Apndice de problemas resueltos

Problemas Resueltos de Probabilidad

Presentacin

Los siguientes problemas tienen la finalidad de que el aprendiz practique la aplicacin de los conceptos bsicos de la probabilidad en la resolucin de problemas.

Los primeros cinco problemas son de clculo de probabilidades.

Problema 1: descripcin espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Se tiene que haer una lista de sus elementos.

Problema 2: descripcin de eventos en un espacio muestral, dada su definicin verbal. Se tiene que hacer una lista de sus elementos.

Problema 3: en este problema ya se pide calcular probabilidades; se tiene que aplicar la definicin de probabilidad de un evento.

Problema 4: en este problema se tiene que aplicar el concepto de eventos independientes y experimentos independientes.

Problema 5: en el problema 5 ya se tiene que usar el algebra de eventos y el concepto de eventos incompatibles. Es importante aqu conocer el significado de unin e interseccin de eventos.

1- Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio.

Solucin

El espacio muestral es el conjunto de todos los eventos elementales. Los eventos elementales son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, indescomponibles en otros ms simples.

Como el experimento consiste en responder al azar a dos preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuesta constituir un evento elemental.

Un patrn de respuesta sera contestar verdadero a la primera pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V).

Con esta representacin podemos escribir el espacio muestral como:

E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}

2- Un estudiante responde al azar a 4 preguntas de verdadero o falso.a) Escriba el espacio muestral.b) Escriba el evento "responder falso a una sola pregunta."c) Escriba el evento "responder verdadero al menos a 3 preguntas".

Solucin

a) Con la misma convencin del problema anterior, los eventos elementales seran:

(V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V) (F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V) (F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F) (F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)

b) El Evento responder falso a una sola pregunta ser el subconjunto del espacio muestral formado por todos los eventos elementales en que solo hay una respuesta falso, lo llamaremos A y ser:

A = {(V, V, V, F), (V, V, F, V), (V, F, V, V), (F, V, V, V)}

c) El evento responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y ser:

B = {(V, V, V, F), (V, V, F, V), (V, F, V, V), (F, V, V, V), (V, V, V, V)}

3- Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos pulsadores al azar:a) Cul es la probabilidad de que las dos veces pulse el pulsador rojo?b) Cul es la probabilidad de que pulse al menos una vez el pulsador azul?

Solucin

a)Para que las dos veces pulse rojo tiene que ocurrir que la primera vez pulse la roja y la segunda tambin pulse la roja, es decir que se verifique el evento (R, R). Ahora bien , como ambos eventos son independientes, la probabilidad de la interseccin es igual al producto de las probabilidades de ambos eventos. La probabilidad de estos eventos se determina mediante la regla de Laplace de casos favorables (uno), dividido entre los casos posibles (tres):

P(R, R) = P(R) P(R) = 1/3 1/3 = 1/9

b) En este apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unin de los eventos pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos eventos no son incompatibles, luego la probabilidad de la unin ser igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la interseccin. La probabilidad de la interseccin, al igual que en el apartado anterior, se calcula basndonos en el hecho de que son independientes.

P(A, A) = P(A) + P(A) P(A, A) = 1/3 + 1/3 1/9 = 5/9

4- Como todo el mundo sabe, la probabilidad de que en una ruleta salga 10 veces seguidas el color rojo es muy pequea. Habiendo salido 9 veces seguidas el rojo, un jugador apuesta al negro Qu probabilidad tiene de ganar?

Solucin

Para que el jugador gane tiene que ocurrir la secuencia R1, R2, ..., R9, N10. Como sabemos ya se ha producido R1, R2, ..., R9. La probabilidad que buscamos ser la probabilidad de que salga negro en el dcimo lanzamiento, condicionada por que haya salido rojo en las nueve anteriores.

Como vemos el hecho de que previamente haya salido nueve veces rojo no cambia la probabilidad de que salga la dcima vez. Esto es as porque cada lanzamiento es independiente de los restantes.

(Nota. En realidad la probabilidad de que salga rojo o negro en una ruleta no es exactamente 0,5, sino 18/37 ya que adems de los 18 nmeros rojos y los 18 negros, existe el cero que no tiene asignado color, pero este dato no cambia el razonamiento hecho y el resultado sera 18/37)

5- En una asignatura se ha decidido aprobar a aquellos alumnos que aprueben uno de los dos parciales. Con este criterio aprob el 80%. Sabiendo que el primer parcial lo super el 60% y el segundo el 50% Cul hubiese sido el porcentaje de aprobados, si se hubiese exigido superar ambos parciales?

Solucin

Sea A1 el evento aprobar el primer parcial y A2 aprobar el segundo. Los datos del problema nos dicen que: P(A1 A2) = 0,8 P(A1) = 0,6 P(A2) = 0,5. Y se pide la probabilidad de la interseccin de ambos eventos.

Como A1 y A2 no son incompatibles, la probabilidad de la unin ser: P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2) P(A1 A2).

Despejando tenemos: P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) P(A1U A2) Sustituyendo los valores numricos: P(A1 U A2) = 0,6 + 0,5 0,8 = 0,3 La conclusin es que si se hubiese exigido aprobar los dos parciales el porcentaje de aprobados hubiese sido del 30%.

Problemas resueltos de variables aleatorias

Presentacin

Como se sabe, sobre un espacio muestral se puede definir una variable aleatoria, la cual es una variable que toma valores con una cierta probabilidad.

Problema 1: Se define una variable aleatoria sobre un espacio muestral y se pide construir una tabla de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable.

Problema 2: el problema 2 aclara la idea de equiprobabilidad de los resultados en un espacio muestral: en el lanzamiento de dados y de moneras los resultados elementales son equiprobables en el sentido de que cada uno de los resultados tienen las mismas chances o posibilidades de ocurrir (no hay razones para pensar que un reultado tenga ms posibilidades que otro). Pero todava falta saber cuales son los resultados elementales! La clave del problema es que el resultado (3,3) no puede invertirse para lograr el 6 y por eso el 6 tiene una chance menos que el 7 en el cual todos los resultados elementales que suman 7 son invertibles.

Problema 3: es parecido al 1 slo que en ste la descripcin del espacio muestral es ms "detallosa". Primero hay que darse cuenta de que son 4 pruebas y en cada prueba la rata pulsa un botn. Y tambin que de los tres botones no importan los colores excepto el rojo, de tal manera que, en cada prueba o experimento, la rata pulsa ya sea rojo o bien pulsa no rojo. Con esa clave la descripcin del espacio muestral es fcil. Pero todava falta asociar los resultados elementales que dan lugar a un valor de la variable.

Problema 4: en el problema 4 se tienen que calcular dos probabilidades para un mismo valor de una variable aleatoria. Aparentemente, porque son dos variables distintas cada una asociada a un espacio muestral y a un experimento aleatorio. En cada caso el aprendiz tiene que decidir para qu resultados elementales de cada experimento se logra el puntaje mencionado y despus calcular las probabilidades respectivas con referencia al espacio muestral correspondiente.

Problemas 5 y 6: estos problemas piden calcular la esperanza matemtica o valor esperado de una variable aleatoria. El valor esperado de una variable aleatoria es un concepto central en la probabilidad y la estadstica y se define (para variables discretas) de la siguiente manera: dada la distribucin de probabilidades de la variable X como P(X=k) mediante una tabla o frmula, la esperanza matemtica de X --denotada con E(X)-- se calcula multiplicando cada valor de la variable por su probabilidad correspondiente y sumando todos esos productos. Es decir, suponiendo que la variable toma los valores del 1 al n, E(X)=1P(1)+2P(2)+...+nP(n).

1. (Distribucin de probabilidades de una variable aleatoria) Construir una tabla para la distribucin de probabilidades asociada a la variable aleatoria X=suma de puntos al lanzar dos dados.

Solucin

Denotemos con (m,n) el resultado "m puntos en el primer dado y n puntos en el segundo". A continuacin presentamos todos los eventos elementales derivados de lanzar dos dados y el valor que para cada uno de estos eventos tiene la variable suma:

(1,1) 2

(2,1) 3

(3,1) 4

(4,1) 5

(5,1) 6

(6,1) 7

(1,2) 3

(2,2) 4

(3,2) 5

(4,2) 6

(5,2) 7

(6,2) 8

(1,3) 4

(2,3) 5

(3,3) 6

(4,3) 7

(5,3) 8

(6,3) 9

(1,4) 5

(2,4) 6

(3,4) 7

(4,4) 8

(5,4) 9

(6,4) 10

(1,5) 6

(2,5) 7

(3,5) 8

(4,5) 9

(5,5) 10

(6,5) 11

(1,6)) 7

(2,6) 8

(3,6) 9

(4,6) 10

(5,6) 11

(6,6) 12

Como todos estos eventos tienen la misma probabilidad 1/36, la distribucin de la suma ser:

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

2. (Resultados equiprobables) Un jugador afirma que al lanzar dos dados es igualmente probable obtener un seis que un siete, ya que hay el mismo nmero de resultados a favor de un resultado que del otro. Cinco y uno, cuatro y dos, tres y tres, para el seis y seis y uno, cinco y dos, cuatro y tres, para el siete. Es cierta esta afirmacin? Razone la respuesta.

Solucin

No, en realidad los eventos que dan origen a que la suma valga 6 son: (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) por tanto la probabilidad ser 5/36, mientras que los eventos que hacen que la suma sea 7 son (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) y en consecuencia esta probabilidad ser 6/36.

3. (Distribucin de probabilidades de una variable aleatoria) Para estudiar si las ratas tienen visin cromtica, en una caja que cuenta con tres palancas se marca en rojo aquella que al pulsarla proporciona alimento. En cada prueba la posicin de este pulsador se cambia aleatoriamente. Se somete una rata a cuatro pruebas. Cual sera la distribucin de la variable aleatoria "nmero de pulsaciones que consiguen alimento", si la rata no distinguiera el rojo y pulsase al azar?

Solucin

Denotemos con R el evento "la rata pulsa rojo" y con R' el evento "la rata pulsa no rojo". La variable aleatoria X=nmero de pulsaciones puede tomar los valores 0, 1, 2, 3 y 4.

El evento que da origen a que la variable valga 0 sera (R'R'R'R'), es decir, la rata pulsa no rojo en las cuatro pruebas. Este evento tiene probabilidad 2/3 2/3 2/3 2/3 = 16/81.

El evento que da origen al valor 1 de la variable sera:

(RR'R'R'), (R'RR'R'), ( R'R'RR'),( R'R'R'R), y su probabilidad sera 4 1/3 2/3 2/3 2/3 = 32/81

El evento que da lugar al valor 2 de la variable es:

(RRR'R'), (RR'RR'), (RR'R'R),(R'RRR'), (R'RR'R),(R' R'RR) y su probabilidad 6 1/3 1/3 2/3 2/3 = 24/81.

El evento que da lugar a un valor de 3 de la variable es:

(RRRR'), (RRR'R), ( RR'R R), (R'RRR), y su probabilidad 4 1/3 1/3 1/3 2/3 = 8/81

El evento correspondiente al valor 4 de la variable es el evento (RRRR), y su probabilidad es 1/3 1/3 1/3 1/3 = 1/81.

En resumen, la distribucin del nmero de aciertos es:

X 0 1 2 3 4P 16/81 32/81 24/81 8/81 1/81

4. (Qu es ms probable?) Un jugador de Rol necesita sacar un 18 en el lanzamiento de los dados para salvarse de un conjuro. El Dungeon Master le ofrece lanzar tres dados de seis caras o uno de diez junto con uno de ocho.

a) En cual de estas dos alternativas es ms probable obtener un 18 y salvarse del conjuro? Explique su respuesta

b)Cambiara la respuesta la misma si hubiese que sacar 17 o ms para evitar el conjuro?

Solucin

a) Para sacar 18 con tres dados de seis caras tiene que ocurrir el evento (6, 6, 6) que tiene una probabilidad 1/6 1/6 1/6 = 1/216.

Para obtener 18 con un dado de diez caras y otro de ocho tiene que ocurrir el evento (10, 8) cuya probabilidad es 1/10 1/8 = 1/80.

Entonces es ms probable obtener 18 puntos con un dado de 10 y otro de 8.

b) Para obtener 17 o ms con los tres dados tiene que ocurrir el evento:

(5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5), (6, 6, 6)

cuya probabilidad es 4/216.

Para conseguir el mismo resultado con los dos dados tiene que ocurrir el evento (10, 7), (9, 8). (10, 8), el cual tiene una probabilidad de 3/80.

Por tanto es ms probable obtener 17 o ms puntos con los dos dados que con los tres. Es decir, la respuesta sera la misma que en el primer inciso.

5. (Esperanza matemtica) Tenemos una urna con dos bolas blancas, tres verdes y cinco rojas. Extraemos al azar dos bolas simultneamente. Recibimos 200 pesos si las dos bolas son blancas, 100 si las dos son verdes y 10 si una es roja y la otra verde, y en los dems casos no recibimos nada. Cual es el valor esperado de los premios?

Solucin

P(B1 B2) = P(B1) P(B2 / B1) = 2/10 1/9 = 2/90 = 1/45

P(V1 V2) = P(V1) P(V2 / V1) = 3/10 2/9 = 6/90 = 1/15

P((R1 V2) U (V1 R2)) = P(R1 V2) + P(V1 R2) = 5/10 3/9 + 3/10 5/9 = 15/90 + 15/90 = 1/3

Por consiguiente el premio esperado sera:

E[premio] = 200 1/45 + 100 1/15 + 10 1/3 + 0 26/45 = 14,4

6. (Valor esperado) En el punto de partida de un laberinto hay tres orificios iguales A, B y C. Si la rata elige A, entonces vuelve al punto de partida habiendo recorrido dos metros. Si elige B, entonces recorre cinco metros y est en el punto de partida. Si elige C, entonces sale al exterior recorriendo un metro. Cul es el valor esperado de la distancia recorrida por la rata, si siempre elige un orificio distinto a los anteriores?

Solucin

Los itinerarios que pueden darse con las distancias recorridas en cada caso, son

(A, B, C) 8,

(B, A, C) 8,

(A, C) 3,

(B, C) 6,

(C) 1,

y sus probabilidades seran:

P(A, B, C) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = 1/3 1/2 1 = 1/6

P(B, A, C) = P(B) P(A/B) P(C/BA) = 1/3 1/2 1 = 1/6 P(A, C) = P(A) P(C/A) = 1/3 1/2 = 1/6

P(B, C) = P(B) P(C/B) = 1/3 1/2 = 1/6 P(C) = 1/3

En consecuencia la distancia media recorrida ser:

E[D] = 8 1/3 + 6 1/6 + 3 1/6 + 1 1/3 = 4,5

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