problemas probabilidade - cap 1

7/28/2019 Problemas Probabilidade - Cap 1

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Livro: Probabilidade - Aplicaes Estatstica Paul L. Meyer

Capitulo 1 Introduo Probabilidade.

1.1Modelos Matemticos1.2Introduo aos Conjuntos

Alguns smbolos:

, para todos;

, existe e no existe;

, final da prova;

, se, e somente se;

, implica; |, tal que; , portanto e pois. , leia elemento de. , leia no elemento de A. , leia subconjunto de . = {| }, leia unio . = {| }, leia interseo . = {| }, leia diferena de com . = {(, )| )}, leia de e . = ., . , A .

= {

|

}.

= = , = , ( ) = ( ) , ( ) = ( ) ,

(

) = (

)

(

)

(

)

,

( ) = ( ) ( ) ( ) , = , = ,( ) = ,( ) = ,

= , = ( ).


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1.3Exemplos de Experimentos No-Determinsticos1.4O Espao Amostral1.5Eventos1.6Frequncia Relativa

= /, onde a do evento, nas , repeties.1.7Noes Fundamentais de Probabilidade

Teorema 1.1 () = 0.Teorema 1.2 () = 1 .Teorema 1.3 ( ) = () + () ( ).Teorema 1.4 ( ) = () + () + () ( ) ( ) ( ) +( ).Teorema 1.5 Se

, ento

(

)

(

).

1.8Algumas Observaes

Problemas

1) Suponha que o conjunto fundamental seja formado pelos inteiros positivos de 1 a 10. Sejam = {2,3,4},B = {3, 4, 5}, e C = {5, 6, 7}. Enumere os elementos de dos seguintes conjuntos:

a) = {1,5,6,7,8,9,10} {3,4,5} = {8}.b) = {1,5,6,7,8,9,10} {3,4,5} = {1, 3, 4,5,6, 7,8,9, 10}.c) = = = {2,3,4} {3, 4,5} = {2,3, 4,5}.d) ( ) = ( ) = ( ) = {1,5,6,7,8,9,10} ({3,4,5} {5,6,7}) =

{1,5,6,7,8,9,10} {5} = {1,5,6,7,8,9,10}.e) ( ) = ( ) = ( ) =

{1,5,6,7,8,9,10} ({1,2,6,7,8,9,10} {1,2,3,4,8,9,10}) = {1,5,6,7,8,9,10} {1,2,8,9,10} ={1,2,5,6,7,8,9,10}.

2) Suponha que o conjunto fundamental seja dado por = {|0 2}. Sejam os conjuntos e definidosda forma seguinte: = 12 < 1 e = 14 < 32. Descreva os seguintes conjuntos:

a) = 12 < 1 14 < 32 = {| 14 < 32} = 0 < 14 32 2 .b) = 12 < 1 14 < 32 = 12 < 1 0 < 14 32 2 = .c) . = = 12 < 1 = 0 12 {|1 < 2}.


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d) = 0 12 {|1 < 2} 14 < 32 = 0 12 14 < 32 {|1 < 2} 14 < 32 = 14 12 1 < < 32 .

3) Quais das seguintes relaes so verdadeiras?a) ( ) ( ) = ( ). Verdadeira.b) ( ) = . Verdadeira, pois, = ( ) = ( ) = ( ).c)

=

. Falsa.

d) ( ) = . Falsa, pois, ( ) = .e) ( ) = . Verdadeira, pois, ( ) = = = .

4) Suponha que o conjunto fundamental seja formado por todos os pontos (, ) de coordenadas ambas inteiras, eque estejam dentro oi sobre a fronteira do quadrado limitado pelas retas = 0, = 0, = 6, = 6. Enumereos elementos dos seguintes conjuntos:

a) = {(, )|2 + 2 6}.

2 + 2 6


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6 2 6 2 6 2 0 6 6;6 2,45, , 0 2 = 0 6 6; 6 2,45, 0 2. = 1 5 5; 5 2,23, 0 2. = 2 2 2; 2 1,41, 0 1. = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1)}

b) = {(, )| 2}.

0 6 0 6; ,

= 0

= 0.

= 1 0 1. = 2 0 4.3 6 0 6.

B = {(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,0),(5,1),(5,2),

(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,0),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.

c) = {(, )| 2}.


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0 6 0 6; , = 0 = 0. = 1 0 1. = 2 0 4.3 6 0 6. C = {(0,0),(0,1),(1,1),(0,2),(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),(0,4),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),(0,5),(1,5),(2,5),

(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(0,6),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)}.

d) .

0 6 0 6; ,


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2 2 = 2 = 2 = 0 = 0.

= 1 = 1. = 2 2 4. = 3 2 6. = 4 2 6. = 5 3 6. = 6 3 6.

= {(0,0),(1,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),

(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

e) ( ) .

0 6 0 6; , =

2

2

2 +

2

6

2

=

( 2 > 2) (2 6 2 > 2) = 2 < 6 2 <


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Analisando 2 < 2 < 0 < < 1 |0 < < 1;2 > > 12 = = 0 = 1

2 2 < = <

Analisando 6 2 < 6 2 < 6 > 2 6 2 < 2 < 6 |2 < 6;6 2 > 6 < 2 6 2 > 0 < < 2;6 2 = 6 = 2 6 2 = = 2 66 2 6 2 < = <

2 (

2 6

2

2 ) =

< < = < = {(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(4,0),(4,1),(5,0),(5,1),(5,2),(6,0),(6,1),(6,2)}.

5) Empregue diagramas de Venn para estabelecer as seguintes relaes:a) e implicam que .

b) implica que = .


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c) implica que .

d) implica que .

e) = e implicam que = .

6) Peas que saem de uma linha de produo so marcadas defeituosas (D) ou no defeituosas (N). As pecas soinspecionadas e sua condio registrada. Isto feito at que duas peas defeituosas consecutivas sejam


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fabricadas ou que quatro peas tenham sido inspecionadas, aqui que ocorra em primeiro lugar. Descreva um

espao amostral para este experimento.

6 = {, , , , , , , , , , , }7)

a) Uma caixa com N lmpadas contm rlmpadas ( < ) com filamento partido. Essas lmpadas soverificadas uma a uma, at que uma lmpada defeituosa seja encontrada. Descreva um espao amostral

para este experimento.

Seja 1, a primeira lmpada defeituosa retirada e | , a i-sima lmpada no defeituosaretirada.

7= {

1,

11,

121, ,

12

1}.

b) Suponha que as lmpadas acima sejam verificadas uma a uma, at que todas as defeituosas tenham sidoencontradas. Descreva o espao amostra para este experimento.

Seja | , a i-sima lmpada defeituosa retirada e | , a i-sima lmpada nodefeituosa retirada.

_7_1_1

_1_2 ...

_1_() _1


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7 = {12 , 11 , 11 , 12 }.8) Considere quatro, objetos, , , , . Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listado represente o

resultado do experimento. Sejam os eventos e definidos assim: = { }; = { }.a)

Enumere todos os elementos do espao amostral.


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8 = {, , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , }.

b) Enumere todos os elementos dos eventos e . = {, , , , , }. = {, , , , , }. = {, }. = {, , , , , , , }.

9) Um lote contm peas pesando 5, 10, 15, ..., 50 gramas. Admitamos que ao menos duas peas de cada pesosejam encontradas no lote. Duas peas so retiradas do lote. Seja o peso da primeira pea escolhida e , opeso da segunda. Portanto, o par de nmeros (, ) representa um resultado simples do experimento.Empregando o plano, marque o espao amostral e os seguintes eventos:a) { = }.


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b) {

>

}.

c) A segunda pea duas vezes mais pesada que a primeira.


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d) A primeira pea pesa menos 10 gramas que a segunda pea.

e) O peso mdio de duas peas menos do que 30 gamas.


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10)Durante um perodo de 24 horas, em algum momento, uma chave posta na posio ligada. Depois, emalgum momento futuro (ainda durante o mesmo perodo de 24 horas) a chave virada para a posiodesligada. Suponha que e sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o incio do perodo naorigem da escala. O resultado do experimento constitudo pelo par de nmeros (, ).a) Descreva o espao amostral.

10 = {(, )|0 < 24}b) Descreva e marque no plano os seguintes eventos:

i) O circuito est ligado por uma hora ou menos.


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10 10 1 + 1 10 = {(, )|0 < + 1 24}

ii) O circuito est ligado no tempo , onde algum instante no perodo de 24 horas.

z representado pela rea pontilhada e pela linha pretas.

10 10 < 10 = {(, )|0 < 24}.

iii)

O circuito ligado antes do tempo 1 e desligado no tempo 2 (onde tambm 1 < 2so dois instantesdurante o perodo de 24 horas especificado).


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1 representado pela regio pontilha de azul.10 10 < 1 < 2 = 10 = {(, )|0 < 1 < 2 = 24}

iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado. o tempo que o circuito fica desligado e o tempo que o circuito fica ligado

= = 24 = 24 + = 2 = 2(24 ) = 48 2 2 = 16 +

3

10 10

= 16 +

3

10 = {(, )|0 < = 16 + 3

24}


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11)Sejam, , trs eventos associado a um experimento. Exprima em notao de conjuntos, as seguintesafirmaes verbais.

a) Ao menos um dos eventos ocorre.

.

b) Exatamente um dos eventos ocorre.( ) ( ) ( ) ou,


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( ) ( ) ( )=

c) Exatamente dois dos eventos ocorrem.( ) ( ) ( ) ou,


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d) No mais de dois dos eventos ocorrem simultaneamente.

= .12)Demostre o Teor 1.4.

Teorema 1.4 ( ) = () + () + () ( ) ( ) ( ) +( ).Teorema 1.3 ( ) = () + () ( ) ( ) = ( ) =() + ( ) ( ) =() + [() + () ( )] ( ) ( ) =() + () + () ( ) ( ) + ( ) ( ) ( )

=

() + () + () ( ) [( ) + ( ) ( )] =() + () + () ( ) [( ) + ( ) ( )] =() + () + () ( ) ( ) ( ) + ( ) =

13)a) Verifique que para dois eventos quaisquer,1 e2 temos que (1 2) (1) + (2).

Teorema 1.3 ( ) = () + () ( ) (1) + (2) (1 2) (1) + (2) (1) + (2) (1 2) [(1) + (2)] (1) + (2) [(1) + (2)]

(

1 2)

0

(1 2) 0Como a probabilidade que ocorra qualquer evento 0 () 1 a concluso (1 2) 0 sempre satisfeita portanto a desigualdade (1 2) (1) + (2) sempre verdadeira.


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b) Verifique que para quaisquer eventos1, ,, temos que (1 ) (1) + + ().[Sugesto: Empregue a induo matemtica. O resultado enunciado em b denominado desigualdade de

Boole].

(1 ) (1) + + ()

=1 (

)

=1

No Teorema 1.4 est provado que ( =1 ()=1 para 1 3, ento a desigualdade valida para = e verdadeira se fora valida para = + 1 . +1=1 =

=1 +1

E

(1 2) (1) + (2) =1 +1

=1 + (+1)

Teorema 1.3: ( ) = () + () ( ) =1 +1 =

=1 + (+1)

=1 +1

=1 +

(

+1)

=1 +1

=1 +

(

+1)

=1 +1 0

=1 +1 0Como =1 +1 0 sempre satisfeita portanto a desigualdade( =1 )

(

)

=1 sempre verdadeira.

14)O Teor. 1.3 trata da probabilidade de que ao menos um de dois eventos ou ocorra. O seguinte enunciado serefere probabilidade de que exatamente um dos eventos ou ocorra. Verifique que:

= () + () 2( ).


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Conforme a figura acima a A = (A B) (A B), e (A B) (A B) = , logo (A B) e(A B)so dois eventos mutuamente excludentes ento pela propriedade 3. = + = ( ) + ( ) = () ( ) + () ( )

= () + () 2( )15)Um certo tipo de motor eltrico falha se ocorrer uma das seguintes situaes: emperramento dos mancais,queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provvel

do que a queima e esta sendo quatro vezes mais provvel do que a desgastes das escovas. Qual ser a

probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstancias?

Emperramento dos mancais. Queima dos enrolamentos.

Desgastes das escovas.() = 2(),() = 4().() = 1 () + () + () = 1 2.4() + 4() + () = 1 13() = 1 () = 1

13

() = 413

() = 8

13

16)Suponha que e sejam eventos tais que () = , () = , e ( ) = . Exprima cada uma dasseguintes probabilidades em termo de , e .a)

= + = + = [1 ()] + [1 ()] [1 ( )]= 1 () () + ( )= 1 () () + () + () ( )= 1 ( )= 1 .


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b) = ( )= () ()= .

c) = + () = 1 () + () = 1 + ( )= 1 + .

d)

= = 1 ( )= 1 [() + () ( )= 1 ( + )= 1 + .

17)Suponha que

e

sejam eventos tais que

(

) =

(

) =

(

) =

14,

(

) =

(

) = 0 e

(

) =

18. Calcule a probabilidade que ao menos um dos eventos, ou ocorra.Para eu ocorrer ao menos um dos eventos, basta que ocorra:

( ) = () + () + () ( ) ( ) ( ) + ( ).

= =

(

)

= 3(

)

(

)

= 34 18 = 58.

18)Uma instalao constituda de duas caldeiras e uma mquina. Admita que o evento seja que a maquinaesteja em boas condies de funcionamento, enquanto os eventos ( = 1, 2) so os eventos de que a -sima caldeira esteja em boas condies. O evento que a instalao possa funcionar. Se a instalao puderfuncionar sempre que a mquina e pelo menos uma das caldeiras funcionar, expresse os eventos e , emtermos de e dos .

tem que ocorrer e pelos menos um , ou seja 1 2.


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(1 2),( ) ,( (1 2) ) (1 2)

=

(

1

2),

= (1 2) = (1 2) = 1 219)Um mecanismo tem dois tipos de unidades: I e II. Suponha que se disponha de duas unidades do tipo I e trs

unidades do tipo II. Defina os eventos , = 1, 2 e , = 1, 2,3 da seguinte maneira:: a -sima unidade dotipo I est funcionado adequadamente; : a-sima unidade do tipo II est funcionando adequadamente.Finalmente, admita que represente o evento: o mecanismo funciona. Admita que o mecanismo funcione se aomenos uma unidade do tipo I e ao menos duas unidades do tipo II funcionarem; expresse o evento em termosde e dos .

Tem que ocorrer pelo menos um

, ou seja,

1 2, que est representada de vermelho na figura

abaixo, e pelo menos dois tem que ocorrer, ou seja, 1 e 2, ou 1 e 3, ou 2 e 3, ou 1, 2 e3. Em notao de conjunto temos (1 2) (1 3) (2 3)que est representado deazul na figura abaixo, (no necessrio 1 2 3, pois esta rea j esta includa na unio das trsintersees, conforme mostra a regio de contorno pontilhado).

= (1 2) [(1 2) (1 3) (2 3)] a rea ondulada.

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