Problemas de decaimiento radiactivo

1) Resolución de un problema físico modelizado mediante una ecuación de 1º orden. El radio es un elemento radioactivo de vida media 1600 años, que se desintegra produciendo radón, que a su vez es un elemento radioactivo con vida media 3,8 días. Si inicialmente hay 1000 kg de radio, calcular la cantidad de radio x(t) y la cantidad de radón y(t) en un tiempo posterior cualquiera t. Sugerencia: recordar que el decaimiento radioactivo está regido por la ecuación diferencial x’ + ax =0, y que la vida media T es el tiempo en el cual decae su masa a la mitad.

SOLUCIÓN

Para trabajar en unidades homogéneas, calculemos la vida media del radio en días:

TRa = 1600 365 = 5,84 105 días (se desprecia el efecto de los años bisiestos)

Vemos que en este problema existe decaimiento del radio y del radón. Primero se encuentran las ecuaciones para ambos fenómenos por separado.

En el caso del radio tenemos:

(1)

Nótese que se prescinde de las barras de valor absoluto en el logaritmo porque x es una masa (cantidad de radio), y éstas son siempre positivas.

Se introduce ahora el concepto de vida media. Sabemos que al transcurrir el tiempo TRa la cantidad de radio inicial se habrá reducido a la mitad. Pero según la Ec. (1), tendremos:

x(0) = Ke-a0 = K (cantidad inicial de radio)

x(TRa) = Ke-a5,84 10^5 = (2)

Cancelando la constante K y aplicando logaritmo a esta última ecuación tenemos:

-a5,84 105 = -ln2; y despejando da: a = 1,187 10-6 días-1

De donde la ecuación que rige el decaimiento radioactivo del radio es:

x’ + 1,187 10-6x = 0 (3)

Y por otro lado la cantidad de radio presente al cabo de un tiempo t será, reemplazando a en (1):

x(t) = x(TRa) = Ke-1,187 10^(-6)t = 1000e-1,187 10^(-6)t (4)

Donde ya introdujimos la cantidad inicial de radio de nuestro problema (1000 kilos). Uniendo ahora (3) y (4) tenemos:

x’ = -1,187 10-3e-1,187 10^(-6)t (5)

Vamos ahora al caso del radón. Operando idénticamente al caso del radio llegaremos a una ecuación análoga a la (2), a saber:

y(TRn) = Ke-b3,8 = K/2

donde K es ahora la cantidad inicial de radón. Despejando b se obtiene:

b = 0,182 días-1

y entonces la ecuación que rige el decaimiento radioactivo del radón es:

yd’ + 0,182y = 0 yd’ = -0,182y (6)

Remarcamos que ésta es la ecuación que rige la variación de la masa de radón POR DECAIMIENTO RADIOACTIVO SOLAMENTE. Por eso le colocamos el subíndice d.

Consideremos ahora la situación de nuestro problema. La podemos representar de la siguiente manera:

La masa de radón recibe un aporte (la degradación del radio) y sufre una pérdida (el decaimiento del radón). En otras palabras:

y’ = Variación de radón = - Decaimiento del radio + Decaimiento del radón

El signo menos que afecta al decaimiento del radio está ahí porque lo que se ganó de radón es igual a lo que se perdió de radio, pero cambiado de signo. Usando las expresiones para decaimiento encontradas en (5) y (6) tenemos:

y’ = 1,187 10-3e-1,187 10^(-6)t - 0,182y

Es decir:

y’ + 0,182y = 1,187 10-3e-1,187 10^(-6)t (7)

Ecuación lineal a coeficientes constantes cuya ecuación asociada es:

RaDecaimiento

radio RnDecaimiento

radón

+ 0,182 = 0 = -0,182 yc = Ce-0,182t

La función excitación es una exponencial; por lo tanto proponemos como función de prueba:

y* = Ae-1,187 10^(-6)t

Reemplazando ésta en (7) y despejando A tendremos finalmente

y* = 6,52 10-3e-1,187 10^(-6)t

Sumando esta solución particular del problema no homogéneo con la solución general de la complementaria, podemos escribir:

y = Ce-0,182t + 6,52 10-3e-1,187 10^(-6)t

Al principio del proceso no hay nada de radón, de modo que:

y(0) = C + 6,52 10-3 = 0 C = -6,52 10-3

Finalmente:

y = -6,52 10-3e-0,182t + 6,52 10-3e-1,187 10^(-6)t (8)

Las ecuaciones (4) y (8) nos dan, entonces, las cantidades de radio y radón, respectivamente, en función del tiempo. Debe recordarse que las unidades de x y y son el kilogramo, y que el tiempo t se mide en días. Si se resuelve este problema en años se llegará a constantes diferentes.

2.) Si después de 100 segundos una muestra de un material radiactivo ha decaído el 30% de la cantidad inicial, encuentre la constante de decaimiento y la vida media de este elemento radiactivo

Solución

Sea

A: cantidad del material radiactivo presente en el tiempo t

t: tiempo, en segundos

: Rapidez de desintegración

k > 0: Constante de proporcionalidad

: Cantidad original del material radiactivo

De tal manera que:

: Hipotéticamente la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad

presente.

Ahora, separamos variables e integramos:

( ) (1)

En (2)

Así:

De tal modo que, al sustituir los valores respectivos de (5) en (4), se obtiene:

La vida media, T, de un material radiactivo es el tiempo necesario para que se desintegre

la mitad del material inicial; esto es, hay que calcular t=T cuando

La vida media de este material radiactivo es de aproximadamente entre 194 horas.

Problemas de crecimiento poblacional

{(2) en (1)} (3),

{(3) en (1)} (4)

Cantidad que ha decaído en 100 segundos

Cantidad presente a los 100 segundos (t=100) (5)

k 0.003566749

{(6) en (4)} (7)

1.) En un principio, un cultivo al inicio tiene cantidad de bacterias. En t = 1 se determina

que el numero de bacterias es . Si la rapidez de crecimiento es proporcional al

numero de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el numero de bacterias.

Solución

Primero se resuelve la ecuación diferencial en (1), donde el símbolo x se reemplaza por P.

Con , la condición inicial es . Entonces se usa la observación empírica de

que para determinar la constante de proporcionalidad k.

La ecuación diferencial es tanto separable como lineal. Cuando se pone en la

forma estándar de una ED lineal de primer orden,

Se ve por inspección que el factor integrante es . Al multiplicar ambos lados de la

ecuación por este termino e integrar se obtiene a su vez,

y

Por tanto . En t=0 se deduce que , y en consecuencia .

En t=1 se tiene o bien .

De la ultima ecuación se obtiene , y, entonces .

Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el número de bacterias, se resuelve

para t.

Se deduce que 0.4055t= ln3, o

El numero real de bacterias presentes en el tiempo t=0 no tuvo que ver en el calculo

del tiempo que se requirió para que se triplicara el numero de bacterias en el cultivo.

El tiempo necesario para que se triplique una población inicial de, por ejemplo 100 bacterias o 1.000.000 es de mas o menos 2.71 Horas.

2.) La población de la ciudad de Quito en el año 2000 fue de 2’000.000 habitantes, si el crecimiento poblacional es proporcional a la propia población y ha sido estimado en el 1.5% anual, determinar la ecuación diferencial que describe el problema y la función primitiva equivalente a esa ecuación diferencial.

En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema:

P: Población de la ciudad de Quito, que varía con el tiempo y tiene un valor de 2`000.000 para el año 2000

T: Tiempo medido en años, que al inicio del problema es del año 2000

α: Indice anual de crecimiento de la población que vale 0.015 (1.5%anual).

En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.

Por definición, el crecimiento de la población en un instante cualquiera se calcularía mediante la siguiente expresión:

Donde:

: Incremento de población

Intervalo del tiempo en que se mide el incremento de población.

Se ha utilizado el símbolo “ “para indicar que la expresión es una aproximación, pues una vez transcurrido un intervalo de tiempo “Δt”, la población habrá crecido a “P+ΔP” por lo que “P” ya no sería representativa para el cálculo del incremento de la población.

Para conseguir una igualdad es necesario es llevar el cociente de los incrementos al límite del mismo, lo que ocurre cuando “Δt” tiende a “cero”, lo que se expresa:

La expresión antes anotada antes anotada es la derivada de la población respecto al tiempo.

Ecuación diferencial

Esta última expresión es precisamente la ecuación diferencial que describe la variación de la población con respecto al tiempo.

para resolver la ecuación diferencial se deben separar la diferenciales del miembro izquierdo:

Se separan las variables:

Se procede a la integración de los dos miembros:

Ejecutando las integrales:

El logaritmo del producto es la suma de los logaritmos:

Reemplazando la función logarítmica por la función exponencial equivalente:

Despejando la población “P” se tiene su variación en función del tiempo, en términos generales:

Solución general

Para el cálculo de la solución específica se deben aplicar las siguientes condiciones de borde a la solución general:

Para el año 2000, “t=2000 años”, “P= 2’000.000 habitantes”, “α =0.015 habitantes/año”. Reemplazamos estas condiciones de borde se tiene:

Simplificado:

Despejando “k”:

Reemplazando el valor de “ ”:

Reemplazando “k” y “α” en la ecuación general se tiene:

Solución específica

Problemas de circuitos

1.)

Resolvemos la homogénea:

y obtenemos y

Hallamos la solución particular:

donde

donde

La intensidad completa será:

luego, para t = 0 la i = 0 y , por lo tanto

aplicamos a la solución general la primera condición para t = 0 la i = 0

por otro lado:

resolviendo este sistema obtenemos: y

2.) Si y , con (0)=(0); halle la corriente, , en el instante t.

Solución:

(1)

La (1) es la ED lineal de la forma

De tal manera que el factor integrante es:

Multiplicando la ecuación (1) por se obtiene

Pero

De tal manera que (3) queda:

Las condiciones iniciales son:

Sustituyendo los valores correspondientes de (6) en (5), se obtiene:

Ahora, sustituyendo y en (8), se obtiene:

Problemas de ley de enfriamiento

1.) Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F. Después de 3 minutos, 2OO’F. ¿En cuanto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de 7O”F?

Solución

En la ecuación (3) vemos que = 70. Por consiguiente, debemos resolver el problema de valor inicial

= k(T- 70), T(O) = 300 (4)

Y determinar el valor de k de tal modo que T(3) = 200.La ecuación (4) es lineal y separable, a la vez. Al separar las variables,

cuyo resultado es y así Cuando t=0, T=300, de modo que 300=70+ define a =230. Entonces, T=70+230 . Por último, la determinación

T(3)=200 conduce a , o sea, . Así

(5)

Observamos que la ecuación (5) no tiene una solución finita a porque

; no obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfríe al transcurrir un intervalo razonablemente largo. ¿Cuán largo es “largo “‘7 No nos debe inquietar el hecho de que el modelo (4) no se apegue mucho a nuestra intuición física. Las partes u) y b) de la figura 3.3 muestran que el pastel estará a la temperatura ambiente pasada una media hora.

2.)

Intensidad de la radiación solar  I=700 W/m2

Temperatura ambiente T0=20ºC

Espesor de la placa e=2 mm

Material aluminio: ρ=2700 kg/m3 y c=880 J/(kgºC)

Se ilumina la placa, al cabo de 1200 s alcanza una temperatura de Tf=71.3 ºC

Se deja de iluminar la placa, se pone el contador de tiempo a cero, y al cabo de t=1000 s la temperatura ha bajado a 23.2 ºC

Conocida la temperatura inicial Tf =71.3º y al cabo de un tiempo t=1000 s, T=23.2 durante el enfriamiento calculamos la constante k.

T=T0+(Tf-T0)exp(-kt)

23.2=20+(71.3-20)exp(-k·1000)

La máxima temperatura que alcanza la placa cuando se ilumina indefinidamente t→∞ es

Problemas de ley de calentamiento

1.) Supongamos que una delgada varilla se sumerge en agua hirviendo es decir, a 100ºC de temperatura, y después se saca en el instante t=0 y se colocan sus dos extremos inmediatamente en contacto con hielo, de manera que los extremos se van a mantener a 0 ºC. Hallar la temperatura w= w(x, t) bajo esas circunstancias.

Solución

Es un caso especial con una distribución inicial de temperatura dada por la función constante

,

En consecuencia hemos de hallar la serie de senos de esta función, se pude calcular usando

. O por algún otro camino

Refiriéndonos a la formula , vemos que la función de

temperatura requerida es:

2.) Hallar la temperatura estacionaria de la varilla estudiada antes si las temperaturas fijas

de sus extremos x=0 y x=π son y , respectivamente

Solución

“estacionaria” significa que luego la ecuación de calor , se

reduce a o sea, La solución general, por tanto, es y

usando las condiciones de contorno calculamos fácilmente esas constantes de integración y llegamos a la deseada solución.

La versión estacionaria de la ecuación de calor tridimensional

es

se llama ecuación de Laplace. El estudio de esta ecuación y sus soluciones y aplicaciones conforma la rica rama de matemáticas denominada teoría de potencial.

CONCLUSIONES

Un modelo de la serie radiactiva de tres elementos es el sistema de tres ecuaciones diferenciales de primer orden

En el interior de un cuerpo en el cual esta fluyendo calor de una zona a otra, la temperatura varía en general de un punto a otro en todo instante, y también varía con el tiempo en cada punto.

El problema de valor inicial (1) en donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegración).

La ley de Newton del enfriamiento dice que un cuerpo que se enfría, la rapidez con la que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio que lo rodea.

En física, un problema de valor inicial como las ecuaciones (1) puede servir de modelo para calcular aproximadamente la cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva.

BIBLIOGRAFIA

http://publiespe.espe.edu.ec/librosvirtuales/ecuaciones-diferenciales/ecuaciones-diferenciales/ecuaciones-diferenciales06.pdf

Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Octava edición. Dennis G. Zill

Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas. Segunda edición. George F. Simmons

Problemario de ecuaciones diferenciales. Paul Toppo Raimondo. Ricardo Zavala Yoé

TRABAJO SOBRE APLICACIONES

DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DIANA MARCELA MOSQUERA Cod 402021

DIEGO POLANIA AGUILERA Cod 406031

ABRAHAM ORTEGON Cod 406027

Trabajo escrito presentado a:

MIGUEL ANGEL CARRANZA

Profesor

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA Y ADMINISTRACION

SEDE PALMIRA

2009