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1Proceso de Admisión 2019

2Proceso de Admisión 2019 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico NacionalCinvestav - Tamaulipas

Curso de InducciónMódulo:

Algebra y Geometría


Contenido del módulo• En este módulo se revisarán estrategias de solución a problemas

dentro de los siguientes temas:

o Leyes de los exponentes y radicales

o Factorización y operaciones con polinomios

o Factorial y sus propiedades

o Logaritmos y sus propiedades

o Ecuaciones lineales

o Sistemas de ecuaciones lineales

o Ecuaciones cuadráticas

o Teorema de Pitágoras

o Curvas en el plano


Leyes de los exponentes y

radicales


0𝑚𝑚 = 0 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚 > 0𝑎𝑎0 = 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 ≠ 0

𝑝𝑝𝑛𝑛 𝑎𝑎 ± 𝑞𝑞 𝑛𝑛 𝑎𝑎 = (𝑝𝑝 ± 𝑞𝑞)𝑛𝑛 𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚+𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑏𝑏𝑚𝑚 = (𝑎𝑎𝑏𝑏)𝑚𝑚

𝑛𝑛 𝑎𝑎. 𝑏𝑏 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎. 𝑛𝑛 𝑏𝑏

𝑎𝑎𝑚𝑚

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚−𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚

𝑏𝑏𝑚𝑚 =𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑚𝑚

𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏

=𝑛𝑛 𝑎𝑎

𝑏𝑏 =𝑎𝑎𝑏𝑏

1𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑚𝑚

𝑎𝑎−𝑛𝑛 =1

𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛 =𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑛𝑛 −𝑎𝑎 = 𝑠𝑠 𝑎𝑎


Exponentes y radicales 𝑎𝑎 ∈ ℝ, 𝑛𝑛 ∈ ℕLeyes de los exponentes:

1.- 𝑎𝑎𝑛𝑛. 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑚𝑚

2.- 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑚𝑚; 𝑎𝑎 ≠ 0 (Esto si n>m)

3.- 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚 = 1𝑎𝑎

(Esto si n<m)

4.- 𝑎𝑎0 = 1 (Excepto 𝑎𝑎 = 0)

5.- 𝑎𝑎−1 = 1𝑎𝑎𝑛𝑛 (Excepto 𝑎𝑎 ≠ 0)

6.- 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛.𝑚𝑚

7.- 𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑛𝑛= 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛 (Excepto 𝑏𝑏 ≠ 0)

1.- 32. 35 =

2.- 35

34 =

3.- 36

38 =

4.- 20 =

5.- 5−2 =

6.- 72 3 =

7.- 35

2=

37

3

132

1

12576

925


Productos que incluyenmultinomios1.- (𝑏𝑏2. 𝑏𝑏2) =2.- (𝑏𝑏5. 𝑏𝑏2) =3.- 3𝑎𝑎2 2𝑎𝑎2 =4.- 2𝑥𝑥3 4𝑥𝑥5 =5.- 3𝑦𝑦3 2𝑦𝑦2 =6.- 5𝑏𝑏1 4𝑏𝑏5 =7.- 2𝑎𝑎3𝑏𝑏2 3𝑎𝑎4𝑏𝑏3 =8.- 4𝑎𝑎3𝑏𝑏5 2𝑎𝑎2𝑏𝑏4 =9.- 3𝑥𝑥7𝑦𝑦4 5𝑥𝑥2𝑦𝑦3 =10.- 5𝑥𝑥2𝑦𝑦3 7𝑥𝑥𝑦𝑦4 =11.- 2𝑎𝑎2𝑏𝑏3 3𝑎𝑎2𝑐𝑐 𝑏𝑏2𝑐𝑐3 =

𝑏𝑏4

𝑏𝑏7

6𝑎𝑎4

8𝑥𝑥8

6𝑦𝑦5

20𝑏𝑏6

6𝑎𝑎7𝑏𝑏5

8𝑎𝑎5𝑏𝑏9

15𝑥𝑥9𝑦𝑦7


6𝑎𝑎4𝑏𝑏5𝑐𝑐4


12.- 5𝑎𝑎2 3𝑏𝑏𝑐𝑐3 2𝑎𝑎𝑐𝑐2 =13.- 2𝑥𝑥2𝑦𝑦3 3𝑥𝑥𝑧𝑧2 5𝑦𝑦 =14.- 3𝑥𝑥2𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑧𝑧 4𝑦𝑦2𝑧𝑧 =15.- 𝑥𝑥2 3 =16.- 𝑦𝑦3 2 =17.- 𝑎𝑎4 5 =18.- 𝑎𝑎2 4 =19.- 2𝑎𝑎2𝑏𝑏3 3 =20.- 3𝑎𝑎3𝑏𝑏4 2 =21.- 5𝑥𝑥3𝑦𝑦 4 =22.- 4𝑥𝑥4𝑦𝑦3 4 =

30𝑎𝑎3𝑏𝑏𝑐𝑐5

30𝑥𝑥3𝑦𝑦4𝑧𝑧2

24𝑥𝑥3𝑦𝑦3𝑧𝑧2

𝑥𝑥6

𝑦𝑦6

𝑎𝑎20

𝑎𝑎8

8𝑎𝑎6𝑏𝑏9

9𝑎𝑎6𝑏𝑏8


256𝑥𝑥16𝑦𝑦12


Ejercicios

1.- 𝑡𝑡9

𝑡𝑡6 =

2.- 8𝑥𝑥8

2𝑥𝑥2 =

3.- 9𝑥𝑥9

3𝑥𝑥3 =

4.- 10𝑥𝑥10

5𝑥𝑥5 =

5.- 6𝑥𝑥6

3𝑥𝑥3 =

6.- 𝑎𝑎2𝑐𝑐3

𝑎𝑎𝑐𝑐2 =

7.- 𝑎𝑎5𝑏𝑏9

𝑎𝑎3𝑏𝑏5 =

8.- 𝑥𝑥6𝑦𝑦7

𝑥𝑥𝑦𝑦6 =

9.- 𝑡𝑡5𝑤𝑤3

𝑡𝑡4𝑤𝑤2 =

10.- 15𝑥𝑥2𝑦𝑦5𝑚𝑚7

5𝑥𝑥𝑦𝑦3𝑚𝑚4 =

11.- 18𝑎𝑎9𝑏𝑏8𝑐𝑐3

6𝑎𝑎6𝑏𝑏5𝑐𝑐=

12.- 24𝑎𝑎5𝑏𝑏7𝑐𝑐9

6𝑎𝑎𝑏𝑏6𝑐𝑐5 =

𝑡𝑡3

4𝑥𝑥6

3𝑥𝑥6

2𝑥𝑥5

2𝑥𝑥3

𝑎𝑎𝑐𝑐

𝑎𝑎2𝑏𝑏4

𝑥𝑥5𝑦𝑦

𝑡𝑡𝑡𝑡

3𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑧𝑧3

3𝑎𝑎3𝑏𝑏3𝑐𝑐2

4𝑎𝑎4𝑏𝑏𝑐𝑐4


13.- 24𝑎𝑎3𝑏𝑏7𝑐𝑐4

18𝑎𝑎2𝑏𝑏3𝑐𝑐2 =

14.- 𝑥𝑥3

𝑦𝑦4

2=

15.- 3𝑥𝑥3

𝑦𝑦2

3=

16.- 2𝑥𝑥2

3𝑦𝑦3

4=

17.- 5𝑦𝑦4𝑦𝑦2

3=

43

𝑎𝑎𝑏𝑏4𝑐𝑐2

𝑥𝑥6

𝑦𝑦8

27𝑥𝑥9

𝑦𝑦6

16𝑥𝑥8

81𝑦𝑦12

12564𝑦𝑦3


Expresa el resultado en forma simplificada, en caso de resultarpotencias, deberán tener exponente positivo

1.- 𝑎𝑎−3𝑏𝑏4

𝑎𝑎4𝑏𝑏−3 =

2.- 𝑎𝑎−1𝑏𝑏2 −1 =

3.- 5𝑥𝑥−2𝑦𝑦−4

2−1𝑚𝑚−3 =

4.- 𝑚𝑚5−1𝑚𝑚−1 + 3

2𝑚𝑚 −2 =

5.- 3𝑥𝑥𝑦𝑦−1 + 𝑦𝑦

3𝑥𝑥 −1 =

1.- 𝑏𝑏4𝑏𝑏3

𝑎𝑎3𝑎𝑎4 = 𝑏𝑏7

𝑎𝑎7

2.- 1𝑎𝑎−1𝑏𝑏2 1 = 1

𝑎𝑎−1𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎𝑏𝑏2

3.- 2�5𝑚𝑚3

𝑥𝑥2𝑦𝑦4 = 10𝑚𝑚3

𝑥𝑥2𝑦𝑦4

4.- 5𝑧𝑧2 + 3 2𝑧𝑧 2 = 5𝑧𝑧2 + 3 � 4𝑧𝑧2 = 5𝑧𝑧2 +12𝑧𝑧2 = 17𝑧𝑧2

5.- 3𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 � 3𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥𝑦𝑦


La forma reducida osimplificada de una radical secaracteriza por:1.- No hay factores primos enel radical con exponentemayor o igual qué el índice dela raíz.2.- No hay exponentesnegativos.3.- El máximo común divisor omáximo factor común de losexponentes de los factoresprimos y del índice de lasraíces.4.- El denominador se haracionalizado; es decir, nocontiene radicales.

Leyes de los radicales

1.- 𝑛𝑛 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1𝑛𝑛

2.- 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑏𝑏1𝑛𝑛 = a

1n b

1n =

𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑏𝑏

3.- 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑏𝑏

= 𝑎𝑎𝑏𝑏

1𝑛𝑛 = 𝑎𝑎

1𝑛𝑛

𝑏𝑏1𝑛𝑛

=𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏

4.- 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑚𝑚1𝑛𝑛 = 𝑎𝑎

𝑚𝑚𝑛𝑛


Descompone en factores primarios

3.- 3 16 =

4.- 32

=

3.- 3 24 = 3 23 � 2 = 3 23 3 2 = 23 2

4.- 3 22 2

= 3 22


1.- 3 3𝑚𝑚3𝑛𝑛2 4 3𝑚𝑚3𝑛𝑛2 =

2.- 3+ 33−1

=

3.- 𝑥𝑥+ℎ− 𝑥𝑥ℎ

=

1.- 3𝑚𝑚3𝑛𝑛213 3𝑚𝑚3𝑛𝑛2

14 =

313 𝑚𝑚3

13 𝑛𝑛2

13. 3

14 𝑚𝑚3

14 𝑛𝑛2

14 = 3

133

14𝑚𝑚

33𝑚𝑚

34𝑛𝑛

23𝑛𝑛

24 =

37

12𝑚𝑚2112𝑛𝑛

1412 = 3𝑚𝑚3𝑛𝑛2

712

2.- (3+ 3 )( 3+1)3−1 ( 3+1)

= 4 3+63−1

= 2 3 + 3

3.- ( 𝑥𝑥+ℎ− 𝑥𝑥)( 𝑥𝑥+ℎ+ 𝑥𝑥)ℎ( 𝑥𝑥+ℎ+ 𝑥𝑥)

= (𝑥𝑥+ℎ2

− 𝑥𝑥2

ℎ( 𝑥𝑥+ℎ+ 𝑥𝑥)= 1

𝑥𝑥+ℎ+ 𝑥𝑥


1.- 𝑎𝑎−2 𝑎𝑎𝑏𝑏+𝑏𝑏2 𝑎𝑎−2 𝑏𝑏

=

2.- 4 5𝑡𝑡2 + 5 = 20

3.- 3𝑥𝑥−54

= 2

1.- (𝑎𝑎−2 𝑎𝑎𝑏𝑏+𝑏𝑏)2( 𝑎𝑎− 𝑏𝑏)

= 𝑎𝑎− 𝑏𝑏2

2( 𝑎𝑎− 𝑏𝑏)= 𝑎𝑎− 𝑏𝑏

2

2.- 5𝑡𝑡2 + 5 = 5; 5𝑡𝑡2 + 5=25; 5𝑡𝑡2 = 25 − 5; 5𝑡𝑡2 = 20𝑡𝑡2 = 4; 𝑡𝑡1 = 2, 𝑡𝑡2 = −2

3.- 3𝑥𝑥−54

= 2 1; 3𝑥𝑥−54

= 4; 4 3𝑥𝑥−54

= 4 � 4; 3𝑥𝑥 − 5 = 16;

3𝑥𝑥 = 21; 𝑥𝑥 =213 ; 𝑥𝑥 = 7


Ejercicios recomendados• Ejercicios 1.2 impares, página 29 de libro Algebra y

trigonometría con geometría analítica, Swokowski-12th


Factorización y Operaciones con

Polinomios Expresiones algebraicas


Algebra𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏 2 = 𝑎𝑎2 ± 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2

𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏 3 = 𝑎𝑎3 ± 3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 ± 𝑏𝑏3

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 +𝑛𝑛1 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑏𝑏 +

𝑛𝑛 𝑛𝑛 − 12 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏2 +

𝑛𝑛 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 − 21 ⋅ 2 ⋅ 3 𝑎𝑎𝑛𝑛−3𝑏𝑏3 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑛𝑛

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑏𝑏2 + 2𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑐𝑐2

𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑏𝑏2 − 2𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑐𝑐2

𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏

𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏3 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2

𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏3 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2

𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−3𝑏𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛−2 + 𝑏𝑏𝑛𝑛−1


Algebra

Ecuación cuadrática o de segundo gradoForma normal:

𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑞𝑞 = 0

Raíces:

𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 = −𝑝𝑝2 ±

𝑝𝑝2

4 − 𝒒𝒒

𝑝𝑝 = − 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ; 𝑞𝑞 = (𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2)


Productos notablesA) Binomio elevado al cuadrado

𝑚𝑚 + 3 2 =5 − 𝑥𝑥 2 =6𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 2 =9 + 4𝑚𝑚 2 =7𝑥𝑥 − 11 2 =2𝑥𝑥 − 35 2 =𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑦𝑦𝑛𝑛 2 =𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑥𝑥+1 2 =

B) Binomios conjugados𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 =𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 𝑎𝑎 + 𝑥𝑥 =

𝑚𝑚2 + 6𝑚𝑚 + 925 − 10𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2

36𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2

81 + 72𝑚𝑚 + 16𝑚𝑚2

49𝑥𝑥2 − 154𝑥𝑥 + 1214𝑥𝑥2 − 140𝑥𝑥 + 1225𝑥𝑥2𝑛𝑛 − 2𝑥𝑥𝑛𝑛𝑦𝑦𝑛𝑛 + 𝑦𝑦2𝑛𝑛

𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 2𝑎𝑎𝑥𝑥𝑏𝑏𝑥𝑥+1 + 𝑏𝑏2𝑥𝑥+2

𝑚𝑚2 − 𝑛𝑛2

𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2


Productos notablesC) Producto de dos binomios con un término común

𝑎𝑎 + 1 𝑎𝑎 + 2 =𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥 − 4 =𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 − 5 =𝑧𝑧3 + 4 𝑧𝑧3 − 7 =𝑚𝑚4 + 12 𝑚𝑚4 − 3 =𝑎𝑎𝑥𝑥+1 − 2 𝑎𝑎𝑥𝑥+1 − 3 =

𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 + 2𝑥𝑥2 − 9𝑥𝑥 + 20𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 50𝑧𝑧6 − 3𝑧𝑧3 − 28𝑚𝑚8 + 9𝑚𝑚4 − 36𝑎𝑎2𝑥𝑥+2 − 5𝑎𝑎𝑥𝑥+1 + 6


Productos notables1.- 𝑚𝑚 − 4𝑛𝑛 𝑚𝑚 − 4𝑛𝑛 =4.- 𝑎𝑎2 − 8 𝑎𝑎2 + 1 =8.- 2𝑎𝑎 − 4𝑏𝑏 − 3𝑐𝑐 4𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏 + 5𝑐𝑐 =

1.- 𝑚𝑚2 − 8𝑚𝑚𝑛𝑛 + 16𝑛𝑛2

4.- 𝑎𝑎4 − 7𝑎𝑎2 − 88.- 8𝑎𝑎2 − 8𝑎𝑎𝑏𝑏 − 2𝑎𝑎𝑐𝑐 − 16𝑏𝑏2 −32𝑏𝑏𝑐𝑐 − 15𝑐𝑐2


Operaciones con polinomios1.- 10𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 − 11 + 8 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 =

2.- 5 + 4𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦3 + 𝑦𝑦3 + 8𝑦𝑦2 − 14𝑦𝑦 − 3 =

1.- 12𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥2 − 3

2.- 5𝑦𝑦2 − 10𝑦𝑦 + 2


1.- (𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥3 + 10𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 +9)÷(𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3)

2.- (6𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 18𝑥𝑥 − 33) ÷ (2𝑥𝑥 − 5) =

3.- (2𝑛𝑛3 − 5𝑛𝑛2 + 21𝑛𝑛 − 14) ÷ (2𝑛𝑛 − 3)

4.- 𝑦𝑦4 + 4𝑦𝑦3 + 2𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 + 1÷(𝑦𝑦2 + 2𝑦𝑦 − 1)

5.- Un factor de 𝑥𝑥3 + 1 es 𝑥𝑥 + 1. Hallar el otro factor.

1.- 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3

2.- 3𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 + 11 + 222𝑥𝑥−5

3.- 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 + 9 + 132𝑛𝑛−3

4.- 𝑦𝑦2 + 2𝑥𝑥 − 1

5.- 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 1

División de polinomios


División de polinomios6.- Un factor de 𝑦𝑦3 − 1 es 𝑦𝑦 − 1. Hallar el otro factor.

6.- 𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦 + 1


Factorización

𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)2(2𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 1)

𝑥𝑥2 𝑥𝑥 − 42𝑎𝑎𝑥𝑥(𝑎𝑎 + 3𝑥𝑥)

𝑎𝑎𝑥𝑥(2𝑎𝑎 + 2𝑥𝑥 − 3)

Factorización A) Cuando tienen un factor

común 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 =4𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 2 =𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥2 =2𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 6𝑎𝑎𝑥𝑥2 =

2𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 2𝑎𝑎𝑥𝑥2 − 3𝑎𝑎𝑥𝑥 =


FactorizaciónB) Factorizar un polinomio que

contenga un término común

𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 1 + 𝑏𝑏 𝑥𝑥 + 1 =

𝑥𝑥 𝑎𝑎 + 1 − 1 𝑎𝑎 + 1 =

2 𝑥𝑥 − 1 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 1 =

3𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2 − 2𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 2 =

1 − 𝑥𝑥 + 2𝑎𝑎 1 − 𝑥𝑥 =

−𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 + 𝑥𝑥 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 =

𝑎𝑎3 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 1 − 𝑏𝑏3 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 1 =

(𝑥𝑥 + 1)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)

(𝑎𝑎 + 1)(𝑥𝑥 − 1)

(𝑥𝑥 − 1)(2 + 𝑦𝑦)

(𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)

(1 − 𝑥𝑥)(1 + 2𝑎𝑎)

(𝑥𝑥 − 1)(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)

(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 1)(𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏3)


FactorizaciónC) Factorización a través de la

agrupación de términos𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 =3𝑚𝑚 − 2𝑛𝑛 − 2𝑛𝑛𝑥𝑥4 + 3𝑚𝑚𝑥𝑥4 =𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦2 =D) Factorización de un trinomio

cuadrado perfecto 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1 =9 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 =9𝑏𝑏2 − 30𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 25𝑎𝑎4 =𝑎𝑎2

4− 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2 =

(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑥𝑥)3𝑚𝑚 − 2𝑛𝑛 1 + 𝑥𝑥4

(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦2)

𝑥𝑥 − 1 2

3 − 𝑥𝑥 2

3𝑏𝑏 − 5𝑎𝑎2 2

𝑎𝑎2

− 𝑏𝑏2


Factorización

(𝑎𝑎 + 2)(𝑎𝑎 − 2)(2𝑎𝑎 − 3)(2𝑎𝑎 − 3)(5 + 6𝑥𝑥2)(5 − 6𝑥𝑥2)(5𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 11)(5𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 11)

E) Factorizar una diferencia de cuadrados

𝑎𝑎2 − 4 =4𝑎𝑎2 − 9 =25 − 36𝑥𝑥4 =25𝑥𝑥2𝑦𝑦4 − 121 =


FactorizaciónF) Factorizar un trinomio de la

forma 𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 + 10 =

𝑦𝑦2 − 9𝑦𝑦 + 20 =

𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 + 3 =

𝑦𝑦2 − 9𝑦𝑦 + 8 =

𝑚𝑚2 + 5𝑚𝑚 − 14 =

𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 − 16 =

𝑥𝑥2 − 17𝑥𝑥 − 60 =

𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚 − 168 =

𝑦𝑦2 + 50𝑦𝑦 + 336 =

(𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 + 2)

(𝑦𝑦 − 4)(𝑦𝑦 − 5)

(𝑦𝑦 − 3)(𝑦𝑦 − 1)

(𝑦𝑦 − 8)(𝑦𝑦 − 1)

(𝑚𝑚 + 7)(𝑚𝑚 − 2)

(𝑎𝑎 + 8)(𝑎𝑎 − 2)

(𝑥𝑥 − 20)(𝑥𝑥 + 3)

(𝑚𝑚 − 14)(𝑚𝑚 + 12)

(𝑚𝑚 + 42)(𝑚𝑚 + 8)


Factorización

= 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 2== 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 2 − 1 𝑥𝑥 + 2 = 2𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 + 2

= 𝑥𝑥 − 2 3𝑥𝑥 + 1

= 3𝑥𝑥 + 2 2𝑥𝑥 + 1

G) Factorizar un trinomio de la forma 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

2𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 2 =

3𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 2 =

6𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 + 2 =


FactorizaciónH) Factorizar un trinomio

completando el trinomio cuadrado perfecto

𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3 =

𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 4 =

= 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 2 2 − 2 2 + 3= 𝑥𝑥 − 2 2 − 4 + 3 = 𝑥𝑥 − 2 2 − 1= 𝑥𝑥 − 2 + 1 𝑥𝑥 − 2 − 1 = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 3)

𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 = 4

𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 32

2= 4 + 3

2

2; 𝑥𝑥 + 3

2

2= 4 + 9

4;

𝑥𝑥 + 32

2= 16+9

4; 𝑥𝑥 + 3

2

2− 25

4= 0

𝑥𝑥 +82

𝑥𝑥 −22

= (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 1)


Factorizar cada término1.- 𝑛𝑛2 + 17𝑛𝑛 + 42 =

2.- 𝑟𝑟2 − 23𝑟𝑟𝑠𝑠 + 90𝑠𝑠2 =

3.- 𝑚𝑚2 + 5𝑚𝑚 − 36 =

4.- 𝑘𝑘2 − 7𝑘𝑘 − 18 =

5.- 36𝑛𝑛2 + 95𝑛𝑛 + 56 =

6.- 30𝑡𝑡2 + 10𝑡𝑡 − 100 =

1.- (𝑛𝑛 + 14)(𝑛𝑛 + 3)

2.- (𝑟𝑟 − 18𝑠𝑠)(𝑟𝑟 − 5𝑠𝑠)

3.- (𝑚𝑚 + 9)(𝑚𝑚 − 4)

4.- (𝑘𝑘 − 9)(𝑘𝑘 + 2)

5.- 9𝑛𝑛 + 8 4𝑛𝑛 + 7

6.- 10(3𝑡𝑡 − 5)(𝑡𝑡 + 2)

Ejercicios de factorización


8.- Factorizar 8𝑚𝑚2 − 50 =

9.- Factorizar −144 + 𝑥𝑥2 =

10.- 3𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 =

11.- 5𝑘𝑘 − 2𝑚𝑚 2 =

12.- Factorizar 25𝑥𝑥2 + 90𝑥𝑥𝑦𝑦 + 81𝑦𝑦2

8.- 2(2𝑚𝑚 + 5)(2𝑚𝑚 − 5)

9.- (𝑥𝑥 + 12)(𝑥𝑥 − 12)

10.- 9𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2

11.- 25𝑘𝑘2 − 20𝑘𝑘𝑚𝑚 + 14𝑚𝑚2

12.- 5𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 2

Ejercicios varios


Ejercicios de factorización1.- 𝑛𝑛2 − 19𝒏𝒏 + 90 =

2.- 5𝑦𝑦2 + 16𝑦𝑦 + 3 =

3.- 6𝑚𝑚2 + 16𝑚𝑚 + 10 =

4.- 𝑚𝑚3𝑛𝑛3 + 8 =

5.- 20𝑎𝑎𝑐𝑐 − 15𝑏𝑏𝑐𝑐 + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏𝑎𝑎 =

1.- (𝑛𝑛 − 9)(𝑛𝑛 − 10)

2.- 5𝑦𝑦 + 𝐴𝐴 𝑦𝑦 + 𝐵𝐵 = 5𝑦𝑦2 + 5𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐴𝐴𝑦𝑦 + 𝐴𝐴𝐵𝐵; 5𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐴𝐴𝑦𝑦 = 16𝑦𝑦; 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 35B+A=16 y AB=3 entonces B=3 y A=15𝑦𝑦2 + 16𝑦𝑦 + 3= 5𝑦𝑦 + 1 𝑦𝑦 + 3

3.- 6𝑚𝑚 + 𝐴𝐴 𝑚𝑚 + 𝐵𝐵 = 6𝑚𝑚2 + 6𝐵𝐵𝑚𝑚 + 𝐴𝐴𝑚𝑚 + 𝐴𝐴𝐵𝐵; 6𝐵𝐵𝑚𝑚 + 𝐴𝐴𝑚𝑚 = 16𝑚𝑚; 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 106B+A=16 y AB=10 entonces B=1 y A=106𝑚𝑚2 + 16𝑚𝑚 + 10= 6𝑚𝑚 + 10 𝑚𝑚 + 1

4.- (𝑚𝑚𝑛𝑛 + 2)(𝑚𝑚2𝑛𝑛2 − 2𝑚𝑚𝑛𝑛 + 4)

5.- 5𝑐𝑐 4𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 4𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏= (5c + 𝑎𝑎) 4𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏


Ejercicios de factorización6.- 4𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 5 =

7.- 3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 4 =

8.- 144 − 𝑥𝑥4 =

9.- 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 2 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 =

4𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥2 + 5= 4𝑥𝑥 𝑥𝑥2 − 1 − 5 𝑥𝑥2 + 1= 4𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 − 1

𝑥𝑥 + 2 3𝑥𝑥 − 2

=− 𝑥𝑥4 − 144 = −(𝑥𝑥2 + 12)(𝑥𝑥2 −12)

= 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 2 − 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 =𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 =

(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(−2𝑦𝑦)


1.- 3𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 =

2.- 2𝑝𝑝2 + 2𝑎𝑎 + 4𝑎𝑎𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 =

3.- 𝑚𝑚2 + 14𝑎𝑎 + 2𝑚𝑚 + 7𝑎𝑎𝑚𝑚 =

4.- 𝑥𝑥3 − 21 − 3𝑥𝑥2 + 7𝑦𝑦 =

5.- 𝑟𝑟3 − 𝑠𝑠3 − 𝑠𝑠𝑟𝑟2 + 𝑠𝑠𝑟𝑟2

6.- −𝑎𝑎2𝑛𝑛 + 1 =

7.- −𝑛𝑛2𝑥𝑥 + 𝑡𝑡2 =

1.- 3𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 2𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦

2.- 2𝑝𝑝 + 1 𝑝𝑝 + 2𝑎𝑎

3.- 𝑚𝑚 + 7𝑎𝑎 𝑚𝑚 + 2

4.- (𝑥𝑥2 + 7)(𝑦𝑦 − 3)

5.- (𝑟𝑟2 − 𝑠𝑠2)(𝑟𝑟 − 𝑠𝑠)

6.- 1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛 1 − 𝑎𝑎𝑛𝑛

7.- (𝑡𝑡 + 𝑛𝑛𝑥𝑥)(𝑡𝑡 − 𝑛𝑛𝑥𝑥)

Ejercicios de factorización


Uso de factorizaciónEncontrar y comprobar el conjuntosolución de cada ecuación1.- 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 + 5 = 0

2.- 𝑦𝑦 2𝑦𝑦 − 1 = 0

3.- 𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧 = 90

5.- Un lado de un rectángulo mide 8 mtsmás largo que de ancho, su área es de105 𝑚𝑚2, hallar sus dimensiones.

1.- {2, −5}

2.- {0, 12}

3.- {10, −9}

5.- 7 y 15 mts.


Ejercicios recomendados• Ejercicios 1.3 impares, página 43 de libro Algebra y

trigonometría con geometría analítica, Swokowski-12th


FactorialPropiedades


Definición de factorial

Definición del factorial de un número entero positivo. Dado unnúmero entero positivo 𝑛𝑛 , su 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑓𝑓𝑟𝑟𝑠𝑠𝑎𝑎𝑓𝑓 se define como elproducto de los números enteros de 1 a 𝑛𝑛. Por ejemplo,

4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24En general, podemos escribir la definición de 𝑛𝑛! de la siguientemanera: 𝑛𝑛! ≔ 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 𝑛𝑛Con la notación breve para productos,

𝑛𝑛! ≔ �𝑘𝑘=1

𝑛𝑛

𝑘𝑘


Definición de factorial

Si 𝑛𝑛 es cualquier entero no negativo, entonces el símbolo 𝑛𝑛!(𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑓𝑓𝑟𝑟𝑠𝑠𝑎𝑎𝑓𝑓) se defino como sigue:

• (1) 𝑛𝑛! = 𝑛𝑛 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 − 2 �� 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑛𝑛 > 0• (2) 0! = 1

Definición de 𝑛𝑛!


Por lo tanto, si 𝑛𝑛 > 0, entonces𝑛𝑛! es el producto de losprimeros 𝑛𝑛 enteros positivos.La definición de 0! = 1 se usapara que ciertas fórmulasque contengan factorialessean verdaderas para todoslos enteros no negativos.

• Ilustración 𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑓𝑓𝑟𝑟𝑠𝑠𝑎𝑎𝑓𝑓

1! = 12! = 2 � 1 = 2

3! = 3 � 2 � 1 = 64! = 4 � 3 � 2 � 1 = 24

5! = 5 � 4 � 3 � 2 � 1 = 1206! = 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 = 720

7! = 7 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 = 5,0408! = 8 � 7 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 = 40,320

Nótese el rápido crecimiento de𝑛𝑛! a medida que 𝑛𝑛 aumenta.


A veces deseamos simplificar cocientes donde numerador ydenominador contienen factoriales, como se muestra en elejemplo siguiente.Simplificar cocientes de factoriales:

1) 7!5!

= 7�6�5!5!

= 7 � 6 = 42

2) 10!6!

= 10�9�8�7�6!6!

= 10 � 9 � 8 � 7 = 5,040

Al igual que en ejemplo precedente, si 𝑛𝑛 y 𝑘𝑘 son enterospositivos y 𝑘𝑘 < 𝑛𝑛, entonces:

𝑛𝑛!𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 !

=𝑛𝑛 � 𝑛𝑛 − 1 � 𝑛𝑛 − 2 �� 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 + 1 � [ 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 !]

𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 != 𝑛𝑛 � 𝑛𝑛 − 1 � 𝑛𝑛 − 2 �� 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 + 1 ,


A veces deseamos simplificar cocientes donde numerador ydenominador contienen factoriales, como se muestra en elejemplo siguiente.Simplificar cocientes de factoriales:

1) 7!5!

= 7�6�5!5!

= 7 � 6 = 42

2) 10!6!

= 10�9�8�7�6!6!

= 10 � 9 � 8 � 7 = 5,040

Al igual que en ejemplo precedente, si 𝑛𝑛 y 𝑘𝑘 son enteros positivosy 𝑘𝑘 < 𝑛𝑛, entonces:

𝑛𝑛!𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 !

=𝑛𝑛 � 𝑛𝑛 − 1 � 𝑛𝑛 − 2 �� 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 + 1 � [ 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 !]

𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 != 𝑛𝑛 � 𝑛𝑛 − 1 � 𝑛𝑛 − 2 �� 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 + 1 ,


Que es el numerador del coeficiente del (𝑘𝑘 + 1) ésimo término de𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑛𝑛. Dividiendo entre el denominador 𝑘𝑘! Tendremos la

siguiente forma alternativa para el (𝑘𝑘 + 1) coeficiente:

𝑛𝑛 � (𝑛𝑛 − 1) � (𝑛𝑛 − 2) �� (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 + 1)𝑘𝑘!

=𝑛𝑛!

𝑘𝑘! 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 !

Estos números se denominan coeficientes binomiales y confrecuencia se denotan con el símbolo 𝑛𝑛

𝑘𝑘 o el símbolo 𝐶𝐶(𝑛𝑛, 𝑘𝑘).Por lo tanto, tenemos lo siguiente:


Coeficiente del (𝑘𝑘 + 1) ésimo término de la expansión de 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑛𝑛 (forma alternativa)

𝑛𝑛𝑘𝑘 = 𝐶𝐶 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 =

𝑛𝑛!𝑘𝑘! 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 !

, 𝑘𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛𝑛

Los símbolos 𝑛𝑛𝑘𝑘 y 𝐶𝐶(𝑛𝑛, 𝑘𝑘) se leen como “de 𝑛𝑛 seleccionar 𝑘𝑘”


50 =51 =52 =53 =54 =55 =

5!0! 5 − 0 !

=5!

0! 5!=

5!1 � 5!

= 1

5!1! 5 − 1 !

=5!

1! 4!=

5!1 � 4!

=5 � 4!

4!= 5

5!2! 5 − 2 ! =

5!2! 3! =

5 � 4 � 3!2 � 3! =

202 = 10

5!3! 5 − 3 ! =

5!3! 2! =

5 � 4 � 3!3! � 2 =

202 = 10

5!4! 5 − 4 ! =

5!4! 1! =

5!4! � 1 = 5

5!5! 5 − 5 ! =

5!5! 0! =

5!5! � 1 = 1

¿Cuáles son las n maneras de tomar k?

Ejemplo ①, evaluar 𝑛𝑛𝑘𝑘 , encuentre:


Reescriba 3𝑛𝑛 + 3 !/ 3𝑛𝑛 ! Como una expresión que nocontenga factoriales.Solución: Por la definición de 𝑛𝑛!, podemos escribir 3𝑛𝑛 + 3 !como 3𝑛𝑛 + 3 3𝑛𝑛 + 2 3𝑛𝑛 + 1 3𝑛𝑛 3𝑛𝑛 − 1 3𝑛𝑛 − 2 �� 3 2 1

3𝑛𝑛 !.

Entonces,3𝑛𝑛+3 !

3𝑛𝑛 != 3𝑛𝑛+3 3𝑛𝑛+2 3𝑛𝑛+1 3𝑛𝑛 !

3𝑛𝑛 !definición de 𝑛𝑛!

= 3𝑛𝑛 + 3 3𝑛𝑛 + 2 3𝑛𝑛 + 1 . Cancelar 3𝑛𝑛 ! ≠ 0

Ejemplo ②, simplificar un coeficiente de factoriales:


Ejercicios recomendados• Ejercicios 1-12 y 13-16 (impares) de los ejercicios 10.5

página 779 de libro Algebra y trigonometría con geometría analítica, Swokowski-12th


LogaritmosPropiedades


Función logarítmica

La función 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑥𝑥, con 𝑏𝑏 > 0, se llama función exponencialde base 𝑏𝑏. La variable independiente, o argumento, aparececomo exponente.


La función 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = logb 𝑥𝑥 , con 𝑏𝑏 > 1 , se llama funciónlogarítmica de base 𝑏𝑏. La expresión 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑥𝑥, nótese que en 𝑏𝑏𝑦𝑦,el exponente 𝑦𝑦 es logb 𝑥𝑥.1.- El dominio comprende todos los reales positivos.2.- 𝑔𝑔 1 = 0 para cualquier 𝑏𝑏 > 1.4.- Conforme 𝑥𝑥 aumenta, 𝑔𝑔(𝑥𝑥) aumenta.

𝑎𝑎loga 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 𝑒𝑒ln 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥loga 𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ln 𝑒𝑒𝑥𝑥 = 𝑥𝑥

loga 1 = 0 ln 1 = 0loga 𝑎𝑎 = 1 ln 𝑒𝑒 = 1


Logaritmos

Sistema Base del sistema

Denominación

LogaLog10 = log∗

Loge = lnLog2 = lb

𝑎𝑎10𝑒𝑒2

Logaritmo de base 𝑎𝑎Logaritmo comúnLogaritmo naturalLogaritmo binario

En loga 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 se llaman: 𝑎𝑎, base 𝑥𝑥, logaritmando𝑏𝑏, logaritmo

Reglas para el cálculo con logaritmos (de base cualquiera)log 𝑥𝑥 � 𝑦𝑦 = log 𝑥𝑥 + log 𝑦𝑦log 𝑥𝑥

𝑦𝑦= log 𝑥𝑥 − log 𝑦𝑦

log 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 log 𝑥𝑥log 𝑛𝑛 𝑥𝑥 = 1

𝑛𝑛log 𝑥𝑥

Transformación de logaritmoslog10 𝑥𝑥 = log10 𝑒𝑒 � ln 𝑥𝑥 = 0.434294 � ln 𝑥𝑥ln 𝑥𝑥 = log10 𝑥𝑥

log10 𝑒𝑒= 2.302585 � log10 𝑥𝑥

Base de los logaritmos naturales: 𝑒𝑒 = 2.71828183 …


Propiedades de logaritmos

log10 100 = 2 Porque 102 = 100log10 2 = 0.301 Porque 10.301 = 2log10 3 = 0.4771 Porque 10.4771 = 3log10 5 = 0.6989 Porque 10.6989 = 5

ln 20 = 2.995732𝑒𝑒2.9957 = 20

log 10(𝑥𝑥𝑦𝑦) = log 10𝑥𝑥 + log 10𝑦𝑦log[ 3)(2 ] = log10 3 + log10 20.77815 = .4771 + .301

log10𝑥𝑥𝑦𝑦

= log10 𝑥𝑥 − log10 𝑦𝑦

log1062

= log10 6 − log10 2

0.4771 = 0.7781 − 301


2𝑥𝑥−1 = 5

Pero 𝑏𝑏 = log 5 ; 𝑎𝑎 = log 2

𝑥𝑥 = log 5+log 2log 2

𝑥𝑥 = 3.321923.3219−1 = 55 = 5

log 2𝑥𝑥−1 = log 5𝑥𝑥 − 1 log 2 = log 5

𝑆𝑆𝑒𝑒𝑎𝑎 log 2 = 𝑎𝑎; log 5 = 𝑏𝑏𝑥𝑥 − 1 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏

𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑎𝑎

+ 1; 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏+𝑎𝑎𝑎𝑎


3(𝑥𝑥−4) = 7

log 3𝑥𝑥−4 = log 7𝑥𝑥 − 4 log 3 = log 7

𝑥𝑥 = log 7log 3

+ 4

Notas: log 𝑥𝑥log 𝑦𝑦

≠ log 𝑥𝑥𝑦𝑦

(log 𝑥𝑥)(log 𝑦𝑦) ≠ log(𝑥𝑥𝑦𝑦)log 𝑥𝑥 + log 𝑦𝑦 ≠ log 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦log 𝑥𝑥 + log 𝑦𝑦 ≠ log(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)𝑥𝑥 = 5.77123(5.7712−4) = 73(1.77) = 77 = 7


Prolemas con logaritmos

51−𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥−3 ln 51−𝑥𝑥 = ln 6𝑥𝑥−3

1 − 𝑥𝑥 ln 5 = 𝑥𝑥 − 3 ln 6𝑆𝑆𝑒𝑒𝑎𝑎 ln 5 = 𝑎𝑎; ln 6 = 𝑏𝑏1 − 𝑥𝑥 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 − 3 𝑏𝑏

𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑥𝑥 − 3𝑏𝑏𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 = 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 𝑥𝑥

𝑥𝑥 = 𝑎𝑎+3𝑏𝑏(𝑏𝑏+𝑎𝑎)

→ 𝑎𝑎 = ln 5 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = ln 6

𝑥𝑥 = ln 5+3 ln 6ln 5+ln 6

𝑥𝑥 = 2.0536


7𝑥𝑥−1 + 7𝑥𝑥 + 7𝑥𝑥+1 = 5𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥+1 + 5𝑥𝑥+2

7𝑥𝑥7−1 + 7𝑥𝑥 + 7𝑥𝑥71 = 5𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥51 + 5𝑥𝑥52

7𝑥𝑥 7−1 + 1 + 71 = 5𝑥𝑥(1 + 51 + 52)

7𝑥𝑥 17

+ 1 + 7 = 5𝑥𝑥(1 + 5 + 25)

7𝑥𝑥 577

= 5𝑥𝑥(31)

7𝑥𝑥

5𝑥𝑥 = (31)(7)57

Porque 75

𝑥𝑥= (31)(7)

57

ln 75

𝑥𝑥= ln 31 7

57

ln 75

𝑥𝑥= 1.336846

𝑥𝑥 ln 75

= 1.336846086

𝑥𝑥 = 1.336846086ln 7

5

𝑥𝑥 = 1.3368460860.3364…

𝑥𝑥 = 3.973124497


Escribe la siguiente expresión comouna suma algebraica de logaritmoscon coeficientes enteros.

𝑥𝑥 = 𝑠𝑠(𝑠𝑠 − 𝑎𝑎)(𝑠𝑠 − 𝑏𝑏)(𝑠𝑠 − 𝑐𝑐)

ln 𝑥𝑥 = ln 𝑠𝑠(𝑠𝑠 − 𝑎𝑎)(𝑠𝑠 − 𝑏𝑏)(𝑠𝑠 − 𝑐𝑐)

ln 𝑥𝑥 = 12

ln 𝑠𝑠 𝑠𝑠 − 𝑎𝑎 𝑠𝑠 − 𝑏𝑏 𝑠𝑠 − 𝑐𝑐

ln 𝑥𝑥 = 12

[ln 𝑠𝑠 + ln 𝑠𝑠 − 𝑎𝑎 + ln 𝑠𝑠 − 𝑏𝑏 + ln(𝑠𝑠 − 𝑐𝑐)]

𝑒𝑒ln 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒12[ln 𝑠𝑠+ln 𝑠𝑠−𝑎𝑎 +ln 𝑠𝑠−𝑏𝑏 +ln 𝑠𝑠−𝑐𝑐 ]

𝑥𝑥 = 𝑒𝑒12[ln 𝑠𝑠+ln 𝑠𝑠−𝑎𝑎 +ln 𝑠𝑠−𝑏𝑏 +ln 𝑠𝑠−𝑐𝑐 ]



𝑥𝑥 =5 𝑎𝑎

2𝑏𝑏

3

= 𝑎𝑎2𝑏𝑏

15

3

𝑥𝑥 = 𝑎𝑎2𝑏𝑏

35

log 𝑥𝑥 = 35

log 𝑎𝑎2𝑏𝑏

𝑥𝑥 = 1035 log 𝑎𝑎

2𝑏𝑏

𝑥𝑥 = 1035[log 𝑎𝑎−log 2𝑏𝑏]



𝑥𝑥 =𝑎𝑎4𝑇𝑇𝑔𝑔2𝛼𝛼

5𝑏𝑏3

𝑥𝑥 = 𝑎𝑎4𝑇𝑇𝑔𝑔2𝛼𝛼5𝑏𝑏3

ln 𝑥𝑥 = ln 𝑎𝑎4 + ln 𝑇𝑇𝑔𝑔2𝛼𝛼 − ln 5 + ln 𝑏𝑏3

ln 𝑥𝑥 = 4 ln 𝑎𝑎 + 2 ln 𝑇𝑇𝑔𝑔𝛼𝛼 − ln 5 − 3 ln 𝑏𝑏

𝑥𝑥 = 𝒆𝒆(4 ln 𝑎𝑎+2 ln 𝑇𝑇𝑔𝑔𝛼𝛼−ln 5−3 ln 𝑏𝑏)


La población mundial en 1975 era aproximadamente de 4000millones de personas. Si la población se duplica cada 35 años,entonces 𝑡𝑡 años después de 1975, la población mundial esaproximadamente 𝑝𝑝 𝑡𝑡 = (4)(2

𝑡𝑡35) miles de millones de personas.

A) Cuál será la población mundial en 2050B) Cual será la población al final del año 2100C) ¿Cuándo habrá sobre la tierra 12,000 millones de personas

A: Si t = 2050 − 1975 = 75 𝑎𝑎𝑎𝑓𝑓𝑠𝑠, la población será:

𝑝𝑝 75 = 4 27535 = 17.66 miles de millones de habitantes

B: Si t = 2100 − 1975 = 125 𝑎𝑎𝑎𝑓𝑓𝑠𝑠, la población será:

𝑝𝑝 75 = 4 212535 = 47.55miles de millones de habitants

C: 𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 12; 12 = (4)(2𝑡𝑡

35); 3 = 2𝑡𝑡

35 ; ln( 3) = 𝑓𝑓𝑛𝑛 2𝑡𝑡

35

𝑡𝑡 = 35ln(3)ln(2)

= 55.47 𝑎𝑎𝑎𝑓𝑓𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑒𝑒 1975 ℎ𝑎𝑎𝑏𝑏𝑟𝑟𝑎 12 mill millones; en1975+55.47 años = 2030.47


Encontrar el valor de a.

𝑎𝑎 = 2021

5000log 𝑎𝑎 = log 20

21

5000

log 𝑎𝑎 = 5000 log 2021

log 𝑎𝑎 = −105.946495410log 𝑎𝑎 = 10−105.9464954

𝑎𝑎 = 10−105.9464954


Ejercicios recomendados• Ejercicios 1-34 (impares) de los ejercicios 5.5 página

376 de libro Algebra y trigonometría con geometría analítica, Swokowski-12th


Algunas ecuaciones


Solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas(Suma - Resta)𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 27 … … ①7𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 9 … … ②

(Sustitución)𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 277𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 9

𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 2714𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 1815𝑥𝑥 = 45𝑥𝑥 = 3 a partir de aqui se enuentra 𝑦𝑦 = 4

7 27 − 6𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦 = 9189 − 42𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦 = 9−45𝑦𝑦 = 9 − 189−45𝑦𝑦 = −180𝑦𝑦 = 180

45𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 27𝑥𝑥 + 6 � 4 = 27𝑥𝑥 + 24 = 27𝑥𝑥 = 27 − 24𝑥𝑥 = 3


(Determinantes)𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 277𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 9

∆s= 1 6 =-3 -42;7 -3 = -45 𝑥𝑥 = ∆𝑥𝑥

∆𝑠𝑠

∆x= 27 6 =-81-54;9 -3 =-135 𝑥𝑥 = −135

−45; 𝑥𝑥 = 3

∆y=1 27 =9 -189;7 9 =-180 𝑦𝑦 = ∆𝑦𝑦

∆𝑠𝑠= −180

−45; 𝑦𝑦 = 4


Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 11 … … ①𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 13 … … ②2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 7 … … ③

∆s= 1 1 1 (1+2+6)-(-1+6-2)1 -1 3 9 – (3)2 2 -1 9 - 31 1 1 ∆s = 61 -1 3

∆x= 11 1 1 (21+11+26)-(-7-13+66)13 -1 3 58 – 46 = 12

7 2 -1 ∆x = 1211 1 1

13 -1 3

∆y= 1 11 1 (-13+7+66)-(-11+21+26)1 13 3 60 - 362 7 -1 ∆y= 241 11 11 13 3

∆z= 1 1 11 (-7+22+26)-(7+26-22)1 -1 13 41 -112 2 7 ∆z= 301 1 111 -1 13

x = 2 y = 4 z = 5


−2𝑥𝑥2 + 2𝑦𝑦2 = −223𝑥𝑥2 − 2𝑦𝑦2 = 58𝑥𝑥2 = 36𝑥𝑥 = ±6𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥2 − 11𝑦𝑦 = ± 𝑥𝑥2 − 11𝑦𝑦 = ±5𝑦𝑦1= + 5𝑦𝑦2 = −5

Solución de un sistema formado por dos ecuaciones cuadráticas𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 = 11 … … ①3𝑥𝑥2 − 2𝑦𝑦2 = 58 … ②


Solución de un sistema cuadrático de ecuaciones A) Sistema formado por

una ecuación de primer grado y una 2°grado

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5 … … ①3𝑥𝑥2 + 2𝑦𝑦2 = 25

𝑥𝑥 = 5 − 𝑦𝑦3 5 − 𝑦𝑦 2 + 2𝑦𝑦2 = 25

3 25 − 10𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2 + 2𝑦𝑦2 = 2575 − 30𝑦𝑦 + 3𝑦𝑦2 + 2𝑦𝑦2 = 25

5𝑦𝑦2 − 30𝑦𝑦 + 50 = 0𝑦𝑦2 − 6𝑦𝑦 + 10 = 0𝑦𝑦2 − 6𝑦𝑦2 = −10

𝑦𝑦2 − 6𝑦𝑦 + 32 = −10 + 32

𝑦𝑦 − 3 2 = −10 + 9𝑦𝑦 − 3 2 = −1

𝑦𝑦 − 3 = ± −1𝑦𝑦 − 3 = ±𝑠𝑠𝑦𝑦 = ±𝑠𝑠 − 3𝑦𝑦1 = 3 + 𝑠𝑠𝑦𝑦2 = 3 − 𝑠𝑠

𝑥𝑥1 = 5 − 𝑦𝑦; 𝑥𝑥 = 5 − 3 + 𝑠𝑠 ; 𝑥𝑥 = 5 − 3 − 𝑠𝑠; 𝑥𝑥1 = 2 − 𝑠𝑠𝑥𝑥2 = 5 − 𝑦𝑦; 𝑥𝑥 = 5 − 3 − 𝑠𝑠 ; 𝑥𝑥 = 5 − 3 + 𝑠𝑠; 𝑥𝑥2 = 2 + i


Teorema de Pitágoras

Seno, Coseno y tangente de ángulos comunes


Teorema de Pitágoras

sin 𝛼𝛼 = 𝑦𝑦𝑟𝑟

cos 𝛼𝛼 = 𝑥𝑥𝑟𝑟

tan 𝛼𝛼 = 𝑦𝑦𝑥𝑥

cot 𝛼𝛼 = 𝑥𝑥𝑦𝑦

sec 𝛼𝛼 = 𝑟𝑟𝑥𝑥

csc 𝛼𝛼 = 𝑟𝑟𝑦𝑦


Funciones trigonométricas e identidades fundamentalessin 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎

𝑐𝑐csc 𝐴𝐴 = 𝑐𝑐

𝑎𝑎

cos 𝐴𝐴 = 𝑏𝑏𝑐𝑐

sec 𝐴𝐴 = 𝑐𝑐𝑏𝑏

tan 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎𝑏𝑏

cot 𝐴𝐴 = 𝑏𝑏𝑎𝑎

sin 𝐵𝐵 = 𝑏𝑏𝑐𝑐

csc 𝐵𝐵 = 𝑐𝑐𝑏𝑏

cos 𝐵𝐵 = 𝑎𝑎𝑐𝑐

sec 𝐵𝐵 = 𝑐𝑐𝑎𝑎

tan 𝐵𝐵 = 𝑏𝑏𝑎𝑎

cot 𝐵𝐵 = 𝑎𝑎𝑏𝑏

Recíprocassin 𝛼𝛼 � csc 𝛼𝛼 = 1cos 𝛼𝛼 � sec 𝛼𝛼 = 1tan 𝛼𝛼 � cot 𝛼𝛼 = 1


Distancia entre puntosDistancia entre dos puntosSean los puntos concoordenados A(1, 1) B(3, 5)Obtener la distancia entredichos puntosProcedimiento:1) Trazo de la gráfica

correspondiente2) Encontrar las proyecciones

de dichos puntos conrelación a los ejes

3) Determinar la magnitud dedichas proyecciones

4) Aplicar el Teorema dePitágoras

3) 𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 ;= 3 − 1 ;= 2𝐵𝐵𝐶𝐶 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 ;= 5 − 1 ;= 44) 𝑎𝑎2 = 𝐴𝐴𝐶𝐶

2+ 𝐵𝐵𝐶𝐶

2

𝑎𝑎 = 𝐴𝐴𝐶𝐶2

+ 𝐵𝐵𝐶𝐶2

𝑎𝑎 = 22 + 42

𝑎𝑎 = 4 + 16𝑎𝑎 = 20𝑎𝑎 = 2 5 unidades

)

A


Distancia entre puntos

Conclusión: La distancia entre dos puntos quedará determiando como la raíz cuadrada de la diferencia de absisas al cuadrado más la diferencia de ordenadas al cuadrado.

𝑝𝑝𝟏𝟏(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1)𝑝𝑝𝟐𝟐(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2)

𝑎𝑎𝑝𝑝1𝑝𝑝𝟐𝟐 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥12 + 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

2


Distancia entre puntos¿Qué tipo de triángulo forman lospuntos (-2, -1), (2, 2), (5, -2)?

𝑎𝑎𝐴𝐴𝐵𝐵 = (2 − (−2))2+ 2 − −1 2

𝑎𝑎𝐴𝐴𝐵𝐵 = 16 + 9𝑎𝑎𝐴𝐴𝐵𝐵 = 25𝑎𝑎𝐴𝐴𝐵𝐵 = 5𝑎𝑎𝐵𝐵𝐶𝐶 = 5 − 2 2 + −2 − 2 2

𝑎𝑎𝐵𝐵𝐶𝐶 = 9 + 16𝑎𝑎𝐵𝐵𝐶𝐶 = 25𝑎𝑎𝐵𝐵𝐶𝐶 = 5

𝑎𝑎𝐴𝐴𝐶𝐶 = (5 − (−2))2+ −2 − −1 2

𝑎𝑎𝐴𝐴𝐶𝐶 = 49 + 1𝑎𝑎𝐴𝐴𝐶𝐶 = 50𝒅𝒅𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝒅𝒅𝑨𝑨𝑩𝑩 ≠ 𝒅𝒅𝑨𝑨𝑩𝑩

Triángulo isosceles Cuidado con al representación gráficadel punto C, debería estar más abajo


Distancia entre puntosAplicaciones de la distancia entredos puntos:

1) Calcular las coordenadas deun punto 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), equidistante delos puntos A(9, 3), B(3, 7), C(−2, 6)


𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝐵𝐵; 𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝐴𝐴(9, 3) 𝐵𝐵(3, 7)

𝑎𝑎𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 − 9 2 + 𝑦𝑦 − 3 2

𝑎𝑎𝑃𝑃𝐵𝐵 = 𝑥𝑥 − 3 2 + 𝑦𝑦 − 7 2

𝑥𝑥 − 9 2 + 𝑦𝑦 − 3 2 = 𝑥𝑥 − 3 2 + 𝑦𝑦 − 7 2;𝑥𝑥 − 9 2 + 𝑦𝑦 − 3 2 = 𝑥𝑥 − 3 2 + 𝑦𝑦 − 7 2

𝑥𝑥2 − 18𝑥𝑥 + 81 + 𝑦𝑦2 − 6𝑦𝑦 + 9 = 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9 + 𝑦𝑦2 − 14𝑦𝑦 + 49; − 18𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 90 − 9 − 49 − 6𝑦𝑦 + 14𝑦𝑦 = 0;−12𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 + 32 = 0; −3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = −8 … … ①


𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝐵𝐵; 𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝐴𝐴(9, 3) 𝐵𝐵(3, 7)

𝑎𝑎𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 − 9 2 + 𝑦𝑦 − 3 2 𝑎𝑎𝑃𝑃𝐶𝐶 = 𝑥𝑥 + 2 2 + 𝑦𝑦 − 6 2

𝑥𝑥 − 9 2 + 𝑦𝑦 − 3 2 = 𝑥𝑥 + 2 2 + (𝑦𝑦 − 6)2

𝑥𝑥2 − 18𝑥𝑥 + 81 + 𝑦𝑦2 − 6𝑦𝑦 + 9 = 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 4 + 𝑦𝑦2 − 12𝑦𝑦 + 36−22𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 + 50 = 0

−22𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = −50 … … ② Se hace un Sistema con ① y ②−3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = −8

𝑥𝑥 = 2 𝑦𝑦 = −1




• Ejercicios 23-34 (impares) de los ejercicios 3.1 página 142 de libro Algebra y trigonometría con geometría analítica, Swokowski-12th


RectaCircunferencia

ElipseParábolaHipérbola

Curvas en el plano


Recta Una recta es la distancia más corta entre dospuntos.• Ángulo de inclinación de una

recta:tan 𝜃𝜃 = 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1𝑥𝑥2−𝑥𝑥1

m = 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1𝑥𝑥2−𝑥𝑥1

• 𝜃𝜃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 tan 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1𝑥𝑥2−𝑥𝑥1

𝑚𝑚 = 𝑃𝑃𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒

𝑚𝑚 = 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1𝑥𝑥2−𝑥𝑥1

= 3−(−1)2−(−2)

= 44

= 1


Se llama ángulo deinclinación de una recta alformado por la parte positivadel eje x,y y la recta, cuandoesta se considera dirigidahacia arriba.

Se llama pendiente ocoeficiente angular de unarecta a la tangente de suángulo de inclinación.

Recta

Recta


Ejemplo: Encontrar lapendiente y el ángulo deinclinación de la recta quepasa por los puntos𝐴𝐴 1, 6 , 𝐵𝐵 5, −2 .

𝜃𝜃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 tan 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1𝑥𝑥2−𝑥𝑥1

𝑚𝑚 = (−2−6)5−1

; = −84

; −2𝜃𝜃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 tan 𝑚𝑚𝜃𝜃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 tan −2𝜃𝜃 = −63.43tan 𝜃𝜃 = − tan 𝜃𝜃 ′𝜃𝜃 = 116°74′

Recta


Ángulos de dos rectas

Se llama ángulo de dosrectas al formado por loslados que se alejan delvértice.

∝1 Ángulo de elevación de la recta inicial → 𝑚𝑚1 pendiente de la recta inicial.∝2 Ángulo de elevación de la recta final → 𝑚𝑚2 es pendiente de la recta final.𝑚𝑚1 = tan ∝1

𝑚𝑚2 = tan ∝2

Recta


Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes; entonces:

𝛼𝛼2 = 𝛼𝛼1 + 𝜃𝜃1

𝜃𝜃1 = 𝛼𝛼2 − 𝛼𝛼1

tan 𝜃𝜃1 = tan(𝛼𝛼2 − 𝛼𝛼1)

tan 𝑥𝑥 ± 𝑦𝑦 =tan 𝑥𝑥 ± tan 𝑦𝑦

1 ∓ tan 𝑥𝑥 tan 𝑦𝑦

tan 𝜃𝜃1 = 𝑚𝑚2−𝑚𝑚11+𝑚𝑚1𝑚𝑚2

tan 𝜃𝜃1 = tan 𝛼𝛼2−tan 𝛼𝛼11+tan 𝛼𝛼1 tan 𝛼𝛼2


Recta


Rectas paralelas: Si dos rectasson paralelas el ángulo formadoes 0° o 180°tan 𝜃𝜃1 = 𝑚𝑚2−𝑚𝑚1

1+𝑚𝑚1𝑚𝑚2

𝜃𝜃 = 𝑚𝑚2−𝑚𝑚11+𝑚𝑚1𝑚𝑚2

𝑚𝑚2 − 𝑚𝑚1 = 0; 𝑚𝑚2 = 𝑚𝑚1

Rectas perpendiculares:Si dos rectas sonperpendiculares el ánguloformado entre ellas es de 90°


= ∞

cot 𝜃𝜃1 = 1+𝑚𝑚1𝑚𝑚2𝑚𝑚2−𝑚𝑚1

= 0

1 + 𝑚𝑚1𝑚𝑚2 = 0𝑚𝑚1𝑚𝑚2 = −1

Recta


Ecuación de la recta quepasa por un punto y tieneuna pendiente dada.Se llama línea recta al lugargeométrico de los puntostales que tomados dospuntos diferentescualesquiera.

𝑃𝑃1 𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1 , 𝑃𝑃2(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2)Del lugar, el valor de lapendiente 𝑚𝑚 calculado por 𝑚𝑚expresión 𝑚𝑚 = 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1

𝑥𝑥2−𝑥𝑥1, es

siempre constante.

La recta que pasa por elpunto 𝑃𝑃1 𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1 , que tiene lapendiente dada 𝑚𝑚, tiene porecuación la siguiente:Datos : 𝑃𝑃1 𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1 , 𝑚𝑚 =?

𝑚𝑚 = 𝑦𝑦−𝑦𝑦1𝑥𝑥−𝑥𝑥1

𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)

Y se encuentra la ecuación

Recta


Encontrar la ecuación de larecta que pasa por el punto(4, −1) y tiene un ángulo deinclinación 135°.

Tan 135 = -1𝑚𝑚 = −1

−1 = 𝑦𝑦−(−1)𝑥𝑥−4

−1 𝑥𝑥 − 4 = 𝑦𝑦 + 1−𝑥𝑥 + 4 = 𝑦𝑦 + 10 = 𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 3

𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)

Recta


Ecuación de una recta dadasu pendiente y su ordenadaal origen 𝑚𝑚 = 𝑦𝑦−𝑦𝑦1

𝑥𝑥−𝑥𝑥1

𝑚𝑚 = 𝑦𝑦−𝑏𝑏𝑥𝑥−0

𝑚𝑚 = 𝑦𝑦−𝑏𝑏𝑥𝑥

𝑚𝑚𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 − 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏

Recta


Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃𝑃(0, 5) y 𝑚𝑚 = −2

𝑦𝑦 = −2 𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 52𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 5 = 0

𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏

Recta


Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.La recta que pasa por dos puntos dados 𝑃𝑃1(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) ,𝑃𝑃2(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2), tiene por ecuación 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)Datos:𝑃𝑃1(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) 𝑚𝑚 = 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1

𝑥𝑥2−𝑥𝑥1

𝑃𝑃2(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2)𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1

𝑥𝑥2−𝑥𝑥1𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1

Recta


Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑃𝑃1 −2, −3 , 𝑃𝑃2(4, −2).

𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1𝑥𝑥2−𝑥𝑥1

𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1

𝑦𝑦 − −3 = −2− −34− −2

(𝑥𝑥 − (−2))

𝑦𝑦 + 3 = 16

(𝑥𝑥 + 2)

𝑦𝑦 + 3 =𝑥𝑥6

+26

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥6

+ 26

- 3

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥6

+ 2−186

𝑦𝑦 =𝑥𝑥6

−166

Recta


Ecuación simétrica de la recta Sea 𝑎𝑎 ≠ 0 y 𝑏𝑏 ≠ 0, los puntos de intersección de la rectacon los ejes 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 respectivamente, obtenga laecuación de la recta en términos de 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏.


(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)

𝑦𝑦 − 0 = 0−𝑏𝑏𝑎𝑎−0

(𝑥𝑥 − 9)

𝑦𝑦 = −𝑏𝑏𝑎𝑎

(𝑥𝑥 − 9)

𝑥𝑥 − 9 𝑦𝑦 = −𝑏𝑏𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑦𝑦 = −𝑏𝑏(𝑥𝑥 − 9)𝑎𝑎𝑦𝑦 = −𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑦𝑦 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑎𝑎 ÷ 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑦𝑦𝑏𝑏𝑎𝑎

+ 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑏𝑏𝑎𝑎

= 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎

𝒚𝒚𝒃𝒃

+ 𝒙𝒙𝒂𝒂

= 𝟏𝟏

Recta


Forma general de la ecuación de la recta 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝑐𝑐 = 0 𝐴𝐴 ≠ 0, 𝐵𝐵 ≠ 0

𝐴𝐴 = 0 Recta ‖ al eje 𝑥𝑥𝑦𝑦 = − 𝐶𝐶

𝐵𝐵𝑦𝑦 = 𝑘𝑘

𝐵𝐵 = 0 Recta ‖ al eje 𝑦𝑦𝑥𝑥 = − 𝐶𝐶

𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝑘𝑘

𝐴𝐴 = 0, 𝐶𝐶 = 0𝐵𝐵𝑦𝑦=0

𝑦𝑦 = 0

𝐵𝐵 = 0, 𝐶𝐶 = 0𝐴𝐴𝑥𝑥=0

𝑥𝑥 = 0

𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑏𝑏 = 0 ÷ 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵

𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝐵𝐵

𝑦𝑦 + 𝐶𝐶𝐵𝐵

= 0𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐵𝐵

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝐶𝐶𝐵𝐵

= 0 (−1)

− 𝐴𝐴𝐵𝐵

𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝐶𝐶𝐵𝐵

= 0

𝑦𝑦 = − 𝐴𝐴𝐵𝐵

𝑥𝑥 − 𝐶𝐶𝐵𝐵

𝑚𝑚 = − 𝐴𝐴𝐵𝐵

𝑏𝑏 = − 𝐶𝐶𝐵𝐵

Ejemplo: 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 4 = 0𝑚𝑚 = − 2

3𝑏𝑏 = − 4

3

Recta


Ángulos de las rectas dada las ecuaciones de las rectas𝐴𝐴1𝑥𝑥 + 𝐵𝐵1𝑦𝑦 + 𝐶𝐶1 = 0 … … ①𝐴𝐴2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2𝑦𝑦 + 𝐶𝐶2 = 0 … … ②Paralelas 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2

𝑚𝑚1 = − 𝐴𝐴1𝐵𝐵1

𝑚𝑚2 = − 𝐴𝐴2𝐵𝐵2

− 𝐴𝐴1𝐵𝐵1

= − 𝐴𝐴2𝐵𝐵2

𝐴𝐴1𝐵𝐵1

= 𝐴𝐴2𝐵𝐵2

Razón para que dosrectas sean paralelas

Ejemplo: Indicar si las rectas son paralelas3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 3 = 0 … … ①6𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 + 7 = 0 … … ②

𝐴𝐴1 = 3, 𝐵𝐵1 = 2, 𝐶𝐶1 = 3𝐴𝐴2 = 6, 𝐵𝐵2 = 4, 𝐶𝐶2 = 7𝐴𝐴1𝐵𝐵2 = 𝐵𝐵1𝐴𝐴23)(4 = (2)(6)

12 = 12 Las rectas sonparalelas

Recta


Circunferencia

Circunferencia: Es el lugargeométrico de un punto decoordenadas (x, y) que se muevesobre un plano, de manera que sudistancia permanece constante a unpunto fijo de coordenadas (h ,k).

El punto fijo se llama centro de lacircunferencia y la distanciaconstante es el radio (r).

La ecuación de la circunferencia enforma ordinaria o reducida, será lasiguiente: 𝑥𝑥 − ℎ 2 + 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = 𝑟𝑟2

(h, k) las coordenadas del centro

𝑥𝑥 − ℎ 2 + 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = 𝑟𝑟2

Ecuación de forma reducida


Ejemplos: obtener la ecuaciónde la circunferencia con centroen (2,-3) y radio igual a 4.

Obtener la ecuación de lacircunferencia con centro en (-1,2)y que pasa por el punto (3, 4).

𝑥𝑥 − 𝑛𝑛 2 + 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = 𝑟𝑟2

𝑥𝑥 − 2 2 + 𝑦𝑦 − −3 2 = 𝑟𝑟2

𝑥𝑥 − 2 2 + 𝑦𝑦 + 3 2 = 𝑟𝑟2

𝑥𝑥 − 2 2 + (𝑦𝑦 + 3)2 = 16

𝑟𝑟 = 3 + 1 2 + 4 − 2 2

𝑟𝑟 = 16 + 4𝑟𝑟 = 20𝑥𝑥 − ℎ 2 + 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = 20𝑥𝑥 + 1 2 + 𝑦𝑦 − 2 2 = 20

Circunferencia


Forma general de la ecuaciónde la circunferencia.Si desarrollamos la formareducida de la ecuación de lacircunferencia obtendremos laecuación en su forma general.

𝑥𝑥 − ℎ 2 + 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = 𝑟𝑟2

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥ℎ + ℎ2 + 𝑦𝑦2 − 2𝑘𝑘𝑦𝑦 + 𝑘𝑘2 = 𝑟𝑟2

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + ℎ2 + 𝑘𝑘2 − 𝑟𝑟2 − 2𝑥𝑥ℎ − 2𝑘𝑘𝑦𝑦= 0𝐷𝐷 = −2ℎ𝐸𝐸 = −2𝑘𝑘𝐹𝐹 = ℎ2 + 𝑘𝑘2 − 𝑟𝑟2

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0Forma general de lacircunferencia

En esta ecuación es unacaracterística de lacircunferencia que loscoeficientes de 𝑥𝑥2 e 𝑦𝑦2 debenser iguales, además que laecuación no debe contenerterminos 𝑥𝑥𝑦𝑦 (como sucede en laelipse, parábola e hipérbola).Ejemplo: Obtener la ecuaciónde una circunferencia en suforma reducida y en su formageneral con los siguientes datos:centro (-2, 1), radio = 3.

𝑥𝑥 + 2 2 + 𝑦𝑦 − 1 2 = 9𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 4 + 𝑦𝑦2 − 2𝑦𝑦 + 1 = 9𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 4 + 1 − 9 + 4𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 0𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 4𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 4 = 0𝐷𝐷 = −2ℎ 𝐷𝐷 = −2(−2) 𝐷𝐷 = 4𝐸𝐸 = −2𝑘𝑘 𝐸𝐸 = −2(1) 𝐸𝐸 = −2𝐹𝐹 = −2 2 + 12 − 3 2 𝐹𝐹 = −4

Circunferencia


Obtener el centro y el radiode la circunferencia, cuyaecuación en su formareducida es

𝑥𝑥 − 3 2 + 𝑦𝑦 + 1 2 = 16

Obtener las coordenadas delcentro y el radio de lacircunferencia cuya ecuación ensu forma general es:

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 2𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 − 2 = 0

ℎ = 3𝑘𝑘 = −1𝑟𝑟 = 4

Coordenadas del centro (3, −1)

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2 + 6𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1 + 𝑦𝑦2 + 6𝑦𝑦 + 9 = 2 + 1 + 9𝑥𝑥 − 1 2 + 𝑦𝑦 + 3 2 = 12

ℎ = 1𝑘𝑘 = −3𝑟𝑟 = 12𝐷𝐷 = −2ℎ = −2 ℎ = 1𝐸𝐸 = −2𝑘𝑘 = 6 𝑘𝑘 = −3𝐹𝐹 = ℎ2 + 𝑘𝑘2 − 𝑟𝑟2

−2 = 12 + −3 2 − 𝑟𝑟2

−2 = 1 + 9 − 𝑟𝑟2

𝑟𝑟2 = 12𝑟𝑟 = 12

Circunferencia


Circunferencia definida por 3puntos.En geometría se indicó “siemprees posible trazar unacircunferencia por 3 puntos queno son colindantes”El producto es el siguiente:• Se unen los puntos A, B y C.

• Se encuentran lasmediatrices de 𝐴𝐴𝐵𝐵 y 𝐵𝐵𝐶𝐶 y enel punto en el que seintersectan será el centro dela circunferencia que pasapor 𝐴𝐴𝐶𝐶.

• Analíticamente se utiliza laecuación de lacircunferencia en formageneral, se sustituyen lospuntos y se forma un Sistemade 3 ecuaciones con 3incognitas.

• Finalmente se sustituyen losvalores de D, E y Fencontrados, paraencontrar la ecuación de lacircunferencia.

Circunferencia


Ejemplo: Obtener la ecuación en su forma general de lacircunferencia que pasa por los puntos A(-5,1), B(2,2) y C(4,-2).

Circunferencia


Para la recta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1

𝑥𝑥2−𝑥𝑥1𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1

𝑦𝑦 − 1 = 2−12− −5

𝑥𝑥 − −5

𝑦𝑦 − 1 = 17

𝑥𝑥 + 5

𝑦𝑦 − 1 = 𝑥𝑥+57

7𝑦𝑦 − 7 − 5 − 𝑥𝑥 = 0𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 + 12 = 0𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵 = 1

7𝑚𝑚 = − 𝐴𝐴

𝐵𝐵Punto medio de 𝐴𝐴𝐵𝐵𝑥𝑥𝑚𝑚 = 𝑥𝑥1+𝑥𝑥2

2; 𝑥𝑥𝑚𝑚 = −5+2

2

𝑥𝑥𝑚𝑚 = − 32

𝑦𝑦𝑚𝑚 = 𝑦𝑦1+𝑦𝑦22

; 𝑦𝑦𝑚𝑚 = 1+22

𝑦𝑦𝑚𝑚 = 32

Ecuación de la mediatriz de 𝐴𝐴𝐵𝐵𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑡𝑡𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐵𝐵 = −1

17

𝑚𝑚𝑀𝑀𝐴𝐴𝐵𝐵 = −1

𝑚𝑚𝑀𝑀𝐴𝐴𝐵𝐵 = −7

Ecuación de la recta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)

𝑦𝑦 − 32

= 7(𝑥𝑥 − − 32

2𝑦𝑦−32

= −7𝑥𝑥 − 212

2𝑦𝑦 − 3 = −19𝑥𝑥 − 2114𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 18 = 07𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 9 = 0

Circunferencia


Para la recta 𝐵𝐵𝐶𝐶


(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)

𝑦𝑦 − 2 = −2−24−2

(𝑥𝑥 − 2)

𝑦𝑦 − 2 = −42

(𝑥𝑥 − 2)

𝑦𝑦 − 2 = −2𝑥𝑥 + 42𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 6𝑚𝑚 = −2

Punto medio de 𝐵𝐵𝐶𝐶

𝑥𝑥𝑚𝑚 = 𝑥𝑥1+𝑥𝑥22

; 𝑥𝑥𝑚𝑚 = 2+42

; 𝑥𝑥𝑚𝑚 = 3

𝑦𝑦𝑚𝑚 = 𝑦𝑦1+𝑦𝑦22

; 𝑥𝑥𝑚𝑚 = 2−22

; 𝑥𝑥𝑚𝑚 = 0

M de mediatriz de 𝐵𝐵𝐶𝐶𝑚𝑚 = 1

2Ecuación de la mediatriz de 𝐵𝐵𝐶𝐶𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)𝑦𝑦 − 0 = 1

2𝑥𝑥 − 3

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥−32

2𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 30 = 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 3

Sistema para encontrar el centro de la circunferencia7𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 9 = 0 7 2𝑦𝑦 + 3 + 𝑦𝑦 + 9 = 0𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 3 = 0 14𝑦𝑦 + 21 + 𝑦𝑦 + 9 = 0𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦 + 3 15𝑦𝑦 + 30 = 0𝑥𝑥 − 2 −2 − 3 = 0 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 4 − 3 = 0 𝐶𝐶(−1, −2)𝑥𝑥 = −1

Circunferencia


Para la circunferencia 𝐶𝐶(−1, −2)ℎ = −1 𝑘𝑘 = −2 𝑟𝑟 = 5

El radio es la 𝑎𝑎𝐶𝐶𝐵𝐵, 𝑎𝑎𝐶𝐶𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝑎𝑎?

𝐵𝐵(2, 2) 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐶𝐶 = 2 + 1 2 + 2 + 2 2

𝐶𝐶(−1, −2) 𝑎𝑎𝐶𝐶𝐵𝐵 = 9 + 16𝑎𝑎𝐶𝐶𝐵𝐵 = 5 𝑟𝑟 = 5

Ecuación de la circunferencia𝑥𝑥 − ℎ 2 + 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = 𝑟𝑟2

( 𝑥𝑥 − −1 2 + ( 𝑦𝑦 − −2 2 = 52

𝑥𝑥 + 1 2 + 𝑦𝑦 + 2 2 = 25 Forma ordinaria

Ecuación en su forma general𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1 + 𝑦𝑦2 + 4𝑦𝑦 + 4 = 25𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2 + 4𝑦𝑦 − 20 = 0 Forma

general

Circunferencia


Circunferencia que pasa por 2 puntos y su centro se encuentra sobre una recta

Para resolver este problemautilizamos la ecuación de lacircunferencia en formareducida y la ecuación de larecta en su forma general.A fin de formar un sistema deecuaciones de primer gradocon 3 incógnitas.Ejemplo: Obtener laecuación en su formareducida de lacircunferencia que pasa porlos puntos A(2, 1), B(4, 5) ytiene su centro en la recta2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 5 = 0

𝑥𝑥 − ℎ 2 + 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = 𝑟𝑟2

Para el punto A(2, 1)

Para el punto B(4, 5)

Ecuación de la recta 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 5 = 0

𝑥𝑥 = ℎ 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘

2 − ℎ 2 + 1 − 𝑘𝑘 2 = 𝑟𝑟2

4 − 4ℎ + ℎ2 + 1 − 2𝑘𝑘 + 𝑘𝑘2 = 𝑟𝑟2

ℎ2 − 4ℎ + 𝑘𝑘2 − 2𝑘𝑘 + 5 = 𝑟𝑟2 … … ①

4 − ℎ 2 + 𝑘𝑘 − 5 2 = 𝑟𝑟2

16 − 8ℎ + ℎ2 + 𝑘𝑘2 − 10𝑘𝑘 + 25 = 𝑟𝑟2

ℎ2 − 8ℎ + 𝑘𝑘2 − 10𝑘𝑘 + 41 = 𝑟𝑟2 … … ②

2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 5 = 52ℎ − 𝑘𝑘 + 5 = 0 … … ③

−4ℎ + ℎ2 − 2𝑘𝑘 + 𝑘𝑘2 + 5 = 𝑟𝑟2 … … ①−8ℎ + ℎ2 − 10𝑘𝑘 + 𝑘𝑘2 + 41 = 𝑟𝑟2 … … ②2ℎ − 𝑘𝑘 + 5 = 0 … … ③

Circunferencia


Paso 1. Multiplicar ② por (-1) y sumar a ①

Despejamos k de ③ 𝑘𝑘 = 2ℎ +5 Y se sustituye en ④

Después de obtener h se despeja en ③

Coordenadas del centro − 15

, 235

Ecuación de la circunferencia

8ℎ − ℎ2 + 10𝑘𝑘 − 𝑘𝑘2 − 41 = −𝑟𝑟2

−4ℎ + ℎ2 − 2𝑘𝑘 + 𝑘𝑘2 + 5 = 𝑟𝑟2

4ℎ + 8𝑘𝑘 − 36 = 0 … … ④

4ℎ + 8 2ℎ + 5 = 364ℎ + 16ℎ + 40 = 3620ℎ = −4ℎ = − 4

20ℎ = − 1

5

2 − 15

− 𝑘𝑘 + 5 = 0

𝑘𝑘 = 5 − 25

𝑘𝑘 = 25−25

𝑘𝑘 = 235

𝑟𝑟 = 𝑎𝑎𝐶𝐶 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑛𝑛𝑡𝑡𝑝𝑝 𝐴𝐴(2, 1)𝑟𝑟 = 𝑎𝑎𝐶𝐶𝐴𝐴 𝐶𝐶 − 1

5, 23

5

𝑟𝑟 = 2 + 15

2+ 1 − 23

5

2

𝑟𝑟 = 4.84 + 12.96𝑟𝑟 = 4.2

𝑥𝑥 − ℎ 2 + 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = 𝑟𝑟2

𝑥𝑥 − − 15

2+ 𝑦𝑦 − 23

5

2= 4.2 2

𝑥𝑥 + 15

2+ 𝑦𝑦 − 23

5

2= 17.64

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥5

+ 125

+ 𝑦𝑦2 − 46𝑦𝑦5

+ 52925

= 17.64

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥5

+ 𝑦𝑦2 − 46𝑦𝑦5

+ 53025

− 17.64 = 0

𝑥𝑥2 + 25

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2 − 465

𝑦𝑦 + 3.4 = 0

Circunferencia


Intersección de recta y circunferenciaTangente a una circunferencia.Para obtener lascoordenadas del puntodonde se intersectan.La recta con unacircunferencia, es necesarioresolver el sistema formadopor las ecuaciones de lacircunferencia y la recta.El resultado nos da tresalternativas.

A) Dos valores realesdiferentes, entonces la rectacorta a la circunferencia endos puntos.

Circunferencia


C) Valores imaginarios, nohay intersección entre la rectay circunferencia.

B) Dos valores reales iguales,la recta corta en un solo puntoa la circunferencia.

Circunferencia


Ejemplo: obtener lascoordenadas de los puntosdonde la recta 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 10 = 0intersecta a la circunferencia𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 20

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 202𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 10 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 10 2 = 20𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥2 − 40𝑥𝑥 + 100 − 20 = 05𝑥𝑥2 − 40𝑥𝑥 + 80 = 0; 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 16 = 0−𝑏𝑏± 𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑐𝑐

2𝑎𝑎; 8± (−8)2−4(16)

2; 𝑥𝑥 = 8± 0

2;

𝑥𝑥 = 42𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 10; 2 4 − 10 = 𝑦𝑦; 𝑦𝑦 = −2

El caso es de una tangente donde cortaen el punto (4, -2) o punto de tangencia.

Circunferencia


Obtener las coordenadas delpunto de intersección dondela recta 𝑦𝑦 − 2 = 0 cruza a lacircunferencia

𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 − 16 = 0

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 − 16 = 0 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥2 + 4 − 4𝑥𝑥 − 16 − 16 = 0𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 28 = 0Se hace la ecuación en forma general𝑥𝑥1 = 7.6 𝑦𝑦1 = 2𝑥𝑥2 = −3.6 𝑦𝑦2 = 2

Siendo los puntos de intersección (7.6, 2) y (-3.6, 2) y se grafica. 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2 − 8𝑦𝑦 = 16𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 22 + 𝑦𝑦2 − 8𝑦𝑦 + 42 = 16 +

16 + 4𝑥𝑥 − 2 2 + 𝑦𝑦 − 4 2 = 36

ℎ = 2𝑘𝑘 = 4𝑟𝑟 = 6

Circunferencia




• Ejercicio 65-71 (impares) de los ejercicios 3.1 página 158 de libro Algebra y trigonometría con geometría analítica, Swokowski-12th


ParábolaLa parábola es el lugargeométrico de los puntos delplano que equidista de un puntofijo llamado foco (F) y de unarecta llamada directriz (D D’).𝑃𝑃𝐹𝐹 = 𝐷𝐷𝑃𝑃 Porqué 𝐿𝐿𝐹𝐹 = 𝐿𝐿𝐷𝐷𝐿𝐿𝐴𝐴 = 4𝑃𝑃 𝐿𝐿𝐷𝐷 = 2𝑃𝑃𝑦𝑦2 = 𝐷𝐷𝑃𝑃𝑥𝑥

La parábola es simétrica al eje focalo eje de la parábola si el (eje de laparábola ‖ eje x) la parábola eshorizontal si ( eje de la parábola ⊥eje x) la parábola es vertical.𝑃𝑃 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝐹𝐹(𝑃𝑃, 0) 𝐹𝐹𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝐷𝐷𝑃𝑃𝐹𝐹 = 𝑥𝑥 − 𝑝𝑝 2 + 𝑦𝑦 2

𝐷𝐷𝑃𝑃 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝑃𝑃𝐷𝐷𝑃𝑃 = 𝑃𝑃 + 𝑥𝑥

𝑥𝑥 − 𝑃𝑃 2 + 𝑦𝑦2 = 𝑃𝑃 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑃𝑃 2 + 𝑦𝑦2 = 𝑃𝑃2 + 2𝑃𝑃𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 − 2𝑃𝑃𝑥𝑥 + 𝑃𝑃2 + 𝑦𝑦2 = 𝑃𝑃2 + 2𝑃𝑃𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2

𝑦𝑦2 = 4𝑃𝑃𝑥𝑥Ecuación de la parábola horizontalcon vértice en el origen y eje focalparalelo al eje x y que se abrehacia la derecha.𝑃𝑃 > 0 La parábola se abre a laderecha𝑃𝑃 < 0 La parábola se abre a laizquierda


Otras formas de parábolaEcuación general de la parábolahorizontal, con vértice en elorigen, eje focal en 𝑥𝑥 y que abrea la izquierda.

Ecuación de la parábolavertical con vértice en elorigen, eje focal, el eje 𝑦𝑦 yque se abre hacia arriba. (*ecuación de directriz y dellado recto)


Ecuación de la parábolavertical con vértice en elorigen, su eje focal está en 𝑦𝑦 yque se abre hacia abajo. (*ecuación lado recto)

El término 𝑥𝑥2 es para la parabolavertical y 𝑦𝑦2 para horizontal.El signo de P (distancia de 𝐹𝐹 a𝑉𝑉→𝐹𝐹𝑉𝑉) señala hacia donde estáabierta la parábola, si es positiva(P) se abre hacia arriba o haciala derecha, si es negativa (-P) seabre hacia abajo o a laizquierda.El segmento que une dos puntosde la parabola se llama cuerda,la que pasa por el foco es lacuerda focal o lado recto (LR).

Conclusiones de Parábola


El eje de la parábola bisectatodas las cuerdas, de ahí quela parábola es simétricarespecto de su eje.• El lado recto es igual a 4P• La característica que

identifica a la ecuación dela parábola respecto de lasotras curvas (circunferencia,elipse e hipérbola) es queuno de los términos 𝑥𝑥2 o 𝑦𝑦2

desaparece.


Ejemplo: De la ecuación dela parábola 𝑦𝑦2 = 8𝑥𝑥, obtenerlas coordenadas del foco, lasdel vértice, las coordenadasde los extremos, del ladorecto y su longitud, laecuación de la directriz, laecuación del lado recto y sugráfica correspondiente.

𝑦𝑦2 = 4𝑃𝑃𝑥𝑥 Ecuación gral.𝑦𝑦2 = 8𝑥𝑥 Ecuación dada4𝑃𝑃 = 8; 𝑃𝑃 = 2Coordenadas del foco (2,0)𝐿𝐿𝐴𝐴 = 4𝑃𝑃; 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 4(2); 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 8

𝐿𝐿 = (2, 4) 𝐴𝐴 = (2, −4)

Ecuación de 𝐿𝐿𝐴𝐴 = [𝑥𝑥 − 2]Ecuación de 𝐷𝐷𝐷𝐷′ = [𝑥𝑥 = −2]


Obtener la ecuación de laparábola con foco (3,0),vértice en el origen, ecuaciónde la directriz, ecuación dellado recto, coordenadas desus extremos y longitud dellado recto.

(*) Ecuación de la directriz y del lado recto.

𝑦𝑦2 = 4𝑃𝑃𝑥𝑥𝑦𝑦2 = 4 3 𝑥𝑥𝑦𝑦2 = 12𝑥𝑥 Ecuación de la

parábola

Longitud de 𝐿𝐿𝐴𝐴𝐿𝐿𝐴𝐴 = 4𝑃𝑃𝐿𝐿𝐴𝐴 = 12 Longitud del

lado recto

𝐿𝐿(3, 6) 𝐴𝐴(3, −6)


Obtener la ecuación de laparábola con vértice en elorigen, su eje es horizontal,pasa por (-3,-9) y graficar.

Sustitución de (x, y) en el punto (−3, −9)𝑦𝑦2 = −4𝑃𝑃𝑥𝑥 −9 2 = (−4)(𝑃𝑃)(−3)

81 = 12𝑃𝑃 𝑃𝑃 = 8112

𝑃𝑃 = 274

Longitud de LR𝐴𝐴𝐿𝐿 = 4𝑃𝑃 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 4 27

4𝐿𝐿𝐴𝐴 = 27

Ecuación de la parábola 𝑦𝑦2 = −4𝑃𝑃𝑥𝑥𝑦𝑦2 = −4 27

4𝑥𝑥 𝑦𝑦2 = −27𝑥𝑥

𝐿𝐿 = 274

, 272

𝐴𝐴 − 274

, 272


Ecuación de la parábola devértice (h, k) y eje paralelo a uneje coordenado.Parábola horizontal

𝑦𝑦2 = 4𝑃𝑃𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = 4𝑃𝑃(𝑥𝑥 − ℎ)

Abriendo a la derecha𝑦𝑦2 = 4𝑃𝑃𝑥𝑥

Abre hacia la derecha𝑥𝑥 = 𝑥𝑥′ + ℎ𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 − ℎ𝑦𝑦 = 𝑦𝑦′ + 𝑘𝑘𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘

Horizontal Vertical𝒚𝒚 − 𝒌𝒌 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝟒𝟒(𝒙𝒙 − 𝒉𝒉) Derecha 𝒙𝒙 − 𝒉𝒉 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝟒𝟒(𝒚𝒚 − 𝒌𝒌) Arriba

𝒚𝒚 − 𝒌𝒌 𝟐𝟐 = −𝟒𝟒𝟒𝟒(𝒙𝒙 − 𝒉𝒉) Izquierda 𝒙𝒙 − 𝒉𝒉 𝟐𝟐 = −𝟒𝟒𝟒𝟒(𝒚𝒚 − 𝒌𝒌) Abajo


Ejemplo: Obtener la ecuación dela parábola cuyo vertice está en elpunto (2, 5) y el foco en el punto(2, 3). Además obtener laecuación de su directriz, del ladorecto, su longitud y coordenadasde los puntos extremos y graficar.

Longitud de LR𝐿𝐿𝐴𝐴 = 4𝑃𝑃 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 4(2)𝐿𝐿𝐴𝐴 = 8𝐿𝐿(−2, 3) 𝐴𝐴(6, 3)

Ecuación de la directriz𝑦𝑦 = 7

Ecuación de LR 𝑦𝑦 = 3

𝑥𝑥 − ℎ 2 = −4𝑃𝑃(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)𝑥𝑥 − 2 2 = −4 2 𝑦𝑦 − 5𝑥𝑥 − 2 2 = −8(𝑦𝑦 − 5)

𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 4 = −8𝑦𝑦 + 40𝑥𝑥2 = 4𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 + 36 Ecuación de la parábola


Forma general de la ecuación de la parábola

Si desarrollamos las formasreducidas de las ecuaciones dela parábola, obtenemos laforma general de la ecuaciónde la parábola.

Parábola horizontal:𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = 4𝑃𝑃 𝑥𝑥 − ℎ 2

𝑦𝑦2 − 2𝑦𝑦𝑘𝑘 + 𝑘𝑘2 = 4𝑃𝑃𝑥𝑥 − 4𝑃𝑃ℎ𝑦𝑦2 − 2𝑘𝑘𝑦𝑦 + 𝑘𝑘2 − 4𝑃𝑃𝑥𝑥 + 4𝑃𝑃ℎ = 0𝑦𝑦2 − 4𝑃𝑃𝑥𝑥 − 2𝑘𝑘𝑦𝑦 + 𝑘𝑘2 + 4𝑃𝑃ℎ = 0𝐷𝐷 = −4𝑃𝑃𝐸𝐸 = −2𝑘𝑘𝐹𝐹 = 𝑘𝑘2 + 4𝑃𝑃ℎ

𝑦𝑦2 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0 Ecuaciónde la parabola horizontal.

Parábola vertical 𝑥𝑥 − ℎ 2 = 4𝑃𝑃 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥ℎ + ℎ2 − 4𝑃𝑃𝑦𝑦 + 4𝑃𝑃𝑘𝑘 = 0𝑥𝑥2 − 2ℎ𝑥𝑥 − 4𝑃𝑃𝑦𝑦 + ℎ2 + 4𝑃𝑃𝑘𝑘 = 0𝐷𝐷 = −2ℎ𝐸𝐸 = −4𝑃𝑃𝐹𝐹 = ℎ2 + 4𝑃𝑃𝑘𝑘𝑥𝑥2 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0 Ecuación

de la parabola vertical.


Obtener la ecuación de laparábola en su forma reduciday en su forma general con losdatos siguientes: Vértice v(3, 2);directriz (x=5).

𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = −4𝑃𝑃(𝑥𝑥 − ℎ)ℎ = 3𝑘𝑘 = 2𝑃𝑃 = 2𝑦𝑦 − 2 2 = −4(2)(𝑥𝑥 − 3)

𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 + 4 = −8𝑥𝑥 + 24𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 + 8𝑥𝑥 − 20 = 0 Ecuación en

su forma general.


Obtener la ecuación de laparábola, si el lado recto es 16se abre hacia abajo y suvértice es (-2,-3).

𝑥𝑥 − ℎ 2 = −4𝑃𝑃(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)𝑥𝑥 + 2 2 = −4 4 𝑦𝑦 − −3

𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 4 = −16𝑦𝑦 − 16 (3)𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 4 + 16𝑦𝑦 + 48 = 0𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 16𝑦𝑦 + 52 = 0

Forma general


Obtener la ecuación de laparábola en su forma reducidacon foco en (3, 2) y ecuación dela directriz 𝑥𝑥 + 4 = 0, obtenerademás las coordenadas delvértice, longitud del lado recto ysu ecuación y las coordenadasde los puntos.

𝑦𝑦 − 𝑘𝑘 2 = 4𝑃𝑃(𝑥𝑥 − ℎ)𝑦𝑦 − 2 2 = 4 7

2𝑥𝑥 + 1

2𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 + 4 = 14𝑥𝑥 + 7

𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 − 14𝑥𝑥 − 3 = 0

𝐿𝐿𝐴𝐴 = 282

𝐿𝐿𝐴𝐴 = 14𝐿𝐿(3, 9) 𝐴𝐴(3, −5)


Elipse

Es el lugar geométrico de lospuntos del plano tales que lasuma de sus distancias a dospuntos fijos llamados focos,siempre es constante.

Eje focal AA’→ Eje MayorBB’→ Eje Menor

𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) Punto cualquiera de una curva

LR Lado rectoAncho focal𝐹𝐹1𝐹𝐹2 Focos

�𝑉𝑉𝑉𝑉1

𝑣𝑣1𝑣𝑣2𝑉𝑉𝑑𝑟𝑟𝑡𝑡𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠

}𝐵𝐵𝐵𝐵′ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑓𝑓𝑟𝑟}𝐴𝐴𝐴𝐴′ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑒𝑒 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑦𝑦𝑓𝑓𝑟𝑟

Semi eje menor OBSemi eje mayor OA


2𝑎𝑎 = 𝐹𝐹1𝐵𝐵 + 𝐹𝐹2𝐵𝐵2𝑎𝑎 = 𝐹𝐹1𝑃𝑃 + 𝐹𝐹2𝑃𝑃𝐹𝐹1(−𝑐𝑐, 0)𝐹𝐹2(𝑐𝑐, 0)𝑎𝑎𝐹𝐹1𝐹𝐹2 = 2𝑐𝑐𝑎𝑎𝐵𝐵′𝐵𝐵 = 2𝑏𝑏𝑎𝑎𝑣𝑣𝑣𝑣′ = 2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝐹𝐹1 = 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐𝐹𝐹2 = 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑣𝑣𝐹𝐹1 = 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑣𝑣𝐹𝐹2 = 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐Semieje menor OB bSemieje mayor OA a


Con base en la definición deelipse, tenemos que la suma delas distancias de un punto a losfocos 𝐹𝐹1 𝑦𝑦 𝐹𝐹2, siempre va a serconstante y tendrá un valor de2𝑎𝑎, por lo tanto es posibleexpresar la ecuación de laelipse en los siguientes términos.

𝑎𝑎𝐹𝐹1𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦 − 0 2

𝑎𝑎𝐹𝐹1𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦2

𝑎𝑎𝐹𝐹2𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦 − 0 2

𝑎𝑎𝐹𝐹2𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦2

𝐹𝐹1𝑃𝑃 + 𝐹𝐹2𝑃𝑃 = 2𝑎𝑎

𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦2 +𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦2 = 2𝑎𝑎

Ecuación de la elipse

𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦2 = 2𝑎𝑎2

𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 2 = 4𝑎𝑎2 − 4𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦2 +𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦2

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝑐𝑐2 = 4𝑎𝑎2 −4𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝑐𝑐2

−4𝑥𝑥𝑐𝑐 − 4𝑎𝑎2 = −4𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦2

−4 𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝑎𝑎2 = −4𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦2

𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝑎𝑎2 2 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦22

𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝑎𝑎 2 = 𝑎𝑎2 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 + 𝑦𝑦2

𝑥𝑥2𝑐𝑐2 + 2𝑎𝑎2𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝑎𝑎4 = 𝑎𝑎2(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝑐𝑐2 +𝑦𝑦2)𝑥𝑥2𝑐𝑐2 + 2𝑎𝑎2𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝑎𝑎4 = 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 2𝑎𝑎𝑥𝑥𝑐𝑐 +

𝑎𝑎2𝑐𝑐2 + 𝑎𝑎2𝑦𝑦2


𝑥𝑥2𝑐𝑐2 + 𝑎𝑎4 = 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2𝑐𝑐2 + 𝑎𝑎2𝑦𝑦2

𝑥𝑥2𝑐𝑐2 + 𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎2𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2𝑦𝑦2 = 0𝑥𝑥2𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎2𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2𝑦𝑦2 = 0

−1 𝑥𝑥2 𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 =𝑎𝑎2𝑦𝑦2 (−1)−𝑥𝑥2( 𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 =

− 𝑎𝑎2𝑦𝑦2

𝑥𝑥2 −𝑐𝑐2 + 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 = −𝑎𝑎2𝑦𝑦2

𝑥𝑥2 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2𝑏𝑏2 = −𝑎𝑎2𝑦𝑦2

𝑥𝑥2𝑏𝑏2 + 𝑎𝑎2𝑦𝑦2 = 𝑎𝑎2𝑏𝑏2 se divide entre (𝑎𝑎2𝑏𝑏2)𝑥𝑥2

𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 1

𝑥𝑥2

𝑎𝑎2 +𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 1

Ecuación de la elipse en forma canónica, eje focal eje x, centro en el origen.


𝑥𝑥2

𝑎𝑎2 +𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 1

Ecuación de la elipse en suforma canónica, eje focal 𝑥𝑥con centro en el origen.

𝑥𝑥2

𝑏𝑏2 +𝑦𝑦2

𝑎𝑎2 = 1

Ecuación de la elipse enforma canónica, eje focal ycon centro en el origen.El valor mayor →𝑎𝑎2

Conclusiones: en las dosecuaciones anteriores, losvalores de los denominadoresson siempre positivos; deestas el valor mayor le

será asignado a 𝑎𝑎2 y el menor a𝑏𝑏2 de tal manera que siempre seacopla que 𝑎𝑎2 seamayor que 𝑏𝑏2.El valor absoluto mayor ya sea 𝑎𝑎2

o 𝑏𝑏2 nos indicarán en dóndeestán situados los dos focos,sobre el eje y cuando el valor deldenominador de 𝑦𝑦2 sea mayor.En algunos casos aparece eltérmino 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑦𝑦 , esto sucedecuando el eje focal es oblicuo alos ejes coordenados.


𝑥𝑥2

9+ 𝑦𝑦2

25= 1

𝑎𝑎2 = 25; 𝑎𝑎 = 5 Eje focal𝑏𝑏2 = 9; 𝐵𝐵 = 3 𝑦𝑦

Ejemplo: 𝑥𝑥2

16+ 𝑦𝑦2

9= 1

Eje focal 𝑥𝑥𝑎𝑎2 = 16; 𝑎𝑎 = 2𝑏𝑏2 = 9 𝑏𝑏 = 3


Si tenemos una ecuación5𝑥𝑥2 + 2𝑦𝑦2 = 10 , la tenemos quetransformar a su forma canónica.5𝑥𝑥2+2𝑦𝑦2

10= 10

10; 𝑥𝑥2

2+ 𝑦𝑦2

5= 1

Procedimiento para obtener lamagnitud de los lados (LR)ycoordenadas de los puntos extremos.𝑥𝑥2


𝑏𝑏2 = 1𝑐𝑐2


𝑏𝑏2 = 1; 𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 1 − 𝑐𝑐2

𝑎𝑎2

𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2−𝑐𝑐2

𝑎𝑎2 ; 𝑦𝑦2 =𝑏𝑏2 𝑎𝑎2−𝑐𝑐2

𝑎𝑎2

𝑦𝑦 = 𝑏𝑏2 𝑎𝑎2−𝑐𝑐2

𝑎𝑎2 ; 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏2

𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2

𝑦𝑦 = 𝑏𝑏𝑎𝑎

𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 pero 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2;𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 = 𝑏𝑏2

Por tanto 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏𝑎𝑎

𝑏𝑏2

𝑦𝑦 = 𝑏𝑏2

𝑎𝑎Para las coordenadas de los

puntos extremos (LR)𝐿𝐿𝐴𝐴 = 2𝑏𝑏2

𝑎𝑎magnitud de LR


De la ecuación de la elipse 𝑥𝑥2

25+ 𝑦𝑦2

16= 1,

obtener la longitud del lado recto y lascoordenadas de los puntos extremos.𝑃𝑃(𝑐𝑐, 𝑦𝑦)𝑃𝑃′(−𝑐𝑐, 𝑦𝑦)𝑥𝑥2

25+ 𝑦𝑦2

16= 1

𝑎𝑎2 = 25; 𝑎𝑎 = 5𝑏𝑏2 = 16 𝑏𝑏 = 4

𝐿𝐿𝐴𝐴 = 2𝑏𝑏2

𝑎𝑎; 𝐿𝐿𝐴𝐴 = (2)(16)

25; 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 32

5

Para las coordenadas de los puntosextremos


𝑎𝑎; 𝑦𝑦 = 42

52 ; 𝑦𝑦 = 165

Pero son dos puntos 𝑦𝑦

𝑦𝑦1 = 165

; 𝑦𝑦2 = − 165

𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2; 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐2

𝑐𝑐2 = 52 − 42; 𝑐𝑐2 = 9𝑐𝑐1 = 3 𝑐𝑐2 = −3Para el foco ①

𝐿𝐿 −3, 165

𝐴𝐴 −3, − 165

Para el foco ②

𝐿𝐿 3, 165

𝐴𝐴 3, − 165


Excentricidad en una elipse la razón entre𝑐𝑐y𝑎𝑎se le llamaexcentricidad de la elipse.𝑒𝑒 = 𝑐𝑐

𝑎𝑎Donde 𝑐𝑐 es 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑐𝑐𝑓𝑓

Donde 𝑎𝑎 es 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟𝑓𝑓 − 𝑣𝑣𝑑𝑟𝑟𝑡𝑡𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒El valor de la excentricidad varia en 0 y 1.Cuando el valor de 𝑒𝑒 tiende a ser 0, la curva se asemeja auna circunferencia y cuando tiende a ser uno la elipse sehace más angosta y más alargada.


Ejemplo: Dada la ecuaciónde la elipse 9𝑥𝑥2 + 16𝑦𝑦2 = 144obtener el valor de los ejesmayor y menor, ancho focal,la excentricidad,coordenadas de los focos yde los vértices y graficar.

𝑥𝑥2

16+ 𝑦𝑦2

9= 1 Forma canónica

𝑎𝑎2 = 16; 𝑎𝑎 = 4𝑏𝑏2 = 9; 𝑏𝑏2 = 3𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2

𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2

𝑐𝑐2 = 16 − 9; 𝑐𝑐2 = 7Eje mayor: 2𝑎𝑎; 2 4 ; = 8Eje menor: 2𝑏𝑏; 2(3); = 6Coordenadas de los focos:Para 𝐹𝐹2 − 7, 0 , para 𝐹𝐹1 7, 0Para los vertices: 𝑉𝑉 𝑎𝑎, 0 , 𝑉𝑉′ −𝑎𝑎, 0𝑉𝑉1 4,0 , 𝑉𝑉′ −4,0𝐿𝐿𝐴𝐴 = 2𝑏𝑏2

𝑎𝑎; 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 2(9)

4; 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 9

2


Obtener el ancho focal y laecuación de la elipse cuyosvértices son 𝑣𝑣 ± (5,0) y focos(±4,0).

𝑎𝑎 = 5 𝑐𝑐 = 4𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 = 25 − 16𝑏𝑏 = 3𝐿𝐿𝐴𝐴 = 2𝑏𝑏2

𝑎𝑎𝐿𝐿𝐴𝐴 = 18

5ancho focal

𝑥𝑥2


𝑏𝑏2 = 1 𝑥𝑥2

25+ 𝑦𝑦2

9= 1


Dada la elipse de ecuación4𝑥𝑥2 + 5𝑦𝑦2 = 8,obtener el valordel semieje mayor 𝑎𝑎, semiejemenor 𝑏𝑏 y la ecuación enforma canónica,coordenadas de los focos yde los vértices.

4𝑥𝑥2

8+ 5𝑦𝑦2

8= 8

8; 𝑥𝑥2

2+ 5𝑦𝑦2

85

= 1

𝑥𝑥2

2+ 𝑦𝑦2

85

𝑎𝑎2 = 2; 𝑎𝑎 = ± 2

𝑏𝑏2 = 85

; 𝑏𝑏 = ± 85

𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2; 𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2

𝑐𝑐2 = 2 − 85

𝑐𝑐2 = 10−85

; 𝑐𝑐2 = 25

Semieje mayor 𝑎𝑎 = 2

Semieje menor 𝑏𝑏 = 85

𝐹𝐹1 − 25

, 𝑓𝑓 𝑉𝑉 = − 2, 0

𝐹𝐹225

, 0 𝑉𝑉′ 2, 0


Obtener la ecuación de la elipsecon vértice en (0, ±4), que pasapor el punto (1,2).

𝑥𝑥2

𝑏𝑏2 + 𝑦𝑦2

𝑎𝑎2 = 1 Se sustituyen los

valores del punto. 12

𝑏𝑏2 + 22

16= 1

1𝑏𝑏2 = 1 − 4

16; 1

𝑏𝑏2 = 16−416

;1

𝑏𝑏2 = 1216

12𝑏𝑏2 = 16; 3𝑏𝑏2 = 4;𝑏𝑏2 = 4

3

𝑏𝑏 = 43

𝑥𝑥2

43

+ 𝑦𝑦2

16= 1


Ecuación de la elipse concentro en (ℎ, 𝑘𝑘) y eje focalparalelo al eje 𝑥𝑥. Ecuación 𝑥𝑥′ 2

𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦′ 2

𝑏𝑏2 = 1𝑥𝑥 = 𝑥𝑥′ + ℎ; 𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 − ℎ𝑦𝑦 = 𝑦𝑦′ + 𝑘𝑘; 𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦 − 𝑘𝑘𝑥𝑥−ℎ 2

𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦−𝑘𝑘 2

𝑏𝑏2 = 1 Eje paralelo a 𝑋𝑋𝑥𝑥−ℎ 2

𝑏𝑏2 + 𝑦𝑦−𝑘𝑘 2

𝑎𝑎2 = 1 Eje paralelo a 𝑌𝑌Forma ordinaria o reducida.


Obtener la ecuación de laelipse en su forma reducida, laexcentricidad, ancho focal ygraficar de la curva concentro en (−3, 2) y vértices−3, 7 , (−3, −3), focos (−3, 5) y

(−3, −1).

𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑣𝑣 𝑎𝑎 =−3 + 3 2 + 2 − 7 2

𝑎𝑎 = 5 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝐶𝐶𝐹𝐹 𝑐𝑐 =−3 + 3 + 2 + 1 2 𝑐𝑐 = 3

𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 𝑏𝑏2 = 52 − 32;𝑏𝑏20 16 𝑏𝑏 = 4Ecuación 𝑥𝑥−ℎ 2


𝑎𝑎2 = 1𝑥𝑥+3 2

16+ 𝑦𝑦−2 2

25= 1


𝑎𝑎; 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 2 16

5; 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 32

5𝑒𝑒 = 𝑐𝑐

𝑎𝑎; 𝑒𝑒 = 3

5Forma general de la ecuación de la elipse


Para obtener la forma general de la ecuación de la elipse es necesariodesarrollar la forma reducida de la ecuación.Para la elipse con eje paralelo a 𝑋𝑋

𝑥𝑥−ℎ 2

𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦−𝑘𝑘 2

𝑏𝑏2 = 1; 𝑥𝑥2−2𝑥𝑥ℎ+ℎ2

𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦2−2𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑘𝑘2

𝑏𝑏2 = 1;(𝑥𝑥2−2ℎ𝑥𝑥+ℎ2)𝑏𝑏2 𝑦𝑦2−2𝑥𝑥𝑘𝑘+𝑘𝑘2 𝑎𝑎2

𝑎𝑎2𝑏𝑏2 = 1

𝑏𝑏2𝑥𝑥2 − 2𝑏𝑏2ℎ𝑥𝑥 + ℎ2𝑏𝑏2 + 𝑎𝑎2𝑦𝑦2 − 2𝑎𝑎2𝑘𝑘𝑦𝑦 + 𝑎𝑎2𝑘𝑘2 = 𝑎𝑎2𝑏𝑏2

𝑏𝑏2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2𝑦𝑦2 − 2𝑏𝑏2ℎ𝑥𝑥 − 2𝑎𝑎2𝑘𝑘𝑦𝑦 + 𝑏𝑏2ℎ2 + 𝑎𝑎2𝑘𝑘 − 𝑎𝑎2𝑏𝑏2 = 1𝑐𝑐𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐶𝐶𝑦𝑦2 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0𝐴𝐴 = 𝑏𝑏2 𝐶𝐶 = 𝑎𝑎2 𝐷𝐷 = −2𝑏𝑏2𝑘𝑘 𝐸𝐸 = −2𝑎𝑎2𝑘𝑘

Para la elipse con eje paralelo a 𝑌𝑌𝑥𝑥−ℎ 2


𝑎𝑎2 = 1 𝑥𝑥2−2𝑥𝑥ℎ+ℎ2

𝑏𝑏2 + 𝑦𝑦2−2𝑘𝑘𝑦𝑦+𝑘𝑘2

𝑎𝑎2 = 1

𝑎𝑎2𝑥𝑥2 − 2𝑎𝑎2𝑥𝑥ℎ + 𝑎𝑎2ℎ2 + 𝑏𝑏2𝑦𝑦 − 2𝑏𝑏2𝑘𝑘𝑦𝑦 + 𝑏𝑏2𝑘𝑘2 = 𝑎𝑎2𝑏𝑏2

𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏2𝑦𝑦2 − 2𝑎𝑎2ℎ𝑥𝑥 − 2𝑏𝑏2𝑘𝑘𝑦𝑦 + 𝑎𝑎2ℎ2 + 𝑏𝑏2𝑘𝑘2 − 𝑎𝑎2𝑏𝑏2 = 0𝐴𝐴 = 𝑎𝑎2 𝐶𝐶 = 𝑏𝑏2 𝐷𝐷 = −2𝑎𝑎2ℎ 𝐸𝐸 = −2𝑏𝑏2𝑘𝑘 𝐹𝐹 = 𝑎𝑎2ℎ2 +𝑏𝑏2𝑘𝑘2 − 𝑎𝑎2𝑏𝑏2

𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐶𝐶𝑦𝑦2 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0


Ejemplo: Obtener la ecuación de la elipse en su forma reducida y en su forma general.𝑐𝑐 −1,2 , 𝑣𝑣(−1, 7), 𝑉𝑉′ −1, −3 ,𝑒𝑒 = 3

5

𝑒𝑒 = 𝑐𝑐𝑎𝑎

𝐶𝐶 = 3 𝑎𝑎 = 5𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2;𝑏𝑏2 = 25 − 9; 𝑏𝑏2 = 16; 𝑏𝑏 = 4𝑦𝑦−𝑘𝑘 2

𝑎𝑎2 + 𝑥𝑥−ℎ 2

𝑏𝑏2 = 1 𝑦𝑦−2 2

25+ 𝑥𝑥+1 2

16= 1

𝑦𝑦2−4𝑦𝑦+425

+ 𝑥𝑥2+2𝑥𝑥+116

= 116 𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 + 9 + 25 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1 =

40016𝑦𝑦2 − 64𝑦𝑦 + 64 + 25𝑥𝑥2 + 50𝑥𝑥 + 25 =

40016𝑦𝑦2 − 64𝑦𝑦 + 25𝑥𝑥2 + 50𝑥𝑥 − 311 = 0


Reducción de la formageneral de la ecuación.Ejemplo: Obtener la formareducida de la ecuación dela elipse cuya expresión enforma general es 4𝑥𝑥2 + 9𝑦𝑦2 +8𝑥𝑥 − 36𝑦𝑦 + 4 = 04𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦2 − 36𝑦𝑦 = −44 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 9 𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 = −44 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1 + 9()

𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 +4 = −4 + 4 + 364 𝑥𝑥 + 1 2 + 9 𝑦𝑦 − 2 2 = 36dividido entre 36

436

𝑥𝑥 + 1 2 + 936

𝑦𝑦 − 2 2 = 3636

𝑥𝑥+1 2

9+ 𝑦𝑦2−2

2

4= 1 Forma

reducida

Obtener forma reducida de la ecuación de la elipse cuya expresión es 𝑥𝑥2 + 2𝑦𝑦2 − 10𝑥𝑥 +12𝑦𝑦 + 43 = 0𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦2 + 12𝑦𝑦 = −43𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥 + 2 𝑦𝑦2 + 6𝑦𝑦 = −43

(𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥 + 52

+ 2 𝑦𝑦2 + 6𝑦𝑦 + 32

= −43 + 52 + 18𝑥𝑥 − 5 2 + 2 𝑦𝑦 + 3 2 = 43 − 43𝑥𝑥 − 5 2 + 2 𝑦𝑦 + 3 2 = 0

dividido entre 2𝑥𝑥−5 2

2+ 𝑦𝑦+3 2

1= 0

𝑎𝑎2 = 2; 𝑎𝑎 = 2𝑏𝑏2 = 2; 𝑏𝑏 = 1


Obtener la forma reducida de laecuación de la elipse, cuyaexpresión en forma general es 9𝑥𝑥2 +16𝑦𝑦2 − 36𝑥𝑥 − 32𝑦𝑦 − 92 = 0

9𝑥𝑥2 − 36𝑥𝑥 + 16𝑦𝑦2 − 32𝑦𝑦 = 929 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 4 + 16(𝑦𝑦2 − 2𝑦𝑦 + 1)9 𝑥𝑥 − 2 2 + 16 𝑦𝑦 − 1 2 = 144 Entre 144;𝑥𝑥−2 2

16+ 𝑦𝑦−1 2

9= 1

𝑎𝑎 = 4; 𝑏𝑏 = 3; ℎ = 2; 𝑘𝑘 = 1


Simplifica la ecuación9𝑥𝑥2 + 4𝑦𝑦2 − 18𝑦𝑦 − 23 = 0

9𝑥𝑥2 − 18𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦2 + 8𝑦𝑦 = 239 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 4 𝑦𝑦2 + 2𝑦𝑦 = 239 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1 + 4 𝑦𝑦2 + 2𝑦𝑦 + 1 = 23𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1 + 𝑦𝑦2 + 2𝑦𝑦 + 1 = 9 + 4 + 239 𝑥𝑥 − 1 2 + 4 𝑦𝑦 + 1 2 = 369 𝑥𝑥−1 2

36+ 4 𝑦𝑦+1 2

36= 1

𝑥𝑥−1 2

4+ 𝑦𝑦+1 2

9= 1 Referida al sistema

original𝑥𝑥 = 𝑥𝑥′ + ℎ

𝑥𝑥 = 𝑥𝑥′ + 1 →𝑦𝑦 = 𝑦𝑦′ + 𝑘𝑘

𝑦𝑦 = 𝑦𝑦′ − 1 →

𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠𝑡𝑡𝑑𝑑𝑠𝑠𝑟𝑟 𝑥𝑥′+1−12

4+ 𝑦𝑦′−1+1

2

9=

1𝑥𝑥′ 2

4+ 𝑦𝑦′ 2

9= 1 Referida al nuevo sistema


HipérbolaLa hipérbola es el lugargeométrico del conjunto depuntos del plano, tales que elvalor absoluto de la diferenciade sus distancias a los puntosfijos llamados focos, siempre esconstante y menor que ladistancia entre dos focos.

Donde:Focos: 𝐹𝐹1 𝑐𝑐, 0 𝑦𝑦 𝐹𝐹2(−𝑐𝑐, 0)Vértices: 𝑉𝑉1 𝑎𝑎, 0 y 𝑉𝑉2(−𝑎𝑎, 0)Eje focal: 𝑓𝑓𝐹𝐹1𝐹𝐹2= distancia focalCentro focal: 𝐹𝐹1(−𝑐𝑐, 0) y 𝐹𝐹2(𝑐𝑐, 0)Eje conjugado: 𝐵𝐵1(0, 𝑏𝑏) y 𝐵𝐵2(0, −𝑏𝑏)Eje transverso: 𝑉𝑉1(−𝑎𝑎, 0) y 𝑉𝑉2(𝑎𝑎, 0)Punto cualquiera: 𝑃𝑃 𝑥𝑥, 𝑦𝑦Lado recto: 𝐿𝐿𝐴𝐴Centro: 𝐶𝐶(0, 0)

Ecuación de asíntota 𝑦𝑦 = ± 𝑏𝑏𝑎𝑎

𝑥𝑥


𝐻𝐻 = {𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)||𝑎𝑎(𝑃𝑃; 𝐹𝐹1)– 𝑎𝑎(𝑃𝑃; 𝐹𝐹2)| =2𝑎𝑎 = 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒}Si la distancia entre dos focos es𝑎𝑎 𝐹𝐹1, 𝐹𝐹2 = 2𝑐𝑐, la condición paraque sea una hipérbola es:𝑐𝑐 > 𝑎𝑎 > 0; 𝑐𝑐2 > 𝑎𝑎2; 𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏2;⇒ 𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2

2𝑎𝑎 = Longitud lado transverso𝑎𝑎 = Semieje real o transverso2𝑏𝑏 = Longitud lado conjugado𝑏𝑏 = 𝑓𝑓 Semieje conjugado oimaginario2𝑐𝑐 = Distancia focal𝑐𝑐 = Distancia del centro al focoSe cumple 𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2

Ecuación de la hipérbola concentro en el origen de los ejesde los ejes coordenados.


Las ecuaciones anterioresmuestran que la curva essimétrica respecto de los dosejes coordenados y el origen.En cada hipérbola 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, estánligados por la relación 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐2 −𝑎𝑎2; 𝑐𝑐2 = 𝑏𝑏2 + 𝑎𝑎2; 𝑎𝑎2 = 𝑐𝑐2 − 𝑏𝑏2

La condición característica quedistingue a la hipérbola conrespecto a las demás curvasesque: 𝐴𝐴𝑐𝑐 < 0 , entonces laexpresión correspondiente a lagráfica de una hipérbola o ensu defecto a un par de rectasque se cruzan.

Ecuación canónica de la hipérbolacon centro en (0, 0) y eje transverso 𝑥𝑥:

𝑥𝑥2

𝑎𝑎2 −𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 1

Ecuación canónica de la hipérbolacon centro en (0, 0) y eje transverso 𝑥𝑥:

𝑦𝑦2

𝑎𝑎2 −𝑥𝑥2

𝑏𝑏2 = 1

Para reconocer dada la ecuacióncanónica de una hipérbola si el ejefocal es vertical u horizontal: si elcoeficiente de 𝑥𝑥2 es positivo seencuentra en 𝑥𝑥, si el coeficiente de 𝑦𝑦2

es positivo, el eje focal está en 𝑦𝑦.Los denominadores siguen el orden𝑎𝑎2, 𝑏𝑏2 y el numerador que correspondael signo + indicará el eje transverso y −eje conjunto.


Obtener la ecuación de lahipérbola, magnitud de los ejestransversos y conjugados si𝑉𝑉1(3, 0) 𝑉𝑉2(−3, 0) , 𝐹𝐹1(5, 0) ,𝐹𝐹2(−5, 0).

𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2

𝑎𝑎 = 3,𝑐𝑐 = 5𝑏𝑏 =Semieje conjugado.

𝑏𝑏2 = 25 − 9; 𝑏𝑏2 = 16; 𝑏𝑏 = 4Ecuación: 𝑥𝑥2

9− 𝑦𝑦2

16= 1

Eje transverso: 2𝑎𝑎; 2 3 = 6.Eje conjugado 2𝑏𝑏; 2 4 = 8.


Obtener la ecuación de lahipérbola, longitud del ejetransverso y eje conjugado, sisus vértices son𝑉𝑉1 0, 2 , 𝑉𝑉2(0, −2) y𝐹𝐹1(0,39) 𝐹𝐹2(0, −3).𝑎𝑎 = 2; 𝑏𝑏 = semiejeconjugado; 𝑐𝑐 = 3.

𝑎𝑎 = 2; 𝑏𝑏 =semieje conjugado;𝑐𝑐 = 3.Eje transverso: 2𝑎𝑎2𝑎𝑎 = 2(2); Eje transverso = 4Eje conjugado: 2𝑏𝑏2𝑏𝑏 = 2 5 ; Eje conjugado = 2 5

𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2; 9 = 4 + 𝑏𝑏2;𝑏𝑏2 = 5Ecuación de la hipérbola:

𝑦𝑦2

4−

𝑥𝑥2

5= 1


Lado recto de la hipérbola: lacuerda que pasa por un focoy es perpendicular al eje focal,se llama lado recto de lahipérbola, y al mediarloobtenemos el ancho focal deesta curva.

𝑥𝑥2

𝑎𝑎2 − 𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 1 Para conocer 𝑦𝑦. 𝑐𝑐2


𝑏𝑏2 =

1 − 𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 1 − 𝑐𝑐2

𝑎𝑎2 ; 𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐2

𝑎𝑎2 − 1;𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐2−𝑎𝑎2

𝑎𝑎2 ⇒ 𝑦𝑦2 = 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2−𝑎𝑎2

𝑎𝑎2

𝑦𝑦 = 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2−𝑎𝑎2

𝑎𝑎2 ; 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏2

𝑎𝑎2 𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2 ;


𝑎𝑎2 𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2;

Pero 𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏2: 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏2

𝑎𝑎2 𝑏𝑏2;

𝑦𝑦 = ± 1𝑎𝑎

𝑏𝑏; 𝑦𝑦 = ± 𝑏𝑏2

𝑎𝑎

𝑦𝑦 = ± 𝑏𝑏2

𝑎𝑎𝐿𝐿𝐴𝐴 = 2𝑏𝑏2

𝑎𝑎


Pero nunca llega a cortar lacurva, entonces cuando unacurva y una recta serelacionan de esa manera sedice que la recta es unaasíntota de la curva.

Una hipérbola siempre tienedos asíntotas, y estas se cruzanen el centro de la hipérbola.

Excentricidad de la hipérbola:La razón que existe entre losvalores de “c y a” expresadacomo cociente, se denominaexcentricidad de la hipérbola.


; 𝑒𝑒 > 1

Asíntotas de la hipérbola: sipara una curva dada existeuna recta tal que a medidaque nos alejamosindefinidamente del origen, ladistancia de ese punto a larecta decrece continuamentey tiende a cero.


Hipérbola horizontal.𝑥𝑥2


𝑏𝑏2 = 1 𝑏𝑏2𝑥𝑥2−𝑎𝑎2𝑦𝑦2

𝑎𝑎2𝑏𝑏2 = 1;

𝑏𝑏2𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎2𝑦𝑦2 = 𝑎𝑎2𝑏𝑏2 = 0𝑏𝑏2𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎2𝑦𝑦2 = 0;𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 𝑏𝑏𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 0𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 0 𝑏𝑏𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 0𝑎𝑎𝑦𝑦 = −𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑏𝑏𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑦𝑦

𝑦𝑦 = − 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑎𝑎

𝑦𝑦 = 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑎𝑎


Lado recto: 𝑥𝑥2


𝑏𝑏2 = 1

𝑦𝑦 = ± 𝑏𝑏2

𝑎𝑎𝐿𝐿𝐴𝐴 = 2𝑦𝑦


𝑎𝑎𝑒𝑒 = 𝑐𝑐

𝑎𝑎


Asíntotas: 𝑥𝑥2


𝑏𝑏2 = 1;𝑥𝑥2𝑏𝑏2−𝑦𝑦2𝑎𝑎2

𝑎𝑎2𝑏𝑏2 = 1; 𝑏𝑏2𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎2𝑏𝑏2

𝑏𝑏2𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2𝑎𝑎2 = 0; 𝑏𝑏𝑥𝑥 2 −𝑎𝑎𝑦𝑦 2 = 0; 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 (

)𝑏𝑏𝑥𝑥 −

𝑎𝑎𝑦𝑦 = 0Hipérbola horizontal:Ecuación de la asíntota ypendiente.

𝑏𝑏𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 0 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑎𝑎

𝑚𝑚 = 𝑏𝑏𝑎𝑎

Ecuación y pendiente de laasíntota.

𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 0 𝑦𝑦 = − 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑎𝑎

𝑚𝑚 = − 𝑎𝑎𝑏𝑏

Hipérbola vertical:𝑚𝑚 = 𝑎𝑎

𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑎𝑎

𝑏𝑏𝑥𝑥

𝑚𝑚 = − 𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑦𝑦 = − 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑏𝑏


Obtener las ecuaciones de lasasíntotas de las hipérbolas:

4𝑦𝑦2 − 9𝑥𝑥2 = 36

Obtener la ecuación de laasíntota

4𝑦𝑦2 − 5𝑥𝑥2 = 204𝑦𝑦2

36− 9𝑥𝑥2

36= 36

36; 𝑦𝑦2

9− 𝑥𝑥2

4= 1

4𝑦𝑦2 − 9𝑥𝑥2 = 36 4𝑦𝑦2 − 9𝑥𝑥2 = 0;4𝑦𝑦2 − 9𝑥𝑥2 = 0; 2𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥 (

)2𝑦𝑦 −

3𝑥𝑥 = 0

2𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥 = 0; 𝑦𝑦 = − 3𝑥𝑥2

Asíntota ②

2𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥 = 0; 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥2

Asíntota ①

𝑦𝑦2

5− 𝑥𝑥2

4= 1 4𝑦𝑦2 − 5𝑥𝑥2 = 0

2𝑦𝑦 − 5 𝑥𝑥 2𝑦𝑦 + 5 𝑥𝑥 = 0

2𝑦𝑦 − 5 𝑥𝑥 = 0; 𝑦𝑦 = 5 𝑥𝑥2

2𝑦𝑦 + 5 𝑥𝑥 = 0; 𝑦𝑦 = − 5 𝑥𝑥2


Obtener la ecuación de lasasíntotas de la hipérbola 9𝑥𝑥2 −16𝑦𝑦2 = 144

𝑥𝑥2

16− 𝑦𝑦2

9= 1 9𝑥𝑥2 − 16𝑦𝑦2 = 144

9𝑥𝑥2 − 16𝑦𝑦2 = 0; 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 03𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 0; 𝑦𝑦 = − 3𝑥𝑥

4

3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 0; 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥4

𝑎𝑎2 = 16 𝑏𝑏2 = 9𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2; 𝑐𝑐2 = 25; 𝑐𝑐 = 5


𝑎𝑎; 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 18

4; 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 4.5

El positivo es 𝑥𝑥2

𝑦𝑦 = − 3𝑥𝑥4

𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥4


Ecuación de la hipérbola dadauna ecuación de la asíntota.Obtener la ecuación de lahipérbola que tiene su centro enel origen, su eje focal sobre el eje𝑥𝑥, pasa por (3, 1) y una de susasíntotas es la recta 2𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 0Binomios conjugados

2𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 0 →2𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 𝑘𝑘4𝑥𝑥2 − 25𝑦𝑦2 = 𝑘𝑘Graficamos las asíntotas2𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 0 2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 0𝑥𝑥 │ 𝑦𝑦 𝑥𝑥 │ 𝑦𝑦5 │ −2 5 │ 2

Para obtener 𝑘𝑘 sustituimos𝑃𝑃(3, 1) en 2𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 02 3 + 5 1 2 3 − 5 1 = 𝑘𝑘

𝑘𝑘 = 11 2𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 114𝑥𝑥2 − 25𝑦𝑦2 = 11Pasar a la forma canónica:4

11𝑥𝑥2 − 25

11= 1


Obtener la ecuación de lahipérbola cuyos vértices son𝑉𝑉1 3,0 , 𝑉𝑉2 −3,0 . Y una de lasasíntotas desde la recta 𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥 = 0Graficar.

Ecuaciones asíntotas𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥 = 0 𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 = 0𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥 │ 𝑦𝑦 𝑥𝑥 │ 𝑦𝑦2 │−4 2 │ 4𝑚𝑚 = −2 𝑚𝑚 = 2𝑚𝑚 = 𝑏𝑏

𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏

3; 𝑏𝑏 = 6

𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 = 9 + 36;𝑐𝑐2 = 45; 𝑐𝑐 = 45 𝑐𝑐 = 6.7


𝑒𝑒 = 453

𝑒𝑒 = 2.23𝑥𝑥2


𝑏𝑏2 = 1 𝑥𝑥2

9− 𝑦𝑦2

36= 1


𝑎𝑎; 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 2 36

3; 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 24


Fin del Módulo

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