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LOS NÚMEROS NATURALES

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Sistema decimal: diez unidades de un orden cualquiera hacen una unidad del orden

... 106 105 104 103 102 10 1

... UMM CM DM UM C D U

2 0 7 4 0 0 0

2 UMM = 2 000 000 U

7 DM = 70 000 U

4 UM = 4 000 U

8

1. Completa con el número que corresponda:

3 DMM + 5 ∙ 105 + 8 ∙ 103 + 4 UM + 6 C 8

Sistema binario: dos unidades de un orden cualquiera hacen

... 26 25 24 23 22 21 1

1 0 1 1 0 0

25 + 23 + 22 + 1 =

= 32 + 8 + 4 +1 = 458

2. Expresa en el sistema decimal el número binario 1110010 8

Sistema sexagesimal: sesenta unidades de un orden cualquiera

18 875 = 5 ∙ 602 + 14 ∙ 60 + 35 8 18 875 segundos = 5 h 14 min 35 s

3. Expresa 13 562 segundos en horas, minutos y segundos 8 13 562 s = h. min s

DIVISIBILIDAD

Descomposición en factores primos

1176 2

588 2

294 2

147 3

49 7

7 7

1

4. Completa:

1 176 = 2 ∙ 3 ∙ 7

Para calcular el máximo común divisor de dos o

más números, se descomponen estos en factores y

5. Completa.

108 = 22 ∙ 33; 252 = 22 ∙ 32 ∙ 7

máx.c.d. (108, 252) = ∙ =

Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o

más números, se descomponen estos en factores y

se toman

6. Completa.

108 = 22 ∙ 33; 252 = 22 ∙ 32 ∙ 7

mín.c.m. (108, 252) = ∙ =

Lo fundamental de la unidad

Nombre y apellidos: .................................................................................................................................................................................................................................................

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BORDILLOS PARA LAS CALLES

Tu madre acaba de empezar a trabajar en el departamento de producción de una empresa que se dedica a fabricar los bloques con los que se construyen los bordillos de las aceras. El primer trabajo que le encargan es estudiar el sistema de producción, por si puede opti-mizarse la fabricación y así ahorrar costes. Como todavía no tienes muchos deberes de clase, te pide que le ayudes con los cálculos.

1. En primer lugar, te enseña una tabla que confeccionó el encargado anterior, pero alguien de la o*cina tiró café sobre ella y se han borrado algunos números. La tabla muestra datos sobre las cuatro líneas de producción de la empresa. Como es un trabajo fácil, tu madre te dice que la completes.

LÍNEAS A B C D

N.º DE PIEZAS QUE HACE (CAPACIDAD) 6 2 · (PIEZAS DE A − 1) 126 · (PIEZAS DE C)

4

TIEMPO EN QUE LAS HACE (MINUTOS) 10 12 15 15

“¿Son iguales todas las líneas, mamá?”, le preguntas a tu madre. “Solo tienes que mirar bien la tabla. Por ejemplo: ¿cuántas veces es mayor la capacidad de la línea D que la capacidad de la línea A? ¿Y cuántas veces es mayor la de la línea C que la de la línea A?”.

2. Ya sabes que las computadoras trabajan, interiormente, en el sistema de numeración binario. ¿Serías capaz de reproducir la tabla anterior, con los números que maneja internamente el ordenador?

LÍNEAS A B C D

N.º DE PIEZAS 110

MINUTOS

3. Después de recibir una llamada urgente de su jefe, tu madre te dice que una constructora acaba de hacerles un pedido de 3 600 bloques y necesita calcular cuántas piezas hace cada línea en 1 hora. Mientras ella está con otros cálculos, te pide que estos los hagas tú.

4. Y ahora, con los cálculos anteriores, ¿cuántas piezas hacen las cuatro líneas juntas en 1 hora?

Ficha de trabajo A


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5. Un dato importante para el informe de tu madre es averiguar cuánto tardaría cada una de las cuatro líneas en producir ella sola los 3 600 bloques del pedido. ¿Puedes darle los datos?

6. El jefe vuelve a llamar: “Paralice lo que esté haciendo; necesito unos datos urgentes sobre el pedido de la constructora”. Y envía por fax una tabla que tú puedes completar, *jándote bien en que en ella aparecen grupos de bloques con distintas longitudes.

N.º DE BORDILLOSLONGITUD POR

UNIDAD

LONGITUD TOTAL EN CENTÍMETROS

LONGITUD TOTAL EN METROS

1 450 120 cm

1 000 60 000

600 40 cm

30 cm 16 500

TOTAL

7. No hay forma de trabajar: le siguen llegando informaciones y preguntas por el fax. Ahora, el encargado del almacén necesita saber cómo distribuir en palés 50 bloques de una longitud y 60 bloques de otra longitud, sin mezclar las dos clases. El número de bloques por palé debe ser el mayor posible y el mismo para las dos clases de bloques. Tu madre te pide que calcules cuántos bordillos deben poner en cada palé y cuántos palés harán falta.

8. Volviendo a las líneas de producción, recuerda que la línea A saca una tanda de bloques cada 10 minutos, y la línea B, una cada 12 minutos. Tu madre te dice que ambas líneas han coinci-dido a las 10 h 30 min en sus últimas tandas. ¿A qué hora volverán a coincidir?

9. Calcula, exponiendo el proceso paso a paso.

a) 10 − 2 ∙ (11 − 7) + 3 ∙ 4 − 14

b) 4 ∙ (12 − 2 ∙ 4) − 3 ∙ (13 − 8)

10. Coloca los paréntesis necesarios para que cada igualdad sea cierta.

a) 2 + 3 ∙ 6 − 5 − 4 = 1

b) 2 + 3 ∙ 6 − 5 − 4 = 19

c) 2 + 3 ∙ 6 − 5 − 4 = 21

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LOS NÚMEROS ENTEROS

EL CONJUNTO Y

Los números naturales positivos, sus correspondientes negativos y el cero, forman el conjunto Y de los

−8 −4 0 4−6 −2 2 6−7 −3 1 5−5 −1 3 7 8

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al prescindir del

§−7§ = 7 §+7§ = 7

1. Ordena de menor a mayor: +2, −7, −11, +1, −1, +8, −5, +10, −3

< < < < < < < <

2. Completa: §−9§ = … §+6§ = … − §−1§ = … − §+8§ = …

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Sumas y restas con paréntesis

los signos interiores

los signos interiores

+ (+5 − 3) = 5 − 3 − (+5 − 3) = −5 + 3

Multiplicación y división

+ · + = +

+ · − =

− · + =

− · − =

+ : + = +

+ : − =

− : + =

− : − =

3. Suprime los paréntesis y opera. 8 + (4 − 2 − 7 + 1) = 8 − (4 − 2 − 7 + 1) =

4. Completa. (+3) ∙ (+4) = (+15) : (−5) = (−2) ∙ (−5) = (−20) : (−4) =

OPERACIONES COMBINADAS

En las expresiones con operaciones combinadas hemos de atender:

– Primero, a las operaciones que están entre parén-tesis.

– Después, a las multiplicaciones y divisiones.

– Por último, a

5. Completa y resuelve:

4 ∙ (−5) − 3 ∙ (8 − 6 − 4) =

= 4 ∙ (−5) − 3 ∙ (…) =

POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS ENTEROS

Potencias de números negativos Los números negativos no tienen raíz cuadrada.

√−25 = x 8 x2 = −25

No hay ningún número cuyo cuadrado sea negativo.

6. Calcula, si existe. (−5)2 = (−5)3 = √+36 = √−36 =



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Aquí tienes dos dados, uno de seis caras y otro de doce. Piensa cómo se pueden inter-pretar los resultados que se obtienen al tirar ambos simultáneamente y observa algunas formas de jugar con ellos.

+4

+6+3+5

+1 +2

–5

–2

–1

–4–6

–3

+2

+1

+3

–3

–4

+6

1. Completa, como en el primer caso, el valor de cada jugada.

+5

+2

−3

−4

+ (+5) = 5

2. Completa los signos que faltan en los dados para conseguir los resultados que se indican en las distintas tiradas.

= −3 = +1 = −4

= +6 = −4 = +1−6

+4

−1

3. Tres jugadores, A, B y C, hacen tres tiradas cada uno y suman los resultados.

Completa la tabla.

1.ª TIRADA 2.ª TIRADA 3.ª TIRADA EXPRESIÓN ARITMÉTICA Y RESULTADO

A −3 −6 +5 (−3) + (+6) + (−5) = −3 + 6 − 5 = 6 − 8 = …

B −2 −4 +3

C +3 +5 −6

¿Quién ha ganado?

Ficha de trabajo A


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4. Los jugadores A y B experimentan el siguiente juego: hacen tandas de cuatro tiradas y van sumando y restando, alternativamente, los resultados.

1.ª TIRADA 2.ª TIRADA 3.ª TIRADA 4.ª TIRADA

A −4 −3 +5 −1

B +6 −2 +1 –4

Escribe la expresión aritmética que reGeja cada tanda de tiradas y calcula los resultados.

Jugador A 8 (−4) − (+3) + (−5) − (−1)

Jugador B 8

¿Cuál de los dos ha ganado?

5. Ahora inventan un juego nuevo, usando solo el dado de doce caras:

– Cada jugador tira cinco veces.– Cada vez que salga un número cuyo valor absoluto

sea mayor que 4, se dobla su valor.– Cada vez que el valor absoluto sea menor que 3, se

multiplica por (–3).– Se suman los resultados de las cinco tiradas.

+2

+1

+3

–3

–4

+6

Así ha sido la primera partida:

Jugador A 8

Jugador B 8

−1 −4 +5 +3 +2

+3 +6 −2 +1 −5

a) Calcula la puntuación de cada uno.

Jugador A 8 (−1) ∙ (−3) − 4 + 5 ∙ 2 + 3 + 2 ∙ (−3)

Jugador B 8

b) Completa los resultados de una jugada en la que se obtiene puntuación cero y los de otra en la que se obtiene (–1). Indica debajo las operaciones que justi*can tu respuesta.

0

−1


UNIDAD 1 Divisibilidad y números enteros

Pág. 1 de 310. Autoevaluación

¿Reconoces cuándo un número es múltiplo de 2, de 3, de 5 o de 10?

1 Selecciona la opción correcta en cada caso:

• Un número es múltiplo de 3 si…

…termina en 3, 6 ó 9.

…la suma de sus cifras es 3.

…la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

• Un número es múltiplo de 5 si…

…termina en 5.

…termina en 0 o en 5.

…la suma de sus cifras es múltiplo de 5.

✮ Si tienes dificultades, repasa la página 20 de tu libro de texto.

2 Tacha los múltiplos de 2, rodea los múltiplos de 3 y subraya los múltiplos de 5.

33 48 100 115 134

252 300 671 801 990


¿Sabes descomponer un número en factores primos?

3 ¿Cuál es la descomposición en factores de cada número?:

a) 24 b) 198


4 Descompón en factores.

a) 30 = b) 45 = c) 84 = d)90 =


2 · 32 · 722 · 5 · 112 · 32 · 11

22 · 32

23 · 323 · 32



¿Sabes calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números?

5 Reflexiona.

36 = 22 · 32 15 = 3 · 5

✮ Encontrarás ayuda en las páginas 24 y 25 de tu libro de texto.

6 Completa y tacha lo que no proceda.

• Para calcular el se toman solamente los factores comunes, elevados al

exponente.

• Para calcular el se toman los factores comunes y los no comunes elevados

al exponente.


7 Calcula.

máx.c.d. (30, 45) = máx.c.d. (84, 90) =

mín.c.m. (30, 45) = mín.c.m. (84, 90) =


8 Sabiendo que: a = 23 · 32 · 11 b = 2 · 34

Calcula:

máx.c.d. (a, b) = mín.c.m. (a, b) =


máximo común divisor

mínimo común múltiplo

máximo común divisor

mínimo común múltiplo

2 · 3 · 53 · 73 · 5 · 72 · 32 · 5

2 · 32 · 3 · 523 · 32 · 32

Señala los productos quesean múltiplos de 15.

Señala los productos quesean divisores de 36.



¿Resuelves expresiones con paréntesis y operaciones combinadas de números enteros?

9 Completa.

a) 5 – 8 = b) 6 – 14 = c) 1 – 9 =

d)3 – (+4) = e) 5 – (–2) = f ) 8 + (–5) =

✮ Encontrarás ayuda en la página 26 de tu libro de texto y en el apartado “7. Expresiones con sumas y res-tas” en esta misma unidad de tu CD.

10 Opera.

a) 18 – (3 – 6 – 10) = b) 16 + (8 – 4 – 7) =

✮ Encontrarás ayuda en la página 26 de tu libro de texto y en el apartado “7. Expresiones con sumas y res-tas” en esta misma unidad de tu CD.

11 Calcula.

a) (–5) · (– 4) · (–2) = b) (+60) : [(– 4) · (+5)] =

✮ Encontrarás ayuda en la página 28 de tu libro de texto y en el apartado “9. Expresiones con operacionescombinadas” en esta misma unidad de tu CD.

12 Resuelve estas operaciones:

a) 12 – 4 · 5 – 15 : (–5) =

b) 5 – 2 · (7 – 10) =

c) 8 + 3 · [11 + 3 · (5 – 9)] =

d)20 – 3 · (4 – 6) – 2 · [3 – 4 · (5 – 7)] =

✮ Encontrarás ayuda en la página 28 de tu libro de texto y en el apartado “9. Expresiones con operacionescombinadas” en esta misma unidad de tu CD.

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LOS NÚMEROS DECIMALES Y LAS FRACCIONES

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Entre dos decimales cualesquiera hay otros números

1. Completa.

2,39 2,4 2,41

Redondear es suprimir las cifras a partir de un deter-

minado orden de , sumando a

la última cifra resultante cuando la primera suprimida

es 5 o que 5.

2. Aproxima. A LAS CENTÉSIMAS:

A LAS MILÉSIMAS:2,738406

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Suma y resta

3. 2,41 3,2

+ 5,028 − 1,283

Multiplicación

4. 2,05

Ò 1,7

División

5. 3,8 0,45

FRACCIONES

Propiedad fundamental de las fracciones

Si se multiplican o dividen los dos términos de

una fracción por el mismo número, se obtiene una

fracción

6. 4

6 =

4 ∙ 2

6 ∙ 2 =

4

6 =

4 : 2

6 : 2 =

Simpli(cación de fracciones

Simpli*car una fracción es sustituirla por otra equi-

valente con los términos más sencillos.

7. 15

20 =

12

30 =

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR

Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Se multiplican los dos miembros de cada fracción por el número que resulta de dividir el

entre el denominador correspondiente.

8. 1

6 ;

4

9 ;

2

3 8 mín.c.m. (6, 9, 3) = 18 8

1 ∙

6 ∙ 3 ;

4 ∙

9 ∙ ;

2 ∙

3 ∙ 8 ; ;

FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

Para pasar una fracción a forma decimal se divide

9. 3

8 = 3 : 8 =

5

12 = =

Los decimales exactos y los decimales periódicos se pueden expresar en forma de fracción.

10. 0,36 = 36

100 = 0,6 =

6

9 = 0,18 =

99 =



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LA COMPRA DEL SÁBADO

Este sábado, Irene y su padre, Jorge, han decidido ir juntos al mercado para hacer la compra de la semana. Jorge se encarga del carro y va haciendo los pedidos, e Irene lleva la cuenta de los gastos.

1. Al llegar fueron al quiosco a comprar una revista que costaba 1,80 ¤. Irene pidió un paquete de chicles e insistió en pagarlos ella. “Papá, ¿cuánto cuesta mi parte?”, le dijo. “Averígualo tú, he entregado un billete de cinco euros y me han devuelto 2,40 ¤”.

¿Cuánto costó el paquete de chicles?

2. Nada más entrar en el mercado se paran en el puesto de frutas y verduras. Irene anota lo que van poniendo en el carro:

PRECIO (¤/kg) CANTIDAD IMPORTE (¤) REDONDEO

TOMATES 2,30 1,240 kg 2,852 2,85

JUDÍAS VERDES 1,85 0,750 kg

PEPINOS 1,50 0,900

PIMIENTOS 0,250 kg 0,400

CALABACINES 1,75 1,500 kg

Completa las casillas que no ha rellenado Irene.

3. Calcula.

a) El peso de la compra en el puesto de verduras.

b) El gasto realizado en ese puesto.

4. Después van a la frutería. Completa la tabla.

PRECIO (¤/kg) CANTIDAD IMPORTE (¤) REDONDEO

NARANJAS 1,25 5,000 5,00

MANZANAS 2,5 kg 4,975 5,98

MELOCOTONES 3,00 2,0 kg

KIWIS 2,69 1,5 kg

En una bolsa van las naranjas, en otra, las manzanas y los melocotones, y en otra, para que no se aplasten, los kiwis.

a) ¿Cuántos kilos pesan las tres bolsas?

b) ¿Qué fracción del peso de la fruta va en la bolsa de las naranjas?

¿Y en la bolsa de los kiwis ?

c) ¿Qué fruta supone la cuarta parte del peso?

Ficha de trabajo A


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5. Si calculas el gasto realizado en la frutería, verás que es, aproximadamente, de 20 ¤.

a) ¿Qué fracción de ese gasto corresponde, aproximadamente, a las naranjas?

b) ¿Y a los melocotones?

c) ¿Qué fruta supone, aproximadamente, la quinta parte del total?

6. Después van al puesto del pescado y al de la carne, en los que había muchas personas espe-rando. Irene, además de anotar las compras, ha cronometrado con su nuevo reloj el tiempo de espera. “Papá, hemos tardado 0,5 horas en comprar la carne y 20 minutos en el pescado”.

a) ¿Qué fracción de hora han estado en la carnicería?

b) ¿Y en la pescadería?

c) Expresa el tiempo de espera en la pescadería con un número decimal, en horas.

7. Por último, cuando se van, Irene comprueba el tique del aparcamiento.

9:52 Hora de entrada

A pagar: 3,32 ¤12:15 Hora de salida

TARIFAS0,50 ¤ la primera hora

Y después … 0,034 ¤/ minuto

¿Es correcta la cantidad que tienen que pagar? Justi*ca tu respuesta.

8. Simpli*ca las fracciones.

4

6

6

18

15

20

25

40

9. Completa.

FRACCIÓN2

5

1

6

22

90

NÚMERO DECIMAL 0,75 0,3 0,3

10. Considera las fracciones 1

2 ;

2

3 ;

3

4 ;

5

6 .

a) Calcula mín.c.m. (2, 3, 4, 6).


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OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMAS Y PRODUCTOS

Suma y resta

Para sumar o restar fracciones, se reducen

previamente a

1. 3

4 +

4

5 −

7

10 =

15

20 +

20 −

20 =

20

Multiplicación

a

b ∙

c

d =

a ∙ c

b ∙ d

2. 2

5 ∙

3

4 =

División

a

b :

c

d =

a ∙ d

b ∙ c

3. 2

5 :

3

10 =

NÚMEROS Y POTENCIAS DE BASE 10

Cálculo de la parte

Para calcular la fracción de una cantidad, esta se divide

entre el denominador y

4. 3

5 de 80 = (80 : 5) ∙ 3 =

Cálculo del total

Para calcular la cantidad total, conocida la parte, se

divide entre el y se multiplica por el

5. 3

5 ∙ C = 48 8 C = (48 : 3) ∙ 5 =

POTENCIAS

Potencia de una fracción

( a

b)n

=an

bn

6. (2

3 )3

=

Potencia de un producto

( a

b ∙

c

d)n

= ( a

b)n

∙ ( c

d)n

7. (45 )2 ∙ (12 )2 = ( 4

5 ∙

1

2)2

=

Potencia de un cociente

( a

b :

c

d)n

= ( a

b)n

: ( c

d)n

8. ( 3

10)3 : (53)3 = ( ...

... :

...

...)3

= Producto de potencias de la

misma base

( a

b)n

∙ ( a

b)m

= ( a

b)n+m

9. (1

2 )2

∙ (12 )3=

Cociente de potencias de la misma base

( a

b)n

: ( a

b)m

= ( a

b)n−m

10. (1

2 )5

: (12 )3 =

Potencia de una potencia

[( a

b)n]m

= ( a

b)n∙m

11. [( 1

2)2]3

=

Potencias de exponente cero

Para a ≠ 0, a0 = 1 (a

b )0

= 1

12. a) 50 = b) (3

7 )0

=

Potencias de exponente negativo

a−n = (1

a )n

(a

b )−n

= (ba )n

13. a) (5)−2 = b) (1

3 )−2

=

NÚMEROS Y POTENCIAS DE BASE 10

Potencias de base 10

103 = 1000; 102 = 100; 101 = 10; 100 = 1

10−1 = 0,1 10−2 = 0,01 10−3 = 0,001

14. a) 1,58 ∙ 105 =

Notación cientí(ca

(una sola cifra)

POTENCIA DE 10 (con exponente entero)

a, b c d… ∙ 10n

b) 3,21 ∙ 10−7 =



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EL NEGOCIO DEL CAFÉ

Este año estás participando en la revista de tu instituto. Te han encargado que escribas un reportaje sobre el mundo de la hostelería y decides pasar toda una tarde en la cafetería de al lado de tu casa junto a Sofía y Carmen, las dueñas.

1. “¿Y cuál de vosotras tarda más tiempo en llegar aquí?”, les preguntas. “Pues yo”, dice Sofía, “necesito 16 minutos para recorrer los 2/3 del trayecto”. “Y yo”, interviene Carmen, “tardo 18 minutos en recorrer los 4/5”. “Oye, ¿no podéis decírmelo de otra forma?”, les comentas. “Venga, no te quejes, tú sabes responder a la pregunta”. ¿Cuál de las dos tarda más tiempo en llegar a la cafetería?

2. El primer cliente de la tarde les pide un café con leche. “Carmen, ¿cuánto café echáis en cada taza?”, le preguntas. “El café ocupa 1/3 de la capacidad de la taza”, contesta.

a) Te gustaría preguntar qué fracción ocupa la leche, pero pre'eres pensarlo tú mismo. ¿Cuál es esa fracción?

b) Le dices a Sofía que ya sabes las fracciones de café y de leche, pero necesitas el dato en centilitros. Ella te dice que una taza contiene 12 cl, y que calcules tú el resto.

3. Después, un cliente compró 2/5 de kilo de café natural y 1/4 de café “mezcla”. “Oye, ¿y de cuál de los dos tipos ha comprado más?”, le preguntas a Carmen. “Te lo digo si me dices qué fracción de kilo y cuántos gramos ha comprado en total”, te responde. Contesta tú a las dos preguntas que os habéis planteado el uno al otro.

4. Al rato reciben una llamada telefónica de otro cliente que les pide, en dos paquetes separa-dos, las siguientes cantidades de café. Ahora, es Sofía la que te pide que les digas cuántos gramos tendrá cada paquete.

PAQUETE A: 2/3 de 3/2 de kg

500 g 1 000 g 750 g

PAQUETE B: 2/3 de 3/4 de kg

400 g 750 g 500 g

Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................4

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5. Un cuarto cliente compra tres bolsas de café de Brasil, una de kilo, otra de medio kilo y otra de tres cuartos de kilo.

a) ¿Qué fracción de kilo lleva en total?

b) Expresa la cantidad anterior con un número decimal.

c) Si esa clase de café se vende a 2,80 ¤ el cuarto, ¿cuánto le costará la compra?

6. Aprovechan un rato en que no tienen clientes para resolver contigo algunas dudas. “Oye, ¿por qué no me dices cuánto pesan 32 paquetes de café de 1/4 de kg cada uno?”, te pre-

7. Comprobando una caja de infusiones (té, menta, manzanilla), Sofía observa que se han roto 12 paquetes, que representan las 2/7 partes del total. “¿Cuántos paquetes había en la caja?”, le pregunta Carmen. Ayuda a Sofía con la respuesta.

8. “Por cierto, Sofía, ¿cuánto dinero ganasteis ayer?”, preguntas. “Ayer, déjame pensar... Ah, sí. Ayer ganamos 520 euros”, te contesta. “¿Y hoy?”. “Hasta ahora hemos vendido 1/5 más que ayer; haz tú la cuenta”.

9. La señal luminosa de la cafetera se ha encendido, porque el agua está en su nivel mínimo: 2/10 de su capacidad. Carmen le añade 4 litros para llenarla. “Y antes de que me lo pregun-tes tú, lo hago yo: ¿cuántos litros de agua hay en el depósito lleno?”.

10. Te 'jas en que en el termo de la leche caliente caben 4 litros. Sofía te dice que cada vaso de leche tiene una capacidad de 1/8 de litro. Carmen te dice que hasta ahora han servido 24 vasos de leche. Ante tanto dato, solo te queda preguntar cuántos litros les quedan en el termo, pero como sabes que no te van a contestar, haces tú la cuenta. ¿Cuántos litros de leche quedan?


UNIDAD 3 Las fracciones


¿Conoces y aplicas los distintos conceptos de fracción?

1 Completa.

de 161 = de = 30

= 0,6 =

= 0,)6 =

✮ Si tienes alguna dificultad, mira la página 59 de tu libro de texto.

¿Reconoces fracciones equivalentes?

2 Identifica, entre estas fracciones, tres parejas de equivalentes:

= = =

✮ En la página 60 de tu libro de texto tienes información que te puede ayudar.

3 Simplifica.

= =

✮ En la página 60 de tu libro de texto puedes encontrar alguna ayuda.

4 Completa.

= =


144615

25

100150

915

315

2149

2233

210

1015

37

56

35

37

37

6

6

Númerosdecimales

6

6

Fracciónirreducible



¿Sumas y restas fracciones?

5 Calcula.

+ – = – + =

1 – + = + – 1 =


¿Multiplicas y divides fracciones?

6 Calcula y, si es posible, simplifica.

· = · =

: = : =

3 · = 2 : =

· 3 = : 4 =

✮ En las páginas 64 y 65 de tu libro de texto puedes encontrar ayuda.

7 Opera.

= =

✮ Si tienes alguna dificultad, mira las páginas 64 y 65 de tu libro de texto.

1—53—5

1—34—5

23

25

85

16

615

310

34

25

310

59

15

23

920

715

16

34

310

45

34

23

56

29



¿Resuelves expresiones de números fraccionarios con operaciones combinadas?

8 Calcula.

+ – + = · – =

: + = – · 1 – =

– · 1 – – = 5 · – – · – · – 1 =

✮ En la página 65 de tu libro de texto tienes ejercicios resueltos que te pueden ayudar.

¿Conoces y aplicas las propiedades de las potencias con números fraccionarios?

9 Completa.

36 : 34 = 3 52 · 5 = 56 (3 )4 = 38

✮ En las páginas 70, 71 y 72 de tu libro de texto tienes la ayuda necesaria para poder resolver este ejercicio.

10 Elige la opción correcta en cada caso.

2–3 =

70 =

10–1 =

✮ Si tienes alguna dificultad, mira las páginas 70, 71 y 72 de tu libro de texto.

11 Simplifica estas expresiones:

= : =

✮ En las páginas 70, 71 y 72 de tu libro de texto tienes problemas resueltos que te pueden ayudar.

1x5

1x2

a3 · a5

a8

–109100,1

70017

61/8–8–3

])45(1

412[5

2)12

35(])3

423([2

356

)13(1

323)1

312(6

5

)23

34(6

5)16

14()1

223(



¿Diferencias los distintos tipos de problemas con números fraccionarios y los resuelves?

12 La familia Riveiro adquiere un frigorífico que cuesta 666 €, pagando 5/9 al contado y el resto en 8 plazossin intereses. ¿Cuánto pagará en cada plazo?

Solución:

✮ En las páginas 67, 68 y 69 de tu libro de texto puedes encontrar ejemplos similares.

13 Marta ha gastado 3/10 del dinero que tenía en un disco, y aún le quedan 21 €. ¿Cuánto costaba el disco?

Solución:


14 Un quiosco ha vendido esta mañana 3/5 del total de los diarios recibidos, y esta tarde, 1/6 (también del to-tal). Si le quedan por vender 21 periódicos, ¿cuántos había recibido?

Solución:

✮ En las páginas 67, 68 y 69 de tu libro de texto tienes problemas resueltos similares.

15 Una señora sale de compras y gasta en un vestido 2/3 de su dinero, y en el mercado, 1/4 de lo que le queda-ba. Si aún tiene 24 €, ¿con cuánto dinero salió de casa?

Solución:

✮ En las páginas 67, 68 y 69 de tu libro de texto puedes encontrar ayuda.

16 El paso de un caminante equivale a 7/8 de metro. ¿Qué distancia recorrerá en 1 000 pasos?

Solución:


17 El paso de un caminante equivale a 7/8 de metro. ¿Cuántos pasos necesita para recorrer 700 metros?

Solución:

✮ En las páginas 67, 68 y 69 de tu libro de texto tienes problemas resueltos que te pueden ayudar.

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PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

RAZONES Y PROPORCIONES

La razón de los números a y b es la fracción a/b. Una proporción es la igualdad de dos razones:

a

b =

c

d

1. ¿Cuál es la razón de 12 y 18?

2. ¿Forman proporción 4/6 y 10/15?

Cálculo del término desconocido de una propor-ción

a

b =

c

d 8 a · d = b · c 8 d =

b · c

a

3. Calcula x.

4

14 =

6

x 8 x =

PROPORCIÓN DIRECTA

Cuatro kilos cuestan 12 ¤. ¿Cuánto cuestan siete kilos?

RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD

4 kg 8 12 ¤1 kg 8 12 : 4 = 3 ¤7 kg 8 3 ∙ 7 = 21 ¤

RESOLUCIÓN POR REGLA DE TRES

PESO (kg) COSTE (¤)

4 12

7 xLa proporción:

4

7 =

12

x

4. ¿Cuánto cuestan 10 kilos?

PROPORCIÓN INVERSA

Tres operarios tardan en hacer un trabajo 40 minutos. ¿Cuánto tardan ocho operarios?

RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD

3 operarios 8 40 min1 operario 8 40 ∙ 3 = 120 min8 operarios 8 120 : 8 =15 min

RESOLUCIÓN POR REGLA DE TRES

PESO (kg) COSTE (¤)

3 40

8 xLa proporción:

3

8 =

x

40

5. ¿Cuánto tardan 10 operarios?

PORCENTAJES

Un porcentaje indica una proporción. Un porcentaje se asocia a una fracción y también a un número decimal.

Para calcular, el 15 % de C: 100

C =

15

x 8 x =

15

100 ∙ C = 0,15 ∙ C

6. ¿Cuál es el 15 % de 340?

7. ¿Qué porcentaje se asocia a la fracción 3/4?

8. ¿Qué porcentaje se asocia al decimal 0,08?

Cálculo del total

Total 8 x

Porcentaje 8 15 %

Parte 8 123

100

x =

15

123 8 x =

Cálculo del porcentaje (%)

Total 8 820

Porcentaje 8 x

Parte 8 123

820

100 =

123

x 8 x =

INTERÉS BANCARIO

Un capital C colocado al r % anual durante t años produce un interés I = C · r · t

100 .

9. ¿Qué interés producen 25 000 ¤ colocados al 3 % durante medio año? I = 25 000 · 3 · 0,5

100 =



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................5

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LA FÁBRICA DE AUTOMÓVILES

Tu padre trabaja en una fábrica de coches, en el departamento de control de calidad. Su labor es supervisar todas las fases de la producción, buscar fallos y optimizar los procesos.

Un fin de semana te lleva a que veas la fábrica y sepas cómo trabaja. Disfruta la visita.

1. Lo primero que te enseña es el taller de motores. En él veis que están probando un nuevo modelo. En estos momentos el motor va a 3 000 revoluciones por minuto. “Papá”, le pregun-tas, “y si funciona 4 minutos, ¿cuántas revoluciones dará?”. “Mira, mejor me ayudas a rellenar esta tabla que necesito para un informe, y lo vemos juntos”, te contesta.

TIEMPO (MINUTOS) 0,5 1 2 4 8 10 30

N.º DE REVOLUCIONES 3 000

“Oye, papá, ¿son el número de revoluciones y el tiempo magnitudes directa o inversamente proporcionales?”, le preguntas. “¿Tú qué crees?”, te reta.

2. Luego pasáis a la cadena de montaje. Allí, tu padre tiene que controlar unos tiempos. Com-probáis que los dos obreros tardan 6 minutos en montar las ruedas de un coche. “A ver, joven, ¿cuánto tiempo tardaría un obrero en hacer el mismo trabajo? ¿Y si fueran cuatro obreros?”, te pregunta tu padre.

3. Tu padre te cuenta que han fabricado un prototipo que consume 6 litros de gasolina cada 100 km, circulando a 90 km/h. Te pide que completes una tabla de datos para pasársela a los ingenieros.

ESPACIO (km) 25 100 150 500 600

CONSUMO (LITROS) 3 18

4. Para que veas el nuevo prototipo, vais al circuito de la fábrica. Allí, el coche rueda a 100 km/h. A esta velocidad, ha tardado 3 minutos en dar una vuelta completa a la pista. Uno de los técnicos está rellenando un cuadrante con los tiempos previsibles en dar una vuelta a la pista según la velocidad del coche. Ayuda al técnico a completar la tabla.

VELOCIDAD (km/h) 60 75 100 120 150 200

TIEMPO (MINUTOS) 3

Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................5

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5. Más tarde os pasáis por el departamento de plani'cación. Os dicen que acaban de recibir un pedido de 4 200 coches para exportación, y necesitan que tu padre haga un estudio de la producción.

a) Sabiendo que la fábrica trabaja con dos turnos diarios de 7 horas y que tiene una capaci-dad de producción de 25 coches a la hora, dile a tu padre cuántos días tardarían en cubrir el pedido.

b) Mientras haces los cálculos, vuelven a llamar diciendo que quieren 600 coches más. ¿Cuán-tas horas al día deberá trabajar cada turno para cubrir el nuevo pedido en el mismo tiempo previsto para el pedido anterior?

6. Por último, os pasáis por el departamento de ventas. El encargado os dice que, el mes ante-rior, las cantidades de furgonetas y de turismos enviados a tiendas han estado en proporción de 3/7, y que en total se vendieron 9 000 vehículos.

a) ¿Qué porcentaje de los vehículos que salieron de la fábrica son furgonetas?

b) ¿Cuántas furgonetas y cuántos turismos se vendieron?

7. El jefe de ventas comenta con tu padre que los 9 000 vehículos del mes pasado suponen unos buenos resultados, pero que este mes esperan vender un 10 % más. ¿Cuántos vehículos esperan vender este mes?


UNIDAD 4 Proporcionalidad y porcentajes


¿Diferencias magnitudes directa e inversamente proporcionales?

1 Indica, para cada par de magnitudes, si son directamente proporcionales (D), inversamente proporcionales(I), o no proporcionales (N).

— El tiempo que está encendida una bombilla y el consumo energético que ocasiona.

— La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en hacer un determinado recorrido.

— El tiempo que dura una película y el precio de la entrada.


¿Aplicas el método de reducción a la unidad y la regla de tres para resolver problemas de proporcionali-dad?

2 Resuelve por reducción a la unidad y por regla de tres.

Ocho trabajadores siegan un campo en 5 horas. ¿Cuánto tardarían en hacer la misma tarea 10 trabajadores?

POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD POR REGLA DE TRES

Solución: horas Solución: horas

✮ En las páginas 88 y 89 de tu libro de texto tienes información que te puede ayudar.

D I N

D I N

D I N



3 Resuelve por reducción a la unidad y por regla de tres.

El dueño de un supermercado ha abonado 180 € por 15 cajas de pastas. ¿Cuánto deberá pagar por un nuevopedido de 13 cajas?

POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD POR REGLA DE TRES

Solución: € Solución: €

✮ En las páginas 85 y 86 de tu libro de texto puedes encontrar alguna ayuda.

4 De 6 000 kg de uva se han obtenido 4 350 litros de mosto. ¿Qué cantidad de uva será necesaria para conse-guir 5 800 litros de mosto?

Solución: kg

✮ Si tienes alguna dificultad, consulta las páginas 85, 86 y 87 de tu libro de texto.

5 Un coche, a una velocidad de 100 km/h, tarda 45 minutos en ir de la población A a la población B. ¿Cuán-to tardará en cubrir el mismo recorrido un camión que va a 60 km/h?

Solución: h min

✮ En las páginas 88 y 89 de tu libro de texto tienes información que te puede ayudar.



¿Resuelves situaciones de proporcionalidad compuesta?

6 Cien terneros de engorde consumen 2 800 kg de alfalfa en una semana. ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitanpara alimentar a 60 terneros durante 15 días?

Solución: kg

✮ En las páginas 90 y 91 de tu libro de texto, puedes encontrar ayudas.

7 Un ganadero necesita 750 kilos de pienso para alimentar a 50 vacas durante 10 días. ¿Durante cuántos díaspodrá alimentar a 40 vacas con 1 800 kilos de pienso?

Solución: días


¿Asocias un porcentaje a una fracción o a un número decimal? ¿Te apoyas en eso para calcular porcentajes?

8 Reflexiona y completa.

• ¿Qué fracción equivale al 30%? ..........................................................................................

• ¿Por qué número decimal hay que multiplicar para calcular el 30%? .............................

• Calcula el 30% de 1 400 ................................................................................................

✮ En las páginas 92 y 93 de tu libro de texto tienes ejemplos que te pueden ayudar.

9 Completa la tabla.

✮ En las páginas 92 y 93 de tu libro de texto tienes la ayuda necesaria para poder resolver este ejercicio.

PORCENTAJE FRACCIÓN NÚMERO DECIMAL

13%

%1—4

% 0,01



10 Calcula.

15% de 40 = 75% de 80 = 6% de 300 = 20% de 45 =


11 Completa.

• Para calcular el 50% se divide entre .

• Para calcular el 25% se dividide entre .




✮ Vuelve a mirar las páginas 92 y 93 de tu libro de texto.

¿Diferencias y resuelves problemas de porcentajes directos e inversos?

12 En una clase de 25 alumnos y alumnas, hoy han faltado 4. ¿Qué porcentaje ha faltado?

Solución: %

✮ En la página 94 de tu libro de texto puedes encontrar ejemplos similares.

13 En una población de 1 780 habitantes se ha vacunado contra la gripe un 15%. ¿Cuántos habitantes se hanvacunado?

Solución: habitantes


14 Un hospital tiene 185 camas ocupadas, lo que supone el 74% de las camas disponibles. ¿De cuántas camasdispone el hospital?

Solución: camas

✮ En la página 94 de tu libro de texto tienes problemas resueltos similares.



¿Resuelves problemas de aumentos y disminuciones porcentuales?

15 Una aldea que tenía hace 5 años 650 habitantes ha perdido en el último lustro el 14% de su población.¿Cuántos habitantes tiene en la actualidad?

Solución: habitantes

✮ En las páginas 95 y 96 de tu libro de texto puedes encontrar ayuda.

16 ¿Cuánto pagaremos por un traje que costaba 280 € si está rebajado un 15%?

Solución: €


¿Resuelves problemas de interés bancario?

17 Calcula el interés producido por un capital de 12 500 € colocado al 2,8% durante 3 años.

Solución: €

✮ En la página 98 de tu libro de texto tienes problemas resueltos que te pueden ayudar.

18 ¿Qué interés producen 400 € colocados al 8% durante 6 meses?

Solución: €


19 Un comerciante consigue un crédito de 20 000 €, al 7%, con el compromiso de saldarlo en un solo pago alcabo de dos años. ¿A cuánto ascenderá dicho pago?

Solución: €


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1. Traduce.

a) Expresa en el sistema binario el número que, en el sistema de numeración decimal se escribe 84.

b) El número 110011 está escrito en el sistema binario. Exprésalo en el sistema decimal.

2. Escribe.

a) Todos los divisores de 70.

b) Los múltiplos de 13 comprendidos entre 100 y 150.

c) Un número primo comprendido entre 75 y 80, si lo hay.

3. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 75 y 90.

4. Calcula.

a) 6 − 5 + 8 − 10 − 4 b) 7 (−3) − 5 (−2) + (−6)(−4)

c) 5 [15 + 3 (6 − 10)] d) 18 : (5 − 11) − [(6 − 8) : (−2) − 5]

5. Reduce a una sola potencia.

a) x2 · x5 b) x8 · x6

c) x : x5 d) (x2)4

e) (x6 : x3) · x2 f) x4 : (x2)3

6. Transforma.

a) 12 minutos en horas.

b) 0,12 horas en minutos y segundos.

7. Calcula.

a) 0,25 · 2,8 b) 0,043 · 104

c) 0,2 : 0,04 d) 2,7 : 0,75

8. Calcula y aproxima a las centésimas.

a) 0,092 b) 7 : 6 c) 13 : 9

9. Calcula.

a) 3/7 de 161 b) 1/2 de 3/4

c) La expresión decimal de 3/8.

d) La fracción irreducible equivalente a 24/36.

Prueba de evaluación de unidades 1 a 5

Nombre y apellidos: ...................................................................................................................................................................................

Curso: ....................................................................................................... Fecha: ...................................................................................

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10. Calcula.

a) 3

10 +

2

5 −

1

4 b) (1 −

3

7 ) − ( 1

2 −

1

14 )11. Calcula.

a) 3 ∙ 1

6 b) 6 :

2

5

c) 1

2 ∙

4

3 d)

3

5 :

7

10

12. Calcula x en cada caso.

a) 14

63 =

18

x b)

x77

= 39

91

13. Una dosis de cierto medicamento contiene 15 miligramos de principio activo. ¿Cuántas dosis se pueden preparar con 150 gramos de dicho principio activo?

14. Marta ha necesitado 140 pasos para recorrer 100 metros. ¿Qué fracción de metro avanza en cada paso?

15. En una carrera ciclista han tomado la salida 115 corredores y durante la prueba han aban-donado 2/5 de los participantes. ¿Cuántos corredores han llegado a la meta?

16. Un agricultor ha arado por la mañana 2/5 de su campo, y por la tarde, 2/3 de lo que quedaba.

a) ¿Qué fracción del campo ha arado en el día?

b) Si la parte sin sembrar tiene una superficie de 2 400 m2, ¿cuál es la superficie total de ese campo?

17. Por un melón que pesaba tres kilos y cuarto he pagado 4,55 �. ¿Cuánto pagaré por otro melón de dos kilos y medio?

18. Seis operarios de una empresa de limpieza arreglan un polideportivo en 10 horas. ¿Cuán-to tardarían en hacer el mismo trabajo 8 operarios?

19. Un albañil, un fontanero y un electricista han presentado una factura de 3 600 � por un trabajo realizado. El albañil ha dedicado 18 horas, el fontanero, 15 horas, y el electricista, 12 horas. ¿Cuánto corresponde a cada uno, si se valora al mismo precio la hora de cada especialidad?

20. De los 80 000 kilos de uva que se espera recolectar de una viña, ya se han recogido 30 000. ¿Qué porcentaje de la cosecha esperada se ha recogido?

21. Un jersey que costaba 88 � se ha rebajado un 15 %. ¿Cuánto cuesta ahora?

22. Hemos pagado 12 � por una camiseta rebajada un 20 %. ¿Cuánto costaba sin rebaja?


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