probabilidad final

PROBABILIDAD

Experimento

Es una observación de un fenómeno que ocurre

en la naturaleza.

● Experimentos Determinísticos: casos una vez

que se conoce el resultado del experimento en

una repetición, entonces se sabe con certeza lo

que ocurrirá en la siguiente repetición.

● Experimentos Aleatorios: Son aquellos en

donde no se puede anticipar el resultado que

ocurrirá

PROBABILIDAD

Espacio Muestral

Es el conjunto de posibles resultados de un

experimento aleatorio. Representaremos el

espacio muestral por S y cada elemento de él

es llamado un punto muestral.

S1 = { 1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 }

S2 = { C C , C X , X C , X X }

S3 = {VVV,VVN,VNV,NVV,VNN, NNV,

NVN,NNN}

Evento

Es un resultado particular de un experimento

aleatorio. En términos de conjuntos, un

evento es un subconjunto del espacio

muestral. Por lo general se le representa

por las primeras letras del alfabeto.

A: Que salga un número par al lanzar un dado.

A = { 2,4,6}

B: Que salga por lo menos una cruz.

B = {C X ,X C ,XX}

Espacio Muestral y Evento

ENFOQUES DE LA

PROBABILIDAD

ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD

Enfoques de la probabilidad

Subjetivo

Frecuencial

Clásico


● La probabilidad subjetiva

– es el grado de creencia o juicio

personal.


● La probabilidad frecuencial

– es el cociente entre la frecuencia observada

de un suceso y el total de observaciones

cuando un experimento se realiza un número

grande de veces.


● La probabilidad clásica

– se define como el cociente entre el

número de resultados favorables y los

posibles, si todos tienen la misma

posibilidad de presentarse.

MEDIDAS Y ANÁLISIS

Medidas y Análisis

Redondeo

Notación sistematizada

Notación Sigma

Notación Factorial.

Notación Cientifíca

MEDIDAS Y ANÁLISIS

Redondeo.

Es un procedimiento que consiste en escribir un

número que representa una cantidad con menos

cifras de las que tiene, para tener una idea rápida

de la cantidad.

Por ejemplo, si en una obra determinada se

invirtieron 2 458 606 pesos, en lugar de decir dicha

cantidad se menciona “se invirtieron 2.5 millones de

pesos”, la cual es una cifra redondeada.

MEDIDAS Y ANÁLISIS

En ocasiones se tienen cifras que se encuentran

exactamente a la mitad de entre dos números, por

ejemplo 2.235, se encuentra a la misma distancia de

2.23 y de 2.24.

En estos casos se debe decidir por algún criterio que

reduzca el error por redondeo acumulado cuando se

tiene un gran número de datos.

Por lo regular se sugiere que se redondee al par más

cercano. En el caso de 2.235 se redondearía a 2.24;

el número 3.225 se redondearía como 3.22.

MEDIDAS Y ANÁLISIS

Notación sistematizada.

Son las diferentes formas de escribir algunas

de las cantidades que implican notaciones

amplias, en estadística se manejan la

notación sigma, factorial y científica.

MEDIDAS Y ANÁLISIS

Notación sistematizada.

Notación Sigma. Su notación se debe al

nombre de la letra griega , que indica un

conjunto de números o cantidades que

deben ser sumadas. Se representa

mediante Σ.

MEDIDAS Y ANÁLISIS

Donde n = El subíndice del último número de la serie que debe

ser sumada.

xi = Variable con subíndice que representa el iésimo elemento

del conjunto.

= Letra griega sigma que indica que debe realizarse la

sumatoria.

i = El subíndice del primer elemento de la serie que va a ser

sumada.

Ejemplo. La suma de una variable es igual a la suma de cada

una de ellas.

MEDIDAS Y ANÁLISIS

Notación factorial. Es el resultado de multiplicar

su número por todos los números enteros

positivos menores que dicho número, se

representa como n! y se lee “el factorial de n”.

Ejemplo. El factorial de 5

5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120

MEDIDAS Y ANÁLISIS

Notación científica.

Es una manera de escribir en forma breve cifras muy grandes o

muy pequeñas. La forma general es “a x 10”, en donde “a” es

un número entre 1 y 9, “n” es un número entero.

Ejemplo. El número 25 000 se escribe como 2.5 x 104, o el

número 0.00025 se escribe como 2.5 x 10-4.

Nota que si el punto decimal se desplaza a la izquierda el

exponente de la base 10 es positivo e indica el número de

lugares que se movió el punto decimal hacia la izquierda;

en cambio, si se desplaza el punto decimal a la derecha, el

exponente es negativo, e indica el número de lugares que

se recorrió el punto decimal hacia la derecha.

MEDIDAS Y ANÁLISIS

Cifras significativas.

A los dígitos exactos que se utilizan para escribir una

cifra, aparte de los ceros para localizar el punto

decimal, se les llama cifras significativas del número.

Ejemplo. 3.22 tiene tres cifras significativas.

0.0032, que se escribe como 3.2 x 10-3, tiene dos

cifras significativas.

0.00320, que se escribe como 3.20 x 10-3, tiene tres

cifras significativas.

Métodos de

Recolección

Encuesta

Experimento

Investigación Documental

Los datos estadísticos se obtienen a partir de diferentes fuentes, entre las cuales se encuentran:

MEDIDAS Y ANÁLISIS

Métodos de recolección.

● La encuesta consiste en recopilar datos

mediante el uso

MEDIDAS Y ANÁLISIS


El experimento es un procedimiento utilizado en

la investigación científica para obtener

información que permita conocer el

comportamiento de algún proceso.

MEDIDAS Y ANÁLISIS


● La investigación documental es un procedimiento

para obtener datos mediante la consulta de

información ya escrita y concentrada en documentos

que se localicen en libros o revistas en bibliotecas,

hemerotecas, o en centros virtuales.

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Medidas de tendencia

Moda

Media

Mediana

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media.

Es el valor promedio de la distribución. Se representa

con la letra µ o con el símbolo (X testada) ; la primera

es para representar la media de una población y la

segunda para representar la media de una muestra de

población.

Ejemplo. Encuentra la media de 23, 24, 24, 25, 26, 28.

.


Mediana.

Es la puntación de la escala que separa la mitad

superior de la distribución y la inferior, es decir divide la

serie de datos en dos partes iguales. Si el conjunto de

datos es un número impar, la mediana se encontrará a la

mitad de la lista ordenada, ubicándose en la posición (n +

1)/2.

Ejemplo.

La mediana de 21, 23, 24, 24, 25, 26, 28, 29, 30,

es 25.


Moda. Es el valor que más se repite en una distribución.

Puede no existir, o bien en caso de existir, puede

haber uno o más valores que representen a la moda.

Ejemplo. En el conjunto de datos de la tabla, ¿cuál es la

moda?

Como la frecuencia más alta es 10 y pertenece al 52, la

moda es el número 52.


Las dividen un conjunto de datos en grupos con

el mismo número de individuos. Para calcular

las medidas de posición es necesario que

los datos estén ordenados de menor a mayor.

La medidas de posición son:

● Los dividen la serie de datos en cuatro partes

iguales.

● Los dividen la serie de datos en diez partes

iguales.

● Los dividen la serie de datos en cien partes

iguales.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN


Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto

se alejan del centro los valores de la distribución.

Las medidas de dispersión son:

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de

los datos de una distribución estadística. Se

representa con la letra R (no debe confundirse con el

rango de una función).

Ejemplo. Determina el rango de los datos 21, 21, 23, 24,

24, 25, 26, 28, 29, 30.

R = 30 – 21 = 9


Cada dato tiene una cierta distancia respecto a la media; a la

diferencia entre un valor xi, y la media , se le llama

desviación o desvío.

Ejemplo. Considerando el conjunto A, cuyos elementos son 5, 8,

10, 12, 15, y con media igual a 10. Determina los desvíos de

cada uno de los datos respecto a la media.


La desviación media es una medida que

intenta representar a los desvíos, empleando

los valores absolutos de los mismos. Se

calcula mediante la siguiente expresión:


La de un conjunto de datos es un estadístico que representa

la variación que tienen los datos respecto a la media. Se

representa con s2, si se trata de la varianza de una

muestra. Para calcularla se utiliza la siguiente fórmula:

Ejemplo. Determina el valor de la varianza del conjunto 21,

21, 23, 24, 24, 25, 26, 28, 29, 30, cuya media es 25.1

La desviación tipica o estándar es la raíz

cuadrada de la varianza.

Ejemplo. Calcula la desviación típica del

ejercicio anterior.

DISTRIBUCIONES DE

FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y

RELATIVAS ACUMULADAS

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS:

ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS

Una distribución de frecuencias o tabla de

frecuencias es una ordenación en forma de

tabla de los datos estadísticos, asignando a

cada dato su frecuencia correspondiente.



Tipos de Frecuencias

Absoluta

Acumulada

Relativa

Relativa Acumulada


ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADASTipos de frecuencia:

La frecuencia absoluta es el número de veces que

aparece un determinado valor en un estudio

estadístico. Se representa por fi. La suma de las

frecuencias absolutas es igual al número total de

datos, que se representa por N. f1 + f2 + f3 +…+ fn = N

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la

letra griega ∑.



Tipos de frecuencia:

La frecuencia acumulada es la suma de las

frecuencias absolutas de todos los valores

inferiores o iguales al valor considerado. Se

representa por Fi.



La frecuencia relativa es el cociente entre la

frecuencia absoluta de un determinado valor y

el número total de datos. Se puede expresar en

tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.



La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre

la frecuencia acumulada de un determinado valor y el

número total de datos. Se puede expresar en tantos

por ciento.



Ejemplo. Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado

las siguientes temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32,

31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30,

31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

fi=frecuencia absoluta

Fi=frecuencia acumulada

ni=frecuencia relativa

Ni=frecuencia relativa acumulada



La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con

datos agrupados se emplea si las variables toman un

número grande de valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la

misma amplitud denominados intervalos de clases.

A cada clase se le asigna su frecuencia

correspondiente.



Límites de la clase. Cada clase está delimitada por el

límite inferior de la clase y el límite superior de la

clase.

Amplitud de la clase. Es la diferencia entre el límite

superior o inferior de la clase.

Marca de clase. Es el punto medio de cada intervalo y

es el valor que representa a todo el intervalo para el

cálculo de algunos parámetros.



Ejemplo. Construye una tabla de datos agrupados con la

siguiente distribución. 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36,

34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47,

39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.



Primero se localizan los valores menor y mayor de la

distribución. En este caso son 3 y 48. Se restan y se

busca un número entero un poco mayor que la

diferencia y que sea divisible por el número de

intervalos que queramos poner. Es conveniente que el

número de intervalos oscile entre 6 y 15. En este

caso, 48 – 3 = 45, incrementamos el número hasta 50,

dividido entre 5, nos quedan 10 intervalos. Se forman

los intervalos teniendo presente que el límite inferior

de una clase pertenece al intervalo, pero el límite

superior no pertenece , entonces se cuenta en el

siguiente intervalo.

REPRESENTACIONES GRÁFICAS


Histograma


Polígono de frecuencia


Ojiva


Gráfica de barras


Gráfico circular (Gráfica de pastel)


Diagramas de caja


Ejemplo. Utilizamos la ya usada distribución de frecuencias, que

representan la edad de un colectivo de 20 personas.

３６． 25 37 24 39 20 36 45 31 31 39 24 29 23 41 40 33 24

34 40

Para calcular los parámetros estadístico, lo primero es ordenar la

distribución.

20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40

40 41 45


20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40

41 45

Q1, el cuartil Primero es el valor mayor que el 25% de los valores

de la distribución. Como N = 20 resulta que N/4 = 5; el primer

cuartil es la media aritmética de dicho valor y el siguiente:

Q1=(24 + 25) / 2 = 24,5

REPRESENTACIONES GRÁFICAS20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40

41 45

Q2, el Segundo Cuartil es, evidentemente, la mediana de la

distribución, es el valor de la variable que ocupa el lugar central

en un conjunto de datos ordenados. Como N/2 =10 ; la mediana

es la media aritmética de dicho valor y el siguiente:

Mediana = Q2 = (33 + 34)/ 2 =33,5

REPRESENTACIONES GRÁFICAS20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40

40 41 45

Q3 , el Tercer Cuartil, es el valor que sobrepasa al 75% de los

valores de la distribución. En nuestro caso, como 3N / 4 = 15,

resulta:

Q2=(39 + 39) / 2 = 39


El bigote de la izquierda representa al colectivo de

edades ( Xmín, Q1)

La primera parte de la caja a (Q1, Q2),

La segunda parte de la caja a (Q2, Q3)

El bigote de la derecha viene dado por (Q3,

Xmáx).

EXPERIMENTOS Y EVENTOS


Probabilidad de eventos simples.

La probabilidad clásica de un evento E, se

escribe p(E), se define como el número de

resultados que componen al evento E, entre el

número de resultados que componen el

espacio muestral:


Probabilidad de eventos compuestos.

Cuando calculas probabilidades, a menudo

tienes que tomar en consideración dos o más

eventos, conocidos como eventos

compuestos.

En un evento compuesto, si el segundo evento

no depende del resultado del primer evento,

entonces los eventos son independientes.

Si el resultado de un evento compuesto influye

en el otro evento, entonces los eventos son

dependientes.


Probabilidad de dos eventos independientes. La

probabilidad de que ocurran dos eventos

independientes se calcula multiplicando la

probabilidad del primer evento por la probabilidad del

segundo evento.

P(A y B) = P(A) . P(B)


Probabilidad de dos eventos dependientes. Si dos

eventos A y B son dependientes, entonces la

probabilidad de que ocurran los dos eventos es igual

al producto de la probabilidad de A por la probabilidad

de B después de ocurrir A.

P(A y B) = P(A) . P(B dado A)


Probabilidad axiomática. La probabilidad desde el punto de

vista axiomático, propone las reglas que el cálculo de las

probabilidades debe satisfacer, para ello se basa en los

siguientes 3 postulados y axiomas:

La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual

que cero; P(A) 0.

La probabilidad del total, Ω, es igual a 1; P(Ω) = 1.

Si dos sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, que no

ocurren simultáneamente, entonces la probabilidad del suceso

compuesto por ambos es la suma de las probabilidades de

cada uno de los sucesos; P(A1 ᴗA2) = P(A1) + P(A2)


Tomando en cuenta que la probabilidad de un evento, por

definición, es la frecuencia relativa, entonces se tiene lo

siguiente:

Si A es un evento de un espacio muestral S, y p(A) es la

probabilidad de A, entonces se satisfacen los axiomas de la

probabilidad:

Axioma 1. La probabilidad de un suceso A es un número real

entre 0 y 1. 0 < p(A) < 1.

Axioma 2. La probabilidad de S es igual a 1. P(S) = 1

Axioma 3. Si A1 y A2 son sucesos mutuamente excluyentes,

entonces la probabilidad de la unión de ellos es la suma de sus

probabilidades. P(A ᴗB) = P(A1) + P(A2).


Probabilidad condicional.

Se denomina a la probabilidad de que ocurra un

evento en particular, dado que ocurrió otro evento.

La probabilidad de que ocurra el evento A dado que

ya ocurrió B se denota como P(A/B).

P(A/B) se lee “p de A dado B” y significa “la

probabilidad del evento A, dado que el evento B

ocurre”.


Ejemplo.

Considera un cuadrado formado a su vez por 16 cuadritos.

La probabilidad de que ocurra el cuadrito es 1/16. Sin

embargo, la probabilidad de que ocurra el mismo

cuadrito una vez que ya ha ocurrido en B, se escribe

P(A/B), es ¼.

DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Distribución normal. Es una distribución de

variable continua que queda especificada por

dos parámetros de los que depende su función

de densidad y que resultan ser la media (µ) y

su desviación típica (σ).

Su función de densidad es:


Distribución binomial

La distribución binomial está asociada a experimentos

del siguiente tipo:

● Realizamos n veces cierto experimento en el que

consideramos sólo la posibilidad de éxito o fracaso.

● La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es

independiente de la obtención de éxito o fracaso en

las demás ocasiones.

● La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es

la misma en cada ocasión.


DISTRIBUCIONES MUESTRALES.

Cuando n es lo bastante grande, su distribución

muestral también es una normal. El último resultado

es cierto sea cual sea la distribución de los datos

originales. Es decir, la distribución de la media

muestral es normal sea cual sea la distribución

original. Este resultado fundamental de la estadística

tiene un nombre propio: el teorema del límite central.


El teorema del límite central dice que si una muestra

es lo bastante grande (n > 30), sea cual sea la

distribución de la variable de interés, la distribución de

la media muestral será aproximadamente una normal.

Además, la media será la misma que la de la variable

de interés, y la desviación típica de la media muestral

será aproximadamente el error estándar.

Una consecuencia de este teorema es la siguiente:

Dada cualquier variable aleatoria con esperanza m y

para n lo bastante grande, la distribución de la

variable es una normal estándar.


Parámetro. Es una cantidad numérica calculada sobre

una población y resume los valores que ésta toma en

algún atributo.

Intenta resumir toda la información que hay en la

población en unos pocos números (parámetro). La

altura media de los sujetos.


Estadístico. Es una cantidad numérica calculada sobre

una muestra que resume su información sobre algún

aspecto.

Si un estadístico se usa para aproximar un parámetro

también se le suele llamar estimador.

Normalmente os interesa conocer un parámetro, pero

por la dificultad que conlleva estudiar a *TODA* la

población, calculamos un estimador sobre una

muestra y confiamos en que sean próximos.

REGLAS DE PROBABILIDAD

Sucesos mutuamente excluyentes. Dos o más eventos

son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden

ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un

evento impide automáticamente la ocurrencia del otro

evento (o eventos).

Ejemplo. Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que

salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere

decir que estos eventos son excluyentes.


Regla de la adición. Si p1, p2, p3, … pn, son las

probabilidades de n sucesos mutuamente

excluyentes. La probabilidad P de que uno de estos

sucesos se presente en un solo ensayo, estará da por

la suma de las probabilidades de cada suceso, esto

es

P= p1 + p2 + p3 +…+pn

P(A o B) = P(A) + P(B)


Sucesos compatibles. Dos o más eventos son

compatibles, o que no son mutuamente excluyentes,

cuando la ocurrencia de un suceso no impide la

ocurrencia de un seceso no impide la ocurrencia del

otro.


Sucesos independientes. Dos o más eventos son

independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia

de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de

ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico

de eventos independientes es el muestreo con

reposición, es decir, una vez tomada la muestra se

regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Regla de la multiplicación. Si p1, p2, p3, …pn, son las

probabilidades de n sucesos independientes. La

probabilidad P de que uno de estos sucesos se

presente en un solo ensayo, estará dada por el

producto de cada suceso, esto es:


Sucesos dependientes. Dos o más eventos serán

dependientes cuando la ocurrencia o no- ocurrencia

de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia

del otro (u otros). Cuando tenemos este caso

empleamos entonces, el concepto de probabilidad

condicional para denominar la probabilidad del evento

relacionado. La expresión P(AB) indica la probabilidad

de ocurrencia del evento A si el evento B ya ocurrió.

●Combinaciones, Variaciones y

Permutaciones

Combinaciones

● Determinaciones de subgrupos de un conjunto

de elementos a ser agrupados en n cantidad.

● Ejemplo

● Calcular las posible combinaciones de 2

elementos que se pueden formar con los

grupos A={1,2,3}

● B={(1,2)(1,3)(2,3)}

Combinaciones

Variaciones


de elementos a ser agrupados en n cantidad;

considerando las diferencias y orden de los

elementos.

Variaciones

● Ejemplo

● Calcular las posible variaciones de 2 elementos

que se pueden formar con los grupos A={1,2,3}

● B={(1,2)(1,3),(2,1),(2,3),(3,1)(3,2)}

Variaciones

● Calcular las posible

variaciones de 2

elementos que se

pueden formar con los

grupos A={1,2,3}

Permutaciones


de elementos ; en donde se utilizan todos lo

elementos de conjunto, por lo tanto lo que

diferencia a cada grupo es el orden de los

elementos.

Permutaciones

● Calcular las posible formas en que se pueden

ordenar los numeros A={1,2,3}

● B=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)

Permutaciones

● Calcular las posible

formas en que se

pueden ordenar los

numeros A={1,2,3}

● B=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),

(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)

probabilidad final

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