Soluciones a los Ejercicios de Distribuciones Discretas

1. Probabilidad de observar el suceso en 3 individuos:P (X = 3) =

(103

)0.730.37 = 0.009

Probabilidad de observar el suceso en menos de 3 individuos:F (2) =

2i=0 P (X = i) =

2i=0

(10i

)0.7i0.310i =(

100

)0.700.310+

(101

)0.710.39+

(102

)0.720.38 =

(1)(1)0.310 + 10(0.7)0.39 + (10)(9)2

0.720.38 = 0.0016

Probabilidad de observar el suceso en mas de 3 individuos:1 F (3) = 13i=0 P (X = i) = 13i=0 (10i ) 0.7i0.310i = 0.9894

Numero esperado de individuos que presentaran el suceso = np = 10(0.7) = 7

Probabilidad de que el numero de individuos que presenten el suceso sea supe-rior a la media esperadaP (X 8) =10i=8 (10i ) 0.7i(0.3)10i = 0.3828

2. Probabilidad de observar el suceso en 3 individuos:P (X = 3) =

(103

)0.330.77 = 0.2668

Probabilidad de observar el suceso en menos de 3 individuos:F (2) =

2i=0 P (X = i) =

2i=0

(10i

)0.3i0.710i =

(1)(1)0.710 + 10(0.3)0.79 + (10)(9)2

0.320.78 = 0.3828

Probabilidad de observar el suceso en mas de 3 individuos:1 F (3) = 13i=0 P (X = i) = 13i=0 (10i ) 0.3i0.710i = 0.3504

Numero esperado de individuos que presentaran el suceso = np = 10(0.3) = 3

Probabilidad de que el numero de individuos que presenten el suceso sea supe-rior a la media esperada: Es el caso anterior

Compara los resultados obtenidos en ambos casos. Aqu lo que se quiere destacares que el valor de la probabilidad del suceso p influye en la probabilidad deobservar dicho suceso un numero determinado de veces en una muestra de nobservaciones independientes.

3. Ver las paginas web:

http://faculty.vassar.edu/lowry/binomial.html

y

http://stat-www.berkeley.edu/~stark/Java/Html/BinHist.htm#controls

1

4. Si X1, X2, ..., Xn son sucesos mutuamente excluyentes con P (X1 = x1) = p1, P (X2 =x2) = p2, ..., P (Xn = xn) = pn, entones, la probabilidad de queX1 ocurra x1 veces,....,Xn ocurra xn veces, siendo

ni=1 xi = N , viene dada por:

PN(x1, x2, ..., xn) =N !

x1!...x!px11 ...p

xnn

Esta es la distribucion de probabilidad multinomial.

P12(3, 6, 3) = 12!3!6!3!(1/4)3(1/2)6(1/4)3 = 0.07 P12(4, 4, 4) = 12!4!4!4!(1/4)4(1/2)4(1/4)4 = 0.033 P12(5, 2, 5) = 12!5!2!5!(1/4)5(1/2)2(1/4)5 = 0.0039 P12(0, 12, 0) = 12!0!12!0!(1/4)0(1/2)12(1/4)0 = 0.00024

5. X v.a. con distribucion de Poisson de parametro = 4

Probabilidad de observar valores superiores a la mediaP (X 5) = 1 P (X 4) = 14i=0 eii! =1 [ e440

0!+ e

4411!

+ e4422!

+ e4433!

+ e4444!

] = 1 0.6288 = 0.3712 Probabilidad de observar valores inferiores a 1P (X = 0) = e

4400!

= e4 = 0.0183

Probabilidad de observar valores entre 3 i 6P (3 X 6) =6i=3 e44ii!

Probabilidad de observar valores iguales o inferiores a 1P (X 1) = e440

0!+ e

4411!

= 0.0183 + 0.0733 = 0.0916

Funcion de distribucion de esta variableVer la pagina web:http://faculty.vassar.edu/lowry/psamp2.html

6. Cual es la probabilidad de que un 65% de los 12 pacientes mejore?65% de 12 es 7.8, P (X = 7.8) = 0 ya que la variable es discreta

Cual es la probabilidad de que al menos un 65% de dichos pacientes mejoren?P (X 8) = (12

8

)0.6580.354+

(129

)0.6590.353+

(1210

)0.65100.352+(

1211

)0.65110.351+

(1212

)0.65120.350 = 0.5833

Cuantos enfermos se espera que mejoren mediante este tratamiento? = np = 12(0.65) = 7.8

Cual es la probabilidad de que sea eficaz en menos de un 20% de los casos?P (X 2) = (12

0

)0.6500.3512+

(121

)0.6510.3511+

(122

)0.6520.3510 = 0.00085

2

7. P(nino)=P(nina)=0.5

Sea X la v.a que cuenta el numero de ninas (se podra hacer tambien con el numerode ninos)

P (X = 0) = (40

)0.500.54 = 1(0.54) = 0.0625

P (X = 1) =(41

)0.510.53 = 4(0.54) = 0.25

P (X = 2) =(42

)0.520.52 = 6(0.54) = 0.375

P (X = 3) =(43

)0.530.51 = 4(0.54) = 0.25

P (X = 4) =(44

)0.540.50 = 1(0.54) = 0.0625

El suceso elemental mas probable es 2 ninos y dos ninas, pero el suceso com-plementario no tener dos ninos y dos ninas tiene probabilidad mas elevada(p = 0.625).

Cual es la probabilidad de que un familia tenga dos ninos y dos ninas?P (X = 2) = 0.375

Cual es la probabilidad de que una familia tenga solo ninas?P (X = 4) = 0.0625

Cual es la probabilidad de que una familia tenga solo ninos?P (X = 0) = 0.0625

8. Por termino medio se producen 10 urgencias pedia`tricas diarias. Suponemos que lav.a. sigue una distribucion de Poisson.

Cual es la probabilidad de que en un da determinado se produzca un numerode urgencias igual a la media?P (X = 10) = e

10101010!

= 0.1251

Cual es la probabilidad de que en un da determinado se produzca un numerode urgencias inferior a la media?P (X 9) =9i=0 e1010ii! = 0.4579

Cual es la probabilidad de que en un da determinado se produzca un numerode urgencias superior a la media?P (X 11) = 1 [P (X 9) + P (X = 10)] = 1 [0.4579 + 0.1251] = 0.417

Cual es la probabilidad de que en un da determinado se produzcan menos de 5urgencias?P (X 4) =4i=0 e1010ii! = 0.0292

Cual es el numero de urgencias esperado para un da determinado con unaprobabilidad del 95%?En una distribucion de Poisson de para`metro = 10 la probabilidad P (X 15) = 0.9512. Por lo tanto, el numero esperado con probabilidad del 95% sera`como ma`ximo 15.

3

9. X: v.a. numero de pacientes con complicaciones graves

Si un da determinado se realizan tres intervenciones de este tipo, cual es laprobabilidad de que se presenten complicaciones en todas ellas?P (X = 3) =

(33

)(1/3)3 = 0.037

Cual es la probabilidad de que solo una de ellas presente complicaciones?P (X = 1) =

(31

)(1/3)(2/3)2 = 0.444

Si intervenimos seis pacientes de este tipo, cual es la probabilidad de que elnumero de intervenciones que presenten complicaciones sea superior a la mediaesperada? = 6(1/3) = 2

P (X > 2) = 1P (X 2) = 1[(60

)(1/3)0(2/3)6+

(61

)(1/3)1(2/3)5+

(62

)(1/3)2(2/3)4] =

0.3196

10. (***): Este es un ejercicio difcil

Suponemos que la v.a. numero de accidentes laborales diarios sigue una distribucionde Poisson de parametro = 3. Podemos obtener la probabilidad de que se produz-can mas de 3 accidentes diarios:

P (X > 3) = 1 P (X 3) = 13i=0 e33ii! = 1 0.6472 = 0.3528Ahora, para calcular la probabilidad de que se produzcan mas de tres accidentesdiarios en mas de dos das utilizaremos la distribucion binomial con parametros n = 5y p = 0.3528. Sea Y la v.a. binomial que indica el numero de das con mas de 3accidentes diarios en una semana:

P (Y > 2) = 1P (Y 2) = 1[(50

)0.352800.64725+

(51

)0.352810.64724+

(52

)0.352820.64723] =

0.2395

11. Probabilidad de que en un da determinado se produzca al menos un errorP (X 1) = 1 P (X = 0) = 1(1

0

)(0.004)0(0.996)100 = 0.33

Probabilidad de que en un da determinado se produzca mas de tres erroresP (X > 3) = 1P (X 3) = 1 [(100

0

)(0.004)0(0.996)100+

(1001

)(0.004)1(0.996)99+(

1002

)(0.004)2(0.996)98+

(1003

)(0.004)3(0.996)97] = 0.0007

Dado que la probabilidad del suceso es muy pequena y que el numero de analisisdiarios es grande podemos abordar el problema utilizando la distribucion dePoisson de parametro = np = 100(0.004) = 0.4. En este caso:

La probabilidad de que en un da determinado se produzca al menos un errorP (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 e0.40.40

0!= 1 0.670 = 0.33

Probabilidad de que en un da determinado se produzca mas de tres erroresP (X > 3) = 1 P (X 3) = 1 [ e0.40.40

0!+ e

0.40.411!

+ e0.40.42

2!+ e

0.40.433!

] =1 [0.9992] = 0.0008

4

Probabilidad de que en una semana se acumulen mas de 5 erroresSi definimos la v.a. Y como el numero de errores en una semana, Y = X1+X2+... +X7 sigue tambien una distribucion de Poisson con parametro = 7(0.4) =2.8

P (Y > 5) = 1 P (Y 5) = 1 [5i=0 e2.82.8ii! ] = 1 0.935 = 0.06512. Suponemos que el numero de pastillas defectuosas X sigue una distribucion de Pois-

son de parametro = np = 50 0.001 = 0.05

Probabilidad de que una de las pastillas de un frasco sea defectuosa P (X = 1) =e0.050.051

1!= 0.0475

Probabilidad de que un frasco contenga mas de una pastilla defectuosaP (X 2) = 1 P (X 1) = 1 [ e0.050.050

0!+ e

0.050.0511!

] = 1 0.9988 = 0.0012 Si los frascos se entregan en cajas de 10 frascos, calcula la probabilidad de queal menos una de las cajas contenga mas de una pastilla defectuosaUtilizamos la probabilidad obtenida en el apartado anterior para resolver esteapartado, donde vamos a aplicar la distribucion binomial:P (Y 1) = 1 P (Y = 0) = 1 [(10

0

)(0.0012)0(0.9988)10] = 0.0119

13. (***): Este es un ejercicio difcil

Sensibilidad=P (T |E) = 0.89, especificidad=P (T |E) = 0.8,prevalencia enfermedad=P(E)=0.05

Cual es la probabilidad de que al menos uno de cada 10 diagnosticos sea erroneo?La probabilidad de que un diagnostico sea erroneo la podemos expresar como:P (T E) + P (T E) = P (T |E)P (E) + P (T |E)P (E) =(1-espec.)0.95+(1-sens.)0.05 = 0.1955P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1(10

0

)0.195500.804510 = 0.8864

Cual es la probabilidad de que al menos una de cada 10 personas enfermas seadiagnosticada erroneamente?P (T |E) = 1 sensibilidad = 0.11P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1(10

0

)0.1100.8910 = 0.688

Cual es la probabilidad de que al menos una de cada 10 personas sanas seadiagnosticada erroneamente?P (T |E) = 1 especificidad = 0.2P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1(10

0

)0.200.810 = 0.893

Cual es la probabilidad de que mas de la mitad de los individuos con diagnosticopositivo esten realmente enfermos?Hallamos primero el valor predictivo positivo de la prueba:

5

V PP = P (E|T ) = P (T |E)P (E)P (T |E)P (E)+P (T |E)P (E) =

0.890.050.890.05+0.20.95 = 0.1897Ahora calculamos la probabilidad de que mas de la mitad de 10 individuos(suponemos un grupo de 10 individuos) con diagno`stico positivo esten real-mente enfermos:P (X 6) =10i=6 (10i )(0.1897)i(1 0.1897)10i = 0.048

6