problemas resueltos - ejemplos - analisis dimensional

Magnitudes Fsicas 21

Estudia la forma como se relacionan las magni-tudes derivadas con las fundamentales.

ANLISIS DIMENSIONALANLISIS DIMENSIONALANLISIS DIMENSIONALANLISIS DIMENSIONALANLISIS DIMENSIONAL

Toda unidad fsica, est asociada con una dimensinfsica.As, el metro es una medida de la dimensinlongitud (L), el kilogramo lo es de la masa (M),el segundo pertenece a la dimensin del tiem-po (T).Sin embargo, existen otras unidades, como el m/sque es unidad de la velocidad que puede expre-sarse como la combinacin de las antes mencio-nadas.

Dimensin de velocidad =

As tambin, la aceleracin, la fuerza, la potencia,etc, pueden expresarse en trminos de las dimen-siones (L), (M), y/o (T).El anlisis de las Dimensiones en una ecuacin, mu-chas veces nos muestra la veracidad o la falsedadde nuestro proceso de operacin; esto es fcil dedemostrar ya que el signo = de una ecuacin in-dica que los miembros que los separa deben detener las mismas dimensiones.Mostraremos como ejemplo:

ABC = DEF

Es una ecuacin que puede provenir de un desa-rrollo extenso, una forma de verificar si nuestro pro-ceso operativo es correcto, es analizndolodimensionalmente, as:

(dimensin de longitud)2 = (dimensin de longitud)2

En el presente caso comprobamos que ambosmiembros poseen las mismas dimensiones, luegola ecuacin es correcta.

En la aplicacin del Mtodo Cientfico, ya sea parala formulacin de una hiptesis, o en la experimen-tacin tambin es recomendable usar el AnlisisDimensional.

Dimensin de longitudDimensin del tiempo

Fines del anlisis dimensional

1.- El anlisis dimensional sirve para expresar lasmagnitudes derivadas en trminos de las fun-damentales.

2.- Sirven para comprobar la veracidad de las fr-mulas fsicas, haciendo uso del principio de ho-mogeneidad dimensional.

3.- Sirven para deducir las frmulas a partir de da-tos experimentales.

ECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALES

Son expresiones matemticas que colocan a lasmagnitudes derivadas en funcin de las fundamen-tales; utilizando para ello las reglas bsicas delalgebra, menos las de suma y resta.Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicasporque slo operan en las magnitudes.

NOTACIN

A : Se lee letra A

[A] : Se lee ecuacin dimensional de A

Ejemplos: Hallar la Ecuacin Dimensional de:

Velocidad (v)

ve

tv

e

t

L

T= = =

v LT= 1

Aceleracin (a)

a a= = =v

t

v

t

LT

T

1

a = LT 2

Jorge Mendoza Dueas22

Fuerza (F)

Trabajo (W)

Potencia (P)

Area (A)

Volumen (V)

Presin (P)

Densidad (D)

F MLT= 2

W F d= .

W F d W F d MLT L= = = . 2

W ML T= 2 2

PW

tP

W

t

ML T

T= = =

2 2

P ML T= 2 3

= A L LA = (Longitud)(Longitud)

A L= 2

V = (Longitud)(Longitud)(Longitud)

V L= 3

PFuerza

AreaP

F

A

MLT

L= = =

2

2

P ML T= 1 2

DMasa

VolumenD

M

V

M

L= = = 3

D ML= 3

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

Si una expresin es correcta en una frmula, se debecumplir que todos sus miembros deben serdimensionalmente homogneos. As:

E A B C D= = = =

E A + B + C = D

V = V = V = V = VPor lo tanto se tendr:

OBSERVACIN

Los nmeros, los ngulos, los logaritmos y lasfunciones trigonomtricas, no tienen dimensio-nes, pero para los efectos del clculo se asumeque es la unidad.

F m= .a

F m= . a

; siendo a = aceleracin


TESTTESTTESTTESTTEST

1.- Siendo a una magnitud fsica, que proposicin o queproposiciones siempre se cumplen:

I. [a] + [a] + [a] = [a]II. [a] - [a] = [a]III. [a] - [a] = 0

a) I d) IIIb) II e) N.A.c) I y II

2.- Cul ser las dimensiones de Q kg m s= 3 2/ . ?

a) M L1 T1 d) M LT1

b) M L1 T2 e) M LTc) M L T2

3.- Qu relacin no es correcta dimensionalmente?

a) [fuerza] = M LT2 d) [trabajo] = M L2T2

b) [frecuencia] = T1 e) [carga elctrica] = I .Tc) [velocidad angular] = T1

4.- Precisar verdadero o falso dimensionalmente:

I) L + L + L L = L ( )

II) En sec ( ) ( )P P+ =12 1

III) En ax

m

kg x ML

= 1 ( )

a) VVF d) FVVb) FFF e) FFVc) VVV

5.- Qu proposicin o proposiciones son falsas respec-to al Anlisis Dimensional?

I.- Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos.II.- Se emplea para verificar frmulas propuestas.III.- Se usa para deducir frmulas.

a) I d) I y IIb) II e) III y IIc) III

6.- Respecto al anlisis dimensional sealar verdadero ofalso:

I.- Pueden existir dos magnitudes fsicas diferentescon igual frmula dimensional.

II.- Los arcos en la circunferencia son adimensionales.III.- Dimensionalmente todos los ngulos y funciones

trigonomtricas representan lo mismo.

a) VVV d) FFVb) VVF e) VFVc) FFF

7.- Respecto a una frmula o ecuacin dimensional, se-alar verdadero o falso:

I.- Todos los trminos en el primer y segundo miem-bro tienen las mismas dimensiones.

II.- Todos los nmeros y funciones trigonometricasque figuran como coeficientes tienen las mismasdimensiones, e igual a 1.

III.- La ecuacin dimensional de los trminos del pri-mer miembro, difieren de las dimensiones del se-gundo miembro.

a) VVF d) VFVb) VVV e) FVFc) FVV

8.- El S.I. considera ................ fundamentales y ........................con carcter geomtrico.

a) Tres magnitudes dos auxiliaresb) Siete magnitudes dos auxiliaresc) Seis magnitudes una auxiliard) Tres magnitudes una auxiliare) N.A.

9.- Qu magnitud no est asociada a sus correctas di-mensiones?

a) Velocidad - LT1

b) Fuerza - ML T2

c) Volumen - L3

d) Densidad - ML3

e) Aceleracin - L T2

10.- Qu unidad va asociada incorrectamente a las dimen-siones dadas?

a)kg s

m

b) kgm

s

2

c) Am

s

d) kg m

A s

2

2

e) kgm

s

3

4

MTL 1

ILT

ML T3 4

ML A T2 1 2

MLT 2


A problemas de aplicacin

PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS

1.- Halle la dimensin de K en la siguiente frmula fsica:

Donde; m : masaF : fuerzav : velocidad

Solucin:

o Analizando cada elemento:

o Luego tendremos:

3.- Hallar la dimensin de y en la siguiente frmula:V = .A + .D

Donde; V : volumenA : reaD : densidad

Solucin:

o Aplicando el principio de homogeneidad.

o Determinando:

o Determinando:

Km v

F=

2

2.- Halle la dimensin de S en la siguiente frmula fsica:

Donde; F : fuerzam : masad : distanciav : velocidad

Solucin:

o Analizando cada elemento:

o Luego tendremos:

Km v

F

M LT

MLT

ML T

MLT=

= =

2 12

2

2 2

2

b ge j

SF d

m c=

2

F MLT

d L

m M

c LT

=

=

=

=

2

1

S = 1

V A D= =

V A=

4.- Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homo-gnea, determinar la ecuacin dimensional de x e y.

Siendo; A : fuerzaB : trabajoC : densidad

Ax + By = C

Solucin:

o Si la expresin es dimensionalmente homognea,entonces:

o Con lo cual se tiene:

V D=

L ML M L3 3 1 6= = +

L L L3 2= =

Ax By C+ =

A x B y C= =

m m A MLT=2

B ML T= 2 2

C ML= 3

MLT x ML =2 3

xML

MLTx L T= =

3

24 2

K L=

m M

v LT

F MLT

=

=

=

1

2

SF d

m c

MLT L

M LT

ML T

ML T= = =

2

2

1 2

2 2

2 2

e jb gb ge j A x C=


5.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente homo-gnea: P = qz Ry sx

Donde; P : presin q : fuerzaR : volumen s : longitud

Hallar: x 3y

Solucin:

o Nos piden: x 3y

x 3y = 2

P ML T= 1 2

R L= 3

q MLT= 2o

o P q R sz y x=

P q R sz y x

=

M M zz1 1= =

L L z y xz y x += = +1 3 1 3

= +1 1 3y x

ML T M L T L Lz z z y x =1 2 2 3

ML T M L Tz z y x z + =1 2 3 2

NOTA

Las ecuaciones dimensionales slo afectan alas bases, ms no a los exponentes, pues estossiempre son nmeros y por lo tanto estos ex-ponentes se conservan siempre como tales(nmeros).De lo expuesto, queda claro que la ecuacindimensional de todo exponente es la unidad.

1.- Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmulafsica.

Donde; W: trabajov : volumenF : fuerza

Solucin:

o Aplicando el principio de homogeneidad:

o Determinando A

o Determinando B

B problemas complementarios

W

A

v

BF= +

W

A

v

BF

LNM

OQP =

LNM

OQP =

1 2/

W

AF=

ML T

AMLT A L

2 22

= =

2.- Halle la dimensin de A, B y C en la siguiente fr-mula fsica.

E = A.F + B. v2 + Ca

Donde; E : trabajoF : fuerzav : velocidada : aceleracin

Solucin:


o Determinando A :

v

BF B

v

F

1 2

1 21 2

1 2/

//

/

= =

B M LT= 2 4

B y C=o

ML T y ML2 2 3 =

yML

ML Ty L T= =

3

2 25 2

s L=

Bv

F

L

MLT= =

2

3

2 2e j

E AF Bv C= = = 2 a

E A F=

ML T A MLT A L2 2 2 = =

ML T MLT L Lz y x

=1 2 2 3e j e j b g


BW

tW B t = =

L L x xx2 3 1 3 2 5= = = b g

o Determinando B :

o Determinando C :

3.- Halle la dimensin de R en la siguiente frmula fsica:

R = (x + t)(x2 y)(y2 + z)

Donde ; t: tiempo

Solucin:

o Observamos por el principio de homogeneidad:

o Luego tendremos:

E B v=2

ML T B LT B M2 2 12

= =e j

ML T C LT C ML2 2 2 = =

x T

y x T

z y T T

=

= =

= = =

2 2

2 2 2 4e j

R x y z

R T T T

=

= 2 4

4.- La potencia que requiere la hlice de un helicpteroviene dada por la siguiente frmula:

P = K. Rx. Wy. Dz

Donde; W : velocidad angular (en rad/s)R : radio de la hlice (en m)D : densidad del aire (en kg/m3)K : nmero

Calcular x,y,z.

Solucin:

5.- Determinar las dimensiones que debe tener Q para quela expresin W sea dimensionalmente homognea.

W = 0,5 mcx + Agh + BP

Siendo: Q A Bxx

= ;

Adems; W: trabajo h : alturam : masa P : potenciac : velocidadA,B : constantes dimensionalesg : aceleracin

Solucin:

M M zz1 1= =

T T yy = =3 3

W m c A g h B Px

= = =

W A g h=

B P W=

W m cx

=

ML T A LT L2 2 2 = =

ML T M LTx2 2 1

= e jML T ML Tx x2 2 =

Q A Bx

=1 2/

Q M T= 2 1 2/

6.- Suponga que la velocidad de cierto mvil, que se des-plaza con movimiento bidimensional, puede determi-narse con la frmula emprica:

Donde: T, es tiempo; a, b, c, son constantesdimensionales. Determine las dimensiones de a, b, y c,para que la frmula sea homognea dimensio-nalmente.

Solucin:

Por el principio de homogeneidad:

V aTb

T c= +

32

o

o

o

x = 2


o Finalmente:

A M=

P K R W Dx y z

=

ML T L T MLx y z2 3 1 31 = b gb g e j e j

ML T L T M Lx y z z2 3 3 =

ML T M L Tz x z y2 3 3 =

=R T7 B T=

E C= a


MLT ML LT M M Mx y z

=2 3 1 1e j e j e j b gb gb gb g

x y= = 1 1

7.- Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente ho-mognea.

Hallar: x 2y

Siendo; a : aceleracinv : velocidadt : tiempo

Solucin:

Dimensionalmente se tiene:

o Luego tendremos:

o Dimensionalmente:

Con lo cual:

Nos piden: x 2y x 2y = 1 2(1)

x 2y = 1

V a T

LT a T

=

=

3

1 3

Vb

T

LTb

T

=

=

2

12

:de T c2 =c T2

= a LT 4

=b LT

a vt kx y x= + 1e j

1 =

ky x

1 0 = = =

k y x y xy x

a vt kx y y= + 1e ja vt kx= +1 0e ja vtx= +1 1b g

a v t

LT LT T

LT LT T

LT LT

T T x

x

x

x

x

x

=

=

=

=

= =

2

1

1 2

2 1

2 1

2 1

2 1

b ge jb g

8.- En la expresin mostrada. Hallar z

Fx Dy vz = (n + tan ) m1 m

2 m

3

Donde; F : fuerzaD : densidadv : velocidadm1, m2,m3 : masas

Solucin:

Dimensionalmente; para que (n + tan ) sea homognea:

[n] = [tan ] = 1

Con lo cual: n + tan = nmero

[n + tan ] = 1

o Con todo el sistema:

Resolviendo: z = -9

tan = nmero

F D v n m m mx y z

= + tan 1 2 3

M L T M L L T Mx x x y y z z =2 3 3

M L T M L Tx y x y z x z+ + =3 2 3 0 0

M M x y

L L x y z

T T x z

x y

x y z

x z

+

+

= + =

= + =

= =

3

3 0

2 0

3

3 0

2 0

m

m

m

E Mvx Mvx Mvx= + + + . . . . . . . .

E Mvx Mvx Mvx= + + + . . . . . . . .

E1 24444 34444

E Mvx E E Mvx E= + = +2

E M v x E2

= =

E E E2

1= =

9.- En la siguiente ecuacin dimensionalmente correcta.Determinar la ecuacin dimensional de x.

Donde; M : masa ; v : velocidad

Solucin:

o Dimensionalmente:

Adems:

o

o

o

o

a vtx= 2

M v x E

M v x

M LT x

xMLT

x M L T

=

=

=

= =

1

1

1

1

11 1

b ge j


10.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente homo-gnea. Determinar la ecuacin dimensional de K

Solucin:

o Dimensionalmente:

De donde:

K GM L T M L Tx y z x y z x y z= ++ + + b g b g b g b g b g b g2 6 2 6 2 6 2

Tz6 2b g

x y z= = =3

2

1.- Halle la dimensin de H en la siguiente frmula fsica.

Donde; D : densidadA : aceleracinV : volumenF : fuerza

Rpta. [H] = 1

2.- La medida de cierta propiedad (t) en un lquido se de-termina por la expresin:

Siendo: h medida en m; d, peso especfico. Cul ser laecuacin dimensional de t para que r se mida en m?

Rpta.

3.- Halle la dimensin de y en la siguiente frmulafsica.

K M L T

K M L T

x y z=

=

FH

IK

FHG

IKJ

FH

IK

FHG

IKJ

FH

IK

FHG

IKJ

2

1

6 2 6 2 6 2

6 23

26 2

3

26 2

3

2

b g b g b g

b g

K M L T= 3 3 3

Resolviendo:

o Luego:

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

A problemas de aplicacin

Donde; E : trabajo ; v : velocidad ; F : fuerza.

Rpta.

4.- Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula:

Donde; v : velocidad ; t : tiempo ; x : distancia

Rpta.

5.- Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula:

Donde; v : velocidad ; x : distancia ; g : aceleracin

Rpta.

HD A V

F=

ht

rd=

2

Ev F

= +2

=

=

M

L

1

1

v A t B x= +

A LT

B T

=

=

2

1

Vx

A

g

B= +

2

A LT

B T

=

=1

t MT= 2

G M L T M Lx y z x y x x y+ + +

=b g b g b g b g b g2 6 2 6 2

G

M M x y x

L L z x y

T T y x z

x y x

z x y

y x z

=

= + =

= + =

= + =

+

+

+

2

6 2

6 2

6 2

6 2

6 2

6 2

b g b g

b g b g

b g b g


GL L b

T a=

4 2 2

2

pi b gcos

6.- Halle la dimensin de A, B y C en la siguiente fr-mula fsica:

Donde; e : distancia (m) ; t : tiempo (s)

Rpta.

7.- Halle la dimensin de G, H e I en la siguiente fr-mula fsica:

F = Ga + Hv + I

Donde; F : fuerza ; a : aceleracin ; v : velocidad

Rpta.

8.- En la siguiente expresin, calcular x + y

K: constante numricaS : espacioa : aceleracint : tiempo

Rpta. 3

9.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente homo-gnea. Determinar:

a : aceleracint : tiempo

Rpta. T2

10.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente ho-mognea; determinar la ecuacin dimensional de C.

R : longitudy : aceleracin

Rpta. L3T-4

A L

B LT

C LT

=

=

=

2

3

G M

H MT

I MLT

=

=

=

1

2

a

b

LNM

OQP = ?

CRy N

N

x

x=

3

2

2

2e j

B problemas complementarios

1.- Determinar la dimensin de x, si la ecuacin esdimensionalmente correcta.

v : velocidad a : aceleracinM : masa W : trabajo

Rpta. M2LT-2

2.- Hallar la ecuacin dimensional de z, si la ecuacin mos-trada, es dimensionalmente correcta:

w : peso ; g : aceleracin

Rpta. MLT-2

3.- Determinar las dimensiones de a, sabiendo que la si-guiente ecuacin es dimensionalmente correcta:

donde; G : aceleracin de la gravedadT : tiempob y L : longitud

Rpta. L2

4.- La fraccin mostrada es dimensionalmente correctay homognea:

, determinar las dimensiones de x.

Rpta. L-14T28/3

5.- Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homo-gnea, hallar las dimensiones de b.

W: trabajov : velocidadF : fuerza

Rpta. L1/2T-1/2

6.- En la ecuacin:

Hallar: (x.y.z)

xvWMa

senbt2 2

30=

+ ; donde:

pi tanlog

=

+ +

+

w w z

g gsen x

2 3b gb g

Ax Bx Cx D

A B C D

3 2

8 6 4

+ + +

+ + +

y A L T= 6 4

WF a

x

F C

b v=

+

5 8 2

2

log

P Kg d hy x z=

e A Bt Ct= + +2 3

S K tx y= a

20 + + =+

t ka p

b q


donde; P: presing: aceleracin de la gravedadh: alturaK: constante numricad: densidad

Rpta. 1

7.- En la expresin:

Hallar las dimensiones de A, B y C para que seadimensionalmente homognea, donde:

: ngulo en radianesL : longitudF : fuerzae : base de los logaritmos neperianosm y n : nmeros

Rpta. A = adimensionalB = L-1/2

C = M-3/2L-3/2T3

8.- Hallar las dimensiones de x e y, sabiendo que laigualdad mostrada es dimensionalmente correcta.

tan( )tan cos

Ae C FmBL

sen

n+

FHG

IKJ =

pi

2 10

30 2 60 60

1

W

eba b c= + 2

x senvy

temB= + +pi b gd i2

9.- Determinar la dimensin de b para que la ecuacinsea homognea.

Donde; W: trabajoe : espacioa : aceleracin

Rpta. M

10.- Hallar [x][y]:

Donde; v : velocidade : espaciom : masat : tiempoB : nmero real

h : alturam: masaA

1, A

2 : areas

Rpta. x = Ly = M1

2

0 85

2

1 2

FHG

IKJ

=

x

h

m

xy

A A,

Rpta. M LT2 2

problemas resueltos - ejemplos - analisis dimensional

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