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PROBABILIDAD100402_370

Act10: Trabajo Colaborativo 2

Trabajo presentado por:

Julin Andrs Fernndez M.c.c 1.0!."0#.0#

Andrea Mayerly Albarracin MonsalveC$DI%O: 1.0!.#11."

Cristina Pati'o

Dan(s Britot)tor

1! de *A+O de 201,

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INTRODUCCIN

-n el presente trabajo encontrareos tres ejercicios por cada )no de los teas a tratar enla se/)nda )nidad del od)lo de probabilidad la se/)nda )nidad est cop)esta poroco teas en total encontrareos veintic)atro ejercicios.

3e b)sca )na b)ena participaci4n por parte de todos los inte/rantes del /r)po para poderconsolidar )n b)en trabajo /r)pal lo 5)e se b)sca con este trabajo es 5)e el est)diantep)eda a6ian7ar s)s conociientos acerca de los teas tratados en la se/)nda )nidad.

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O!J"TI#O$

3e b)sca 5)e cada est)diante participe en el 6oro proponiendo )n ejercicio porcada tea a tratar en la se/)nda )nidad del od)lo de probabilidad.

La intencionalidad del trabajo es 5)e al resolver cada )no de los est)diantes losejercicios prop)estos por otro copa'ero re6)erce s)s conociientos acerca delos teas tratados.

3e b)sca )na interacci4n de todos los copa'eros corri/i8ndose entre s9 losejercicios para la reali7aci4n de )n b)en trabajo.

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ASPECTOS TEORICOS

Concepto De Variable AleatoriaUna variable aleatoria es pues, una funcin que asigna un nmero real a cada resultado en el espacio

muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayscula, tal como X.

Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral, y se defineX como una funcin porque transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidadesnumricas reales.

Variable Aleatoria DiscretaEs una funcin de valor que asigna un nmero real finito o infinito contable! a cada resultado en el espaciomuestral de un experimento aleatorio" variables aleatorias que #an sido denominadas discretas.

$a distribucin de probabilidad de una variable aleatoria X es una descripcin del con%unto de posibles valoresde X, %unto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores.

&oda distribucin de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitos siguientes'

P (X=x )=10P(X=x )1

Variable Aleatoria ContinuaSe dice que una variable aleatoria X es continua si el nmero de valores que puede tomar est(n contenidosen un intervalo finito o infinito! de nmeros reales.

)ic#os valores pueden asociarse a mediciones en una escala continua, de manera que no #aya #uecos ointerrupciones.

$a funcin de densidad de probabilidad fx! de una variable aleatoria continua, se define como tal si paracualquier intervalo de nmeros reales *a,b+ se cumple que'

f(x )0

f(x ) dx=1

P (a X b )=a

b

f(x )dx

El modelo de variable aleatoria continua implica lo siguiente'

P (aXb )=P (a

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x

x

f(x ) dx=0

Valor esperado:-ara una variable aleatoria discreta se calcula reali1ando la sumatoria de cada valor de la variable por surespectiva probabilidad. E%emplo' para el valor que puede tomar un dado al ser lan1ado seria 23245!673245!6 83245!6 93245!6 :3245!6 53245!!8,:-ara una variable aleatoria continua se debe rempla1ar la sumatoria por la integracin as;'

Varianza:

Es la medida de la dispersin, para una variable aleatoria discreta se calcula ponderando el cuadrado de cadadesviacin con respecto a la media, con la probabilidad asociada con la desviacin.Es decir'

< para una variable aleatoria continua seria'

Teorema De Chbshe!

-ara demostrar cmo la desviacin est(ndar es indicadora de la dispersin de la distribucin de una variablealeatoria, el matem(tico ruso -afnuty$vovic#=#bys#ev desarroll un teorema en el que ofrece una garant;a m;nima acerca de la probabilidad de que unavariable aleatoria asuma un valor dentro de > desviaciones est(ndar alrededor de la media.

-ara cualquier variable aleatoria X con media ? y desviacin est(ndar s, la probabilidad de que X tome unvalor contenido en > desviaciones est(ndar de la media, siendo > una constante positiva cualquiera, escuando menos

Simblicamente, el teorema se expresa de cualquiera de las siguientes maneras'

P (|X|k) 11

k2 P (|X|>k) 1 1

k2

DISTRI"#CIO$ES DE PRO"A"I%IDAD DISCRETA

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Distribuci&n #ni'orme Discreta

$a variable aleatoria discreta m(s sencilla es aquella que toma slo un nmero finito de valores posibles n,cada uno con la misma probabilidad. Ella se denomina entonces variable aleatoria discreta uniforme y su

distribucin uniforme discreta est( dada por'

f(x )=1

n-ara una variable aleatoria discreta uniforme X, que puede tomar los valores 2, 7, @, n, la media es'

x=E (x )=n+12

)esviacin est(ndar' x=n

2112

Distribuci&n "inomial$as distribuciones binomiales son las m(s tiles dentro de las distribuciones de probabilidad discretas. Estasdistribuciones permiten enfrentar circunstancias en las que los resultados pertenecen a dos categor;as

relevantes' que ocurra un evento determinado o que no lo #aga. Sus caracter;sticas generales son'

$os ensayos son independientes.=ada ensayo es de tipo Aernoulli. Esto es, tiene slo dos resultados posibles' BxitoC o BfracasoC.$a probabilidad de xito de cada ensayo, denotada por p, permanece constante.

Distribuci&n "inomial $e(ati!a ) *eomtrica=onsidere a#ora una serie de ensayos Aernoulli con una probabilidad constante de xitos p, en la que elnmero de ensayos no es fi%o como en la distribucin binomial si no que stos se reali1an #asta que seobtiene el primer xito. Sea entonces, la variable aleatoria X el nmero de ensayos reali1ados #asta obtenerun xito, ella tiene una distribucin geomtrica con par(metro p y se expresa'

g (x ; p )=qx1 . p$a media y la varian1a de una variable aleatoria geomtrica son'

x=E(X)=1

P

x2=V(X)=

q

p2

Distribuci&n "inomial $e(ati!a$a distribucin binomial negativa o distribucin de -ascal es una generali1acin de la distribucin geomtricadonde la variable aleatoria X es el nmero de ensayos Aernoulli efectuados #asta que se tienen r xitos, conuna probabilidad constante de xito p. Se dice entonces que X tiene una distribucin binomial negativa conpar(metros p y r 2, 7, 8,@

f(x ; p , r )=(x 13 1) . q

xr . prX=r , r+1, r+r+2+

Distribuci&n +iper(eomtricaSea D el nmero de elementos de un con%unto de los cuales > son determinados como xitos y D> comofallas, se trata a#ora de determinar la probabilidad de x exitos en n ensayos de los D elementos del con%unto

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donde > F D y n F D . Sea tambin la variable aleatoria X el nmero de xitos en la muestra. Entonces, X tieneuna distribucin #ipergeomtrica y su funcin de distribucin de probabilidad est( dada por'

f(x ; N ,k ,n )=(

k

x

)(

N K

n x )(Nn ) X=0,1,2,min (k , n)

$a expresin m;n>,n! corresponde al valor menor entre el tamaGo de la muestra > y el nmero m(ximo dexitos que puede presentarse en la muestra n. $a distribucin #ipergeomtrica suele expresarse como #x"D,>, n! .

Distribuci&n Poissones el principal modelo de probabilidad empleado para anali1ar problemas de l;neas de espera, confiabilidad ycontrol de calidad" como el nmero de personas que llegan a un lugar determinado en un tiempo definido, losdefectos en pie1as similares para el material, el nmero de bacterias en un cultivo, el nmero de golesanotados en un partido de ftbol, el nmero de fallas de una m(quina en una #ora o en un d;a, la cantidad de

ve#;culos que transitan por una autopista, el nmero de llamadas telefnicas por minuto, etc. =omo se puedeobservar se trata de #allar la probabilidad de ocurrencia de cualquier nmero por unidad de medicintemporal o espacial!.)ado un proceso -oisson donde H es el nmero promedio de ocurrencias en el intervalo de nmeros realesdonde este se define, la variable aleatoria X correspondiente al nmero de ocurrencias en el intervalo esllamada variable aleatoria -oisson y su funcin de probabilidad est( dada por'

f (x ; )=

x

x ! X=0,1,2, >0

Distribuci&n #ni'orme

$a distribucin uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con lamisma probabilidad. Es continua porque puede tomar cualquier valor y no nicamente un nmerodeterminado.

E%emplo' El precio medio del litro de gasolina durante el prximo aGo se estima que puede oscilar entre I29/y I25/. -odr;a ser, por tanto, de I298., o de I298,9, o de I298,9:, o de I298,9::, etc. Jay infinitasposibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.

Su funcin de densidad, aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del intervalo,viene definida por'

)onde'

b' es el extremo superior en el e%emplo, I25/!

a' es el extremo inferior en el e%emplo, I29/!

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-or lo tanto, la funcin de distribucin del e%emplo ser;a'

Es decir, que el valor final est entre I29/ y I292 tiene un :H de probabilidad, que est entre 292 y 297, otro:H, etc.

El valor medio de esta distribucin se calcula'

En el e%emplo'

-or lo tanto, el precio medio esperado de la gasolina para el prximo aGo es de I2:/.

Distribuci&n $ormal ) #so De %a Distribuci&n $ormalEst,ndar

Esta distribucin es frecuentemente utili1ada en las aplicaciones estad;sticas. Su propio nombre indica suextendida utili1acin, %ustificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenmenos tienden aparecerse en su comportamiento a esta distribucin. Kuc#as variables aleatorias continuas presentan unafuncin de densidad cuya gr(fica tiene forma de campana. En resumen, la importancia de la distribucinnormal se debe principalmente a que #ay muc#as variables asociadas a fenmenos naturales que siguen elmodelo de la normal =aracteres morfolgicos de individuos, =aracteres fisiolgicos, =aracteres sociolgicos,=aracteres psicolgicos!

Su distribucin se caracteri1a porque los valores se distribuyen formando una campana de Lauss, en torno aun valor central que coincide con el valor medio de la distribucin'

Un :/H de los valores est(n a la derec#a de este valor central y otro :/H a la i1quierda. Miene definida pordos par(metros'

X' N m, s 7!

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m' es el valor medio de la distribucin y es precisamente donde se sita el centro de la curva de la campanade Lauss!.

s 7' es la varian1a. Ondica si los valores est(n m(s o menos ale%ados del valor central' si la varian1a es ba%alos valores est(n prximos a la media" si es alta, entonces los valores est(n muy dispersos.

=uando la media de la distribucin es / y la varian1a es 2se denomina Pnormal tipificadaP, y su venta%a resideen que #ay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de estadistribucin.

Distribuci&n E-ponencial ) Chi Cuadrado

)istribucin Exponencial

Se utili1a como modelo para la distribucin de tiempos entre la presentacin de eventos sucesivos. Existe untipo de variable aleatoria que obedece a una distribucin exponencial la cual se define como E$ &OEK-Q RUE

Q=UE )ES)E UN ONS&N&E ))Q JS& RUE Q=UE E$ -OKE SU=ESQ.

=oncretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de es tal que su funcin de densidad es

Tuncin de distribucin acumulada es'

)istribucin =JO cuadrado

E.ERCICIOS

E.ERCICIOS CAPIT#%O /

E.ERCICIO $o0. Se seleccionan al a1ar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un ca%n quecontiene tres calcetines cafs y cuatro verdes, )efina la variable aleatoria X que represente el nmero decalcetines cafs que se selecciona. Encuentre la funcin de probabilidad fX!, y el valor esperado EX!.

Soluci&n:

$a variable aleatoria X est( definida por /, 2 y 7" la funcin de probabilidad fx! es'

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f(x )=P (X=x )=" (x , N , n , K)=(kx)(Nknx )

N

n

f(x )=P (X=0 )=" (0,10,4,6 )=(60)(42)10

2

= 6

45

f(x )=P (X=1 )=" (1,10,4,6 )=(61)(41 )

10

2

=24

45

f(x )=P (X=2 )=" (2,10,4,6 )=(62)(40)10

2

=15

45

$a funcin de probabilidad Tx! es'

#(x )=P (X x )=X

i x

f(Xi)

#(x )={ 0para x

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x=E (x )=(0+ 2445+30

45 )x=E (x )=

54

45

E.ERCICIO 1 En una loter;a se venden 7// boletos, de los cuales uno gana I://.///, 7 son

ganadores de I2//.///, siete son ganadores de I:/.///, cinco son ganadores de I7/./// y

cincuenta de I:.///. Sea X la variable aleatoria que representa la ganancia del %ugador, )eterminar

la funcin de probabilidad y el valor esperado del %uego.

Soluci&n:

Tuncin de probabilidad'

X 500000 100000 50000 20000 5000

P(X=x) 1/200 2/200 7/200 5/200 50/200

f(x )=P(X=x )

f(x=500000 )=1/200

f(x=100000 )=2/200=1/100

f(x=50000 )=7/200

f(x=20000 )=5/200=1 /40

f(x=5000 )=50/200=1 /4

Malor esperado'

x=E (X)=500000( 1200 )+100000 ( 2

200 )+50000( 7

200 )+20000( 5

200 )+5000( 50

200 )x=E (X)=2500+1000+1750+500+1250

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x=E (X)=7000

E.ERCICIO /. Un %ugador lan1a un dado corriente. Si sale un nmero igual o menor a 9, gana tantos cientos

de dlares como marca el dado, pero si sale un nmero mayor a 9, pierde tantos cientos de dlares como

marca el dado. )eterminar la funcin de probabilidad y la esperan1a matem(tica del %uego

Soluci&n:

Tuncin de probabilidad'

#(x )={ 100x para x4100x parax>4

x 2// 7// 8// 9// :// 5//

-Xx! 245 245 245 245 245 245

Malor esperado'

x=E (X)=100

(

1

6

)+200

(

1

6

)+300

(

1

6

)+400

(

1

6

)500

(

1

6

)600

(

1

6

)x=E (X)=16,67+33,33+50+66,6783,33100x=E (X)=1667

E.ERCICIO No:. Suponga que un comerciante de %oyer;a antigua est( interesado en comprar una gargantillade oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de I 7:/, I 2//, al costo, o biencon una prdida de I2:/ son' respectivamente' /.77, /.85, /.7, /.29. Vcu(l es la ganancia esperada delcomercianteW

Soluci&n2

E (x )=n. p (x)E

16=250.0,22=55

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E26=100.0,36=36

E3=0.0,28=0

E4p=150.0,14=21

E (x )=E16+E

26+E

3+E

4p=55+36+021=70 %a ganan&ia'prada d%&(mr&ian)

E.ERCICIO 34. Un %ugador tiene tres oportunidades de lan1ar una moneda para que apare1ca una

cara, el %uego termina en el momento en que cae una cara o despus de tres intentos, lo que suceda

primero. Si en el primero, segundo o tercer lan1amiento aparece cara el %ugador recibe I7////,

I9//// o I//// respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde I7/////. Si X

representa la ganancia del %ugador'

a. Encuentre la funcin de probabilidad fx!

b. Encuentre el valor esperado Ex!, la varian1a Mx! y la desviacin est(ndar Sx!

Soluci&n2

-robabilidad de caer cara primer lan1amiento'

-robabilidad de lan1ar una moneda y que apare1ca cara 247 - =ara! 247

- I 7////! 247

-robabilidad de caer cara segundo lan1amiento'

-robabilidad de tirar una moneda y que no caiga cara la primera ve1" volver a lan1arla y que

apare1ca cara la segunda ve1 247. 247 - no =ara" =ara! 249 - I

9////! 249

-robabilidad de caer cara tercer lan1amiento'

-robabilidad de tirar una moneda y que no caiga cara la primera y segunda ve1 y nuevamente

tirarla y que salga cara 247. 247. 247 - no =ara" no =ara" =ara! 24 - I

////! 24

-robabilidad de no caer cara en ninguno de los tres lan1amientos pierde I 7//./// 247. 247.

247 - no =ara" no =ara" no =ara! 24 - I 7/////! 24

eempla1ando'

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Lanancia X! I7//// 3 - I7////! 6 I9//// 3 - I9////! 6 I//// 3 - I////! 6 I7/////!. -

I 7/////!

Lanancia X! I7//// 3 247 6 I9//// 3 249 6 I//// 3 24 6 I7/////!. 24 I2//// 6 I2//// 6

I2//// 6 I7:///! I :///

E.ERCICIOS CAPIT#%O 5

E.ERCICIO $o 326En una clase de ciencias naturales de 27 alumnos se elegir( un representante de

grupo, para lo cual se usar( el nmero de lista de cada alumno. Se anotan 27 papeles con nmerosdel 2 al 27 respectivamente se doblan y se meten en un frasco. $uego se extrae al a1ar un papelpara designar al representante. )etermine la probabilidad de que el numero que salga sea menorque :" determine la probabilidad de que el numero sea mayor que 8 pero menor que 0.

Soluci&n:

$a probabilidad de que P(x

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Soluci&n2

)istribucin binomial negativa p igual a /,/ q igual a /,7/ igual a 5 - X igual a Y! /.2209

E.ERCICIO9. En el metro de la ciudad de Kxico, los trenes deben detenerse solo unos cuantos

segundos en cada estacin, pero por ra1ones no explicadas, a menudo se detienen por intervalos de

varios minutos. $a probabilidad de que el metro se detenga en una estacin m(s de tres minutos es

de /,7/. Jalle la probabilidad de que se detenga m(s de tres minutos por primera ve1, en la cuarta

estacin desde que un usuario lo abordoW. Jalle la probabilidad de que se detenga m(s de tres

minutos por primera ve1 antes de la cuarta estacin desde que un usuario lo abordoW

Soluci&n:

Es una distribucin binomial negativa con los siguientes par(metros'

Numero de intentos n8

Numero de xitos r2

-robabilidad de xito p/,7

f(x ; p , r )=(nx ). qxr . pr

f(x ; p , r )=(31) .0,831 .0,21

f(x ; p , r )=(3211(21))0,640,2=0,384

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E.ERCICIO 7 )e un equipo de ftbol se seleccionan al a1ar tres %ugadores para un examen

antidoping. Suponga que cuatro tomaron sustancias pro#ibidas antes del %uego. V=u(les la

probabilidad de que los tres elegidos resulten positivos en la pruebaW

=N*mr(d+%r=2.71828

p(x=3)

=4

f(x ; )=

x

x !

f(x ; 4 )=2.71828

44

3

3 ! =0.19545

$a probabilidad que los tres elegidos resulten positivos en la prueba es 2Y.:9:H

E.ERCICIOS CAPIT#%O 7

2. En una clase de ciencias naturales de 27 alumnos se elegir( un representante de grupo, para lo cual seusar( el nmero de lista de cada alumno. Se anotan 27 papeles con nmeros del 2 al 27 respectivamente sedoblan y se meten en un frasco. $uego se extrae al a1ar un papel para designar al representante. )etermine

la probabilidad de que el numero que salga sea menor que :" determine la probabilidad de que el numero seamayor que 8 pero menor que 0.

Soluci&n:

$a probabilidad de que P(x

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P (3

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18/22

'a probabilidad de que

pase entre 2& y 3&

minutos leyendoes de 0,417

E.ERCICIO 5. Un empleado via%a todos los d;as de su casa en las afueras a su oficina en el centro de la

ciudad. El tiempo promedio para un via%e de ida es de 79 minutos con una varian1a de Y,9. Si se supone que

la distribucin de los tiempos de via%e est( distribuida normalmente. V=u(l es la probabilidad de que un via%e

le tome m(s de media #oraW Si la oficina abre a las Y'// am y el sale a diario de su casa a las '9: am VRu

porcenta%e de las veces llegar( tarde al traba%oW

Soluci&n2

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Se tiene que'

? 79 y Z Y,9

-robabilidad de via%e de media #ora'

-X[8/! 2 )8/79!4Y,9! 2 )/,59! 2 /,08Y /,7522

Si la oficina abre a las Y'// am'

-X[2:! 2 )2:79!4Y,9! 2 )/,Y5! 2 /.25: /,82:

E.ERCICIO $o3426El )epartamento de &alento Jumano de una universidad #a #ec#o un estudio sobre la

distribucin de las edades del profesorado y #a observado que se distribuyen normalmente con una media de89 aGos y una desviacin t;pica de 5 aGos. )e un total de 9// profesores #allar'

a. V=u(ntos profesores #abr(n con edad menor o igual a 8: aGosWb. V=u(ntos de 9: aGos o m(sWc. V=u(ntos profesores #abr(n con edades mayores a 8/ aGos pero menores a 8:W

Soluci&n

=34 =6

a. V=u(ntos profesores #abr(n con edad menor o igual a 8: aGosW

P (x1.833 )=1P (->1.833 )=10.9656=0.0344

$os profesores con edades de 9: aGos son 9//3/./899280.5 profesores

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c. V=u(ntos profesores #abr(n con edades mayores a 8/ aGos pero menores a 8:W

P (30>x0.666 )=P (-

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CONC%U$ION"$

3e lo/ro dar sol)ci4n a los ejercicios prop)estos por cada )no de los inte/rantesdel /r)po de trabajo.

)bo )n b)en inter8s ( participaci4n por cada )no de los inte/rantes del /r)po enel desarrollo de la actividad.

-s esta )nidad se evidencia las aplicaciones para dar sol)ciones a probleas dela cotidianidad.

Probabilidad es )na ateria 5)e re5)iere )na dedicaci4n para lo/rar )n b)enaprendi7aje de la isa paralelo a esto es de vital iportancia tener las a()dasbiblio/r6icas a la ano ( si es necesario b)scar a()da presencial.

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!I!%IO&RAF'A

*orales A. ;200&acional abierta ( a

Distancia. Teor9a + Probleas De Probabilidad libros *c%RA?@ILL D- *-ICO 1&1 6)ndaentos de la probabilidad rancisco avier *art9n Plie/o -str)c . icente %. alent9n 3. ;200"