ecuaciones diferenciales ordinarias mediante grupos de...

Ecuaciones DiferencialesOrdinarias Mediante Grupos de

Lie

Joan Sebastian Gaitan Rivera

DirectorMs.C. Carlos Antonio Julio Arrieta

Universidad Distrital Francisco Jose de CaldasFacultad de Ciencias y Educacion

Matematicas2015

Dedicatoria

Quiero dedicar este trabajo a mis padres por todo su carino y amor que me hanbrindado en estos anos. A mi tıa Marıa Elsy, mi primo Daniel, mi hermano y miabuela Marıa Elsa, quienes han estado siempre a mi lado, su confianza y apoyofueron determinantes para la realizacion de este trabajo. Gracias por creer enmı.

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Agradecimientos

Quiero agradecer a la Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas por laformacion academica que me ha otorgado. Estos anos de estudio y grandes vi-vencias representaron en mı un enorme crecimiento en lo academico, personal,emocional y en los demas aspectos importantes de mi vida.

Al Dr. Mikhail Malakhaltsev por sus observaciones y sugerencias, ya que es-tas permitieron mejorar enormemente este trabajo. Agradecer su comprension,amabilidad y por sacar parte de su tiempo para resolver mis inquietudes.

Al profesor Carlos Antonio Julio Arrieta primero por introducirme y motivarmeen sus cursos a realizar mi trabajo de grado en esta area de las matematicas ysegundo por aceptar dirigir este trabajo. Gracias por su confianza, comprensiony apoyo en todo este proceso.

Al coordinador de la carrera de matematicas el profesor Milton Lesmes Acos-ta por hacerme notar algunos aspectos importantes que inicialmente no habıacontemplado en el trabajo.

Al profesor Carlos Orlando Ochoa Castillo por sus correcciones y recomenda-ciones, todas estas fueron importantes para la elaboracion final del trabajo.

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Resumen

El presente trabajo constituye una pequena introduccion a la extensa teorıade grupos de Lie aplicados a las ecuaciones diferenciales. Mostramos que todaEcuacion Diferencial Ordinaria de primer orden admite un grupo de transfor-maciones de Lie que la deja invariante y describimos como encontrar solucionesexactas para las EDO de primer orden mediante el generador del grupo que estaadmite.

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Objetivos

Objetivo General

• Describir el metodo de las coordenadas canonicas y aplicarlo para encontrarsoluciones de EDO de primer orden.

Objetivos Especıficos

• Exponer la estrecha relacion que existe entre la teorıa de grupos y las ecua-ciones diferenciales.

• Demostrar que toda EDO de primer orden admite puntos de simetrıa.

• Reconstruir algunos de los principales resultados encontrados por Shopus Lieen el analisis y solucion de EDO mediante simetrıas.

• Brindar las herramientas necesarias para que estudiantes y futuros investiga-dores de la Universidad Distrital y del paıs, puedan estudiar y comprender laliteratura existente en esta area.

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Justificacion

El estudio de las ecuaciones diferenciales, inicialmente tratadas por Newton paradescribir el movimiento planetario, ha ido progresando enormemente a medidaque se avanzo en las ciencias naturales, especialmente en la fısica. En la ac-tualidad las ecuaciones diferenciales se constituyen como el corazon del analisismatematico y el estudio de sus soluciones es una herramienta importante paracomprender las ciencias fısicas y naturales. Es bien conocido el hecho que mu-chas de las leyes en biologıa, quımica, fısica o astronomıa, ası como abundantesaplicaciones en la ingenierıa y economıa, encuentran su expresion mas naturalen las ecuaciones diferenciales. Ademas, estas son fuente de grandes ideas yteorıas que han contribuido al enriquecimiento de un sinfın de areas en las ma-tematicas, como por ejemplo, en el analisis avanzado y la geometrıa diferencial,de ahı que su estudio sea indispensable para la investigacion en ciencias exactasy naturales.

Ahora bien, aunque una buena parte de la investigacion en los ultimos dos si-glos se ha dedicado a las ecuaciones diferenciales, nuestra actual comprensionde ellas esta lejos de ser completa.

La teorıa de Sophus Lie muestra que es posible encontrar simetrıas en una ecua-cion diferencial y usarlas sistematicamente para encontrar soluciones exactas,es decir podemos encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales por medio degrupos de transformaciones que dejan invariante a la ecuacion. Hoy en dıa lamayorıa de estas ideas siguen siendo la base de muchas investigaciones en ma-tematica pura y aplicada.

Por lo tanto esta monografıa se justifica, dado el interes por comprender mejorla naturaleza de las soluciones de las ecuaciones diferenciales e introducirnosen el estudio de las simetrıas en ecuaciones diferenciales, una de las areas conmayor proyeccion investigativa en la actualidad.

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Introduccion

Cuando se estudian por primera vez las ecuaciones diferenciales ordinarias,usualmente son presentadas como una desconcertante variedad de tecnicas es-peciales disenadas para resolver ciertos tipos particulares de ecuaciones, aparen-temente sin relacion, como las ecuaciones de variables separables, homogeneaso exactas.

Esta era la unica manera en la que se entendıan y estudiaban las ecuacionesdiferenciales a mediados del siglo XIX. Poco tiempo despues, en la mitad delmismo siglo XIX, el matematico noruego Sophus Lie inicia el estudio de lasecuaciones diferenciales mediante grupos de transformaciones, queriendo conse-guir una teorıa semejante a la desarrollada por Evariste Galois para ecuacionesalgebraicas y polinomiales, pero aplicada a las ecuaciones diferenciales.

Inicialmente Lie penso en desarrollar una teorıa geometrica que permitiera en-contrar invariantes a partir de ciertas transformaciones que caracterizaran a es-tas ecuaciones. En este sentido a una ecuacion diferencial le asocio una familiafinita de transformaciones y ası logro hallar resultados que relacionan estrecha-mente la teorıa de grupos con las ecuaciones diferenciales.

Uno de los descubrimientos mas profundos de Lie se basa en el hecho que lastecnicas especiales elaboradas para resolver algunos tipos particulares de ecua-ciones diferenciales ordinarias, son en realidad, los casos particulares de unprocedimiento general de integracion basados en la invarianza de la ecuaciondiferencial bajo un grupo continuo de simetrıas. Esta observacion unifico y am-plio significativamente las tecnicas de integracion disponibles, lo cual inspiro aLie a desarrollar y aplicar su teorıa de grupos continuos de transformaciones,actualmente conocidos como grupos de Lie.

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Estado del Arte

(1874) Sophus Lie. Begrundung einer Invariantentheorie der Beruhrungstransfor-mationen. Teubner, Leipzig.

(1888) Sophus Lie. Theorie der Transformationsgruppen. Leipzig.

(1891) Sophus Lie. Vorlesungen uber Differentialgleichungen mit Bekannten Infi-nitesimalen Transformationen. B. G. Teubner, Leipzig.

(1922) Elıe Cartan. Lecons sur les Invariants Integraux. Parıs.

(1930) Elıe Cartan. La Theorie des Groupes Finis et Continus et l’Analysis Situs.Gauthier-Villars, Paris.

(1936) Elıe Cartan. La Topologie des Groupes de Lie, Exp. de Geometric. Her-mann, Paris.

(1978) Lev Ovsyannikov. Group Analysis of differential equations. Academic Press,New York.

(1983) Nail Ibragimov. Transformations groups applied to mathematical physics.Holland.

(1989) Hans Stephani. Differential equations. Their solutions using symmetries.Cambridge University Press.

(1993) Peter Olver. Applications of Lie groups to differential equations. SpringerVerlag, New York.

(1994) Nail Ibragimov. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equa-tions. Vol I Symmetries, exact solutions, and conservation laws.

(2002) George Bluman. Symmetry and Integration Methods for Differential Equa-tions. Springer, New York.

(2012) Peter Olver. Lectures on Lie Groups and Differential Equations.

(2014) Gianni Manno, Francesco Oliveri and Giuseppe Saccomandi. Ordinary dif-ferential equations described by their Lie symmetry algebra.

(2015) Cheng Chen, Yao-Lin Jiang. Lie group analysis method for two classes offractional partial differential equations.

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Metodologıa

El trabajo inicia con la consulta de fuentes bibliograficas que profundicen lastematicas y con el desarrollo de ejemplos que permitan conceptualizar mejorlas mismas. Para la elaboracion del trabajo se lleva un registro de la actividadmatematica (ejemplos, teoremas, demostraciones y en general de los avances quese obtengan) para ası, ir cumpliendo con los objetivos planteados.

Finalmente se elabora una sıntesis, en esta se presenta una version finalizaday ordenada donde se encuentran las distintas conexiones, entre los conceptos yrazonamientos que llevaron al desarrollo del trabajo.

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Indice general

Resumen 3

Objetivos 4

Justificacion 5

Introduccion 6

Estado del Arte 7

Metodologıa 8

1. Preliminares 101.1. Aspectos generales sobre diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . 111.2. Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Grupos de Lie 182.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2. Variedades Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. Introduccion a los Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4. Accion de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Grupos de Transformaciones de Lie 333.1. Grupos de Tranformaciones de Lie Uniparametricos . . . . . . . 343.2. Transformaciones y Generadores Infinitesimales . . . . . . . . . . 383.3. Serie de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4. Funciones Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5. Coordenadas Canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante Simetrıas De Lie 534.1. Curvas Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2. Simetrıas de EDO de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3. Algoritmo para hallar la solucion de una EDO . . . . . . . . . . 67

Conclusiones y Recomendaciones 74

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Capıtulo 1

Preliminares

Es preciso detenerse en algun punto,y para que la ciencia sea posible, debe-mos detenernos cuando encontremos lasimplicidad ~Henri Poincare.

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CAPITULO 1. PRELIMINARES 11

1.1. Aspectos generales sobre diferenciabilidad

En este capıtulo se presentan los conceptos, definiciones y teoremas que sonnecesarios para el desarrollo de este Trabajo de Grado.

Definicion 1.1. Si para dos funcines f(x) y g(x) ocurre que lımx→x0

|f(x)||g(x)|

= 0,

escribimosf(x) = o(g(x)), cuando x→ x0.

El sımbolo o se conoce como notacion o minuscula de landau. En el caso de queexista un ε > 0 tal que

lımx→x0

|f(x)||g(x)|

≤ ε

escribimosf(x) = O(g(x)), cuando x→ x0,

y O se conoce como notacion O minuscula de landau.

Definicion 1.2. Sea U un conjunto abierto de Rn y f una funcion de U enRm. Si existe una transformacion lineal A de Rn en Rm, tal que

lımh→0

|f(x+ h)− f(x)−Ah||h|

= 0, (1.1)

decimos que f es diferenciable en x y se escribe f ′(x) = A. Si f es diferen-ciable en todo x ∈ U decimos que f es diferenciable en U .

Observacion 1.1. Naturalmente para que (1.1) tenga sentido, h ∈ Rn y si|h| es lo suficientemente pequeno, entonces x+ h ∈ Rn, pues U es abierto. Demanera que, f(x+h) ∈ Rm y Ah ∈ Rm. Por tanto, f(x+h)−f(x)−Ah ∈ Rmy la expresion en (1.1) esta bien definida.

Frecuentemente (1.1) se escribe en la forma

f(x+ h)− f(x) = f ′(x)h+ r(h)

donde r(h) es pequeno, en el sentido que lımh→0

|r(h)||h|

= 0 o equivalentemente

r(h) = o(h) cuando h→ 0.

Ejemplo 1.1. Sabemos del calculo que la funcion f : R −→ R, dada porf(x) = sen(x), tiene derivada f ′(x) = cos(x), para todo x ∈ R. Entoncespodemos escribir sen(x + h) = h cos(x) + r(h), donde r(h) = o(h) cuandoh→ 0. Luego para valores muy pequenos de h podemos aproximar sen(x+h) ∼sen(x) + h cos(x) con error igual a una fraccion pequena de h (r(h)). Utili-zando la identidad trigonometrica: sen(x + h) = sen(x) cos(h) + cos(x) sen(h),obtenemos r(h) = sen(x)(cos(h)− 1) + cos(x)(sen(h)− 1) y ası concluımos que

lımh→0

|r(h)||h|

= 0.


Teorema 1.1. [15, Pag. 213] Supongamos que U y f son como en la Definicion1.2., x ∈ U y se satisface (1.1) con A = A1 y con A = A2, entonces A1 = A2.

Definicion 1.3. Si f : U ⊆ Rn −→ R es una funcion de U en R definidapor (x1, x2, · · · , xn) 7−→ f(x1, x2, · · · , xn), decimos que f es continuamentediferenciable en U o de clase C1(U) y se escribe f ∈ C1(U), cuando lasderivadas parciales

∂f

∂x1(x),

∂f

∂x2(x), · · · , ∂f

∂xn(x)

existen para todo x ∈ U y son continuas en U .Diremos que f es Ck diferenciable sobre U o de clase Ck(U) si y solo si lasderivadas parciales de f(x1, x2, · · · , xn) de todos los ordenes menores o igualesa k existen y son continuas sobre U . Podemos extender el concepto y considerarfunciones infinitamente diferenciables, en estos casos f ∈ C∞(U) o es declase C∞(U), si existen las derivadas parciales de todos los ordenes (para cadak ∈ N) y son continuas en U . En particular, f ∈ C0(U) significa que f escontinua en U .Por ultimo decimos que f es analıtica sobre U si existe una vecindad en cadapunto (a1, a2, · · · , an) de U en las cuales f(x1, x2, · · · , xn) puede ser expresadacomo una serie de potencias convergente en xi − ai (i = 1, 2, · · · , n).

Ejemplo 1.2. Todo polinomio definido en Rn es una funcion de clase C∞(Rn).En R las funciones exponencial y logaritmo son funciones de clase C∞ en losintervalos donde estan definidas.

Definicion 1.4. Si f es una funcion real definida sobre un intervalo I de R,f ∈ Cn(I), x0 ∈ I y notamos la n-esima derivada de f en x0 por f (n)(x0). Elpolinomio de Taylor de orden n de f en x0 se expresa de la siguiente manera

Pn(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2!(x− x0)2 + · · ·+ fn(x0)

n!(x− x0)n

y tiene la propiedad de que el y sus derivadas hasta el orden n coinciden con lafuncion y sus derivadas hasta el orden n en el punto x0.

Ejemplo 1.3. Sea f definida como en la Definicion 1.4 con f ∈ Cn(I) entoncessi h es tal que x + h ∈ I, para todo x ∈ I, podemos expresar la formula deTaylor ası

f(x+ h) = f(x) + f ′(x)h+f ′′(x)

2!h2 + · · ·+ fn(x)

n!hn + r(h)

donde lımh→0

|r(h)||hn|

= 0. Ademas se puede demostrar que r(h) es un polinomio de

grado ≤ n, cuyas derivadas, desde el orden 0 al n, se anulan en el punto 0. Vease[12, Pag. 221].


Teorema 1.2. Sea n ∈ N, I = [a, b] y f : I −→ R tal que f ∈ Cn(I) y ademasf (n+1) existe en (a, b). Si x0 ∈ I, entonces para cualquier x en I existe un puntoc entre x y x0 tal que

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2!(x− x0)2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!(x− x0)n

+f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)n+1

Demostracion. Definimos el intervalo J como un intervalo cerrado con puntosterminales x y x0. Sea F una funcion definida sobre J por

F (t) = f(x)− f(t)− (x− t)f ′(t)− · · · − (x− t)n

n!f (n)(t)

para t ∈ J . Si derivamos F (t) tenemos que

F ′(t) = − (x− t)n

n!f (n+1)(t)

Ahora si definimos una nueva funcion G en J por

G(t) = F (t)−(x− tx− x0

)(n+1)

F (x0)

para t ∈ J , entonces G(x0) = G(x) = 0. Si aplicamos el teorema de Rolle en G[1, Pag. 207] este nos garantiza la existencia de un punto c entre x y x0 tal que

G′(c) = F ′(c) + (n+ 1)(x− t)n

(x− x0)n+1F (x0)

esto es,

F (x0) = − 1

n+ 1

(x− x0)n+1

(x− t)nF ′(c)

=1

n+ 1

(x− x0)n+1

(x− t)n(x− c)n

n!f (n+1)(c)

=f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1

Por lo tanto la conclusion se tiene a partir de la definicion de F . Q.E.D.

Algunas veces el Teorema de Taylor se presenta como f(x) = Pn(x) + Rn(x),donde Pn(x) es el polinomio de Taylor de f en x0 y Rn(x) esta dado por

Rn(x) =f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1

para algun c entre x y x0. Rn(x) tambien se conoce como residuo o forma deLagrange del residuo.


1.2. Ecuaciones Diferenciales

Definicion 1.5. Una Ecuacion Diferencial (ED) es una ecuacion que invo-lucra derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o masvariables independientes. Decimos que una ecuacion diferencial es ordinaria sien ella solo existe una variable independiente (todas las derivadas que involucrason ordinarias) y una ecuacion en la que intervienen una o mas variables inde-pendientes (de modo que las derivadas que aparecen son derivadas parciales) esuna ecuacion diferencial parcial.

Ejemplo 1.4. Las ecuaciones (1.2) y (1.3) son ejemplos de ecuaciones dife-renciales ordinarias y las ecuaciones (1.4) y (1.5) son ejemplos de ecuacionesdiferenciales parciales.

dy

dx= −g (1.2)

d2y

dx2− 5

dy

dx+ 6y = 0 (1.3)

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0 (1.4)

∂u

∂s+∂u

∂t= u (1.5)

A menudo consideraremos la definicion clasica de una ecuacion diferencial ordi-naria de orden n, es decir como una relacion de la forma

F (x, y, y′, y′′, · · · , yn) = 0 (1.6)

siendo F una funcion F : U ⊆ Rn+2 −→ R con U un subconjunto abierto deRn+2.

Definicion 1.6. Una funcion f definida sobre un intervalo I de R, tal quef ∈ Cn(I),

F (x, f(x), f ′(x), · · · , fn(x))

esta definida para todo x ∈ I y ademas

F (x, f(x), f ′(x), · · · , fn(x)) = 0

para todo x ∈ I. Es una solucion explıcita de la ED (1.6).

Definicion 1.7. Una ecuacion diferencial de primer orden es una relacion

F (x, y, y′) = 0 (1.7)

Una solucion de (1.7) es una funcion y = f(x) que satisface la ecuacion.

Ejemplo 1.5. La funcion y = ex es solucion de la ecuacion y′ − y = 0, perotambien lo son y1 = ex + 1 y y2 = ex + 2. En general la funcion f definida paratodo x ∈ R por f(x) = ex + c, donde c es un numero real, el cual denota unparametro y la funcion f una familia uniparametrica de soluciones de la EDestudiada.


Observacion 1.2. Si f es una funcion real continua en un dominio abierto yconexo, las soluciones de la ecuacion diferencial

dy

dx= f(x, y), (1.8)

tienen una interpretacion geometrica interesante [16], como una familia unipa-rametrica de curvas integrales en el plano.

Al estudiar las ecuaciones diferenciales ordinarias vemos que la ecuacion (1.8) nopuede resolverse, en general, en el sentido que no existen formulas para obtenersu solucion en todos los casos. Pero hay ciertos tipos canonicos de EDO paralas cuales sı se disponen de metodos rutinarios de resolucion.El mas simple de todos estos es aquel en el que las variables son separables

dy

dx= g(x)h(y) (1.9)

donde h(y) 6= 0 para todos los reales y donde este definida. Una ED como (1.9)es una ecuacion diferencial de variables separables. Para resolverla basta conescribir en forma separada,

dy

h(y)= g(x)dx, e integrar

∫g(x) dx =

∫dy

h(y)dy.

Definicion 1.8. Sea F : U −→ R una funcion de un abierto U del plano en R.La derivada total dF de la funcion F es definida ası

dF (x, y) =∂F (x, y)

∂xdx+

∂F (x, y)

∂ydy

para todo (x, y) ∈ U .

Definicion 1.9. La expresion

M(x, y) dx+N(x, y) dy (1.10)

es llamada una diferencial exacta en un dominio D si existe una funcion Fcontinuamente diferenciable de dos variables tal que esta expresion es igual a ladiferencial total dF (x, y) para todo (x, y) ∈ D. Esto es, la expresion (1.10) esuna diferencial exacta si existe una funcion F que satisface

∂F (x, y)

∂x= M(x, y) y

∂F (x, y)

∂y= N(x, y)

para todo (x, y) ∈ D.Si (1.10) es una diferencial exacta entonces la ecuacion diferencial

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (1.11)

se llama ecuacion diferencial exacta.


Observacion 1.3. Se puede comprobar facilmente que una ED como (1.8) sepuede escribir en una forma diferencial como (1.11)y recıprocamente.

Ejemplo 1.6. La ED y2dx + 2xydy, es una ecuacion diferencial exacta. Enefecto, ya que esta expresion es igual a la diferencial total de la funcion f(x, y) =xy2.

Teorema 1.3. [14]Una ecuacion diferencial

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0

donde M y N son continuamente diferenciables en un dominio rectangular Ddel plano.Es exacta si y solo sı

∂M(x, y)

∂y=∂N(x, y)

∂x.

Definicion 1.10. Si la ecuacion diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 no esexacta en un dominio D, pero la ecuacion diferencial

µ(x, y)M(x, y) dx+ µ(x, y)N(x, y) dy = 0

es exacta en D, entonces la funcion µ(x, y) es llamada factor integrante de laecuacion diferencial.

Ejemplo 1.7. La ecuacion diferencial

(3y + 4xy2) dx+ (2x+ 3x2y) dy = 0

es de la forma (1.11), donde

M(x, y) = 3y + 4xy2,

∂M(x, y)

∂y= 3 + 8xy,

N(x, y) = 2x+ 3x2y,

∂N(x, y)

∂x= 2 + 6xy.

Luego∂M(x, y)

∂y6= ∂N(x, y)

∂x

excepto para los (x, y) que satisfacen 2xy+ 1 = 0, la ED no es exacta en ningundominio rectangular.No obstante, si multiplicamos la ED por µ(x, y) = x2y obtenemos

(3x2y2 + 4x3y3) dx+ (2x3y + 3x4y2) dy

una ecuacion diferencial exacta en todo dominio rectangular, pues

∂[µ(x, y)M(x, y)]

∂y= 6x2y + 12x3y2 =

∂[µ(x, y)N(x, y)]

∂x

para todo (x, y) ∈ R2. Por lo tanto µ(x, y) = x2y es un factor integrante de laED analizada.


Definicion 1.11. La ED de primer orden M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 se llamahomogenea si, cuando la escribimos en la forma (1.8), existe una funcion g talque f(x, y) puede ser expresada en la forma g(y/x).

Teorema 1.4. Si M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuacion homogeneaentonces el cambio de variable y = ux transforma esta ecuacion en una ecuacionseparable en las variables u y x.

Demostracion. Como la ecuacion diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 eshomogenea, se puede escribir en la forma

dy

dx= f

(yx

)(1.12)

Ahora si hacemos la transformacion y/x = u, entonces

y = ux edy

dx= u+ x

du

dx

Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuacion (1.12) obtenemos lasiguiente ED de variables separables

xdu

dx+ u = f(u) o bien x

du

dx= f(u)− u

Separando variables, la ecuacion previa toma la siguiente forma

du

f(u)− u=dx

x

Q.E.D.

Observacion 1.4. Existen transformaciones adecuadas que permiten reduciralgunas ED a ecuaciones diferenciales homogeneas, como se expone en [18, Pag.29]. Ası mismo, en las ecuaciones diferenciales de orden superior hay transfor-maciones que reducen el orden de algunas ecuaciones, ver por ejemplo [16] o[14]. Este hecho aunque no se puede aplicar a todos los tipos de ecuaciones dife-renciales, nos revela la importancia que la accion de una transformacion puedetener en la ecuacion diferencial estudiada.

Capıtulo 2

Grupos de Lie

Quien ama la practica sin teorıa escomo el marinero que se embarca sintimon ni brujula y no sabe a donde ir ~Leonardo da Vinci.

El desarrollo de los grupos de Lie ha abarcado diversas areas de la matematicapura y aplicada, causando un gran impacto en cada una de estas, mucho masde lo esperado por el mismo Lie. Las aplicaciones de los grupos de simetrıa deLie se pueden encontrar en topologıa algebraica, geometrıa diferencial, teorıade invariantes, teorıa de bifurcaciones, mecanica clasica, etc. No obstante, elestudio de los trabajos de Lie y de los grupos que llevan su nombre comenzarıahace poco mas de un siglo, ya que desafortunadamente cayeron en el olvido porun largo periodo de tiempo durante el siglo XIX, hasta que se logro reformularla geometrıa diferencial y gracias tambien al impulso que Eli Cartan les dio alestudiar sus usos geometricos. Los resultados obtenidos por Cartan han sido degran importancia y abarcan las algebras de Lie, la representacion de los gruposde Lie semisimples, el estudio de simetrıas en ecuaciones diferenciales, entreotras. Podemos decir que los trabajos Cartan son una sıntesis asombrosa entrela teorıa de Lie, la geometrıa diferencial y la topologıa.

Su estudio tambien ha despertado grandes inquietudes, como por ejemplo elquinto problema de Hilbert*, de la lista que el mismo Hilbert presento en el

*De los problemas propuestos por Hilbert el quinto se relaciona con la clasificacion delos grupos de Lie, y fue enunciado por el ası: “El concepto de Lie sobre grupo continuode transformaciones sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo”.Actualmente el quinto problema de Hilbert se puede asumir en terminos simples ası:“¿Escualquier grupo localmente Euclıdeo un grupo de Lie?”

18

CAPITULO 2. GRUPOS DE LIE 19

ano 1900 en el Segundo Congreso de Internacional de Matematicas celebrado enParıs.

Informalmente hablando, un grupo de Lie es un “grupo” que a la vez tambienes una “variedad”. En este orden de ideas, haremos una breve introduccion ala teorıa de los grupos de Lie y puesto que su concepto involucra el estudio deestos dos importantes objetos, en este capıtulo explicamos sus definiciones y lamanera en como estan relacionadas.


2.1. Grupos

Definicion 2.1. Una operacion binaria o ley de composicion interna φsobre un conjunto G es una funcion que aplica G×G en G. Esto es, para cada(a, b) ∈ G×G, φ(a, b) sera un elemento de G, φ(a, b) ∈ G.

φ : G×G −→ G

(a, b) 7−→ φ(a, b)

El elemento φ(a, b) se llama el compuesto de a con b.

Definicion 2.2. Un grupo 〈G,φ〉 es un conjunto de elementos G, con una leyde composicion interna φ, que satisface los siguientes axiomas:

(a) Propiedad Asociativa. Para todos los a, b, c ∈ G, tenemos

φ(a, φ(b, c)) = φ(φ(a, b), c).

(b) Elemento Identidad. Existe un unico elemento e en G tal que para todox ∈ G,

φ(x, e) = φ(e, x) = x.

(c) Elemento Inverso. Para todo a ∈ G, existe un unico elemento a′ en G talque,

φ(a, a′) = φ(a′, a) = e,

el elemento a′ se llama inverso de a y se nota como a−1.

Observacion 2.1. En la gran mayorıa de textos de algebra abstracta la unici-dad del elemento neutro e inverso no se incluyen en la definicion de grupo, aunası, en esos casos no es difıcil demostrar estas propiedades. Ver [8, Pag. 42] o [7,Pag. 56].

Definicion 2.3. Un grupo G es abeliano si φ(a, b) = φ(b, a) para todos loselementos a y b en G.

Ejemplo 2.1. (Z,+) es un grupo abeliano, donde + denota la adicion usual enZ.

Ejemplo 2.2. (Q, ·) no es un grupo por que 0 ∈ Q y no posee inverso.

Ejemplo 2.3. Las propiedades conocidas de la multiplicacion de los racionales,reales y los numeros complejos nos permiten mostrar que los conjuntos Q∗, R∗y C∗ de numeros no negativos bajo la multiplicacion son grupos abelianos.

Ejemplo 2.4. Si A es un conjunto entonces el conjunto B(A) de todas lasbiyecciones del conjunto A en sı mismo con la composicion usual de funcioneses un grupo. En efecto, sean f y g dos aplicaciones biyectivas de A en sı mismo,entonces:


(a) Si x, y ∈ A y tenemos que g(f(x)) = g(f(y)); como g es inyectiva, f(x) =f(y); como f es inyectiva, x = y lo que prueba que g f es inyectiva. Parademostrar que g f es sobreyectiva, basta que tomemos z ∈ A y como g essobreyectiva existe y ∈ A tal que g(y) = z; como f es sobreyectiva existex ∈ A tal que f(x) = y, esto es, g(f(x)) = z y por tanto gf es sobreyectivay la operacion es cerrada.

(b) La aplicacion identidad de A en A es elemento neutro.

(c) La asociatividad es una consecuencia inmediata de la asociatividad de lacomposicion de funciones.

(d) Si f ∈ B(A) entonces f−1 ∈ B(A). Si f−1(x) = f−1(y), tenemos quef(f−1(x)) = f−1(f(y)) de donde se deduce que x = y, luego f−1 es inyecti-va; ademas si y ∈ A, el elemento x = f(y) satisface f−1(x) = f−1(f(y)) = y,con lo que f−1 es tambien sobreyectiva.

En el caso en que A constituya el conjunto de los n primeros numeros naturales,los elementos de B(A) se denominan permutaciones de n elementos ; el conjuntode las permutaciones de n elementos se denota por Sn y al grupo (Sn, ) se lellama grupo simetrico de orden n.

Ejemplo 2.5. El conjunto Mn ×m(R) de todas las matrices de n × m es ungrupo abeliano con la adicion de matrices, pero no lo es con la multiplicacionde matrices.

Ejemplo 2.6. El subconjunto de Mn(R) de todas las matrices invertibles den × n, notado por GL(n,R) es un grupo no abeliano con la multiplicacion dematrices. GL(n,R) tambien se conoce como grupo lineal general de orden n ya partir de este se pueden generar otros grupos importantes de matrices, porejemplo el grupo de las matrices ortogonales de orden n

O(n,R) =A ∈ GL(n,R)/AAt = I

.

Al comprender la definicion de grupo (Definicion 2.2) notamos que estos surgencomo una abstraccion algebraica de la nocion de simetrıa, donde entendemosun objeto como simetrico si podemos someterlo a ciertas operaciones sin queel objeto cambie su estructura luego de efectuar cada una de las operaciones,en otras palabras, si al efectuar una operacion sobre el objeto este permaneceinvariante. En este caso a la operacion se le llama simetrıa del objeto.

Definicion 2.4. Si A es un conjunto no vacıo del plano, llamaremos a S(A) alconjunto de todos los movimientos del plano que dejan A invariante, es decir, elconjunto de todos los movimientos M del plano que satisfacen M(A) = A. Elconjunto S(A) se conoce como el conjunto de simetrıas de A.

Teorema 2.1 ([7], Pag. 66). Sea A un conjunto no vacıo del plano entoncesS(A) el conjunto de las simetrıas de A en el plano es un grupo con la composi-cion de movimientos.


Observacion 2.2. Como se expone en [8], existe una correspondencia naturalentre el grupo simetrico de n elementos Sn y el conjunto de todas las simetrıasde un polıgono regular de n-lados.

Ejemplo 2.7. Consideremos a G como el conjunto de todas las simetrıas quedejan invariante al triangulo equilatero ABC [2.1]. En este caso G tambienpuede ser representado como el grupo de todas las permutaciones de los verticesA, B y C.

Figura 2.1: Triangulo ABC

El elemento neutro e = (1, 2, 3) es la rotacion de 0 grados alrededor del centrodel triangulo, la cual corresponde al vertice 1 ubicado en A, el vertice 2 en B yel vertice 3 en C [2.2 (a)]. El elemento r = (3, 2, 1) corresponde a una rotacionde 2π

3 alrededor del centro del triangulo y en sentido contrario a las agujas delreloj, esta transformacion ubica el vertice 3 en el A, el 1 en el B y el 2 en elC [2.2 (b)]. El elemento de giro g = (3, 2, 1) representa la simetrıa con respectoa la recta que pasa por el centro del triangulo y por el vertice 2; la cual hacecorresponder el vertice 3 en A, el 2 en B y el 1 en C [2.2 (c)].

Los demas elementos o simetrıas se obtienen a partir de las distintas composicio-nes de r y g. Si φ denota la composicion de movimientos entonces el elementoφ(r, r) = r2 = (2, 3, 1) representa la rotacion de 4π

3 alrededor del centro deltriangulo obtenido al componer dos rotaciones de 2π

3 en sentido contrario a lasagujas del reloj [2.2 (d)]. El elemento φ(r, g) = rg = (2, 1, 3) corresponde a lacomposicion de una rotacion de 2π

3 en sentido contrario a las agujas del relojseguido por un giro [2.2 (e)]. Por ultimo el elemento φ(g, r) = gr = (1, 3, 2)representa un giro seguido por una rotacion de 2π

3 en sentido contrario a lasagujas del reloj [2.2 (f)].

Teniendo en cuenta lo anterior no resulta difıcil probar que estas son todas las


simetrıas de un triangulo equilatero, mas aun el conjunto G constituye un gru-po con las composicion de movimientos, que es no abeliano ya que por ejemploφ(r, g) 6= φ(g, r).

Figura 2.2: Grupo de Simetrıas de un triangulo equilatero. (a) identidad e; (b)rotacion por 2π

3 , r; (c) giro, g; (d) rotacion por 4π3 , φ(r, r); (e) rotacion de 2π

3seguida por un giro, φ(r, g); (f) giro seguido por una rotacion de 2π

3 , φ(g, r).

El grupo del ejemplo anterior recibe el nombre de grupo diedrico de orden 6.En general es posible demostrar que el conjunto de todas las simetrıas de unpolıgono regular de n lados es un grupo [7, Pag. 69], el cual recibe el nombre degrupo diedrico de orden 2n y se simboliza mediante D2n.

2.2. Variedades Diferenciales

Las variedades son los objetos fundamentales en el estudio de la geometrıadiferencial. En terminos simples una variedad sera un espacio que localmentese asemeja a algun espacio Euclidiano, pero que globalmente puede ser muydiferente. Para una introduccion a las variedades se recomienda ver [11], dondeademas se encuentran resultados que no presentamos aquı.

En lo que sigue del trabajo nos referiremos a una funcion diferenciable como auna funcion de clase C∞. Si la funcion es biyectiva y diferenciable y su inversatambien lo es, entonces la llamaremos difeomorfismo de clase C∞ o simplementedifeomorfismo.

Definicion 2.5. Sea M un conjunto. Una Carta de dimension n sobre M o


sistema de coordenadas es un par (U,ϕ) que consiste de un subconjunto U deM y una biyeccion ϕ de U a un conjunto abierto de Rn. A U se le conoce comodominio de la carta y ademas si p ∈ U entonces podemos asignarle coordenadas(x1, x2, . . . , xn) mediante las funciones de proyeccion πi : Rn → R de maneraque xi = πi ϕ para i = 1, 2, . . . , n.

Definicion 2.6. Una variedad diferencial de dimension n es un conjuntoM , junto con una coleccion de cartas sobre M , A = (Ui, ϕi)i∈I , siendo I unconjunto indexado de ındices y ϕ(Ui) un conjunto abierto en Rn, tales que

(a) M =⋃i∈I

Ui.

(b) Para cada i, j ∈ I con Ui ∩ Uj 6= ∅, la aplicacion cambio de coordenadas

ϕj ϕ−1i : ϕi(Ui ∩ Uj) −→ ϕj(Ui ∩ Uj)

es un difeomorfismo.

Observacion 2.3. Con base a la Definicion 2.2 hacemos las siguientes obser-vaciones:

• A las cartas (Ui, ϕi), (Uj , ϕj) de la definicion anterior se les dice compatiblesy A es llamado un atlas de cartas sobre M . Diremos que la coleccion A =(Ui, ϕi) constituye una estructura diferencial sobre M cuando A seamaxima en relacion a las condiciones (a) y (b) de la definicion, es decir si noesta contenido en ningun otro atlas sobre M .

• La condicion (b) es la que nos permite aplicar el calculo diferencial en lasvariedades y a diferencia de las superfices que se estudian como objetos con-tenidos en R3 el concepto de variedad no requiere de un espacio ambiente.

• En este trabajo nos interesaremos principalmente por las variedades diferen-ciales o de clase C∞ donde las funciones de coordenadas son difeomorfismosde clase C∞. Frecuentemente se definen las variedades como Ck variedades,en estos casos la condicion de diferenciabilidad cambia en el sentido que solose exige que las funciones de cambio de parametro sean de clase Ck.

• Una variedad de clase C0 es una variedad topologica y son estudiadas enmuchos textos de geometrıa diferencial, como por ejemplo [10]. Una variedadtopologica es un espacio topologico M , que ademas es Hausdorff, segundocontable y localmente euclıdeo. A partir de esta ultima condicion vemos quelas funciones de coordenadas son homeomorfismos o difeomorfismos de claseC0.

• En general una estructura diferencial sobre una variedad M puede definir unatopologıa sobre M de la siguiente manera: sea (Ui, ϕi)i∈I un atlas luegoϕ(Ui) ∈ Rn para cada i ∈ I, entonces un subconjunto A de M es abiertoen M si y solo si ϕ(A ∩ Ui) es un subconjunto abierto de Rn para todo Uisatisfaciendo A ∩ Ui 6= ∅. Esta definicion define la topologıa inducida sobreM .


Ejemplo 2.8. Rn es una variedad cubierta por la unica carta (U,ϕ), donde U =Rn y ϕ es la aplicacion identidad. Luego (U,ϕ) proporciona una estructuradiferencial estandar para Rn.

Ejemplo 2.9. Mn ×m(R) es una variedad de dimension n×m que se cubre porla biyeccion ϕ : Mn ×m(R)→ Rmn, definida por

[aij ] 7−→ (a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , am1, . . . , amn)

Puesto que ϕ aplica todo Mn ×m(R) en Rmn y es un difeomorfismo, la coleccion(Mn ×m(R), ϕ) define una estructura diferencial para Mn ×m(R).

Ejemplo 2.10. Un subconjunto abierto G de una variedad diferenciable M dedimension n es tambien una variedad de dimension n. Como M es una variedadentonces admite una estructura diferencial, digamos (Ui, ϕi)i∈Ia partir de esta

obtenemos de manera natural una estructura para G, ası

(Ui ∩G, ϕ|Ui∩G)i∈I

donde ϕ|Ui∩G es la restriccion de ϕ a Ui ∩G.

Ejemplo 2.11. El grupo lineal general GL(n,R) de las matrices no singularesde n × n es una variedad de dimension n2. Para ver esto, identificamos lospuntos de Rn2

con las matrices reales de tamano n×n mediante la aplicacion ϕdefinida en el Ejemplo 2.9. Ahora como la aplicacion determinante M: Rn2 → Res continua entonces M-1 ((−∞, 0) ∪ (0,∞)) = GL(n,R) es un conjunto abierto

de Rn2

ya que (−∞, 0) ∪ (0,∞) es abierto en R. Por lo tanto por el Ejemplo2.10, concluimos que GL(n,R) es una variedad de dimension n2.

Todo conjunto M que posea una sola carta (M,ϕ) sobre M , esto es que (M,ϕ)sea una carta alrededor de cada punto p ∈ M , es claramente una variedad di-ferencial ya que los axiomas de la Definicion 2.2 se satisfacen directamente. Sinembargo, usualmente es imposible encontrar una sola carta que cubra comple-tamente a toda la variedad M .

Ejemplo 2.12. Sea S1 la circunferencia unitaria en R2 y sea U1 el subconjuntode S1 que consiste de todos los puntos (cos t, sen t) con 0 < t < 2π. Entonces,ya que ϕ1 : U1 → R definida por (cos t, sen t) 7→ t es una biyeccion de unconjunto abierto a R; (U1, ϕ1) es una carta sobre S1. De igual manera, sea U2

el conjunto de todos los puntos (cos τ, sen τ) con −π < τ < π y ϕ2 : U2 → Rdefinida por (cos τ, sen τ) 7→ τ . Entonces (U2, ϕ2) es otra carta sobre S1. Losconjuntos U1 y U2 cubren a S1 y puesto que τ = t (0 < t < π) y τ = t − 2π(π < t < 2π), las aplicaciones t 7→ τ son difeomorfismos. Por lo tanto (U1, ϕ1) y(U2, ϕ2) conforman un atlas sobre S1.

Ejemplo 2.13. Consideremos la esfera unitaria

S2 =

(x, y, z) ∈ R3/ x2 + y2 + z2 = 1

La proyeccion estereografica puede ser usada para cubrir a S2 con un atlas dedos cartas. Los dominios se definen el polo norte y sur respectivamente

U1 = S2 − (0, 0, 1) , U2 = S2 − (0, 0,−1) .


Sean ϕi : Ui → R2 ' (x, y, 0) para i = 1, 2, entonces las proyecciones este-reograficas de los respectivos polos son

ϕ1(x, y, z) =( x

1− z,

y

1− z

), ϕ2(x, y, z) =

( x

1 + z,

y

1 + z

).

Sobre U1 ∩ U2 el cambio de coordenadas ϕ1 ϕ−12 : R2/ 0 → R2/ 0 es un

difiomorfismo dado por la inversion

ϕ1 ϕ−12 (x, y) =

( x

x2 + y2,

y

x2 + y2

)·

De aquı se concluye que S2 es una variedad de dimension 2.

Ejemplo 2.14. Si M es una variedad de dimension m y N es una variedad dedimension n, con estructuras diferenciales (Uα, ϕα) y (Vβ , φβ) respectiva-mente. Entonces M ×N se convierte en una variedad diferencial de dimensionm+ n, con estructura diferencial

A = Uα × Vβ , ϕα × φβ ,

donde ϕα×φβ : Uα×Vβ → Rm×Rn se define por ϕα×φβ(x, y) = (ϕα(x), φβ(y)).A partir de este hecho podemos obtener nuevos ejemplos de variedades, porejemplo el Toro n-dimensional Tn = S1 × · · · × S1︸︷︷︸

n veces

.

Ejemplo 2.15. Otros ejemplos de variedades importantes son las variedadescocientes, los espacios proyectivos, las variedades de grassmann y las variedadescomplejas. Cada una de estas se expone con detalle en [11] y [6].

Definicion 2.7. Sea M una variedad diferenciable de dimension n. Una fun-cion f : M → R se dice una funcion diferenciable en p ∈ M si existe unacarta (Ui, ϕi) con p ∈ Ui tal que f ϕ−1

i es una funcion diferenciable sobre elsubconjunto abierto ϕ(Ui) de Rn. En general se dice que f es diferenciable sobreM si es diferenciable sobre cada punto de M .

Por la estructura diferencial de M esta definicion es buena. En efecto si (Ui, ϕi) y(Uj , ϕj) son dos cartas de M con p ∈ Ui∩Uj 6= ∅ y f es una funcion diferenciablecon respecto al sistema de coordenadas definido por ϕi, entonces f es una funciondiferenciable con respecto al sistema de coordenadas definido por ϕj , pues

f ϕ−1j =

(f ϕ−1

i

)(ϕi ϕ−1

j

)esta definida sobre ϕi(Ui) ∩ ϕj(Uj) y como ϕi ϕ−1

j es diferenciable, entonces

f ϕ−1j tambien es diferenciable.

Definicion 2.8. Sea p ∈ Ui ⊆ M y sea ϕi(p) = (x1, x2, . . . , xn). Entonces f ϕ−1j (x1, x2, . . . , xn) la llamaremos expresion en coordenadas para f con respecto

a la carta (Ui, ϕi).


Ejemplo 2.16. Las funciones coordenadas xi (i = 1, 2, . . . , n) definida por lacarta (U,ϕ) sobre una variedad M de dimension n, son funciones diferenciables.En efecto si p ∈ U y ϕ(p) = (x1, x2, . . . , xn) entonces xi se define por xi(p) =πi ϕ(p), donde πi es la funcion proyeccion en la coordenada i. Su expresion encoordenadas viene dada por

xi ϕ−1(x1, . . . , xn

)=(πi ϕ

) ϕ−1

(x1, . . . , xn

)= πi

(x1, . . . , xn

)= xi

Por lo tanto la funcion coordenada xi es diferenciable.

Definicion 2.9. Sean Mm y Nn variedades diferenciables. Una funcion F :M → N se dice diferenciable en p ∈ M si para cada carta (Uj , ϕj) en f(p) ypara cada carta (Ui, ϕi) en p tal que f(Ui) ⊆ Uj , la aplicacion compuesta

ϕj F ϕ−1i : ϕi(Ui)→ ϕj(Uj)

es una funcion diferenciable.

Ejemplo 2.17. El toro T 2 puede ser aplicado diferenciablemente en R3 si de-finimos F : T 2 → R3 por

F (θ, ρ) =((√

2 + cos ρ) cos θ, (√

2 + cos ρ) sen ρ).

Entonces F es diferenciable en θ y ρ , e inyectiva. La imagen de F es la superficietoroidal en R3 dada por la unica ecuacion

x2 + y2 + z2 + 1 = 2√

2(x2 + y2).

De manera que el toro T 2 puede entenderse como una superficie en R3.

Definicion 2.10. Sea F : M → N una aplicacion diferenciable entre dos va-riedades M y N de dimensiones m y n respectivamente. El rango de F es elrango de la matriz jacobiana

(∂Fi/∂xi

)de n ×m en x. La aplicacion F es de

rango maximo sobre un subconjunto S ⊂ M si para cada x ∈ S el rango deF es el mayor posible, es decir, igual al menor de los numeros m,n.

Definicion 2.11. Sea F : M → N y dim M = m ≤ n =dim N . Si el rango deF es igual a n en todo punto entonces F se llama una inmersion. Si F es unainmersion inyectiva, entonces, F (M) es una subvariedad inmersa.

En otras palabras, una subvariedadN deM , es la imagen enM de una inmersioninyectiva F : N ′ → M , N = F (N ′), de una variedad N ′ en M junto con latopologıa y la estructura diferencial que hacen de F : N ′ →M un difiomorfismo.

Ejemplo 2.18. Sea N ′ = R y M = R3. Entonces la aplicacion φ : R → R3

dada porφ(t) =

(cos t, sen t, t

)define una espiral circular sobre el eje z. Ademas es claro que φ es inyectiva yφ′(t) =

(− sen t, cos t, 1

)nunca se anula, luego la condicion del rango maximo

se satisface. Por tanto esta espiral puede ser comprendida como subvariedad deR3.


Definicion 2.12. Una aplicacion F : M → N entre dos variedades es regularsi es una inmersion inyectiva y tambien un homeomorfismo de M en N , estoes, un homeomorfismo de N en su imagen F (N). La imagen de una aplicacionregular es llamada subvariedad regular o embebida.

Ejemplo 2.19. En el Ejemplo 2.18 la espiral circular definida por φ es unasubvariedad regular de R3.

2.3. Introduccion a los Grupos de Lie

Definicion 2.13. Un grupo de Lie es un grupoG que tambien tiene estructurade variedad diferencial, en el sentido que la operacion del grupo

m : G×G −→ G, m(g, h) = g · h, g, h ∈ G,

y la inversion

i : G −→ G, i(g) = g−1, g ∈ G,

son funciones diferenciables entre variedades.

Observacion 2.4. La Definicion 2.13 nos permite resaltar lo siguiente:

• Si G es un grupo de Lie. Entonces todo elemento g ∈ G define dos aplica-ciones Lg, Rg : G → G, definidas por Lg(h) = gh y Rg(h) = hg, llamadastraslacion a izquierda y derecha respectivamente. Ademas por la Definicion2.13, tenemos que Lg es diferenciable y como g−1 ∈ G , Lg−1 , es decir (Lg)

−1,es diferenciable. Por lo tanto la aplicacion Lg define un difiomorfismo de Gen si mismo.

• Debido a que las aplicaciones de la Definicion 2.13 son continuas, un grupo deLie es, en particular, un grupo topologico (un espacio topologico con estructurade grupo en el que las aplicaciones de multiplicacion e inversion son continuas).

• Los grupos de Lie se pueden clasificar a partir de sus propiedades como varie-dad (conexidad, compacidad) y tambien como grupo topologico (metrizable,separable, localmente compacto o conexo). Aunque se ignoraran estos y otrosresultados importantes, podran ser encontrados en la bibliografıa recomenda-da. El lector interesado en los grupos y algebras de Lie, entre otras definicio-nes, ejemplos y propiedades, puede referirse a [17] o [4] y para sus aplicacionesa la fısica matematica a [9] o [6].

Cada uno de las siguientes variedades es un grupo de Lie con la operacion delgrupo indicada.

Ejemplo 2.20. Rn. Este grupo aditivo que ademas es una variedad diferencia-ble (Ejemplo 2.8). Es un grupo de Lie ya que las aplicaciones de Rn ×Rn a Rndefinidas por

(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn

)7→(x1 +y1, . . . , xn+yn

)y la inversion son

funciones diferenciables.


Ejemplo 2.21. C∗. Este grupo multiplicativo es una variedad diferencial quese cubre por la carta ϕ : C∗ → R2, definida por ϕ(z) = ϕ(x+iy) = (x, y). Ahoracomo la aplicacion (z1, z2) 7→ z1z2, escrita en coordenadas, ((x1, y1), (x2, y2)) 7→(x1x2−y1y2, x1y2 +x2y1) es diferenciable y la aplicacion g 7→ g−1 que se definepor

(x, y) −→( x

x2 + y2,−y

x2 + y2

)tambien es diferenciable. El grupo C∗ es un grupo de Lie.

Ejemplo 2.22. La circunferencia S1. S1 tiene estructura de grupo si identifi-camos cada punto con un numero complejo de modulo 1, es decir el conjuntoz ∈ C | |z|2 = 1

. Podemos ver que S1 ademas tiene una estructura de varie-

dad si usamos el sistema de coordenadas en el que a cada p ∈ S1 se identificacon z = e2πit (t ∈ R), entonces la coordenada en p es cualquiera de las dosx1 = cos 2πt o x2 = sen 2πt. El punto identificado con z1 · z2, esto es cone2πi(t1+t2), tiene a cualquiera de las dos cos 2π(t1 + t2) o sen 2π(t1 + t2) comocoordenadas, por lo cual, ya que dado t1 esas son funciones diferenciales decos 2πt2 o sen 2πt2, S1 es un grupo de Lie.

Ejemplo 2.23. El grupo lineal GL(n,R). Este conjunto es un grupo bajo lamultiplicacion de matrices. Tambien es una variedad vista como subconjuntoabierto de la variedad Mn × n(R) (Ejemplo 2.11). La multiplicacion es diferen-ciable por que las entradas de la matriz producto AB son polinomios generadospor las entradas de A y B. La inversion es diferenciable puesto que la regla deCramer nos permite expresar las entradas de A−1 como funciones racionales delas entradas de A. Por lo tanto GL(n,R) es un grupo de Lie.

Ejemplo 2.24. Si G1 y G2 son grupos de Lie entonces el producto directoG1 ×G2 es tambien un grupo de Lie. Para probar esto primero notamos a M1

y M2 como la estructura de variedad de los grupos G1, G2 respectivamente.Debemos remarcar que los elementos (puntos) del grupo G1×G2 constan de losmismos elementos (puntos) que M1×M2. Entonces como elementos de G1×G2

(g1, h1)(g2, h2) = (g1g2, h1h2) y en terminos de las coordenadas de la variedad(g11, . . . , g1n, h11, . . . , h1n

)(g21, . . . , g2n, h21, . . . , h2n

)=(

(g1g2)1, . . . , (g1g2)n, (h1h2)1, . . . , (h1h2)n)

Ahora como G1 y G2 son grupos de Lie, cada (g1g2)i (i = 1, 2, . . . , n) es unafuncion diferenciable de las coordenadas h1 y h2. la aplicacion (M1 ×M2) ×(M1×M2)→M1×M2 es diferenciable, de igual manera la funcion inversion loes. Por lo tanto G1 ×G2 es un grupo de Lie.

Ejemplo 2.25. El toro Tn = S1 × · · · × S1︸︷︷︸n veces

es un grupo de Lie en virtud de los

Ejemplos 2.22 y 2.24.

Definicion 2.14. Sean G1 y G2 grupos de Lie, un homeomorfismo de gru-pos de Lie es una funcion F : G1 → G2 diferenciable que es tambien un


homeomorfismo de grupos. Si ademas, F es un difiomorfismo, entonces decimosque F es un isomorfismo de grupos de Lie.

Ejemplo 2.26. Sea G1 = R y G2 = S1, identificado pore2πit/t ∈ R

. Enton-

ces la aplicacion definida por t 7→ e2πit es un homeomorfismo entre grupos deLie. En general sea G1 = Rn como grupo aditivo, G2 = Tn. Entonces la funcionf definida por f(t1, . . . , tn) = (e2πit1 , . . . , e2πitn) es un homeomorfismo entre losgrupos Rn y Tn.

Ejemplo 2.27. La funcion determinante M: GL(n,R) → R∗ es diferenciable yademas M(AB) = M(A)M(B). Luego M es un homeomorfismo de grupos de Lie.

Las aplicaciones de los grupos de Lie abarcan diversas areas de las matematicas,sin embargo los grupos que nos interesan para el desarrollo del trabajo son losgrupos de transformaciones de Lie, pues como veremos mas adelante estos sonlos que actuan en las ecuaciones diferenciales. En el proximo capıtulo exponemoseste concepto y posteriormente en el capıtulo 4 explicamos su relacion con lasecuaciones diferenciales ordinarias.

2.4. Accion de Grupos

Cuando se estudia sobre el origen de la teorıa de grupos, se pone en evidencia(sin haberse definido para la epoca) la accion de un grupo sobre un conjunto. Enesta ultima seccion desarrollamos esta definicion la cual sera importante paracomprender con profundidad algunos conceptos del siguiente capıtulo.

Definicion 2.15. Sea X un conjunto y G un grupo. Una accion de G sobre Xes una aplicacion θ : G×X → X definida por (g, x) 7→ θ(g, x), que satisface lossiguientes axiomas:

(a) θ(e, x) = x para todo x ∈ X, donde e es la identidad en G y

(b) θ(g1g2, x) = θ(g1, θ(g2, x)) para todo x ∈ X y g1,g2 ∈ G.

Bajo estas condiciones, X es un G-conjunto.

Observacion 2.5. Cuando esribimos g1g2, usamos la notacion de productopara la operacion del grupo. A menudo la Definicion 2.15 se conoce como accionpor izquierda de G en X, analogamente se puede definir la accion por derechacomo sigue:

(a) θ(x, e) = x para todo x ∈ X y

(b) θ(x, g1g2) = θ(θ(x, g1), g2) para todo x ∈ X y g1,g2 ∈ G.

Para cualquiera de los dos casos se dice indistintamente que G actua sobre X.

Ejemplo 2.28. Todo grupo G es el mismo un G-conjunto, donde la accionviene dada por la multiplicacion a izquierda de G, esto es, θ(g1, g2) = g1g2.Similarmente G actua sobre si mismo por medio de la aplicacion θ(g1, g2) =g2g−11 .


Ejemplo 2.29. Consideremos las raıces n-esimas de la unidad ω0 = e0i, ω1 =ei/n, . . . , ωn = e(n−1)i/n. Sea G = Zn el grupo de los enteros modulo n bajo laadicion y X = C. La aplicacion θ : Zn × C → C dada por θ(k, z) = ωkz con0 < k < n, define una accion de Zn sobre C, la cual rota en el sentido horario az un angulo de 2kπ/n sobre una circunferencia de radio |z|.

Ejemplo 2.30. Sea X un conjunto del plano y G(X) el grupo de todas lassimetrıas de X. Entonces X es un S-conjunto donde la accion θ ∈ S(X) es laaccion como elemento de S(X). En efecto, la condicion (a) es inmediata comoconsecuencia de la definicion de la transformacion identidad, pues θ(e, x) =e(x) = x. La condicion (b) se cumple ya que θ(g1g2, x) = g1g2(x) = x =g1(g2(x)) = θ(g1, θ(g2, x)). Como ejemplos directos de la afirmacion anteriortenemos al grupos de las simetrıas que actuan sobre el conjunto de los triangulosequilateros o de los cuadrados.

Definicion 2.16. Dada una accion θ : G×X → X para cada elemento x ∈ Xse define su estabilizador como el conjunto

Gx = g ∈ G : g(x) = x .

Al estabilizador tambien se le llama grupo de isotropıa.

Definicion 2.17. Sea G un grupo, dada una accion en X, θ : G×X → X, sedefine la G-orbita de x ∈ X como el conjunto

G(x) = g(x) : ∀g ∈ G

Es decir la G-orbita de x es igual al conjunto de todos los y ∈ X tales quey = g(x), donde g ∈ G. El conjunto de todas las G-orbitas se denota por X/G.

Definicion 2.18. Una accion θ : G × X → X es transitiva si para cada x,y ∈ X existe g ∈ G tal que y = θ(g, x), en otras palabras las acciones transitivasson aquellas que inducen una sola orbita en X.

Ejemplo 2.31. Sea G = R y X = R. Entonces G actua sobre X mediante latraslacion t(x) = x + t. En este caso G(x) = R, es decir existe una sola orbita,por lo que la accion es transitiva.

Ejemplo 2.32. Sea G = Zn y X = C con la accion definida en el ejemplo 2.29.Entonces si z ∈ C (z 6= 0) la orbita G(z) es igual a un conjunto de n puntosigualmente distanciados en la circunferencia de radio |z| y centrada en el origen.Ahora si z = 0 entonces la oribita consta de un solo punto, el origen.

Ejemplo 2.33. Consideremos a SO(2) el grupo de las rotaciones en el plano.Este grupo es isomorfo a S1 por medio de la aplicacion

eiθ 7−→[

cos θ − sen θsen θ cos θ

]Entonces SO(2) y por tanto S1, actua sobre la esfera S2 como las rotaciones delos angulos longitud. Las orbitas en este ejemplo son cırculos de latitud en S2.Esta accion no es transitiva ya que no induce una unica orbita.


A lo largo del capıtulo hemos estudiado ejemplos en los que el conjunto Xsobre el cual se ejerce una determinada accion, tiene estructura de variedaddiferenciable. Por ello resulta importante definir la accion de un grupo de Liesobre una variedad.

Definicion 2.19. Sea G un grupo de Lie y M una variedad diferenciable. Unaaccion de G sobre M es una aplicacion θ : G×X → X que satisface los axiomasde la Definicion 2.15 y que ademas es diferenciable. En este caso, para cadag ∈ G, la aplicacion θg : M →M define un difiomorfismo, con inversa θg−1

La orbita de cada punto p de la variedad se define como el conjunto de todas lasimagenes de p bajo los elementos deG. Podemos hablar tambien de la trayectoriadel punto p bajo la accion del grupo. En realidad una orbita es una subvariedadde M , que no siempre tiene la misma dimension de M .

A partir de las Definiciones 2.16 y 2.18 se definen de manera analoga el grupode isotropıa y la accion transitiva de un grupo de Lie sobre una variedad.

Definicion 2.20. La accion de un grupo de Lie es libre si el unico elemento deG que fija todo elemento de M es la identidad, es decir, g(p) = p para algun pimplica p = e. Esta afirmacion es equivalente al requerimiento que Gp = e paratodo p ∈M .

Ejemplo 2.34. GL(n,R) actua de manera natural sobre Rn donde la accionpor izquierda se define mediante la multiplicacion de matrices: (A, x) 7→ Ax,considerando a x ∈ Rn como una matriz columna. Esta aplicacion es una ac-cion ya que la multiplicacion de matrices es asociativa, (AB)x = A(Bx). Esdiferenciable por que los componentes de Ax dependen polinomicamente de lasentradas de la matriz A y de las componentes de x. Por ultimo, como cualquiervector distinto de cero puede ser obtenido por una transformacion lineal, hayexactamente dos orbitas: 0 y Rn − 0. Claramente GL(n,R) actua transiti-vamente sobre Rn − 0.

Ejemplo 2.35. La restriccion de GL(n,R) a O(n × Rn) → Rn define unaaccion diferenciable de O(n) en Rn. En este caso, las orbitas son el origen ylas esferas centradas en el origen. Para justificar esto, notamos que cualquiertransformacion ortogonal preserva normas, entonces O(n) toma la esfera deradio R y la envıa en sı misma; por otro lado, cualquier vector de longitud Rpuede ser obtenido por cualquier otro mediante una matriz ortogonal.

Capıtulo 3

Grupos deTransformaciones de Lie

La extrema importancia del trabajode Lie para el desarrollo de la geometrıano puede ser subestimada: estoy seguroque en un futuro cercano lo sera aunmas ~Felix Klein.

En este capıtulo introducimos los conceptos de grupo de transformaciones deLie y de transformacion infinitesimal, centrando nuestra atencion principalmen-te en los grupos de Lie uniparametricos. Existen dos resultados significativospara estos grupos: el generador infinitesimal asociado a un grupo de transfor-maciones de Lie uniparametrico y la existencia de coordenadas canonicas parael grupo. Siendo el primero el mas importante para el desarrollo de la teorıa deLie y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales, entre otras razones por que,como se vera mas adelante, los grupos de transformaciones estan completamentedeterminados por su generador.

33

CAPITULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE 34

3.1. Grupos de Tranformaciones de LieUniparametricos

En el capıtulo anterior vimos que existen propiedades de los objetos que perma-necen invariantes respecto a algunos movimientos o transformaciones, de estamanera la nocion basica de grupo abstracto evoluciona a la teorıa de los gruposde transformaciones. La importancia de describir un conjunto de transforma-ciones como un grupo se origino en la teorıa de Galois. La nocion moderna degrupo se puede remontar a dicha teorıa donde fue por primera vez introducidoel concepto en su forma presente.

Si se considera un conjunto X dotado de alguna estructura matematica, el gru-po de transformaciones, es el conjunto de transformaciones que preservan esaestructura. En la teorıa de Galois, por ejemplo, el conjunto X puede ser uncampo y cada transformacion es un automorfismo del campo. Pero se puede irmas alla y pensar el conjunto como una variedad o un espacio topologico y cadatransformacion como una aplicacion diferenciable o continua respectivamente.

En esta direccion Lie aplico los resultados que Galois habıa encontrado en lasolucion de ecuaciones polinomiales, pero considerando los grupos de transfor-maciones que existen en el espacio de las ecuaciones diferenciales. En la practica,los grupos de Lie no surgen naturalmente como grupo abstracto, pero sı concre-tamente como un grupo de transformaciones que actua sobre alguna variedadM . Por ejemplo, el grupo GL(n) aparece como el grupo de transformacionesinvertibles sobre Rn. En general, un grupo de Lie puede ser comprendido comoun grupo de transformaciones de alguna variedad M si para cada elemento delgrupo g ∈ G existe una aplicacion φg (asociada a g) de M en si misma. Acontinuacion explicamos el concepto de un grupo de transformaciones de Lie.

Definicion 3.1. Sea D ⊂ Rn abierto y conexo con x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D eI ⊂ R un intervalo abierto con t ∈ R. El conjunto de transformaciones

x∗ = X(x; t)

que depende del parametro t, con una ley de composicion φ(t, p) de los parame-tros t y p de I, forman un grupo de transformaciones sobre D, si satisfacelos siguientes axiomas:

(a) Para cualquier t en I, X es inyectiva.

(b) φ determina sobre I una estructura de grupo.

(c) x∗ = x cuando t = e, es decir, para todo x ∈ D

X(x; e) = x

(d) Si x∗ = X(x; t) y x∗∗ = X(x∗; p) entonces

x∗∗ = X(x;φ(t, p)).


Observacion 3.1. A partir de la Definicion 3.1 surgen las siguientes observa-ciones:

• X(x; t) es una aplicacion de D×I → D, por esta razon algunas veces se defineal grupo, como un grupo de transformaciones que actua sobre D o sobre unavariedad M , ver [13]

• La condicion del inverso se deduce inmediatamente de la definicion. En efecto,si x∗ = X(x; t) pertenece al grupo de transformaciones entonces

x∗∗ = X(x∗; t−1) = X(X(x; t); t−1)

= X(x;φ(t, t−1))

= X(x; e) = x.

Definicion 3.2. Un grupo de transformaciones define un grupo de Lie detransformaciones uniparametrico o de un parametro si ademas de satis-facer los axiomas (a)-(d) de la Definicion 3.1 cumple:

(d) t varıa continuamente sobre I. En particular puede escogerse I de maneraque contenga al origen de R y hacer corresponder t = 0 con el elementoneutro del grupo de parametros e.

(d) La aplicacion X es infinitamente diferenciable respecto de x en D y analıticarespecto del parametro t en I.

(d) La operacion φ(t, p) es una funcion analıtica de t y p, con t, p ∈ I.

En adelante nos referiremos a un grupo de transformaciones locales de Lie uni-parametrico simplemente como un grupo uniparametrico. La definicion para ungrupo de Lie Multiparametrico o con mas de un parametro es mas compleja yno la presentaremos aquı. Sin embargo el lector interesado en estos grupos y susaplicaciones puede consultar las referencias [13] o [3].

Observacion 3.2. Los grupos uniparametricos son grupos de transformacionesque actuan de manera local, ademas, las condiciones anteriores definen la relacionde grupos analıtica. En general podemos, abusando un poco del lenguaje, definirun grupo de Lie uniparametrico como una terna (M,G,X) donde G es un grupo,M es una variedad y X es una accion de G sobre M .

Si en la Definicion 3.2 entendemos a t como una variable de tiempo y a x comouna variable espacial, entonces un grupo de Lie uniparametrico define un flujoestacionario. En efecto, si fijamos x en D, X(x; t) definira la evolucion de Xsobre todos los elementos de G, es decir la G-orbita de x en la accion de G sobreD. Ahora bien esta orbita puede pensarse como el movimiento de un punto a lolargo de una curva γ1 [3.1].Al variar t las imagenes de x eventualmente se moveran sobre γ1. Siendo masprecisos si y = X(y; p) representa un punto sobre γ1 entonces x∗∗ = X(y; p) =X(x;φ(t, p)) debe ser tambien un punto sobre γ1. Por lo tanto la curva γ1 que


Figura 3.1: Evolucion de un Grupo Uniparametrico

pasa por x es la orbita por x del grupo y al tomar diferentes puntos inicialesse obtienen orbitas diferentes. Por ultimo notamos que las curvas con auto-intersecciones no pueden definir la evolucion de un grupo uniparametrico.

Ejemplo 3.1. El grupo de las traslaciones sobre el eje x en el plano

x∗ = x+ t,

y∗ = y, t ∈ R

Para este grupo la accion se define ası

R× R2 −→ R2

(t, (x, y)) 7−→ (x+ t, y)

Aquı la operacion de parametros viene dada por la suma usual en R, esto esφ(t, p) = t+p. Luego es claro que X(0, (x, y)) = (x, y) y si iteramos la operacionobtenemos

x∗∗ = x∗ + t = x+ t+ p = x+ (t+ p)

y∗∗ = y∗ = y

lo cual implica que la composicion de transformaciones es cerrada. Ademasno es difıcil mostrar que la accion es diferenciable y que φ es analıtica en susargumentos. Por lo tanto el grupo de las traslaciones en el plano es un grupouniparametrico.

Ejemplo 3.2. El grupo de las homotecias en el plano

x∗ = αx,

y∗ = α2y, 0 < α <∞


En este caso la operacion entre parametros es φ(α, β) = αβ y el elementoidentidad e = 1. La accion para este grupo viene dada por

R× R2 −→ R2

(α, (x, y)) 7−→ (αx, α2y)

Obtenemos de manera directa que X(1, (α, β)) = (x, y) y si iteramos la opera-cion

x∗∗ = βx∗ = β(αx) = (αβ)x

y∗∗ = β2y∗ = (αβ)2y

Luego el grupo de estas transformaciones es cerrado por la composicion y co-mo X es diferenciable y φ analıtica, el grupo de las homotecias planas es ungrupo uniparametrico. Este grupo de transformaciones tambien puede ser reparametrizado en terminos de t = α− 1, ası

x∗ = (1 + t)x,

y∗ = (1 + t)2y, −1 < t <∞

el elemento identidad serıa e = 0 y la operacion de parametros vendrıa dadapor φ(t, p) = t+ p+ tp.

Ejemplo 3.3. El grupo de las rotaciones en el plano

x∗ = x cos t− y sen t,

y∗ = x sen t+ y cos t.

La accion X para este conjunto de transformaciones se define por (t, (x, y)) 7−→(x∗, y∗). La operacion de parametros es φ(t, p) = t + p y el elemento neutroe = 0. Al iterar la operacion obtenemos

x∗∗ = x∗ cos p− y∗ sen p

= (x cos t− y sen t) cos p− (x sen t+ y cos t) sen p

= x cos(t+ p)− y sen(t+ p)

y∗∗ = x∗ sen p+ y∗ cos p

= (x cos t− y sen t) sen p+ (x sen t+ y cos t) cos p

= x sen(t+ p) + y cos(t+ p)

Al igual que en los ejemplos anteriores, no es difıcil mostrar que X es diferen-ciable y que φ es analıtica. En conclusion el grupo de las rotaciones constituyeun grupo de Lie uniparametrico.

Ejemplo 3.4. El grupo dado por las transformaciones

x∗ = etx,

y∗ = e2ty,

Es un grupo de Lie uniparametrico, conocido como grupo de los escalamientosen el plano.


Ejemplo 3.5. Para las transformaciones

x∗ =x

1− tx,

y∗ =y

1− tx.

La accion de R sobre R2 se define ası:

X : R× R2 7−→ R2

(t, (x, y)) 7−→(

x

1− tx,

y

1− tx

)definida sobre el subconjunto abierto D ⊂ R× R2,

D =

t < 1x si x > 0

t > 1x si x < 0

Al iterar la operacion obtenemos

x∗∗ =x∗

1− px∗=

x1−tx

1− p(

x1−tx

) =x

1− (t+ p)x

y∗∗ =y∗

1− px∗=

y1−tx

1− p(

x1−tx

) =y

1− (t+ p)x

entonces vemos que la operacion entre parametros es la adicion φ(t, p) = t+ p.De aquı deducimos que el elemento neutro para el grupo de parametros es e = 0y se verifica que X(0, (x, y)) = (x, y). Ademas como la accion del grupo sobreR2 se expresa por medio de polinomios y funciones racionales, hay analitici-dad tanto para la accion del grupo sobre R2 como para la operacion φ entreparametros. Por lo tanto este conjunto de transformaciones define un grupo deLie uniparametrico.Para encontrar las orbitas de este grupo tratamos de eliminar el parametro ypodemos concluir que hay dos, el origen y las rectas que pasan por el origen.

3.2. Transformaciones y GeneradoresInfinitesimales

Sea x ∈ Rn, t ∈ R yx∗ = X(x; t) (3.1)

un grupo de Lie uniparametrico, tal que x∗ = x para t = 0 y para el que φdenota la operacion entre valores del parametro. Ahora bien, como se trata deun grupo de Lie uniparametrico la accion X es diferenciable (Definicion 3.2).


Por lo tanto podemos desarrollar x∗ en serie de Taylor alrededor de algunavecindad de t = 0, de la siguiente manera

x∗ = x+ t

[∂X(x; t)

∂t

∣∣∣∣t=0

]+t2

2!

[∂2X(x; t)

∂t2

∣∣∣∣t=0

]+ · · ·

= x+ t

[∂X(x; t)

∂t

∣∣∣∣t=0

]+ o(t2)

Si notamos

ξ(x) =∂X(x; t)

∂t

∣∣∣∣t=0

La transformacion x + tξ(x) la llamaremos transformacion infinitesimal delgrupo de Lie uniparametrico (3.1) y las componentes de ξ son llamadas infini-tesimales de (3.1).

Ejemplo 3.6. Sobre R2 estas ecuaciones pueden escribirse ası

x∗ = X((x, y); t) = x+ tf(x, y) + o(t2)

y∗ = Y((x, y); t) = y + tg(x, y) + o(t2)

Definicion 3.3. El generador infinitesimal del grupo de Lie uniparametrico(3.1) se define como el operador

v = v(x) = ξ(x) · ∇ =

n∑i=1

ξi(x)∂

∂xi,

donde ∇ denota el operador gradiente

∇ =

(∂

∂x1,∂

∂x2, . . . ,

∂

∂xn

).

Si F : Rn −→ R, dada por F (x) = F (x1, x2, . . . , xn), es una funcion diferencia-ble. Entonces el generador infinitesimal asociado al grupo uniparametrico (3.1)se expresa de la siguiente manera

vF (x) =

n∑i=1

ξi(x)∂F (x)

∂xi·

Observacion 3.3. La razon por la que utilizamos la notacion v para el gene-rador infinitesimal es por que en general esta es la expresion que en geometrıadiferencial denota un campo vectorial sobre una variedad. Aun ası, en la mayorıade textos se sigue utilizando la terminologıa de Lie y por tal razon se habla degeneradores infinitesimales. El termino generador indica que la repetida aplica-cion de la transformacion infinitesimal genera la transformacion finita.


Ejemplo 3.7. En R2 el generador infinitesimal de un grupo de Lie unipa-rametrico se puede escribir de la siguiente manera

v = f(x, y)∂

∂x+ g(x, y)

∂

∂y,

donde los infinitesimales del grupo son generalmente denotados por las funcionesξ y η, ası:

ξ(x, y) = f(x, y),

=∂X

∂t

∣∣∣∣t=0

,

η(x, y) = g(x, y),

=∂Y

∂t

∣∣∣∣t=0

·

En los siguientes ejemplos veremos que si se tienen las ecuaciones del grupouniparametrico es posible obtener las expresiones para los generadores.

Ejemplo 3.8. Para el grupo de las traslaciones planas

x∗ = x+ t,

y∗ = y,

Tenemos dx∗

dt = 1 y dy∗

dt = 0. Luego el generador infinitesimal para este grupo es

v = ∂∂x . Esto quiere decir que el vector tangente en cada punto (x, y) es (1, 0).

Analogamente, para el grupo de las traslaciones en el eje y, el vector tangenteen cada punto es (0, 1). En este caso el generador viene dado por v = ∂

∂y .

Ejemplo 3.9. Para el grupo de las rotaciones planas

x∗ = x cos t− y sen t,

y∗ = x sen t+ y cos t.

Se obtienedx∗

dt= −x sen t− y cos t,

dy∗

dt= x cos t− y cos t

Luego el infinitesimal para el grupo es

ξ(x) = (ξ(x, y), η(x, y))

=

(dx∗

dt

∣∣∣∣t=0

,dy∗

dt

∣∣∣∣t=0

)= (−y, x)

Por lo tanto, el generador infinitesimal para el grupo de las rotaciones es

v = −y ∂∂x

+ x∂

∂y·

Ejemplo 3.10. Para el grupo de los escalamientos en el plano

x∗ = et x,

y∗ = e2t y,


Obtenemosdx∗

dt= et x,

dy∗

dt= 2e2t y,

De aquı tenemos que el infinitesimal es ξ(x) = (x, 2y) y por tanto el generadorinfinitesimal asociado a este grupo es

v = x∂

∂x+ 2y

∂

∂y·

3.3. Serie de Lie

Teorema 3.1. El grupo de Lie uniparametrico x∗ = X(x; t) es equivalente a

x∗ = etvx

=

[1 + tv +

t2

2!v2 + · · ·

]=

∞∑k=0

vkx,

donde v es el generador infinitesimal del grupo y vk = vvk−1, k = 1, 2, . . . ,en particular vkF (x) es la funcion que obtenida al aplicar el operador v a lafuncion vk−1F (x) k = 1, 2, . . . , con v0F (x) = F (x).

Demostracion. Sea

v = v(x) =

n∑i=1

ξi(x)∂

∂xi

y

v(x∗) =

n∑i=1

ξi(x∗)

∂

∂x∗i

donde x∗ = X(x; t) es el grupo de Lie uniparametrico. Aplicando el Teoremade Taylor, expandimos esta ultima expresion alrededor de t = 0 y obtenemos

x∗ =

∞∑k=0

tk

k!

(∂X(x; t)

∂tk

∣∣∣∣t=0

)=

∞∑k=0

tk

k!

(dkx∗

dtk

∣∣∣∣t=0

)(3.2)

Ahora para cualquier funcion diferenciable F (x), tenemos por la regla de lacadena

d

dtF (x∗) =

n∑i=1

∂F (x∗)

∂x∗i

dx∗idt

=

n∑i=1

ξi(x∗)∂F (x∗)

∂x∗i

= v(x∗)F (x)


Luego, si en la relacion anterior tomamos F (x∗) = x∗, llegaremos a que

dx∗

dt= v(x∗)x∗

de igual manera

d2x∗

dt2=

d

dt

(dx∗

dt

)= v(x∗)v(x∗)x∗ = v2(x∗)x∗

En general

dkx∗

dtk= vk(x∗)x∗, k = 1, 2, . . .

Por lo tanto deducimos

dkx∗

dtk

∣∣∣∣t=0

= vk(x)x, k = 1, 2, . . .

Finalmente si reemplazamos esta ultima expresion en (3.2) obtenemos la con-clusion del Teorema

x∗ =

∞∑k=0

tk

k!

(dkx∗

dtk

∣∣∣∣t=0

)

=

∞∑k=0

tk

k!vk(x).

Q.E.D.

Definicion 3.4. Si la serie de Taylor

∞∑k=0

tk

k!vk(x)

del Teorema 3.1 converge, se le llama serie de Lie.

Observacion 3.4. El Teorema 3.1 muestra que el uso del generador infinitesi-mal conduce a un algoritmo para encontrar una solucion explıcita del problemade valor inicial:

dx∗

dt= ξ(x∗)

con

x∗ = x en t = 0.


En estos momentos nos podemos preguntar ¿Dada una transformacion infinite-simal, cuales son las ecuaciones del grupo correspondiente? En realidad existendos maneras para encontrar explıcitamente un grupo de Lie uniparametrico apartir de sus generadores infinitesimales:

(1) Expresar el grupo en terminos de la serie de Lie.

(2) Solucionar el problema de valor inicial descrito en la Observacion 3.4.

Ejemplo 3.11. En este ejemplo aplicaremos el procedimiento descrito en (1)para mostrar que si se conoce el generador infinitesimal entonces mediante laserie de Lie es posible encontrar las ecuaciones del grupo.Consideremos el grupo de las rotaciones. El generador infinitesimal de este grupo(Ejemplo 3.9) viene dado por

v = −y ∂∂x

+ x∂

∂y·

Sabemos que la correspondiente Serie de Lie para las ecuaciones del grupo debenser

(x∗, y∗) = (etvx, etvy)

Para el desarrollo de x∗, como(−y ∂

∂x+ x

∂

∂y

)(x) = −y = v(x)(

−y ∂∂x

+ x∂

∂y

)(−y) = −x = v2(x)(

−y ∂∂x

+ x∂

∂y

)(−x) = y = v3(x)(

−y ∂∂x

+ x∂

∂y

)(y) = x = v4(x)

En general

v4n(x) = x, v4n−1(x) = y, v4n−2(x) = −x, v4n−3(x) = −y, n = 1, 2, . . .

Por lo tanto

x∗ =

∞∑k=1

tk

k!vk(x)

= x+ tv(x) +t2

2!v2(x) +

t3

3!v3(x) +

t4

4!v4(x) + · · ·

= x+ t(−y) +t2

2!(−x) +

t3

3!(y) +

t4

4!(x) + · · ·

= x

(1− t2

2!+t4

4!+ · · ·

)− y

(t− t3

3!+t5

5!+ · · ·

)= x cos t− y sen t.


Analogamente para y∗ tenemos

v4n(y) = y, v4n−1(y) = −x, v4n−2(y) = −y, v4n−3(y) = x, n = 1, 2, . . .

Por lo tanto

y∗ =

∞∑k=1

tk

k!vk(y)

= x

(t− t3

3!+t5

5!+ · · ·

)+ y

(1− t2

2!+t4

4!+ · · ·

)= x sen t+ y cos t.

En los proximos dos ejemplos utilizamos el procedimiento decsrito en (2) parahallar las ecuaciones del grupo a partir del generador infinitesimal.

Ejemplo 3.12. Dado el generador

v = x∂

∂x+ y

∂

∂y

Le asociamos el sistemadx∗

dt= x∗,

dy∗

dt= y∗

con valores iniciales x∗(0) = x, y∗(0) = y. De la primera ecuacion

dx∗

x∗= dt, se obtiene ln

(x∗

x

)= t,

y de aquıx∗ = etx.

Analogamente se obtiene y∗ = etx. Luego como se satisfacen las condicionesiniciales, estas son las ecuaciones para el grupo de los escalamientos (Ejemplo3.4).

Ejemplo 3.13. Para el grupo del Ejemplo 3.5

x∗ =x

1− tx,

y∗ =y

1− tx.

Obtenemos

ξ(x, y) =dx∗

dt

∣∣∣∣t=0

= x2, η(x, y) =dy∗

dt

∣∣∣∣t=0

= xy

Ası que el generador infinitesimal es de la forma

v = x2 ∂

∂x+ xy

∂

∂y.


Ahora para pasar del generador al grupo, procedemos como en el ejemplo ante-rior. En cuanto a la primera ecuacion

dx∗

x∗2= dt, luego − 1

x∗+

1

x= t,

y de aquı

x∗ =x

1− tx·

En cuanto a la segunda,

dy∗

y∗= x∗dt

=

(x

1− tx

)dt

Luego,

ln

(y∗

y∗

)= − ln(1− tx)

= ln

(1

1− tx

)Por tanto,

y∗ =y

1− tx·

Colorario 3.1. Si F (x) es diferenciable, entonces para un grupo de Lie uni-parametrico x∗ = X(x; t) con generador infinitesimal v =

∑ni=1 ξi(x) ∂

∂xi, se

verificaF (x∗) = F (etvx) = etvF (x)

Demostracion. Por Teorema 3.1 x∗ = etvx y puesto que F es diferenciable, sudesarrollo de Taylor sera

F (etv) = F (x∗) =

∞∑k=0

tk

k!

(dF (x∗)

dtk

∣∣∣∣t=0

)

Ahora por el mismo Teorema 3.1 tenemos dkF (x∗)dtk

= vk(x∗)F (x∗) y de aquıdkF (x∗)dtk

∣∣∣t=0

= vk(x)F (x). Por lo tanto

F (x∗) = F (etvx) =

( ∞∑k=0

tk

k!vk(x)

)F (x) = etvF (x)

Q.E.D.


A lo largo de esta seccion vimos que los generadores infinitesimales caracterizana los grupos de transformaciones. En el proximo capıtulo veremos que la ideade asociar un generador a un grupo uniparametrico es fundamental para aplicaresta teorıa a las ecuaciones diferenciales, debido a que mediante los generadoresinfinitesimales se pueden determinar funciones invariantes. Ademas de lo ya ex-puesto, en [13] y [5] tambien se explica la manera en que el generador determinalas orbitas del grupo.

3.4. Funciones Invariantes

Definicion 3.5. Una funcion diferenciable F (x) es una funcion invariante delgrupo de transformaciones de Lie uniparametrico x∗ = X(x; t) si y solo si paracualquier grupo de transformaciones x∗ = X(x; t) se cumple que F (x∗) = F (x).Si F (x) es una funcion invariante de x∗ = X(x; t), entonces F (x) es llamadoun invariante del grupo.

Teorema 3.2. F (x) es invariante bajo x∗ = X(x; t) si y solo si

vF (x) = 0.

Demostracion. Supongamos que F (x) es un invariante. Por el Colorario 3.1tenemos

F (x∗) = etvF (x)

=

∞∑k=0

tk

k!vkF (x)

= F (x) + tvF (x) +t2

2!v2F (x) + · · ·

Ahora, puesto que F (x∗) = F (x) entonces necesariamente vF (x) y sus poten-cias deben ser cero.Recıprocamente si suponemos que vF (x) = 0, entonces, vkF (x) = 0 parak ≥ 1. Por lo tanto F (x∗) = F (x). Q.E.D.

Teorema 3.3. Para un grupo de Lie uniparametrico x∗ = X(x; t), se cumplela identidad F (x∗) = F (x) + t, si y solo si vF (x) = 1, donde v es el generadordel grupo.

Demostracion. Puesto que

F (x∗) = etvF (x)

= F (x) + tvF (x) +t2

2!v2F (x) + · · ·

Entonces F (x∗) = F (x) + t implica que vF (x) = 1.Recıprocamente si vF (x) = 1, entonces vnF (x) = 0 para n ≥ 2. De donde

F (x∗) = F (x) + t.

Q.E.D.


3.5. Coordenadas Canonicas

Supongamos que hacemos el cambio de coordenadas

y = Y (x) = (y1(x), y2(x), . . . , yn(x)). (3.3)

Para un grupo de Lie uniparametrico x∗ = X(x; t) el generador infinitesimalv(x) =

∑ni=1 ξi(x) ∂

∂xicon respecto a las coordenadas x = (x1, x2, . . . , xn) se

transforma

v(y) =

n∑i=1

ηi(x)∂

∂yi

con respecto a las coordenadas y = (y1(x), y2(x), . . . , yn(x)) definidas anterior-mente. En el proximo teorema probaremos que v(x) = v(y) en el sentido quees necesario que tengan el mismo grupo de accion.

Teorema 3.4. Si η(y) = (η1(y),η2(y), . . . ,ηn(y)) es el infinitesimal respectoa las coordenadas de y, entonces

v(x) = v(y).

Demostracion. En efecto, si aplicamos la regla de la cadena

v(x) =

n∑i=1

ξi(x)∂

∂xi=

n∑i,j

ξi(x)∂yi(x)

∂xi

∂

∂yj

Con el fin de hacer que v(x) = v(y), tomamos

ηj(y) =

n∑i=1

ξi(x)∂yj(x)

∂xi

= v(x)yj , j = 1, 2, . . . , n.

De aquı

v(x) =

n∑j=1

ηj(y)∂

∂yj= v(y)

Q.E.D.

A partir del Teorema 3.4 obtenemos la relacion η(y) = v(x)y para el cambiode coordenadas descrito.

Teorema 3.5. Con respecto a las coordenadas (3.3), el grupo de Lie unipa-rametrico se convierte en

y∗ = etv(y)y.

Demostracion. A partir de (3.4) tenemos que y∗ = Y (x∗). Ahora si aplicamosel resultado del Colorario 3.1 para Y obtenemos

y∗ = Y (x∗) = etv(x)Y (x)

Por ultimo como Y (x) = y y por Teorema 3.4 v(x) = v(y), entonces concluimosque y∗ = etv(y)y, como se querıa demostrar. Q.E.D.


Teorema 3.6. Para todo grupo de Lie uniparametrico existe un conjunto decoordenadas, llamadas canonicas, tal que las ecuaciones del grupo pueden es-cribirse

y∗i = yi, i = 1, 2, . . . , n− 1,

y∗n = yn + t.

Demostracion. Por el Teorema 3.2 tenemos

y∗i = yi(x∗) = yi(x)

si y solo sivyi(x) = 0,

para i = 1, 2, . . . , n− 1. La ecuacion diferencial parcial lineal y homogenea

vu(x) = ξ1(x)∂u

∂x1+ ξ2(x)

∂u

∂x2+ · · ·+ ξn(x)

∂u

∂xn= 0 (3.4)

tiene n−1 soluciones independientes para u(x). Estas soluciones son en realidadlas n−1 funciones (y1(x), y2(x), . . . , yn−1(x)) y aparecen en la solucion generaldel sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

dx

dr= ξ(x)

que resulta al aplicar el metodo de las caracterısticas en la EDP (3.4), dondelas correspondientes ecuaciones caracterısticas asociadas al sistema son

dx1

ξ1(x)=

dx2

ξ2(x)= · · · = dxn

ξn(x)

Estas ecuaciones producen las n − 1 coordenadas que satisfacen y∗i = yi parai = 1, 2, . . . , n− 1.Para la coordenada canonica yn(x) tenemos por el Teorema 3.3

y∗n = yn(x∗) = yn(x) + t

si y solo sivyn(x) = 1.

Por tanto yn(x) se halla como una solucion particular de la EDP lineal nohomogenea

vw(x) = ξ1(x)∂w

∂x1+ ξ2(x)

∂w

∂x2+ · · ·+ ξn(x)

∂w

∂xn= 1

la cual es resuelta determinando una solucion particular del sistema de n+1 EDOde primer orden que surge al aplicar el metodo de las caracterısticas. Q.E.D.


Observacion 3.5. El Teorema 3.6 nos garantiza para todo grupo de Lie unipa-rametrico la existencia de nuevas funciones que permiten convertir las ecuacionesdel grupo dado, en ecuaciones con la forma del grupo de las traslaciones. Pa-ra comprender mejor lo mencionado anteriormente, consideremos un grupo detransformaciones uniparametrico arbitrario sobre R2, digamos

x∗ = X(x, y; t) = x+ tξ(x, y) + o(t2),

y∗ = Y(x, y; t) = y + tη(x, y) + o(t2).

Entonces el Teorema 3.6 nos garantiza la existencia de funciones u y v tal queel grupo se convierte

u∗ = u,

v∗ = v + t.

La funcion u se dice que es un invariante del grupo, mientras que al par (u, v)se le llama coordenadas canonicas del grupo.

Teorema 3.7. En terminos de cualquier conjunto de coordenadas canonicasy = (y1, y2, . . . , yn), el generador infinitesimal del grupo de Lie uniparametricox∗ = X(x; t) es

v(y) =∂

∂yn.

Demostracion. La expresion del generador infinitesimal es

v(y) =

n∑i=1

ηi(y)∂

∂yi

Ahora aplicando la relacion ηi(y) = v(x)yi, deducida en el Teorema 3.4, tene-mos en terminos de la coordenadas canonicas

ηi(y) = v(x)yi = 0, i = 1, 2, . . . , n− 1

ηn(y) = v(x)yn = 1

Por lo tanto concluimos que

v(y) =∂

∂yn·

Q.E.D.

En R2 si el generador de un grupo de Lie uniparametrico viene dado por

v = f∂

∂x+ g

∂

∂y

una funcion r que satisface

v(r) = f∂r

∂x+ g

∂r

∂y= 0


es una funcion invariante del grupo. Ası que r es solucion de la ecuacion dife-rencial

dx

f(x, y)=

dy

g(x, y)·

Ejemplo 3.14. Para el grupo de los escalamientos

x∗ = etx,

y∗ = e2ty,

el generador infinitesimal es v = s ∂∂x + 2y ∂∂y · La coordenada canonica r(x, y)

debe satisfacer

v(r) = x∂r

∂x+ 2y

∂r

∂y= 0

Entonces la correspondiente ecuacion diferencial caracterıstica viene dada por

dy

dx=

2y

x= dr

cuya solucion es

r(x, y) =y

x2= c

Ademas se cumple que

r(x∗, y∗) =y∗

x∗2=

e2ty

e2tx2=

y

x2= r(x, y)

Por otro lado la coordenada canonica s(x, y) satisface

v(s) = x∂s

∂x+ 2y

∂s

∂y= 1

Si la funcion s no depende de y una solucion particular s(x, y) = s(x) de la EDPsatisface la ecuacion caracterıstica

ds

dx=

1

x

su solucion ess(x, y) = lnx

La cual satisface

s(x∗, y∗) = ln(x∗) = ln(etx) = ln(et) + ln(x) = ln(x) + t

Por lo tanto el grupo de los escalamientos tiene coordenadas canonicas (r, s) =(y/x2, lnx).


Ejemplo 3.15. Dado el grupo

x∗ =x

1 + tx, y∗ = (1 + tx)2y.

El generador infinitesimal es

v = −x2 ∂

∂x+ 2xy

∂

∂y·

La coordenada canonica r(x, y) satisface v(r) = −x2 ∂r∂x + 2xy ∂r∂y = 0· Para

x > 0, la ecuacion caracterıstica correspondiente se escribe

−dxx

=dy

2y,

su solucionr(x, y) = x2y.

En cuanto a la segunda coordenada s(x, y) tenemos

v(s) = −x2 ∂s

∂x+ 2xy

∂s

∂y= 1·

Luego la correspondiente ecuacion caracterıstica para una solucion particulars(x, y) = s(x) de la EDP anterior, viene dada por

ds = −dxx2

cuya solucion es,

s(x, y) =1

x·

Ası pues, las coordenadas canonicas son (r, s) = (x2y, 1/x).

Ejemplo 3.16. Para el grupo de las rotaciones

x∗ = x cos t− y sen t

y∗ = x sen t+ y cos t

el generador infinitesimal es

v = −y ∂∂x

+ x∂

∂y·

La ecuacion diferencial que determina la funcion invariante r(x, y) es

v(r) = −y ∂r∂x

+ x∂r

∂y= 0,

su ecuacion caracterıstica es dyx = −dx

y , cuya solucion puede escribirse

r(x, y) =√x2 + y2


La segunda coordenada canonica se obtiene como una solucion particular de laEDP

v(s) = −y ∂s∂x

+ x∂s

∂y= 1.

Luego la correspondiente ecuacion caracterıstica asociada a s(x, y) viene dadapor

ds

dx= −1

y=

1√r2 + x2

cuya solucion es s = sen−1(x/r). Por lo tanto las coordenadas canonicas parael grupo de las rotaciones son las polares (r, s) = (

√r2 + x2, sen−1(x/r)). Rea-

lizando algunos calculos se puede verificar que estas coordenadas satisfacen laspropiedades del Teorema 3.6.

Capıtulo 4

Ecuaciones DiferencialesOrdinarias MedianteSimetrıas De Lie

Del mismo modo que la deduccion hade venir suplementada por la intuicion,el impulso hacia la generalizacion pro-gresiva ha de verse atenuado y equili-brado por el aprecio y el respeto a losmatices ~Richard Courant.

En este capıtulo aplicamos los grupos de transformaciones de Lie al estudio de lasecuaciones diferenciales ordinarias. Mostraremos que bajo la accion de un grupode Lie uniparametrico de transformaciones admitido por una EDO, toda curvasolucion de la ecuacion es transformada en una familia uniparametrica de curvassolucion o es invariante bajo la accion del grupo y explicamos como encontrarsoluciones exactas para las EDO de primer orden mediante las coordenadascanonicas del grupo que la deja invariante.

53

CAPITULO 4. ANALISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRIAS 54

4.1. Curvas Invariantes

Definicion 4.1. Una curva F (x, y) = 0 es una curva invariante para ungrupo de transformaciones de Lie uniparametrico

x∗ = X(x, y; t) = x+ tξ(x, y) + o(t2) (4.1a)

y∗ = X(x, y; t) = y + tη(x, y) + o(t2) (4.1b)

con generador infinitesimal

v = ξ(x, y)∂

∂x+ η(x, y)

∂

∂y

Si y solo si F (x∗, y∗) = 0 cuando F (x, y) = 0.

Teorema 4.1. Una curva F (x, y) = 0 es una curva invariante para el grupo deLie uniparametrico (4.1a,b) si y solo si

vF (x, y) = 0 cuando F (x, y) = 0

donde v es el generador infinitesimal del grupo.

Demostracion. Supongamos que F es una curva invariante para el grupo uni-parametrico (4.1a,b). Ahora dado que podemos escribir

F (x∗, y∗) = F (x, y) + tvF (x, y) +t2

2!v2F (x, y) + · · ·

entonces si F (x, y) = 0, por hipotesis tambien lo sera F (x∗, y∗) = 0 y asınecesariamente vF (x, y) y sus potencias deberan ser igual a cero.Recıprocamente si vF (x, y) = 0 cuando F (x, y) = 0 entonces vkF (x, y) = 0,k ≥ 1. Por lo tanto F (x∗, y∗) = 0, esto es, F es una curva invariante.

Q.E.D.

Si consideramos una curva escrita en su forma resuelta F (x, y) = y − f(x) = 0,entonces el Teorema 4.1 nos dice que F es invariante si y solo si

vF (x, y) = η(x, y)− ξ(x, y)f ′(x) = 0

cuando F (x, y) = y − f(x) = 0. Es decir si y solo si

η(x, f(x))− ξ(x, f(x))f ′(x) = 0.

Ejemplo 4.1. Consideremos al grupo

x∗ = etx,

y∗ = e2ty,


El correspondiente generador infinitesimal es

v = x∂

∂x+ y

∂

∂y·

Luego una recta y − λx = 0, x > 0, λ = c, es una curva invariante paraeste grupo ya que v(y − λx) = y − λx = 0 cuando y − λx. Pero por ejemplouna parabola y − λx2 = 0, no es una curva invariante para este grupo puesv(y − λx2) = y − 2λx2 6= 0 cuando y − λx2 = 0.

Definicion 4.2. Un punto x es un punto invariante para un grupo de Lieuniparametrico x∗ = X(x; t) si y solo si x = x∗.

El siguiente Teorema es una consecuencia directa de la Definicion 4.2.

Teorema 4.2. Un punto x es un punto invariante para el grupo de trans-formaciones x∗ = X(x; t) si y solo si

ξ(x) = 0.

Ejemplo 4.2. Para el grupo del Ejemplo 4.1, notamos que ξ(x, y) = η(x, y) = 0si y solo si x = y = 0, ası que el unico punto invariante es el origen (0, 0).

Definicion 4.3. Una familia de curvas

ω(x, y) = c

es una familia de curvas invariantes para el grupo (4.1a,b) si y solo si

ω(x∗, y∗) = c∗ cuando ω(x, y) = c.

Teorema 4.3. Una familia de curvas ω(x, y) = c es una familia de curvasinvariantes para el grupo de Lie uniparametrico (4.1a,b) si y solo si

vω = ξ(x, y)∂ω

∂x+ η(x, y)

∂ω

∂y= Ω(ω)

para alguna funcion diferenciable Ω(ω).

Demostracion. Sea ω(x, y) = c una familia de curvas invariantes para (4.1a,b).Entonces

ω(x∗, y∗) = etvω(x, y)

= ω(x, y) + tvω(x, y) +t2

2!v2ω(x, y) + · · ·

= c∗

donde c∗ = C(c; t) para alguna funcion C de c y del parametro del grupo t. Porlo tanto vω(x, y) = Ω(ω) para alguna funcion Ω(ω) cuando ω(x, y) = c. De aquıse sigue que v2ω = Ω′(ω)vω = Ω′(ω)Ω(ω) y ası sucesivamente.


Recıprocamente si suponemos ω(x, y) = Ω(ω) para alguna funcion diferenciableΩ(ω). Entonces v2ω = Ω′(ω)Ω(ω) y en general vnω = fn(ω) para alguna funcionfn(ω), n ≥ 1. En consecuencia si ω(x, y) = c tenemos

ω(x∗, y∗) = etvω(x, y)

= ω(x, y) + tvω(x, y) +t2

2!v2ω(x, y) + · · ·

= ω(x, y) +

∞∑n=1

tn

n!fn(ω(x, y))

= c+

∞∑n=1

tn

n!fn(c)

= c∗.

Q.E.D.

Observacion 4.1. Existen dos tipos de curvas invariantes: El trivial dondecada curva en la familia es ella misma invariante, este tipo es caracterizadopor Ω(ω) = 0. El tipo no trivial se presenta cuando la curva es transformadaen una curva diferente; en este caso podemos hacer Ω(ω) = 1. Esto ultimo sejustifica del hecho que si ω(x, y) = c es una familia de curvas invariantes entoncesF (ω(x, y)) = F (c) para alguna funcion F , luego vF (ω(x, y)) = F ′(ω)vω =F ′(ω)Ω(ω), ası que tomando F ′ = 1

Ω(ω) , obtenemos vF (ω) = 1, para Ω(ω) 6= 0.

Ejemplo 4.3. Para el grupo del Ejemplo 4.1. La familia de curvas de este grupose encuentra al resolver

vω = x∂ω

∂x+ y

∂ω

∂y= 1

Las correspondientes ecuaciones caracterısticas asociadas a la EDP anterior son

dω

1=dx

x=dy

y

cuya solucion general es

ω(x, y) = lnx+ f(y/x)

para alguna funcion arbitraria f . Por lo tanto toda la familia de curvas

F (ω) = F (lnx+ f(y/x))

es una familia de curvas invariantes para este grupo. En particular la familia decircunferencias x2 + y2 = r2 = c es una familia de curvas invariantes para este

grupo, la cual se obtiene eligiendo F (ω) = e2ω y f(z) =ln(1+z2)

2 .


4.2. Simetrıas de EDO de Primer Orden

Una EDO de primer orden se puede comprender como una superficie en R3

cuyas coordenadas vienen dadas por la variable independiente, la variable de-pendiente y su primera derivada. Por tanto la solucion general de la EDO esrepresentada geometricamente por una familia de curvas (curvas integrales) si-tuadas sobre esta superficie. En este orden de ideas, un grupo de transforma-ciones de Lie uniparametrico se dice que es admitido por una EDO de primerorden si transforma cualquier solucion en otras curva solucion; en particular ungrupo de transformaciones admitido por una EDO debe dejar una familia decurvas solucion invariantes.

Definicion 4.4. La ecuacion diferencial ordinaria de primer orden

dy

dx= f(x, y)

se dice que admite o es invariante bajo el grupo de Lie uniparametrico

x∗ = X(x, y; t)

y∗ = Y(x, y; t)

si y solo si para cualquier valor del parametro t se satisface

f(x∗, y∗) = f(x, y).

Consideremos la EDO de primer orden

dy

dx= f(x, y) (4.2)

En adelante asumiremos que esta EDO admite el grupo uniparametrico

x∗ = X(x, y; t) = x+ tξ(x, y) + o(t2) (4.3a)

y∗ = X(x, y; t) = y + tη(x, y) + o(t2) (4.3b)

y tambien lo llamaremos punto de simetrıa para la EDO. Con generadorinfinitesimal

v = ξ(x, y)∂

∂x+ η(x, y)

∂

∂y.

Entonces teniendo en cuenta el efecto del grupo uniparametrico sobre la EDO,

dy∗

dx∗= f(x∗, y∗)

obtenemos progresivamente lo que se llama el prolongamiento de la transforma-cion


dy∗

dx∗=d[y + tη(x, y) + o(t2)

]d [x+ tξ(x, y) + o(t2)]

=dy + t

[∂η∂xdx+ ∂η

∂ydy]

+ o(t2)

dx+ t[∂ξ∂xdx+ ∂ξ

∂ydy]

+ o(t2)

=

dydx + t

[∂η∂x + ∂η

∂ydydx

]+ o(t2)

1 + t[∂ξ∂x + ∂ξ

∂ydydx

]+ o(t2)

=f(x, y) + t [ηx + ηyf(x, y)] + o(t2)

1 + t [ξx + ξyf(x, y)] + o(t2)

= f(x∗, y∗).

Por otro lado, el efecto de la transformacion sobre la funcion f(x∗, y∗) se calculade la siguiente manera

f (x∗, y∗) = f[x+ tξ(x, y) + o(t2), y + tη(x, y) + o(t2)

]= f(x, y) + t

[ξ∂f

∂x+ η

∂f

∂y

]+ o(t2).

Ahora, como hemos supuesto que el grupo deja invariante a la EDO entoncesnecesariamente los coeficientes que acompanan a t deberan ser iguales en ambosdesarrollos

f(x, y) + t [ηx + ηyf(x, y)] + o(t2)

1 + t [ξx + ξyf(x, y)] + o(t2)= f(x, y) + t

[ξ∂f

∂x+ η

∂f

∂y

]+ o(t2).

Por tanto luego de realizar algunos calculos en la igualdad anterior obtenemosla EDP de primer orden

ηx + (ηy − ξx) f + ξyf2 − fxξ − fyη = 0

conocida como ecuacion determinante del grupo (4.3 a,b) admitido por laEDO (4.2). Esta ecuacion determina entonces los infinitesimales ξ y η del grupoque deja invariante a la EDO de primer orden.

Observacion 4.2. Si una EDO de primer orden admite un grupo de Lie unipa-rametrico entonces podemos construir clases especiales de soluciones (solucionesinvariantes) que corresponden a curvas invariantes del grupo de transformacio-nes admitido. En este sentido bajo la accion del grupo (4.3 a,b) una curvasolucion y = Γ(x) de la EDO (4.2) es transformada en una nueva curva soluciony∗ = Γ(x∗) de (4.2).

Ahora nos centraremos en mostrar como encontrar la solucion general de unaEDO a partir de las funciones ξ(x, y) y η(x, y) de un grupo admitido. Esto se


puede hacer de dos maneras: (1) mediante coordenadas canonicas y (2) hallandoun factor integrante para la EDO de primer orden.

(1) COORDENADAS CANONICAS

En el capıtulo anterior demostramos (Teorema 3.6) que para cualquier grupo deLie uniparametrico existen coordenadas canonicas r(x, y) y s(x, y), de maneraque las transformaciones se convierten en el grupo de las traslaciones

r∗ = r,

s∗ = s+ t.

Ademas esas coordenadas se encuentran resolviendo

vr = 0,

vs = 1.

Por lo que en terminos de las coordenadas canonicas, la EDO y′ = f(x, y) adoptala forma

ds

dr=sx + syy

′

rx + ryy′= F (r, s) (4.4)

donde F (r, s) se obtiene sustituyendo x e y en terminos de r y s ensx+syy

′

rx+ryy′·

La invarianza de la EDO inicial (4.2) y de la EDO (4.4) significa que F (r, s) nodepende explıcitamente de s. Por lo tanto la EDO (4.4) puede ser escrita

ds

dr= G(r) =

sx + syy′

rx + ryy′·

En consecuencia la solucion general de la EDO (4.2) viene dada implıcitamentepor

s(x, y) =

∫ r(x,y)

G(ρ) dρ+ c.

Ejemplo 4.4. Consideremos la EDO lineal y homogenea de primer orden

dy

dx+ p(x)y = 0 (4.5)

Esta EDO admite el grupo de las homotecias, x∗ = x, y∗ = ty para t 6= 0;puesto que (4.5) es invariante bajo estas transformaciones

dy∗

dx∗+ p(x∗)y∗ = t

dy

dx+ tp(x)y = 0 implica

dy

dx+ p(x)y = 0

El generador de este grupo viene dado por v = y ∂∂y y las correspondientes

coordenadas canonicas

r = r,

s = ln y.


Entonces las EDO (4.5) se convierte

ds

dr=y′

y= −p(r)

Por lo tanto la solucion general de la EDO lineal y homogenea (4.5) viene dadapor

s(x, y) = ln y = −∫ x

p(ρ) dρ+ c,

o

y = C exp

[−∫ x

p(ρ) dρ

]Ejemplo 4.5. En general una EDO homogenea de primer orden se puede es-cribir en la forma

dy

dx= f

(yx

)(4.6)

Si aplicamos el grupo de las homotecias, x∗ = ax, y∗ = by, ab 6= 0; en la ecuaciondiferencial

dy∗

dx∗=b

a

dy

dx= f

(by

bx

)vemos que la EDO es invariante bajo este grupo para a = b, esto es, la EDO(4.6) admite el punto de simetrıa

x∗ = tx,

y∗ = ty.

cuyo generador infinitesimal es

v = x∂

∂x+ y

∂

∂y·

Las coordenadas canonicas se encuentran resolviendo las correspondientes ecua-ciones caracterısticas para el sistema

v(r) = xrx + yry = 0

v(s) = xsx + ysy = 1

Si tomamos s como funcion independiente de y, entonces obtenemos las siguien-tes expresiones para las coordenadas canonicas

r =y

x,

s = lnx, x ≥ 0.


En terminos de estas coordenadas la EDO se escribe

ds

dr=

1

−y/x+ f(y/x)=

1

f(r)− r·

Hemos obtenido una ecuacion en variables separables. En consecuencia la solu-cion general se reduce a una sola integracion

s(x, y) = lnx =

∫ x dr

f(r)− r+ c

Finalmente si F (r) denota la integral de la izquierda en la expresion anterior,entonces la solucion general de la EDO homogenea (4.6) se expresa en la formaimplıcita

lnx = F(yx

)+ c1.

Observacion 4.3. El ejemplo anterior nos permite justificar por que toda EDOhomogenea de primer orden se reduce a una ecuacion de variables separablespor medio de la sustitucion y = rx. La razon se debe a que r(x, y) = y/x es unafuncion invariante del grupo uniparametrico (Ejemplo 4.5) que admiten todaslas EDO homogeneas. En el sentido de lo ya expuesto

r(x∗, y∗) =y∗

x∗=ty

tx=y

x= r(x, y)

Ejemplo 4.6. Consideremos la ecuacion de Riccati

dy

dx=y

x+y2

x2− 1 (4.7)

Esta ecuacion es invariante bajo el grupo de los escalamientos

x∗ = etx,

y∗ = ety, t ∈ R.

ya que al aplicar estas transformaciones en la (4.7) obtenemos

dy∗

dx∗=et

etdy

dx=dy

dxe

ety

etx+e2ty2

e2tx2− 1 =

y

x+y2

x2− 1

Luego tenemos nuevamente como campo de vectores admitido por la EDO a,

v = x∂

∂x+ y

∂

∂y·

y al igual que en el ejemplo anterior las coordenadas canonicas se escriben

r =y

x,

s = lnx, x ≥ 0.


En estas coordenadas la EDO (4.7) se convierte

ds

dr=

1

(y/x)2 − 1=

1

r2 − 1,

luego

s(x, y) = lnx =1

2ln

(r − 1

r + 1

)+ c

Volviendo a las variables originales (x, y) obtenemos la solucion general paraesta ecuacion de Riccati

y =x(x2 + c1)

c2 − x2·

Observacion 4.4. En los ultimos dos ejemplos notamos que dos grupos detransformaciones de Lie distintos pueden tener el mismo generador infinitesimal.En el Ejemplo 4.6 el grupo de parametros es R∗ con la multiplicacion comooperacion, mientras que en el Ejemplo 4.5 el grupo es R con la adicion comooperacion de grupo. La explicacion a esta situacion la otorga el isomorfismoentre los grupos (R∗, ·) y (R,+).

Ejemplo 4.7. Para la EDO

dy

dx= y2 − y

x− 1

4x2(4.8)

si aplicamos la transformacion, ab 6= 0,

x∗ = ax,

y∗ = by.

en la EDO (4.8) tenemos

b

a

dy

dx= b2y2 − by

ax− 1

4a2x2

entonces vemos que la EDO es invariante si b = 1/a, de manera que (4.8) admiteel grupo

x∗ = etx,

y∗ = e−ty.

El generador de este grupo se expresa

v = x∂

∂x− y ∂

∂y

Las coordenadas canonicas estan determinadas por el sistema

v(r) = xrx − yry = 0

v(s) = xsx − ysy = 1


al resolver las ecuaciones caracterısticas correspondientes obtenemos

r =1

xy,

s = lnx.

Luego en terminos de estas coordenadas canonicas la EDO (4.8) se escribe

ds

dr=

1

(r/2)2 − 1

de donde s(x, y) = lnx = ln(r − 2)− ln(r + 2) + c. Por ultimo regresando a lasvariables iniciales llegamos a la solucion general de (4.8)

y = −1

2

(x+ c1)

x(c1 − x)·

Ejemplo 4.8.dy

dx= y2 − 2xy + 1 + x2 (4.9)

Para esta EDO tenemos que f(x, y) = y2 − 2xy + 1 + x2, fx = 2x − 2y, fy =2y−2x. Luego al reemplazar estas expresiones en la EDP determinante, podemosver que esta se satisface para ξ = 1 y η = 1.Al igual que en los ejemplos anteriores las coordenadas canonicas se encuentrancomo soluciones del sistema r = 0 y s = 1. En este caso las coordenadas son

r = y − x,s = y.

En terminos de estas coordenadas la EDO (4.8) se convierte en la ecuacion devariables separables

ds

dr=r2 + 1

r2

de aquı se obtiene

s = y = r − 1

r+ c·

Por lo tanto volviendo a las variables originales obtenemos la solucion generalde (4.8)

y =x2 + c1x− 1

x+ c1·

(2) FACTOR INTEGRANTE

La solucion general de una EDO como (4.2) es una familia de curvas ω(x, y) = c.Entonces

dω

dx= ωx + ωyy

′ (4.10)


y por tanto, ωx + ωyy′ se encuentra sujeta a todas las soluciones de la EDO

(4.2). Ahora si asumimos que la EDO admite un grupo de transformacionesuniparametrico como (4.3a,b) entonces el grupo deja invariante a la familia decurvas solucion ω(x, y) = c. Mas aun, como se vio en la Seccion 4.1, si asumimosque bajo el grupo las curvas solucion de la ecuacion no son curvas invariantesde (4.3a,b) entonces la familia de curvas solucion satisface

v = ξ(x, y)∂ω

∂x+ η(x, y)

∂ω

∂y

con η 6= ξf , donde v es el generador infinitesimal del grupo.

Sustituyendo la expresion para ωx de (4.10) en la igualdad anterior obtenemos

ωy =1

η − ξf,

luego

ωx =−f

η − ξf,

por lo tanto tenemos

dω

dx=

1

η − ξf(y′ − f) ,

en consecuencia

µ(x, y) =1

η − ξf

es un factor integrante para la EDO (4.2).

Podemos obtener igualmente un factor integrante en terminos de ξ y η si laEDO esta escrita en la forma P (x, y) dx+Q(x, y) dy = 0.

Teorema 4.4. Si la ecuacion diferencial

P (x, y) dx+Q(x, y) dy = 0

definida sobre un dominio conexo, admite un grupo de Lie uniparametrico congenerador infinitesimal

v = ξ(x, y)∂

∂x+ η(x, y)

∂

∂y

entonces µ(x, y) = 1ξP+ηQ , es un factor integrante para la ecuacion diferencial.


Demostracion. Si escribimos la EDO en la forma (4.2) obtenemos

dy

dx= −P (x, y)

Q(x, y)

En estos terminos la ecuacion determinante toma la forma

ηx + (ηy − ξx)

(−PQ

)+

(−PQ

)2

ξy − ξ∂

∂x

(−PQ

)− η ∂

∂y

(−PQ

)= 0

Ahora la condicion para que µ(x, y) sea un factor integrante nos lleva

∂

∂y

[P

ξP + ηQ

]=

∂

∂x

[Q

ξP + ηQ

]Esta expresion se verifica ya que coincide con la igualdad que se obtiene alexpandir la ecuacion determinante. Q.E.D.

Ejemplo 4.9. Consideremos la EDO

y′ + y2 =2

x2

Primero notemos que esta ecuacion es invariante bajo el grupo: x∗ = etx, y∗ =ety, puesto que

dy∗

dx∗+ y∗

2

− 2

x∗2= e2t dy

dx+ e2ty2 − e2t 2

x2

El generador de este grupo es v = x ∂∂x − y

∂∂y . Ahora reescribiendo la ecuacion

en la forma

dy +

(y2 − 2

x2

)dx = 0

podemos aplicar la formula para µ(x, y) del Teorema 4.4 y obtener

µ(x, y) =x

x2y2 − xy − 2

Multiplicando por este factor, la ecuacion diferencial se transforma

xdy + (xy2 − 2/x)dx

x2y2 − xy − 2=

xdy + ydx

x2y2 − xy − 2+dx

x

= d

(lnx+

1

3ln

(xy − 2

xy + 1

))= 0

Por lo tanto la solucion general de la EDO se expresa en la forma implıcita

xy − 2

xy + 1=C

x3·


Teorema 4.5. Para cualquier funcion ξ(x, y), el grupo uniparametrico con ge-nerador infinitesimal

v = ξ(x, y)

[∂

∂x+ f(x, y)

∂

∂y

]deja invariante a cada curva solucion de la EDO y′ = f(x, y).

Demostracion. Sea y = Γ(x) una curva solucion de la EDO y′ = f(x, y). En-tonces

y′ = Γ′(x) = f(x,Γ(x))

Por lo tanto al evaluar el generador sobre la curva

v(y − Γ(x)) = ξ(x, y)[f(x, y)− Γ′(x)]

= ξ(x,Γ(x))[f(x,Γ(x))− Γ′(x)]

= 0

En consecuencia y = Γ(x) es una curva invariante para el grupo uniparametricocon generador infinitesimal v. Q.E.D.

Teorema 4.6. Para cualquier funcion ξ(x, y), la EDO y′ = f(x, y) admiteun grupo de Lie uniparametrico con generador infinitesimal v = ξ(x, y)∂x +η(x, y)∂y para algun η 6= ξf , en el sentido que cada curva solucion de la EDOes transformada en otra curva solucion diferente para la EDO.

Demostracion. Sea ω(x, y) las curvas solucion de y′. Entonces ωx + ωyf = 0.Para ξ(x, y) arbitraria, consideremos el generador v = ξ(x, y)∂x+η(x, y)∂y, conη(x, y) determinado por la relacion ωy = 1/(η − ξf). Luego

vω = ξωx + ηωy

= ξ(−ωyf) + ηωy

= (η − ξf)ωy

= 1

Por lo tanto (por Teorema 4.3) el grupo de Lie uniparametrico transforma cadacurva solucion de la EDO en una curva solucion diferente. Q.E.D.

Observacion 4.5. Todos los resultados presentados en esta seccion se puedeneventualmente extender al analisis de EDP. Para este tipo de ecuaciones lasolucion general es representada como una familia de superficies y de manerasimilar se dice que un grupo de transformaciones de Lie es admitido por unaEDP, si transforma cualquier superficie solucion en otra superficie solucion. Ellector interesado en los grupos de transformaciones aplicados a las EDP, puedeconsultar [2] o [13].


4.3. Algoritmo para hallar la solucion de unaEDO

Habiendo demostrado que toda EDO admite un grupo de transformaciones uni-parametrico (Teorema 4.5 y 4.6) y descrito el metodo de las coordenadas canoni-cas, obtenemos una manera sistematica para resolver una EDO.

Dada la EDO de primer orden

y′ = f(x, y)

podemos resolverla sistematicamente:

1. Solucionar la EDP determinante

ηx + (ηy − ξx) f + ξyf2 − fxξ − fyη = 0

hallando los infinitesimales ξ y η.

2. A partir del generador que determinan ξ y η, expresar el grupo que dejainvariante a la EDO en coordenadas canonicas

3. Resolver la EDO en terminos de las coordenadas canonicas

ds

dr= G(r) =

sx + syy′

rx + ryy′·

4. Volver a las variables iniciales para obtener la solucion en terminos de (x, y).

En los ejemplos de la Seccion 4.2 se puede apreciar que hallamos las ecuacionesdel grupo admitido o las funciones ξ y η por inspeccion. Una vez conocidaslas ecuaciones o los infinitesimales del grupo que deja invariante a la EDO, elalgoritmo anterior nos entrega un esquema sistematico para resolver la EDO.Sin embargo, no existe una manera sistematica de encontrar a ξ y η para todaEDO, es decir, no existe un metodo que nos permita resolver siempre la EDPdeterminante. Encontrandonos en esta situacion la teorıa de Lie aplicada a lasecuaciones diferenciales tiene otro punto a favor ya que estos metodos son alta-mente programables, en este sentido se han desarrollado muchos paquetes quenos permiten encontrar las expresiones de ξ y η de manera simbolica, mas aunobtener en algunos casos la solucion general de la EDO.

Utilizando el software MAPLE podemos acceder a una gran variedad de coman-dos que nos permiten reducir notablemente los calculos para hallar los infinite-simales de simetrıa y resolver la EDO. En los proximos ejemplos resolvemos enMaple algunos tipos de EDO siguiendo el esquema del algoritmo descrito.

Ejemplo 4.10. EDO lineal homogenea de primer orden . Para esta ecua-cion escribimos en Maple


with ( DEtools ) ; ODE := d i f f ( y ( x ) , x)+p( x ) y ( x ) = 0 ;symgen (ODE) ; dso lve (ODE, Lie ) ;

y obtenemos simultaneamente

d

dxy(x) + p(x)y(x) = 0

[ξ = x, η = y]

y(x) =c

e∫p(x) dx

Con las herramientas de Maple, symgen(ODE) calcula los infinitesimales desimetrıa y dsolve(EDO, Lie) determina las funciones ξ y η de algun grupo deLie que admita la EDO y luego utiliza esta informacion para resolver la EDO.Tambien podemos hallar las coordenadas canonicas que determinan ξ y η cuandoson conocidas.

with ( DEtools , symgen , canoni ) ;canoni ( [ x i = 0 , e t a = y ] , y ( x ) , s ( r ) ) ;

r = x, s(r) = ln(y(x))

Finalmente vemos que los infinitesimales, las coordenadas canonicas y la soluciongeneral de la EDO coinciden con lo determinado en el Ejemplo 4.4.

Ejemplo 4.11. EDO lineal no homogenea de primer orden . Al escribirlas lıneas de codigo

with ( DEtools ) ; EDO2 := d i f f ( y ( x ) , x)+p( x )∗y ( x ) = q ( x ) ;symgen (EDO2, way = abaco2 ) ;

obtenemos

d

dxy(x) + p(x)y(x) = q(x)[ξ = 0, η = e−

∫p(x) dx

]Por ultimo hallamos las coordenadas canonicas para estos infinitesimales y re-solvemos la EDO

canoni ( [ x i , e t a ] , y ( x ) , s ( r ) ) ;d so lve (EDO2, ’ can ’ ) ;

r = x, s(r) = y(x)e

∫p(x) dx

y(x) =

∫q(x) e

∫p(x) dx dx+ C

e∫p(x) dx

Ejemplo 4.12. EDO de variables Separables

with ( DEtools ) ; EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = f ( x )∗ g ( y ( x ) ) ;symgen (EDO, way = abaco2 )


d

dxy(x) = f(x)g(y(x))[ξ =

1

f(x), η = 0

]Finalmente hallamos la solucion general para

[ξ = 1

f(x) , η = 0]·

dso lve (EDO,HINT = [ x i , e t a ] )∫f(x) dx−

∫ y(x) da

g(a)+ C = 0

Ejemplo 4.13. Ecuacion de Bernoulli

with ( DEtools ) ;EDO := d i f f ( y ( x ) , x)+p( x )∗y ( x ) = q ( x )∗y ( x )ˆn ;

d

dxy(x) + p(x)y(x) = q(x)y(x)n

symgen (EDO, way = abaco1 ) ;[ξ = 0, η = e

∫p(x)(n−1) dxyn

]symgen (EDO, way = abaco2 ) ;[

ξ =e(n−1)(

∫p(x) dx)

q(x), η = −yp(x)e(n−1)(

∫p(x) dx)

q(x)

]Ejemplo 4.14. EDO homogenea de primer orden

with ( DEtools ) ; EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = f ( y ( x )/ x ) ;

d

dxy(x) = f

(y(x)

x

)Para esta EDO encontramos las siguientes soluciones de la EDP determinante

symgen (EDO, way = 5 ) ;[ξ = 0, η = y − f

(yx

)x]

symgen (EDO, way = abaco2 ) ;

[ξ = x, η = y]

En el Ejemplo 4.5 hallamos los infinitesimales de simetrıa [ξ = x, η = y] a partirdel grupo que encontramos. Las coordenadas canonicas correspondientes son

canoni ( [ x i = x , e t a = y ] , y ( x ) , s ( r ) ) ;

CAPITULO 4. ANALISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRIAS 70r =

y(x)

x, s(r) = ln(x)

·

En el proximo ejemplo verificamos los resultados obtenidos para algunos de losejemplos de la Seccion 4.2.

Ejemplo 4.15. Consideremos la EDO de Riccati del Ejemplo 4.6

with ( DEtools ) ;EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = y ( x )/ x+y ( x )ˆ2/xˆ2−1;

d

dxy(x) =

y(x)

x+y(x)2

x2− 1

Los infinitesimales son

symgen (EDO) ; [ξ = 0, η = −x+

y2

x

]symgen (EDO, way = abaco2 ) ;

[ξ = x, η = y]

symgen (EDO, way = 4 ) ;[ξ = 0, η = x− y2

x

], [ξ = x, η = y] ,

[ξ = x+ y, η = x+

y3

x2

]Utilizando las expresiones [ξ = x, η = y] encontramos la solucion general de laEDO

dso lve (EDO,HINT = [\ x i=x ,\ eta=y ] ) ;

y(x) =x(x2 + C)

C − x2

y en efecto coincide con la solucion hallada en el Ejemplo 4.6.

Para la EDO del Ejemplo 4.7

EDO1 := d i f f ( y ( x ) , x ) = y ( x)ˆ2−y ( x )/x−1/(4∗x ˆ2)

d

dxy(x) = y(x)2 − y(x)

x− 1

4x2

encontramos las soluciones de la EDP determinante

symgen (EDO) ;[ξ = 0, η =

−4x3y2 + x

x2

],

[ξ = 0, η =

− 14 + yx− y2x2

x2

]symgen (EDO, way = abaco2 ) ;

CAPITULO 4. ANALISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRIAS 71[ξ = 1, η =

−1

2x2

]symgen (EDO, way=3);

[ξ = x, η = −y] ,

[ξ = −x

2

2, η = yx+

1

4

]Por ultimo, utilizando las soluciones [ξ = x, η = −y] obtenemos la solucion ge-neral de la EDO

dso lve (EDO,HINT = [ x i = x , e t a = −y ] ) ;

y(x) =1

2

C + x

x(C − x)·

Finalmente para la EDO del Ejemplo 4.8

EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = y ( x)ˆ2−2∗x∗y ( x)+1+x ˆ2 ;

d

dxy(x) = y(x)2 − 2xy(x) + 1 + x2

las soluciones de la EDP determinante son

symgen (EDO, way=abaco2 ) ;

[ξ = 1, η = 1]

symgen (EDO, way=5);[ξ = 0, η = (x− y)2

],[ξ = 0, η = (x2 − xy − 1)(x− y)

]Las coordenadas canonicas para [ξ = 1, η = 1] y

[ξ = 0, η = (x− y)2

]son res-

pectivamente

canoni ( [ x i =1, e t a =1] ,y ( x ) , s ( r ) ) ;

r = −x+ y(x), s(r) = x

canoni ( [ x i = 0 , e t a = (x−y ) ˆ 2 ] , y ( x ) , s ( r ) )r = x, s(r) =

1

x− y(x))

Por lo tanto la solucion general de la EDO viene dada por

dso lve (EDO,HINT = [ 1 , 1 ] ) ;

y(x) =Cx+ x2 − 1

x+ C

Podemos tambien tratar de hallar la solucion general para ξ = 0, η = (x − y)2

y obtendremos el mismo resultado

dso lve (EDO,HINT = [ 0 , ( x−y ) ˆ 2 ] ) ;


y(x) =Cx+ x2 − 1

x+ C

Observacion 4.6. En los ultimos ejemplos hemos visto que una EDO de primerorden puede admitir mas de un grupo de transformaciones uniparametrico, estose debe a que la EDP determinante puede tener mas de una solucion y de hechoinfinitas. Usualmente se consideran las soluciones mas simples, sobre todo siestamos realizando los calculos manualmente.

Ejemplo 4.16. Resolver la EDO

with ( DEtools ) ;EDO := d i f f ( y ( x ) , x)+y ( x )ˆ2∗ s i n ( x ) = 2∗ s i n ( x )/ cos ( x ) ˆ 2 ;

d

dxy(x) + sen(x)y(x)2 =

2 sen(x)

cos2(x)

Podemos utilizar el comando odeadvisor(EDO) para tratar determinar que tipode ecuacion es EDO

odeadv i sor (EDO) ;

[Riccati]

Las soluciones para la EDP determinante son

symgen (EDO, way = abaco2 ) ;[ξ = 0, η = cos2(x)(y cos(x) + 2)2

],

[ξ =

cos(x)

sen(x), η = y

]Luego para la solucion

[ξ = cos(x)

sen(x) , η = y]

obtenemos las coordenadas canonicas

y la solucion general para EDO

canoni ( [ x i=cos ( x )/ s i n ( x ) , e t a=y ] , y ( x ) , s ( r ) )

r = y(x) cos(x), s(r) = −ln(cos(x))

dso lve (EDO,HINT = [ x i = cos ( x )/ s i n ( x ) , e t a = y ] )

y(x) = − 2C cos3(x) + 1

cos(x)(C cos3(x)− 1)·

Ejemplo 4.17. Resolver la EDO

with ( DEtools ) ; PDEtools [ d e c l a r e ] ( y ( x ) , prime = x ) ;EDO:= x∗( d i f f ( y ( x ) , x ) )∗ ln ( x )∗ s i n ( y ( x ) )

+cos ( y ( x))∗(1−x∗ cos ( y ( x ) ) )=0 ;

xy′ ln(x) sen(y) + cos(y)(1− x cos(y)) = 0

odeadv i sor (EDO) ;


[rational,[Abel,2nd type,class B]

Encontramos la soluciones para la EDP determinante

symgen (EDO, way = abaco2 ) ;

[ξ = x2 + 4x, η = x(y + 4)]

symgen (EDO) ;[ξ = 0, η =

(x− y)(x− 2y − 4)

y + 4

],

[ξ = 0, η = − (y2 + 4x)(x− y)

x(y + 4)

]Las correspondientes coordenadas canonicas para

[ξ = 0, η = (x−y)(x−2y−4)

y+4

]estan

dadas por

canoni ( [ x i , e t a ] , y ( x ) , s ( r ) ) ;r = x, s(r) = ln(−x+ y)− 1

2ln(y2 + 4x)

Por lo tanto la solucion general para esta EDO de Abel es

dso lve (EDO,HINT = [0 ,(−x∗yˆ2+yˆ3−4∗xˆ2+4∗x∗y )/ ( x∗( y + 4 ) ) ] ) ;

y =Cx+

√Cx2 + 4Cx− 4x

C − 1, y = −−Cx+

√Cx2 + 4Cx− 4x

C − 1·

Conclusiones yRecomendaciones

• Los grupos de transformaciones de Lie son clave para comprender la natu-raleza de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Existen tecnicas paraobtener soluciones generales de EDO, pero la mayorıa de ellas no son mas quecasos especiales de algunos metodos fuertes de simetrıas. Ademas a diferenciade esas tecnicas que muchas veces son presentadas como tecnicas especialessi aparente relacion, los metodos de la teorıa de Lie se pueden aplicar a cual-quier tipo desconocido de EDO, encontrando primero el grupo de simetrıa dela ecuacion y luego utilizandolo para construir soluciones exactas. Por todoesto resulta un tanto sorprendente que estos metodos de simetrıa no seanampliamente conocidos.

• Las coordenadas canonicas nos brindan un metodo que nos permite solucionarde manera sistematica una EDO, siempre que sean conocidos los puntos desimetrıa que admite la ecuacion.

• Si entendemos una EDO de orden n como una superficie que correspondea un espacio (n + 2) dimensional cuyas coordenadas estan dadas por la va-riable independiente, la variable dependiente y sus derivadas hasta el ordenn, entonces las simetrıas de una ecuacion diferencial consisten en grupos detransformaciones geometricas sobre este espacio y actuan en sus solucionesmediante la transformacion de sus curvas solucion en nuevas curvas solucio-nes. Por lo tanto desde este punto de vista la geometrıa diferencial, la teorıade grupos y el analisis son determinantes para comprender con profundidadel estudio de las simetrıas en las ecuaciones diferenciales.

• En el trabajo mostramos que para una EDO de primer orden los metodos desimetrıas proporcionan una manera sistematica para solucionar la ecuacion.Para las EDO de orden superior, en la teorıa de Lie se demuestra que si laecuacion admite un grupo de transformaciones uniparametrico entonces elorden de la ecuacion puede ser reducido por uno, recuperando las solucionesoriginales de la ecuacion mediante la ecuacion reducida por una integracion.En el caso de las EDP los metodos de Lie proporcionan soluciones invariantesy leyes de conservacion. En [13] por ejemplo, se estudia la correspondencia

74


entre los grupos de simetrıa y las leyes de conservacion derivada del teoremade Noether.

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