PROCESOS RADIATIVOS

Clase 1. Fundamentos de la teoria de la radiacion

1. Definiciones basicas de la radiacion

20 de Marzo, 2006

Esta relacion define la intensidad especifica I. Note que

),,,,( trII

dE I cosdAddtd

1.1 Intensidad especifica o brillo La cantidad de energia dE que fluye a traves del area dA, en el intervalo de tiempo dt, ancho de banda d, y angulo solido d, la expresamos como:

En el vacio, I es una propiedad invariante de un campo electromagnetico.

dE I cosdAddtd

d E I cos d A d dtd

Energia que fluye a traves de dA´ en el angulo solido proyectado por dA:

Del principio de la conservacion de la energia:

d

d A cos R2

d dAcos

R2y

I I

I es independiente de la distancia entre la fuente y el observador.

Sean dA y dA´ dos elementos de area separados por una distancia R .Considere todos los rayos que pasan a traves de ambas superficies.

Energia que fluye a traves de dA en el angulo solido proyectado por dA´:

EddE

Ademas,

1.2 Densidad de flujo

La cantidad de energia dE que fluye a traves del area dA, en el intervalo de tiempo dt, y ancho de banda d, la expresamos como:

dE FdAdtdEsta relacion define la densidad de flujo F.

F I cosd1.2.1 Casos particulares :

A. Densidad de flujo de una fuente que emite radiacion isotropicamente:

F (r)

cte

r2

La densidad de flujo depende de la distancia entre la fuente y el observador.

Usando la definicion de la intensidad especifica, tenemos

B. Flujo en un punto en el cual la intensidad de la radiacion es isotropica: F = 0.

Presion = momentum normal a dA por unidad de tiempo y de area

p

1c

I cos2d

E

c

I

ccosdAddtd

1.4 Densidad de energia radiativa, u

u : energia por unidad de volumen y por unidad de frecuencia.

1.3 Presion de radiacion

Momentum del foton a lo largo del rayo L es:

Definimos la energia uI () por unidad de volumen dV, por unidad de frecuencia d, y unidad de angulo solido d, como:

dddVudE )(

Consideremos un cilindro de largo cdt en la direccion de un rayo.

ddcdtdAudE )(

2. En el intervalo de tiempo dt toda la radiacion contenida en el cilindro pasara a traves de dA , de manera que

dE IdAddtd

Por lo tanto,

u()

Ic

1. Energia contenida en el cilindro en un angulo solido d :

u

4c

J

J

14

I d

Integrando sobre el angulo solido, se encuentra que

donde

es la denominada intensidad media.

2/

2/

22

0

cos1

dsendJ

cp

uJc

p3

1

3

4

Si la radiacion es isotropica, se tiene que Jν= Iν . En este caso la presion de radiacion es:

Clase 2. Transferencia de la radiacion

dE jdVddtd

Considere un haz de rayos con un angulo solido d y de seccion rectadA , que recorre una distancia ds.

dE

esp jdsdAddtd

20 de Marzo, 2006

2.1 Emision

Coeficiente de emision espontanea :

Se define que la cantidad de energia emitida por unidad de tiempo, angulo solido, volumen y frecuencia es:

Sean I e I´ las intensidades a la entrada y salida del cilindro, respectivamente.

• Energia agregada al haz por emisiones espontaneas:

• Energia que sale del volumen:

E I dAddtd

De la conservacion de energia:

E E dE

esp

• Energia que entra al volumen:

E IdAddtd

dI jds

2.2 Absorcion Se define el coeficiente de absorcion k la perdida de intensidad de un haz al viajar la distancia ds esta dada por

dI k Ids

Esta relacion fenomenologica se puede entender de la siguiente manera.

Consideremos un medio absorbente

n : densidad de particulas

: area eficaz de absorcion (o seccion recta) de cada particula

dIdAdtdd

ndAdsdA

IdAdtdd

dI n Ids

k n

Veamos el efecto de este medio en la radiacion que pasa a traves de dA dentro del angulo solido d :

Numero de absorbentes en el volumen considerado: ndAds

Area total presentada por los absorbentes : n dA ds

Energia absorbida del haz:

2.3 Ecuacion de la transferencia de la radiacion

k y j dependen de los procesos fisicos en el medio bajo consideracion.

dIds

k I j

dIds

j

I j ( s )d s Is0

s

(s0)

El crecimiento en el brillo es igual al coeficiente de emision integrado a lo largo de la linea de la visual.

El cambio de la intensidad de un rayo al pasar por un medio absorbente y emisor esta dada por:

Soluciones:

Caso en el que hay solo emision (k =0)

Caso en el que hay solo absorcion (j =0)

dIds

k I

log

I (s)I (s0)

k ( s )d s

s0

s

I(s) I (s0)exp k ( s )d s

s0

s

Integrando,

2.4 Profundidad optica y funcion de la fuente

d kds

(s) k ( s )d s

s0

s

o bien

Se define la profundidad optica tal que :

Cuando > 1 : medio es opticamente grueso.Cuando < 1 : medio es opticamente delgado.

dId

I S (1)

donde

S

jk

es la denominada funcion de la fuente.

La ecuacion (1) tiene una solucion del tipo:

I ( ) f ( )exp( ) (2)

donde f() es una funcion por determinar.

f () exp 0

S ( )d cte.

En funcion de la ecuacion de la transferencia toma una forma mas sencilla:

Reemplazando (2) en (1) se encuentra que

Substituyendo en (1),

I ( ) I(0)exp( ) exp ( )0

S ( )d

Primer termino derecha : Intensidad inicial disminuida por absorciones.Segundo termino derecha : Funcion de la fuente disminuida por la absorcion integrada a lo largo de la visual.

I ( ) I(0)exp( ) S 1 exp( )

S exp( )[I (0) S]

• Cuando ∞, I S.

• Si I > S dI /d < 0, I tiende a decrecer a lo largo del rayo.

• Si I < S dI /d > 0, I tiende a crecer a lo largo del rayo.

Caso particular: S ()=constante= S

2.5 Temperatura de brillo

I

2k2

c2 Tb

2.6 Camino libre medio

Se define el camino libre medio como la distancia promedio que un foton puede viajar a traves de un medio absorbente sin ser absorbido.

I (s) I (s0)exp k ( s )d s

s0

s

Se suele caracterizar la intensidad specifica de la radiacion a una cierta frecuencia por la temperatura del cuerpo negro que emite la misma intensidad a esa frecuencia: I = B (Tb).

La temperatura de brillo tiene la ventaja de que esta asociada con laspropiedades fisicas del emisor. En el limite de bajas frecuencias:

De la ley exponencial para la absorcion:

se tiene que la probabidad de que un foton viaje al menos una profundidad optica

es e -

0

exp( )d

De manera que < > =1.

l

1k

1

n

La profundidad optica promedio que viaja el foton es:

La distancia fisica promedio recorrida por el foton en un medio es definida comoel camino libre medio l,

Clase 3. Radiacion termal

La radiacion termal corresponde a radiacion emitida por materia en equilibrio termodinamico.

27 de Marzo, 2006

3.1 Radiacion de cuerpo negro

Radiacion que esta en equilibrio termico con la materia.

Propiedades:La intensidad de un cuerpo negro es independiente de las propiedades del recipiente y solo depende de la temperatura.

Considere dos recipientes arbitrarios a temperatura T separados por un filtro que solo deja pasar energia a una determinada frecuencia .

Si I I’ , energia fluira espontaneamente de un recipiente a otro lo que viola la segunda ley de la termodinamica.

I = B (T) : Funcion de Planck

3.2 Leyes de Kirchhoff para la emision termal.

Considere material que emite a la temperatura T. En este caso la emision depende de T y de las propiedades internas del material.Sea S la funcion de la fuente.

SI

ddI

I B (T)e S(1 e )

B (T) B (T)e S (1 e )

S B (T)

j kB (T)

La nueva configuracion es tambien un cuerpo negro a la temperatura T.

Ley de Kirchhoff

Pongase el cuerpo en recipiente de cuerpo negro.

De la ecuacion de la transferencia:

Es importante distinguir entre la radiacion de cuerpo negro [I =B (T)] y la radiacion termal [S =B (T)] .

k

2

n 2c

n

Si << L, el foton puede ser considerado como una onda estacionaria. Numero de nodos de la onda en la direccion x :

nx

kxLx

2

3.3 Funcion de Planck

Haremos la derivacion en dos etapas:

A. Considere un foton con frecuencia que se propaga en la direccion n dentro de una caja (Lx,Ly,Lz).

A. Densidad de estados de fotones en una cavidad de cuerpo negro.

B. Energia promedio de cada estado del foton.

Vector de onda del foton:

La onda cambia de estado de una manera distinguible cuando el numero de nodos en una direccion dada cambia por uno o mas. n mide el numero de estados.

nx

kxLx

2Por lo tanto el numero de estados en el elemento 3-D de onda kx

ky kzd3k es:

N nxnynz 2

LxLyLzd3k

(2 )3

“2” dos estados por cada vector de onda debido a las diferentes polarizaciones. Por otro lado,

d3k k2dkd

(2 )32ddc3

N

2LxLyLz2dd

c3

El numero de cambio de nodos en el intervalo de numero de onda kx es:

El numero de estados por unidad de volumen, angulo solido y frecuencia, es entonces:

s

NdVdd

22

c3

• Foton con frecuencia tiene energia h . • Cual es la energia promedio del estado que tiene la frecuencia ?

E Ene

En

n0

e En

n0

ln e En

n0

B. Energia promedio de cada estado del foton.

De la mecanica estadistica sabemos que la probabilidad de un estadode energia En es proporcional a exp(- En), donde = 1/kT.

Cada estado puede contener n fotones de energia h, (n=0,1,2,…..).

La energia del estado con n fotones es : En = n h .

Energia promedio E:

E

he h

1 e h h

eh / kT 1

n

1

eh / kT 1

La energia por unidad de angulo solido, volumen y frecuencia, u (Ω), es entonces:

u() nE

22

c3

heh / kT 1

Recordando que u (Ω) = I /c, y que en este caso I = B, encontramos que

B

2h3

c2

1

eh / kT 1

e En

n0

e nh

n0

1

1 e h

estadistica de Bose-Einstein para un numero ilimitado de particulas.

Esta ecuacion dice que el numero promedio de fotones con frecuencia , n , es

Disgresion acerca de angulos solidos

• 2-Dimensiones

Angulo:

Distancia en un circulo de radio unitario.

• 3-Dimensiones

Angulo solido: ddsen

Area en una esfera de radio unitario

s