problema potencial delta
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Escuela de Física, UNAH Mecánica Cúantica II
22 de Febrero de 2011
Autor: Jonnathan López
Cuenta: #20022004347
PROBLEMA REFERENTE A POTENCIAL DELTA DE DIRAC
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PROBLEMA Una partícula no relativista de masa se mueve en
una dimensión bajo la influencia de un potencial dado por , donde es una constante y es la función delta de Dirac. Encuentre:1. La función de onda correspondiente al autovalor de la
energía del estado base o fundamental 2. La ecuación que relaciona el correspondiente
autovalor de la energía con la constante
( ) [ ( ) ( )]V x x a x a 0 ( )x
m
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SOLUCIÓN Recordemos la definición de la función :( )x
0 , 0( )
, 0
xx
x
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SOLUCIÓN Entonces, de forma análoga:
0 , 0 0 ,( ) ( )
, 0 ,
x a x ax a x a
x a x a
0 , 0 0 ,( ) ( )
, 0 ,
x a x ax a x a
x a x a
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SOLUCIÓN De modo que tiene
la siguiente forma:( ) [ ( ) ( )]V x x a x a
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SOLUCIÓN Deseamos resolver la ecuación de
Schrodinger:
2
22
dV E
m dx
2
2[ ( ) ( )]
2
dx a x a E
m dx
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SOLUCIÓN Claramente identificamos tres intervalos
, y . Es un hecho que para los intervalos
en cuestión de modo que la ecuación queda:
x a a x a x a
( ) 0V x
2
2
0
[ ( ) ( )]2
dx a x a E
m dx
2
2 2
2d mE
dx
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SOLUCIÓN Hagamos
y supongamos por el momento (bound state) de manera que sea real y positiva. Finalmente:
22
2 2mE mE
0E
22
2 2
2d mE
dx
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SOLUCIÓN La solución general para esta ecuación
diferencial lineal es bien conocida y tiene la forma:
Veamos que sucede con esta solución para lo intervalos en cuestión…
Para el segundo término tiende a infinito a medida
de modo que debemos escoger
( ) x xx Ae Be
x ax 0B
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SOLUCIÓNLa solución entonces tiene la forma:
Para no hay alguna tendencia a la cual podamos sacar provecho de modo que:
Para el primer término tiende a crecer indefinidamente cuando de modo que escogemos
( ) xx Ae , x a
a x a
( ) x xx Be Ce , a x a
x a x
0A
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SOLUCIÓN Así obtenemos:
Resumiendo:
( ) xx De , x a
( )
( ) ( )
( )
x
x x
x
Ae x a
x Be Ce a x a
De x a
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SOLUCIÓN Es importante recordar en este punto el
teorema siguiente (el cual se menciona en problema 2.1c de Griffiths 1era edición, ver también Pozo Cuadrado Finito.)
TEOREMA Si es una función par, esto es ,
entonces puede siempre tomarse como par o impar.
( )V x ( ) ( )V x V x ( )x
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SOLUCIÓN Soluciones pares:
Es claro que para que la función sea par:
De modo que , además…
( )
( ) ( )
( )
x
x x
x
Ae x a
x Be Ce a x a
De x a
0 0( ) ( )x x x xx a a xx Be Ce x Be Ce
B C
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SOLUCIÓN
Así que . Entonces de forma simplificada las soluciones pares son:
( ) ( )x xx a x ax Ae x De
D A
( )
( ) ( ) ( )
( )
x
x x
x
Ae x a
x B e e a x a
Ae x a
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SOLUCIÓN Recordemos las condiciones de frontera:
Aplicando continuidad en :
Derivada discontinua en :
1. siempre es continua
2. es continua excepto en los puntos donde el potencial es infinitod
dx
a
2 1 (1)a a a aAe B e e A B e
a
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SOLUCIÓN
O bien…
Sustituyendo (1) en (2):
2
2( ) :
d ma
dx
22 2
2 21a a a a am m
Ae B e e Ae A B e A
22
21 1 (2)a m
B e A
2 2 2 22 2 2
2 2 21 1 1 1 1 1a a a am m m
B e B e e e
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SOLUCIÓN Más aún:
Esta es la ecuación trascendental para sabiendo que:
22 2
2 21 1 am m
e
2 22 21 1a ae e
m m
E
2mE
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SOLUCIÓN Soluciones impares:
Nuevamente, para que la función sea impar:
De modo que , además
( )
( ) ( )
( )
x
x x
x
Ae x a
x Be Ce a x a
De x a
0 0( ) ( )x x x xx a a xx Be Ce x Be Ce
C B
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SOLUCIÓN
Así que . Entonces de forma simplificada las soluciones impares son:
( ) ( )x xx a x ax Ae x De
D A
( )
( ) ( ) ( )
( )
x
x x
x
Ae x a
x B e e a x a
Ae x a
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SOLUCIÓN Condiciones de frontera:
Aplicando continuidad en :
Derivada discontinua en :
1. siempre es continua
2. es continua excepto en los puntos donde el potencial es infinitod
dx
a
2 1 (3)a a a aAe B e e A B e
a
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SOLUCIÓN
O bien…
Sustituyendo (3) en (4):
2
2( ) :
d ma
dx
22 2
2 21a a a a am m
Ae B e e Ae A B e A
22
21 1 (4)a m
B e A
2 2 2 22 2 2
2 2 21 1 1 1 1 1a a a am m m
B e B e e e
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SOLUCIÓN Más aún:
Esta es la ecuación trascendental para para las soluciones impares, donde:
22 2
2 21 1 am m
e
2 22 21 1a ae e
m m
E
2mE
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BIBLIOGRAFÍA Griffiths, David, “Introduction to Quantum
Mechanics”(1st ed.), New Jersey, United States, 1995.
Griffiths, David, “Introduction to Quantum Mechanics”(2nd ed.), New Jersey, United States, 2005.
Wikipedia, “Delta Potential"http://en.wikipedia.org/wiki/Delta_potential (21 Feb 2011).