problema de los tres puntos
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Problema de los tres puntos:
El problema de Pothenot también conocido como problema de tres puntos se basa en
la posición de puntos referidos a una red de triangulación.
La ventaja de resolver el problema de Pothenot es que ya se tiene ángulos conocidos
como ser los lados de la red y los ángulos internos de dicha red.
Este procedimiento es aplicable especialmente cuando el punto por situar esta muy
alejado de los puntos conocidos o estando cerca las medidas de las distancias a esos
puntos conocidos son difíciles de hacer o resultan imprecisas por obstáculos en el
terreno.
Se entiende por problema de tres puntos o Pothenot a la forma metodológica de
determinar el posicionamiento de cualquier punto que este dentro del área circundante
del levantamiento topográfico realizado en base a una triangulación.
Con frecuencia se presenta en los trabajos topográficos la necesidad de establecer las
coordenadas exactas de un punto en el área de levantamiento, por ello el problema de
Pothenot es útil en la resolución rápida y exacta del posicionamiento de cualquier
punto.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE TRES PUNTOS:
Existen dos métodos:
Solución Analítica
Solución Grafica
1. SOLUCIÓN ANALÍTICA
Entre los métodos analíticos están: Método De Las Cotangentes,
Método De La Función Auxiliar y Método De Las Coordenadas Del
Punto.
Se ubica los lados de apoyo de la red de triangulación que van a servir
para resolver el problema, determinando los tres vértices consecutivos
de apoyo.
Ubicar exactamente el punto P en la posición que desea determinar
respecto a la red de triangulación.
Haciendo estación en el punto P y trazando alineamientos en los
vértices de apoyo se forman dos direcciones desconocidas que se
denominan P1 y P2 cuyos valores los debemos determinar en campo
siguiendo uno de los métodos conocidos el de reiteración y repetición y
cinco lecturas como mínimo para cada ángulo.
Se realizara el procedimiento en gabinete que consta de los siguientes
puntos.
MÉTODO COTANGENTES:
X+Y=R=360 °−(M+P1+P2)
Ctg X=Ctg R( mSen P2n SenP1 .cosR
+1)
CtgY=CtgR ( n SenP1msin P2 .cosR
+1)MÉTODO DE LA FUNCIÓN AUXILIAR
X+Y2
=180−12(M+P1+P2)
Tomando el ángulo auxiliar L, tal que:
Tg L=m. sin P2n .sin P1
Tg( X−Y2 )=Tg( X+Y
2 ) .Ctg(45 °+ L)
MÉTODO DE LAS ECUACIONES DE LAS COORDENADAS DEL
PUNTO P
K=Y cCotg P2+Xc−X A+Y ACotg P1X cCotg P2−Y c+Y A+X ACotg P1
X=Y C (K+Cotg P2)+XC(1−KCotg P2)
(1−k2 )
Y=KX
Ejemplo:
Calcular las coordenadas del punto P:
a. DATOS:
AB=m=71.258
BC=n=45.791
A :N=1800 ; E=1900
B:N=1728.840 ;E=1896.271
C :N=1726 .605 ; E=1850 .534
α=P1=49 °29 ´ 19.6 ´ ´
β=P2=28 ° 35 ´ 29.6 ´ ´
AzAB=183°
b. COORDENADAS:
A .B ,C , P
Resolucion:
cos=m2+n2−AC2
2×m×n
Calculando AC=88.508
cosM=−0.101
M=95 ° 47 ´ 49.18 ´ ´
Cálculo de los ángulos: X, Y, por la fórmula de cotangente
X+Y=R=360 °−(M+P1+P2)
X+Y=R=360 °−(95 ° 47 ´ 49.18´ ´+49 ° 29´ 19.6 ´ ´+28 °35 ´ 29.6 ´ ´ )
X+Y=R=186 ° 7 ´ 21.62 ´ ´
Ctg X=Ctg R( 71.258×Sen(28 ° 35´ 29.6 ´ ´ )45.791×Sen(49° 29 ´ 19.6 ´ )× cos186 °7 ´ 21.62 ´ ´
+1)Ctg X=340101/−340615
2.001
2. SOLUCIÓN GRAFICA
De los métodos gráficos se tiene: Método Del Llano, Método Del Catastro Urbano De Leipzig y Método De Bessel.Método de Bessel
Método del Catastro de Leipzig o Método de las Perpendiculares
PROBLEMA DEL POTHENOT AMPLIADO
Con frecuencia al tomar puntos auxiliares, no solamente es necesario
tomar un solo punto auxiliar sino que se hace menester tomar dos o
más puntos, tal como lo indica la siguiente figura. Se denomina
Pothenot Ampliado, por ser mas de uno los puntos a determinar; los
métodos de solución pueden ser gráficos o analíticos.
SOLUCIONES ANALITICAS AL PROBLEMA DEL POTHENOT
AMPLIADO
METODO DE LAS COTANGENTES:
Sea la siguiente figura:
Distancias:
AB=m
BC=n
Ángulos:
M ,P1 ,P2 ,Q1 ,Q 2
Incógnitas:
X ,Y
En el polígono: A B C Q P, se tiene:
X+Y=R=540 °−(M+P1+P2+Q1+Q2 )… ..(I )
Asi mismo:
CotgX=CotgR( mSenP1SenQ2nSen P1SenQ1CosR
+1)CotgY=CotgR( nSen P1SenQ1
mSenP2SenQ 2CosR+1)
METODO DE LA FUNCION AUXILIAR:
Del polígono A B C Q P se tiene:
X+Y2
=270 °−12(M+P1+P2+Q1+Q2)
Adoptando el angulo auxiliar “L”, tal que:
Tg L=mSenP2SenQ2nSenP1SenQ1
Por desarrollos y transformaciones análogas a las seguidas en el
problema de los tres puntos y para el mismo método, es posible llegar a:
X+Y2
=270 °−12(M+P1+P2+Q1+Q2)