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PROBLEMAS DE VIBRACIONES. ÁREA DE INGENIERÍA MECÁNICA

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PROBLEMAS DE VIBRACIONES

CURSO 2012/2013

Problema 1.-En el sistema mecánico representado en la figura adjunta, se considera la

barra de longitud L rígida, y se desprecian las masas de la barra y de los resortes frente a la

masa del bloque M.

Para las pequeñas oscilaciones del sistema indicado, determinar.

- Expresión de las energías.

- Ecuación de Lagrange.

- Frecuencia de la vibración natural. [w=√(11k/40M)rad/s]

Problema 2.- En el sistema dinámico constituido por un cilindro macizo de masa M y radio

R, que se encuentra suspendido por un cables, uno de sus extremos está unido a un soporte

rígido y el otro a un muelle elástico de rigidez k, Conforme se expresa en la figura. Para la

oscilación del sistema se pide determinar:

- Expresiones energéticas.


- Frecuencia de la vibración natural. [w=√(8k/3M)rad/s]

2k

k

k/2 L/2

L/3

M


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Problema 3.- Se dispone de un alternador que pesa 500N y gira a 1000 rpm. El rotor tiene

un desequilibrio que provoca una fuerza excitadora de la misma frecuencia de giro que

motor. Determinar la rigidez que deben tener los resortes sobre los que se va a montar si se

quiere que sólo el 10% de la fuerza perturbadora se transmita a al bancada.

Factor de amortiguamiento: ε=0.2.

Problema 4.- Se pretende conocer la frecuencia natural de un juguete infantil formado por

una pieza central de madera de pino de densidad 700 kg/m3 (250x500x200xen mm) y tres

soportes de iguales dimensiones (50x50x100 en mm) de caucho de Módulo de Young

1000N/m2 (ver figura). Simplificando el sistema a un modelo de un solo grado de libertad,

determinar:

- Sistema equivalente.

- Frecuencia natural del mismo.

Figura 4.

[K=25 n/m, wn= 2,07 rad/s.]

Problema 5.- Se cuelga una plataforma rígida de masa m del techo por medio de un cable de

sección S tal y como se muestra en la figura. Si sobre la plataforma se coloca una masa M

centrada. Determinar sistema mecánico equivalente para estudiar las vibraciones verticales y

frecuencia natural del mismo. Datos: Módulo de Young del cable E.

Figura 5.

200 mm 100 mm


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Problema 6.- Un motor-ventilador centrífugo tiene una masa de 25 kg y gira a 1.500 rpm,

presenta un desequilibrio en el rodete que provoca una fuerza de excitación armónica. El

sistema se monta sobre la bancada mediante 4 resortes y un amortiguador. Si la

transmisibilidad del desequilibrio a la fundación ha de ser tan solo del 10 %, determinar:

- Características de los resortes y el amortiguador con relación de pulsaciones, r = 4.

- La transmisibilidad existente si se aumenta la masa del sistema en 10 Kg.

- Los resortes que hay que colocar para no superar el 10 % de transmisibilidad, si el

moto-ventilador pasa a girar a 3000 RPM. Tómese el factor de amortiguamiento ε =

0’2 y la masa del sistema reformado.

Figura 6.

Problema 7.- El sistema dinámico de la figura es un sistema idealizado de un torno, donde

se designa por M la masa del sistema y por Ip el momento de inercia axial del sistema

alrededor de su centro de masa. Determinar:

a) Las expresiones de la energía cinética y energía potencial.

b) Las ecuaciones dinámicas de Lagrange.

c) La ecuación matricial del movimiento.

d) Las frecuencias naturales de vibración de cabeceo y rebote.

M = 2.000 kg Ip = 1.500 kg.m2 K1 = 1 x 107 N/m K2 = 5 x 106 N/m


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Figura 7.

Problema 9.- Un electro-motor de 25kg de masa está soportado por cuatro muelles iguales

de rigidez estática 200 x 103 N/m cada uno, figura 9. El desequilibrio del rotor equivale a

una masa de 40 g situada con un radio de 140 mm; girando el rotor a 1.500 rpm. Sabiendo

que el electromotor gira estacionaria y verticalmente, se pide calcular la amplitud cuando:

a) No existe amortiguamiento.

b) El coeficiente de amortiguamiento es de 3.000 N.s/m.

Figura 9.

Problema 10.- En el sistema dinámico representado en la figura, es un modelo idealizado

de un automóvil, donde se designa la:

- Masa del cuerpo: M = 800 Kg.

- Masa de ejes y rueda: m = 160 Kg.


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- Rigidez elástica de los resortes: K1 = 40.000 N/m.

- Rigidez de los neumáticos: K2 = 400.000 N/m.

- Amortiguamiento de los neumáticos: c = 2.000 N.s/m.

Figura 10.

Supuesto el automóvil como un sistema con dos grados de libertad, para las vibraciones

neumáticas, se pide determinar:

- Las expresiones de las energías.

- La ecuación matricial del movimiento.

- Suponiendo C=0, las pulsaciones de los modos de vibración natural.

Problema 11.- El rotor de un alternador se modeliza formado por dos masas, m1 (corona,

polos, ventilador) y m2 (eje, cubo, colector) y un disco resorte que enlaza las dos masas

apuntadas, de rigidez elástica k. El sistema descrito está sometido a una vibración axial,

excitada por las fuerzas electromagnéticas armónicas de los polos rotor-estator, sabiendo

que m2=0,3*m1, determinar:

- Expresión de las energías.


- Frecuencias de las vibraciones naturales axiales.

Problema 12.- En el sistema dinámico de la figura, formado por discos de momentos de

inercia axiales J1 y J2, cumpliendo que J1 = J2/3, calados a un árbol de rigidez elástica

torsora k, se pide determinar:

- Expresión de la energía cinética y potencial del sistema.

- Frecuencias naturales torsoras del sistema.


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Figura 11. Figura 12.

Problema 13.- En el sistema dinámico constituido por tres

masas y tres muelles, representado en la figura, donde m es

masa y K rigidez elástica; para las vibraciones mecánicas, se

pide determinar:

a) Las expresiones de la energía cinética y potencial elástica.

b) Las ecuaciones dinámicas de Lagrange.

c) La ecuación matricial del movimiento.

d) Las pulsaciones de los modos naturales.

Problema 14.- Determinar las frecuencias naturales de vibración de torsión del sistema

dinámico indicado en la figura, considerando que los momentos de inercia de las ruedas

dentadas son despreciables y la razón de engrane vale z1/z2 = 2, siendo z1 y z2 los números

de dientes; además en los discos J1 = J2 = J; y en los ejes K1 = K2 =K.

Figura 14.

Figura 13.


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Problema 15.- En el sistema ramificado de la figura determinar:

- Las expresiones de la energía cinética y energía potencial.

- Las ecuaciones dinámicas de Lagrange.

- La ecuación matricial del movimiento.

- Las frecuencias naturales.

Figura 15.

I1 = I2’ = 200 kg.m2 n1 = 3.000 rpm K12 = 15 x 106 N.m/rad

I3’ = I4 = 300 kg.m2 n2 = 1.500 rpm K34 = 5 x 106 N.m/rad

I5’ = I6 = 500 kg.m2 n3 = 2.000 rpm K56 = 10 x 106 N.m/rad

Problema 16.- Se tiene el sistema masa-muelle-amortiguador de la figura con

amortiguamiento subcrítico. En un instante determinado se encuentra en la posición de

equilibrio estático con una velocidad v0 y se le comienza a aplicar una fuerza de tipo

armónico de amplitud F0 y frecuencia w.

(a) Explicar las diferencias entre la frecuencia de excitación, frecuencia de resonancia y

frecuencia natural del sistema.

Nota: Amplificación dinámica es igual a

K12

n1

K56

n3

K34

n2

I1

I4

I6 I5’

I3’

I2’


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Figura 16.

Problema 17.- El movimiento de las masas que se encuentran en la siguiente figura, está

restringido al plano del papel. Simplificando el problema podremos considerar

independientes los movimientos en direcciones perpendiculares (para ángulos de oscilación

pequeños). Determinar:

• Los grados de libertad que tiene el sistema

• Las variables que se van a emplear en el problemas.

• La ecuación del movimiento en forma matricial

• Las frecuencias naturales del sistema.

Figura 17

Problema 18.- Una varilla rígida de peso despreciable y longitud 2L, está pivotada en su

centro y es restringida a moverse en el plano vertical por medio de resortes y masas

colocados en sus extremos, como se muestra en la figura adjunta.

Determinar:


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• Los grados de libertad del sistema

• El sistema equivalente

• La ecuación del movimiento matricial del sistema.

Figura 18.


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Problema 19.- Suponiendo los sólidos que aparecen en el siguiente esquema como masas

puntuales, determinar:

- Grados de libertad del sistemas (justificar la respuestas)

- Sistema equivalente (simplificado al máximo)

- Energía cinemática y potencial del conjunto

- Matriz de rigidez (sistema matricial)

Figura 19.

Problema 20.- Suponiendo los sólidos que aparecen en el siguiente esquema como masas puntuales, determinar:

- Grados de libertad del sistemas (justificar la respuestas)

- Sistema equivalente (simplificado al máximo)

- Energía cinemática y potencial del conjunto

- Matriz de rigidez (sistema matricial)

Figura 20.

m

k L

k

3k/2 k

m

2L/3

L/2

2k

k

2k

2k

k

m m

k

m

45º 45º


11

k

3k/2

M

ID

k

k

Problema 21.- Analizando el mecanismo mostrado en la siguiente figura y considerando

las barras deformables de longitud L=1m, momento de inercia, I=2,5 kg.m2, módulo de

Young, E = 1010 N/m2 y masa m = 10 Kg, determina:

- Sistema equivalente

- Grados de libertad del mismo.

- Matriz de rigidez.

Problema 22.- Se dispone del siguiente esquema de un mecanismo libre no amortiguado, formado por un disco de inercia ID = 0,025 kg.m2 y radio r=0,1 m, que gira entorno a su centro y está conectada en su perímetro a un conjunto de muelles, uno de ellos sustente una masa M = 2 kg, que realiza un movimiento lineal vertical:

Determinar: - Grados de libertad del sistemas - Energía cinemática y potencial del conjunto - Matriz de rigidez (k=100 KN/m)

2k

k

k/2

m

m

Figura 21

Figura 22

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