proba

Capítulo 1

Diferenciación de modelos determinísticos y estadísticos

Sobre la relatividad de la estructuración de modelos

1.1) Explique si a los modelos representativos de las siguientes experiencias conviene considerarlos determinísticos o estadísticos:

a) Distancia recorrida por un objeto en caída libre.

b) Tiempo empleado para ir de Buenos Aires a Mar del Plata.

c) Resultado económico luego de 10 jugadas de ruleta.

d) Aumento de precios de la carne en el próximo mes.

e) Beneficio de una empresa en el mes.

f) Cantidad de asistentes a una obra teatral.

g) Diámetro de un eje.

h) Presión de un gas conociendo masa, volumen y temperatura.

Descripción de espacios muestrales

1.2) Describa el espacio muestral de un modelo donde se diferencian hombres de mujeres y usuarios de facebook de no usuarios.

1.3) a) ¿Cuáles de los siguientes modelos del resultado del tiro de 2 monedas, una plateada y una dorada, son correctos?

• {Cara Cara; Cara Ceca; Ceca Cara; Ceca Ceca}

• {2 caras; 2 cecas; 1 cara y una ceca}

• {2 caras; 2 cecas ; 1 cara y una ceca; cualquier otro resultado}

b) ¿Qué cambia si las monedas tienen el mismo color y usted no es capaz de distinguir cuál es cuál?

1.4) ¿Cuáles de los siguientes modelos del resultado del tiro de una ruleta son correctos?

• {Negro; Rojo; Cero}

• {Negro; Rojo; Cero; 1º docena; 2º docena; 3º docena}

1.5) A veces, al arrojar 5 dados en una jugada de generala, algunos de ellos caen superpuestos ¿por qué eso no se considera un resultado de la experiencia?

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Guía de Trabajos Prácticos 61.06 (No Industrial) Versión 0.2 2º cuatrimestre 2011

1.6) Si tiene un dado normal, ¿puede armar un modelo estadístico con 5 resultados equiprobables?

Cálculo de probabilidades en espacios equiprobables

1.7) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una lotería con 50 números cuando se extraen 5 sin reposición y se deben acertar los 5?

1.8) Un mazo de barajas francesas está formado por 4 “palos” de 13 numeraciones cada uno. En el juego de póquer se reciben 5 cartas de ese mazo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar póquer de ases (4 ases)?

b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar 5 naipes del mismo palo?

1.9) Las barajas españolas tienen 4 palos y 10 numeraciones; en el juego de truco se reciben 3 naipes.

a) ¿Apostaría usted 2 $ contra 100$ a sacar flor de espada (flor: 3 naipes del mismo palo) en una mano?

b) Calcule ahora la probabilidad de sacar flor de espada y compare su decisión.

1.10) Un dado equilibrado se arroja 2 veces. Halle la probabilidad de que:

a) Los dos resultados sean iguales.

b) Los dos resultados sean distintos y su suma no supere 9.

c) La suma de ambos resultados sea 10.

d) El primer resultado sea inferior a 4 y el segundo sea impar.

e) El módulo de la diferencia entre ambos resultados sea 1.

1.11) Le informan que un dado está cargado en una de las caras.

a) ¿Cuál es su modelo de apuesta al As?

b) ¿Y luego de haber visto el resultado del primer tiro?

1.12) Si observa que sale 20 veces seguidas el color negro en la ruleta, su apuesta al próximo tiro ¿es negro o rojo?

1.13) Se considera que un dardo arrojado a un blanco cuadrado de 1 metro de lado puede caer en cualquier posición con igual probabilidad, o caer afuera con probabilidad 0,2.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga en el círculo centrado de radio 0,5?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en el cuarto de circunferencia de centro en un vértice del cuadrado y radio 0,5?

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c) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga por debajo de la línea definida por la parábola que pasa por los dos vértices inferiores del cuadrado y tiene su vértice en el lado superior?

Modelos estadísticos elementales

1.14) ¿Por qué asigna probabilidad de 1/6 a cada cara de un dado?

1.15) Si le informan que un dado está absolutamente cargado, o sea que siempre sale la misma cara, ¿cuál es el modelo para el próximo tiro? ¿ Y si sabe el resultado del primer tiro?

Probabilidad de la unión y fórmula de probabilidades totales

1.16) Un apostador juega a la ruleta apostando en la misma tirada a “1ª docena” y a “par “.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos gane alguna de las dos apuestas? (sin contar al “0” como par)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane ambas apuestas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que gane solamente una?

1.17) Una rueda con neumático puede estar deformada o desbalanceada o ambas cosas.

a) ¿Cuál es la diferencia entre preguntar por la rueda desbalanceada y la solamente desbalanceada?

b) ¿Y con solamente un defecto y algún defecto?

c) Indique las diferencias en un diagrama de Venn.

1.18) Un agricultor tiene 4 árboles de manzanas: A, B, C y D. Para la venta, las manzanas se clasifican en grandes (G) y chicas (C). Las manzanas chicas representan el 10%, 16%, 8% y 6%, respectivamente, de la producción de cada árbol. Cada árbol produjo, respectivamente, el 30%; 20%; 40% y 10% del total de las manzanas producidas.

a) ¿Qué porcentaje de manzanas grandes del total de manzanas aportó cada árbol?

b) ¿Qué porcentaje de manzanas grandes produjo el agricultor?

c) Escriba formalmente cada suceso y sus probabilidades.

1.19) Una pieza de fundición puede tener 3 tipos de defectos. Se enumeran a continuación, con sus probabilidades: "R": de rechupe, 10%; "A": agujeros, 15% y "D": deformación, 6%. El 7% de las piezas tiene defectos R y A; el 2%, A y D; el 3%, R y D; mientras que el 1% tiene los tres defectos.

a) ¿Qué porcentaje de piezas tienen algún defecto?

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b) ¿Qué porcentaje de piezas son sanas?

c) ¿Qué porcentaje de piezas tiene sólo defectos de rechupe?

d) ¿Qué porcentaje de piezas tiene por lo menos 2 defectos?

1.20) En una universidad se obtuvo la siguiente información: el 74 % de las chicas tienen cabello oscuro, ojos marrones o ambas cosas; el 60% tiene ojos marrones y el 70% cabello oscuro. ¿Qué porcentaje de chicas tiene...

a) cabello oscuro y ojos marrones?

b) solamente cabello oscuro?

c) sólo ojos marrones?

d) ninguna de las características mencionadas?

1.21) Se hace una encuesta con un grupo de 1000 suscriptores a una revista. De la misma resulta que: 312 son varones, 470 están casados, 525 son graduados universitarios, 42 varones son graduados universitarios, 147 graduados universitarios están casados, 86 varones están casados y 25 varones casados son graduados universitarios. Muestre que estos datos no son consistentes.

Probabilidad condicional

1.22) Continuación del problema 1.18):

a) ¿Cuáles son los porcentajes relativos de manzanas chicas de cada árbol?

b) Si una manzana es chica ¿cuál es la probabilidad de que haya sido del árbol A?

c) Establezca la participación de cada árbol en el total de manzanas chicas.

d) ¿Y que participación tiene cada árbol en el total de manzanas grandes?

1.23) Continuación del problema 1.19) de las piezas defectuosas.

a) ¿Qué porcentaje tiene solamente defecto R?

b) De una pieza con defecto R, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ese solo defecto, de que tenga 2 defectos, y de 3?

1.24) Ídem problema 1.16 pero realizando cada apuesta en dos jugadas diferentes.

1.25) Calcule, mediante probabilidades condicionales, la probabilidad de sacar flor de espada en una mano de truco. Compare con el resultado del Problema 1.9.

1.26) Un canal de comunicación binario transporta mensajes usando sólo dos señales: 0 y 1. El 40% de las señales emitidas son 1. Como hay interferencia en la recepción, si se emitió un 1, la probabilidad de recibir un 1 es 95%; en cambio, si se emitió un 0, la probabilidad de recibir un 0 es 0,90.

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a) ¿Cuál es la probabilidad de recibir un 1?

b) ¿Cuál es la probabilidad de haber emitido un 1 si se recibió un 1?

c) ¿Cuál es la probabilidad de recibir una emisión errada?

1.27) Un motor puede tener 3 tipos de inconvenientes: "A": aceite sin viscosidad; "B": bujías desgastadas; "C": filtro de aire tapado. El 22% tiene inconveniente A; el 25%, B y el 28%, C. El 11% tiene defectos A y B; el 5%, A y C; el 7%, B y C. El 1% de los motores presentan los 3 tipos de inconvenientes. Halle las probabilidades de que un motor:

a) tenga inconvenientes A y B solamente.

b) no tenga ni A ni B.

c) tenga algún inconveniente.

d) tenga solamente inconveniente C.

e) tenga solamente un inconveniente.

f) tenga dos inconvenientes pero no A.

g) tenga inconveniente B y no tenga A.

h) del cual se sabe que tiene inconveniente B, no tenga A.

i) del cual se sabe que tiene inconveniente A, no tenga B.

j) del cual se sabe que no tiene inconveniente ni A ni C, tenga B.

k) si tiene un solo inconveniente, éste sea el A.

l) tenga inconveniente A y B, si se sabe que sólo tiene 2 inconvenientes.

m) tenga sólo 2 inconvenientes si se sabe que tiene A y B.

Independencia

1.28) De un grupo de personas 40% son mujeres que van al cine usualmente, 20% son hombres que no van al cine usualmente. Hay un 60% de mujeres en el grupo.

a) ¿Qué porcentaje son hombres que van al cine usualmente?

b) ¿Qué porcentaje de los hombres va al cine usualmente?

c) En este caso ¿no ir al cine usualmente es independiente del sexo?

1.29) Un usuario analizó los mensajes que recibe por mail y llegó a la conclusión que puede afirmar, con bastante seguridad, que el 30 % de sus mails es spam.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 mails recibidos no lo sean?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de tres mails sean spam?

1.30) Continuación del problema 1.26.

a) ¿Cuál es la probabilidad de recibir "1;1;1"?

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b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir correctamente un mensaje que emitió "1;0;1"?

c) ¿Cuál es la probabilidad de recibir correctamente un mensaje de tres señales?

d) ¿Cuál es la probabilidad de recibir correctamente un mensaje de tres señales si la probabilidad de que una señal sea 1 es el 80%?

1.31) Existen dos caminos de A a B y dos caminos de B a C. Cada uno de estos caminos está bloqueado con probabilidad 0,2 independientemente de los demás. Halle la probabilidad de que exista un camino abierto de A a B sabiendo que no se puede llegar de A a C.

1.32) Un fabricante arma equipos con 10 elementos básicos. Si alguno de estos falla, el equipo no funciona. La probabilidad de que un elemento sea defectuoso es el 2%.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo, una vez armado, funcione?

b) ¿Cuál deberá ser el porcentaje de elementos defectuosos aceptable para que la probabilidad de que el equipo funcione sea la mitad de la calculado anteriormente?

c) Para disminuir la probabilidad de que el equipo falle, a cada uno de los 10 elementos se le coloca otro en “paralelo” de manera tal que el sistema puede seguir funcionando si por lo menos un elemento de cada par funciona. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que falle el equipo?

1.33) El suceso "encontré una moneda en la calle durante el itinerario al trabajo" y el suceso "hoy es un día de lluvia", ¿usted los consideraría independientes? Sí/no, ¿por qué?

1.34) Explique con una concepción del modelo que los sucesos "ayer llovió" y "mi equipo de fútbol gana un partido pasado mañana" pueden no ser considerados independientes.

1.35) ¿Cómo deberían ser las probabilidades de enfermarse de gripe para decir que contraer gripe es independiente de ser niño o adulto?

1.36) (Teórico) "Aprobar un examen hoy" y "haber sido un día de lluvia ayer", ¿son sucesos independientes? Sí/No ¿Por qué?

1.37) ¿Pueden ser dos sucesos independientes para un modelizador y no serlo para otro?

Teorema de Bayes

1.38) Una máquina A produce un 10% de piezas defectuosas y otra B, un 4%.

a) Si una pieza resulta defectuosa ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A?

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b) Diseñe diagramas de Venn que muestren como área relativa: la probabilidad de que una pieza sea defectuosa sabiendo que es de A; la probabilidad de que una pieza sea de A sabiendo que es defectuosa; y la probabilidad de que una pieza sea de A y defectuosa.

1.39) Se tienen dos dados: uno normal y otro con probabilidad 0,2 de obtener As.

a) Se elige un dado al azar y se lo tira 2 veces ¿cuál es la probabilidad de no sacar as en ninguno de los dos tiros?

b) Si para cada uno de los dos tiros se elige un dado al azar ¿cuál es la probabilidad de no sacar as en ninguno de dos tiros?

c) En el segundo caso ¿cuál es la probabilidad de haber utilizado dos veces el dado bueno si no se saco ningún as?

d) En el segundo caso ¿cuál es la probabilidad de haber utilizado los dos dados si no se sacó ningún as?

1.40) ¿Cómo se transforma el teorema de Bayes si los sucesos son independientes?

Problemas variados del capítulo 1

1.41) (Necesidad de la formalización para obtener un resultado correcto) La urna A tiene 4 bolillas blancas y 2 negras, la urna B tiene 3 blancas y 3 negras. Se elige la urna tirando un dado. Si el valor obtenido es 4 o mayor se comienza la extracción de bolillas de la urna A, en caso contrario se extrae de la B. Se sacan 2 bolillas sin reposición y se pasan a la otra urna. De esta última (segunda extracción) se saca una bolilla.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bolilla sea blanca?

b) ¿Cuál es la probabilidad de haber pasado en la primera extracción 1 bolilla blanca y una negra?

c) ¿Cuál es la probabilidad de haber pasado en la primera extracción 1 bolilla blanca y una negra, si en la segunda extracción se sacó una blanca?

d) ¿Cuál es la probabilidad de haber comenzado con la urna A?

e) ¿Cuál es la probabilidad de haber comenzado con la urna A si la última bolilla extraída fue blanca?

1.42) Una empresa compra bulones a proveedores. El control de recepción establece seleccionar una muestra al azar de 20 bulones de la partida y rechazarla si se encuentra 1 o más defectuosos.

a) Si la probabilidad de que un bulón sea defectuoso es el 4%, ¿cuál es la probabilidad de rechazar la partida? ¿Qué consideraciones tuvo que hacer para este cálculo?

b) Graficar la probabilidad de aceptar la partida en función de los posibles valores de probabilidad de defectuosos.

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c) Si se considera razonable un lote con un porcentaje de defectuosos de a lo sumo 3% ¿cuál es la máxima probabilidad de rechazar un lote razonable?

d) Para ahorrar costo de control se verifican los bulones uno a uno y se detiene el control y se rechaza la partida ante el primer bulón defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el rechazo se produzca con el quinto bulón controlado?

1.43) Un borracho camina por la única calle de su pueblo, empezando en la esquina de su casa. Antes de comenzar a caminar, tira una moneda: si sale cara se dirige hacia el oeste, si sale ceca hacia el este. Cada vez que llega a una esquina vuelve a tirar la moneda y repite el procedimiento. Camina en total 4 cuadras y se queda dormido. Pruebe que el lugar más probable para encontrarlo durmiendo es la esquina de su casa. (Este modelo se llama “paseo al azar”).

1.44) Se tira un dado cargado de forma tal que la probabilidad de cada número es proporcional a él. Calcule la probabilidad de obtener un 2 dado que se obtuvo un número par.

1.45) El motor de un automóvil consta de 300 componentes individuales. Cada uno de éstos es entregado independientemente por un proveedor diferente. Cada uno de los 300 proveedores garantiza que la probabilidad de entregar un componente defectuoso es 0,01 o menor. Se considera aceptable el motor sólo cuando ninguno de sus componentes es defectuoso.

a) Calcule la probabilidad de que el motor sea aceptable.

b) ¿Qué nivel de calidad debe exigirse a cada proveedor (es decir, qué probabilidad de componente defectuoso) si se desea que el motor sea aceptable con probabilidad 0,98 o mayor?

Nota: Un requerimiento habitual que la industria automotriz hace a sus proveedores, es que entreguen componentes con proporciones defectuosas del orden de 60 a 100 p.p.m., ¿es esta práctica consistente con el resultado de la parte b)?

1.46) Una epidemia infectó al 5% de la población de una ciudad. Un análisis clínico de diagnóstico da resultados negativo (ausencia de enfermedad) en el 2% de los pacientes enfermos, y positivo (presencia de la enfermedad) en el 4% de los sanos.

a) Si un paciente concurre a hacerse el análisis y le da resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté enfermo?

b) Si le da resultado negativo ¿cuál es la probabilidad de estar realmente sano?

1.47) De los 35 alumnos del curso hay 20 que juegan bien al ajedrez. Se eligen al azar 8 alumnos del curso para formar un equipo de ajedrez que represente a la Facultad. ¿Cuál es la probabilidad de que en el equipo haya al menos 3 personas que jueguen bien?

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CAPITULO 2

Variables aleatorias (unidimensionales)

2.1) Clasifique en discretas o continuas las siguientes variables aleatorias y especifique sus espacios muestrales:

a) Cantidad de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador en un lapso de 10 minutos.

b) Temperatura máxima diaria en una ciudad.

c) Temperatura a la que se encuentra un alto horno de una empresa siderúrgica.

d) Longitud de tornillos fabricados por una máquina.

e) Estudiantes inscriptos en la FIUBA al comienzo de un año.

f) Estado civil de un individuo.

g) Suma del valor obtenido al arrojar 2 dados.

Funciones de Probabilidad Puntual (f.p.p) y Funciones de Distribución (f.D.) de variables aleatorias discretas

2.2) Al jugar a la ruleta, si sale el color elegido se gana lo mismo que lo apostado. Describa y grafique el modelo probabilístico de la variable aleatoria (v.a.) “ganancia al apostar a la ruleta 10$ a color”.

2.3) Describa y grafique el modelo probabilístico de la v.a. “ganancia al apostar dos veces a la ruleta 5$ a color.” Compare ambas variables y calcule las medias y variancias.

2.4) Describa y grafique el modelo probabilístico de la v.a. "cantidad de caramelos de miel al extraer 4 caramelos de una bolsa con 3 de miel y 4 de menta".

2.5) La función de distribución (f.D.) de una v.a. X responde a la expresión FX(x) = =0 para x<-2 ; 0,2 para -2 ≤ x<0; 0,25 para 0 ≤ x<1/2 ; 0,4 para 1/2 ≤ x< 2 ; 1 para 2 ≤ x.

a) Describa y trace el grafico de la función de probabilidad puntual (f.p.p.) pX(x) y calcule: la media µx; la variancia σ2

x y el desvío σx.

b) Calcule e indique en el gráfico de FX(x) las probabilidades P(0 ≤ x<1); P(0<x<1); P(0 ≤ x ≤ 1); P(0<x ≤ 1); P(0 ≤ x<2); P(0<x<2); P(0 ≤ x ≤ 2); P(0<x ≤ 2)

2.6) Halle la función de probabilidad puntual y la función de distribución de la v.a. “diferencia entre el mayor y el menor valor obtenido al tirar un dado 2 veces”. Calcule su esperanza.

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2.7) El contenido de bolillas rojas de la caja C1 se forma como sigue: se arroja un dado y se colocan tantas (rojas) como indica el dado; luego se extraen dos bolillas de una caja C2, que contiene 3 blancas y 7 rojas, y se introducen en C1. Obtenga la función de probabilidad del número de bolillas rojas que quedan finalmente en C1.

2.8) Halle la f.p.p. pX(x) de la v.a. X: "cantidad de tiros de un dado normal hasta que aparezca el As". Calcule la probabilidad de que se requieran más de 2 tiros hasta que aparezca el As.

2.9) Halle la f.p.p. pX(x) de la v.a. X: "cantidad de extracciones de naipes de un mazo de barajas españolas hasta que aparezca una sota". Calcule la probabilidad de que se requieran 3 extracciones o menos para obtener una sota.

2.10) Halle la f.p.p. pX(x) y la f.D. FX(x) de la v.a. X: "cantidad de espadas en una mano de truco". Para jugar se paga 2$ y el premio es recibir en $ el cuadrado de la cantidad de espadas obtenidas, siendo Y la ganancia neta. ¿Cuál es la media µy?

2.11) Si la probabilidad de que un cierto examen dé una reacción positiva es igual a 0,4 y las reacciones son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran menos de cinco reacciones negativas antes de la primera positiva?

2.12) Sobre una placa I inciden partículas que, al chocar, pueden rebotar con probabilidad p1 o atravesarla con probabilidad p2. Las partículas que atraviesan la placa I impactan contra la placa II con probabilidad 100% de rebotar y por lo tanto vuelven a golpear contra el reverso de la placa I donde valen las probabilidades p1 y p2. Encuentre la función de probabilidad de la cantidad de veces que una partícula rebota contra la placa II.

2.13) Un tirador sabe que, en sus entrenamientos, en el 30% de los saltos obtiene un puntaje de 8, en el 50% de ellos obtiene 9 y en el resto obtiene 10. El puntaje asignado en una competencia es el máximo de 3 intentos.

a) Halle la probabilidad de obtener 10 puntos.

b) ¿Cuántos intentos deben permitírsele para que dicha probabilidad sea mayor que 0.7?

c) Indique las suposiciones efectuadas.

Funciones de densidad de probabilidad (f.d.p.) y funciones de distribución de variables aleatorias continuas

2.14) Determine si las siguientes funciones son f.d.p. de una v.a. X y, en caso afirmativo, halle las f.D. correspondientes

a) f(x) = 1

b) f(x) = 1 para 0 < x < 1, f(x)=0 para otros x

c) f(x) = 1/6 para 1 ≤ x < 2; f(x) = 1/2 para 2 ≤ x < 3;

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d) f(x) = 1-|1-x| para 0 ≤ x < 2; f(x) = 0; para otro x

Halle las esperanzas y varianzas de las variables aleatorias de los ítems anteriores de respuesta afirmativa.

2.15) El porcentaje de alcohol de un cierto compuesto se puede considerar una v.a. X con la siguiente f.d.p.: fX(x) = k(100 - x) para 0 < x < 100; fX(x) = 0 para otro x.

a) Halle k. Grafique f. Halle la f.D. de X

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de alcohol sea superior a 30?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de alcohol en el compuesto esté comprendido entre 30 y 70?

d) Si el porcentaje de alcohol es inferior a 70, ¿cuál es la probabilidad de que supere 30?

e) Dados los eventos Α={X > 30}; Β={X < 70}; ¿son A y B son independientes?

f) Halle el porcentaje medio de alcohol en el compuesto.

2.16) La duración de un equipo electrónico, X, está modelizada por la función de densidad fX(x)=½ e - ½ x para x>0 y 0 para x≤ 0 (x en miles de horas).

a) Calcule su media y su variancia.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo dure más de 2000 horas?

c) Si el equipo cuesta 4000$ ¿cuál es la media del costo por hora de funcionamiento?

2.17) El peso de una fruta en gramos puede describirse con la función de densidad fX(x) = x para 0 ≤ x ≤ 1; – x+2 para 1 < x ≤ 2; 0 para el resto de valores.

a) Describa y trace el grafico de la función de distribución FX(x).

b) Calcule con la fX(x) cuál es la probabilidad de que 2 frutas pesen, cada una, más de 0,5 gr. y verifique usando la FX(x).

2.18) El consumo de aceite en una fábrica en un cierto periodo se puede modelizar con la función de densidad fX(x)= 1/3 (4x+1) para 0 ≤ x ≤ 1; 0 para el resto de valores.

a) Halle la FX(x).

b) Calcule P(1/3 ≤ x<2/3) y la probabilidad de que el consumo este entre 1/3 y 2/3 sabiendo que es menor a ½.

c) ¿Cual deberá ser el stock de aceite para asegurar disponibilidad en ese periodo con probabilidad mayor al 90%?

2.19) Para producir una cantidad X de producto el costo unitario de producción se puede calcular mediante la expresión c = c(X) = (x-4)(x-8)+10. Si la producción X responde a una variable uniforme (equiprobable) entre 4 y 8, ¿cuál es la probabilidad de que el costo unitario sea mayor a 9? ¿Cuál es la media del costo unitario?

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2.20) Dada una v.a. con la siguiente función de densidad (triangular):

( ) ( ) ( )

<≤−−

<≤

=

nosi

xasiax

axsiax

xf

0

1112

02

, (para 0<a≤1), grafique fX(x) y calcule la media y

la mediana, para 3 valores diferentes de a entre 0 y 1 (por ejemplo: a= 0.5; 0.7; 1). Verifique que ambos parámetros son más diferentes cuanto más asimétrica es la densidad.

2.21) Un viajante tiene tres alternativas de viaje a su trabajo: A, B y C, y sabe que los porcentajes de veces que usa estos medios son respectivamente: 50%, 30% y 20%. El tiempo de viaje de cada medio de transporte es una v.a Ti (en horas) con: fTA(t) = t para 0 < t < tmaxA; fTB(t) = 2 t para 0 < t <tmaxB; fTC(t) = 3 t para 0 < t < tmaxC. Se sabe que ha transcurrido media hora y aún no ha llegado al trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue por el medio de transporte A?

Funciones condicionadas o truncadas. “Mezcla”(probabilidad condicional en funciones, probabilidad total)

2.22) Una empresa extrae canto rodado del fondo del río. La granulometría puede modelizarse con la función de densidad fX(x)= ½ x para 0 < x < 1; ½ para 1 < x < 2; -½ x+3/2 para 2 < x < 3; 0 para el resto de valores. Se clasifica con tamices y se considera como material fino si x<0.5; grueso si x>1.5 y mediano si x se encuentra entre 0.5 y1.5.

a) ¿Cuál es la función de densidad de cada material clasificado?

b) Se compra una tamizadora mucho más rápida, aunque no perfecta ya que en la primera separación del fino queda un 10 % con el resto, en la subsiguiente separación del mediano queda con el grande un 8% de lo que debía separarse. ¿Cuál es la función de densidad de lo clasificado como mediano?

2.23) El tiempo de vida de un sistema, X, responde a la f.d. fX(x)=½ e-1/2 x para x>0; 0 en otro caso (x en meses). Encuentre la función tiempo de vida remanente de un sistema si ya ha funcionado durante 2 meses y está funcionando. ¿Qué situación especial observa?

2.24) La distribución de Weibull: W(α,λ) es utilizada en estudios de confiabilidad, para dar modelos de tiempos de vida útil de productos. Su función de distribución es

donde α>0 y λ>0 son parámetros fijos.

a) Si la vida útil (en horas) de un producto es W(1.5, 0.002), halle la probabilidad de que dure más de 700 horas, sabiendo que llegó a las 500 horas sin romperse. ¿Posee "falta de memoria" la distribución de Weibull?

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b) Se fabrica un lote de estos productos. Responder: la mitad del lote va a durar más de ……………… (mediana)

2.25) Consiga 3 monedas: una de 0,50$ y dos de 0,25$ para arrojarlas sobre la mesa. Al tiro se le asigna un puntaje de la siguiente manera: Las monedas que caen “cara” tienen puntaje nulo. Las que caen “ceca” tienen puntaje igual a su valor monetario. Se suma el puntaje de las 3 monedas tiradas. Por ejemplo, si las 3 monedas salen “ceca”, el puntaje asignado al tiro será 1$, si las tres salen “cara”, el puntaje será 0.

a) Calcular la pX(x) del puntaje X y su esperanza

b) Tire las 3 monedas 20 veces y calcule el puntaje promedio entre las 20 repeticiones Compárelo con la esperanza calculada teóricamente.

2.26) Un señor tiene un llavero con 6 llaves. Ha olvidado cuál es la de su casa, y las prueba ordenadamente una por una.

a) Sea X el número de intentos necesarios hasta abrir la puerta. Halle la función de probabilidad de X y su esperanza.

b) Supongamos que el señor está totalmente borracho y en cada intento vuelve a elegir una llave al azar de entre las 6, en lugar de separar las que ya probó. Halle la función de probabilidad de X, y extraiga conclusiones sobre los beneficios de la sobriedad.

2.27) El diámetro X de las ciruelas (en cm) tiene una función de densidad de probabilidad: fX(x) = x/4 para 0 < x < 2; fX(x) = (4-x)/4 para 2 < x < 4; fX(x) = 0 para otro x. Éstas son clasificadas pasando por dos tamices y se consideran de:

Calidad I si x≤1

Calidad II si 1 ≤ x < 3

Calidad III si 3 ≤ x

Por cuestiones de forma, el 10% de las que deberían atravesar cada tamiz, no lo hace. ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad de las ciruelas clasificadas como Calidad II?

2.28) Dos máquinas, 1 y 2, producen ciertas piezas cuyos pesos (en gramos) tienen respectivamente las siguientes f.d.p.: fX1 (w) = (16-2w) / 49 si 1<w<8, nula en otro caso; fX2 (w) = (2w-2) / 49 si 1<w<8 , nula en otro caso. La máquina 1 produce el 40% de las piezas y el resto lo hace la máquina 2. Calcule la f.D., la media y la varianza del peso de las piezas de la producción total.

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Cambios de variables

2.29) A un puerto llegan una cantidad diaria de barcos K que puede modelizarse según la f.p.p. pK(k)= 3k e-3 / k! para k numero natural. La norma establece que podrán entrar a lo sumo 4 barcos siendo éstos los primeros 4. ¿Cuál es la f.p.p. pB(b) siendo B la cantidad de barcos atendidos?

2.30) Sea X ~ U(-2; 4). Halle la densidad de X2.

2.31) Sea X ~ U(0,1). Halle la densidad de ln(X)

2.32) Sea X tal que f(x) = x + 1 para -1 < x < 0; -x + 1 para 0 < x < 1 y nula en otro caso. Halle la densidad de X2.

2.33) Sea X ~ U(-2,3), y sea ( )( )

>−

≤⋅=

02

04

2xsix

xsiexh

x

. Halle la densidad de Y=h(X)

2.34) Un modelo de crecimiento exponencial responde a la expresión Xt = X0 (1+r)t

donde X es la población en el tiempo “t” (en años) y “r” es la tasa anual de crecimiento. Si r es una v.a. U(-0.01; 0.05) encuentre la f.d.p. de la v.a. X al cabo de 5 años y su media

2.35) Sea X la longitud de los troncos que se reciben en un aserradero con fX(x)= C.x si 0<x<8; nula en otro caso. Los troncos con longitud menor a 4 se procesan en el sector I, los demás en el sector II en donde se cortan en longitudes de 4 o 6 metros (se cortan de la mayor longitud posible). Encuentre la función de distribución de las longitudes de los recortes que se obtienen en el sector II. (Nota: un tronco con X= 7.53 no se corta a longitud 4 sino a longitud 6 quedando un recorte de longitud 1.53)

2.36) ¿Qué cambio de variable monótono creciente debe efectuar entre las variables X e Y si X es una v.a. con distribución U(0;1) e Y debe responder a una función de densidad fY(y) = 2 y ey^2, si y > 0?

2.37) Demuestre que si se hace el cambio de variable Y = FX(X), la media de Y es siempre 0.5

2.38) Sea X una v.a. mixta con P(X=1) = 0.4 y luego repartida uniformemente en el intervalo (2;5). Simule 10 valores de X y promédielos; compare con la media de la v.a. X.

2.39) Un lote de ampollas tiene una capacidad de 10 cm3 cada una. Una máquina envasadora envía a cada ampolla un volumen de líquido que es una v.a. con densidad proporcional a (20-x) para 0 < x < 20 (en cm3). Halle:

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a) La función de densidad de probabilidad del líquido en una ampolla.

b) Ídem del líquido rebalsado.

c) La cantidad media de líquido por ampolla.

d) La varianza del líquido rebalsado.

2.40) Los aportes de agua que en un año llegan a un embalse procedente de su cuenca alimentadora, constituyen un volumen X aleatorio que se distribuye según la siguiente función de densidad de probabilidad (en hm3): f(x) = (x-150)/1252 para 150≤x≤ 275; f(x) = (400-x)/1252 para 275 ≤ x ≤ 400; f(x) = 0 si no. La capacidad del embalse es de 170 Hm3, el consumo de la ciudad que abastece es de 180 hm3, el agua que llega primero se destina al consumo de la ciudad, y se supone que al comienzo de un cierto año el embalse está vacío. Se pide que halle:

a) la f.d.p. y la f.D. del agua embalsada al cabo de un año.

b) la probabilidad de que al cabo de un año el embalse esté vacío, y la de que esté lleno.

c) la esperanza y varianza del agua embalsada al cabo de un año.

d) Ídem, del agua suministrada a la ciudad.

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Algunas respuestas

(Nota: Si encuentra erratas, o calculó alguna respuesta no incluida a continuación -y la ha verificado

fehacientemente-, por favor informe a su docente, o envíe la información por mail a: valeria.univ @

gmail.com para tomarlo en consideración en futuras ediciones. Muchas gracias por su participación).

1.7) 4,71.10-7; 1.8) a. 1,85.10-5, b. 1,98.10-3; 1.9) b.0,012; 1.10) a. 1/6, b. 13/18, c.

1/12, d. 1/4, e. 5/18; 1.13) a. 0,2π, b. π/20, c. 8/15.

1.16) a. 24/37, b. 6/37, c. 18/37; 1.18) a. 27%, 16,8%, 36,8% y 9,4%, b. 90%;

1.19) a. 0,2, b. 0,8, c. 0,01, d. 0,1; 1.20) a. 0,56, b. 0,14, c. 0,04, d. 0,26.

1.22) b. 0,3, c. 30%: 32%; 32% y 6%; 1.23) a. 1/20, b. 1/10; 8/10 y 1/10

respectivamente; 1.26) a. 0,44, b. 0,86, c. 0,08; 1.27) a. 0,10, b. 0,64, c. 0,53, d.

0,17, e. 0,32, f. 0,06, g. 0,14, h. 0,56, i. 0,5, j. 0,145, k. 0,218, l. 0,5, m. 1/11;

1.28) a. 20%, b. 50 %, c. No; 1.29) a. 0,343, b. 0,189; 1.30) a. 0,085, b. 0,812, c.

0,778; 1.31) 0,4897; 1.32) a. 0,817, b. 8,5%, c. 0,4%.

1.38) a. 5/7; 1.39) a. 0,6672, b. 0,6669, c. 0,2603, d. 0,4996.

1.41) a. 7/12, b. 17/30, c. 11/20, e. 13/28; 1.42) a. 0,5579, c. 0,4566, d. 3,4% ;

1.44) 1/6; 1.45) a. 0,049, b. p< 6,7%; 1.46) a. 0,56, b. 0,9989 ; 1.47) 0,9539.

2.6) Esperanza: 70/36; 2.11) 0.92; 2.13) a. 0,488 b. 6

.

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proba

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