proba y modelos de estadistica general

TEORÍA de la PROBABILIDAD Y MODELOS DE ESTADÍSTICA GENERAL

Ing. Sergio Aníbal Dopazo

UADE – Facultad de Ingeniería Página 1 de 28

CÁLCULO DE PROBABILIDADES – (Teoría de la Probabilidad) En nuestra vida nos enfrentamos a situaciones de toma de decisiones cuando interviene la incertidumbre (incapacidad de predecir con certeza lo que va a ocurrir). Cualquier enfoque analítico de este tipo de problemas, supone la evaluación de la medida en que es posible que ciertos sucesos hayan ocurrido o vayan a ocurrir. El cálculo de probabilidades dará como resultado esta medida. CONCEPTOS PREVIOS IMPORTANTES

• EXPERIMENTO ALEATORIO: Es cualquier desarrollo físico observable que pueda dar lugar a dos o más resultados, sin que sea posible enunciar con certeza cuál de estos resultados va a ser observado. Por ejemplo, en el experimento aleatorio de arrojar un dado se pueden obtener seis resultados diferentes: as, dos, tres, cuatro, cinco y seis, pero, de antemano, no se puede decir que número va a salir. Los experimentos son situaciones que pueden ser repetidas bajo condiciones esencialmente estables. Las repeticiones pueden ser factibles y de realización efectiva (como el caso del dado), o abstractas y teóricamente concebibles (como por ejemplo analizar si la inversión en la bolsa da tal o cual utilidad).

• SUCESO, EVENTO O ACONTECIMIENTO ALEATORIO: Es cada uno de los diferentes

resultados a los que puede dar lugar un experimento aleatorio. Cada uno de los resultados posibles, constituye un suceso aleatorio. A los sucesos se los pueden definir como los subconjuntos de un "espacio muestral". El suceso o evento es simple si está formado exactamente por un resultado, o es compuesto si consta de más de un resultado.

• ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados diferentes (o aquellos que

deseamos considerar diferentes) a que da lugar un experimento aleatorio. DEFINICIONES DE PROBABILIDAD Se puede especificar que una probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1, que indica cuán posible es la ocurrencia de un suceso. Se mueve dentro de tres campos: ocurrencia imposible (si un suceso tiene probabilidad 0); ocurrencia segura o certera (si tiene probabilidad 1); y ocurrencia incierta, posible o probable (si tiene otro resultado). Hay un punto llamado de indiferencia o ignorancia (si la probabilidad toma el valor 0,5). Desde un enfoque matemático científico se intentó definir a la probabilidad como la rama de las matemáticas que interpreta y predice las frecuencias con que ocurrirán los hechos o sucesos en el futuro. Pero esta definición parece descartar que el concepto de probabilidad es intuitivo, por lo tanto se hace difícil elaborar una definición que englobe en conjunto todos los aspectos posibles de ella. Hay tres criterios parciales que permitirían dar una definición acabada:

• DEFINICIÓN CLÁSICA O CANÓNICA (DE LAPLACE): El matemático francés Pedro Simón "marqués de Laplace" (1749-1827), como consecuencia del estudio de los juegos de azar, la ha definido como el número de casos favorables a un suceso ( c ) divido el número de casos posibles o número total de casos ( n ). Esta definición tiene restricciones y condiciones para que se cumpla: por una parte los casos

de 28 Ing. Sergio A. Dopazo – UADE – Facultad de Ingeniería

favorables deben ser todos los casos que quiero que ocurran; y por otra parte los casos posibles deben ser equiprobables (que tengan igual probabilidad de ocurrencia). Si por ejemplo queremos calcular la probabilidad de que ocurra un suceso A, tenemos:

nc

)A(P ====

Pese a ser una definición circular (se basa en el concepto que se quiere definir, al mencionar la equiprobabilidad de los casos posibles), esta definición permitió el desarrollo inicial de la teoría de las probabilidades.

• DEFINICIÓN BASADA EN LA FRECUENCIA: Trata sobre sucesos indefinidamente

repetibles bajo las mismas condiciones. Si en n pruebas el suceso A se presentó una cierta cantidad de veces )A(fa (frecuencia absoluta de aparición del suceso A), definimos a la frecuencia relativa de aparición del suceso como:

n)A(f

)A(f a====

La escuela alemana, basada en la frecuencia (R. Von Misses), define a la probabilidad del suceso A, como la frecuencia relativa de ocurrencia del suceso cuando el número de pruebas tiende a infinito: )A(flím)A(P

n ∞∞∞∞→→→→====

No se trata de un límite rigurosamente matemático sino conceptual, ya que indica que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, más cerca estará la frecuencia relativa del valor de la probabilidad. El mayor mérito de esta definición es que nos permite relacionar probabilidades teóricas (casi siempre desconocidas) con frecuencias relativas (sacadas de la experimentación); y esto es el principio de la inferencia estadística que desarrollaremos con mayor detalle en el momento oportuno.

• DEFINICIÓN AXIOMÁTICA (Nicolaevich KOLMOGOROFF): En vista de la

parcialidad de las definiciones vistas, se concluyó por definir a la probabilidad en forma axiomática. Ésta se basa en la teoría de conjuntos, para ello debemos desarrollar algunos conceptos. Los diferentes sucesos y el espacio muestral se visualizan mediante los idiogramas o diagramas de Venn. Los sucesos se pueden clasificar en:

o INCOMPATIBLES (EXCLUYENTES o MUTUAMENTE EXCLUYENTES):

En un mismo espacio muestral, la ocurrencia de uno de los sucesos excluye de que ocurra otro (si uno se está dando el otro no puede ocurrir);

φφφφ====∩∩∩∩ )BA( o COMPATIBLES: φφφφ≠≠≠≠∩∩∩∩ )BA( . Estos a su vez, se los puede dividir en:

COMPATIBLES CONDICIONADOS: La ocurrencia de uno de los sucesos condiciona la ocurrencia del otro suceso. Si uno de los dos se está dando, esto modifica y condiciona a que el otro suceso también se dé. COMPATIBLES INDEPENDIENTES: Cada suceso posee su propio espacio muestral. La ocurrencia de uno no modifica la ocurrencia del otro. Que uno de los sucesos se esté dando, no modifica ni influye en la ocurrencia o no del otro suceso.




Dado un experimento, "E" (el espacio muestral de referencia o estudio) y "A y B" (eventos o posibles sucesos dentro del espacio muestral); el objetivo de la probabilidad es asignar a cada evento un número, que es una función "P" (función de probabilidad de los sucesos). Se define a P(A) como la probabilidad de que ocurra el suceso o evento A en la realización de un experimento, cuyo resultado será una medida precisa de la probabilidad de que A ocurra (también se la denomina probabilidad marginal). Esta probabilidad se visualiza en el espacio muestral de referencia como el porcentaje de ocupación que tiene el conjunto del evento posible dentro de ese espacio. AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD Para asegurarse de que las asignaciones de probabilidad sean consistentes con nuestras nociones intuitivas de probabilidad, todas las asignaciones deberán satisfacer los siguientes axiomas (propiedades básicas): AXIOMA 1: La probabilidad de que ocurra un suceso A es un número real no negativo que es posible asignar a un universo o espacio muestral E y a cada uno de los subconjuntos de ese universo. 0)A(P ≥≥≥≥ AXIOMA 2: La probabilidad de un suceso cierto es igual a la unidad (tomando como suceso cierto a todo lo que es posible asignar dentro de un espacio muestral). 1)E(P ==== AXIOMA 3: La probabilidad del suceso suma de dos sucesos excluyentes, es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. )B(P)A(P)BA(PBASi ++++====∪∪∪∪��φφφφ====∩∩∩∩ REGLAS DE LA PROBABILIDAD: De estos axiomas se desprenden las siguientes reglas: REGLA de la SUMA: (((( ))))o====�

• Sucesos Incompatibles: )B(P)A(P)BA(P ++++====∪∪∪∪ • Sucesos Compatibles: )BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩∩∩∩−−−−++++====∪∪∪∪

REGLA de la MULTIPLICACIÓN: (((( ))))y====�

• Sucesos Compatibles Independientes: )B(P)A(P)BA(P ⋅⋅⋅⋅====∩∩∩∩ • Sucesos Compatibles Condicionados: )BA(P)B(P)AB(P)A(P)BA(P ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====∩∩∩∩

OTRAS REGLAS:

• Probabilidad Condicional: (((( )))))B(P

)BA(PB

AP∩∩∩∩====

• )A(P1)A(P −−−−====

• Lema de Morgan: )BA(P1)BA(P ∩∩∩∩−−−−====∪∪∪∪ (se generaliza para la unión de más de 2)

• (((( )))) ��

��−−−−==== BAP1B

AP

• )BA(P)BA(P)A(P ∩∩∩∩++++∩∩∩∩====

• )BA(P)BA(P)B(P ∩∩∩∩++++∩∩∩∩====


Veamos algunas generalidades que se derivan de las reglas básicas:

• Sucesos Incompatibles: ...)C(P)B(P)A(P...)CBA(P ++++++++++++====∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪ • Sucesos Independientes: ...)C(P)B(P)A(P...)CBA(P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩

• Sucesos Condicionados:

...)CBA/(...P)BA/C(P)AB(P)A(P...)CBA(P ∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩⋅⋅⋅⋅∩∩∩∩⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩

• Sucesos Compatibles: )CBA(P)CB(P)CA(P)BA(P)C(P)B(P)A(P)CBA(P ∩∩∩∩∩∩∩∩++++∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−++++++++====∪∪∪∪∪∪∪∪

Para la unión de más de 3 sucesos compatibles hay que seguir la lógica planteada, lo cual si la cantidad de sucesos es considerable, la regla resulta engorrosa; por ello, en estas circunstancias se recomienda utilizar el “Lema de Morgan”. Veamos un ejemplo para la unión de 5 sucesos compatibles:

)EDCBA(P)EDCB(P)EDCA(P)EDBA(P)ECBA(P)DCBA(P

)EDC(P)EDB(P)ECB(P)DCB(P)EDA(P)ECA(P)DCA(P)EBA(P)DBA(P)CBA(P

)ED(P)EC(P)DC(P)EB(P)DB(P)CB(P)EA(P)DA(P)CA(P)BA(P)E(P)D(P)C(P)B(P)A(P)EDCBA(P

∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩++++∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩−−−−−−−−∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩−−−−

−−−−∩∩∩∩∩∩∩∩++++∩∩∩∩∩∩∩∩++++∩∩∩∩∩∩∩∩++++∩∩∩∩∩∩∩∩++++∩∩∩∩∩∩∩∩++++++++∩∩∩∩∩∩∩∩++++∩∩∩∩∩∩∩∩++++∩∩∩∩∩∩∩∩++++∩∩∩∩∩∩∩∩++++∩∩∩∩∩∩∩∩++++

++++∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−−−−−∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−++++++++++++++++====∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪

TEOREMA DE BAYES: (Es un caso particular de la Probabilidad Condicional):

• (((( ))))

(((( ))))��

��

��

��⋅⋅⋅⋅

��

��⋅⋅⋅⋅

====��

��

II

II

I

ASPAP

ASPAP

SAP

• Siendo: Ai ,Sucesos (incompatibles entre si) Causa o Causales del Suceso S, el cual es

conocido u bien es un suceso ocurrido.

• (((( ))))IAP : Probabilidad de la Causa, A priori a la ocurrencia del Suceso S.

• ��

��

IASP : Probabilidad Condicional del Suceso S como condición de la Causa

(probabilidad de que el suceso S se de, si la causa Ai es la responsable).

• ��

��

SAP I : Probabilidad de la Causa A posteriori a la ocurrencia del Suceso S

(probabilidad de que la causa sea responsable habiendo ocurrido el suceso S.




CONSIDERACIONES FINALES Es necesario realizar algunas observaciones adicionales sobre la asignación de probabilidades:

a) Asignar probabilidades, es hacer corresponder a cada punto o subconjunto (A) del espacio muestral un valor P(A) que cumple con las condiciones axiomáticas enunciadas.

b) En la práctica se asignan probabilidades a algunos sucesos cuidadosamente seleccionados y luego se lo compara con un modelo teórico previamente elegido. La estadística provee herramientas para comparar los datos obtenidos con el modelo y si la coincidencia es satisfactoria, definiremos que el modelo ajusta bien con los datos. A este procedimiento se lo denomina Modelización de una variable a partir de datos obtenidos.

c) La ley de asignación de probabilidades (la ley que siguen las P(A)) en función de los valores de A (el MODELO), es un tema que trataremos en las siguientes páginas. Sin embargo, es necesario destacar que, cuando se menciona un valor de probabilidad, ese valor puede ser el resultado de una asignación puramente arbitraria y/o subjetiva, de un cálculo sencillo o provenir de una función matemática (la cual definimos como “Modelo Estadístico de Probabilidad” o simplemente “Función de Probabilidad”); en cualquier caso de asignación de la ley de probabilidad, las fórmulas básicas que se han visto en las páginas anteriores se cumplen en toda su extensión.


VARIABLES ALEATORIAS y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

El concepto de una variable aleatoria nos permite pasar de los resultados experimentales a una función numérica de los resultados. Una Variable Aleatoria (VA.) "X" es una regla bien definida para asignar valores numéricos a todos los resultados posibles de un experimento (regla mediante la cual a cada uno de los resultados de un experimento se le asocia un número). También se la puede definir como una descripción numérica del resultado de un experimento (la VA. asocia un valor numérico con cada resultado posible, por lo tanto es una regla de asociación). El valor numérico de la VA. depende del resultado del experimento. "X" es variable porque son posibles diferentes valores numéricos. Es aleatoria porque el valor observado depende de cuál de los posibles resultados experimentales aparezca, y, además, porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral. "X" es una función de valor real definida sobre el espacio muestral, de manera que transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas. Se pueden definir VA. cuyos números de posibles valores es finito, o VA. cuyos valores son infinitos (sean contables o no), ya que una VA. es una caracterización cuantitativa de los resultados de un espacio muestral. Dependiendo de los valores numéricos que asume, las VA. se pueden clasificar en VA. Discretas y VA. Continuas.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS "X", es una VA. discreta si el número de valores que puede tomar es contable (ya sea finito o infinito), y si éstos pueden arreglarse en una secuencia que corresponde con los enteros positivos. En general, todo lo que se quiere expresar de manera contable (cantidad de unidades defectuosas, cantidad de vehículos que arriban o parten, etc.), es una VA. discreta. En resumen, una VA. es discreta si su conjunto de valores posibles es un conjunto discreto. Un conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente, en la lista. DOMINIO de la VARIABLE: V.A. = r ; Máxrmín ≤≤≤≤≤≤≤≤

• )r(P)rVA(P ��==== ; (((( ))))[[[[ ]]]] 1rPMáx

mínii ====��

====

• ��====��≤≤≤≤r

mín

)r(P)r(F)rVA(P ; ��====��≥≥≥≥Máx

r

)r(P)r(G)rVA(P

• )r(P1)r(G)r(F ++++====++++ ; )1r(G)r(G)1r(F)r(F)r(P ++++−−−−====−−−−−−−−====

• )1r(G1)r(F ++++−−−−==== ; )1r(F1)r(G −−−−−−−−====




• )1B(G)A(G)1A(F)B(F)r(P)BrA(PB

Ar

++++−−−−====−−−−−−−−========≤≤≤≤≤≤≤≤ ��====

• Moda o Modo: (((( )))) MáximorPrMo oo ====��====

• Mediana: (((( )))) (((( )))) 5,0rFy5,0rFrMe e1ee ≥≥≥≥≤≤≤≤��==== −−−−

• Esperanza Matemática Total: [[[[ ]]]]��====

⋅⋅⋅⋅====µµµµ====Máx

mínr

)r(Pr)r(E

• Expectativa Parcial Izquierda: [[[[ ]]]]�� ⋅⋅⋅⋅====r

mín

)r(Pr)r(H

• Expectativa Parcial Derecha: [[[[ ]]]]�� ⋅⋅⋅⋅====Máx

r

)r(Pr)r(J

• )1r(H)r(J)1r(J)r(H −−−−++++====++++++++====µµµµ , se demuestra que una expectativa se puede obtener

a partir de la otra.

• Promedios Truncados: )r(G)r(J

;)r(F)r(H

)rVA(T)rVA(T ====µµµµ====µµµµ ≥≥≥≥≤≤≤≤

)1B(G)A(G)1B(J)A(J

)1A(F)B(F)1A(H)B(H

)BrA(T ++++−−−−++++−−−−====

−−−−−−−−−−−−−−−−====µµµµ ≤≤≤≤≤≤≤≤

• [[[[ ]]]] (((( ))))2Máx

mínr

22 )r(Pr)r(V µµµµ−−−−��

�� ∗∗∗∗====σσσσ==== ��

====

; 2)r(D σσσσ====σσσσ====

• [[[[ ]]]]

3

Máx

mínr

3

3

)r()r(PAs

σσσσ

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====αααα====��==== ;

[[[[ ]]]]4

Máx

mínr

4

4

)r()r(PKu

σσσσ

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====αααα====��====

• Propiedades Matemáticas de la Esperanza Matemática y de la Varianza. Sean “x” e

“y” dos Variables Aleatorias, y “a” y “b” dos constantes, se demuestran las siguientes propiedades en la combinación algebraica de dichos elementos:

2y

2x

22RyxR a;babyaxR σσσσ++++σσσσ⋅⋅⋅⋅====σσσσ±±±±µµµµ±±±±µµµµ⋅⋅⋅⋅====µµµµ��±±±±±±±±====

2x

2y

2y

2x

2y

2x

2RyxR ;yxR σσσσ⋅⋅⋅⋅µµµµ++++σσσσ⋅⋅⋅⋅µµµµ++++σσσσ⋅⋅⋅⋅σσσσ====σσσσµµµµ⋅⋅⋅⋅µµµµ====µµµµ��⋅⋅⋅⋅====


PROCESO DE BERNOULLI (Jacques Bernoulli, 1654 – 1705):

Parámetro: Probabilidad de Éxito (p)

Es un proceso físico de repeticiones de un determinado experimento en el cual observamos la ocurrencia o no de un determinado evento. Estos experimentos dan lugar a ensayos independientes repetidos, cada uno de los cuales tiene sólo dos resultados posibles: éxito (ocurre el evento deseado) o fracaso (no ocurre el evento deseado). Las condiciones en las que se realizan todas las pruebas deben ser iguales.

Ejemplos de procesos de Bernoulli: tirar un dado equilibrado, sacar elementos con reposición

de una caja, sacar muestras de elementos finitos de un proceso productivo o un proceso de la naturaleza (muestreo para el control de procesos), sacar una muestra de un lote de tamaño infinito, todo proceso de experimentación dónde la probabilidad del éxito buscado sea constante, etc.

A. MODELO BINOMIAL: Variable Aleatoria: r = Cantidad de éxitos en “n”

Dominio: nr0 ≤≤≤≤≤≤≤≤ ; Parámetros: “n” y “p”

• (((( )))) )rn(rb p1p

rn

)p;n/r(P)rVA(P −−−−−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅��

��

��====��====

• ��====

−−−−

��

��−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅��

��

��

��====��≤≤≤≤

r

0x

)xn(xb )p1(p

xn

)p;n/r(F)rVA(P

• ��====

−−−−

��

��−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅��

��

��

��====��≥≥≥≥

n

rx

)xn(xb )p1(p

xn

)p;n/r(G)rVA(P

• Esperanza Matemática: pn ⋅⋅⋅⋅====µµµµ ; Varianza: )p1(pn2 −−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====σσσσ

• )p;1n/1r(Fpn)r(H bb −−−−−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

• Moda: (((( )))) (((( ))))ppnMo)p1(pn ++++⋅⋅⋅⋅<<<<<<<<−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅

• Asimetría: )p1(pn

p)p1(3 −−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−−−−−−−====αααα ; Curtosis: )p1(pn

)p1(p614 −−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====αααα

• ¡Ver Aproximaciones al final del apunte!




B. MODELO PASCAL(Blaise Pascal, 1623 – 1662):

Variable Aleatoria: n = Cantidad de pruebas para obtener “r” Dominio: ∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤≤≤ nr ; Parámetros: “r” y “p”

• (((( )))) )p;n/r(Pnr

p1p1r1n

)p;r/n(P)nVA(P b)rn(r

pa ⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅��

��

��

−−−−−−−−

====��==== −−−−

• )p;n/r(G)p1(p1r1x

)p;r/n(F)nVA(P b

n

rx

)rx(rpa ====

��

��−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅��

��

��

��

−−−−−−−−

====��≤≤≤≤ ��====

−−−−

• )p;1n/1r(F)p1(p1r1x

)p;r/n(G)nVA(P bnx

)rx(rpa −−−−−−−−====

��

��−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅��

��

��

��

−−−−−−−−

====��≥≥≥≥ ��∞∞∞∞

====

−−−−

• Esperanza Matemática: pr====µµµµ ; Varianza: 2

2

p)p1(r −−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ

• )p;1r/1n(Fpr

)n(H papa ++++++++⋅⋅⋅⋅====

• Asimetría: )p1(r

p23 −−−−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅====αααα ; Curtosis: pr

6p6p2

4 ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++====αααα

C. MODELO GEOMÉTRICO: Ídem al Modelo de Pascal, pero se realizan pruebas hasta el primer éxito encontrado.

Variable Aleatoria: n = Cantidad de pruebas para obtener “el primer éxito” Dominio: ∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤≤≤ n1 ; Parámetro: “p”

• (((( )))) )1n(

geo p1p)p;1/n(P)nVA(P −−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====��====

• [[[[ ]]]] )p;n/1(G)p1(p)p;1/n(F)nVA(P b

n

1x

)1x(geo ====−−−−⋅⋅⋅⋅====��≤≤≤≤ ��

====

−−−−

• [[[[ ]]]] 1n

nx

)1x(geo )p1()p1(p)p;1/n(G)nVA(P −−−−

∞∞∞∞

====

−−−− −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅====��≥≥≥≥ ��

• Esperanza Matemática: p1====µµµµ ; Varianza: 2

2

p)p1( −−−−====σσσσ


• )p;2/1n(Fp1

)n(H geogeo ++++⋅⋅⋅⋅====

• Asimetría: )p1(

p23 −−−−

⋅⋅⋅⋅====αααα ; Curtosis: )p1(

6p6p2

4 −−−−++++⋅⋅⋅⋅++++====αααα

D. MODELO MULTINOMIAL: Ídem al Modelo Binomial, pero se realizan pruebas con más de dos resultados posibles.

Variables Aleatorias: “ r1 ; r2 ; … ; rk “ ; nrk

1ri ====��

====

Parámetros: “n” y “ p1 ; p2 ; … ; pk “ ; 1pk

1pi ====��

====

• ====��============ )p,...,p,p;n/r;...;r;r(P)rVA;...;rVA;rVA(P k21k21mukk2211

∏∏∏∏====

��

��⋅⋅⋅⋅====

k

1i i

ri

!rp

!ni

• Esperanza Matemática: iri pn)r(E

i⋅⋅⋅⋅====µµµµ==== ; Varianza: )p1(pn)r(V ii

2ri i

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====σσσσ====

PROCESO HIPERGEOMÉTRICO

Parámetros: Total de elementos, posibles, que intervienen en el experimento a realizar, o tamaño del lote a examinar (N).

Cantidad total de éxitos en el total de elementos posibles o en el lote a examinar (R).

Es un proceso físico de repeticiones de un determinado experimento en el cual observamos la

ocurrencia o no de un determinado evento. Estos experimentos dan lugar a ensayos repetidos, los cuales no son independientes entre sí, y, también tienen cada uno sólo dos resultados posibles: éxito (ocurre el evento deseado) o fracaso (no ocurre el evento deseado). Las condiciones en las que se realizan todas las pruebas no son iguales, porque a medida que ocurre un resultado de una prueba, éste condiciona el resultado de la siguiente prueba.

Ejemplos de procesos Hipergeométricos: números salidos en una lotería, sacar elementos sin

reposición de una caja, sacar una muestra de un lote de tamaño finito (muestreo para aceptación de un lote), todo proceso de experimentación dónde la probabilidad del éxito buscado en cada experimento condicione a la probabilidad del éxito del siguiente experimento (o sea que la probabilidad del éxito no es constante), etc.




A. MODELO HIPERGEOMÉTRICO

Variable Aleatoria: r = Cantidad de éxitos en “n” extracciones Dominio: [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]R;nMínr)RN(n;0Máx ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−−−−− ; Parámetros: “n” ; “N” y “R”

•

��

��

��

��

��

��

−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅��

��

��

====��====

nN

rnRN

rR

)R;N;n/r(P)rVA(P h

• ��====

��

��

��

��

��

��

��

��

��

−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅��

��

��

====��≤≤≤≤r

mínxh

nN

xnRN

xR

)R;N;n/r(F)rVA(P

• ��====

��

��

��

��

��

��

��

��

��

−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅��

��

��

====��≥≥≥≥Máx

rxh

nN

xnRN

xR

)R;N;n/r(G)rVA(P

• Esperanza Matemática: NR

n ⋅⋅⋅⋅====µµµµ

• )1R;1N;1n/1r(FNR

n)r(H hh −−−−−−−−−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

• Varianza: ��

��

��

−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅��

��

��

�� −−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====σσσσ1NnN

NR

1NR

n2

• Moda: (((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

��

��

++++++++++++++++<<<<<<<<

��

��

++++−−−−++++++++−−−−

2N1nRnR

Mo2N

1nRNnR

Aproximación por Distribución Binomial: Condición Ndeledespreciabn;bieno;N ∞∞∞∞→→→→

01,0Nn

:bieno <<<<

• (((( ))))N

Rp;n/rP)R;N;n/r(P bh ====≈≈≈≈

• (((( ))))N

Rp;n/rF)R;N;n/r(F bh ====≈≈≈≈


• (((( ))))N

Rp;n/rG)R;N;n/r(G bh ====≈≈≈≈

B. MODELO PASCAL HIPERGEOMÉTRICO (siendo Rr ≤≤≤≤ )

Variable Aleatoria: n = Cantidad de extracciones para obtener “r” éxitos Dominio: (((( ))))rRNnr ++++−−−−≤≤≤≤≤≤≤≤ ; Parámetros: “n” ; “N” y “R”.

•

��

��

��

��

��

��

−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅��

��

��

⋅⋅⋅⋅====��====

nN

rnRN

rR

nr

)R;N;r/n(P)nVA(P pah

• )R;N;n/r(G

xN

rxRN

rR

xr

)R;N;r/n(F)nVA(P h

R

rnpah ====

��

��

��

��

��

��

��

��

��

−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅��

��

��

⋅⋅⋅⋅====��≤≤≤≤ ��====

• )R;N;1n/1r(F

xN

rxRN

rR

xr

)R;N;r/n(G)nVA(P h

Máx

nxpah −−−−−−−−====

��

��

��

��

��

��

��

��

��

−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅��

��

��

⋅⋅⋅⋅====��≥≥≥≥ ��====

• Esperanza Matemática: )1R()1N(r

++++++++⋅⋅⋅⋅====µµµµ

• )1R;1N;1r/1n(F)1R()1N(r

)r(H pahpah ++++++++++++++++⋅⋅⋅⋅++++++++⋅⋅⋅⋅====

• Varianza: 22 1)2R(

)2N()1r( µµµµ−−−−��

��

��

�� −−−−++++

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅µµµµ====σσσσ




VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS "X", es una VA. continua si sus valores consisten en uno o más intervalos de la recta de los reales. Es continua, si puede tomar cualquier valor numérico en un intervalo o conjuntos de intervalos. En general, todos los resultados experimentales que se basan en escalas de medición (tiempo, peso, distancia, temperatura, etc.), son variables aleatorias continuas. Una VA. es continua si su conjunto de posibles valores es todo un intervalo de números, esto es, si para algún intervalo "A; B" (siendo A < B), cualquier número "x" entre A y B es posible. La escala de medición de "X" se puede subdividir en cualquier grado deseado. DOMINIO de la VARIABLE: V.A. = x ; ∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤≤≤∞∞∞∞−−−− x

• 1dx)x(f ====��∞∞∞∞

∞∞∞∞−−−−

• �� ∞∞∞∞−−−−====��≤≤≤≤

xdx)x(f)x(F)xVA(P ; ��

∞∞∞∞====��≥≥≥≥

xdx)x(f)x(G)xVA(P

• 1)x(G)x(F ====++++

• )x(G1)x(F −−−−==== ; )x(F1)x(G −−−−====

• )B(G)A(G)A(F)B(Fdx)x(f)BrA(PB

A−−−−====−−−−========≤≤≤≤≤≤≤≤ ��

• Moda o Modo: (((( )))) MáximoxfxMo oo ====��====

• Mediana: (((( )))) (((( ))))eee xG5,0xFxMe ========��====

• Esperanza Matemática Total: ��∞∞∞∞

∞∞∞∞−−−−⋅⋅⋅⋅====µµµµ==== dx)x(fx)x(E

• Expectativa Parcial Izquierda: �� ∞∞∞∞−−−−⋅⋅⋅⋅====

xdx)x(fx)x(H

• Expectativa Parcial Derecha: ��∞∞∞∞

⋅⋅⋅⋅====x

dx)x(fx)x(J

• )x(J)x(H ++++====µµµµ , se demuestra que una expectativa se puede obtener a partir de la otra.

• Promedios Truncados: )x(G)x(J

;)x(F)x(H

)xVA(T)xVA(T ====µµµµ====µµµµ ≥≥≥≥≤≤≤≤

)B(G)A(G)B(J)A(J

)A(F)B(F)A(H)B(H

)BxA(T −−−−−−−−====

−−−−−−−−====µµµµ ≤≤≤≤≤≤≤≤


• {{{{ }}}} (((( ))))222 dx)x(fx)r(V µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ==== ��∞∞∞∞

∞∞∞∞−−−− ; 2)r(D σσσσ====σσσσ====

• (((( ))))

3

3

3

dx)x(fxAs

σσσσ

⋅⋅⋅⋅µµµµ−−−−====αααα==== ��

∞∞∞∞

∞∞∞∞−−−− ; (((( ))))

4

4

4

dx)x(fxKu

σσσσ

⋅⋅⋅⋅µµµµ−−−−====αααα==== ��

∞∞∞∞

∞∞∞∞−−−−

• Propiedades Matemáticas de la Esperanza Matemática y de la Varianza. Sean “x” e

“y” dos Variables Aleatorias, y “a” y “b” dos constantes, se demuestran las siguientes propiedades en la combinación algebraica de dichos elementos:

2y

2x

22RyxR a;babyaxR σσσσ++++σσσσ⋅⋅⋅⋅====σσσσ±±±±µµµµ±±±±µµµµ⋅⋅⋅⋅====µµµµ��±±±±±±±±====

2x

2y

2y

2x

2y

2x

2RyxR ;yxR σσσσ⋅⋅⋅⋅µµµµ++++σσσσ⋅⋅⋅⋅µµµµ++++σσσσ⋅⋅⋅⋅σσσσ====σσσσµµµµ⋅⋅⋅⋅µµµµ====µµµµ��⋅⋅⋅⋅====

MODELOS RELACIONADOS con los FENÓMENOS de VIDA La Variable Aleatoria “x” mide la duración hasta la falla del elemento; o bien, según el Modelo en cuestión, la Variable Aleatoria mide la resistencia hasta la rotura del elemento.

A. MODELO EXPONENCIAL: Dominio: 0X ≥≥≥≥ ; Parámetro: “λλλλ” Este modelo rige fundamentalmente para la duración de elementos que fallan a la Poisson. La variable es la extensión de continuo entre fallas consecutivas de un proceso de Poisson (el mismo se puede estudiar como un caso particular de los modelos: GAMMA y WEIBULL). Esta VA. estudia el tiempo de vida de un elemento, es decir, que la misma proporciona un modelo útil para observar el tiempo de falla del elemento. Este modelo es utilizado en la llamada función de confiabilidad, donde la tasa de falla del elemento en cuestión es constante. Si la tasa de falla no es constante, deberíamos utilizar al modelo de Weibull general. Debemos aclarar que en el modelo Exponencial, las fallas de los elementos se producen exclusivamente por el azar, no así, en el modelo de Weibull, donde en las causas de las fallas de los elementos interviene el desgaste y la fatiga. Se demuestra que el modelo EXPONENCIAL, no tiene memoria. Esta propiedad, "carencia de memoria", se explica porque la probabilidad de ocurrencia de eventos presentes o futuros no depende de los eventos que hayan ocurrido en el pasado. De esta forma, la probabilidad de que una unidad falle en un lapso específico depende, nada más, de la duración de este lapso, y no del tiempo en que la unidad ha estado funcionando o en operación.

• Función de densidad de Probabilidad: XEXP e)x(f λλλλ−−−−⋅⋅⋅⋅λλλλ====

• X

EXP e)x(G)xVA(P λλλλ−−−−====��≥≥≥≥

• Esperanza Matemática (En fenómenos de vida: MTBF = MTTF): λλλλ

====µµµµ1




• Varianza: 22 1

λλλλ====σσσσ ; 0Mo ==== ;

λλλλ====

2lnMe

• );2/x(F1

)x(H gEXP λλλλ⋅⋅⋅⋅λλλλ

====

• Asimetría: 23 ====αααα ; Curtosis: 94 ====αααα

• Gráfica de la función de densidad de probabilidad:

x

f(x)

B. MODELO de WEIBULL (Wallodi Weibull, 1887 – 1979): Dominio: 0X ≥≥≥≥ ;

Parámetros: “ββββ” y “ωωωω” Es un modelo que ajusta mejor a los problemas de tiempo de vida, sobre todo, si la tasa de falla de los elementos, no permanece constante a causa del desgaste o fatiga de ellos; podemos resumir que este modelo es una generalización del modelo exponencial para causas variadas. Debemos aclarar, que este modelo, no descarta la posibilidad de que la muerte del elemento en cuestión (que se desgasta con el tiempo) se produzca por el mero azar. El origen de este modelo, se debe al estudio y demostración de que el esfuerzo al que se someten los materiales puede modelarse de manera adecuada mediante el empleo de esta distribución. El parámetro ββββ se puede considerar para algunas aplicaciones como la inversa de λλλλ (denominado en la teoría de la confiabilidad como MTBF). Dependiendo del valor que toma el parámetro de forma �, la f.d.p. tiene diferntes propiedades. Si el parámetro � = 1, este es un caso particular donde la distribución de Weibull se resume al modelo Exponencial (donde la única causa de la falla del elemento es el azar). Si � < 3,6, tiene una forma con sesgo positivo o a la derecha (en este caso predominan las causas del azar frente al desgaste en la falla del elemento). Si � > 3,6, la forma es con sesgo negativo o a la izquierda (la causa predominante es el desgaste frente


al azar en la falla del elemento). Y, si � = 3,6, la distribución tiene una forma simétrica (predominan con igual intensidad tanto el azar como el desgaste, en la falla del elemento). Ejemplos de uso: básicamente se usa en problemas de confiabilidad, esfuerzo al que se someten los materiales, etc..

• Función de densidad de Probabilidad: ϖϖϖϖ

��

��

ββββ−−−−−−−−ϖϖϖϖϖϖϖϖ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅��

��

ββββ⋅⋅⋅⋅ϖϖϖϖ====X

1W eX1)x(f

• ϖϖϖϖ

��

��

ββββ−−−−====��≥≥≥≥

X

W e)x(G)xVA(P

• Esperanza Matemática (En fenómenos de vida: MTTF):

��

��

��ΓΓΓΓ⋅⋅⋅⋅ββββ====µµµµ

��

��

��

ϖϖϖϖ++++

11

• Varianza:

��

��

��

��

��

��

��

��

��ΓΓΓΓ−−−−ΓΓΓΓ⋅⋅⋅⋅ββββ====σσσσ

��

��

��

ϖϖϖϖ++++��

��

��

��

ϖϖϖϖ++++

2

11

21

22

• (((( ))))��

��

====λλλλ��

��

��

ωωωω++++====

��

��

��

ββββ⋅⋅⋅⋅ΓΓΓΓ⋅⋅⋅⋅ββββ====ωωωω

ωωωω++++ 1;1

1r/xF)x(H g11w

• La función “Gamma de r” se define: (((( )))) (((( )))) ��∞∞∞∞

−−−−−−−− ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====−−−−====ΓΓΓΓ0

X1rr dxeX!1r

• 0Mo ==== ( si 1≤≤≤≤ϖϖϖϖ ) ; ϖϖϖϖ

��

��

��

ϖϖϖϖ−−−−⋅⋅⋅⋅ββββ====

11Mo ; ( si 1≥≥≥≥ϖϖϖϖ ) ; (((( )))) ϖϖϖϖ⋅⋅⋅⋅ββββ====

12lnMe

• Asimetría: 2

32

11

21

3

11

11

21

31

3

23

��

��

��ΓΓΓΓ−−−−ΓΓΓΓ

��

��

��ΓΓΓΓ⋅⋅⋅⋅++++ΓΓΓΓ⋅⋅⋅⋅ΓΓΓΓ⋅⋅⋅⋅−−−−ΓΓΓΓ

====αααα

��

��

��

ϖϖϖϖ++++��

��

��

��

ϖϖϖϖ++++

��

��

��

ϖϖϖϖ++++��

��

��

��

ϖϖϖϖ++++��

��

��

��

ϖϖϖϖ++++��

��

��

��

ϖϖϖϖ++++

• Curtosis: 22

11

21

4

11

2

11

21

11

31

41

4

364

��

��

��ΓΓΓΓ−−−−ΓΓΓΓ

��

��

��ΓΓΓΓ⋅⋅⋅⋅−−−−ΓΓΓΓ⋅⋅⋅⋅ΓΓΓΓ⋅⋅⋅⋅++++ΓΓΓΓ⋅⋅⋅⋅ΓΓΓΓ⋅⋅⋅⋅−−−−ΓΓΓΓ

====αααα

��

��

��

ϖϖϖϖ++++��

��

��

��

ϖϖϖϖ++++

��

��

��

ϖϖϖϖ++++��

��

��

��

ϖϖϖϖ++++��

��

��

��

ϖϖϖϖ++++��

��

��

��

ϖϖϖϖ++++��

��

��

��

ϖϖϖϖ++++��

��

��

��

ϖϖϖϖ++++





x

f(x)

w =1w < 3,6w = 3,6w > 3,6

C. MODELO GUMBEL del MÍNIMO (Emil Julius Gumbel, 1891 – 1966):

Dominio: ∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤≤≤∞∞∞∞−−−− X Parámetros: “θθθθ” y “ββββ”

Estos modelos aparecieron como resultado del estudio de la variable vida de seres vivientes de una misma especie, y para el estudio del alargamiento hasta la rotura de ciertos elementos. Para cada caso en particular, se originaron las distribuciones Gumbel del mínimo y Gumbel del máximo respectivamente. Se originó en el estudio de la vida de seres vivientes de una misma especie. Se observan conjuntos de valores y de cada uno de ellos se extraen los valores mínimos, formando un nuevo conjunto de valores, que forma una distribución de VA. modelada mediante la función Gumbel del mínimo. Se puede resumir que, su aplicación está orientada a fenómenos de vida cuya única causa de falla es el desgaste. Ejemplos de uso: primas de los seguros de vida, vida de animales de una misma especie, etc..

• Función de densidad de Probabilidad: ��

��

��

ββββθθθθ−−−−

−−−−��

��

��


⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ββββ

====x

ex

Gm ee1

)x(f

• ��

��

��


−−−−====��≥≥≥≥x

eGm e)x(G)xVA(P

• Esperanza Matemática: C⋅⋅⋅⋅ββββ−−−−θθθθ====µµµµ ; (“C = 0,5772156649” es la constante de EULER)

• (((( ))))[[[[ ]]]] )t(Ze1)x(H t

Gm ⋅⋅⋅⋅ββββ++++−−−−⋅⋅⋅⋅θθθθ==== −−−− ; tener en cuenta que:


(((( ))))[[[[ ]]]]t38

t3

e1Ce35

2t

21

)t(Z

23

1

21

31

−−−−

��

��

��

��

�� −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−��

��

��

��

��

��⋅⋅⋅⋅��

��

��−−−−⋅⋅⋅⋅

ππππ≈≈≈≈ y

(((( ))))��

��


====x

et

• Varianza: 6

222 ππππ⋅⋅⋅⋅ββββ====σσσσ ; θθθθ====Mo ; (((( ))))[[[[ ]]]]2lnlnMe ⋅⋅⋅⋅ββββ++++θθθθ====

• Asimetría: 14,13 −−−−====αααα ; Curtosis: 4,54 ====αααα


OTROS MODELOS

A. MODELO GUMBEL del MÁXIMO (Emil Julius Gumbel, 1891 – 1966): Dominio: ∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤≤≤∞∞∞∞−−−− X Parámetros: “θθθθ” y “ββββ”

Se observan conjuntos de valores y de cada uno de ellos se extraen los valores máximos, formando un nuevo conjunto de valores, que forma una distribución de VA. modelada mediante la función Gumbel del máximo. Se puede resumir que, su aplicación está orientada a fenómenos donde interesa estudiar los límites de los valores máximos. Ejemplos de uso: elongación máxima hasta la rotura de los materiales, caudal máximo de los ríos, precipitaciones máximas en un período, etc..

x

f(x)




• Función de densidad de Probabilidad: ��

��

��

ββββθθθθ−−−−−−−−

−−−−��

��

��


⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ββββ

====x

ex

GM ee1

)x(f

• ��

��

��


−−−−====��≤≤≤≤x

eGM e)x(F)xVA(P

• Esperanza Matemática: C⋅⋅⋅⋅ββββ++++θθθθ====µµµµ ; (“C = 0,5772156649” es la constante de EULER)

• (((( )))) )t(ZCe)x(H t

GM ⋅⋅⋅⋅ββββ++++ββββ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅θθθθ==== −−−− ; tener en cuenta que:

(((( ))))[[[[ ]]]]t38

t3

e1Ce35

2t

21

)t(Z

23

1

21

31

−−−−

��

��

��

��

�� −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−��

��

��

��

��

��⋅⋅⋅⋅��

��

��−−−−⋅⋅⋅⋅

ππππ≈≈≈≈ y

(((( ))))��

��

��

��


====x

et

• Varianza: 6

222 ππππ⋅⋅⋅⋅ββββ====σσσσ ; θθθθ====Mo ; (((( ))))[[[[ ]]]]2lnlnMe ⋅⋅⋅⋅ββββ−−−−θθθθ====

• Asimetría: 14,13 ====αααα ; Curtosis: 4,54 ====αααα


B. MODELO de PARETO (Vilfredo Pareto, 1848 – 1923): Dominio: θθθθ≥≥≥≥X ; Parámetros: “b” y “θθθθ”

Este modelo tuvo su origen en la descripción de unidades económicas según su extensión. Debemos destacar que en los casos de observación fija en el tiempo o de sección trasversal, se ajusta mejor el modelo log-normal (que estudiaremos más adelante).

x

f(x)


Esta distribución permite modelar variables en donde se tiene un valor mínimo de frecuencia máxima (que es el modo o moda de la distribución). Se observará, luego, que la distribución log-normal, admite valores por debajo de su modo o moda. Esta VA. no admite valores por debajo del valor modal "�". Ejemplos de uso: estudio de la distribución salarial de una empresa, distribución de ventas, rentas, clasificación de empresas según sus ventas o su número de empleados, etc..

• Función de densidad de Probabilidad: b

P XXb

)x(f ��

��

�� θθθθ⋅⋅⋅⋅====

• b

P X)x(G)xVA(P ��

��

��

�� θθθθ====��≥≥≥≥

• Esperanza Matemática: 1b

b−−−−

θθθθ⋅⋅⋅⋅====µµµµ ; Varianza: (((( )))) (((( ))))2b1bb

2

22

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−θθθθ⋅⋅⋅⋅====σσσσ

• (((( ))))(((( ))))

��

��

��

��

�� θθθθ−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−θθθθ⋅⋅⋅⋅====

−−−−1b

p x1

1bb

)x(H

• θθθθ====Mo ; (((( )))) b1

2Me ⋅⋅⋅⋅θθθθ==== ; Asimetría: (((( ))))

b2

13b

1b23 −−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−++++⋅⋅⋅⋅====αααα

• Curtosis: (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))4b3bb2b2bb33 2

4 −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅++++++++⋅⋅⋅⋅====αααα


x

f(x)




C. MODELO UNIFORME (o RECTANGULAR): Dominio: bXa ≤≤≤≤≤≤≤≤ ; Parámetros: “a” y “b”

En el intervalo comprendido entre “a” y “b”, todos los valores posibles son igualmente probables Ejemplos de uso: En el estudio de simulación para la aplicación de la transformada inversa de la función de densidad de probabilidad correspondiente al modelo en cuestión.

• Función de densidad de Probabilidad: )ab(

1)x(fU −−−−

====

• abax

)x(F)xVA(P U −−−−−−−−====��≤≤≤≤

• Esperanza Matemática: Me2

ba ====++++====µµµµ ; Varianza:

12)ab( 2

2 −−−−====σσσσ

• (((( ))))ab2)ax()ax(

)x(HU −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−====

• almodaMo ==== ; Asimetría: 03 ====αααα

• Curtosis: 6,34 ====αααα


D. MODELO NORMAL (Abraham De Moivre, 1667 – 1754 ; Karl Friedrich Gauss, 1777 – 1855):

Variable Aleatoria “x” ; Dominio: ∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤≤≤∞∞∞∞−−−− x Parámetros: “µ” y “σ”


Muchas VA. responden a este modelo, tales como variables tecnológicas, antropométricas, y muchas que provienen de procesos controlados. Podemos resumir, en general, cualquier VA. que presente una distribución simétrica en forma de campana, se ajusta a este modelo. Cabe aclarar que, por este motivo, muchas VA., que no siguen un comportamiento normal, han sido tratadas, erróneamente, como VA. normales. Esta distribución es indudablemente la más importante y la de mayor uso. Es la piedra angular en la aplicación de la inferencia estadística en el análisis de datos, puesto que las distribuciones de muchas estadísticas muestrales tienden hacia la distribución normal conforme crece el tamaño de la muestra. La apariencia gráfica de la distribución es una curva simétrica con forma de campana, que se extiende sin límite tanto en la dirección positiva como en la negativa. Esta distribución es de vital importancia por tres razones principales:

� Numerosos fenómenos continuos parecen seguirla o se pueden aproximar mediante ella.

� Se puede utilizar como aproximación de otras distribuciones, tanto discretas como continuas.

� Proporciona la base para la inferencia estadística clásica por su relación con el Teorema Central del Límite (que estudiaremos más adelante).

Ejemplos de uso: datos meteorológicos tales como la temperatura y la precipitación pluvial, mediciones efectuadas en organismos vivos, calificaciones en pruebas de actitud, mediciones físicas de partes manufacturadas, errores de instrumentación y de otras desviaciones de la norma establecidas, etc.

• Función de densidad de Probabilidad: 2x

21

N e2

1)x(f

��

��

��

σσσσµµµµ−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅ππππ⋅⋅⋅⋅σσσσ

====

• �� ∞∞∞∞−−−−====��≤≤≤≤

x

NN dx)x(f)x(F)xVA(P

• ��∞∞∞∞

====��≥≥≥≥x NN dx)x(f)x(G)xVA(P

• MeMo ========µµµµ

• ��

��

��

��

��

��⋅⋅⋅⋅

ππππσσσσ−−−−��

��

��

��

σσσσµµµµ−−−−φφφφ⋅⋅⋅⋅µµµµ====

��

��

��

��

��

σσσσµµµµ−−−−−−−−

2

21 x

N e2

x)x(H

• Asimetría: 03 ====αααα ; Curtosis: 34 ====αααα





x

f(x)

E. MODELO NORMAL STD (Pierre Simon Laplace, 1749 – 1827): Variable Aleatoria “Z” ; Dominio: ∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤≤≤∞∞∞∞−−−− Z

Parámetros: “µ = 0” y “σ = 1” Esta distribución sirve para facilitar el cálculo de probabilidades de la distribución normal general. La VA. de esta distribución "Z", es una transformación de la variable "x" normal general. De modo que tenemos:

• σσσσ

µµµµ−−−−====x

Z

• )x(Fx

)Z()Z(F)ZVA(P NNS ≡≡≡≡��

��

��

σσσσµµµµ−−−−ΦΦΦΦ====ΦΦΦΦ====��≤≤≤≤ ; Está tabulada.

• )x(Gx

1)Z(1)Z(G)ZVA(P NNS ≡≡≡≡��

��

��

σσσσµµµµ−−−−ΦΦΦΦ−−−−====ΦΦΦΦ−−−−====��≥≥≥≥

• 0MeMo ============µµµµ ; 12 ====σσσσ

• (((( ))))[[[[ ]]]]{{{{ }}}}22

1 ZN e

21

)x(H −−−−⋅⋅⋅⋅ππππ

−−−−====



x

f(x)

F. MODELO LOG–NORMAL: Dominio: 0X ≥≥≥≥ ; Parámetros: “m” y “D”

Una VA. sigue la distribución log - normal, si su logaritmo sigue la distribución normal. Esta distribución rige cuando las variaciones de la variable se observan entre distintos individuos o unidades experimentales en un momento fijo del tiempo, y no sobre un individuo a través del tiempo. Por eso, se la define como variable trasversal o de sección trasversal. El ln x = y, y la VA. y tiene un comportamiento normal. Ejemplos de uso: los ingresos de grandes grupos de individuos, en general cualquier variable económica o financiera de corte trasversal, consumos, salarios (donde se admite valores por debajo del modo), saldos de cuenta corriente, disolución de gases en gases, etc..

• Función de densidad de Probabilidad: 2

DmXln

21

LN e2DX

1)x(f

��

��

�� −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅

ππππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

• ��

��

�� −−−−ΦΦΦΦ====��≤≤≤≤D

mXln)x(F)xVA(P LN

• Esperanza Matemática: ��

��

��++++

====µµµµ 2D

m2

e ; Varianza: (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]1ee22 DDm22 −−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ ++++

• ��

��

�� −−−−−−−−φφφφ⋅⋅⋅⋅µµµµ==== D

Dmxln

)x(HLN




• (((( ))))2DmeMo −−−−==== ; meMe ==== ;

��

��

��

��

��

µµµµσσσσ++++

µµµµ====2

1

lnm ;

��

��

��

µµµµσσσσ++++====

22 1lnD

• Asimetría: (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) 1ee222 DD

3 −−−−⋅⋅⋅⋅++++====αααα

• Curtosis: (((( )))) (((( )))) (((( )))) 3e3e2e222 D2D3D4

4 −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++====αααα ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅


x

f(x)

PROCESO DE POISSON (Simeón Denis Poisson, 1781 – 1840):

Parámetro: Número de fallas promedio por unidad de continuo (λ)

Es un proceso donde los sucesos, acontecimientos puntuales o fallas, se generan al azar en un medio continuo de observación (t). La probabilidad de que ocurra el suceso o acontecimiento en un intervalo prefijado del medio continuo, sólo depende de la porción del intervalo y no de su ubicación dentro del medio observado. Será tan probable que el acontecimiento se produzca en la primera porción del medio observado como en la última porción, como en cualquier porción elegida.

Ejemplos de procesos de Poisson: fallas o roturas accidentales en el tiempo, fallas puntuales

en medios continuos, llegadas a un puesto o unidad de servicio, llamadas recibidas, clientes atendidos, arribos a un aeropuerto o estación Terminal, pedidos, etc.


A. MODELO de POISSON: Variable Aleatoria: r = Cantidad de fallas en “t” Dominio: ∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤≤≤ r0 ; Parámetros: “t” y “λ” Se trabaja con Parámetro “m = λ . t”

• !rme

)m/r(P)rVA(Prm

po

⋅⋅⋅⋅====��====−−−−

• ��====

−−−−

��

��

�� ⋅⋅⋅⋅====��≤≤≤≤r

0x

xm

po !xme

)m/r(F)rVA(P

• ��∞∞∞∞

====

−−−−

��

��

�� ⋅⋅⋅⋅====��≥≥≥≥rx

xm

po !xme

)m/r(G)rVA(P

• Esperanza Matemática: tm ⋅⋅⋅⋅λλλλ========µµµµ ; Varianza: tm2 ⋅⋅⋅⋅λλλλ========σσσσ

• )m/1r(Fm)r(H popo −−−−⋅⋅⋅⋅====

• Moda: (((( )))) (((( ))))mMo1m <<<<<<<<−−−−

• Asimetría: m1

3 ====αααα ; Curtosis: m1

4 ====αααα

Aproximación por Distribución Normal: Condición 15m >>>>

• ��

��

�� −−−−−−−−φφφφ−−−−��

��

�� −−−−++++φφφφ≈≈≈≈m

m5,0rm

m5,0r)m/r(Ppo

• ��

��

�� −−−−++++φφφφ≈≈≈≈m

m5,0r)m/r(Fpo

• ��

��

�� −−−−−−−−φφφφ−−−−≈≈≈≈m

m5,0r1)m/r(Gpo

B. MODELO GAMMA o de ERLANG (E. Molina, 1915 ; A. Erlang, 1920): Dominio: 0X ≥≥≥≥ ; Parámetros: “ r” y “ λλλλ”

Este modelo tiene un análisis similar que el modelo de Pascal en el proceso de Bernoulli. Así como en el modelo de Poisson, la VA. es el número de acontecimientos puntuales "r" y sus parámetros son "�" y la unidad de continuo "t", en este modelo el objetivo de estudio es el continuo necesario para que se den ciertos acontecimientos puntuales.




Ejemplos de uso de este modelo: tráfico en líneas telefónicas, los metros de tela que contengan cierto número de fallas, tiempo necesario para la falla de cierto número de elementos, tiempo necesario para que se produzcan cierto número de arribos, precipitaciones en un determinado lapso de tiempo, etc..

• Función de densidad de Probabilidad: (((( )))) (((( ))))X1r

)r(g eX)x(f ⋅⋅⋅⋅λλλλ−−−−−−−− ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅λλλλ⋅⋅⋅⋅

ΓΓΓΓλλλλ====

• ��

��

��

��

��

��

��−−−−

⋅⋅⋅⋅++++��

��

��

�� ⋅⋅⋅⋅λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ≈≈≈≈⋅⋅⋅⋅λλλλ========λλλλ��≤≤≤≤ 1r9

1rX

r3)Xm/r(G);r/x(F)xVA(P3

1

pog

• Esperanza Matemática: λλλλ

====µµµµr

; Varianza: 22 r

λλλλ====σσσσ

• );1r/x(Fr

)x(H gg λλλλ++++⋅⋅⋅⋅λλλλ

====

• λλλλ−−−−====

1rMo ;

3

r91

1r

Me ��

��

��

⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅

λλλλ====

• Asimetría: r

23 ====αααα ; Curtosis:

r6

34 ++++====αααα


x

f(x)


C. MODELO EXPONENCIAL: Modelo ya desarrollado en páginas 14 y 15

• )xm/0r(Pe)x(G)xVA(P po

XEXP ⋅⋅⋅⋅λλλλ================��≥≥≥≥ λλλλ−−−−

APROXIMACIONES DEL MODELO BINOMIAL Aproximación por Distribución Normal: Condición (((( )))) [[[[ ]]]] 10)p1(ny10pn >>>>−−−−⋅⋅⋅⋅>>>>⋅⋅⋅⋅

• ��

��

��

��

��

��

−−−−−−−−−−−−φφφφ−−−−

��

��

��

��

��

��

−−−−−−−−++++φφφφ≈≈≈≈

)p1(npnp5,0r

)p1(npnp5,0r

)p;n/r(Pb

• ��

��

��

��

��

��

−−−−−−−−++++φφφφ≈≈≈≈

)p1(npnp5,0r

)p;n/r(Fb

• ��

��

��

��

��

��

−−−−−−−−−−−−φφφφ−−−−≈≈≈≈

)p1(npnp5,0r

1)p;n/r(Gb

Aproximación por Distribución de Poisson: Condición 1,0p ≤≤≤≤

• )npm/r(P)p;n/r(P pob ====≈≈≈≈

• )npm/r(F)p;n/r(F pob ====≈≈≈≈

• )npm/r(G)p;n/r(G pob ====≈≈≈≈ Aproximación por Criterio de Mermoz: (Se aplica cuando se cumplen las 2 condiciones anteriores o

cuando no se cumplen ninguna de las 2 condiciones anteriores)

Condición [[[[ ]]]] 5,0;p1;pMínsiendo;)1(23,0

n 3

2

o ≤≤≤≤θθθθ∴∴∴∴−−−−====θθθθθθθθ

θθθθ−−−−⋅⋅⋅⋅====

• Si se cumple que: ónaproximacicomoPoissonusonn o ��<<<< • Si se cumple que: ónaproximacicomoNormalusonn o ��>>>>

proba y modelos de estadistica general

Documents