problema elástico resuelto numérica y analíticamente. contraste entre los dos métodos

1/9 RESOLUCIN ANALTICA

Esteban Martn Moreno --- Grado en Ingeniera Mecnica --- Grupo 1

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5/9 La presentacin anterior corresponde a los resultados para la solucin en tensiones y para la solucin en desplazamientos del problema propuesto. Lo que hago en primer lugar esusar la solucin para el problema 2 que se plantea en la hoja de problemas del tema 5 (Ver Ev3.us.es, Elasticidad y resistencia de materiales), para resolver analticamente el problema que se tiene en la prctica, teniendo en cuenta que para este, la distribucin de tensiones sobre la cara exterior en la tuberia es nula. Usando como datos los que se establecen en la hoja de prcticas segn mi propio DNI, calculo la expresin analtica del tensor de tensionesy del campo de desplazamientos en todos los puntos de la tuberia, ya para el problema de la prctica. Hecho esto, evaluo las componentes rr, y zz del tensor de tensiones, que son las nicas no nulas, para los puntos en r=0,57 m. Note que para todos estos puntos las componentes del tensor de tensiones son las mismas, al no existir dependencia mas que de la coordenada r. Los resultados que obtengo para el valor de tales elementos del tensor son los resultados para las tres tensiones principales en cada uno de esos puntos, y seran:

rr = -184225,1055 Pa = 3594751,421 Pa zz = 1023157,907 Pa

Usando la expresin del campo de desplazamientos, se tiene que, para tales puntos: ur = 9,074051373 10-3 mm (desplazamiento en al direccin radial u = 0 mm uz = 0 mm El objetivo de todos estos clculos es compararlos con los que nos da un programa que resuelve el mismo problema de forma aproximada mediante mtodos numricos, concretamente, el programa SolidWorks. Lo que hacemos en dicho programa es modelar el slido que se tiene en el problema, y despus imponerle en el mismo programa las condiciones de contorno tanto en tensiones como en desplazamientos. Hecho esto el programa resolvera el problema elstico para tensiones y desplazamientos que se genera, de forma aproximada. En cada punto en el que consideremos una solucin dada por el programa, las tensiones que el programa ha calculado en dicho punto son las tensiones principales en dicho punto, que deberian aproximarse en mayor o menor medida (dependiendo del nivel de exactitus y precisin con que el programa aproxime la solucin). Asimismo, los desplazamientos tambien deberan concordar (que no coincidir) con los calculados analticamente. A continuacin se presentan cuatro imgenes de los resultados dados por el programa.

(TRES IMGENES CORRESPONDEN AL CLCULO DE LAS TRES TENSIONESPRINCIPALES EN ALGUNOS PUNTOS DEL SLIDO, Y OTRA IMAGEN CORRESPONDE AL CLCULO DE UN DESPLAZAMIENTO, EN LA DIRECCIN Y, SE ENTIENDE QUE DE UN SISTEMA CARTESIANO)


6/9 RESOLUCIN APROXIMADA (en algunos puntos del slido) TENSIN PRINCIPAL 1

De los tres nodos para los que se ha hecho el clculo de la tensn principal 1, nos centraremos en el nodo 14704 de los tres que se indican, que es un punto en r=0,57 m. La tensin principal 1 en este punto deberia aproximarse al valor de la componente , que es la mayor de las tres componentes del tensor de tensiones en los puntos de r=0,57 m (y que ya dijimos que eran las tensiones principales en dichos puntos). Comparemos los valores: = 3594751,421 Pa (tensin principal 1 analtica, en dicho punto) P1 = 3611466,3 Pa (tensin principal 1 aproximada, en dicho punto) Dados tales valores podemos concluir que el programa aprxima esta tensin principal con un error del 0,5% (es una aproximacin relativamente buena). Pasamos al anlisis de la tensin principal 2 en el mismo punto.


7/9 TENSIN PRINCIPAL 2 El programa nos da el siguiente resultado:

De nuevo nos centramos en el nodo sealado como 14704. En este punto, que es uno en r = 0,57 m, se tiene una tensin principal 2 aproximada, queen principio deberia concordar con la tensin zz calculada analticamente en los puntos de r=0,57 m. Comparemos los valores de ambas tensiones principales. Tales valores son los siguientes: zz = 1023157,907 Pa (tensin principal 2 en el punto calculada analticamente) P2 = 955724,4 Pa (tensin principal 2 en el punto calculada aproximadamente) El error cometido en la aproximacin de esta tensin que hace el programa es de un valorcercano al 6,6%. Esta aproximacin que hace el programa es relativamente mala para esta tensin principal. Esteban Martn Moreno --- Grado en Ingeniera Mecnica --- Grupo 1

8/9 TENSIN PRINCIPAL 3

El resultado dado por el programa es el siguiente:

Esta tensin principal es la menor de todas en los puntos en los que se ha calculado. Analizando el mismo nodo que en los casos anteriores, marcado en el programa como nodo 14704, observemos el valor de la tensin principal 3, que ha calculado numricamente el programa. Este valor debera ser aproximadamente el de la tensin rr , valor que hemos calculado ya analticamente para los puntos de r=0,57 m, como es el nodo 14704. Entonces, comparamos los valores:

rr = -184225,1055 Pa (Tensin principal 3 analtica en el punto considerado) P3 = -190145,5 Pa (Tensin principal 3 aproximada en el punto considerado)

El error aproximado que se ha cometido es de un 3,2%. La considerara una aproximacinrelativamente mala, aunque el considerar una aproximacin buena o mala depende del error con el que busquemos hacerla realmente.


9/9 DESPLAZAMIENTO

Con el programa se calcul un desplazamiento en las direccin cartesianas para varios puntos. Yo tom un pantallazo nicamente del resultado dado para el desplazamiento sobre la direcci Y. Sin embargo, no veo como situar este sistema de referencia cartesiano respecto de la tuberia, y teniendo en cuenta que yo he calculado un desplazamiento en la direccin radial, no podr compararlo con el dado por el programa. Si que presento la imagen asociada al resultado que nos daba el programa para el cclculo del desplazamiento, que es como sigue:


problema elástico resuelto numérica y analíticamente. contraste entre los dos métodos

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