PROBLEMAS B-3

B-3-1. Obtenga el coeficiente de friccin viscosa equivalente beq del sistema de la Figura 3-30

B-3-2. Obtenga modelos matemticos de los sistemas mecnicos de las Figuras 3-31(a) y (b).

B-3-3. Obtenga una representacin en el espacio de estados del sistema mecnico de la Figura 3-32, donde u1 y u2 son entradas e y1 e y2 son salidas.

Figura 3-32. Sistema mecnico B-3-4. Considere el sistema del pndulo accionado por resorte de la Figura 3-33. Suponga que la fuerza del resorte que acta sobre el pndulo es cero cuando el pndulo est vertical, o bien h = 0. Suponga tambin que la friccin involucrada es insignificante y que el ngulo de oscilacin h es pequeo. Obtenga un modelo matemtico del sistema.

B-3-5. Remitindose a los Ejemplos 3-5 y 3-6, considere el sistema del pndulo invertido de la Figura 3-34. Suponga que la masa del pndulo invertido es m y que est distribuida equitativamente a lo largo de la longitud de la barra. (El centro de gravedad del pndulo se ubica en el centro de la barra.) Suponiendo que h es pequeo, obtenga modelos matemticos para el sistema en forma de ecuaciones diferenciales, funciones de transferencia y ecuaciones en el espacio de estado.

Figura 3-34. Sistema de pndulo invertido.

B-3-6. Obtenga la funcin de transferencia X1(s)/U(s) y X2(s)/U(s) del sistema mecnico que se muestra en la Figura 3-35.

Figura 3-35. Sistema mecnico

B-3-7. Obtenga la funcin de transferencia Eo(s)/Ei(s) del circuito elctrico que se muestra en la Figura 3-36.

Figura 3-36. Circuito elctrico.

B-3-8. Considere el circuito elctrico que se muestra en la Figura 3-37. Obtenga la funcin de transferencia Eo(s)/Ei(s) utilizando la aproximacin de diagramas de bloques.

Figura 3-37. Circuito elctrico.

B-3-9. Obtenga la funcin de transferencia del sistema elctrico de la Figura 3-38. Dibuje un diagrama esquemtico de un sistema mecnico anlogo.

Figura 3-38. Circuito elctrico.

B-3-11. Obtenga la funcin de transferencia Eo(s)/Ei(s) del circuito con amplificador operacional de la Figura 3-40.

Figura 3-40. Cicuito con amplificador operacional.

B-3-12. Utilizando la aproximacin de impedancias, obtenga la funcin de transferencia Eo(s)/Ei(s) del circuito con amplificador operacional de la Figura 3-41

B-3-13. Considere el sistema que se muestra en la Figura 3-42. Un servomotor cc controlado por inducido mueve una carga con un momento de inercia JL. El par desarrollado por el motor es T. El momento de inercia del rotor del motor es Jm. Los desplazamientos angulares del rotor del motor y del elemento de carga son m y , respectivamente. La razn de engranaje es n = /m. Ob-tenga la funcin de transferencia C(s)/Ei(s).

PROBLEMAS B-4

B-4-1. Considere el sistema del tanque de agua cnico de la Figura 4-42; el flujo a travs de la vlvula es turbulento y se relaciona con la altura H mediante

donde Q es el caudal medido en m3/seg y H est en metros.Suponga que la altura es 2 m en t = 0. Cul ser la altura en t = 60 seg?

B-4-2. Considere el sistema de control de nivel de lquido de la Figura 4-43. El controlador es de tipo proporcional. El punto de funcionamiento del controlador est fijo.Dibuje un diagrama de bloques del sistema suponiendo que los cambios en las variables son pequeos. Obtenga la funcin de transferencia entre el nivel del segundo tanque y la entrada de perturbacin qd. Obtenga el error en estado estacionario cuando la perturbacin qd es un escaln unidad.

B-4-3. Para el sistema neumtico de la Figura 4-44, suponga que los valores de la presin del aire y el desplazamiento de los amortiguadores en estado estacionario son P1 y X1, respectivamente. Suponga tambin que la presin de entrada cambia de P1 a P1 + p, donde p es un pequeo cambio en la presin de entrada. Este cambio provocar que el desplazamiento de los amortiguadores vare una pequea cantidad x. Suponiendo que la capaci-tancia de los amortiguadores es C y que la resistencia de la vlvula es R, obtenga la funcin de transferencia que relaciona x y p.

B-4-4. La Figura 4-45 muestra un controlador neumtico. El relevador neumtico tiene la caracterstica de que pc = Kpb, donde K > 0. Qu tipo de accin de control produce este controlador? Calcule la funcin de transferencia Pc(s)/E(s).

B-4-5. Considere el controlador neumtico de la Figura 4-46. Suponiendo que el relevador neumtico tiene las caractersticas de que pc = Kpb (donde K> 0), determine la accin de control de este controlador. La entrada al controlador es e y la salida pc.

PROBLEMAS B-5

B-5-1. Un termmetro requiere de un minuto para alcanzar el 98% del valor final de la respuesta a una entrada escaln. Suponiendo que el termmetro es un sistema de primer orden, encuentre la constante de tiempo.Si el termmetro se coloca en un bao, cuya temperatura cambia en forma lineal a una velocidad de 10o/min, qu error muestra el termmetro?

B-5-2. Considere la respuesta escaln unitario de un sistema de control realimentado unitariamente cuya funcin de transferencia en lazo abierto es

Obtenga el tiempo de subida, el tiempo pico, la sobre-elongacin mxima y el tiempo de asentamiento

B-5-3. Considere el sistema en lazo cerrado dado por

Determine los valores de 1 y con para que el sistema responda a una entrada escaln con una sobreelongacin de aproximadamente el 5% y con un tiempo de asentamiento de 2 seg. (Utilice el criterio del 2%.)

B-5-4. Considere el sistema de la Figura 5-72. Inicialmente el sistema est en reposo. Suponga que el carro se pone en movimiento mediante una fuerza de impulso unitario. Puede detenerse mediante otra fuerza de impulso equivalente?

Figura 5-72. Sistema mecnico.

B-5-5. Obtenga la respuesta impulso unitario y la respuesta escaln unitario de un sistema realimentado unitariamente cuya funcin de transferencia en lazo abierto sea

B-5-6. Se sabe que un sistema oscilatorio tiene la siguiente funcin de transferencia: Suponga que existe un registro de una oscilacin amortiguada, tal como aparece en la Figura 5-73. Determine el factor de amortiguamiento relativo ' del sistema a partir de la grfica.

Figura 5-73. Oscilacin amortiguada.

B-5-7. Considere el sistema de la Figura 5-74(a). El factor de amortiguamiento relativo de este sistema es 0.158 y la frecuencia natural no amortiguada es de 3.16 rad/seg. Para mejorar la estabilidad relativa, se emplea una reali-mentacin tacomtrica. La Figura 5-74(b) muestra tal sistema de realimentacin tacomtrica.Determine el valor de Kb para que el factor de amortiguamiento relativo del sistema sea 0.5. Dibuje curvas de respuesta escaln unitario tanto del sistema original como del sistema de realimentacin tacomtrica. Tambin dibuje las curvas de error frente al tiempo para la respuesta rampa unitaria de ambos sistemas

Figura 5-74. (a) Sistema de control; (b) sistema de control con realimentacin tacomtrica.

B-5-8. Remitindose al sistema de la Figura 5-75, determine los valores de K y k tales que el sistema tenga un factor de amortiguamiento ' de 0.7 y una frecuencia natural no amortiguada un de 4 rad/seg

Figura 5-75. Sistema en lazo de control

B-5-9. Considere el sistema de la Figura 5-76. Determine el valor de k de modo que el factor de amortiguamiento ' sea 0.5. Despus obtenga el tiempo de subida tr, el tiempo pico tp, la sobreelongacin mxima Mp y el tiempo de asentamiento ts en la respuesta escaln unitario.

Figura 5-76. Diagrama de bloques de un sistema.

B-5-19. Considere la ecuacin diferencial de un sistema dada pory + 3y, + 2y = 0, y(0) = 0.1, y,(0) = 0.05Obtenga la respuesta y(t), sujeta a la condicin inicial dada.

B-5-20. Determine el rango de valores de K para la estabilidad de un sistema de control con realimentacin unitaria cuya funcin de transferencia en lazo abierto es

B-5-21. Considere la ecuacin caracterstica siguiente: Utilizando el criterio de estabilidad de Routh, determinar el rango de estabilidad de K.

B-5-22. Considere el sistema en lazo cerrado que se muestra en la Figura 5-79. Determine el rango de estabilidad para K. Suponga que K > 0.

B-5-24. Considere el servosistema con realimentacin tacomtrica que se muestra en la Figura 5-81. Determine los rangos de estabilidad para K y Kh. (Kh debe ser positiva.)

Figura 5-81. Servosistema con realimentacin tacomtrica