megaconcepto (refiriéndose al numero
racional como sintetizador de todas las
interpretaciones descritas) constituido
(construido) por diferentes subconceptos (lo
que nosotros hemos denominado
interpretaciones).
Los rasgos generales de cada interpretación
señalados en las secciones anteriores
muestran que el ser “hábil” en dichas
interpretaciones conlleva el dominio de
diferentes estructuras cognitivas entendidas
como esquemas de pensamiento subyacente
a las acciones necesarias para desarrollar
tareas que implican la idea de número
racional en cualquiera de sus
interpretaciones que se dan en el niño en
diversas épocas de su desarrollo, lo que
condiciona las secuencias de enseñanza en
un momento determinado.
Además, desde una perspectiva de
enseñanza no es posible aislar por completo
cada una de las interpretaciones de las
demás. Algunas de ellas tienen vinculaciones
“naturales” que no se pueden ignorar, y
hacen que al tratar un determinado aspecto
del número racional, implícitamente están
presentes otros aspectos.
Estas relaciones han sido conceptualizadas
para la enseñanza a través del siguiente
esquema (BEHR, M. J. et al., 1983, Pág.
100).
los autores indican mediante flechas
continuas las relaciones establecidas y
mediante flechas discontinuas las relaciones
que se conjeturan.
Las recientes investigaciones sobre el
aprendizaje de los conceptos relativos a las
fracciones han señalado algunas de estas
dependencias, así como la aproximación de
unas interpretaciones a otras cuando nos
introducirnos en contextos “más abstractos”
Por ejemplo, cuando se utiliza La relación
parte-todo en contextos discretos, las
situaciones numéricas puede conducirnos a
la idea de operador o de porcentaje (razón).
R
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
69
“5
3 de 20” puede ser interpretado como una
fracción actuando sobre un número
(operador), es decir, una acción más que la
descripción de una situación; o cuando
empleamos para describir esta situación el
lenguaje de porcentajes “60 % de 20”, el 60
por ciento de veinte, estamos comunicando
que existe La misma “relación”: (en el
sentido de razón) “tres de cinco” que en
“sesenta de cien”.
Por otra parte, en la sección Las fracciones y
los operadores, de este mismo capítulo se
mostraba la relación existente entre la
interpretación de la fracción como operador
o como razón, cuando se describía la
equivalencia de estados.
Además, como señala el propio Z. P.
DIENES, la conexión entre la interpretación
de la fracción como operador y la idea de
medida se encuentra en un contexto natural
en la realización de mapas y planos (la
utilización de escalas).
Para intentar clarificar estas últimas
relaciones podríamos indicar que las
“paredes” que pueden separar las distintas
interpretaciones del número racional se van
haciendo más “finas” según subimos por el
edificio matemático, hasta que llega un
momento que en “contextos abstractos”
(trabajo algebraico con números y
ecuaciones) pasamos de una interpretación
a otra sin impedimentos “conceptuales”. El
poder de generalización y síntesis de las
Matemáticas se muestra para ayudarnos a
desenvolvernos con facilidad.
Con todas las caracterizaciones anteriores,
hemos pretendido mostrar que el concepto
“fracción” (número racional) es muy
complejo; formado por diversas
interpretaciones e interrelaciones entre
ellas; por eso, no podernos más que
hacernos eco de La sugerencia de SUYDAM
(1979) que, después de haber hecho una
revisión de los proyectos de investigación
desarrollados hasta 1979, en relación a la
enseñanza de las ideas relacionadas con el
número racional señala que conviene:
1. considerar objetivos a largo y corto
plazo en relación a cada una de las
interpretaciones;
2. seleccionar las interpretaciones
apropiadas para desarrollar esos
objetivos, teniendo en cuenta las
estructuras cognitivas necesarias;
3. proporcionar secuencias de
enseñanza (actividades) que
contribuyan al crecimiento de estas
estructuras.
De todas formas, y como habíamos señalado
al principio de esta sección, manejar las
diferentes interpretaciones viene vinculado
al dominio (posesión) de determinadas
estructuras cognitivas (lo que condiciona el
momento de “ver” en la escuela estas
interpretaciones). De forma esquemática,
tenemos:
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
70
La necesidad de que el niño desarrolle la
comprensión del numero racional en todas
sus interpretaciones, así como plantear las
relaciones entre estas interpretaciones
diferentes ya ha sido defendida por algunos
educadores matemáticos, como hemos
señalado en el primer capitulo (véase la
opinión de KIEREN, DIENES,...).
El estudio pormenorizado, las
caracterizaciones y las implicaciones en el
proceso de enseñanza de algunas
interpretaciones, en particular decimales,
medida, razón, operador, se sale fuera de
este libro y ya ha sido estudiado por otros
autores.
PAPEL DESTACADO DE LA
RELACIÓN PARTE-TODO
hora bien, parece ser que la
interpretación parte-todo, tanto en
contextos continuos como discretos
(caracterizado en la sección (La relación
parte-todo y medida) constituye la piedra
angular sobre la que se van a desarrollar
algunas de las restantes interpretaciones, tal
y como se indica en el diagrama anterior.
Esta “naturalidad” del concepto parte-todo
se ve reflejada en la gran atención que
normalmente recibe en el desarrollo de las
matemáticas escolares.
Además, existen opiniones (ELLERBRUCH,
PAYNE, 1978) que defienden la idea de que
para realizar la introducción al concepto de
fracción se debe usar una interpretación
simple (contexto de área, continuo),
indicando que la relación parte-todo es la
que constituye la interpretación mas natural
para los niños (además de constituir un buen
modelo para dotar de significado a la suma
de fracciones).
Sin embargo estas introducciones unívocas
tienen que ser completadas a lo largo de la
enseñanza con otras interpretaciones del
concepto de fracción para intentar evitar las
posibles limitaciones conceptuales que se
podrían derivar. Una excesiva asociación de
la idea de fracción a la interpretación parte-
todo (contexto continuo) podrían plantear
dificultades ante cuestiones como la
siguiente (HART, 1981):
“María y Juan tienen dinero en el bolsillo.
María gasta 4
1 del suyo y Juan
2
1 ¿Es
posible que maría haya gastado más que
Juan?
De todas formas no hay que olvidar que las
nociones matemáticas no se desarrollan
todas de una vez y al mismo nivel de
“manejabilidad” (operatividad), tanto porque
hay que aceptar que los niños puedan
desarrollar una noción de fracción vinculada
A
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
71
a la relación parte-todo en un momento de
la enseñanza, y al ampliar el concepto de
fracción a otros ámbitos (a otras
interpretaciones) esta noción primitiva de
reconceptualizará (readaptará)
modificándose.
De esta forma concebimos el “paso” de las
diferentes interpretaciones de la idea de
fracción por la secuencia de enseñanza,
permitiéndose que al final la construcción del
concepto d número racional tenga como
subconceptos las diferentes interpretaciones
que ha ido adaptando a los largo de su
formación (aplicabilidad a diferentes
interpretaciones).
Vamos a desarrollar la relación parte-todo
en los próximos capítulos, intentando
trasladar las consecuencias del análisis
teórico de la relación a situaciones de clase.
De forma aleatoria se establecerán
conexiones con las otras interpretaciones de
tal forma que se puedan empezar a delinear
la futura “tela de araña” de relaciones que
constituye las ideas relativas al número
racional.
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES_________
72
Fernando Hitt Espinosa
Departamento de Matemática Educativa,
Cinvestav, Conacyt
a modelación matemática ha sido uno
de los pilares en la construcción del
conocimiento. Sin embargo, su
dificultad de implementación en el aula dada
la dificultad del tópico, ha sido relegada sin
percatarse de su necesidad. Al tratar un
fenómeno de la vida real e intentar
modelarlo matemáticamente, se presentan
los problemas propios del proceso y se
añaden los problemas de manipulación
aritmético algebraica. Si cometemos errores
en la parte aritmético algebraica,
seguramente estaremos desechando el
proceso de modelación que realizamos.
En este punto considero que la calculadora
graficadora TI – 92 puede ser de gran
ayuda. Lo que aquí mostramos es una
propuesta didáctica para introducir procesos
de modelación con apoyo de calculadora.
La modelación matemática es de
importancia fundamental en el aprendizaje
de la matemática. Además, puesto que la
modelación matemática en sus primeras
etapas tiene que ver con el entendimiento
de fenómenos desde la perspectiva de la
matemática, la modelación cobra una
importancia enorme dado que nos permite
reflexionar sobre los fenómenos sin
necesidad de repetirlos una y otra vez, que
en algunos casos no es posible; por ejemplo,
si registramos el número de accidentes en
función del tiempo transcurrido en un
período de vacaciones. En otros casos, es
necesario realizar experimentación de
algunos fenómenos que nos permitan
reflexionar sobre el mismo. Generalmente
podemos hacer uso de datos proporcionados
por científicos, compañías, revistas y
periódicos, que nos son útiles para
reflexionar sobre los mismos desde una
perspectiva de la matemática.
La modelación matemática nos proporciona
la posibilidad de desarrollar habilidades
hacia el pensamiento matemático y nos
muestra su utilidad para la comunidad en la
que vivimos, específicamente en el progreso
científico y tecnológico.
En general, seguiremos un esquema como el
que mostramos en la siguiente figura
L
MODELACIÓN MATEMÁTICA CON APOYO DE LA CALCULADORA
GRAFICADORA TI-92
Hitt, Espinoza Fernando
MODELACION MATEMATICA CON APOYO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA TI-92___
73
La modelación matemática es uno de los
aspectos más difíciles en el aprendizaje de la
matemática. Ello se debe a que en el
proceso de modelación se pone en juego
mucho de lo aprendido de la misma. Esta
nueva habilidad, que fundamentalmente
tiene que ver con la unificación de
conocimientos aislados para la resolución de
un problema, se desarrolla en la acción
misma de la resolución de problemas que
involucran el estudio de fenómenos desde la
perspectiva de la matemática. Puesto que en
la modelación se buscan leyes generales que
permitan reflexionar y explicar un fenómeno,
puede suceder que haya varias maneras de
hacerlo, obteniéndose una o varias
aproximaciones generales que explican el
mismo fenómeno de diferente manera. ¿Qué
modelo elegir? generalmente se escoge el
que mejor explique el fenómeno que
queremos entender, y el mejor que se
adapte al contexto en el que estamos
trabajando. En algunos casos se requiere
mayor precisión que en otros.
Analizaremos fenómenos y trataremos de
entender su comportamiento a través de la
modelación matemática. La gran dificultad
que existe en realizar este proceso de
modelación, la atenuaremos, en algunos
casos, a través del uso de calculadora
graficadora; ello nos permitirá avanzar en el
aprendizaje de la matemática.
Los científicos en general experimentan con
animales de laboratorio antes de poner en
práctica algunos de sus conocimientos en los
seres humanos. El ejemplo que analizaremos
es uno típico de los de su clase (ver Hitt,
1987-88).
Ejemplo 1. Ratas y crecimiento
Un investigador llevó a cabo un experimento
relacionado con la vitamina D y el
crecimiento de los huesos.
Con un total de 38 ratas, el investigador
formó cuatro grupos de ratas: el grupo A
con 11, el B con 11, el C con 7 y el grupo D
con 9. Se inyectó vitamina D a cada grupo
de ratas en las siguientes dosis:
0.64 unidades al grupo A; 1.28 unidades al
grupo B; 2.15 unidades al grupo C; y 4.30
unidades al grupo D.
Utilizando una escala de 0 a 24 unidades,
obtuvo los siguientes datos de crecimiento
de los huesos (es decir, el investigador, a
través de rayos X, observó y midió el
crecimiento de uno de los huesos más largos
de cada una de las ratas).
Unidades de
crecimiento
grupo A
0.64 u
grupo B
1.28 u
grupo C
2.15 u
grupo D
4.30 u
MODELACION MATEMATICA CON APOYO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA TI-92___
MODELACION MATEMATICA CON APOYO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA TI-92___
74
2 4 8 14
0 9 17 14
2 4 6 13
4 13 14 19
0 3 17 17
5 7 16 17
3 4 8 20
4 4 17
2 10 18
6 12
1 11
¿Qué función modela mejor los datos?
1. Si tomáramos 4 ratas a las que no se les
haya inyectado vitamina D y a una se le
inyectara 1 unidad de vitamina D, a otra 2
unidades, a la tercera 3 unidades y a la
cuarta 4 unidades, ¿qué crecimiento de
huesos aproximado se observaría en cada
rata?
2. ¿Podría dar una ley general para calcular
aproximadamente el crecimiento de los
huesos de cualquier rata, suponiendo que se
suministre una cantidad de vitamina D
comprendida en el intervalo (0.64, 4.30)?
3. ¿Podría, con los datos obtenidos por el
investigador, predecir el crecimiento de los
huesos de cualquier rata cuya dosis de
vitamina D sea igual a 100 unidades?
Contestar a las preguntas planteadas
requiere de que nos imaginemos una nueva
rata, que al tomarla al azar, si le
administramos cierta cantidad de unidades
de vitamina D, podemos predecir, hasta
cierto punto, el crecimiento de sus huesos.
Puesto que hemos visto que a cierta
cantidad de unidades de vitamina D produce
en diferentes ratas un cierto crecimiento,
parece conveniente calcular la media para
cada una de las columnas de los datos. Ello
nos proporcionará una medida aproximada
del crecimiento de los huesos de una rata al
inyectarle cierta cantidad de vitamina D.
grupo
A
0.64 u
grupo B
1.28 u
grupo C
2.15 u
grupo
D
4.30 u
Promedio por
grupo 2.63 7.36 12.28 16.55
Si graficamos los datos de la tabla 2,
obtenemos una gráfica como la mostrada en
la figura 2. Aquí es donde debemos aplicar
otro de nuestros conocimientos, ¿Qué curva
75
aproxima a los datos de manera que
explique lo mejor posible el fenómeno?
Tracemos segmentos de rectas y una curva
(ver figura 3 y 4). Con cualquiera de las dos
gráficas podríamos contestar a las preguntas
formuladas.
Figuras 3 y 4
De hecho, hemos construido dos gráficas
que modelan el mismo fenómeno. Podemos
continuar e intentar encontrar una o varias
expresiones algebraicas que nos permitan
completar nuestro modelo matemático. Es
decir, además de la gráfica podemos
proporcionar una o varias expresiones
algebraicas que permitan el cálculo
inmediato para algún valor particular. En el
caso de los segmentos de rectas, el modelo
algebraico es
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤+−≤≤+−≤≤+−
=30.415.228.12)15.2(98.1
15.228.136.7)28.1(65.528.164.063.2)64.0(39.7
)(xsix
xsixxsix
xf
En el caso de la curva, debemos reflexionar
sobre el tipo de función que parece
adecuada que aproxime los datos. Una
posibilidad, de acuerdo a la forma, es
proponer una función logarítmica. La
precisión de qué tipo de función logarítmica
la podemos obtener a través del uso de la
calculadora gráfica.
Es importante señalar aquí que la
calculadora será una herramienta que nos
ayudará a realizar el trabajo de una manera
eficiente y rápida. La calculadora no resuelve
el problema, nos presta ayuda para
resolverlo.
Utilizaremos en este ejemplo la calculadora
graficadora TI92 para encontrar una función
que aproxime los datos y que no sea lineal
por tramos.
Primero introduciremos los datos de las
dosis administradas y las medias
correspondientes, en una tabla. Para ello, se
introduce la instrucción APPS, se selecciona
Data/Matrix ® new, se crea el archivo,
digamos: ratas (ver secuencia de gráficas,
MODELACION MATEMATICA CON APOYO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA TI-92___
76
figuras 5 a la 7), y se introducen los datos
en columna. Se utiliza el comando F2 (Plot
Setup) enseguida F1 (Define), se selecciona
Scatter, Box, c1, c2, Enter (figuras 8 a la
10)
Figura 5 y 7
Figuras 8 y 9
Figuras 10 y 11
Se selecciona diamante (¿ ) Graph y Zoom
(ZoomData), obteniéndose la gráfica ya
conocida de la figura 11. Regresamos a la
tabla nuevamente con la instrucción APPS,
Data/Matrix Editor ® current (figuras 12 y
13). Ahora utilizamos la instrucción F5 (ver
figuras 14 a la 16) para que la calculadora
obtenga la expresión algebraica que se
ajusta a los datos.
Figura 11 Figura 12
MODELACION MATEMATICA CON APOYO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA TI-92___
77
Figura 13 Figura 14
Figura 15 Figura 16
Seleccionamos la función logaritmo natural
(lnReg), c1, c2, store ® y1(x), NO, Enter.
Así, obtenemos una función de la forma f(x)
= a + b ln (x), a , b
constantes: , que
si la graficamos, se obtiene la gráfica de la
figura 17.
Figura 17 Figura 18
De inmediato podemos responder a las
preguntas correspondientes a los valores de
x igual a 1, 2, 3 y 4 ; obteniéndose los
valores 5.93, 11.09, 14.12 y 16.26. Aquí es
importante realizar una reflexión: ¿Será
conveniente que el modelo continuo de la
función logaritmo natural continúe para
cualquier dosis? si calculamos para x = 100,
obtenemos un crecimiento de huesos y =
46.27 (ver figura 18). ¿No sería más factible
que al inyectar 100 unidades de vitamina D
a una rata, ésta se muriera? Claro que si
tenemos mucha imaginación, pensaremos
que estamos creando una ratota gigante.
Mejor pensemos que se muere y que nuestro
modelo solo servirá para valores pequeños
de dosis, por ejemplo de 0 a 5 unidades de
vitamina D.
MODELACION MATEMATICA CON APOYO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA TI-92___
78
Ejemplo 2.
Unos científicos hace muchos años
descubrieron que analizando la cantidad de
carbono 14 contenidos en algún material
podría indicar aproximadamente la
antigüedad del objeto. Por ejemplo,
experimentalmente se obtuvieron los datos
de la tabla 3 ¿Qué expresión algebraica
podremos proponer para modelar este
fenómeno?
Tabla 3
Realizando un proceso como el anterior,
podemos encontrar la gráfica de la figura
19; reconociendo la forma que sugieren
estos datos, debemos proponer a una
función exponencial (f(x) = a b x, con a y b
constantes) y corroborar con los resultados
de la calculadora. La cual efectivamente nos
proporciona la función: .
Figura 19 Figura 20
Figura 21
Ejemplo 3.
En un período de vacaciones, se les recordó
a los automovilistas que tuvieran precaución
al conducir y que recordaran que la distancia
de frenado depende de la velocidad del
automóvil. Además, se les proporcionaban
algunos datos empíricos donde se señalaba
que a cierta velocidad, el coche necesitaba
tantos metros para detenerse. ¿Qué
expresión algebraica podremos proponer
para modelar este fenómeno?
Antigüedad
del
material
(miles de
años)
Cantidad
de C14
(dmg)
Antigüedad
del
material
(miles de
años)
Cantidad
de C14
(dmg)
0 15.30 9 5.15
1 13.56 10 4.56
2 12.01 11 4.04
3 10.64 12 3.58
4 9.43 13 3.17
5 8.35 14 2.81
6 7.40 15 2.49
7 6.56 16 2.21
8 5.81 17 1.95
MODELACION MATEMATICA CON APOYO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA TI-92___
79
Velocidad en
Km/h 30 50 70 90 110
Distancia de
frenado en
mts.
11 24 42 64.5 92
Tabla 4
Graficando los datos (figura 22),
observamos que un modelo continuo del
fenómeno puede ser de la forma : y = ax2 +
bx + c, con a, b y c constantes.
Propongamos el polinomio de segundo grado
como la función que aproxima los datos.
Figura. 22 y 23
Figura 24
Con la función cuadrática obtenida en este
proceso, podemos realizar cálculos de
velocidades intermedias y obtener la
distancia de frenado. También, podemos dar
una distancia y ver a que velocidad el
automóvil se mueve.
Discusión
Las posibilidades de las calculadoras
graficadoras como la TI92, nos plantean
problemas que tienen que ver con su
integración al aula de matemáticas
¿qué actividades proponer en un curriculum
que contemple el uso de la calculadora
gráfica?
¿qué problemas se nos presentarán en el
aula al implementar actividades como las
anteriores?
¿qué habilidades estaremos dejando de lado
y cuáles impulsando?
Debemos hacer experimentación en el aula
con las calculadoras y generar más
propuestas que cubran una mayor cantidad
de temas de matemáticas. Además,
debemos reflexionar para saber qué tópicos
son necesarios que se presenten por parte
del profesor sin que los alumnos tengan la
calculadora en uso. Es decir, cómo se puede
apoyar el profesor para impartir su clase
utilizando esta tecnología. En este
documento abordamos el problema de la
modelación, pero otro punto importante ya
tratado con anterioridad, con computadoras,
es el de la simulación de fenómenos físicos
(ver Hitt, 1994), que es posible realizarlo
con la TI92.
MODELACION MATEMATICA CON APOYO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA TI-92___
80
i comparamos textos de Cálculo de
los años sesenta con los que se
editaron en los años ochenta se
pueden observar nuevas tendencias en el
tratamiento metodológico que dan estos
libros de texto al contendio. Estas nuevas
tendencias se reflejan en el intento de
reemplazar las introducciones tradicionales
al Cálculo que consistía en un estudio formal
de series, como 51, 72, 93, 114, ... n31, donde
n = n1 + (n31 – n1)k, es decir: n31 = 5 +
2(31 – 1) = 5 + 60 = 65, el número
buscado, sucesiones y límites como:
2lim
→z 292
++
zz
, por una consideración
intuitiva haciendo referencia a las
aplicaciones.
Parece que hay más consciencia en los
autores de libros y tratados didácticos del
Cálculo, de que el tratamiento tradicional es
matemática y lógicamente exacto mpero no
contribuye mucho a la comprensión e los
conceptos fundamentales. Las ideas básicas
del del Cálculo diferencial e integral
( ∫ dx
d
dx
d, ) permanecen escondidas debajo de
una capa de formalismo y deltasépsilon. De
esta manera se niega al estudiante la
posibilidad de una comprensión auténtica y
con esto la aplicación creativa o lo que
Freudenthal (1963) llama matematizar.
Estas tendencias nuevas son un intento para
solucionar un problema más profundo, el de
dar significado a los contenidos aprendidos
(Wenzelburger, 1986). El análisis
matemático desarrollado en forma abstracta
y con perfección matemática no alcanza a
tener un verdadero significado para la
maypría de los alumnos, sobre todo para los
que más adelante van a ser usuarios de las
matemáticas y no futuros matemáticos que
las estudian con amor. Este material desea
proporcionar sugerencias a los maestros
acerca de cómo desarrollar el conceptro
fundamental del Cálculo Diferencial en forma
significativa, sin caer en inexactitudes
matemáticas.
DESARROLLO HISTÓRICO DEL
CÁLCULO DIFERENCIAL Y EL
PROBLEMA DE LA CONTINUIDAD
os textos clásicos del anális
matemático que empiezan con
sucesiones, series y límites,
presentan al Cálculo diferencial en forma
lógico-matemática con mucha precisión y
sistematización. De esta manera se asegura
el autor que nadie lo pueda criticar por falta
de rigor matemático. Había una época en la
historia de las matemáticas, la época de
Newton y Leibnitz en el siglo XVIII, en la
cual esta falta era un problema grave: en las
ciencias naturales del citado Siglo XVIII se
S
L
NUEAS TENDENCIAS EN LA DIDÁCTICA DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
Wenselburguer, Guttenberger Elfride
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
81
pretendía resolver con la ayuda del nuevo
Cálculo infinitesimal problemas que
anteriormete parecían insolubles, pero
muchas veces no se actuaba con el debido
formalismo matemático. En el Siglo XIX
Cauchy creó los fundamentos matemáticos
de los procesos infinitesimales, y todavía
hoy en día los conceptos de Cauchy como
límite, convergencia, continuidad,
diferenciabilidad determinan los libros de
texto de Cálculo Diferencial e Integral. Pero
este tipo de rigor puede ser la causa de la
falta de crmprensión de las ideas
fundamentales del Cálculo por parte de los
alumnos, ya que se píerde en la presición
matemática, y en un lenguaje formal
impecable. De esta manera tenemos muchos
alumnos de Cálculo que saben aplicar
métodos, definiciones y reglas en foprma
rutinaria sin comprender el sentido de estas
operaciones, reproduciendo los pasos, por
ejemplo, de los métodos de diferenciación e
integración, más de memoria que en forma
significativa, al respecto, podemos citar la
base fundamentalista en el tratamiento de la
diferenciación, tal es el caso del tratamiento
de los “incrementos”, más de memoria que
en forma significativa. El estudiante tiene la
impresición de que el Cálculo siempre existía
como un conjunto de definiciones claras y
teoremas, y tiene pocas oportunidades de
reflexionar que los métodos matemáticos del
Cálculo representan el resultado final de un
proceso de desarrollo largo, lento y penoso
en la historia de las matemáticas. Si el
alumno tuviese la opoirtunidad de
experimentar las diferentes etapas de
precisión y exactitud como resultado de
problemas prácticos, podría comprender
mejor el Cálculo; de esta manera podría
obtener el proceso histórico del esarrollo del
análisis matemático, indicaciones
importantes acerca del fin y propósito de
esta rama de las matemáticas.
La enseñanza del Cálculo se debía ortientar
en esa génesis que tuvo lugar en la historia
de esta ciencia; una formación lenta de
conceptos matemáticos a través de la
liberación de percepciones sensoriales y la
intuición primaria. El concepto de “derivada”
es en realidad solamente el resultado de
intentos por esquematizar nuestras
impresiciones sensoriales de las cantidades y
variables continuas. Esta esquematización
ha progresado desgraciadamente de tal
manera, que los métodos ingeniosos
desarrollados por Newton y Leibnitz
aparecen como manipulaciones algebraicas
rutinarias.
Si consideramos el desarrollo del Cálculo
diferencial en la histopria de las
matemáticas, parece ser que una aspiración
prematura hacia la precisión lógica puede
tener un efecto negativo, sobre todo en el
pensamiento crítico y sensato. Lo mismo se
puede decir para la introducción del Cálculo
en las escuelas. Las introducciones deben
ser intuitivas, razonables, haciendo
referencia a las aplicaciones, pero no
necesariamente de rigor matemático. La
necesidad de un mayor formalismo sigue en
forma natural del empeño de facilitar la
solución de más problemas.
Un aspecto importante que fue introducido
por Newton en 1711 en sus consideraciones,
es el de continuidad. La propiedad de
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
82
continuidad de procesos cambiantes es una
condición fundamental para poder aplicar el
Cálculo diferencial. La continuidad aquí no se
entiende necesariamente en el sentido
matemático, sino en el sentido de una
relación ininterrumpida entre dos
magnitudes dependientes. La mayoría de los
procesos de la naturaleza a las cuales se
aplica el Cálculo son continuos, o por lo
menos continuos por partes y tienen solo un
número finito de saltos bruscos que se
caracterizan matemáticamente como
discontinuidades. Además se consideran
muchos procesos que son de natualeza
discontinua, es decir, que se representan
gráficamente como puntos aislados. Para
fines de un análisis matemático como
continuos, se unen simplemente dichos
puntos por una curva. Si es justificable esta
extrapolación, ello dependerá del
aprovechamiento práctico de los resultados.
Newton, también describió la condición
fundamental el Cálculo infinitesimal de la
siguiente manera: “Un supúesto básico del
Cálculo infinitesimal es que todas las
magnitudes geométricas se generan a través
de movimientos continuos. Podemos
imaginarnos una línea como el resultado del
movimiento de un punto, una superficie
como el resultado del movimiento de una
línea, un cuerpo como el resultado de una
superficie que se mueve y un ángulo en el
plano como generado por la rotación de una
recta sobre un punto” (vgr.: Newton 1711
cit. En Boyer 1959). Estos pensamientos
parecen expresar por primera vez la noción
de continuidad. Newton, también expresaba
la idea fundamental del Cálculo diferencial
mediante conceptos fundamentales como
fluent, magnitud fluyente, y fluxion, razón
de cambio. Intuitivamente exisitían para los
inventores del Cálculo diferencial una
relación estrecha entre los combios
continuos y la idea básica de éste. Con
posterioridad se sistematizó la idea de
continuidad matemáticamente, y se le dio
demasiada importancia, de manera que hoy
en día la discusión formal de límite y
continuidad es una etapa árida y difícil en la
enseñanza del Cálculo, razón de ser de la
materia “procesos de cambio y variación”. El
aspecto intuitivo y la aplicabilidad se
perdieron en gran parte. Es cierto que la
continuidad representa un concepto
fundamental en el análisis matemático, pero
este concepto no tiene aplicaciones
inmediatas y se le hace difícil al alumno
menos interesado en las matemáticas; por
eso es aconsejable no entrar al Cálculo con
este concepto, sino tratarlo
después.Diferentes introducciones al Cálculo
El Cálculo diferencial es una materia
tradicional en los planes de estudio de
matemáticas a nivel preparatoria y
universitario. Generaciones de alumnos
pasaron por un curso de Cálculo sin
realmente entender el significado y la
utilidad de esta rama de las matemáticas,
esto se debe sobre todo a la manera
abstracta y formal, en la cual se presenta
normalmente la materia.
En este bloque de trabajo vamos a sugerir
otro camino al Cálculo. No queremos entrar
a través de límites y una definición formal
de continuidad, sino a través de un
acercamiento intuitivo alos conceptos
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
83
fundamentales de una matemática de
cambio.
Con esto se sigue el camino histórico que
tomó el Cálculo diferencial: primero se
desarrolló una noción intuitiva de la razón de
cambio, de la derivada o del floxion como le
llamó Newton. Mucho después se formalizó y
se precisó lo que es un límite, la continuidad
y la convergencia. Normalmente se usa el
problema de la tangente geométrica como
motivación para introducir la derivada. Este
método tiene muchas desventajas porque no
es fácil de entender que el límite de las
pendientes de una familia de secantes es la
pendiente de la tangente a la cual se llama
derivada. Además no se ve una conexión
inmediata corre una tangente geométrica
que es un fenómeno estático y el dinamismo
de una derivada que describe el cambio
relativo de una magnitud con respecto a
otra.
A veces también se introduce la derivada
como factor de proporcionalidad. Se trata de
probar que la recta g: x → f(x0) + f’(x0) (x -
x0) es la mejor aproximaciónlíneal de la
función “f” de una variedad de x0. Entonces
la diferencia g(x) – g(x0) es proporcional a
la diferencia x - x0 como factor de
proporcionalidad f’(x0).
Este método aritmético algebraico tiene la
desventaja de ser muy abstracto y de
revelar muy poco acerca del concepto
fundamental de una matemática de cambio.
En casi todos los problemas reales en los
cuales hay una dependencia funcional d
magnitudes no sólo interesan los valores de
las magnitudes sino los cambios de éstos, o
más bien las razones de cambio promedio de
camios ax
afxf
−
− )()( de una función f. Para
todas las razones cambio promedios en una
vecindad pequeño de “a” se puede
considerar la razón de cambio local ax →
lim
ax
afxf
−
− )()( como una aproximación
adecuada. Por eso creemos que el acceso
más natural al Cálculo diferencial es a trvés
de determinar razones de cambio locales o
instantáneas. El alumno por su parte, debe
tener la experiencia de cuantificar cambios
mediante los métodos del Cálculo.
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
84
LA IDEA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO DIFERENCIAL
INTRODUCCIÓN
l Cálculo diferencial forma junto con
el Cálculo integral una de las ramas
más importantes de las Matemáticas.
Vivimos en un mundo caracterizado por
cambios continuos. Es importante desarrollar
métodos matemáticos para cuantificar,
describir y pronosticar estos cambios.
Justamente estos es el propósito del Cálculo
diferencial, ya que es la matemática de los
CAMBIOS.
Todo el Cálculo diferencial se puede reducir
a un concepto fundamental, la razón de
cambio. Determinar razones de cambio de
procesos continuos es muchas veces más
importante que estudiar estos procesos.
Siempre que dos magnitudes (variables)
están conectadas mediante una relación
funcional, función (tercer uso de las
variables, Sonia Ursini 1998), se puede
estudiar el cambio relativo de una de las
magnitudes con respecto a la otra.
Un ejemplo típico de una razón de cambio es
lo que físicamente se conoce como
velocidad. Una velocidad es una razón (el
cociente) ntre una distancia y un tiempo y
describe el cambio de la posicisión de un
cuerpo con respecto al tiempo transcurrido.
Si hablamos de de la velocidad de un
automóvil grande (por ejemplo, 120 h
km
significa un cambio grande en la posición, un
desplazamineto de 120 k en una hora. Una
velocidad pequeña, por ejemplo 30 h
km se
puede interpretar como un cambio pequeño
de posición. Solamente avanzamos 30 km
en una hora.
Hay numerosos ejemplos en la vida diaria y
en las ciencias en donde nos interesa el
cambio relativo de una magnitud con
respecto a otra. Esto puede ser importante
para determinar los desultados de un
proceso o ayudarnos a pronosticar el futuro
del mismo. El conocer las “razones de
cambio” también puede ser útil para buscar
factores que controlen los procesos y sus
cambios. Así, si un médico está midiendo el
pulso de un paciente y nota un cambio
repentino, investiga las causas de este
cambio; los polígrados, o detectores de
mentiras, estan basados en este principio:
un cambio repentino de pulso o respiración
indica un cambio en el estado emocional del
individuo. Si una enfermera mide la fiebre
de un paciente y traza la curva
correspondiente se va a fijar en los cambios
bruscos en la tempertura. Los datos que
registra son los siguientes:
Horas 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
Temperatura 36 37 37.2 37.8 37.9 40 40 40 37.6
E
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
Ciertas razones de cambio tienen nombres
especiales:
La razón de cambio de la altura de una
person se llama “tasa de crecimineto”.
La razón de cambio de de la posición de un
vehículo con respecto al tiempo se llama
“velocidad”
La razón de cambio de la temperatura de un
líquido se llama “velocidad de enfriamiento”
En la economía interesan, por ejemplo, la
razón de cambio de la productividad de una
empresa.
La razón de cambio del índice de precios a
nivel nacional
Una razón de cambio importante también es
la tsa de natalidad de una nación que
describe el incremento de la población
Un aspecto fundamental de las relaciones
funcionales cuyos cambios se estudian en el
Cálculo diferencial es el de la continuidad.
Esto significa que una relación es completa
sin interrupciones o saltos bruscos.
Gráficamente estas funciones se representan
como segmentos de líneas rectas o curvas y
no como una colocación de puntos aislados
entre sí.
Otro aspecto importante es el de la
pendiente. Todos tenemos nociones
intuitivas acerca de pendientes y de cómo
comparar inclinaciones de varias pendientes.
Por ejemplo, sabemos que cuesta más
trabajo cubir una montña muy empinada
(pendiente grande) o que el agua de un río
corre más rápido o corroe más su lecho si
este tiene mucha pendiente. Lo que vamos a
aprender en este apartado introductorio
entre otras cosas es que la medida de una
pendiente de una curva está íntimamente
relacionada con el concepto de la razón de
cambio.
En este apartado vamos a derterminar las
razones de cambio (que representan la
velocidad de un cambio) de las relaciones
funcionales dadas en forma de tablas,
gráficas y fórmulas. También se vera cómo
usar el conocimiento d la razón de cambio
para entender procesos y predecir cuándo se
llegan a sus máximos y mínimos.
LA DETERMINACIÓN DE LA RAZÓN
DE CAMBIO
arece ser entonces que el concepto
fundamental del Cálculo diferencial
está presente en la vida diaria y que
muchas personas efectuan operaciones
intelectuales de acuerdo con este concepto
sin poder darle un nombre explísito o
reflexionar sobre las acciones cognoscitivas
correspondientes. Hemos visto que este
concepto fundamental es la razón de cambio
y su determinación. Ya que vivimos todos en
un mundo físico, biológico, económico,
ploítico y social que está caracterizado por
cambios continuos, es muy útil describir y
cuantificar estos cambios y variaciones a
través de modelos matemáticos. Como
ejemplo vemos una curva de fiebre (figura
2.1 a y b).
P
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
86
La enfermera interpreta la razón de cambio
de la temperatura como un cambio de los
valores en el ej y en grados centígrados
(oC), con respecto a los intervalos el tiempo
en el eje x, y toma las medidas terapéuticas
correspondientes.
Para interpretar la figura 2.1a, no interesa
tanto el valor absoluto d la fiebre cada hora,
sino el hecho de hubo un incremento fuerte
entre las 19:00 y 22:00 horas, que la fiebre
no cambió de las 20:00 a las 23:00 horas.
En muchas situaciones de la vida diaria se
usa la misma manera de pensar; todas estas
tienen en común la importancia de mobtener
información a cerca del modo en el cual
varía una magnitud con respecto al cambio
de otra en un determinado intervalo. Por
ejemplo, si sabemos que la gasolina de un
tanque con 40 litros se acaba a las 14:00
horas, y que estaba lleno a las 9:00,
podemos pensar en un consumo promedio
de 8 litros por hora, es decir:
85
40= litros por hora
pero esto en realidad no nos dice mucho a
cerca de los cambios que sufrió el consumo
de gasolina realmente: ¿hubo incrementos
repentinos?, ¿hubo variaciones entre valores
extremos del consumo? Todas estas
preguntas no se pueden contstar sin
información adicional.
Podemos encontrar otros ejemplos de la vida
diaria en los cuales se aplica el concepto de
la determinación de la razón de cambio. Los
montañistas tiene que hacer más esfuerzo
para subir un cerro muy empinado y no
interesa tanto la altura total sino la
pendiente. Los médicos determinan muchas
veces razones de cambio de procesos., un
electrocardiograma representa en forma de
curva los latidos del corazón. Si el paciente
hace ejercicios cambia la forma de la curva;
este cambio determina el diagóstico médico.
Tiempo en horas
Temperatura en C
elsius ( oC)
Raz
ón d
e ca
mbi
o en
la te
mpe
ratu
ra (o C
/h)
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
87
Las compañías deelectricidad también
determian razones de cambio: el consumo
de energía se registra como una curva en
función el tiempo, un aumento repentino sde
consumo se refleja en el aumento de la
amplitud de la curva, lo que indica la
necesidad de aumentar la capacidad
eléctrica. Un caso interesante de la
interpretación de una razón de cambio
representa el polígrafo o detector de
mentiras, un cambio repentino de pulso o e
la respiración indica un cambio en el estado
emocional del individuo, y de esto se
obtienen conclusiones acerca de su reacción
a las preguntas.
La determinación más común de razones de
cambio de procesos ocurre en la casa, por
ejemplo, cuando el ama de casa observa los
incrementos de precios para ciertos
artículos. Si los precisos suben rápido es una
buena decisión comprar estos artículos en
reserva. Pasra justificar esta decisión no
importa tanto el valor absoluto del precio,
sino el incremento sufrido.
De todos estos ejemplos se puede ver que el
concepto de la determinación de razones de
cambio no solamente está presente en
forma intuitiva en la vida diaria, sino
también que es muy útil interpretar las
razones de cambio, ya que estas poseen de
cierto modo un valor pronóstico y nos
permite tomar decisiones futuras.
Relación entre razones de cambio y
pendientes de recta:
La descripción de cambios que sufren ciertos
procesos tienen más valor pronóstico si se
pueden determinar las razones de cambio en
forma general. Para lograr esto
efectivamente no es suficiente describirlas
en un lenguaje común sino que es necesario
desarrollar algoritmos.
La ilustración del concepto fundamental del
Cálculo a través de gráficas es muy útil ya
que existe una relación estrecha entre
pendientes y razones de cambio.
Supongamos que el precio de un artículo de
primer mes es de 600 unidades monetarias
(u.m.) y en un tercer mes es de 1200 u. m.,
representados en la siguiente tabla:
Mes Precio
1 600
3 1200
Podemos graficar estos datos, como lo
muestra la siguiente gráfica:
0
500
1000
1500
2000
1 2 3
y suponer que el incremento del precio
ocurrió como en la siguiente figura:
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
88
1,6002,900
3,1200
0
500
1000
1500
2000
1 2 3
La razón de cambio del precio se define de la
siguiente manera:
“se calcula el cambio en dirección vertical (1
200 – 600) y se divide por el cambio
horizontal (3 – 1), así:
Razón de cambio =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
−−
mespesos300
2600
136001200
Este valor numérico caracteriza el
incremento del precio. En el cuarto mes se
ofreció el producto con un 30 % de
descuento como promoción, que calculado
tendríamos:
Pb = Pb –
8403601200100
360001200
100
30.012001200
100=−=−=
×−=
×⎟⎠⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ tb
P
, donde Pb = precio base (1200) y t = 30 %,
como se aprecia en el siguiente gráfico
1,600
4,840
0
500
1000
1500
2000
1 2 3 4
De donde la razón de cambio de este mes
des de:
Razón de cambio =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=
−−
mespesos360
121200840
Ahora consideremos un valor intermedio de
tiempo; por ejemplo, 2 meses y calculamos
la razón de cambio en el segundo mes:
Razón de cambio =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
−−
mes
pesos3001
30012600900
Esta razón de cambio es la misma que al
inicio del Cálculo:
EN RESUMEN:
na razón de cambio característica
para una gráfica en forma de
segmentos de línea recta solo
cambia si hay variación en la pendiente de
ésta. Si la gráfica crece, la razón de cambio
y la pendiente son positivas. Si decrece la
gráfica, la razón de cambio y la pendiente
son negativas. Para calcular la razón de
cambio entre dos puntos de una gráfica se
sigue el trazo de la curva y se ven los
valores, primero el punto de la abscisa
(valor en el eje horizontal) más grande, y
después el punto de la abscisa más
pequeña. Después se forma el cociente entre
la diferencia vertical y la horizontal.
La pendiente de una recta en un sistema de
coordenadas x, y, es la medida de la razón
de cambio de la variable y con respecto al
cambio de la variable x..
Es una propiedad especial de las líneas
rectas que tienen pendiente constante, es
decir, la razón de cambio entre dos puntos
U
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
89
cualquiera es siempre la misma. No será
necesario utilizar el Cálculo diferencial para
determinar razones de cambio de puntos
sobre una recta. En lo que sigue aplicamos
las ideas principales del Cálculo Diferencial a
la discusión de curvas, no de rectas.
RAZONES DE CAMBIO VARIABLES
ENTRE DOS PUNTOS DE UNA CURVA
na característica muy importante
que distingue una relación lineal de
una no lineal es el hecho de que la
razón de cambio entre dos puntos cualquiera
de la curva que representa la relación no
lineal entre dos variables cambia a lo largo
de la curva. Lo primero que queremos es
desarrollar conocimientos previos necesarios
para comprender estas razones de cambio
variables entre puntos sobre una curva (no
recta).
Vamos a usar el mismo ejemplo que en el
punto anteriro. Es factible que los precios no
subieran siguiendo una relación lineal; por
ejemplo, como en las siguientes figuras:
1,6002,800
3,1200
0
500
1000
1500
2000
1 2 3 4
1,600
2,1000
3,1200
4,840
0
500
1000
1500
2000
1 2 3 4
De acuerdo con las anteriores figuras, el
precio al principio del segundo mes parece
ser de 800 u.m. Como la razón de cambio
entre el precio final del primer mes y del
segundo mes (de 600 a 800) tenemos:
Razón de cambio =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=−=
mes
pesos
zontalCambioHoriicalCambioVert 200
1600800
Ahora calculamos la razón de cambio en el
tercer mes:
Razón de cambio =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
−−=
mes
pesos
zontalCambioHoriicalCambioVert 400
1400
238001200
El valor de la razón de cambio en ambos
casos es diferente, si repetimos el
procedimiento para otros pares de puntos,
como en las siguientes figuras, vamos a
obtener muchos valores diferentes:
U
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
90
1,6002,800
3,1200
0
500
1000
1500
2000
1 2 3 4
1,600
2,1000
3,1200
4,840
0
500
1000
1500
2000
1 2 3 4
La diferencia entre una curva y una línea
recta es la variación continua de la razón de
cambio a lo largo de la curva.
Si suponemos ahora que los precios
cambian de acuerdo a la figura anterior del
lado izquierdo, podemos observar en la
siguiente tabla las razones de cambio
calculadas para intervalos de un mes:
2º mes 3er. mes 4º mes
Razón de
cambio 1
6001000 −
1
10001200 −
1
1200840 −
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
mespesos
400 200 - 360
Estos valores describen a grandes rasgos el
comportamiento de la curva precio en
función de tiempo: en el segundo mes el
precio sube más rápido que en el tercer
mes. Si calculamos la razón de cambio total
del segundo mes al cuarto mes tenemos
que:
Razón de cambio =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==−
mes
pesos803
2403
600840
Obtenemos una información equívoca. Un
valor pequeño pequeño que no refleja la
variación real del precio. Por eso cncluímos
que es necesario calcular razones de cambio
para intervalos pequeños debido a que
intervalos grandes nos dan valores
representativos para la descripción del
cambio de una función a lo largo de la curva.
Determinación gráfica de Razones de cambio
de curvas y su representación como función
La idea principal de lo que sigue es esta: si
logramos calcular para una función (dada en
forma de curva) sucesivamente las razones
de cambio entre muchos pares de puntos
muy cercanos, debe ser posible encontrar
una relación funcional entre la variable
independiente y las razones de cambio.
Las dos variables iniciales en el siguiente
ejemplo van a ser las magnitudes ganancia
(variable dependiente) y unidades
productivas (variable independiente)
La siguiente figura, representa la ganancia
en función de unidades productivas para una
fábrica determinada2 Las unidades
producidas se miden en millares y la
ganancia en pesos. Podemos ver que que la
ganancia alcnaza su valor máximo de $ 6
600.00 para 24 000 unidades y su mínimo
es cero pesos para 4 800 unidades.
2 La función tiene la forma G(x) = ax -
3 2x + C
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
91
Los dueños de la fábrica quieren saber no
solo el monto de sus ganancias, sino los
intervalos en los cuales la producción es
económicamente justificable u optimizable
dadas ciertas condiciones iniciales, esta
información se obtiene del análisis de los
incrementos o decrementos de las
ganancias. La siguiente figura:
representa las razones de cambio de las
ganancias, calculadas para intervalos de
2000 unidades graficadas como función de la
misma variable independiente de la
siguiente figura:
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
92
Los puntos que se obtienen al calcular estas
razones de cambio se unen mediante una
curva continua. De modo que al comparar la
gráfica que describe una curva similar al tiro
parabólico con la que representa sus razones
de cambio observamos:
El máximo de ganancias corresponde a una
producción de 24 000 unidades. Si fallan
algunas máquinas o hay problemas con los
proveedores, indica la gráfica una baja en la
producción en la siguiente figura un
decremento pequeño en las ganancias. Si
baja la producción a 20 000 unidades no hay
problema, pero una producción de 8000
unidades produce un decremento fuerte de
ganancias que se aleja más del máximo.
También observamos que una
sobreproducción produce pérdidas que
aumentan rápidamente en la medida en que
crece la sobreproducción. Esto es fácil de
explicar: con el aumento de la producción
crecen los costos; por ejemplo, costos de
materias primas, transporte, bodega,
salarios, etcétera. Las pérdidas crecen
lentamente hasta 28000 unidades, pero
aumentan rápidamente para una producción
mayor.
En general, podemos ver una relación clara
entre las curvas a y b (la función original y
la función de las razones de cambio) ambas
tienen la misma variable independiente. Los
puntos de la curva en la segunda gráfica se
obtienen con el método descrito al inicio de
esta sección:
RESUMIENDO:
n un sistema de coordenadas
cartesianas se define a partir de una
función original las razones de
cambio como función de la variable x inicial
al formar los cocientes de las diferencias
algebraicas entre los valores de y y los
valores de x de puntos cercanos sucesivos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
12
12xx
yy. Estas razones se pueden graficar
como función de la misma “x” inicial.
En el ejemplo anterior usamos un
procedimiento netamente gráfico para
representar la función original y para
determinar las razones de cambio. Al usar
este método gráfico es importante
determinar las razones de cambio para
muchos puntos muy cercanos. De esta
manera se toman en cuenta todas las
características importantes de la curva
original.
La función de razones de cambio respecto a
la variable independiente original se deriva
de los valores de la función que se estudia:
por eso llamamos a esta nueva función la
derivada.
E
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
93
Entre una función y su derivada existe una
relación especial:
Función original Función derivada
Crece Valor positivo
Decrece Valor negativo
Queda igual Valor cero
Es constante
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
94
PROBLEMAS DE APRENDIZAJE EN
LA CONCEPTUALIZACIÓN
DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
EL PROBLEMA DE LAS DECISIONES
SIMULTÁNEAS
na de las dificultades principales en
la conceptualización de la idea
fundamental el Cálculo diferencial
es el hecho de que al determinar la función
derivada, el alumno tiene que considerar dos
procesos complejos en forma simultánea.
Por un lado conocemos la relación entre dos
mmagnitudes que caría en forma de una
gráfica, como tabla de valores, o como
ecuación funcional y = f(x). La interpretación
correcta de una relación funcional ya exige
del alumno la capacidad de tomar decisiones
simultáneas:tmemos dos conjuntos de
valores se asocian en pares. Es necesario
tener presente el resultdo de esta asociación
tal como la asociación misma, además de los
valores individuales que se asocian y se
unen a una cuasa de una continuidad real o
supuesta para formar una gráfica. De esta
menera exigimos del alumno
permanentemente pensar en valores
relacionales y procesos en forma simultánea.
Por otro lado se establece una relación entre
dos funciones al determinar la derivada:
tenemos la función que se deriva y la
función derivada, tal que:
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −=−
=−
=dx
dy
xx
x
x
xdx
d
dx
dx
xdx
d
2
1
2
)1(1)0(
2
)(1)1(1
cuyos valores dan información acerca de la
razón de cambio de la función original. En la
mayoría de los casos ocurre que la gráfica
de la función original es muy diferente a la
gráfica de la derivada. Es exactamente esta
representación interna y simultánea, que
hace que el alumno, de eventos que distan
en el papel temporal y espacialmente, la que
dificulta la conceptualización e la idea
fundamental del Cálculo diferencial.
Si queremos que alumno comprenda en
forma significativa los conceptos dentrales
del Cálculo, no queda otra cosa que discutir
y experimentar con una función conocida
con métodos gráficos (que son
escencialmente cualitativos) la relación entre
la función y su derivada a partir de gráficas
contiguas, como se muestra en las
siguientes figuras
0
100
200
300
400
500
600
700
1 3 5 7 9 11 13 15
(a) Tiempo en segundos
Altu
ra e
n ki
lóm
etro
s
Altura máxima
Se abre el paracaid
Termina el
U
La de abajo por la derivada de arriba menos la de arriba por la derivada de abajo entre el
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
95
-200
-100
0
100
200
1 3 5 7 9 11 13 15 17
(b) Tiempo en segundos
Altu
ra e
n ki
lóm
etro
s/s
Altura Se abre
Termina el
Desarrollo de la capacidad de tomar
decisiones simultáneas al derivar una
función
En la mayoría de los textos de Cálculo se
representa la función y su derivada en forma
simbólica; por ejemplo, el alumno aprende
que la derivada de y = x2 es dx
dy = 2x y más
o menos tiene consistencia al fundamentar
este tratamiento en procesos netamente
algebraicos relacionados con “incrementos”,
consistencia que nuevamente pone en riesgo
a dicho tratamiento. Esta representación
netamente algebraica impide que el alumno
pueda ver la relación entre una función y su
derivada y tomar decisiones simultáneas de
interpretación; más bien la mayoría de los
alumnos saben aplicar correctamente las
fórmulas de derivación sin comprender el
concepto de derivada. Con un ejemplo
vamos a ver cómo se puede enseñar a los
alumnos la capacidad de decisión simultánea
en la interpretación de derivadas para
asegurar una comprensión significativa,
como condición necesaria para el uso de las
fórmulas posteriormente. En este ejemplo no
se trata de determinar gráficamente una
derivada sino de captar cualitativamente la
conexión entre una función y su derivada.
Se da la gráfica de una trayectoria de un
cohete (altura contra tiempo) y se discuten
los puntos que se destacan en la gráfica:
0100200300400500600700
1 3 5 7 9 11 13 15
(a) Tiempo en segundos
Altu
ra e
n ki
lóm
etro
s
Altura máxima
Se abre el
Termina el
Por ejemplo, el momento en que se acaba el
combustible, significa que el cohete sigue
subiendo pero su velocidad disminuye. A
partir de este instante, debemos notar un
decremento en la función de las razones de
cambio de la altura (función velocidad)
mientras que antes de ese momento debe
haber un incremento. Durante el vuelo va a
ver un instante en el cual el cohete alcanza
una altura máxima y se para antes de caer:
la razón de cambio de la altura (velocidad)
es cero. Después el cohete desciende y esto
significa una razón de cambio negativa. El
valor absoluto de la razón de cambio
aumenta ya que el cohete cae cada vez más
rápido. En el momento en el cual se abre el
paracaídas para evitar el impacto se frena la
caída. La razón de cambio sigue negativa
pero su valor absoluto disminuye. Después
de esta discusión cualitativa de la trayectoria
podemos intentar una gráfica aproximada de
la derivada:
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
96
0100200300400500600700
1 3 5 7 9 11 13 15(a) Tiempo en segundos
Altu
ra e
n ki
lóm
etro
s
Altura máxima
Se abre el id
Termina el combustible
-200
-100
0
100
200
1 3 5 7 9 11 13 15 17
(b) Tiempo en segundos
Altu
ra e
n ki
lóm
etro
s/s
Altura Se b
Termina el
Es importante hacer esta gráfica
directamente debajo de la primera. Una
dificultad puede ser la magnitud que va del
eje vertical de en la segunda figura. Si
tomamos en cuenta que la razón de cambio
es un cociente (diferencia de altura entre
diferencia en tiempo) queda claro que la
razón de cambio e la dsitancia con respecto
al tiempo es la velocidad; estimamos como
la razón e cambio más grnde, 200 km/s y
como la más pequeña – 100 km/s, como
gráfica de la derivada obtenemos:
-200
-100
0
100
200
1 3 5 7 9 11 13 15 17
(b) Tiempo en segundos
Altu
ra e
n ki
lóm
etro
s/s
Altura Se b l
Termina el
OTROS PROBLEMAS DIDÁCTICOS
EN LA INTRODUCCIÓN DEL
CÁLCULO DIFERENCIAL
stamos conscientes de que la
comprensión significativa el Cálculo
diferencial trae más problemas
consigo que el de la decisión simultánea al
buscar la conexión entre la función original y
su derivada. Hay dificultades en el uso
equívoco de reglas de derivación y también
en las aplicaciones; por ejemplo, problemas
de máximos y mínimos, también de razones
de cambio relacionadas en donde hay que
encontrar relaciones entre variables y
eliminar alguna para poder derivar. Otra
dificultad didáctica representa la relación
entre continuidad y diferenciabilidad. Pero
aquí no se trata de analizar todos los
posibles errores que pueden ocurrir en el
aprendizaje del Cálculo, sino de abrir un
camino significativo hacia las ideas
fundamentales. En esto la conexión entre
función original y derivada juega un papel
central.
E
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
97
LA NOTACIÓN “∆x”
UNA NOTACIÓN MÁS COMPACTA
PARA EL COCIENTE DE
DIFERENCIAS
n la primera sección de este bloque
mencionamos la diferencia algebraica
entre valores de y y de x. Debido a
que un lenguaje informal puede causar
errores y además resultar poco práctico,
Donde y = 2x + 1 y
la razón de cambio
es: 24
8
26
513==
−
−
Y su gráfico respectivo:
es adecuado introducir para la determinación
de la razones de cambio una notación más
compacta.
Al introducir esta notación no vamos a darle
una interpretación especial a “x” ó “y”, sino
hacerlo en general. No importa si
determinamos razones de cambio de
precios, temperaturas o velocidades, el
contenido procedimental es siempre el
mismo.
Si queremos entonces detrerminar la razón
de cambio entre dos puntos, P1(x1, y1) y
P2(x2, y2) calculamos la diferencia x2 – x1 =
∆x y la diferencia y2 – y1 = ∆y y formamos
su cociente:
12
12xx
yy
xy
−
−=
∆∆
La “y” está en el numerador ya que
queremos calcular la razón de cambio de la
variable dependiente y con respecto a la
variable independiente “x”. El cociente xy
∆∆
también se llama “la razón de cambio
promedio” y representa gráficamente la
pendiente de una recta.
El adjetivo “promedio” es un nombre popular
pero inexacto, porque en este contexto
promedio significa aproximado, es decir, se
aproxima a una razón de cambio que puede
ser variable por una constante y no se trata
de un promedio de razones de cambio.
La razón de cambio x
y
∆
∆ es suficiente para
describir funciones que tenen gráficas como
en la siguiente figura:
Es decir, segmentos de líneas rectas ya que
cada segmento tiene una razón de cambio
constante, pero no para determinar las
razones de cambio de gráficas curvas.
Ex 1 2 3 4 5 6
y 3 5 7 9 11 13
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
98
LA NOTACIÓN ∆ PARA RECTAS
Vamos a ilustrar la notación ∆ para el
siguiente caso:
Para determinar la razón de cambio entre
pares de puntos sucesivos escribimos:
42
8
13
19==
−
−=
∆
∆
x
ypara (P2 a P1)
51
5
34
914==
−
−=
∆
∆
x
y para (P3 a P2)
13113
34141
−=−
=−
−=
∆∆
xy
para (P4 a P3)
030
5811
==−−
=∆∆
xy
para (P5 a P4)
Se ve claramente que el valor absoluto de la
razón de cambio depende sobre todo del
valor de la diferencia (el cambio) entre los
vlores de “y” (variable dependiente).
LA NOTACIÓN ∆X PARA CURVAS
n la siguiente figura, vemos la
gráfica de una función, y en la
siguiente su derivada. Aplicamos
para este ejemplo también la notación ∆y
notamos que la razón de cambio varía
constantemente.
E
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
99
La altura ∆y de la escalera decrece en su
ancho; ∆x es siempre igual. En consecuencia
decrece la razón de cambio entre 0 y 24 y
crece de 24 a 48.
Para algunos puntos importantes que
determinan la forma aproximada de la
derivada, vamos a presentar las razones de
cambio en notación ∆.
Cuando x = 1 en la figura entonces:
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
100
y = 1 200; para x = 0, y = 0, de esto se
sigue:
120001
01200 =−
−=∆∆
xy
para (P0 a P1)
Y para P1(1, 1200) y P2(2, 2010) que siguen,
entonces:
8101
8101212002010 ==
−−=
∆∆
xy
para (P1
a P2)
A esto corresponde en la curva derivada el
punto P2(2, 810)
De la misma manera se puede determinar
otros puntos en la figura anterior que al
unirlos dan una aproximación para la
derivada de la función en la figura original.
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
101
SIGNIFICADO Y DETERMINACIÓN
DEL COCIENTE DIFERENCIAL
LA TRANSICIÓN DE LA RAZÓN DE
CAMBIO PROMEDIA A LA RAZÓN DE
CAMBIO INSTANTÁNEA
l final de la sección anterior hicimos
referencia al hecho de que
distancias menores entre valores
consecutivos de la función origina debían
llevar a una determinación más exacta de la
función derivada. Expresado en notación ∆x
esto significa: entre más pequeño ∆x tanto
más exacto ∆y. Los valores de ∆y
determinan la característica de la derivada.
La gráfica:
fue trazada tomando numerosos pares de
puntos consecutivos tomados de la
siguiente gráfica::
calculando los valores de la razón de cambio
x
y
∆
∆ para cada uno de ellos. Se pretendía
lograr la mejor aproximación posible de la
curva derivada. Pero este método nunca nos
puede dar la derivada exacta ya que
calculamos solamente rzones de cambio
promedio de cambio, cada una de las cuales
no representa la razón de cambio al principio
o al final de un intervalo ∆x tan pequeño
como queramos, el valor x
y
∆
∆ siempre se
tomará como un valor constante en el
intervalo. Necesitamos desarrollar un
método que permita calcular la razón de
cambio de la función original prácticamente
en cada instante; es decir, para cada valor
de “x” queremos conocer la razón de cambio
f(x). Este tipo de razón de cambio se llama
“la razón de cambio instantánea”.
Considerando la forma de x
y
∆
∆
12
12xx
yy
xy
−
−=
∆∆
A
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
102
podría pensarse simplemente en hacer
coincidir los puntos x2 y x1; es decir, tomar
x2 - x1 = 0. Entonces la razón de cambio
será instantánea ya que nada más se tendrá
en un punto. Es obvio que este intento de
solución fracasa: para ∆x = 0 no está
definida la razón de cambio. Por esto vamos
a aceptar el siguiente principio fundamental
de la razón e cambio instantánea: “El valor
de x2 - x1, será siempre un número que
puede hacerse más pequeño que un número
muy pequeño, arbitrario, pero fijo. Debido a
que un número de esta naturaleza no es
igual a cero, no estamos considerando un
intervalo de longitud sino que ∆x se hace
cada vez más pequeño. Esto se expresa
como: ∆x → 0”.
UNA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
DEL PROCESO X → 0.
a siguiente serie de figuras ilustran
gráficamente el significado del
proceso ∆x→0.
En las figuras anteriores se ve claramente
como la distancia entre x2 y x1 se hace cada
vez menor: el punto P2 se aproxima al P1
sobre la curva. Mientras que P2 se acerca al
P1 cambia la pendiente x
y
∆
∆ de la secante P2
y P1 de tal manera que el valor x2 - x1 es
posible escoger un número que se puede
hacer más pequeño que un número fijo pero
arbitrriamente pequeño, entonces la secante
21PP está en una posición que
prácticamente no se puede distinguir de la
tangente T en el punto P1. También la
L
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
103
tangente T tiene su pendiente, como se
muestra en la siguiente figura:
Conocida como pendiente a la que
llamaremos el ángulo de incliación ∝. Sucede
que esta pendiente de T tiene el mismo valor
numérico que la razón de cambio
instantánea en el punto P1. En otras
palabras:
Si existiera un método unívoco para trazar
tangentes a curvas podríamos continuar con
la determinación gráfica de derivadas, y esta
vez con la determinación de razones de
cambio instantáneas, calculamos
simplemente la pendiente de la tangente
que para por un punto de una curva. Pero no
existe tal método, ya que casi siempre es
posible trazar más de una tangente por un
punto de una curva.
Observamos que la interpretación
geométrica del proceso “∆x → 0” se presentó
solamente para complementar las ideas
expuestas. Esto no es necesario para los
métodos numéricos y algebraicos que se
usan para determinar la rzón de cambio
instantánea.
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA
APROXIMAR RAZONES DE CAMBIO
INSTANTÁNEA
amos a ilustrr con un ejemplo
concreto un método para aproximar
la razón de cambio instantánea. Con
esto queremos preparar el camino para una
comprensión significativa del concepto de
“límite”.
Para esto usaremos una herramienta formal
de las matemáticas: aceptaremos funciones
nos solamente gráficas, sino modelos
(fórmulas) que expresan la relación entre la
variable independiente “x” y la variable
dependiente “y”.
Tomemos como ejemplo una función
cuadrática, mostra en la siguiente figura:
V
“El valor numérico al cual se aproxima
x
y
∆
∆ cuando ∆x → 0 es la razón de
cambio instantánea.
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
104
determinada por el modelo y = x2
queremos conocer la razón de cambio en el
punto (2, 4) Para eso calculamos la razón de
cambio instantánea a partir de las razones
promedio de cambio ya que sabemos que:
x
y
∆
∆ ∆x → 0 [Razón promedio de cambio] =
Razón de cambio instantánea
Para encontrar la razón de cambio
instantánea cuando x = 2, calculamos:
12
12xx
yy
xy
−
−=
∆∆
Tomamos para ∆x valores cada vez más
pequeños:
En el caso que nos ocupa, x1 = 2. y1 = 22
= 4. Entonces:
xy
xyy
xy
∆−=
∆−=
∆∆ 4212
La siguiente tabla contiene los resultados:
y = x2
x1 + ∆x
= x2 y2
∆y = y2 -
4 x
y
∆
∆
2 + 1 =
3.0 32 = 9 9 – 4 = 5 5
23
5=
−
2 + 0.5
= 2.5
2.52 =
6.25
6.25 – 4
= 2.25 =
− 25.2
25.24.5
2 + 0.1
= 2.1
2.12 =
4.41
4.41 – 4
= 0.41
=− 21.2
41.0
4.10
2 +
0.01 =
2.01
2.012 =
4.0401
4.0401 –
4 =
0.0401
=− 201.2
0401.0
4.0100
2 +
0.005 =
2.005
2.0052 =
4.0200
4.0200 –
4 =
0.0200
=− 2005.2
0200.0
4.0000
La aproximación de la razón de cambio
instantánea de la función y = x2, x = 2 dio
un valor de 4. Este método parece ser poco
práctico ya que deberíamos calcular las
razones promedio de cambio x
y
∆
∆ para
intervalos cada vez más pequeños. Pero este
método tiene la ventaja de preparar de
manera significativa el concepto de límite. Si
aplicamos el método descrito anteriormente
a una función dada para varios valores de x,
obtenemos una serie de razones de cambio
instantáneas. Éstas a su vez pueden
graficarse en un sistema de coordenadas con
los mismos valores de x. La gráfica que se
obtiene es una función derivada que es
mucho más exacta que las derivadas que se
construyeron a través del método gráfico en
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
105
las secciones anteriores. Ilustremos de
nuevo con el ejemplo y = x2, para x = 2
encontramos que la razón de cambio
instantánea estaba muy cerca de 4. Para x =
1, tenemos la siguiente tabla:
y = x2
x1 +
∆x =
x2
y2 ∆y = y2 -
1 x
y
∆
∆
1 +
0.1 =
1.1
1.12 =
1.21
1.21 – 1
= 0.21 =
− 11.1
21.0 2.10
1 +
0.01
=
1.01
1.012 =
1.0201
1.0201 -
1 =
0.0201
=− 101.1
0201.02.0100
1 +
0.001
=
1.001
1.0012 =
1.002001
1.002001
– 1 =
0.002001
=− 1001.1
0020001.02.0010
De los valores de la anterior tabla se puede
concluir que para x = 1, x
y
∆
∆ se aproxima a 2
cuando ∆x se acerca a 0, luego:
x
y
∆
∆ → 2 para ∆x → 0, x = 1
De la misma manera calculamos para x = 0,
x = 2
1, x =
2
3, x =
2
5, x = 3, los valores
serán:
x x
y
∆
∆ para ∆x → 0
0 ≈ 0
0.5 ≈ 1
1.5 ≈ 3
2.5 ≈ 5
3 ≈ 6
Graficando estos valores se obtienen:
Si examinamos los valores de la tabla
anterior, se observa que x
y
∆
∆ para ∆x → 0
Siempre es igual a 2, de donde, la expresión
x
y
∆
∆ para ∆x → 0 se puede escribir como:
y’ = 2x o también dx
dy = 2x
que describe la relación de los valores de “x”
y las razones de cambio instantánea de la
función, para un valor de “x” arbitrario, pro
fijo. En la siguiente sección mostraremos un
método algebraico para determinar las
funciones derivadas de ciertas funciones
dadas como modelos.
y∆ para ∆x → 0
x
x
x
x
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
106
EL CÁLCULO DE LA FUNCIÓN
DERIVADA CON MÉTODOS
ALGEBRAICOS
n el siguiente ejemplo vamos a
mostrar cómo se puede deducir de
una tabla de valores de un
experimento sencillo una fórmula o
expresión algebraica, y la manera de
determinar la derivada algebraicamente.
En un laboratorio de biología se observa que
las bacterias crecen como se indica en la
siguiente tabla:
Núm.
al
inicio
Después
de 1
hora
Después
de 2
horas
Después
de 3
horas
Después
de 4
horas
50 51 54 59 66
Estos datos se pueden expresan
gráficamente de la siguiente manera:
Crecimiento bacteriológico
50 5154
5966
0
10
20
30
40
50
60
70
1 2 3 4 5
Tiempo en (h)
Núm
. de
bact
eria
s
Ahora queremos determinar la tasa de
crecimiento de las bacterias: primero la tasa
promedio de las primeras 4 horas, y luego la
tasa de crecimiento de la segunda hora. Se
presenta entonces otra vez el problema de
calcular una razón de cambio: el crecimiento
de las bacterias en un tiempo determinado.
La razón de cambio promedio se calcula
como sigue:
∆y = 66 en la 4ta. hora
- 50 al inicio
∆x = 4 en la 4ta. hora
- 0 al inicio
de donde:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
−−=
∆∆
horabacterias
xy 4
045066
No es difícil establecer a partir de la gráfica
anterior a la tabla de valores (mostrada
antes del gráfico), una relación algebraica
entre “x e y”.
y = x2 + 50
Para calcular la tasa de crecimiento de la
segunda hora (razón de cambio de la
segunda hora), tenemos que encontrar el
valor de:
xy
xxyy
∆∆=
−−
12
12 cuando ∆x → o
De donde (x1, y1) = (2, 54) y (x2, y2) punto
cerca de (x1, y1). Tenemos que:
x2 - x1 = ∆x, y x2 = x1 + ∆x = 2 + ∆x
y2 - y1 = ∆y, y y2 = x2 + 50; de donde:
= (x1 + ∆x)2 + 50, y
= (2 + ∆x)2 + 50; y por lo tanto:
xy
xxyy
∆∆=
−−
12
12 =
[ ] [ ]11
5021502)1(
xxx
xxx
−∆+
+−+∆+,
E
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
107
que por sustitución y resolviendo
algebraicamente tenemos:
= [ ] [ ]
2250450)2( 2
−∆++−+∆+
xx
=
xxx
∆∆+∆ 24
. De donde: x
xx∆
∆+∆ )4( ∴ =
4 + ∆x
Si ∆x → 0, entonces x
y
∆
∆ → 4
La tasa de crecimiento momentánea en la
segunda hora es de 4 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
hora
bacterias. Podemos
generalizar el método, usando como x1 un
valor fijo pero arbitrario:
[ ] [ ]11
21
21 5050)(
xxxxxx
xy
−∆++−+∆+=
∆∆
,
entonces
xxx
xy
∆∆+=
∆∆ 2
12de donde:
= 2x1 + ∆x
∴ Si ∆x → 0, entonces x
y
∆
∆ → 2x1
Como el valor de x1 es arbitrario pero fijo,
entonces obtenemos la función derivada:
02'
→∆==
∆∆
xxy
xy
De esta manera encontramos un modelo que
describe el proceso de crecimiento de
bacterias, es decir, las razones de cambio de
la función y = x2 + 50. Dimos un gran paso
en cuanto a los conceptos involucrados ya
que pasamos de métodos que dan valores
de la derivada (que son razones de cambio)
para puntos fijos, a un método que
proporciona la derivada como una función de
la misma variable independiente que la
variable de la función original. Con esto
podemos calcular razones de cambio
instantáneas para puntos arbitrios pero fijos
de curvas.
Llegamos al punto en el cual conviene
introducir reglas algebraicas de derivadas,
que son más económicas para los cálculos.
Estas reglas se aceptan como una manera
más rápida y fácil de calcular razones de
cambio y no se aplican meramente en forma
rutinaria, ya que se le dio un significado a
los procesos y conceptos que están detrás
de las reglas, a través de una introducción
accesible.
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
108
APLICACIONES DEL CÁLCULO
DIFERENCIAL
UN PROBLEMA SIMPLE
n muchas aplicaciones de la
matemática es importante poder
determinar valores máximos y
mínimos de funciones. Este tipo de
problemas se llama problemas de
optimización y algunos de pueden resolver
con ayuda del cálculo diferencial. En este
caso se habla de calcular valores extremos.
Los problemas de optimización jugaron un
papel importante en la historia de la
matemática; por ejemplo, los intentos por
determinar la altura máxima de un proyectil
o la distancia máxima entre planetas fueron
decisivos para el desarrollo del análisis
matemático. Hoy en día se dan problemas
de valores extremos en muchas disciplinas
científicas; por ejemplo, en la economía, al
calcular ganancias máximas y costos
mínimos. Como introducción al cálculo de
valores extremos escogemos un problema
de la industria de empaques. Se quiere
hacer uso óptimo del material. Ilustramos
tres métodos para resolver el problema:
dada una pieza de papel de aluminio, se
desea hacer una caja sin tapa con un
volumen máximo, la caja se hace doblando
el papel aluminio de la siguiente manera:
Vamos a suponer que el papel aluminio es
cuadrado, con lado de 12 cm Podemos
experimentar y hacer varias cajas, como se
muestra en el siguiente esquema:
Método 1:
Llenar todas las cajas con agua y comparar
la cantidad de líquido que cabe en cada una.
De esta manera se pueden estimar en forma
aproximada las dimensiones de la caja con
un volumen máximo.
Método II:
Calcular los volúmenes de las cajas de
acuerdo con las dimensiones de la figura
anterior y a partir de sus medidas de las
siguientes figuras:
Vemos que la base des cajas mide 12 cm
(12 – 2h)2, siendo h la altura. Sea x el lado
de la base. Los cálculos están en la tabla
siguiente:
E
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
109
Volumen 0 20 87.5 128 100 0
Lado (x) 0 2 5 8 10 12
Altura (h) 6 5 3.5 2 1 0
Dibujamos ahora la gráfica del volumen
como función de x, como se muestra en la
siguiente figura:
Gráfica del volumen de una caja
0102030405060708090
100110120130
1 2 3 4 5 6
Lado "x" en centímetros
Volu
men
V e
n cm
cúb
icos
Aparentemente se obtiene un volumen
máximo para un largo de 8 cm, esta
impresión se corrobora al calcular los valores
para 7 y 9 cm respectivamente, como en la
siguiente tabla y gráfica respectiva.
LadoAlto Volumen
7 2.5 122.5
8 2 128
9 1.5 121.5
Gráfica del volumen de una caja
118
120
122
124
126
128
130
1 2 3
Lado "x" en centímetros
Volu
men
V e
n cm
cúb
icos
Método III:
Si trazamos en el punto máximo del
volumen V como función de x, una tangente
T, se ve que esta recta es paralela al eje x,
es decir, tiene pendiente “cero”. En la
sección anterior, vimos que la pendiente de
la tangente en un punto de la curva tiene el
mismo valor que razón una razón de cambio
igual a cero. Esto es importante para la
tercera solución; en la figura que demuestra
la construcción de la caja se ve que el
volumen de las cajas esta determinado por
(12 – 2h)2(k), en donde 12 – 2h = x y que
corresponde al lado de la base.
Por lo que tenemos:
Vx = x2 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
212 x
= 6x2 - 2
3x
De modo que el volumen de las cajas es
función de x.
Como en el apartado anterior, vamos a
derivar V(x1) algebraicamente. Sea x un
valor arbitrario pero fijo y V(x1) = y1 el
volumen correspondiente; x2 es un valor
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
110
cercano, x1 es decir, = x1 + ∆x. Tenemos
que:
V(x2) = y2 = (x1 + ∆x)2 - 2 x1 x∆+
Entonces resulta:
xy
xxyy
∆∆=
−−
12
12 =
11
2
312
16
3
2
12)1(6
xxx
xx
xxxx
−∆+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
−−∆−
−∆+
, de
donde:
= 12x1 + 6∆x - 212
3 x - 123 x ∆x - 2
21 x y por
lo tanto:
y’ =
0
2112
2
31
→∆
−==∆∆
x
xxdxdy
xy
Interesan sobre todo los valores de x1 para
los cuales y = 0;
porque uno de
estos valores
de las
dimensiones de la base con lo cual el
volumen es un máximo.
Entonces:
12x1 - 212
3 x = 0, de donde:
x1 (12 - 123 x ) = 0
∴ x1 = 0 , o bien x1 = 8
Como también para x1 = 0 se tiene que
V(x1) = 0, entonces x1 = 8 el valor que
buscamos. De este modo concluimos que las
dimensiones óptimas de una caja abierta
que se pueda obtener doblando un papel
aluminio en forma de cuadrado con lado 12
cm son:
Una caja con estas dimensiones, tiene el
mayor volumen entre todas las cajas
posibles que se puedan construir, como se
puede apreciar en la siguiente tabla y
gráfico:
LadoAlto Volumen
7 2.5 122.5
8 2 128
9 1.5 121.5
Gráfica del volumen de una caja
118
120
122
124
126
128
130
1 2 3
Lado "x" en centímetros
Volu
men
V e
n cm
cúb
icos
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
111
OTRAS APLICACIONES
as funciones en los ejemplos que
discutimos en las secciones anteriores
se representaban gráficamente o
como polinomios simples, como se mencionó
en la sección. ”El cálculo de la función
derivada con métodos algebraicos” del
anterior apartado, podemos en vez de
calcular la derivada como límite del cociente
diferencial 0' →∆∆
∆x
y introducir reglas de
derivación, por ejemplo, la siguiente: si y =
xr, entonces y’ = r xr-1, siendo “r” un número
racional. Con ayuda de esta regla podemos
derivar todos los polinomios de manera
rápida y fácil. Existen evidentemente
muchas funciones elementales (racionales,
trigonométricas, exponenciales y
logarítmicas), cuyas derivadas no se calculan
tan fácilmente. Pero muchas de las
funciones que aparecen en las aplicaciones
de las matemáticas pueden expresarse como
polinomios, o ser aproximados por
polinomios. Por ello es posible determinar
las razones de cambio de muchos procesos
con los medios relativamente simples que
presentamos en este material de apoyo.
Esto puede ser importante para determinar
causas para los cambios de procesos,
condiciones óptimas para procesos o
pronósticos de los resultados de procesos.
CONCLUSIÓN
l tema principal de este apartado del
material de apoyo para el estudio de
la materia de “Procesos de cambio y
variación” era el desarrollo gradual del
contenido significativo del Cálculo
Diferencial. La idea fundamental de esta
rama de las matemáticas fue introducirnos a
partir de referirnos a experiencias de la vida
diaria, primero en forma intuitiva y correcta,
y después se afinó esta idea poco a poco con
notación matemática. Lo dominante fue la
determinación e cambios de una magnitud
con respecto a los cambios de otra, e la cual
aquella es función.
Hay que ser realistas y reconocer que esto
no es suficiente; porque el currículum y los
exámenes no preguntan solamente por el
significado del Cálculo Diferencial, sino
también por técnicas de solución de
problemas. En este sentido, no se pretende
que este material de apoyo para el estudio
de la materia que nos ocupa reemplace a un
texto de cálculo usual. Pero estamos
convencidos de que un acercamiento
significativo al cálculo diferencial a pesar de
una cierta lentitud inicial, evita que el
profesor estudiante adquiera técnicas del
Cálculo Diferencial sin comprender, es decir,
creemos que con esta introducción, el
tratamiento del Cálculo será menos
infructuoso para los profesores estudiantes,
quienes a su vez, podrán transmitir esta
nueva cultura, la de darle sentido a los
aprendizajes circunscritos a las matemáticas
y que generaciones enteras de estudiantes
frustrados cursen el cálculo diferencial sin un
L E
NUEVAS TENDENCIAS EN LA DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL_______________
112
claro entendimiento. Por supuesto, es
indispensable el concepto de derivada que
fue desarrollando intuitivamente. Una
notación exacta y un procedimiento
definitivo del cálculo diferencial son
indispensable, y de la definición formal de la
derivada como límite no se debe privar a
ningún alumno. La mayoría de los textos de
análisis tratan e manera satisfactoria el
Cálculo desde el punto de vista matemático
formal, a través de definiciones, teoremas y
demostraciones, por lo cual no es fácil llevar
a cabo una discusión sistemática de
funciones, límites, continuidad, etcétera.
Pero toda esta exactitud matemática nunca
se debe perder de vista la idea fundamental
del cálculo diferencial, motivo de estudio de
este material de apoyo, y su aplicabilidad
universal para la solución de problemas que
se refieren a cambio continuos de
magnitudes relacionadas. Solamente la
comprensión completa del cálculo diferencial
hace posible una exposición creativa de
todas sus aplicaciones posibles.
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