problemas resueltos tercera partechopo.pntic.mec.es/jmillan/pr_em.pdf1.1 campo el ectrico problemas...

IES Rey Fernando VISan Fernando de HenaresDepartamento de Fısica y Quımica

Problemas ResueltosTercera Parte

Campo ElectricoCampo Magnetico

Induccion Electromagnetica

Profesor : Jesus Millan CrespoGrupo : Fisica 2o BachilleratoFecha : 9 de junio de 2010

Problemas resueltos

1. Electromagnetismo

1.1. Campo electrico

1. Entre dos placas planas y paralelas separadas 5 cm, se estableceuna diferencia de potencial de 1500 V. Un proton se libera de pla-ca positiva en el mismo instante en que un electron se libera de laplaca negativa. Determinar:a) A que distancia de la placa positiva se cruzan.b) La velocidad y la energıa cinetica con la que llegan cada uno deellos a la respectiva placa opuesta.Datos: Carga elemental e = 1, 6 · 10−19 C; masa del electron me =9, 109 · 10−31 kg; masa del proton mp = 1, 672 · 10−27 kg.Solucion:

a) Si d=5 cm y V=1500 V ⇒ E =V

d⇒ E =

1500

5 · 10−2⇒ E = 30000 V/m.

La aceleracion que experimenta cada partıcula sera:

a =F

m

a =qE

m

⇒ae =

1, 6 · 10−19 · 3 · 104

9, 109 · 10−31⇒ ae = 5, 27 · 1015 m/s2

ap =1, 6 · 10−19 · 3 · 104

1, 672 · 10−27⇒ ap = 2, 87 · 1012 m/s2

El tiempo que tardan en encontrarse sabiendo que se + sp = 5 · 10−2 m es:

se =1

2ae t2

sp =1

2ap t2

⇒5 · 10−2 =

1

2(5, 27 · 1015 + 2, 87 · 1012)t2 ⇒ t = 4, 35 · 10−9 s

⇒ se = 4, 997 · 10−2 m y sp = 2, 73 · 10−5 mb) El tiempo que tarda el electron en llegar a la otra placa es:

5 · 10−2 =1

25, 27 · 1015 t2e ⇒ te = 4, 356 · 10−9 s

La velocidad y la energıa cinetica que adquiere el electron es:ve = aete ⇒ ve = 5, 27 · 1015 · 4, 356 · 10−9 ⇒ ve = 2, 295 · 107 m/s

Ec =1

2mev

2e ⇒ Ece =

1

29, 109 · 10−31 · (2, 295 · 107)2 ⇒ Ece = 2, 4 · 10−16 J

Que tiene que ser igual al trabajo para desplazar un electron a traves de unadiferencia de potencial de 1500 V ⇒ W = q∆V ⇒ W = 2, 4 · 10−16 JPara el proton sera la misma energıa cinetica porque la carga y la diferenciade potencial son las mismas.El tiempo que tarda el proton en llegar a la otra placa es:

5 · 10−2 =1

22, 87 · 1012 t2p ⇒ tp = 1, 866 · 10−7 s (100 veces mas que el e)

La velocidad y la energıa cinetica que adquiere el proton es:vp = aptp ⇒ vp = 2, 87 · 1012 · 1, 866 · 10−7 ⇒ vp = 5, 357 · 105 m/s

IES Rey Fernando VI 1 Dpto. de Fısica y Quımca

1.1 Campo electrico Problemas resueltos

Ecp =1

2mpv

2p ⇒ Ecp =

1

21, 672 · 10−27 · (5, 357 · 105)2 ⇒ Ecp = 2, 4 · 10−16 J

Como estaba previsto.

2. Dos cargas puntuales Q1 = 2 · 10−6 C y Q2 = −3 · 10−6 C se en-cuentran en el vacıo y estan separadas una distancia de 50 cm.Determinar:a) La posicion del punto situado en el segmento que une ambascargas donde el potencial es cero.b) El modulo, la direccion y el sentido del vector intensidad decampo electrico en el punto encontrado en el apartado anterior.Datos: Constante de la ley de Coulomb K = 9 · 109 Nm2C−2.Solucion:El potencial se anulara en un punto intermedio a las dos cargas, a una dis-tancia x de Q1.

V = V1 + V2 ⇒ 0 = ¶¶kQ1

x+ ¶¶k

Q2

d− x⇒ 2 · 10−6

3 · 10−6=

x

50− x⇒ x = 20 cm

b) El campo electrico sera la suma vectorial de los campos creados por ambascargas, que en este caso tienen la misma direccion y sentido.

~E = ~E1 + ~E2 ⇒ ~E = (| ~E1|+ | ~E2|)~i ⇒ ~E = 9 · 109(2 · 10−6

0, 22+

3 · 10−6

0, 32

)~i

⇒ ~E = 7, 5 · 105 ~i N/C

3. Un chorro de electrones es acelerado mediante una diferenciade potencial de 3, 5 · 103 voltios. Calcula la velocidad que alcanzacada uno de los electrones del chorro. Con esta velocidad los elec-trones entran en un campo electrico uniforme decelerador que haceque estos se detengan despues de haber recorrido una distancia de30 cm desde su entrada en este campo. Indica la direccion y sentidodel vector intensidad de campo electrico decelerador y calcula elvalor de su modulo.Datos: carga del electron e = −1, 6 · 10−19 C; masa del electronme = 9, 109 · 10−31 kg.Solucion:El trabajo electrico se convierte en energıa cinetica de los electrones.

qV =1

2mv2 ⇒ v =

√2 · 1, 6 · 10−19 · 3, 5 · 103

9, 109 · 10−31⇒ v = 3, 5 · 107 m/s

El electron se vera sometido a una fuerza opuesta que frena y decelera sumarcha hasta pararlo en 30 cm.v2 = v2

0 + 2ae ⇒ 0 = (3, 5 · 107)2 − 2a · 0, 3 ⇒ a = 2, 05 · 1015 m/s2.



F = qE

ma = qE⇒

E =m

qa

E =9, 109 · 10−31

2, 05 · 1015 · 1, 6 · 10−19

⇒ E = 1, 167 · 104 N/C

3,5·10 V3

E

v

Figura 1: ejercico 3

4. Tenemos un campo electrico uniforme, dirigido verticalmente ha-cia abajo, cuya intensidad es de 10−11 N/C. Se situa un electron a 10m de altura sobre el suelo, sometido a la accion del campo electricoy del campo gravitatorio, a) ¿en que sentido y con que aceleracionse movera? b) ¿que tiempo tardara en llegar al suelo? ¿o no caera?Datos: Masa del electron me = 9, 109 · 10−31 kg; Carga del electrone = 1, 6 · 10−19 C; Gravedad terrestre g = 9, 8 ms−2.Solucion:a) Las cargas positivas se desplazan en el mismo sentido que el campo electri-co y las negativas en sentido contrario.

∑Fi = ma

Fe − P = ma

a =qE −mg

m

⇒ a =1, 6 · 10−19 · 10−11

9, 109 · 10−31− 9, 8 ⇒ a = −8, 09 m/s2

b) El tiempo que tarda en llegar al suelo con esta aceleracion es:

h =1

2at2 ⇒ t =

√2h

a⇒ t =

√2 · 10

8, 04⇒ t = 1, 58 s

5. Se mide el campo electrico en los diferentes puntos de la su-perficie de una esfera hueca de radio 10 cm, comprobandose que sumodulo es constante e igual a 3, 8 · 104 N/C, la direccion en todosellos es radial y el sentido hacia el exterior de la esfera. Determi-nar:a) El flujo electrico a traves de la superficie de la esfera.b) La carga encerrada por esa superficie.



Datos: Medio el vacıo. Constante de la ley de Coulomb K = 9 · 109

Nm2C−2.Solucion:a) El flujo electrico a traves de la superficie de la esfera es:Φ = E · S ⇒ Φ = 3, 8 · 104 · 4π · 0, 12 ⇒ Φ = 4, 775 · 103 Vmb) Segun el teorema de Gauss, el flujo electrico que atraviesa una superficiecerrada es igual a la carga encerrada partido por la constante dielectrica delmedio.Φ =

q

ε0

⇒ Q = 4, 775 · 103 · 8, 84 · 10−12 ⇒ Q = 4, 22 · 10−8 C

Y la carga tiene que ser positiva porque el vector campo electrico apuntahacia el exterior de la esfera.

6. Se tienen dos cargas electricas puntuales de 3 µC cada una, unapositiva y la otra negativa, colocadas a una distancia de 20 cm.Calcular la intensidad de campo electrico y el potencial electricoen los siguientes puntos:a) En el punto medio del segmento que las une.b) En un punto equidistante 20 cm de ambas cargas.Datos: Medio el vacıo. Constante de la ley de Coulomb K = 9 · 109

Nm2C−2.Solucion:

20 cm

20 cm3 µC -3 µC


a) En el punto medio.El potencial sera la suma escalar de los potenciales que crea cada carga enel punto.

V = V1 + V2 ⇒ V = k+q

d/2+ k

−q

d/2⇒ V = 0 V

El campo electrico sera la suma vectorial de las intensidades de campo en elpunto.

~E = ~E1 + ~E2 = 2 ~E1 ⇒ ~E = 2kq

(d/2)2~i ⇒ ~E = 2 · 9 · 109 3 · 10−6

0, 12~i ⇒

~E = 5, 4 · 106 ~i N/C



b) Si el punto esta a 20 cm de ambas cargas, esta en un punto de la me-diatriz del segmento que une las cargas.El potencial sera la suma escalar de los potenciales que crea cada carga enel punto.

V = V1 + V2 ⇒ V = k+q

d+ k

−q

d⇒ V = 0 V

El campo electrico sera la suma vectorial de las intensidades de campo en elpunto.

~E = ~E1+ ~E2 = 2 ~E1 cos α ⇒ ~E = 2kq

(d)2cos α~i ⇒ ~E = 2·9·109 3 · 10−6

0, 22

10

20~i ⇒

~E = 6, 75 · 105 ~i N/C

7. a) ¿Que diferencia de potencial debe existir entre dos puntosde un campo electrico uniforme para que un electron que se mue-va entre ellos, partiendo del reposo, adquiera una velocidad de 106

m/s? ¿Cual sera el valor del campo electrico si la distancia entreestos dos puntos es 5 cm? b) ¿Que energıa cinetica posee el electrondespues de recorrer 3 cm. desde el reposo?Datos: Masa del electron me = 9, 109 · 10−31 kg; Carga del electrone = 1, 6 · 10−19 C.Solucion:a) El trabajo electrico realizado por el campo se invierte en incrementar laenergıa cinetica.

W = ∆Ec

qV =1

2mv2

⇒V =

mv2

2q

V =9, 109 · 10−31(106)2

2 · 1, 6 · 10−19

⇒ V = 2, 846 V

El campo electrico uniforme entre dos puntos sometidos a una diferencia depotencial separados una distancia d es:

E =V

d⇒ E =

2, 846

5 · 10−2⇒ E = 56, 93 N/C

b) La diferencia de potencial a 3 cm de distancia dentro de un campo uni-forme sera:V = Ed ⇒ V = 56, 93 · 3 · 10−2 ⇒ V = 1, 7079 V.Y el trabajo elecrico bajo esta diferencia de potencial se convierte en un in-cremento de la energıa cinetica:∆Ec = qV ⇒ Ec = 1, 6 · 10−19 · 1, 7079 ⇒ Ec = 2, 73 · 10−19 J o 1, 71 eV

8. Dos pequenas esferas iguales, de 5 N de peso cada una, cuel-gan de un mismo punto fijo mediante dos hilos identicos, de 10 cmde longitud y de masa despreciable. Si se suministra a cada una deestas esferas una carga electrica positiva de igual cuantıa se sepa-



ran de manera que los hilos forman entre si un angulo de 60o en laposicion de equilibrio. Calcular:a) El valor de la fuerza electrostatica ejercida entre las cargas delas esferas en la posicion de equilibrio.b) El valor de la carga de las esferas.Datos: Constante de la ley de Coulomb K = 9 · 109 Nm2C−2.Solucion:

10 cm

60º

qq

Fe

P


a) Segun se ve en el dibujo tg α =Fe

P⇒ Fe = P · tg α

Fe = 5

√3

3⇒ Fe = 2, 89 N

b) La fuerza electrica es: Fe = kq2

d2⇒

2, 89 = 9 · 109 q2

(2 · 0, 1 · sen 30o)2⇒ q = 1, 79 µC

9. ¿Puede existir diferencia de potencial electrico entre dos puntosde una region en la cual la intensidad de campo electrico es nula?¿Que relacion general existe entre el vector intensidad de campoelectrico y el potencial electrico? Razona las respuestas.Solucion:

~E = −dV

d~r⇒ dV = − ~E d~r ⇒ V = −

∫ B

A

~E d~r

Y si el campo ~E es nulo no puede existir diferencia de potencial.La relacion entre el campo electrico y el potencial es:

~E = −~∇V o ~E = − d

d~rV (x, y, x)

~E = − d

dxV (x, y, x) ~i− d

dyV (x, y, x) ~j − d

dzV (x, y, x) ~k



10. Si una carga electrica negativa se desplaza en un campo electri-co uniforme a lo largo de una lınea de fuerza bajo la accion de lafuerza del campo:a) ¿Como varıa la energıa potencial de la carga al pasar esta desdeun punto A a un punto B del campo?b) ¿Donde sera mayor el potencial electrico del campo en A o enB? Razona las respuestas.Solucion:

A

B

E

A

BE


a) El trabajo realizado por un fuerza conservativa se invierte en disminuir laenergıa potencial (teorema de la energıa potencial).Puesto que la variacion de energıa potencial es negativa WFc = −∆Ep ⇒ laEp disminuyes y EpB < EpA

b) Las cargas positivas se dirigen bajo la accion de un campo hacia menorespotenciales, una carga negativa se dirigira en sentido contrario y VB > VA

11. A una distancia “r”de una carga puntual “Q”, fija en un pun-to O, el potencial electrico es V=400 V y la intensidad de campoelectrico es E=100 N/C. Si el medio considerado es el vacıo, deter-minar:a) Los valores de la carga “Q” y de la distancia “r”.b) El trabajo realizado por la fuerza del campo al desplazarse unacarga de 1 µC, desde la posicion que dista de O el valor “r” cal-culado, hasta una posicion que diste de O el doble de la distanciaanterior.Datos: Constante de la ley de Coulomb K = 9 · 109 Nm2C−2.Solucion:a) A partir de la expresion del potencial y el campo electrico de una cargapuntual:

V = kQ

r

E = kQ

r2

⇒ V

E= r ⇒ 400

100= r ⇒ r = 4 m y Q = 1, 78 · 10−7 C

b) El trabajo realizado para desplazar una carga a traves de una diferencia



de potencial es:

W = q(V1 − V2)

W = 10−6(400− 9 · 109 1, 78 · 10−7

8

) ⇒

W = 10−6(400− 200)

W = 2 · 10−4 J

12. a) ¿Como varıa la fuerza que ejercen entre sı dos partıculas demasa m y carga +q, separadas una distancia d, cuando se duplicansimultaneamente su masa, su carga y la distancia de separacion?b) Si la carga que posee cada partıcula es de 1 Culombio ¿Cual hade ser su masa para que la fuerza entre ellas sea nula?Datos: Constante de Gravitacion G = 6, 67 · 10−11 N ·m2 · kg−2; Per-mitividad del vacıo ε0 = 8, 85 · 10−12 N−1m−2C2.Solucion:a) La fuerza electrica es mucho mayor que la fuerza gravitatoria, del ordende 1020 veces mayor y por lo tanto es despreciable. No la consideramos.

Fe = kq · qr2

F ′e = k

2q · 2q(2r)2

⇒ Fe = F ′e

y tanto la Fe como la Fg se mantienen constantes

b) La Fe debe ser igual a la Fg.

Fe = Fg

k1 · 1r2

= Gm2

r2

⇒ m =

√k

G⇒ m =

√9 · 109

6, 67 · 10−11⇒ m = 1, 16 · 1010 kg

13. Un campo electrico viene dado por la expresion ~E = 2x~i − ~j(V/m), hallar:a) El potencial electrico en cualquier punto del plano XY, tomandoel origen de coordenadas como origen del potencial.b) El trabajo realizado sobre una carga de 10−8 C para llevarladesde el punto (1,1) al (2,4) interpretando el resultado.Solucion:

a) El campo electrico es el menos gradiente del potencial ~E = −dV (x, y, z)

d~r⇒

~E = −dV (x, y)

dx~i− dV (x, y)

dy~j que comparando con ~E = 2x ~i− ~j

− dV

dx= 2x ⇒

∫ V

0

dV =

∫ x

0

−2x dx ⇒ V = −2x2

2+ V (y)

− dV

dy= −1 ⇒ −dV (y)

dy= −1 ⇒

∫ V

0

dV (y) =

∫ y

0

dy ⇒ V (y) = y

La funcion potencial es entonces: V = −x2 + y



Se puede comprobar que ~E = −dV

d~r

~E = −dV (x, y)

dx~i− dV (x, y)

dy~j

~E = 2x ~i− ~jb) El trabajo realizado para desplazar una carga a traves de una diferenciade potencial es:

W = q(V(1,1) − V(2,4))V(1,1) = −12 + 1 ⇒ V(1,1) = 0V(2,4) = −22 + 4 ⇒ V(2,4) = 0

⇒ W = 0 J

Y no se realiza ningun trabajo al desplazarse a traves de una superficieequipotencial.

14. Se tienen dos cargas electricas iguales y de signo opuesto, devalor absoluto 10−9 C, situadas en el plano XY, en los puntos (-1,0)la carga positiva y (1,0) la carga negativa. Sabiendo que las distan-cias estan dadas en m, se pide:a) El potencial y el campo electrico en los puntos A (0,1) y B (0,-1).b) El trabajo necesario para llevar un electron desde A hasta B,interpretando el resultado.Datos: Valor absoluto de la carga del electron e = 1, 6 · 10−19 C; Per-mitividad del vacıo ε0 = 8, 85 · 10−12 N−1m−2C2.Solucion:

+1 nC-1 nC

A(0,1)

B(0,-1)


a) El potencial electrico sera la suma de los potenciales electricos que crea ca-da carga en dicho punto. Las cargas son iguales y de signos contrarios, y estana la miasma distancia del los puntos (0,1) y (0,-1)⇒ V(0,1) = V(0,−1) = 0 V



El campo electrico, sin embargo, sera la suma de los campos electricos quecrea cada carga en dicho punto y que seran iguales en modulo pero no ası endireccion.

~E = ~E1+ ~E2 ⇒ ~E = 2 ~E1 cos α ⇒ E = 2·9·109 10−9

(√

2)2

1√2⇒ E = 6, 364 N/C

b) Si no hay diferencia de potencial entre ambos puntos no se realiza trabajo:W = q(V(0,1) − V(0,−1)) ⇒ W = 0 J

15. Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 µC cada una, seencuentran situadas en el plano XY en los puntos (0,5) y (0,-5),respectivamente, estando las distancias expresadas en metros.a) ¿En que punto del plano el campo electrico es nulo?b) ¿Cual es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desdeel punto (1,0) al punto (-1,0)?Solucion:a) Se quiere determinar el campo electrico en un punto cualquiera del espacio(x,y) creado por las dos cargas iguales.−→E =

−→E1 +

−→E2 ⇒ −→

E = kq

r31P

−→r1P + kq

r32P

−→r2P

−→E = k

q(√(x− 5)2 + y2

)3 (x, y − 5) + kq(√

(x + 5)2 + y2)3 (x, y + 5)

Y se pregunta en que punto se anula el campo.x + x = 0 ⇒ x = 0 e y − 5 + (y + 5) = 0 ⇒ y = 0.Y solamente en el punto P(0,0) se anula el campo electricob) El trabajo necesario para desplazar una carga entre dos puntos de uncampo electrico es: W = q(VP1 − VP2), pero VP1 = VP2, porque el potencial

V = kq

ry en ambos casos la carga, q y la distancia, r son iguales.

⇒ W = q(VP1 − VP2) =⇒ W = 0 J

16. Los puntos A,B y C son los vertices de un triangulo equilaterode 2 m de lado. Dos cargas iguales positivas de 2 µC estan en A yB.a) ¿Cual es el campo electrico en el punto C?b) ¿Cual es el potencial en el punto C?c) ¿Cuanto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5µC desde el infinito hasta el punto C si se mantienen fijas las otrascargas?d) Responder al apartado anterior c) si la carga situada en B sesustituye por una carga de -2 µC.Datos: Permitividad del vacıo ε0 = 8, 85 · 10−12 N−1m−2C2.



Solucion:a) El campo creado en el punto C por las cargas colocadas en A y B es:−→EC =

−→EA +

−→EB ⇒ −→

EC = kq

r3AC

−−→rAC + kq

r3BC

−−→rBC

−→EC = k

q

23(1,√

3) + kq

23(−1,

√3) ⇒ −→

EC = kq

23(0, 2

√3)

⇒ −→EC = 7, 794 · 103 N/C

b) El potencial en C creado por las cargas A y B es:VC = VAC + VBC ⇒ VC = 2 q

r=⇒ VC = 1, 8 · 104 V

c) El trabajo para desplazar una carga de 5 µC desde el infinito hasta C es:W = q(V∞ − VC) =⇒ W = −9, 0 · 10−2 JLas cargas positivas dentro de un campo se desplazan hacia potenciales de-crecientes, en este caso al desplazarse hacia un potencial mayor el trabajo nolo realiza el campo y sera negativo.d) Si la carga colocada en B es igual y de signo contrario a la colocada enA, entonces el potencial en C es cero, VC = 0 y el trabajo necesario paradesplazar la carga de 5 µC desde el infinito hasta C es: W = q(V∞−VC) =⇒W = 0 J

EAEB

qBqA

C

Figura 6: Intensidad de campo electrico

17. Tres cargas positivas e iguales de valor q=2 µC cada una seencuentran situadas en tres de los vertices de un cuadrado de lado10 cm. Determine:a) El campo electrico en el centro del cuadrado, efectuando un es-quema grafico en su explicacion.b) Los potenciales en los puntos medios de los lados del cuadradoque unen las cargas y el trabajo realizado al desplazarse la unidadde carga entre dichos puntos.Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacıo k = 9 · 109

Nm2C−2.Solucion:



a) El potencial electrico en el centro del cuadrado es debido a las tres cargas,pero al ser las cargas iguales EA y EC se nulan:−→E = ¡

¡−→EA +−→EB +¡

¡−→EC ⇒ |−→E | = Kq

r2=⇒ |−→E | = 3, 6 · 106 N/C

b) Los potenciales en los puntos medios de cada lado tienen que ser iguales,por la simetria de la figura. V1 = V2 y V1 = VA1+VB1+VC1 ⇒ V1 = 2VA1+VC1

⇒ V1 = 2kq

rA1

+ kq

rC1

=⇒ V1 = V2 = 8, 81 · 105 V

El trabajo par desplazar la carga entre dos puntos es: W = q(V1−V2) y comoel potencial es igual, V1 = V2 el trabajo es nulo. W = 0 J

q

q q

A

B C

1

2

Figura 7: Intensidad de campo electrico

18. Dos cargas fijas Q1 = +12, 5 nC y Q2 = −2, 7 nC se encuentransituadas en los puntos del plano XY de coordenadas (2,0) y (-2,0) respectivamente. Si todas las coordenadas estan expresadasen metros, calcule:a) El potencial electrico que crean estas cargas en el punto A (-2,3).b) El campo electrico creado por Q1 y Q2 en el punto A.c) El trabajo necesario para trasladar un ion de carga negativaigual a −2e del punto A al punto B, siendo B (2,3), indicando si esa favor o en contra del campo.d) La aceleracion que experimenta el ion cuando se encuentra enel punto A.Datos: Carga del electron e = 1, 6 · 10−19 C; Constante de la ley deCoulomb en el vacıo k = 9 ·109 Nm2C−2; Masa del ion M = 3, 15·10−26

kg.Solucion:



A (-2,3) B (2,3)

O

Q Q

-2,7 nC 12,5 nC

Figura 8: Ejercicio 4

a) El potencial electrico en A:

VA = kQ1

r1A

+kQ2

r2A

⇒ VA = 9·109(12, 5 · 10−9

5+−2, 7 · 10−9

3

)=⇒ VA = 14, 4 V

b) El campo electrico en A:

~E = kQ1

r31A

−→r1A + kQ2

r32A

−→r2A

~E = 9 · 109(12, 5 · 10−9

53[−4, 3] +

−2, 7 · 10−9

33[0, +3]

) =⇒ ~E = −3, 6 ~i N/C

c) El trabajo para llevar la carga de -2e desde A(-2,3) hasta B(2,3) esW = q(VA − VB). Se necesita calcular el potencial en B.

VB = kQ1

r1B

+kQ2

r2B

⇒ VB = 9 ·109(12, 5 · 10−9

3+−2, 7 · 10−9

5

)⇒ VB = 32, 64

V.El trabajo es W = q(VA − VB) =⇒ W = 5, 834 · 10−18 JEl trabajo para desplazar una carga positiva de un potencial mayor a otromenor es positivo y lo realiza el campo. Igualmente el trabajo para desplazaruna carga negativa de un potencial menor a otro mayor es tambien positivo.

d) La aceleracion es producida por la fuerza: ~a =~F

m⇒ ~a =

q ~E

m⇒

~a =−2 · 1, 6 · 10−19

3, 15 · 10−26[−3, 6 ~i] =⇒ ~a = 3, 657 · 107 ~i J

19. Se tienen dos cargas puntuales sobre el eje X, q1 = −0, 2 µCesta situada a la derecha del origen y dista de el 1 m; q2 = +0, 4 µCesta a la izquierda del origen y dista de el 2 m.a) ¿En que puntos del eje X el potencial creado por las cargas esnulo?b) Se coloca en el origen una carga q = +0, 4 µC, determine la fuerzaejercida sobre ella por las cargas Q1 y Q2.



Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacıo k = 9 · 109

Nm2C−2.Solucion:

2 m

P x,y( )

− µC0,2(− )2,0

+ µC0,4

q2 q1

( )1,0

Figura 9: Fuerzas

a) Dado un puto cualquiera de coordenadas (x,y), e igualando el potencialen ese punto a cero:

0 = kq1√

(x− 1)2 + y2+k

q2√(x + 2)2 + y2

⇒ y = x2−4x, y si el punto esta en

el eje X, y = 0 ⇒ x = 0 y x = 4 =⇒ Los puntos son (0,0) y (0,4)b) Ambas fuerzas tienen el mismo sentido y se suman los modulos:

|−→F | = |−→F1|+ |−→F2| ⇒ |−→F | = kq1q

r21

+ kq2q

r22

=⇒ |−→F | = 1, 08 · 10−3 N

20. Un electron es lanzado con una velocidad de 2 · 106 m/s parale-lamente a las lıneas de un campo electrico uniforme de 5000 V/m.Determine:a) La distancia que ha recorrido el electron cuando su velocidad seha reducido a 0, 5 · 106 m/s.b) La variacion de la energıa potencial que ha experimentado elelectron en ese recorrido.Datos: Carga del electron e = 1, 6 · 10−19 C; Masa del electronme = 9, 1 · 10−31 kg.Solucion:a) la fuerza electrica produce una frenado en el electron (a<0).

F = maF = qE

⇒ a =qE

m⇒ a = −8, 791 · 1014 m/s2

Se trata de un movimiento uniformemente decelerado.v = v0 + ate = v0t + 1

2at2

⇒ v2 = v20 + 2ae =⇒ e = 2, 13 mm

b) La energıa cinetica disminuye a costa del aumento de la energıa potencial.∆Em = 0∆Ep = −∆Ec

⇒ ∆Ep = −(1

2mv2

f−1

2mv2

0

)=⇒ ∆Ep = 1, 70 · 10−18 J

21. Se tienen tres cargas situadas en los vertices de un triangulo



equilatero cuyas coordenadas (expresadas en cm) son: A(0, 2), B(−√3,−1), C(√

3,−1).Sabiendo que las cargas situadas en los puntos B y C son identicase iguales a 2 µC y que el campo electrico en el origen de coorde-nadas (centro del triangulo) es nulo, determine:a) El valor y el signo de la carga situada en el punto A.b) El potencial en el origen de coordenadas. Datos: Constante dela ley de Coulomb en el vacıo k = 9 · 109 Nm2C−2.Solucion:a) Para que el campo en el centro del triangulo sea nulo, la carga en A tieneque crear un campo que anule el creado por las cargas B y C.−→EA +

−→EB +

−→EC = 0 ⇒ k

qA

23(0,−2) + k

2 · 10−6

23(√

3, 1) + k2 · 10−6

23(−√

3, 1) =

0 ⇒ −2qA + 2 · 10−6 + 2 · 10−6 = 0 =⇒ qA = 2 · 10−6 JQue era evidente por simetrıa.b) El potencial en el centro del triangulo es la suma de los potenciales creadospor las cargas A, B y C.

V = VA + VB + VC ⇒ V = 3VA ⇒ V = 3kq

r=⇒ V = 2, 7 · 106 V

EBEC

qCqB

qA

EA

Figura 10: Intensidad de campo

22. Se crea un campo electrico uniforme de intensidad 6 · 104 N/Centre dos laminas metalicas planas y paralelas que distan entresı 2,5 cm. Calcule:a) La aceleracion a la que esta sometido un electron situado endicho campo.b) Si el electron parte del reposo de la lamina negativa, ¿con que ve-locidad llegara a la lamina positiva? Nota: Se desprecia la fuerzagravitatoria.Datos: Carga del electron e = 1, 6 · 10−19 C; Masa del electronme = 9, 1 · 10−31 kg.Solucion:



a) la fuerza electrica que actua sobre el electron le comunica una aceleracion:F = maF = qE

⇒ a = qEm

=⇒ a = 1, 055 · 1016 m/s2

b) Las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado son:v = ½½v0 + ate = ½½v0t + 1

2at2

⇒ v =√

2ae ⇒ v =

√2qE

me =⇒ v = 2, 297 · 107 m/s

23. Un electron, con velocidad inicia1 3 · 105 m/s dirigida en elsentido positivo del eje X, penetra en una region donde existe uncampo electrico uniforme y constante de valor 6 ·10−6 N/C dirigidoen el sentido positivo del eje Y. Determine:a) Las componentes cartesianas de la fuerza experimentada por elelectron.b) La expresion de la velocidad del electron en funcion del tiempo.c) La energıa cinetica del electron 1 segundo despues de penetraren el campo.d) La variacion de la energıa potencial experimentada por el elec-tron al cabo de 1 segundo de penetrar en el campo.Datos: Carga del electron e = 1, 6 · 10−19 C; Masa del electronme = 9, 1 · 10−31 kg.Solucion:a) Si se sabe el campo, se calcula la fuerza que actua sobre el electron.−→F = q

−→E ⇒ −→

F = −1, 6 · 10−19 · 6 · 10−6~j =⇒ −→F = −9, 6 · 10−25~j N

b) Se trata de calcular la velocidad en un tiro horizontal:~vx = v0

~i

~vy = −at~j⇒

~v = 3 · 105~i− 1, 055 · 106~j

=⇒ v =√

(3 · 105)2 + (1, 055 · 106t)2 m/s

c) Para determinar la energıa cinetica, se calcula primero el modulo de lavelocidad al cabo de 1 s:v1 = 1, 097 · 106 m/s. ⇒ Ec = 1

2mv2 =⇒ Ec = 5, 473 · 10−19 J

d) La energıa cinetica aumenta a costa de la disminucion de la energıa po-tencial.

∆Em = 0∆Ep = −∆Ec

⇒

∆Ep = −(12mv2

f − 12mv2

0

)=⇒ ∆Ep = −5, 064 · 10−19 J

24. Dos cargas electricas en reposo de valores q1 = 2 µC y q2 = −2µC, estan situadas en los puntos (0, 2) y (0,−2) respectivamente,estando las distancias en metros. Determine:a) El campo electrico creado por esta distribucion de cargas en elpunto A de coordenadas (3, 0).b) El potencial en el citado punto A y el trabajo necesario parallevar una carga de 3 C desde dicho punto hasta el origen de coor-



denadas.Dato: Constante de la ley de Coulomb en el vacıo k = 9·109 Nm2C−2.Solucion:a) El campo electrico en A sera: ~E = ~E1 + ~E2

⇒ ~E = kq1

r31A

~r1A+kq2

r32A

~r2A ⇒ ~E = 9·109 2 · 10−6

(√

13)3[3,−2]+9·109−2 · 10−6

(√

13)3[3, 2]

⇒ ~E = 9 · 109 2 · 10−6

(√

13)3[0,−4] =⇒ ~E = −1, 53 · 103~j N/C

b) El potencial en A sera cero, porque ambas cargas tienen el mismo valor,son de signo contrario y situadas a la misma distancia. En el origen, en elpunto (0,0) el potencial sera tambien cero por el mismo motivo,El trabajo necesario para desplazar una carga desede el punt A hasta el origensera: W = q3(VA − V0) =⇒ W = 0 J

q2

q1 +2 µC

-2 µC

A (3,0)

Figura 11: Intensidad de Campo Electrico

25. Un sistema electrico esta formado por dos cargas, una positivade +3 µC y otra negativa de −3 µC, separadas una distancia de 4metros.a) Calcule el campo electrico y el potencial electrico en un puntode la mediatriz del segmento que une las cargas y que dista 5 m decada una de ellas.b) Resuelva el apartado a) si las dos cargas fuesen positivas. Efectueesquemas graficos en ambos apartados.Dato: Constante de la ley de Coulomb en el vacıo k = 9·109 Nm2C−2.Solucion:



2 m

P

5 m

q +3 µC1 q2 -3 µC

2 m

P

5 m

q2 -3 µCq +3 µC1

a

a


a) El campo electrico en el punto P sera:~E = ~E1 + ~E2 ⇒ ~E = k

q1

r31P

~r1P + kq2

r32P

~r2P

⇒ ~E = 9·109 3 · 10−6

53[2,−

√21]+9·109−3 · 10−6

53[−2,−

√21] ⇒ ~E = 864 ~i N/C

Tambien se puede calcular: ~E = 2| ~E1| sen α ~i.El potencial, dado que las cargas estan a la misma distancia y son de signocontrario se anula =⇒ V = 0 Vb) Si ahora las cargas son del mismo signo, el campo electrico sera:~E = ~E1 + ~E2 ⇒ ~E = k

q1

r31P

~r1P + kq2

r32P

~r2P

⇒ ~E = 9·109 3 · 10−6

53[2,−

√21]+9·109 3 · 10−6

53[−2,−

√21] ⇒ ~E = −1979, 7 ~j N/C

que tambien se puede calcular: ~E = −2| ~E1| cos α ~j.

El potencial, en este caso sera: V = V1 + V2 ⇒ V = 2V1 ⇒ V = 2kq1

r1P

⇒ V = 2 · 9 · 109 3 · 10−6

5=⇒ V = 1, 08 · 104 V

26. Dos cargas puntuales de +6 µC y −6 µC estan situadas en el ejeX, en dos puntos A y B distantes entre sı 12 cm. Determine:a) El vector campo electrico en el punto P de la lınea AB, si AP=4cm y PB=8 cm.b) El potencial electrico en el punto C perteneciente a la mediatrizdel segmento AB y distante 8 cm de dicho segmento.



Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacıo k = 9 · 109

Nm2C−2.Solucion:a) El campo electrico es:

−→E =

−→EA +

−→EB ⇒ −→

E = kqA

r3AP

−−→rAP + kqB

r3BP

−−→rBP

−→E = 9 · 109 6 · 10−6

(4 · 10−2)3[4, 0] + 9 · 109 −6 · 10−6

(8 · 10−2)3[−8, 0]

=⇒ ~E = 4, 22 · 109 ~i N/C

que tambien se puede calcular: ~E =(| ~EA|+ | ~EB|

)~i.

El potencial, en este caso sera: V = VA + VB =⇒ V = 0 V , las cargastienen el mismo valor, estan a la misma distancia y son de distinto signo.

27. Tres partıculas cargadas Q1 = +2 µC, Q2 = +2 µC y Q3 devalor desconocido estan situadas en el plano XY. Las coordenadasde los puntos en los que se encuentran las cargas son Q1: (1,0),Q2: (-1,0) y Q3: (0,2). Si todas las coordenadas estan expresadas enmetros:a) ¿Que valor debe tener la carga Q3 para que una carga situadaen el punto (0,1) no experimente ninguna fuerza neta?b) En el caso anterior, ¿cuanto vale el potencial electrico resultanteen el punto (0,1) debido a las cargas Q1, Q2 y Q3?Dato: Constante de la ley de Coulomb en el vacıo k = 9·109 Nm2C−2.Solucion:a) La fuerza sobre q, y el campo en (0,1) tienen que anularse.−→E =

−→E1 +

−→E2 +

−→E3 ⇒ −→

E = kQ1

r31P

−→r1P + kQ2

r32P

−→r2P + kQ3

r33P

−→r3P ⇒

0 = 9 · 109(2 · 10−6

(√

2)3[−1, 1] +

2 · 10−6

(√

2)3[1, 1] +

Q3

13[0,−1]

)

=⇒ Q3 = 1, 414 · 10−6 Cb) El potencial en (0,1) debido a las tres cargas es: V = V1 + V2 + V3

⇒ V = 2V1 + V3 ⇒ V = 2kQ1

r1P

+ kQ3

r3P

⇒ V = 9 · 109(22 · 10−6

√2

+1, 414 · 10−6

1

)=⇒ V = 3, 818 · 104 V



(-1,0)

Q2 +2 µCQ +2 µC1

(1,0)

Q3

q

E1E2

E3

(0,2)

(0,1)


28. Una carga puntual de valor Q ocupa la posicion (0,0) del planoXY en el vacıo. En un punto A del eje X el potencial es V = −120V y el campo electrico es E = −80 ~i N/C, siendo ~i el vector unitarioen el sentido positivo del eje X. Si las coordenadas estan dadas enmetros, calcule:a) La posicion del punto A y el valor de Q.b) El trabajo necesario para llevar un electron desde el punto B(2,2) hasta el punto A.Datos: Carga del electron e = 1, 6 · 10−19 C; Constante de la ley deCoulomb en el vacıo k = 9 · 109 Nm2C−2.Solucion:a) Dado que el potencial es negativo, la carga sera negativa, y como el campotiene direccion −~i, necesariamente el punto estara sobre el eje de las X y enla parte positiva.

VA = kq

x

|EA| = kq

x2

⇒

−120 = kq

x

−80 = kq

x2

⇒ x = 1, 5 m yq = −2 · 10−8 C

b) Para determinar el trabajo hay que calcular primero el potencial en B yA. Luego el trabajo sera: W = q(VB − VA).

VB = k qrB

VB = 9 · 109k−2·10−8

2√

2

W = q(VB − VA)

⇒

VB = −63, 63 VVA = −120 Vq = −1, 6 · 10−19

⇒ W = −9, 1 · 10−18 J

29. Dos cargas electricas positivas e iguales de valor 3 ·10−6 C estansituadas en los puntos A (0,2) y B (0,-2) del plano XY. Otras dos



cargas iguales Q estan localizadas en los puntos C (4,2) y D (4,-2).Sabiendo que el campo electrico en el origen de coordenadas es~E = 4 · 103 ~i; N/C, siendo ~i el vector unitario en el sentido positivodel eje X, y que todas las coordenadas estan expresadas en metros,determine:a) El valor numerico y el signo de las cargas Q.b) El potencial electrico en el origen de coordenadas debido a estaconfiguracion de cargas.Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacıo k = 9 · 109

Nm2C−2.Solucion:a) El campo que crea la carga situadas en A y B sobre el origen se anula. Elcampo en el origen solo tiene compoente X, por tanto las cargas colocadasen C y D son iguales y negativas. Se tiene entonces:| ~E| = 2| ~EC | cos α

4 · 103 = 2 · 9 · 109 Q

20

4√20

=⇒ Q = −4, 969 · 10−6 C

b) El potencial electrico creado en el origen por las cuatro cargas sera:V = VA + VB + VC + VD ⇒ V = 2VA + 2VC

V = 2 · 9 · 109(3 · 10−6

2+−4, 969 · 10−6

√20

)=⇒ V = 7 · 103 V

B (0,-2)

A (0,2) C (4,2)

D (4,-2)3 µC

3 µC

Q

Q

O E = 4·10-3

ia


30. Una carga positiva de 2 µC se encuentra situada inmovil en elorigen de coordenadas. Un proton moviendose por el semieje pos-itivo de las X se dirige hacia el origen de coordenadas. Cuando elproton se encuentra en el punto A, a una distancia del origen de x= 10 m, lleva una velocidad de 1000 m/s. Calcule:



a) El campo electrico que crea la carga situada en el origen de co-ordenadas en el punto A.b) El potencial y la energıa potencial del proton en el punto A.c) La energıa cinetica del proton en el punto A.d) El cambio de momento lineal experimentado por el proton desdeque parte de A y por efecto de la repulsion vuelve al mismo puntoA.Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacıo k = 9 · 109

Nm2C−2; Masa del proton mp = 1, 67 · 10−27 kg; Carga del protonqp = 1, 6 · 10−19 C.Soluciona) El campo electrico que crea la carga en A sera:−→EA = k

q

r2A

~i =⇒ −→EA = 180 ~i N/C

b) El potencial en A:

VA = kq

rA

=⇒ VA = 1800 V

La energıa potencial del proton en A:

Ep = kq∆qA

rA

=⇒ Ep = 2, 80 · 10−16 J

c) la energıa cinetica del proton en A:

Ec =1

2mv2 =⇒ Ec = 8, 35 · 10−22 J

d) El proton se acercara al origen, ira decelerando hasta que se pare, luegoacelerara en sentido contrario y volvera a pasar por el punto A con la mismavelocidad y sentido contrario.La variacion de la cantidad de movimiento sera: ∆p = (mvA)− (m(−vA)) ⇒∆p = 2mvA =⇒ ∆p = 3, 34 · 10−24 kgm/s

31. Dos partıculas con cargas de +1 µC y de -1 µC estan situ-adas en los puntos del plano XY de coordenadas (-1,0) y (1,0)respectivamente. Sabiendo que las coordenadas estan expresadasen metros, calcule:a) El campo electrico en el punto (0,3).b) El potencial electrico en los puntos del eje Y.c) El campo electrico en el punto (3,0).d) El potencial electrico en el punto (3,0).Dato: Constante de la ley de Coulomb en el vacıo k = 9·109 Nm2C−2.Solucion:



(1,0)(-1,0)

Q1=+1 µC Q2=-1 µC

E1

O

E2

E2 E1


a) El campo electrico en (0,3):

| ~E| = kQ1

r31

−→r1 + kQ2

r32

−→r2

| ~E| = 9 · 109( 10−6

(√

7)3[1, 3] +

−10−6

(√

7)3[−1, 3]

) =⇒ | ~E| = 971, 91 ~i N/C

b) El potencial electrico en los puntos del eje Y es siempre nulo, poque seencuentran a la misma dictancia de ambas cargas y son de signo contrario.=⇒ V0,y = 0 Vc) El campo electrico en el punto (3,0):

| ~E| = kQ1

r31

−→r1 + kQ2

r32

−→r2

| ~E| = 9 · 109(10−6

43[4, 0] +

−10−6

23[2, 0]

) =⇒ | ~E| = −1687, 5 ~i N/C

d) El potencial en (3,0):

V = V1 + V2

V = kQ1

r1

+ kQ2

r2

⇒ V = 9 ·109(10−6

4+−10−6

2

)=⇒ V = −2250 V

32. Se disponen dos cargas electricas sobre el eje X: una de val-or Q1 en la posicion (1,0), y otra de valor Q2 en (-1,0). Sabiendoque todas las distancias estan expresadas en metros, determine enlos dos casos siguientes:a) Los valores de las cargas Q1 y Q2 para que el campo electrico

en el punto (0,1) sea el vector ~E = 2 · 105 ~j N/C, siendo ~j el vectorunitario en el sentido positivo del eje Y.



b) La relacion entre las cargas Q1 y Q2 para que el potencial electri-co en el punto (2,0) sea cero.Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacıo k = 9 · 109

Nm2C−2.Soluciona) Si el campo en (0,1) solo tiene componente ~j, ambas cargas tienen que serpositivas e iguales.

| ~E| = kQ1

r31

−→r1 + kQ2

r32

−→r2

2 · 105 ~j = 9 · 109( Q1

(√

2)3[1, 1] +

Q2

(√

2)3[−1, 1]

) =⇒ Q1 = Q2 = 3, 143 · 10−5 C

b) Si el potencial en (2,0) debe ser cero:

V = V1 + V2

V = kQ1

r31

+ kQ2

r32

0 = kQ1

3+ k

Q2

1

=⇒ Q1 = −3Q2

33. Define los conceptos de: intensidad de campo, potencial, lıneade fuerza y superficie equipotencial en un campo de fuerzas gravita-torio. ¿Bajo que angulo cortan las lıneas de fuerza a las superficiesequipotenciales? ¿Por que?Solucion:Intensidad de campo electrico: Es la fuerza ejercida sobre la unidad de cargapositiva colocada en un punto. Es una magnitud vectorial que tiene la di-reccion de la fuerza que actua sobre una carga positiva colocada en dischopunto. Sus unidades son N/C o V/m.. Su expresion matematica es:

~E =~F

q

El potencial electrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerzaelectrica para mover la unidad de carga positiva desde el infinitohasta esepunto. Es una magnitud escalar y se mide en voltios. Su expresion matematicaes:

V =W

q

Linea de fuerza: es la curva cuya tangente coincide con la direccion del campoelectrico en ese punto. Las lineas de fuerza son perpendiculares a las lıneasequipotenciales y van de mayor a menor potencial.



Superficie equipotencial: es el lugar geometrico de los puntos en los que el po-tencial es constante. La relacion entre el vector intensidad de campo electricoy el potencial en un punto que es un escalar es la siguiente:

~E = −−→5V = −(∂V

∂x~i +

∂V

∂y~j +

∂V

∂z~k)

Ejercicios del Teorema de Gauss

1. a) Enuncie el teorema de Gauss y escriba su expresion matematica.b) Utilice dicho teorema para deducir la expresion matematica delcampo electrico en un punto del espacio debido a una carga pun-tual.Solucion:a) El flujo de campo electrico que atraviesa una superficie cerrada es iguala la carga encerrada en discha superficie partido por la constante dielectricadel medio.

Φ =

∮

S

~Ed~s ⇒∮

S

~Ed~s =

∑Q

εb) Se considera una carga puntual y una superficie esferica de radio r tan-gente al punto donde se quiere determinar el campo electrico. La superficieesferica elegida debe ser una superficie gaussiana:- El valor del campo electrico debe ser constante en todos los puntos de lasuperficie y perpendicular a la superficie.- La superficie debe ser evaluable,(la de una esfera es S = 4πr2).

Φ =

∮

S

~Ed~s ⇒∮

S

~Ed~s =

∑Q

ε

E · 4πr2 =Q

ε0

=⇒ E =1

4πε0

Q

r2

2. En el vacıo, una partıcula de 10 g de masa cuelga del extremoinferior de un hilo de seda inextensible de 2 m de longitud y masadespreciable, cuyo extremo esta sujeto a un plano vertical que con-tiene una distribucion uniforme de carga electrica positiva. Cuandola partıcula recibe una carga de 9 · 10−9 C se aleja 1 m del plano.Determinar:a) Las fuerzas que actuan sobre la partıcula cargada.b) La densidad superficial de carga del plano.Datos: ε0 = 8, 85 · 10−12C2 ·m−2 ·N−1; g = 9, 8N/kg.Solucion:



a) Las fuerzas que actuan sobre la partıcula cargada son el peso y la fuerzade repulsion electrica.P = mg =⇒ P = 0, 098 N

sen α =1

2⇒ α = 30o ⇒ F = P tan α =⇒ F = 0, 057 N

b) Segun el Teorema de gauss el campo que crea un plano paralelo es uni-forme:

∮

S

~Ed~s =Q

ε0

E 2S =Q

ε0

E =σ

2ε0

⇒

F = qE

0, 057 = 9 · 10−9 σ

2 · 8, 85 · 10−12

⇒ σ = 1, 113 · 10−4 C/m2

2 m

P

F

+s

a

1 m9 nC

E


3. Una carga total de 5, 655 · 10−13 C en el vacıo, esta formandouna distribucion esferica de carga, con densidad uniforme de valor5 · 10−15 C/m3. Determinar:a) El radio de la distribucion.b) El campo electrico en un punto que diste 20 cm del centro dela distribucion.Dato: ε0 = 8, 85 · 10−12 C2 ·m−2 ·N−1.Solucion:El radio de la esfera es:

ρ =Q

V⇒ ρ =

Q43πR3

=⇒ R = 3 m



b) Aplicando el Teorema de Gauss:

∮

S

~Ed~s =Q

ε0

E 4πr2 =ρ4

3πr3

ε0

⇒ E =ρr

3ε0

=⇒ E = 3, 76 · 10−5 N/C

ErR


4. Calcula la fuerza que experimentara, en el vacıo, una carga de -5µC situada a una distancia de 3 m de un hilo muy largo cargado,con una densidad de carga de +30 C/m. Haz un dibujo en el querepresentes esa fuerza.Solucion:

-5 µC

r

E

F


Para determinar el campo se utiliza el teorema de Gauss porque no se tratade una distribucion de carga y no de una carga puntual:



∮

S

~Ed~s =Q

ε0

E 2πr · L =λ · Lε0

⇒

E =λ

2πrε0

E = 1, 798 · 105 N/C

⇒

F = qE

=⇒ ~F = −0, 899 ~i N

5. Una gran placa metalica plana cargada uniformemente con unadensidad superficial de 100 pC·m−2 se encuentra situada horizon-talmente en el suelo. Desde una altura de 1 m, muy lejos de losbordes, se deja caer una carga puntual positiva de 1000 µC y masa1 g. Suponiendo que estamos en el vacıo, calcular el tiempo quetarda en caer y la velocidad con que llegara al suelo.Datos: ε0 = 8, 85 · 10−12 C2 ·m−2 ·N−1; g = 9, 8 m · s−2. Solucion:Sobre la carga actuan dos fuerzas, el peso y la fuerza del campo electrico.Son de sentidos contrarios y dan lugar a un movimiento uniformemente acel-erado.

P − F = ma

mg − qE = ma⇒

a =mg − q σ

2ε0

m

⇒ a = 4, 15 m/s2

h =1

2at2 =⇒ t = 0, 694 s

v =√

2ah =⇒ v = 2, 881 m/s

F

P

1 m



1.2 Campo magnetico Problemas resueltos

1.2. Campo magnetico

1. Por dos conductores rectilıneos, paralelos y de longitud infinitacirculan intensidades de corrientes, una doble que la otra, y ensentidos opuestos. Si 1a distancia entre los conductores viene dadapor “d” ¿En que puntos el campo magnetico resultante es nulo?Razona la respuesta.Solucion:El sentido del campo magnetico es el que se indica en la figura y se anula cercadel conductor por el que circula menor intensidad y por su parte externa.Entre ambos conductores, ambos campos tienen el mismo sentido y no seanula. Exteriormente al conductor de mayor intensidad, este crea un camposiempre mayor que el otro y no se tampocxo se anulan.

B2

I2I

I1

I2

B1

B2

B1

B2

B1

conductor 2conductor 1

d d

Figura 20: ejercicio 1

B1 =µ0I

2πx

B2 =µ02I

2π(d + x)

⇒B1 = B2

µ0I

2πx=

µ02I

2π(d + x)

⇒ d + x

x= 2 ⇒ x = d

2. Un electron con una energıa cinetica de 6 · 10−16 J penetra enun campo magnetico uniforme, de induccion magnetica 4 · 10−3 T,perpendicularmente a su direccion:a) ¿Con que velocidad penetra el electron dentro del campo?b) ¿A que fuerza esta sometido el electron dentro del campo?c) ¿Cuanto vale el radio de la trayectoria que describe?d) ¿Cuantas vueltas describe el electron en 0,1 s?Datos: Masa del electron me = 9, 109 · 10−31 kg; Valor absoluto de lacarga del electron e = 1, 6 · 10−19 C.Solucion:a) La velocidad se deermina a partir de la energıa cinetica.



Ec =1

2mv2 ⇒ v =

√2Ec

m⇒ v =

√2 · 6 · 10−16

9, 109 · 10−31⇒ v = 3, 63 · 107 m/s

v

F


La fuerza se calcula a partir de la ley de Lorentz.~F = q(~v× ~B) ⇒ |~F | = 1, 6·10−19(3, 63·107 ·4·10−3) ⇒ |~F | = 2, 32 · 10−14 Nc) Esta fuerza el la fuerza centrıpeta que hace describir al electron una trayec-toria circular de radio:

F = mv2

R⇒ R =

mv2

F⇒ R =

9, 109 · 10−31 · (3, 63 · 107)2

2, 32 · 10−14⇒ R = 0, 0516 m

d) Para calcular el numero de vueltas se divide el espacio recorrido en 0,1 spor lo que mide cada vuelta.

N =v t

2πR

N =3, 63 · 107 · 0, 1

2π · 0, 0516

⇒ N = 1, 12 · 107 vueltas

3. En una camara de burbujas en la que actua un campo magneticouniforme, se observa la trayectoria de un proton. Sabiendo que elvalor de la induccion magnetica es B=1,4 T y que la trayectoriadel proton es circular de radio R=3,6 cm. Calcula:a) La cantidad de movimiento del proton.b) Los valores de sus velocidades lineal y angular.Datos: Carga del proton qp = 1, 6 · 10−19 C; Masa del proton mp =1, 67 · 10−27 kg.Solucion:a) La fuerza magnetica es perpendicular a la trayectoria, centrıpeta.

qvB = mv2

R⇒ mv = qBR ⇒ p = 1, 6 · 10−19 · 1, 4 · 3, 6 · 10−2 ⇒

p = 8, 064 · 10−21 kg·m·s−1

b) La velocidad lineal se obtiene a partir de la cantidad de movimiento y lavelocidad angular a partir de la lineal.



p = m v ⇒ v =p

m⇒ v =

8, 064 · 10−21

1, 67 · 10−27⇒ v = 4, 83 · 106 m·s−1

v = ωR ⇒ ω =v

R⇒ ω =

4, 83 · 106

3, 6 · 10−2⇒ ω = 1, 34 · 108 rad·s−1

4. Si se introduce una partıcula cargada en un campo magneticouniforme en direccion perpendicular al mismo, se ve sometida auna fuerza que la hace describir una trayectoria determinada. ¿Deque trayectoria se trata? ¿Que fuerza es la que se la origina? Ra-zona la respuesta.Solucion:Se trata de una trayectoria circular en el plano perpendicular a la induccionmagnetica. La fuerza responsable de este movimiento es la fuerza de Lorentz,que da lugar a una aceleracion centrıpeta.La fuerza es siempre perpendicular a la velocidad y a la induccion como in-dica su producto vectorial. ~F = q(~v × ~B)

5. Un proton y un electron se mueven perpendicularmente a uncampo magnetico uniforme, con igual velocidad ¿que tipo de trayec-toria realiza cada uno de ellos? ¿como es la trayectoria que realizael proton en relacion con la que realiza el electron? Razona la re-spuesta.Datos: Se considera que la masa del proton es igual, aproximada-mente, a 1836 veces la masa del electron.Solucion:

v

F

vv

F


La trayectoria es circular porque la fuerza responsable del movimiento, lafuerza de Lorentz, es siempre perpendicular a la velocidad, como se desprendedel producto vectorial: ~F = q(~v × ~B)Teniendo en cuenta que el signo del electron y del proton son contrariosproduciran trayectorias circulares en sentidos contrarios. Segun el dibujo elelectron en el sentido horario y el proton en el sentido antihorario.



qvB = mv2

R⇒ R =

mv

qBSi la masa del proton es 1836 veces la del electron, (las velocidades y la induc-cion iguales y las cargas opuestas), se deduce que el radio de la trayectoriacircular descrito por el proton es 1836 veces el radio de la trayectroia delelectron.

6. Un proton (carga electrica +e) y una partıcula alfa (carga electri-ca +2e) se mueven en un campo magnetico uniforme segun circun-ferencias de igual radio. Compara los valores de:a) Sus velocidades.b) Sus energıas cineticas.c) Sus momentos angulares.Se admite que la masa de la partıcula alfa es igual a 4 veces la masadel proton.Solucion:a) El radio de la trayectoria se determina igualando la fuerza de lorenz a lafuerza centrıpeta responsable del movimiento.

qpvpB = mp

v2p

R

qαvαB = mαv2

α

R

⇒

qp

qα

=mp

mα

vp

vα

1

2=

1

4

vp

vα

⇒ vp

vα

= 2

b) De forma analoga se calcula la relacion entre sus energıas cineticas.

Ecp =1

2mpv

2p

Ecα =1

2mαv2

α

⇒

Ecp

Ecα

=mp

mα

( vp

vα

)2

Ecp

Ecα

=1

422

⇒ Ecp

Ecα

= 1

c) La relacion entre sus momentos angulares es:

Lp = Rmpvp

Lα = Rmαvα

⇒

Lp

Lα

=mp

mα

vp

vα

Lp

Lα

=1

42

⇒ Lp

Lα

=1

2

7. Un electron se mueve en una region en la que estan superpuestosun campo electrico ~E = 2~i+4~j V/m y un campo magnetico ~B = 0, 4~kT. Determina para el instante en que la velocidad del electron esv = 20~i m/s:a) Las fuerzas que actuan sobre el electron debidas al campo electri-co y al campo magnetico respectivamente.b) La aceleracion que adquiere el electron.



Datos: Masa del electron me = 9, 109 · 10−31 kg; Carga del electrone = 1, 6 · 10−19 C.Solucion:a) La fuerza que ejerce el campo electrico sobre una carga negativa es desentido contrario al campo electrico.~Fe = q ~E ⇒ ~Fe = −1, 6·10−19(2~i+4~j) ⇒ ~Fe = −3, 2 · 10−19~i− 6, 4 · 10−19~j) NLa fuerza que ejerce el campo magnetico es perpendicular a la velocidad y alcampo.~Fm = q(~v× ~B) ⇒ ~Fm = −1, 6 · 10−19(20~i× 0, 4~k) ⇒ ~Fm = 1, 28 · 10−18~j N

La suma de ambas fuerzas sera:~F = ~Fe + ~Fm ⇒ ~F = −3, 2 · 10−19~i − 6, 4 · 10−19~j) + 1, 28 · 10−18~j ⇒~F = −3, 2 · 10−19~i + 6, 4 · 10−19~j) Nb) La aceleracion que adquiere el electron es:

~a =~F

m⇒ ~a = −3, 5 · 1011~i + 7, 03 · 1011~j m/s2

8. En el seno de un campo magnetico uniforme se situan trespartıculas cargadas. Una de las partıculas esta en reposo y las otrasdos en movimiento, siendo sus vectores velocidad perpendicular yparalelo respectivamente a la direccion del campo magnetico. Ex-plica cual es la accion del campo sobre cada una de las partıculasy como sera su movimiento en el.Solucion:La fuerza magnetica es: ~Fm = q(~v × ~B)

a) Si la partıcula esta en reposo v = 0, y la fuerza magnetica ~Fm = 0, y lapartıcula seguira en reposo.b) Si la partıcula tiene una velocidad paralela al campo, ~v|| ~B, la fuerza

magnetica ~Fm = 0, y la partıcula seguira con movimiento rectilıneo y uni-forme.c) Si la partıcula tiene una velocidad perpendicular al campo, ~v⊥ ~B, la fuerza

magnetica sera | ~Fm| = qvB, perpendicular a ~v y a ~B, y realizara una trayec-

toria circular en el plano formado por ~v y perpendicular a ~B.

9. Dos hilos conductores de gran longitud, rectilıneos y paralelosestan separados 100 cm. Si por los hilos circulan corrientes igualesa 5 A cada una en sentidos opuestos, ¿cual es el campo magneticoresultante en un punto del plano de los dos hilos, en los siguientescasos?a) El punto es equidistante de ambos conductores.b) El punto esta a una distancia de 50 cm de un conductor y a 150



cm del otro conductor.Datos: El medio es el vacıo. Permeabilidad magnetica del vacıoµ0 = 4π · 10−7 NA−2.Solucion:a) Si las intensidades son iguales y opuestas, en un punto equidistante deambos conductores los camos tienen el mismo sentido y se suman.

B2

5A5A

I1

I2

B1

B2

B1

B2

B1

50 cm 100 cm


| ~B| = | ~B1|+ | ~B2|| ~B| = 2

µ0I

2πd

⇒ | ~B| = 24π · 10−7 · 5

2π · 0, 5| ~B| = 4 · 10−6 T

b) A 50 cm de un conductor y a 150 del otro hay dos posiciones y pero elcampo, en modulo, valdra lo mismo.| ~B| = | ~B1|+ | ~B2|| ~B| =

µ0I

2πd1

− µ0I

2πd2

⇒ | ~B| = 4π · 10−7 · 52π

( 1

0, 5− 1

1, 5

)

| ~B| = 1, 33 · 10−3 T

10. En una misma region del espacio existen un campo electricouniforme de valor 0, 5 · 104 V m−1 y un campo magnetico uniformede valor 0, 3 T ; siendo sus direcciones perpendiculares entre si:a) ¿Cual debera ser la velocidad de una partıcula cargada que pen-etra en esa region en direccion perpendicular a ambos campos paraque pase a traves de la misma sin ser desviada?b) Si la partıcula es un proton, ¿cual debera ser su energıa cineticapara no ser desviado?Datos: Masa del proton mp = 1, 672 · 10−27 kg.Solucion:a) La velocidad de la partıcula debe ser tal que se igualen los modulos de lasfuerzas electrica y magnetica.

Fe = Fm

qE = qvB⇒ v =

E

B⇒ v =

0, 5 · 104

0, 3⇒ v = 1, 67 · 103 m/s

b) La energıa cinetica de un proton a esta velocidad es:

Ec =1

2mpv

2 ⇒ Ec =1

21, 672 · 10−27(1, 67 · 103)2 ⇒ Ec = 2, 32 · 10−21 J



Fe

Fm

E


11. Un solenoide de gran longitud que tiene 100 espiras por metroy un radio de 5 cm dispone de dos orificios A y B, situados en elplano de la figura, que representa la seccion correspondiente a uncorte transversal perpendicular al eje del solenoide en su parte cen-tral. Ambos orificios estan separados un angulo de 90. Un protoncon velocidad v=100 m/s penetra en el solenoide a traves de A,en direccion perpendicular al eje del solenoide. Se desea que por laaccion del campo magnetico del solenoide el proton salga del mis-mo a traves de B, en direccion perpendicular al eje del solenoide.a) ¿Como debe ser el sentido de la corriente en el solenoide? (in-dicar con relacion al dibujo si es el de las agujas del reloj o elcontrario).b) ¿Cual debe ser el valor de la intensidad de la corriente?c) ¿Como es la energıa cinetica del proton cuando sale del solenoideen relacion a la que tenıa cuando entra en el mismo?Datos: Masa del proton mp = 1, 673 · 10−27 kg; Carga elemental e =1, 6 · 10−19 C; Permeabilidad magnetica del vacıo µ0 = 4π · 10−7 NA−2.Solucion:a) Para que el proton entre por el orificio A y salga por el orificio B el campocreado por el solenoide tiene que ser perpendicular al papel y hacia afuera,luego el sentido de la corriente en el solenoide sera antihorario.b) La tayectoria que realiza el proton es circular uniforme, de velocidadv = 100 m/s y de radio R = 5 cm.

qvpB = mp

v2p

R⇒ B =

mpvp

Rq⇒ B =

1, 673 · 10−27 · 100

5 · 10−2 · 1, 6 · 10−19⇒ B = 2, 04 · 10−5

Y el campo que crea un solenoide se debe a la intensidad de corriente quecircula por el.

B =µ0NI

L⇒ 2, 04 · 10−5 = 4π · 10−7 · 100 · I ⇒ I = 0, 16 A

c) La energıa cinetica es la misma cuando entra por A que cuando sale por



B. El movimiento es circular uniforme de velocidad lineal constante.

Ec =1

2mpv

2p ⇒ Ec =

1

21, 673 · 10−27 · 1002 ⇒ Ec = 8, 185 · 10−24 J

A

B

F

v

A

B


12. Efectue un estudio comparativo entre el campo gravitatorio, elcampo electrico y el campo magnetico, contemplando los siguientesaspectos: fuentes del campo, lıneas de fuerza y caracter conserva-tivo.Solucion:

Interaccion Fuente Lineas de fuerza ConservativoGravitatoria Masas Salen del infinito hacia la

masa que crea el campoSi

Electrica Cargas Salen del infinito o de car-gas positivas y llegan a car-gas negativas o al infinito

Si

Magnetica Cargas enmovimiento ocorrientes

Perpendiculares a las cargasen movimiento o a las cor-rientes y con el sentido delgiro del sacacorchos hacialas corrientes positivas

No

13. a) Analice como es la fuerza que ejercen entre sı dos conduc-tores rectilıneos e indefinidos, paralelos, separados una distancia dy recorridos por una corriente de intensidad I, segun que los sen-tidos de las corrientes coincidan o sean opuestos. b) Explique si esposible que un electron se mueva con velocidad v, paralelamente aestos conductores y equidistante entre ellos sin cambiar su trayec-toria.Solucion:a) Dos conductores rectilıneos e indefinidos de sentidos contrarios se repelen



y del mismo sentido se atraen como indica la figura.

F2

II

I1

I2

B1

F1

B2

d

F2

II

I1

I2

B1

F1

B2

d


B =

µ0I

2π dF = I l B

⇒ F =µ0 l I2

2π d

b) Solamente si los conductores rectilineos e indefinidos son de sentidos con-trarios se anula el campo magnetico creado por ambos conductores en unalınea pralela y equidistante de ambos y en este caso no se desvıa el electron.

14. a) ¿Puede ser cero la fuerza magnetica que se ejerce sobre unapartıcula cargada que se mueve en el seno de un campo magnetico?b) ¿Puede ser cero la fuerza electrica sobre una partıcula cargadaque se mueve en el seno de un campo electrico?Solucion:a) Si. Si la velocidad de la partıcula cargada es paralela al campo magnetico.~F = q(~v × ~B) ⇒ si ~v|| ~B ⇒ ~F = 0b) No. En este caso no depende de la direccion.~F = q ~E ⇒ si ~E 6= 0 y q 6= 0 ⇒ ~F 6= 0

15. Un electron que se mueve con una velocidad constante v, pen-etra en un campo magnetico uniforme B, de tal modo que describeuna trayectoria circular de radio R. Si la intensidad del campomagnetico disminuye a la mitad y la velocidad aumenta al doble,determine: a) El radio de la orbita. b) La velocidad angular.Solucion:a) La fuerza magnetica que experimenta el electron dentro del campo le co-munica una aceleracion centrıpeta. Comparando las fuerzas magneticas y lasaceleraciones a que dan lugar se tiene:



F = mac

q½vB = mv¢2

R

⇒

qB = mv

R1

qB

2= m

2v

R2

=⇒ R2 = 4R1

b) Comparando ahora las velocidades lineales:v = ω1R1

2v = ω24R1⇒

2 = 4

ω2

ω1=⇒ ω2 =

1

2ω1

16. Dos isotopos, de masas 1, 992 · 10−26 kg y 2, 159 · 10−26 kg, re-spectivamente, con la misma carga de ionizacion son aceleradoshasta que adquieren una velocidad constante de 6, 7 ·105 m/s. Se leshace atravesar una region de campo magnetico uniforme de 0, 85T cuyas lıneas de campo son perpendiculares a la velocidad de laspartıculas.a) Determine la relacion entre los radios de las trayectorias quedescribe cada isotopo.b) Si han sido ionizados una sola vez, determine la separacion en-tre los dos isotopos cuando han descrito una semicircunferencia.Datos: Carga del electron e = 1, 6 · 10−19 C.Solucion:

Dx

v

F

Figura 27: iones positivos en un campo magnetico

a) Comparando sus respectivas aceleraciones centrıpetas:

q½vB = m1v¢2

R1

q½vB = m2v¢2

R2

=⇒ R1

R2

=m1

m2

= 0, 92

y se comprueba que a mayor masa, mas inercia y mayor radio.c) La separacion entre los isotopos sera 2(R2 −R1).



R2 =m2v

qB⇒ R2 = 0, 106 m.

R1 =m1v

qB⇒ R1 = 0, 098 m.

=⇒ ∆x = 16, 44 mm

17. Un electron que se mueve con una velocidad de 106 m/s describeuna orbita circular en el seno de un campo magnetico uniforme devalor 0,1 T cuya direccion es perpendicular a la velocidad. Deter-mine:a) El valor del radio de la orbita que realiza el electron.b) El numero de vueltas que da el electron en 0,001 s.Datos: Carga del electron e = 1, 6 · 10−19 C; Masa del electronme = 9, 1 · 10−31 kg.Solucion:a) La fuerza magnetica comunica al electron una aceleracion centrıpeta:

q½vB = mv¢2

RR =

mv

qB

=⇒ R = 5, 688 · 10−5 m

b) Se determina primero la velocidad angular:v = ωR ⇒ ω = 1, 758 · 1010 rad/s yf = 2, 798 · 109 HzLa frecuencia representa el numero de vueltas que da el electron por segundo,en 0,001 s dara: 2, 798 · 109 vueltas

18. Una partıcula de carga q = 1, 6 · 10−19 C se mueve en un campomagnetico uniforme de valor B = 0, 2 T, describiendo una circunfer-encia en un plano perpendicular a la direccion del campo magneticocon perıodo de 3, 2 · 10−7 s, y velocidad de 3, 8 · 106 m/s. Calcule:a) El radio de la circunferencia descrita.b) La masa de la partıcula.Solucion:a) El radio de la circunferencia descrita:

v = ωR ⇒ 3,8 · 106 =2π

3, 2 · 10−7R ⇒ R = 0, 193 m

b) Y la masa de la partıcula es:

q½vB = mv¢2

R⇒ m =

qBR

vm = 1, 67 · 10−27 kg

19. Una partıcula cargada se mueve en lınea recta en una deter-minada region. a) Si la carga de la partıcula es positiva ¿Puedeasegurarse que en esa region el magnetico es nulo? b) ¿Cambiarıasu respuesta si la carga fuese negativa en vez de ser positiva?



Solucion:a) NO, porque el campo magnetico puede ser paralelo a la velocidad y noexperimentarıa desviacion alguna.~F = q(~v × ~B) si ~B es ‖ a ~v ⇒ ~F = 0.b) NO, el signo de la carga solo modifica el sentido de la desviacion. Uncampo paralelo al movimiento de una carga tampoco desvıara a una carganegativa.

20. Sea un conductor rectilıneo y de longitud infinita, por el quecircula una intensidad de corriente I = 5 A. Una espira cuadradade lado a = 10 cm esta colocada con dos de sus lados paralelos alconductor rectilıneo, y con su lado mas proximo a una distanciad = 3 cm de dicho conductor. Si la espira esta recorrida por unaintensidad de corriente I ′ = 0, 2 A en el sentido que se indica en lafigura, determine:a) El modulo, la direccion y el sentido del campo magnetico creadopor el conductor rectilıneo en cada uno de los lados de la espiraparalelos a dicho conductor.b) El modulo, la direccion y el sentido de la fuerza ejercida sobrecada uno de los lados de la espira paralelos al conductor rectilıneo.Datos: Permeabilidad magnetica del vacıo µ0 = 4π · 10−7 NA−2.Solucion:

0,2 A

10 cm3 cm

I´B1

F1 F2

B2

I´

0,2 A

10 cm3 cm

I´

5 A 5 A

I´


a) El campo magnetico creado por un conductor rectilıneo e indefinido en unpunto P a una distancia d del conductor es:



B =µ0I

2πd⇒

B1 = 3, 33 · 10−5 T

B2 = 7, 692 · 10−6 T

b) las fuerzas estan dibujadas en la figura y su modulo es:

~F = I ′(~l × ~B) ⇒

F1 = 6, 67 · 10−7 N

F2 = 1, 538 · 10−7 N

21. Un electron se mueve con velocidad v en una region del es-pacio donde coexisten un campo electrico y un campo magnetico,ambos estacionarios. Razone si cada uno de estos campos realiza ono trabajo sobre la carga.Solucion:El trabajo es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.W = ~F · ~s = Fs cos α.El campo electrico, ~E, NO realiza trabajo si es perpendicular a la velocidaddel electron, W = q ~E · ~s = qEs cos α. en los demas casos siempre realizatrabajo.El campo magnetico, ~B, NO realiza trabajo en ningun caso porque la fuerzamagnetica siempre es perpendicular a ~v y ~B y perpendicular tambien al de-splazamiento. W = q(~v × ~B) · ~s = 0.

22. En la figura se representan dos hilos conductores rectilıneosde gran longitud que son perpendiculares al plano del papel y lle-van corrientes de intensidades I1 e I2 de sentidos hacia el lector.a) Determine la relacion entre I1 e I2 para que el campo magneticoB en el punto P sea paralelo a la recta que une los hilos indicadaen la figura.b) Para la relacion entre I1 e I2 obtenida anteriormente, determinela direccion del campo magnetico B en el punto Q (simetrico delpunto P respecto del plano perpendicular a la citada recta que unelos hilos y equidistante de ambos).Nota: b y c son las distancias del punto P a los hilos conductores.Solucion:a) Los campos creados en P por los conductores 1 y 2 son:

B2 =µ0I2

2πc

B1 =µ0I1

2πb

⇒

tg α =B2

B1

3

4=

I2

I1

b

c

⇒ I1 = I2

b) Viendo la simetrıa del problema se comprueba que el campo es identico y



paralelo a la recta que une los hilos, y vale:

B =√

B21 + B2

2 ⇒ B =µ0

2π

√I21

c2+

I22

b2⇒ B = 8, 33 · 10−4 · I T

I1 I

1

I2 I

2

90º90ºB

1

B2

B2

B1

a

b = 3 cm

c=

4cm


23. Tres hilos conductores rectilıneos y paralelos, infinitamente lar-gos, pasan por los vertices de un triangulo equilatero de 10 cm delado, segun se indica en la figura. Por cada uno de los conductorescircula una corriente de 25 A en el mismo sentido, hacia fuera delplano del papel. Calcule:a) El campo magnetico resultante en un punto del conductor C3 de-bido a los otros dos conductores. Especifique la direccion del vectorcampo magnetico.b) La fuerza resultante por unidad de longitud ejercida sobre elconductor C3. Especifique la direccion del vector fuerza.Datos: Permeabilidad magnetica del vacıo µ0 = 4π · 10−7 NA−2.Solucion:a) El campo en C3 que crean las corrientes I1 e I2 son iguales y forman unangulo de 60o.

B = 2µ0I

2πdcos(30) ⇒ ~B = −8, 66 · 10−5 ~i T

b) Teniendo en cuenta la fuerza ejercida por un campo sobre un conductorperpendicular:

~F = I(~l × ~B) ⇒ |~F | = IlB ⇒ F

l= 2, 165 · 10−3 N/m



10 cm

C3

C2

C1

10 cm

C3

C2

C1

B1

B2


24. Un proton penetra en una region donde existe un campo magneticouniforme. Explique que tipo de trayectoria describira el proton sisu velocidad es:a) Paralela al campo.b) Perpendicular al campo.c) ¿Que sucede si el proton se abandona en reposo en el campomagnetico?d) ¿En que cambiarıan las anteriores respuestas si en lugar de unproton fuera un electron?Solucion:La fuerza magnetica sobre una carga en movimiento viene expresada por lafuerza de Lorentz ~F = q(~v × ~B).

a) Si ~v es paralelo a ~B no actua ninguna fuerza magnetica. La trayectoriasera RECTILINEA y el movimiento sera rectilıneo y uniforme.b) Si ~v es perpendicular a ~B actua una fuerza magnetica perpendicular ala trayectoria. La trayectoria sera CIRCULAR y el movimiento sera circularuniforme.c) Si ~v = 0 no actua ninguna fuerza magnetica y permanecera en reposo.d) Si en lugar de un proton se trata de un electron solo en el caso b) se pro-ducirıa una trayectoria circular en sentido contrario. En los otros dos casosa) y c) no se produce variacion alguna.

25. Una partıcula de carga positiva q se mueve en la direcciondel eje de las X con una velocidad constante ~v = a ~i y entra enuna region donde existe un campo magnetico de direccion eje Y ymodulo constante ~B = B ~j.a) Determine la fuerza ejercida sobre la partıcula en modulo, di-reccion y sentido.b) Razone que trayectoria seguira la partıcula y efectue un esque-ma grafico.Solucion:a) Considerando la fuerza de Lorentz: ~F = q(~v × ~B)



~F = q(a ~i×B ~j) ⇒ ~F = qaB ~k Nb) La trayectoria que seguira la partıcula sera CIRCULAR, como se muestraen la figura.

x

y

B

z

v

F


26. Por dos hilos conductores, rectilıneos y paralelos, de gran lon-gitud, separados una distancia de 10 cm, circulan dos corrientes deintensidades 2 A y 4 A respectivamente, en sentidos opuestos. Enun punto P del plano que definen los conductores, equidistante deambos, se introduce un electron con una velocidad de 4 · 104 m/sparalela y del mismo sentido que la corriente de 2 A. Determine:a) El campo magnetico en la posicion P del electron.b) La fuerza magnetica que se ejerce sobre el electron situado enP.Datos: Permeabilidad magnetica del vacıo µ0 = 4π ·10−7 NA−2; Car-ga del electron e = 1, 6 · 10−19 C.Solucion:

Bv

F

2 A4 A

I1

I2

Figura 32: Campo magnetico creado por dos conductores paralelos e in-definidos de sentidos contrarios

a) Los campos creados en P por las dos corrientes tiene el mismo sentido yse suman.



B = B1 + B2 ⇒ B =µ0I1

2πd+

µ0I2

2πd⇒ B = 2, 4 · 10−5 T

b) La fuerza ejercida por el campo sobre el electron es:~F = q(~v × ~B) ⇒ F = 1, 536 · 10−19 N

27. Un conductor rectilıneo indefinido transporta una corriente de10 A en el sentido positivo del eje Z. Un proton, que se mueve a2 · 105 m/s, se encuentra a 50 cm del conductor. Calcule el modulode la fuerza ejercida sobre el proton si su velocidad:a) Es perpendicular al conductor y esta dirigida hacia el.b) Es paralela al conductor.c) Es perpendicular a las direcciones definidas en los apartados a)y b).d) ¿En que casos, de los tres anteriores, el proton ve modificada suenergıa cinetica?Datos: Permeabilidad magnetica del vacıo µ0 = 4π ·10−7 NA−2. Car-ga del electron e = 1, 6 · 10−19 C.Solucion:

v B

F

10 Av

B

F

10 A

a) b)

y

z

x


a) Si la velocidad del proton es perpendicular al conductor tambien es per-pendicular al campo.

~v = −v~j; ~B = −µ0I

2πd~i ⇒ ~F = q(~v× ~B) ⇒ ~F = −qv

µ0I

2πd~k ⇒ ~F = −1, 8 · 10−19~k N

b) Si la velocidad del proton es paralela al conductor, el modulo de la fuerzaes el mismo aunque el sentido difiere como se ve en la figura.

~v = v~k; ~B = −µ0I

2πd~i ⇒ ~F = q(~v× ~B) ⇒ ~F = −qv

µ0I

2πd~j ⇒ ~F = −1, 8 · 10−19~j N

c) En este caso la velocidad del proton es paralela al campo y

~v = v~i; ~B = −µ0I

2πd~i ⇒ ~F = q(~v × ~B) ⇒ ~F = 0 ⇒ ~F = 0 N

d) En nigun caso el proton modifica su energıa cinetica porque la fuerzasiempre es centrıpeta y no modifica su velocidad.

28. En una region del espacio existe un campo magnetico uniforme



dirigido en el sentido negativo del eje Z. Indique mediante un es-quema la direccion y el sentido de la fuerza que actua sobre unacarga, en los siguientes casos:a) La carga es positiva y se mueve en el sentido positivo del eje Z.b) La carga es negativa y se mueve en el sentido positivo del eje X.Solucion:a) La fuerza es cero porque ~v y ~B son paralelos.

b) ~F = −q(~v × ~B) ⇒ ~F = −q(v ~i×−B ~k) ⇒ ~F = −qvB ~j N

x

y

B

z

v

a)x

y

B

z

v

b)

F


29. Un electron se mueve describiendo una trayectoria circular ba-jo la accion de un campo magnetico uniforme de valor 10−3 T. Si elmomento angular del electron respecto al centro de la trayectoriaes 4 · 10−25 kg·m/s determine:a) El radio de la trayectoria.b) la velocidad del electron.Datos: Carga del electron e = 1, 6 · 10−19 C; Masa del electronme = 9, 1 · 10−31 kg.Solucion:a) El electron realiza una trayectoria circular debido a la fuerza magnetica.

q½vB = mv¢2

r⇒ r =

mv

qBPor otro lado el momento angular del electron es:~L = ~r ×m~v ⇒ L =

mv

qBmv ⇒ v = 8,79 · 106 m/s

y r =mv

qB⇒ r = 0, 05 m

30. Por un hilo conductor recto e infinito circula una corrientede 10 A. Una espira metalica cuadrada de lado 20 cm, y recorridapor una corriente de 5 A, se encuentra situada a 20 cm del hilosegun indica la figura. Calcule modulo, direccion y sentido de:



a) El campo magnetico creado por el hilo conductor en un puntodel lado c de la espira paralelo al hilo.b) La fuerza ejercida sobre el lado c de la espira debido a dichocampo magnetico.Dato: Permeabilidad magnetica del vacıo µ0 = 4π · 10−7 NA−2.Solucion:

10 A

20 cm20 cm

F

B

I´

5 A

y

z

x


a) El campo magnetico en el lado c es:

Bc =µ0I

2πd⇒ Bc = 5 · 10−6 T

b) Y la fuerza en c:~F = I ′(~l × ~Bc) ⇒ ~F = 5(0, 2 · ( ~−k)× 5 · 10−6 · ( ~−i)) ⇒ ~F = 5 · 10−6~j N

31. Una partıcula cargada pasa sin ser desviada de su trayectoriarectilınea a traves de dos campos, electrico y magnetico, perpen-diculares entre sı. El campo electrico esta producido por dos placasmetalicas paralelas (situadas a ambos lados de la trayectoria) sep-aradas 1 cm y conectadas a una diferencia de potencial de 80 V. Elcampo magnetico vale 0,002 T. A la salida de las placas, el campomagnetico sigue actuando perpendicularmente a la trayectoria dela partıcula, de forma que esta describe una trayectoria circular de1,14 cm de radio. Determine:a) La velocidad de la partıcula en la region entre las placas.b) La relacion masa/carga de la partıcula.Solucion:a) El campo electrico entre las armaduras (condensador) es:

E =V

d⇒ E = 8000 N/C

La partıcula no se desvıa porque la fuerza electrica es igual a la magnetica:



¢qE = ¢qvB ⇒ v =E

Bv = 4 · 106 m/s

b) En ausencia del campo electrico el campo magnetico hace que la partıculadescriba una trayectoria circular.

q½vB = mv¢2

r⇒ m

q=

Br

v⇒ m

q= 5, 7 · 10−12

y se trata de un electron.

Fe

B

Fm

v

r

E


32. Dos hilos conductores de gran longitud, rectilıneos y paralelos,estan separados una distancia de 50 cm, tal como se indica enla figura. Si por los hilos circulan corrientes iguales de 12 A deintensidad y con sentidos opuestos, calcule el campo magneticoresultante en los puntos indicados en la figura:a) Punto P equidistante de ambos conductores.b) Punto Q situado a 50 cm de un conductor y a 100 cm del otro.Dato: Permeabilidad magnetica del vacıo µ0 = 4π · 10−7 NA−2.Solucion:

12 A

P Q

50 cm

12 A

50 cm

12 A

P

Q

50 cm

12 A

50 cm

B1

B1B2

B2


a) En el punto P se suman los campos.



BP = B1 + B2 ⇒ BP = 2µ0I

2πd⇒ −→

BP = −1, 92 · 10−5 ~k T

b) En el punto Q los campos tienen sentidos opuestos.

BQ = B2 −B1 ⇒ BQ =µ0I

2πr2Q

− µ0I

2πr1Q

⇒ −→BQ = 2, 4 · 10−6 ~k T

33. Por un hilo conductor rectilıneo y de gran longitud circulauna corriente de 12 A. El hilo define el eje Z de coordenadas yla corriente fluye en el sentido positivo. Un electron se encuentrasituado en el eje Y a una distancia del hilo de 1 cm. Calcule elvector aceleracion instantanea que experimentarıa dicho electronsi:a) Se encuentra en reposo.b) Su velocidad es de 1 m/s segun la direccion positiva del eje Y.c) Su velocidad es de 1 m/s segun la direccion positiva del eje Z.d) Su velocidad es de 1 m/s segun la direccion negativa del eje X.Datos: Permeabilidad magnetica del vacıo µ0 = 4π ·10−7 NA−2. Car-ga del electron e = 1, 6 · 10−19 C; Masa del electron me = 9, 1 · 10−31

kg.Solucion:La fuerza magnetica que experimenta un electron en movimiento dentro deun campo magnetico viene expresada por la fuerza de Lorentz:~F = −q(~v × ~B)El campo magnetico que crea el conductor rectilıneo es:

B =µ0I

2πd⇒ B = −2, 4 · 10−4~i

a) Si el electron se encuentra en reposo la ~v = 0 ⇒ ~F = 0 y ~a = 0 m/s2

b) Si la velocidad del electron es ~v = ~j~F = −q(~j×−2, 4·10−4~i) ⇒ F = −3, 84·10−3 ~k N y ~a = −4, 215 · 107 ~k m/s2

c) Si la velocidad del electron es ~v = ~k~F = −q(~k ×−2, 4 · 10−4 ~i) ⇒ F = 3, 84 · 10−3 ~j N y ~a = 4, 21 · 107 ~j m/s2

d) Si la velocidad del electron es ~v =~i~F = −q(~i×−2, 4 · 10−4 ~i) ⇒ F = 0 N y ~a = 0 m/s2

34. Una partıcula cargada penetra con velocidad v en una regionen la que existe un campo magnetico uniforme B. Determine laexpresion de la fuerza ejercida sobre la partıcula en los siguientescasos:a) La carga es negativa, la velocidad es v = V0

~j y el campo magnetico

es: B = −B0~k.

b) La carga es positiva, la velocidad es v = V0(~j + ~k) y el campo



magnetico es: B = B0~j.

Nota: Los vectores ~i, ~j y ~k son los vectores unitarios segun los ejesX, Y y Z respectivamente.Solucion:La fuerza magnetica que experimenta una partıcula cargada en movimientodentro de un campo magnetico viene expresada por la fuerza de Lorentz:~F = q(~v × ~B)

a) Si la carga es negativa, la v = V0~j y el B = −B0

~k.~F = −q(V0

~j ×−B0~k) ⇒ ~F = +qV0B0

~i N

b) Si la carga es positiva, v = V0(~j + ~k) y el B = B0~j.

~F = q(V0(~j + ~k)×B0~j) ⇒ ~F = −qV0B0

~i N

35. La figura representa una region en la que existe un campomagnetico uniforme B, cuyas lıneas de campo son perpendicularesal plano del papel y saliendo hacia fuera del mismo. Si entran suce-sivamente tres partıculas con la misma velocidad v, y describe cadauna de ellas la trayectoria que se muestra en la figura (cada partıcu-la esta numerada):a) ¿Cual es el signo de la carga de cada una de las partıculas?b) ¿En cual de ellas es mayor el valor absoluto de la relacion car-ga/masa (q/m).Solucion:

v

3

1

2


Segun el dibujo: v = v ~i y el B = B ~k.La fuerza de lorentz es: ~F = q(~v × ~B)

a) Sustituyendo valores: ~F = q(v ~i×B ~k) ⇒ ~F = −qvB ~jLa partıcula 1 sera NEGATIVA porque su direccion es +~jLa partıcula 2 es NEUTRA porque no se desvıa.La partıcula 3 sera POSITIVA porque su direccion es −~jb) Considerando que la fuerza magnetica produce una fuerza centrıpeta:



q½vB = mv¢2

r⇒ q

m=

v

Br, y se comprueba que a menor radio, r, mayor

relacion q/m. Luego en la partıcula 3 se presenta mayor relacion carga/masa.

36. Dos conductores rectilıneos, indefinidos y paralelos, perpendic-ulares al plano XY, pasan por los puntos A(80, 0) y B(0, 60) segunindica la figura, estando las coordenadas expresadas en cm. Lascorrientes circulan por ambos conductores en el mismo sentido,hacia fuera del plano del papel; siendo el valor de la corriente I1 de6 A. Sabiendo que I2 > I1 y que el valor del campo magnetico en elpunto P, punto medio de la recta que une ambos conductores, esde B = 10 · 10−7 T, determine:a) El valor de la corriente I2.b) El modulo; la direccion y el sentido del campo magnetico en elorigen de coordenadas O, utilizando el valor de I2 obtenido anteri-ormente.Datos: Permeabilidad magnetica del vacıo µ0 = 4π · 10−7 NA−2.Solucion:

y

x

B

I1

I2

A

P

O

y

x

B

I1

I2

A

P

O

B1

B2

B2

B1


a) El campo en P es de sentidos contrarios: BP =µ0I2

2πd− µ0I1

2πd

⇒ BP =µ0

2πd(I2 − I1) ⇒ 10 · 10−7 =

4π · 10−7

2πd(I2 − 6) I2 = 8, 5 A

b) En el origen de coordenadas los campos creados forman angulo recto.

~B =µ0I1

2πy~i− µ0I2

2πx~j ⇒ ~B =

4π · 10−7 · 62π · 0, 6

~i− 4π · 10−7 · 8, 52π · 0, 8

~j ⇒~B = 2 · 10−6 ~i− 2, 125 · 10−6 ~j T y | ~B| = 2, 918 · 10−6 T

37. Un proton que se mueve con una velocidad v entra en una



region en la que existe un campo magnetico B uniforme. Expliquecomo es la trayectoria que seguira el proton:a) Si la velocidad del proton v es paralela a B.b) Si la velocidad del proton v es perpendicular a B.Solucion:Si la velocidad v, es paralela al campo B, entonces la fuerza F es cero y latrayectoria es RECTILINEA.Si la velocidad v, es perpendicular al campo B, entonces la fuerza ~F =q(~v× ~B) es perpendicular a ~v y ~B y la aceleracion es unicamente centrıpeta,la trayectoria sera CIRCULAR

38. Indique el tipo de trayectoria descrita por una partıcula carga-da positivamente que posee inicialmente una velocidad ~v = v ~i alpenetrar en cada una de las siguientes regiones:a) Region con un campo magnetico uniforme: B = B ~i.b) Region con un campo electrico uniforme: E = E ~i.c) Region con un campo magnetico uniforme: B = B ~j.d) Region con un campo electrico uniforme: E = E ~j.Nota: Los vectores ~i y ~j son los vectores unitarios segun los ejes Xe Y respectivamente.Solucion:La velocidad es ~v = v ~i.La fuerza electrica es ~Fe = q ~E.La fuerza magnetica es ~Fm = q(~v × ~B).

a) Si B = B ~i ⇒ ~Fm = q(v ~i × B ~i) ⇒ ~Fm = 0, la trayectoria es REC-TILINEA y el movimiento rectilıneo y uniforme.b) Si E = E ~i ⇒ ~Fe = q E ~i, hay una fuerza en la misma direccion que lavelocidad, la trayectoria es RECTILINEA y el movimineto uniformementeacelerado.c) Si B = B ~j ⇒ ~Fm = q(v ~i × B ~j) ⇒, la trayectoria es CIRCULAR y elmovimiento circular uniforme.d) E = E ~j ⇒ ~Fe = q E ~j, hay una fuerza de direccion perpendicular quele comunica una aceleracion en el eje y, la trayectoria es una PARABOLAy el movimineto es la composicion de dos, uno uniforme en el eje x y otrouniformemente acelerado en el eje y.

39. a) ¿Cual es la velocidad de un electron cuando se mueve enpresencia de un campo electrico de modulo 3, 5 · 105 N/C y de uncampo magnetico de 2 T, ambos mutuamente perpendiculares y, asu vez, perpendiculares a la velocidad del electron, para que este



no se desvıe?b) ¿Cual es el radio de la orbita descrita por el electron cuando sesuprime el campo electrico?Datos: Carga del electron e = 1, 6 · 10−19 C; Masa del electronme = 9, 1 · 10−31 kg.Solucion:

Fe

B

Fm

v

r

E


a) La fuerza electrica debe sser igual a la fuerza magnetica:

−qE = −qvB ⇒ v =E

B⇒ v = 1, 75 · 105 m/s

b) Si se suprime el campo electrico solo actua la fuerza magnetica:

q½vB = mv¢2

r⇒ r =

mv

qB⇒ r = 4, 97 · 10−7 m

40. Tres hilos conductores rectilıneos, muy largos y paralelos, sedisponen como se muestra en la figura (perpendiculares al planodel papel pasando por los vertices de un triangulo rectangulo). Laintensidad de corriente que circula por todos ellos es la misma,I=25 A, aunque el sentido de la corriente en el hilo C es opuestoal de los otros dos hilos. Determine:a) El campo magnetico en el punto P, punto medio del segmentoAC.b) La fuerza que actua sobre una carga positiva Q = 1, 6 · 10−19 Csi se encuentra en el punto P moviendose con una velocidad de 106

m/s perpendicular al plano del papel y con sentido hacia fuera.Datos: Permeabilidad magnetica del vacıo µ0 = 4π · 10−7 NA−2.Solucion:



B

I

A

P

C

I

10 cm

10 c

m

B

I

A

BA

C

I

10 cm

10 c

m BC

BB


a) El campo en P es: ~B =−→BA +

−→BB +

−→BC

−→BA =

µ0I

2πd⇒ |−→BA| = 7, 07 · 10−5 T

|−→BA| = |−→BB| = |−→BC | y |B| =√

(2|BA|)2 + |BB|2 ⇒ B = 1, 58 · 10−4 T

b) Como ~v y ~B son perpendiculares: F = QvB ⇒ F = 2, 528 · 10−17 N

41. Por un hilo conductor rectilıneo e infinitamente largo, situadosobre el eje X, circula una corriente electrica en el sentido positivodel eje X. El valor del campo magnetico producido por dicha cor-riente es de 3 · 10−5 T en el punto P(0,-dP,0), y es de 4 · 10−5 T enel punto Q (0,+dQ,0). Sabiendo que dP+dQ=7 cm, determine:a) La intensidad que circula por el hilo conductor.b) Valor y direccion del campo magnetico producido por la corri-ente en el punto de coordenadas (0,6 cm,0).Datos: Permeabilidad magnetica del vacıo µ0 = 4π · 10−7 NA−2. Lascantidades dP y dQ son positivas.Solucion:a) El campo magnetico en los puntos P y Q son:

3 · 10−5 =µ0I

2πdP

4 · 10−5 =µ0I

2πdQ

⇒

dP

dQ=

4

3

dP + dQ = 7

⇒ dP = 3 cm; dQ = 4 cmy I = 6 A


1.3 Induccion electromagnetica Problemas resueltos

1.3. Induccion electromagnetica

1. Explica el fundamento fısico del funcionamiento de un elec-troiman. Aplicaciones.Solucion:Un electroiman es un bobinado enrrollado sobre un nucleo de hierro dulce,que presenta dominios magneticos inestables. Cuando circula corriente por elbobinado se orientan los dominios magneticos y se magnetiza el nucleo, perocuando deja de pasar corriente vuelven a quedar orientados aleatoriamentelos dominios magneticos y se desmagnetiza el nucleo.Las aplicaciones mas corrientes son en timbres o avisadores, en reles, en mag-netotermicos o limitadores de potencia etc.

2. Un transformador consta de dos bobinas una de 10000 espi-ras y otra de 200 espiras: a) ¿Cual es el primario si se desea elevarla tension? b) Si se aplica al primario una tension de 220 V ¿cuales la tension en los bornes del secundario? Justifica la respuesta.Solucion:a) La fuerza electromotriz inducida en un circuito es directamente propor-cional al numero de vueltas segun la ley de Faraday.

V1

V2

=N1

N2

Si lo que se pretende es elevar la tension el primario tendra N1 = 200 vueltasb) Y en los bornes del secundario la tension sera:220

V2

=200

1000⇒ V2 = 1100 vueltas

3. Explica el fundamento fısico del funcionamiento de un generadorde corriente alterna ¿Que ley fundamental del electromagnetismonecesitas para ello? ¿Cual es su enunciado?Solucion:Se produce corriente alterna cuando una bobina gira perpendiculamente aun campo magnetico, entonces en sus extremos se genera una fuerza electro-motriz inducida que viene determinada por la ley de Faraday.

ξ = −NdΦ

dt= −N

d( ~B · ~S)

dt⇒ ξ = −NBS

d(cos ωt)

dt

ξ = NBSω sen ωt donde ξmax = NBSω



La ley de Faraday dice que la fuerza electromotriz inducida en un circuitoes directamente proporcional, y de sentido contrario, a la variacion de flujomagnetico que lo atraviesa.

4. Un conductor rectilıneo de 10 cm de longitud esta colocado enun campo magnetico uniforme, de induccion magnetica 2 T, per-pendicularmente a su direccion. Si dicho conductor se traslada conuna velocidad de modulo constante e igual a 0,8 m/s, en una direc-cion perpendicular a la direccion del campo magnetico y al propioconductor, calcular: a) El flujo magnetico a traves de la superficiebarrida por el conductor en 10 segundos. b) La diferencia de po-tencial inducida entre los extremos del conductor.Solucion:a) El area barrida por el conductor en 10 s es:S = L · e ⇒ S = L · vt ⇒ S = 0, 1 · 0, 8 · 10 ⇒ S = 0, 8 m2

Y el flujo de induccion magnetica que atraviesa esta superficie es:Φ = B · S ⇒ Φ = 2 · 0, 8 ⇒ Φ = 1, 6 Wbb) La diferencia de potencial inducida en los estremos del conductor es:

V =∆Φ

∆t⇒ V =

1, 6

10⇒ V = 0, 16 V

Tambien se puede calcular: V = vLB ⇒ V = 0, 8 · 0, 1 · 2 ⇒ V = 0, 16 V.

5. Una bobina circular de 20 espiras y radio 5 cm se coloca enun campo magnetico dirigido perpendicularmente al plano de labobina. El modulo del campo magnetico varıa con el tiempo deacuerdo con la expresion: B = 0, 02 t+0, 08 t2 (t en segundos y B enteslas); Determinar: a) El flujo magnetico que atraviesa la bobinaen funcion del tiempo. b) La f.e.m. inducida en la bobina para t =5 s.Solucion:a) El flujo magnetico que atraviesa la vbobina es:

Φ = ~B · ~S ⇒ Φ = (0, 02 · t + 0, 08 · t2)π(5 · 10−2)2 ⇒Φ = 5π10−5 · t + 2π10−4 · t2 Wb

b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina a los 5 s es:

ξ = −NdΦ

dt⇒ ξ = −20π(5 · 10−5 + 4 · 10−4 · t) y para t = 5 s se tiene:

ξ = −0, 129 V

6. Una espira cuadrada de 5 cm de lado, situada en el plano XY,se desplaza con velocidad ~v = 2 ~i cm/s, penetrando en el instantet = 0 en una region del espacio en donde hay un campo magnetico



uniforme ~B = 20 ~k mT, segun se indica en la figura.a) Determine la fuerza electromotriz inducida y representela grafi-camente en funcion del tiempo.b) Calcule la intensidad de la corriente en la espira si su resistenciaes de 10 Ω. Haga un esquema indicando el sentido de la corriente.Solucion:

y

x

v

B

x0

x

F


a) Segun la Ley de Faraday y Lenz: ξ = −NdΦ

dt

ξ = −d( ~B · ~S)

dt⇒ ξ = −d(B lx)

dt⇒ ξ = −Blv ⇒

ξ = −20 · 10−35 · 10−2 · 2 · 10−2 ⇒ ξ = 2 · 10−5 VEl flujo magnetico que atraviesa la espira aumenta de forma constante, segunentra la espira en el campo. Una vez dentro ya no hay variacion de flujo yno se induce fuerza electromotriz.b) La intensidad de corriente que circula por la espira segun la ley de Ohm

es: I =ξ

R⇒ I =

2 · 10−5

10⇒ I = 2 · 10−6 A

7. a) ¿Que es un transformador? ¿Por que son utiles para el trans-porte de la energıa electrica? b) Si el primario de un transformadortiene 1200 espiras y el secundario 100 ¿que tension habra queaplicar al primario para tener en la salida del secundario 6 V?Solucion:a) Es un dispositivo que transforma la corriente, de mayor potencial a menorpotencial y viceversa.Los transformadores permiten elevar la tension y de este modo disminuir laintensidad que circula minimizando las perdidas de energıa por efecto Joule.“El calor que se disipa en un conductor es directamente proporcional a laIntensidad al cuadrado a la resitencia y al tiempo que esta circulando la cor-riente Q = I2Rt”

b) La ecuacion de un transformador es:V1

V2

=N1

N2

⇒ V1 = V2N1

N2

⇒



V1 = 61200

100⇒ V1 = 72 V

8. Una bobina circular de 30 vueltas y radio 4 cm se coloca enun campo magnetico dirigido perpendicularmente al plano de labobina. El modulo del campo magnetico varıa con el tiempo deacuerdo con la expresion B = 0, 01t + 0, 04t2, donde t esta expresadoen segundos y B en teslas. Calcule:a) El flujo magnetico que atraviesa la bobina en funcion del tiempo.b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina para t = 5 s.Solucion:a) El flujo de induccion magnetica que atraviesa una superficie se define co-

mo: Φ = ~B · ~S ⇒ Φ = 1, 6 · 10−5π (t + 4t2) Wbb) La fuerza electromotriz inducida segun la Ley de Faraday y Lenz es:

ξ = −NdΦ

dt⇒ ξ = −30 · 1, 6 · 10−5π (1 + 8t)

y la fuerza electromotriz para t = 5 s es: ξ = 0, 062 V

9. Un campo magnetico uniforme y constante de 0,01 T esta dirigi-do a lo largo del eje Z. Una espira circular se encuentra situada enel plano XY, centrada en el origen, y tiene un radio que varıa en eltiempo segun la funcion: r = 0, 1− 10t (en unidades SI). Determine:a) La expresion del flujo magnetico a traves de la espira.b) En que instante de tiempo la fuerza electromotriz inducida enla espira es 0,01 V.Solucion:a) El flujo de induccion magnetica que atraviesa una superficie se define co-

mo: Φ = ~B · ~S ⇒ Φ = 0, 01 · π (0, 1− 10t)2 Wbb) La fuerza electromotriz inducida segun la Ley de Faraday y Lenz es:

ξ = −NdΦ

dt⇒ ξ = 0, 01 · π 20(0, 1− 10t)

y cuando la fem es de 0,01 V el tiempo es: t = 8, 41 · 10−3 s

10. Sobre un hilo conductor de resistencia despreciable, que tienela forma que se indica en la figura, se puede deslizar una varillaMN de resistencia R = 10 Ω en presencia de un campo magneticouniforme B, de valor 50 mT, perpendicular al plano del circuito.La varilla oscila en la direccion del eje X de acuerdo con la expre-sion x = x0 + A sen ωt, siendo x0 = 10 cm, A = 5 cm, y el periodo deoscilacion T = 10 s.a) Calcule y represente graficamente, en funcion del tiempo, el flu-jo magnetico que atraviesa el circuito.



b) Calcule y represente graficamente, en funcion del tiempo, la cor-riente en el circuito.

y

x

B

M

N

2 c

m


Solucion:a) El flujo de induccion magnetica que atraviesa el circuito es: Φ = ~B · ~S ⇒Φ = 50·10−3·2·10−4

(10+5 sen(

2π

10t)

) ⇒ Φ = 10−4 + 5 · 10−5 · sen(0, 2π t) Wb

b) La fem es ξ = −dΦ

dt⇒ ξ = −π · 10−5 · cos(0, 2π t).

La intensidad de corriente que circula por el circuito segun la ley de Ohm es:

I =ξ

R⇒ I = −π · 10−6 · cos(0, 2π t) A

Finalmente se representa el flujo magnetico Φ(t), la fuerza electromotriz in-ducida ξ(t) y la intensidad de la corriente I(t), en funcion del tiempo.

F

x

I

Figura 44: flujo, fem e intensidad en funcion del tiempo

11. Una bobina de seccion circular gira alrededor de uno de susdiametros en un campo magnetico uniforme de direccion perpen-



dicular al eje de giro. Sabiendo que el valor maximo de la fuerzaelectromotriz inducida es de 50 V cuando la frecuencia es de 60 Hz,determine el valor maximo de la fuerza electromotriz inducida:a) Si la frecuencia es 180 Hz en presencia del mismo campo magnetico.b) Si la frecuencia es 120 Hz y el valor del campo magnetico se du-plica.Solucion:a) La fuerza electromotriz inducida en la bobina segun la ley de faraday es:

ξ = −NdΦ

dt⇒ ξ = −N

d( ~B · ~S)

dtComo da vueltas la bobina con una velocidad ω, se tiene:

ξ = −Nd(B · S cos(ωt))

dt⇒ ξ = NBSω sen(ωt) y la ξmax = NBS2πf

a) Si la frecuencia es de 180 Hz, la fem es comparando expresiones:50 = NBS2π60ξmax = NBS2π180

⇒ ξmax = 150 V

b) Ahora si el campo magnetico se duplica y la frecuencia es de 120 Hz:50 = NBS2π60ξmax = N2BS2π120

⇒ ξmax = 200 V

12. Para transformar el voltaje de 220 V de la red electrica a unvoltaje de 12 V que necesita una lampara halogena se utiliza untransformador:a) ¿Que tipo de transformador debemos utilizar? Si la bobina delprimario tiene 2200 espiras ¿cuantas espiras debe tener la bobinadel secundario?b) Si la lampara funciona con una intensidad de corriente de 5 A¿cual es el valor de la intensidad de la corriente que debe circularpor la bobina del primario?Solucion:a) Un transformador reductor de tension.

12 V

5A

220 V

V ·I =V ·I1 1 2 2

x1

N

N

1

2 2x

=

Figura 45: Leyes del transformador

Utilizando la relacion de transformacion:ξ1

ξ2

=N1

N2

⇒ 220

12=

2200

N2

⇒ N2 = 120 vueltas

b) Aplicando la conservacion de la energıa en el transformador:220 · I1 = 12 · 5 ⇒ I1 = 0, 27 A



13. a) Enuncie las leyes de Faraday y de Lenz de la induccion elec-tromagnetica. b) La espira circular de la figura adjunta esta situa-da en el seno de un campo magnetico uniforme. Explique si existefuerza electromotriz inducida en los siguientes casos: b1) la espi-ra se desplaza hacia la derecha; b2) el valor del campo magneticoaumenta linealmente con el tiempo.


Solucion:a) La fuerza electromotriz inducida en un circuito es igual a la rapidez conque varia de flujo que lo atraviesa (Ley de faraday).La feuerza electromotriz es tal que la corriente inducida se opone a la variacionde flujo que la origina (Ley de Lenz).

ξ = −NdΦ

dt⇒ ξ = −N

d( ~B · ~S)

dtb1) Si la espira se desplaza a la derecha, entonces no hay fem inducida porqueno varıa el flujo que atraviesa la espira.b2) Si el valor del campo aumenta con el tiempo, entonces si hay fem induci-da porque varıa el flujo que atraviesa la espira. Y si la variacion del campoes lineal la fem sera constante. El sentido de la corriente inducida, segun eldibujo representado, sera antihorario.

14. Un solenoide de resistencia 3, 4·10−3 Ω esta formado por 100 espi-ras de hilo de cobre y se encuentra situado en un campo magneticode expresion B = 0, 01 cos(100π t) en unidades SI. El eje del solenoidees paralelo a la direccion del campo magnetico y la seccion transver-sal del solenoide es de 25 cm2. Determine:a) La expresion de la fuerza electromotriz inducida y su valor maxi-mo.b) La expresion de la intensidad de la corriente que recorre elsolenoide y su valor maximo.Solucion:

a) La fuerza electromotriz inducida es: ξ = −NdΦ

dt⇒ ξ = −N

d( ~B · ~S)

dt



ξ = −100d

dt

(25 · 10−4 · 0, 01 cos(100π t)

)

⇒ ξ(t) = 0, 25π sen(100π t) V y ξmax = 0, 25π Vb) La intensidad de la corriente a partir de la ley de Ohm.

I =ξ

R⇒ I(t) = 231 sen(100π t) I e Imax = 231 A

15. Una espira metalica circular, de 1 cm de radio y resistencia10−2 Ω, gira en torno a un eje diametral con una velocidad angularde 2π rad/s en una region donde hay un campo magnetico uniformede 0, 5 T dirigido segun el sentido positivo del eje Z. Si el eje degiro de la espira tiene la direccion del eje X y en el instante t = 0la espira se encuentra situada en el plano XY, determine:a) La expresion de la fuerza electromotriz inducida en la espira enfuncion del tiempo.b) El valor maximo de la intensidad de la corriente que recorre laespira.Solucion:a) La fuerza electromotriz inducida en funcion del tiempo es:

ξ = −NdΦ

dt⇒ ξ = −N

d

dt( ~B · ~S) ⇒ ξ =

d

dt(0, 5π10−4 cos(2πt))

⇒ ξ(t) = 9, 87 · 10−4 sen(2πt) Vb) La intensidad de la corriente en funcion del tiempo.

I =ξ

R⇒ I(t) = 0, 1 sen(2πt) y la intensidad maxima es: Imax = 0, 1 A

16. Una espira circular de 0,2 m de radio se situa en un campomagnetico uniforme de 0,2 T con su eje paralelo a la direccion delcampo. Determine la fuerza electromotriz inducida en la espira sien 0,1 s y de manera uniforme:a) Se duplica el valor del campo.b) Se reduce el valor del campo a cero.c) Se invierte el sentido del campo.d) Se gira la espira un angulo de 90 en tomo a un eje diametralperpendicular a la direccion del campo magnetico.Solucion:

La fuerza electromotriz inducida es: ξ = −∆Φ

∆t⇒ ξ = −∆( ~B · ~S)

∆t

⇒ ξ = −(Bf · S)− (B0 · S)

∆t⇒ ξ = −S

Bf −B0

∆t⇒

a) Si se duplica el valor del campo:

ξ = −π 0, 22(2 · 0, 2− 0, 2

0, 1

)⇒ ξ(t) = −0, 25 V



b) Si se reduce el campo a cero:

ξ = −π 0, 22(0− 0, 2

0, 1

)⇒ ξ(t) = +0, 25 V

c) Si se invierte el campo a -B:

ξ = −π 0, 22(−0, 2− 0, 2

0, 1

)⇒ ξ(t) = 0, 5 V

d) Si se gira 90o el campo que lo atraviesa se anula:

ξ = −π 0, 22(0− 0, 2

0, 1

)⇒ ξ(t) = 0, 25 V

17. Una espira cuadrada de 1, 5 Ω de resistencia esta inmersa enun campo magnetico uniforme B = 0, 03 T dirigido segun el sentidopositivo del eje X. La espira tiene 2 cm de lado y forma un anguloα variable con el plano YZ como se muestra en la figura.a) Si se hace girar la espira alrededor del eje Y con una frecuenciade rotacion de 60 Hz, siendo α = π/2 en el instante t = 0, obten-ga la expresion de la fuerza electromotriz inducida en la espira enfuncion del tiempo.b) ¿Cual debe ser la velocidad angular de la espira para que lacorriente maxima que circule por ella sea de 2 mA?Solucion:a) El flujo que atraviesa la espira en funcion del tiempo es:

Φ = ~B · ~S ⇒ Φ = BS cos α ⇒ Φ = BS cos(ωt + π/2) ⇒ Φ = BS sen(ωt)La fuerza electromotriz inducida en funcion del tiempo es:

ξ(t) =dΦ

dt⇒ ξ(t) = −BSω cos(ωt) ⇒ ξ(t) = 4, 52 · 10−3 sen(120πt) V

x

a

yB

z


b) La corriente que circula por la espira es:

I =ξ

R⇒ I =

BSω cos ωt

Ry la intensidad maxima es: Imax = ±BSω

R



⇒ ω =2 · 10−3 · 1, 50, 03 · 4 · 10−4

⇒ ω = 250 rad/s

18. Un campo magnetico uniforme forma un angulo de 30 conel eje de una bobina de 200 vueltas y radio 5 cm. Si el campomagnetico aumenta a razon de 60 T/s, permaneciendo constantela direccion, determine:a) La variacion del flujo magnetico a traves de la bobina por unidadde tiempo.b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina.c) La intensidad de la corriente inducida, si la resistencia de labobina es 150 Ω.d) ¿Cual serıa la fuerza electromotriz inducida en la bobina, si enlas condiciones del enunciado el campo magnetico disminuyera arazon de 60 T/s en lugar de aumentar?Solucion:a) La variacion de flujo a traves de la bobina.dΦ

dt=

d

dt( ~B · ~S) ⇒ dΦ

dt=

d

dt(BS cos α) ⇒ dΦ

dt=

dB

dt(S cos α) ⇒

dΦ

dt= 0, 408 Wb/s

b) La fem inducida en la bobina. ξ = −NdΦ

dt⇒ ξ = −200 · 0, 408 ⇒

ξ = −81, 62 V

c) La intensidad de la corriente. I =ξ

R⇒ I = −0, 544 A

d) Si disminuye el campo en lugar de aumentar:

⇒ dΦ

dt= 0, 408 Wb/s y I = 0, 544 A

19. En el circuito de la figura la varilla MN se mueve con unavelocidad constante de valor v = 2 m/s en direccion perpendiculara un campo magnetico uniforme de valor B = 0, 4 T . Sabiendo queel valor de la resistencia R = 60 Ω y que la longitud de la varilla esl = 1, 3 m.a) Determine la fuerza electromotriz inducida y la intensidad de lacorriente que circula en el circuito.b) Si a partir de un cierto instante (t = 0) la varilla se frena conaceleracion constante hasta pararse en 2 s, determine la expre-sion matematica de la fuerza electromotriz inducida en funcion deltiempo, en el intervalo de 0 a 2 segundos.



M

N

vR

B

t=2t=0 t

x

-1,04 V

0,52 t-

1,04

V


Solucion:a) La fuerza electromotriz inducida es:

ξ = −dΦ

dt⇒ ξ = − d

dt( ~B · ~S) ⇒ ξ = − d

dt(Blx)

⇒ ξ = −Blv ⇒ ξ = −0, 4 · 1, 3 · 2 ⇒ξ = −1, 04 V y la intensidad es: I =

ξ

R⇒ I =

−1, 04

60⇒ I = −0, 017 A

En el sentido antihorario segun la figura.b) El moviminetro de la varilla sera uniformemente decelerado y se para en2 s. ⇒ v = v0 + at ⇒ 0 = 2 + a2 y la aceleracion sera a = −1 m/s2.La expresion de la velocidad queda: v = 2− ty la fuerza electromotriz: ξ = −Bl(2− t)⇒ ξ = −0, 4 · 1, 3(2− t) ⇒ ξ = 0, 52t− 1, 04 VLa grafica de la fem inducida se expone al lado de la figura.

20. Una espira circular de radio r = 5 cm y resistencia R = 0, 5 Ω seencuentra en reposo en una region del espacio con campo magnetico~B = B0

~k siendo B0 = 2 T y ~k el vector unitario en la direccion Z.El eje normal a la espira en su centro forma 0 con el eje Z. Apartir de un instante t = 0 la espira comienza a girar con velocidadangular constante ω = π rad/s en tomo a un eje diametral. Se pide:a) La expresion del flujo magnetico a traves de la espira en funciondel tiempo t, para t ≥ 0.b) La expresion de la corriente inducida en la espira en funcion det.Solucion:a) El flujo magnetico en funcion del tiempo es: Φ = ~B · ~S ⇒ Φ = BS cos α⇒ Φ = 2 · π(5 · 10−2)2 cos(πt) ⇒ Φ(t) = 0, 016 cos(πt) Wbb) La fuerza electromotriz inducida en funcion del tiempo es:

ξ(t) = −dΦ

dt⇒ ξ(t) = 0, 016π sen(πt) ⇒ ξ(t) = 0, 05 sen(πt) V.

La expresion de la corriente inducida en la espira en funcion del tiempo es:

I(t) =ξ(t)

R⇒ I(t) = 0, 1 sen(πt) A



21. Una espira cuadrada de lado l = 5 cm situada en el plano XYse desplaza con velocidad constante v en la direccion del eje X co-mo se muestra en la figura. En el instante t = 0 la espira encuentrauna region del espacio en donde hay un campo magnetico uniformeB = 0, 1 T , perpendicular al plano XY con sentido hacia dentro delpapel (ver figura).a) Sabiendo que al penetrar la espira en el campo se induce unacorriente electrica de 5 · 10−5 A durante 2 segundos, calcule la ve-locidad v y la resistencia de la espira.b) Represente graficamente la fuerza electromotriz inducida en fun-cion del tiempo desde el instante t = 0 e indique el sentido de lacorriente inducida en la espira.

y

x

B

v

5 cm

t=0

t=0 t=2

x

t


Solucion:a) Si se induce corriente solamente durante 2 segundos es el tiempo que tarda

la espira en entrar en el campo magnetico, v =e

t⇒ v =

5

2⇒ v = 2, 5 cm/s

La resistencia es: R =ξ

I⇒ R =

−Blv

I⇒ R =

−0, 1 · 5 · 10−2 · 2, 5 · 10−2

−5 · 10−5⇒

R = 2, 5 ΩLa corriente inducida es negativa, del mismo sentido que la fuerza electro-motriz.b) La fuerza electromotriz inducida es constante durante los 2 segundos enque esta entrando la espira en el campo, despues no hay variacion de flujo yno hay fuerza electromotriz inducida.El sentido de la corriente inducida es antihorario. Puesto que aumenta el flujomagnetico a traves de la espira durante los dos segundos en los que entra laespira en el acmpo, la corriente inducida se opondra a este aumento de flujoy creara un campo en sentido contrario.El grafico de la fem en funcion del tiempo es el que acompana a la figura.



22. Un solenoide de 200 vueltas y de seccion circular de diametro8 cm esta situado en un campo magnetico uniforme de valor 0,5 T,cuya direccion forma un angulo de 60 con el eje del solenoide. Sien un tiempo de 100 ms disminuye el valor del campo magneticouniformemente a cero, determine:a) El flujo magnetico que atraviesa inicialmente el solenoide.b) La fuerza electromotriz inducida en dicho solenoide.Solucion:a) El flujo magnetico que inicialmente atraviesa el solenoide es: Φ0 = ~B · ~S⇒ Φ0 = B · S cos α ⇒ Φ0 = 0, 5(4 · 10−2)2π cos 60 ⇒ Φ0 = 1, 25 · 10−3 Wb

b) La fuerza electromotriz inducida es: ξ = −N∆Φ

∆t

⇒ ξ = −N0− Φ0

∆t⇒ ξ = +2, 51 V

23. Un solenoide de 20 Ω de resistencia esta formado por 500 es-piras circulares de 2,5 cm de diametro. El solenoide esta situadoen un campo magnetico uniforme de valor 0,3 T, siendo el eje delsolenoide paralelo a la direccion del campo. Si el campo magneticodisminuye uniformemente hasta anularse en 0,1 s, determine:a) El flujo inicial que atraviesa el solenoide y la fuerza electromotrizinducida.b) La intensidad recorrida por el solenoide y la carga transportadaen ese intervalo de tiempo.Solucion:a) El flujo inicial que atraviesa el solenoide es: Φ0 = ~B · ~S⇒ Φ0 = B · S cos α ⇒ Φ0 = 0, 3π(1, 25 · 10−2)2 ⇒ Φ0 = 1, 473 · 10−4 Wb

La fuerza electromotriz inducida es: ξ = −N∆Φ

∆t

⇒ ξ = −5000− 1, 473 · 10−4

0, 1⇒ ξ = +0, 736 V

b) La intensidad de corriente por el solenoide es: I =ξ

R

⇒ I =0, 736

20⇒ I = +0, 037 V

La carga transportada en ese intervalo es: Q = I · t⇒ Q = 0, 037 · 0, 1 ⇒ Q = 3, 68 · 10−3 C

24. Una espira conductora circular de 4 cm de radio y de 0,5 Ωde resistencia esta situada inicialmente en el plano XY. La espirase encuentra sometida a la accion de un campo magnetico uniformeB, perpendicular al plano de la espira y en el sentido positivo del



eje Z.a) Si el campo magnetico aumenta a razon de 0,6 T/s, determinela fuerza electromotriz y la intensidad de la corriente inducida enla espira, indicando el sentido de la misma.b) Si el campo magnetico se estabiliza en un valor constante de 0,8T, y la espira gira alrededor de uno de sus diametros con velocidadangular constante de 10π rad/s, determine en estas condiciones elvalor maximo de la fuerza electromotriz inducida.Solucion:a) La fuerza electromotriz inducida es:

ξ = −dΦ

dt⇒ ξ = − d

dt( ~B · ~S) ⇒ ξ = −dB

dt· S

⇒ ξ = −0, 6π(4 · 10−2)2 ⇒ ξ = −3 · 10−3 V


y la intensidad es: I =ξ

R

⇒ I =−3 · 10−3

0, 5⇒ I = −6, 03 · 10−3 A

El sentido de la corriente es antihorario segun se muestra en la figura.b) Si ahora da vueltas la espira:

ξ = −dΦ

dt⇒ ξ = − d

dt( ~B·~S) ⇒ ξ = − d

dt(BS cos(ωt))S ⇒ ξ = BSω sen(ωt) ⇒

ξmax = BSω ⇒ ξmax = 0, 8 · π(4 · 10−2)2 · 10π ⇒ ξmax = 0, 126 V

25. Una espira se coloca perpendicularmente a un campo magneticouniforme B ¿En que caso sera mayor la fuerza electromotriz induci-da en la espira?a) Si B disminuye linealmente de 300 mT a 0 en 1 ms.b) Si B aumenta linealmente de 1 T a 1,2 T en 1 ms.Solucion:

La fuerza electromotriz inducida es: ξ = −∆Φ

∆t⇒ ξ = −∆( ~B · ~S)

∆t

⇒ ξ = −(Bf · S)− (B0 · S)

∆t⇒ ξ = −S

Bf −B0

∆t⇒



a) Si el campo disminuye de 300 mT a 0 en 1 ms:

ξ = −S(0− 0, 3

10−3

)⇒ ξ(t) = 300 S V

b) Si el campo aumenta de 1 T a 1,2 T en 1 ms:

ξ = −S(1, 2− 1

10−3

)⇒ ξ(t) = −200 S V

Y se induce mas fuerza electromotriz en el primer caso.


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