En este documento podrás observar algunos ejemplos de

sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden

para resolver en el campo laboral.

Te reto a que resuelvas los últimos propuestos

1.

2.

3.

4.

5.

Hola muchachos disculpen los inconvenientes, bueno aquí

les dejo algunos problemas, para que ustedes resuelvan,

como verán están resueltos para que puedan verificar sus

respuestas, y son de landas diferentes

1.

; W

las soluciones son L.I. son una base de soluciones y se pueden escribir

x=C1x1+C2x2=C1

2.

; W

las soluciones son L.I. son una base de soluciones y se pueden escribir

x=C1x1+C2x2=C1

3.

las soluciones son L.I. son una base de soluciones y se pueden escribir

x=C1x1+C2x2=C1

4.

;

;

;

,

las soluciones son L.I. son una base de soluciones y se pueden escribir

x=C1x1+C2x2 +C3x3=C1

5.

,

las soluciones son L.I. son una base de soluciones y se pueden escribir

x=C1x1+C2x2 +C3x3=C1

Observe que el volumen de líquido en cada tanque es constante 24 litros,

debido al equilibrio entre las razones de entrada y salida. Por lo tanto, tenemos

dos funciones incógnitas de t; la masa de sal x(t) en el tanque A y la masa de sal

y(t) en el tanque B. si centramos nuestra atención en un tanque a la vez, podemos

deducir dos ecuaciones que relacionen estas incógnitas. como el sistema esta

alimentado con agua pura, esperamos que el contenido de sal de cada tanque

tienda a cero cuando t �∞ .

Para formular las ecuaciones de este sistema, igualamos la razón de cambio de

sal en cada tanque con la razón neta con la que transfiere la sal a ese tanque. la

concentración de sal en el tanque A es , de modo que el tubo superior

saca sal del tanque A a razón de de manera similar, el tubo inferior

lleva sal al tanque A a razón (la concentración de sal en el tanque B

es , el flujo de agua pura, por supuesto no transfiere sal (simplemente

mantiene el volumen del tanque A en 24 litros). Por nuestra premisa,

razón de entrada – razón de salida,

de modo que la razón de cambio de la masa de sal en el tanque A es

La razón de cambio de la sal en el tanque B se determina mediante los mismos

tubos de conexión y por el tubo de drenado que saca

Así los tanques interconectados quedan descritos mediante un sistema de

ecuaciones diferenciales de primer orden:

Considérese dos tanques de salmuera

conectados. El tanque 1 contiene x(t)

libras de sal en 100 gal de salmuera y El

tanque 2 contiene y(t) libras de sal en 200

gal de salmuera. Ésta se conserva

uniforme en el tanque por agitamiento y se

bombea de un tanque al otro con la tasa

indicada en la figura. Además, el tanque 1

fluye agua pura a 20 gal/min, en tanto que

del tanque 2 escapa a una tasa de cambio

de 20 gal/min (por lo que el volumen de la

salmuera en ambos tanques permanece

constante). La concentración de sal en los dos tanques es de x/100 libras por galón y y/200 libras por galón

respectivamente. Cuando calculemos la tasa de cambio de la cantidad de sal en ambos tanques, obtenemos

el sistema de ecuaciones diferenciales que de satisfacer x(t) y y(t):

en resumen:

Tres tintas de fermentación de 100 galones están

conectadas manteniéndose uniformes las mezclas

de los tanques mediante agitación. Denote con xi(t)

la cantidad (en libras) de alcohol en el tanque Ti en

el instante t (donde i=1,2,3). Supóngase que la

mezcla circula entre los tanques a una tasa de 10

gal/min.

Tanque 2

20 gal/min

Agua pura

y(t) Lb

200 gal

Tanque 1

x(t) Lb

100 gal

20 gal/min

10 gal/min

30 gal/min

Modelo matemático Lotka-Volterra.

El matemático italiano Volterra, después de haberse interesado por la ecología matemática y haber sido estimulado por su amigo zoólogo Humberto D' Ancona, estudio los registros de las pesquerías del Mar Adriático Superior y observó que, durante y después de la Segunda Guerra Mundial, cuando la pesca había disminuido drásticamente, la proporción de los depredadores había aumentado.Este hecho lo llevo a estudiar ese problema de una manera más general, logrando construir la primer teoría determinista sistematizada de la dinámica de poblaciones.

• Oscilaciones en las relaciones presa-depredador de Volterra.

Para iniciar su investigación matemática estableció ciertas cosas:

Que la especie depredadora se alimentaba exclusivamente de la especie presa, mientras que ésta se alimentaba de un recurso que se encontraba en el hábitat en grandes cantidades, el cual solo intervenía así ( pasivamente).

Que ambas poblaciones eran homogéneas, es decir, no intervenían factores como la edad o el sexo.

Que, así mismo, el medio era homogéneo, es decir, que las características físicas, biológicas entre otras, eran las mismas en el hábitat.

Y que los encuentros de la especie depredadora con las especie presa eran igualmente probables.

Siendo así, se encontró con que solo existían dos variables : el tamaño poblacional de la especie depredadora y el de la especie presa. Así mismo, supuso que ambos tamaños poblacionales dependían exclusivamente del tiempo y no de alguna otra variable especial.

Determino que si no existiesen depredadores, la población de presas crecería malthusianamente , es decir:

mientras que si ni hubiese presas, la especie depredadora decrecería, también siguiendo un modelo maltusiano, es decir:

Ahora bien, dado que la interacción beneficia a la especie depredadora y perjudica a la presa, él supuso que seria necesario modificar a los depredadores en un termino que diera cuenta del perjuicio para una y del beneficio para la otra, lo que tendría que ser :

Luego entonces, Volterra se topo con el problema de encontrar una forma analítica para cada termino que aparece entre corchetes y, basándose en el argumento de que cuantos más encuentros por unidad de tiempo haya entre individuos de la especie presa con la especie depredadora, mayor ha de ser el perjuicio de unos y el beneficio de otros; llego a la conclusión de que el numero de encuentros por unidad de tiempo entre presas

y depredadores, es proporcional al producto algebraico de sus respectivas densidades poblacionales, es decir:

[Numero de encuentros por u. de t.] x(t)y(t)

He incorporó esto en las dos ecuaciones anteriores :

donde “a” es la tasa instantánea de aumento de presas en ausencia de depredadores; mientras que “c” es la tasa instantánea per capita de disminución de depredadores, en el caso de ausencia de presas. Originalmente Volterra interpreto esto diciendo que :“...los parámetros constantes a y c representan la razón de nacimiento y muerte de las dos especies; mientras que b mide la susceptibilidad de la especie presa a la depredación y d mide la habilidad de depredación de esta especie. Las constantes b y d son la proporción de encuentros perjudiciales para las presas y la correspondiente de encuentros benéficos para los depredadores, respectivamente...”Y así logro afirmar que en una interacción presa-depredador descrita en las ecuaciones anteriores, el tamaño de la especie presa y el de la especie depredadora, cambian periódicamente al aumentar el tiempo lo que en términos geométricos sería: *La dinámica de las presas.-

Los puntos de equilibrio para este sistema son soluciones del sistema algebraico

Evidentemente, x=y=0 es una solución; es decir, el origen (0,0) es un punto de equilibrio. Asimismo, por las

últimas ecuaciones, debería resultar claro que si x o y es nula la otra variables también ha de serlo. Portanto,

si hay cualquier otro punto de equilibrio, debemos tener x≠0 e y≠0. En la primera ecuación algebraica, x≠0,

debemos tener , y por tanto, y=a/b. Por la segunda ecuación, vemos que si y≠0, entonces

, y por tanto, x=c/d. En consecuencia, los únicos puntos de equilibrio para el sistema de Lotka-

volterra son (0,0) y (c/d,a/b).

En las Proximidades del origen podemos reemplazar nuestro sistema original por el sistema lineal asociado

que se puede escribir en la forma matricial , donde y

A fin de estudiar las Proximidades del punto (c/d,a/b) transformaremos el sistema definido y

. entonces nuestro sistema original se convierte en

El sistema lineal asociado viene dado por , donde y

Otro problema es este problema de física de péndulo no amortiguado cuya

ecuación que la modela pero para angulos muy pequeños

de θ el valor de senθ≅θ reescribiendo la ecuación será en

donde si linealizamos haciendo llamar e una ecuación de

segundo grado en un sistemas de ecuaciones lineales resulta

en forma matriacial , donde