probl. calculo dif. e int
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PROBLEMARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
ELABORO: DR. MARIO CERVANTES DICIEMBRE DE 2007
1
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA
PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
ELABORO: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS
PROBLEMARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
ELABORO: DR. MARIO CERVANTES DICIEMBRE DE 2007
2
)
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II. UPIBI-IPN REALIZÓ: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS 1.- Determine las siguientes composiciones
a) si ( )( xff ( )x
xf−
=1
1 , ¿Para qué valores de x tiene sentido esta
composición? b) si y ( )( )xgf ( ) 4ln22 ++= xxxf ( ) 4−= xxg 2.- Encuentre el dominio y contradominio de las funciones siguientes
a) ( )216 x
xxf−
= b) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=xxxf
22log c) ( )
512 3
1
++= −
xxf xx d) ( ) xxf tan=
e) ( ) 2−= xxf f) ( ) g) ( )xxf ln=x
xfln1
= h) ( ) xexf =
i) ( ) 11+−
= xexf j) ( ) ( )π−= xxf 2tan k) l) ( )⎩⎨⎧
=xx
xf2
22−<≥
xx ( ) senxxf =
m) n) ( ) ( ) xsenxf 4=⎩⎨⎧
−=
π2xx
xfπππ2
0<<<<
xx
3.- Dadas las funciones y , encuentra las funciones e i dadas por , . Esboza las gráficas de
f g h( ) ( )( )xgfxh = ( ) ( )( xfgxi = ) ( )xf , , e ( )xg ( )xh ( )xi .
Finalmente determine el dominio y contradominio en cada caso.
a) y b) ( ) ( ) 22 += xxf ( ) 2−= xxg⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
102
xfx
xx
≤<<
≤
221
1 y ( ) 1+= xxg
c) y ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
102
xfx
xx
≤<<
≤
221
1( ) 1+= xxg
4.- Determine la paridad de las funciones siguientes. Si alguna de ellas no tiene paridad escríbala como la suma de una función par más una impar.
a) e) xx 6cos2 2−xsenx
47cos3
i) m) xx cos xxsen3
b) f) xx tan5 + ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
xxx
11ln3 j) n) xx cos2 xxsensen 34
c) g) k) o) xsec xsenx 42 senxx 2 xx 5cos6cosd) ( )21cos xx − h) ( ) 311+x l) p) xsenx 56 xxsen 7cos2
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5.- a) Sea . Encuentre los límites siguientes: , ( )⎩⎨⎧
= 2
2xx
xf00
>≤
xx ( )xf
x −→0lim ( )xf
x +→0lim
y ( )xfx 0lim→
b) Resuelva los ejercicios 1, 2, 3, y 4 de la pagina 65 del libro: Swokowski, E. (1989). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. Segunda Edición.
6.-.- Encontrar los siguientes límites
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→1
111lim
0 xxx c)
22lim
2
2 −−−
→ sss
s e) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−→ 31 13
11lim
xxx
b) 4
13lim 2
2
2 −−−
→ mm
m d)
416lim
16 −−
→ rr
r f)
x
xxx 164lim
3
4
32
−
+→
7.- Encuentre los límites de las funciones siguientes:
a) θθ
sen0
lim→
e) 23
385lim 2
2
+−+
∞→ xxx
x
b) θθ
coslim0→
f) 12211lim 3 −
+−∞→ x
xx
c) x
senxx 0lim→
g) 4732lim
2
+−
−∞→ xx
x
d) xx
x
1coslim0
−→
h) 1032
74lim 2
3
−−+−
−∞→ xxxx
x
8.- Encuentre todos los números en los que la función es contínua. f
a) ( )32
532 −−
−=
xxxxf b) ( )
4259 22
−−−
=x
xxxf c) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
+−
=7
11 2
xx
xf 1
1
−=
−≠
x
x
9.- Derivar las funciones siguientes
a) e) ( )[ xxy 3tan= ] ( ) xxf −= 1cos2 i) ( ) ( )memk mm
−= − 1ln2 1
b) ( ) xexf x tan3−= f) 21ln
xxy
+= j) ( ) ( )23 8354ln +−= xxxg
c) x
xy−
+=
1
1 g) ( )senxxy 21+= k) xxy1
−=
d) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
tttttf 122 h) ( ) ssssen
sesr
s
ln3cos1
22
+−+
=
10.- Use derivación implícita para encontrar y ′ si
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)a) c) e) ( ) ( 3242 1349 −+=− xxy 2244 yxyx =+ yxey += 1b) d) ( ) 31ln2 =+−+ yxxe y ( ) ( ) ( )yxxyxysen +=+ tancos 11.- Use la regla de L’Hôpital para encontrar los límites siguientes:
a) x
senxx 0lim→
e) 20
211
limx
xx
x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−+
→ i) xx
xcotlim
0+→
b) xsenxx
x
−→
3lim0
f) 20lim
xsenx
x→ j) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→ xsenxx
11lim0
c) xx
x
11lim0
−+→
g) ( ) xxx
11lim
0+
+→
d) 30lim
xsenxx
x
−→
h) xxx
1lim∞→
12.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto P
a) 12 2 += xy , ( )3,1−P c) senxxy 2tan −= , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −2,
43πP
b) , 52ln 33 +=+− xyyxx ( )1,2P 13.-Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de . Su altura sobre el suelo sft /144 ( )ts (en pies) a los segundos está dada por . ¿Cuál es su velocidad y cuál es su aceleración a los t segundos? ¿Cuáles son a los 3 ? ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuándo llega al suelo?
t( ) 216144 ttts −=
s
14.- Un automovil viaja por un plano inclinado. El número de pies recorrido a los segundos está dado por
( )tst ( ) 25 2 += tts . ¿Cuál es la velocidad en ? ¿En
? ¿Cuándo alcanza una velocidad de ? st 1=
st 2= sft /28 15.- Sean y ( ) 723 23 −+−= xxxxf ( )xfw = . Encuentre y úselo para estimar el incremento de cuando varía de 4 a 3.95
dww x
16.- La obstrucción de las arteriolas es una de las causas de hipertensión sanguínea. Se ha comprobado experimentalmente que cuando la sangre fluye por una arteriola de longitud dada, la diferencia de presión en los dos extremos de la arteriola es inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio. Suponga que el radio de una arteriola disminuye en 10%. Use diferenciales para calcular el cambio porcentual en la diferencia de presión. 17.- La magnitud de la fuerza de atracción gravitacional que siente un cuerpo, sobre la superficie de la tierra, se sabe que es inversamente proporcional al
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cuadrado de la distancia desde el centro de la tierra a dicho cuerpo. Si el radio de la tierra disminuye un 10% a) ¿Cuál es el cambio porcentual en la magnitud de la fuerza? b) ¿Aumentó o disminuyó la magnitud de la fuerza? 18.- Sean , y p q r funciones tales que ( ) ( )( )zrqzp = . Suponiendo que ( ) 33 =r ,
, y , calcule ( ) 23 −=q ( ) 43 =′r ( ) 63 =′q ( )3p y ( )3p′ 19.- Una niña comienza a correr a partir de un punto A hacia el este, a . Un minuto después, otra niña sale corriendo desde A hacia el norte a . ¿Cuál es la rapidez de variación de la distancia entre las niñas un minuto más tarde?
sm /3sm /2
20.- Un niño que hace volar una cometa, sostiene el cordel a del suelo y lo va soltando a razón de , mientras la cometa se mueve horizontalmente a una altura de . Suponiendo que el hilo se mantiene recto, encuentre la rapidez con la que se mueve la cometa cuando se han soltado de hilo.
ft5sft /2
ft105ft125
21.- El gas contenido en un globo esférico escapa a razón de (litros por hora). ¿A razón de cuántos centímetros por hora disminuye el radio del globo en el momento en que el volúmen es de ?
hL /10
L400 22.- La parte inferior de una escalera de longitud mL 5= resbala de tal forma que la distancia desde esta parte inferior a la pared aumenta a razón de . ¿Cuál es la rapidez de variación del ángulo que hace la escalera con el piso cuando ? ¿Aumenta o disminuye este ángulo conforme transcurre el tiempo?
scm /8
mx 3=
23.- Calcule el máximo y mínimo absolutos para ( ) 32 265 xxxf −−= en el intervalo [ ] 1,3− 24.- Encuentre los máximos y minimos, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, discuta la concavidad, encuentre los puntos de inflexión y trace la gráfica de fa) d) ( ) 12 23 ++−= xxxxf ( ) ( )2ln1 xxf −= g) ( ) xxexf −=
b) ( )12 +
=x
xxf e) ( ) ,senxexf x−= ( )π40 ≤≤ x
c) f) ( ) 52 24 +−= xxxf ( ) ( )senxxxf cos1+= , ( )π40 ≤≤ x 25.- Trace una posible gráfica de una función contínua y que satisfaga las condiciones indicadas a) ; ; ( ) 10 =f ( ) 32 =f ( ) ( ) 020 =′=′ ff ; ( ) 0<′ xf si o ; si
; si ; 2>x 0<x ( ) 0>′ xf
20 << x ( ) 0>′′ xf 1<x ( ) 0<′′ xf si . 1>x
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b) ; ; ( ) 20 =f ( ) ( ) 122 =−= ff ( ) 00 =′f ; ( ) 0>′ xf si 0<x ; si ; si ;
( ) 0<′ xf 0>x( ) 0<′′ xf 22 <<− x ( ) 0>′′ xf si o 2>x 2−<x
26.- Un veterinario cuenta con 30m de tela de alambre y quiere construir 6 jaulas para perros levantando primero una cerca alrededor de una región rectangular, y dividiendo luego la región en seis rectángulos iguales mediante cinco rejas paralelas a uno de los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la zona rectangular para las que el área total es máxima? 27.- Se desea que las páginas de un libro tengan un área de 900 cm2 con márgenes de 2.5 cm abajo y a los lados, y de 1.5 cm arriba. Determine las dimensiones de la página que darán la mayor área posible para el texto. 28.- Dos postes verticales de 3.4m se hallan clavados en un suelo a nivel y sus bases distan 5m. Calcule la longitud mínima de cable que se necesita para tener dos tramos rectos: desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo, y de ahí hasta la punta del otro poste. 29.- Un medicamento se inyecta en la corriente sanguínea, su concentración t minutos después está dada por
( ) ( )atbt eeba
ktC −− −−
=
donde , b , y k son constantes positivas. aa) ¿En que momento se alcanza la concentración máxima? b) ¿Que se puede decir de la concentración cuando ha transcurrido un tiempo largo? 30.- El modelo de Jenss está considerado como la fórmula más precisa para predecir la estatura de niños en edad preescolar. Si es la altura (en cm) y la edad (en años), entonces
h x
para xexh 993.0261.339.6041.79 −−+= 641
≤≤ x
a) Calcule la altura y la rapidez (o tasa) de crecimiento de un niño típico de un año de edad.
b) ¿A qué edad es mayor la rapidez de crecimiento? ¿A qué edad es menor? 31.- La rapidez R con la que un tumor crece está relacionada con su tamaño
por la ecuación
x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xKrxR ln , donde r y K son constantes positivas. Demuestre
que el tumor crece más rápidamente cuando Kex 1−=
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32.- Calcule las integrales siguientes, integrando directamente.
( )( )( )
( )
( )( )( )( )( )dx
xxx
dxxxx
dxxa
xdx
dxpx
dxx
dxxxx
dxxx
dxxa
n
∫
∫∫
∫
∫∫∫∫∫
−+
+−+
−
+
−+
++
3 2
22
3
25
2
62
21
11
2
21
32
386
5
32
32
dxx
xx
x
dxx
dxxdx
xdx
xdx
dxe xx
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
−−+
−
+
+
−
+
4
22
2
2
2
2
2
4
22
8
4
73
10
7
3
33.- Calcule las integrales siguientes por un cambio de variable dx dxx +13
( )( )
( )
( )dxbax
xdxsen
dxx
dxe
ex
dxxxxdx
dxxx
dxxx
x
x
∫∫∫∫
∫
∫
∫∫
+
−
+
+
−
+
cos
4
3cos1
2
1
35
1
23
3
2
2
72
52cos x
O CERVANTES
( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
ydy
xdx
xx
dxx
arcsenx
dxx
arcsenx
dxxe
bxadx
xdx
x
x
1
4ln2ln1
1
3
3
2
2
2
2
1
xxx
dxxx
dxx
xbxa
xdx
dxxxedx
xx
xxdx
edx
xxdx
x
x
x
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+++
−++
+
++−
+++
+
+
+
375
112
12321
11
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
+
+
2
6cos6
ln
cos
2cos
1cos
cos1
1
3
2
xdx
dxxxsenx
dxxsen
xdxx
dxx
dxxsen
x
dxx
senx
dxsenx
7
dx
1,
ln,
1,
+=
−=
=
xu
uxu
x
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34.- Resuelva las integrales siguientes usando identidades trigonométricas.
∫∫∫∫∫∫∫∫
xdx
xdxsen
xdxsen
xdx
xdxsen
xdx
xdx
xdx
6
4
5
3
2
2
2
2
cos
cos
cos
cot
tan
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
xdxxsen
dxxxsen
xdxxsen
dxxxsen
dxxx
xdx
xdx
42
53
32
3
43
4
2
cos
2cos
2
coscos
4tan
3tan
cot
5tan
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2cos
2
cos
cos
coscos
cos
3
35
42
6
2
6
4
53
xxsen
dxxxsen
dxxxsen
dx
dxxsenxx
dxxsen
dx
xdxsenx
( )
dxxsenx
xsenxdx
dxxxsenx
dx
dxxsenx
xsen
∫
∫
∫
∫
∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
4
2
3
22
coscos
tan
cos4π
dxxx
xdxxsensen
xdxxsen
∫
∫∫
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3cos
2cos
1510
5cos3
( ) ( )
∫∫∫ −+
xdxxsensenxsen
xdxx
dxbaxbax
32
3coscos
coscos2
35.- Resuelva las integrales siguientes por el método de sustitución trigonométrica
∫
∫
∫
−
−
−
2
3
2
2
2
2
2
53
1
xdxx
xdxxx
dxx
∫
∫
∫
+
−
−
dxx
x
xxdx
dxx
ax
1
12
2
22
∫
∫
∫
−
−
−
67
1
4
2
2
22
xxdx
dxx
xxdx
36.- Resuelva las integrales siguientes por el método de integración por partes
∫∫∫
arcsenxdx
xdx
xdx
arctan
ln
dxex
dxx
dxex
x
x
x
32
2
∫∫
∫−
( )
dxxx
dxex
dxexxx
x
∫∫
∫−
−+−
ln
52
2
33
2
dxxx
dxx
x
xdx
∫
∫
∫
ln
ln
ln
3
2
( )dxxx
xarcsenxdx
xdxx
∫∫∫
++ 21ln
arctan
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∫∫
∫
senxdxe
dxxsenxx
xsenxdx
x
2
2
cos ( )
∫∫∫
senbxdxe
dxxsen
xdx
ax
x
ln
cos3
∫∫∫
xdxx
xdxx
xsenxdx
5cos
3cos2
37.- Resuelva las integrales siguientes por el método de fracciones parciales
( )( )
( )
( )( )dx
xxx
dxxx
dxxx
x
∫
∫
∫
−++−
++
−+−
22
2
1142
276
3135
( )( )( )
( )dx
xx
dxxxx
x
dxxxx
x
∫
∫
∫
+−
−++
−−−+
3
23
2
11
1034
3211
( )( )
dxxxx
xx
dxxx
xxx
dxxxx
xx
∫
∫
∫
−+−−−
−+−+−
−+−+
48221
21429183
329134
23
2
3
23
23
2
( )dx
xxx
dxx
xxx
∫
∫
+−+
+
−+−
541
13735
2
22
23
( ) dxxxxx
dxxxx
xx
∫
∫
+−
−+−+−
−+
22
3
23
2
54235
3440713
( )∫ +−
+++ dxxx
xxx22
23
3461
38.- Resuelva las integrales siguientes
( ) xdxxx
dxe
dxex
xdx
x
x
ln32
tanh
2
3
2
2
∫∫∫∫
+−
−
( )dxx
x
dxx
x
dxxxx
∫
∫
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
lnln
ln11ln
2
2
( )
( )
dxx
arcsenx
dxarcsenx
dxxx
xdxx
∫
∫∫∫
2
2
2
2
arctan
3arctan
∫
∫
∫ −
dxe
xsen
xdxx
dxx
xarcsen
x
2
2 2tan1
( )
( ) dxx
x
dxx
∫
∫
+22
2
2
1
lncos
dxxsen
dx
dxx
x
∫
∫−
5
2
2
9 dx
xsenx
xdx
∫
∫
3
5
5
cos
4sec
39.- Calcule las integrales definidas siguientes
( )
( )∫
∫
∫
− −
+
−
0
1
4
13
2
0
34
54
1
2
xdx
xx
dx
dwww
∫
∫+
2
0
3
4
2
cos
cos1
π
π
π
xdx
dxx
senx
si ( )∫π2
0
dxxf ( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<<−
<<−
<<
=
πππ
πππ
π
22
3,22
32
,2
0,
xx
xx
xx
xf
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40.- ¿Es cierto que ∫−
−=1
12 21 dx
x?
41.- Evalúe las integrales siguientes
a) d) ∫ g) ∫ ∫−
π
π
xdxx cos−
π
π
xdxsenx 56
−
π
π
xdxx 5cos6cos
b) e) ∫ h) ∫−
π
π
xdxx cos2
−
π
π
xdxxsen3 ( ) ( )( )∫
− −−
=1
121
112π
ππn
sennxdxsenxsennn
c) f) ∫ ∫−
π
π
senxdxx2
−
π
π
xdxxsensen 34
42.- La función Gamma se define por
, para ( ) ∫∞
−=+Γ0
1 dxxen nx 1−>n . O bien por , para . ( ) ∫∞
−−=Γ0
1dxxen nx 0>n
a) Demuestre que ( ) 11 =Γ b) Demuestre que ( ) ( )nnn Γ=+Γ 1 c) De los incisos anteriores se observa que si n es un entero no negativo
. Verifique esto para ( ) !1 nn =+Γ 6,...,2,1,0=n .
d) Del hecho de que ∫∞
− =−
0
21 πdxxe x , haga una tabla donde muestre los
valores de para ( 1+Γ n )2
11,,25,
23,
21,
21
⋅⋅⋅−=n .
43.- Represente la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones y calcule el área de la misma
a) , d) 12 += xy 5=y1
13 +
=x
y , 0=y , 0=x , 1=x
b) , e) 3=+ yx 32 =+ xy senxy = , xy cos= , 2π
−=x , 6π
=x
c) , , xey 2−= 0=x 2=x 44.- Calcule el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de y 2xy = 4=ya) alrededor del eje d) alrededor de la recta x 5=y b) alrededor del eje y e) alrededor de la recta 2=x c) alrededor de la recta 4=y 45.- La región limitada por las gráficas de ,
2xey = 0=y , , gira alrededor del eje
0=x 1=xy . Calcule el volumen del sólido resultante.