Captulo 6

Problemas de funiones reales de

varias variables reales

(En los problemas marados on el iono es onveniente usar de un programa de

ordenador para la representain gra de funiones, por ejemplo Winplot).

1. Para las siguientes funiones, indiar su dominio y estudiar la ontinuidad en los

puntos indiados:

a) f(x, y) =5x2y

x2 + y2en (1, 2) d) f(x, y) = 3x2 + y en (2, 1)

b) f(x, y) =x2 y2

x2 + y2en (0, 0) e) f(x, y) = exy en (1, 1)

) f(x, y) =xyz

x2 + y2 + z2en (0, 0, 0) f) f(x, y) = sen(xyz) en (pi, 1, 1)

2. Considerar la funin f(x, y) denida del modo siguiente:

f(u, v) =

{uv + 1 (u, v) (0, 1) (0, 1)

v + 1. 5 (u, v) (0, 1) (1, 2)

a) Representar gramente f(u, v)

b) Estudiar la existenia de lmite en su dominio.

3. El rea de un paralelogramo de lados adyaentes a y b, viene dada por la relainA = ab sen(), donde es el ngulo que forman dihos lados.

a) Calular los ritmos de ambio de A respeto de a y de b para a = 10, b = 20, =pi/2.

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44CAPTULO 6. PROBLEMAS DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES

b) Supongamos que a, b y varan en el tiempo segn las relaiones a = 2t, b =4t, = tpi/10. Calular el ritmo de A respeto a t para los mismos valores dea, b, .

4. Esbozar la gra de una funin f(x, y) que admita derivadas pariales en los siguien-tes asos:

a) fx < 0, fy > 0

b) fx > 0, fy > 0

5. Considerar la funin z(x, y) uya gra se representa en la gura. Calular el signode los siguientes valores:

a) zx(4, 1) b) zy(4, 1) ) zx(1,1) d) zy(1,2)

e) zxx(4, 1) f) zxx(4, 1) g) zyy(1,2) h) zyy(1,2)

6. Un modelo para medir la sensain trmia S que experimentamos las personas vienedada por la relain:

S(t, h) = 0. 885 t 22. 4h + 1. 2 t h 0. 544

donde t es la temperatura del aire en C y h es la humedad relativa expresada enforma deimal. Se pide:

a) Calular los ritmos de ambio de S respeto a t y respeto a h si t = 30, h = 0. 8.

b) Qu inuye ms sobre S, la temperatura del aire o la humedad?

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7. La temperatura T en ualquier punto (x, y) de una plaa uadrada de un metro delado viene dada por el modelo T (x, y) = 500 0. 6x2 1. 5y2 (ver gura). Calular elritmo de ambio de T en P (0,5, 0,3) respeto a la distania reorrida sobre la plaa enlas dire

iones de los ejes.

8. La temperatura T medida en grados entgrados en la superie de una plaa metliaviene dada por el modelo T (x, y) = 20 4x2 y2, donde x e y se expresan en m. (vergura) En qu dire

in, a partir de (2,3) ree ms rpidamente la temperatura?.Cul es ese ritmo de ese reimiento?. Calular qu trayetoria habr que seguir desde

(2,3) para obtener el mayor aumento de temperatura.

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46CAPTULO 6. PROBLEMAS DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES

9. La ley de los gases ideales establee que PV = nRT , donde P es la presin, V elvolumen y n el nmero de moles de gas, R una onstante que depende del gas y T latemperatura. Demostrar que

T

P

P

V

V

T= 1

10. Estudiar la erteza de las siguientes armaiones aera de una funin z(x, y):

a) Si zx = z, entones z = ex h(y)

b) Si z(x, y) = f(x)g(y) entones zx + zy = f(x)g(y) + f(x)g(y)

) Si zxy = 1, entones z(x, y) = xy

11. Dada la funin z(x, y) = 4 x2 0. 25y2 se pide:

a) Calular la derivada dire

ional en el punto (1, 2) en la dire

in u = (cos pi/3, sen pi/3),ver gura.

b) Calular la dire

in v en la que la derivada dire

ional en el punto (1, 2) esmxima. Interpretar el resultado segn el gro de z(x, y).

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12. Calular la derivada dire

ional de z(x, y) = x2 sen 2y en el punto (1, pi/2) en la dire-

in u = (3,4).

13. Calular el gradiente de z(x, y) = ylnx + xy2 en el punto (1, 2).

14. Demostrar que la familia de funiones u(x, t) = 0. 5(y(xct)y(x+ct)) es soluin dela euain de ondas unidimensional utt = c

2uxx. Esta euain desribe las vibraionesde una uerda elstia.

15. Relaionar ada una de las euaiones siguientes on una de las representaiones gr-

as adjuntas:

a) z = x2 + y2 ) x2 + y2 = 1 e) x2 + z2 = 1 g) x2 + y2 = z2

b) z2 + y2 = 1 d) y = x2 f) x = y2 h) z = y2

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48CAPTULO 6. PROBLEMAS DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES

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16. Apliando la deniin, alular las derivadas pariales de primer orden de las siguien-

tes funiones en los puntos indiados.

a) f(x, y) = yex en (1, 2) d) f(p, q) = 3q2 + p en (2, 1)

b) f(u, v) = 3u2 2v + 5u2 en (1, 2) e) f(x, y) = exy en (1, 1)

) f(x, y, z) = cos(2x yz) en (0, 0, 0) f) f(x, y, z) = sen(xyz) en (pi, 1, 1)

17. Calular las derivadas pariales de segundo orden de las funiones del problema anterior

en los puntos indiados.

18. En ada una de las siguientes euaiones difereniales, apliar el ambio de variables

indiado:

a) xzx + yzy = z on

{u = x

v = y/x

) e2x(zxx+ zyy) = 1 on

{u + v = ex+y

u v = exy

b) zxx a2zyy = 0 on

{u = y ax

v = y + axd) 2zxx + zxy zyy + zy = 0 on

{u = x + 2y + 2

v = x y 1

19. En las siguientes euaiones realizar el ambio a oordenadas polares:

a) xzy yzx = 0 b) (x y)zx + (x + y)zy = 0

20. Resolver las siguientes euaiones difereniales:

a) zy = 0 b) zx = 0 ) zxy = 0

d) zyx = 0 e) zx = z f) zy = z

21. Calular las derivadas de segundo orden de las siguientes funiones:

a) f(x, y) = yx

sen t dt en (1, 2) f) f(u, v) = vu

et2

dt en (1, 1)

b) z = f(x, x/y) g) z = f(x + y, xy)

) z = f(2x, y2) h) z = f(x2 + x, 2y + 1)

d) z = f(x2 + y2) i) z = f(ex, 2y + ln y)

e) z = f(2x, 3x, 4x) j) z = f(x, 2 + y) siendo

{x = t + 1

y = 2t2

22. Para resolver la euain diferenial zxx 3zxy + 2zyy = 0 se aplia el ambio devariables u = x + Ay, v = x + By, donde A y B son onstantes reales. Elegir A y Bde modo que la euain resultante al apliar el ambio sea lo ms senilla posible y

resolverla.

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