probabilidades y distribuciones de probabilidades Área estadística dpto. de cs. matemáticas y...

PROBABILIDADES YDISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDADES

Área Estadística Dpto. de Cs. Matemáticas y Físicas

Prof. Juan Moncada Herrera

AleatoriasNo aleatorias

ProbabilidadesDistribucionesParámetros

VARIABLESDatosEstimadores

Distribuciones

MUESTRA ALEATORIA

Muestreo

REALIDAD – POBLACIÓN – PROBLEMA

Intervalos de Confianza

Pruebas de Hipótesis

ANOVA

Estadística Descriptiva

VARIABLES

NOCIONES DE PROBABILIDADES


Fuente: http://ciberconta.unizar.es/leccion/probabil/INICIO.HTML; 04/12/2008

¿De qué se hacen cargo?

INCERTIDUMBRE

Falta de información

Azar

Variabilidad



Los grandes aportes …

Fermat (1601-1665) Pascal (1623-1662) Huygens (1629-1695)


Newton (1643-1727) De Moivre (1667-1754)J. Bernoulli (1654-1705)



Bayes (1707-1761) Gauss (1777-1855)Laplace (1749-1827)



Chebyshev (1821-1894) Börel (1871-1956)Markov (1856-1922)



Mises (1883-1953) Lèvy (1886-1971)



Kolmogorov (1903-1987) Feller (1906-1970)


Probabilidad = Medida de la incertidumbre


¿Y qué es (qué son) …?

Clásico (Regla de Pascal)


Enfoques …

Frecuentista

Bayesiano o subjetivo

Axiomático

Clásico (Regla de Laplace)


Enfoques …

Cuociente entre casos favorables y casos posibles, siempre que todos los casos sean igualmente probables.

Laplace (1749-1827)

Frecuentista


Enfoques …

Cuociente entre frecuencia observada del suceso y el total de observaciones del suceso cuando el experimento se realiza un número grande veces.

Bayesiano o subjetivo


Enfoques …

Grado de creencia o juicio personal.Bayes (1702-1761)

Axiomático


Enfoques …

•No se define probabilidad, propiamente tal.

•Hay un conjunto de axiomas, de los que se deduce la teoría.

Kolmogorov (1903-1987)

Cálculo de probabilidades


Base empírica:

Espacio muestral:

Suceso o Evento:

Experimentos aleatorios

A


Cálculo de probabilidades:

Existe probabilidad de un suceso:

)()(

)(

m

AmAP



Cálculo de probabilidades:

Ejemplo:

Se selecciona aleatoriamente un asistente a la clase de hoy. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Evento A:

Espacio muestral :

Número de elementos de A = Número de elementos de =

)(AP

Ser mujer

{mujer, … , hombre}



Propiedades fundamentales:

P() = 0

P() = 1

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(Ac) = 1 – P(A), Ac evento complementario de A

0 ≤ P(A) ≤ 1

A y B eventos de un espacio muestral



Probabilidad Condicional:


;)(

)()|(

BPBAP

BAP 0)( BP



Independencia de eventos:


)()|( APBAP A y B independientes si:

)()()( BPAPBAP



Probabilidad Total:

Teorema. Sea E1, E2,...,En una partición de E (esto significa que ij, Ei Ej , y Ei =E). Entonces:

P(E) = P(E | Ei) P(Ei), para i = 1,2,...,n



Teorema de Bayes:

Si E1, ... , En son n eventos mutuamente independientes, de los

cuales uno debe ocurrir, es decir, P(Ei) = 1, entonces, para un evento dado A:

)()|(

)()|()|(

ii

iii EPEAP

EPEAPAEP


Variables aleatorias

Y

Distribuciones de Probabilidades

Variables aleatorias: Definición

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

xX )( IRPX ),(:

Discretas Continuas

Recorrido de X es finito o infinito

numerable

Recorrido de X es infinito


Xp(x) = P[X=x]

f(x)

x1

…

xk

Función de probabilidad

Función de densidad

Distribuciones de probabilidades

1)(xp 1)( dxxf

X discreta

X continua

X discreta

1)(0 xp 0)( xf

X continua


X P[X=x] = p(x)

x1 p1

x2 p2

x3 p3

… …

xk pk

Distribución Acumulada

Caso discreto:


X P[X=x] = p(x) F(x)=P[X x]

x1 p1 p1

x2 p2 p1+p2

x3 p3 p1+p2+p3

… …

xk pk pi = 1


Caso discreto:


X P[X=x] = p(x) F(x)=P[X x]

x1 p1 p1

x2 p2 p1+p2

x3 p3 p1+p2+p3

… …

xk pk pi = 1


Caso discreto: Caso continuo:

x

ydyyfxXPxF )()()(

Tendencia central


MediaValor esperadoEsperanza matemática

Medidas de resumen de una v.a.

Propiedades:

x

xpxXE )()(

x

dxxxfXE )()(

X discreta

X continua

bXaEbaXE ][][

aaE ][

Tendencia central



Mediana

Moda

5.0)(5.0)(: 5.05.05.0 xXPxXPx

)(: modmod xfx

)(: modmod xpx X discreta

X continua

Posición



Extremos Cuartiles Quintiles Deciles

)(: xXPxPercentil

Dispersión



Rango )()( XXMax minVarianza )()()( 222 XEXEXVar

Desviación estándar )().(. XVarXed

Propiedades:

0)( kVar

)()( XVarkXVar )()( 2 XVarabaXVar


Proceso de estandarización

X

ZX

..avX)(XE ).(. Xed

0)( ZE 1).(. Zed


Variables aleatorias: Parámetros

PARÁMETRO:

Las medidas de resumen de una variable aleatoria son parámetros.

Los parámetros determinan la distribución de probabilidades.

Rasgo, característica, propiedad fija o constante de una población.

Discretas

Continuas

• Valores

• Función de probabilidad Función de densidad


• Definición-Contexto-Problema

• Distribución Acumulada

• Medidas de resumen

• Parámetros

Variables aleatorias: Resumen

MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Distribución Bernoulli

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Experimento de base:

Todo experimento aleatorio que tenga sólo dos resultados posibles, mutuamente excluyentes, que pueden denominarse Éxito y Fracaso.

P[Éxito] = p P[Fracaso] = 1 – p = q

Variable aleatoria – Definición:Número de Éxitos observados en un ensayo.

Usos – aplicaciones:Muy poco. Electrónica, proceso binarios en general.



Variable aleatoria – Valores:

0 y 1

Parámetros:

p: Probabilidad de éxito

Notación:

X Ber(p)



Función de distribución de probabilidades:

X P(X = x) = p(x)

0 1 – p

1 p

x = 0,1 p(x) = px(1–p)1-x ;

Función de distribución acumulativa:

X P(X = x) = p(x) F(x) = P(X x)

0 1 – p 1 – p

1 p (1 – p) + p = 1



Propiedades:

X Ber(p)

pXE )( )1()( ppXVar

Distribución binomial



Realización de n ensayos Bernoulli, todos independientes, y cada uno con probabilidad de Éxito p.

Variable aleatoria – Definición:

Número de Éxitos observados en n ensayos Bernoulli, todos independientes, y cada uno con probabilidad de Éxito p.

Usos – aplicaciones:

Control de calidad, tratamientos de encuestas …



Valores de la variable:

0, 1, 2, …, n

Parámetros:

n: Número de ensayos

Notación:

X bin(n , p)

p: Probabilidad de éxito





nxppx

nxp xnx ,,2,1,0;)1()(

k

x

xpkXPkF0

)()()(



Cálculo de probabilidades acumulativas:

k

x

xpkXPkF0

)()()(



Propiedades:

X bin(n , p)

npXE )( )1()( pnpXVar

Distribución de Poisson



Observación de la ocurrencia de eventos en un espacio (intervalo) determinado (fijo).


Número de eventos que ocurren de manera aleatoria e independiente, a una tasa constante , en un espacio o intervalo determinado.


Fenómenos de espera, fenómenos de transporte …



0, 1, 2, …

Parámetros:

: Tasa promedio de ocurrencia de los eventos

Notación:

X P()





k

x

xpkXPkF0

)()()(


,2,1,0;!

)(

xx

exp

x



Cálculo de probabilidades acumulativas:

k

x

xpkXPkF0

)()()(


Propiedades:

)(XE )(XVar


X P ()

Teorema. Sea X una variable con distribución binomial de parámetros n y p. Si existe una constante tal que p = / n, entonces:

,1,0;!

),;(lim0

xxe

pnxpx

p

n


MODELOS DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

Distribución Uniforme


Seleccionar aleatoriamente un número en un intervalo real (a,b), y registrar su valor.


Número real seleccionado aleatoriamente en un intervalo (a,b).


Generación de números aleatorios, informática, …

),( bax




Parámetros:

Notación:

ba,

),(~ baUX

),(;)(1

)( ),( baxxIab

xf ba



Función de densidad:


abax

dxxfkXPkFk

ax

)()()(



Propiedades:

X U(a , b)

2)(

baXE

3

)(22 baba

XVar

Distribución Normal


La variable:

Muchas variables continuas relativas a mediciones:

Físicas: Longitud, altitud, temperaturas, velocidad de…

Biológicas: Talla, peso, ritmo cardiaco, presión arterial,

Psicológicas: Inteligencia, habilidades, destrezas, etc.

¡CUIDADO! MUCHO no significa TODO



Los valores de la variable:

Depende del problema en estudio.

Teóricamente, cualquier valor real.



Los parámetros:

Dos parámetros. Se simbolizan por:

y

Corresponden a la media y desviación estándar

),(~ NX



2)(

²2

1exp

2

1),|(

xxf

Función de densidad y gráfico:

Campana de Gauss

0;; x

dyyxFx

2)(²2

1exp

2

1),|(


)( xXP


Función de distribución acumulada:

)1,0(~),(~ NX

ZNX

La normal estándar:




PROBABILIDADES ACUMULADAS DE LA NORMAL ESTÁNDAR

Probabilidades acumuladas para algunos valores de la variable aleatoria normal estándar Z z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09__________________________________________________________0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .53590.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .57530.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .61410.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .65170.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .68790.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .72240.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .75490.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7794 .7823 .78520.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .81330.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8189 .8315 .8340 .8365 .83891.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .86211.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .88301.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .90151.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .91771.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .93191.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .94411.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .95451.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .96331.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .97061.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .97672.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .98172.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .98572.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .98902.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9906 .9911 .9913 .99162.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .99362.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .99522.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .99642.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .99742.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .99812.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .99863.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .99903.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .99933.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .99953.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .99973.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998

3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998


Probabilidades acumuladas:

Un ejemplo:


En un estudio sobre longevidad se analizaron las edades de 489 jubilados obteniéndose una media de edad de 72 años con una desviación de 8.6 años. Suponiendo que las edades sedistribuyen de acuerdo a una ley normal, se desea saber:

a) Cuántos sujetos hay por debajo de 80 años.b) Cuántos sujetos hay por encima de 65 años.c) A partir de qué edad se sitúa el 10% más viejo.


Un ejemplo:


En un estudio sobre longevidad se analizaron las edades de 489 jubilados obteniéndose una media de edad de 72 años con una desviación de 8.6 años. Suponiendo que las edades sedistribuyen de acuerdo con la curva normal, se desea saber:

Solución parte a):

Sea X: Edad de las personas estudiadas


Se tiene: )6.8;72(~ añosañosNX

Se pide: )80( XP



)6.8;72(~ añosañosNX Un ejemplo:

?)80(¿ XP

Opciones de la Hoja de Cálculo de OpenOffice



)6.8;72(~ añosañosNX

Un ejemplo:

Pero:

)93.0(

)6.8

8(

6.8

7280

6.8

72)80(

ZP

ZP

XPXP


PROBABILIDADES ACUMULADAS DE LA NORMAL ESTÁNDAR

Probabilidades acumuladas para algunos valores de la variable aleatoria normal estándar Z z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09__________________________________________________________0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .53590.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .57530.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .61410.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .65170.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .68790.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .72240.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .75490.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7794 .7823 .78520.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .81330.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8189 .8315 .8340 .8365 .83891.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .86211.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .88301.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .90151.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .91771.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .93191.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .94411.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .95451.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .96331.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .97061.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .97672.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .98172.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .98572.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .98902.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9906 .9911 .9913 .99162.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .99362.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .99522.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .99642.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .99742.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .99812.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .99863.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .99903.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .99933.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .99953.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .99973.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998

3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998


)6.8

8(

6.8

7280

6.8

72)80(

ZP

XPXP

)93.0( ZP

%38.828238.0)80( XP

82.38% de 489 son 403 personas

)1,0(~)1(

Npnp

npXY



Aproximación de De Moivre Laplace

Teorema. Sea X una variable con distribución binomial de parámetros n y p. Entonces, si n tiende a infinito:

Nota: La aproximación ya es buena para n>30, y mejor mientras p sea cercano a 0.5.



Aproximación de De Moivre Laplace

n=30, p=0.4 n=80, p=0.7 n=200, p=0.5

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES:

¿CUÁL EL PROBLEMA?


EL DESCONOCIMIENTO

DE LOS PARÁMETROS

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES:

¿CUÁL LA SOLUCIÓN?


ESTÁ EN EL MUESTREO

Sugerencias Bibliográficas

1. Daniel W.: Estadística con aplicaciones a las ciencias sociales y a la educación. McGraw-Hill. Mexico, 1997.

2. Canavos G.: Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y métodos. Mc Graw Hill. México, 1995.


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