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PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD

GERMÁN E. RINCÓN

CONCEPTOS BÁSICOS

Tipos de fenómenos: Fenómenos determinísticos Una acción un solo resultado posible Se puede pronosticar con precisión lo que va a

ocurrir ¿Qué distancia recorre un cuerpo en caída libre

en un tiempo determinado? ¿A qué temperatura se evapora el agua al nivel

del mar? ¿Qué le ocurre a un material ferroso en un

ambiente húmedo?

CONCEPTOS BÁSICOS

Tipos de fenómenos:

Fenómenos aleatorios Una acción varios resultados posibles de los

cuales ocurre solo uno

Los resultados ocurren “AL AZAR”

¿En qué numero caerá la lotería?

¿Qué resultado tendrá una nueva empresa?

¿Cuántos productos saldrán defectuosos de un lote de producción?

¿Qué numero saldrá al lanzar un dado?

CONCEPTOS BÁSICOS

Fenómenos determinísticos Certidumbre

Siempre se sabe que va a ocurrir, sí se realiza una actividad en unas condiciones determinadas

Fenómenos aleatorios Incertidumbre

Cuando se realiza una actividad no se sabe cuál de los posibles resultados va a ocurrir

CONCEPTOS BÁSICOS

Concepto de Experimento Aleatorio:

Cualquier acción que tenga varios resultados posibles conocidos de los cuales ocurre solo uno

Lanzar una moneda

Iniciar una empresa

Medir alguna característica de las piezas que salen de producción

Cuántas veces se avería una máquina en el mes

Qué va a responder una persona sobre un tema que se le pregunte

CONCEPTOS BÁSICOS

Definiciones de probabilidad:

Medida numérica de la posibilidad de que ocurra un resultado determinado en un experimento aleatorio

Medida numérica de la incertidumbre

Incertidumbre por falta de información

Necesidad de la probabilidad:

Medir la posibilidad o el riesgo de que algo ocurra o no ocurra

Cuantificar la incertidumbre

CONCEPTOS BÁSICOS

EL ESPACIO MUESTRAL

Concepto:

Lista de TODOS los posibles resultados de un experimento aleatorio

Símbolo S

Ejemplos de espacio muestral Lanzar una moneda

Lanzar un dado

El peso de estudiantes de un salón de clase

EJEMPLOS DE ESPACIO MUESTRAL

Lanzar un par de dados

Sacar, al azar, una ficha de una caja que tiene varias fichas de colores

Ingreso de profesionales recién egresados

1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6

CONCEPTOS BÁSICOS

Formas de describir el espacio muestral Con palabras espacio cualitativo

Con números enteros espacio discreto

Intervalos de valores espacio continuo

Resultado o punto muestral Concepto

Ejemplos

Evento o suceso Concepto

ejemplos

CONCEPTOS BÁSICOS

Simbología de las probabilidades :

Propiedades fundamentales de las probabilidades

si x = cualquier suceso

suma de las probabilidades de todos los resultados de s

ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES

Asignación de probabilidades

Método clásico (a priori)

Método empírico o de la frecuencia relativa (a posteriori)

Método subjetivo


MÉTODO CLÁSICO

Supuesto: resultados equiprobables

Momento del cálculo: a priori (probabilidades teóricas)

Para un suceso E cualquiera:


Ejemplos :

Calcular la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda

Calcular la probabilidad de que salga un 4 al lanzar un dado

Calcular la probabilidad de que la suma de los puntos al lanzar un par de dados sea mayor que 7

Calcular la probabilidad de sacar una ficha verde de una caja que contiene 2 fichas verdes, una roja y 3 blancas


MÉTODO EMPÍRICO O DE LA FRECUENCIA RELATIVA

Método de cálculo: a posteriori (probabilidades empíricas)

La probabilidad de que ocurra un suceso E cualquiera es igual a su frecuencia relativa

Principio


Ejemplos:

Se lanza una moneda 500 veces con los siguientes resultados:

No. de RESULTADO veces FR

Cara 240 0,48 Sello 260 0,52 Suma 500 1,00


Tiempo que demora una capa de pintura en secarse

Sí x = tiempo de secado en horas

??????

Horas por No. de

muestra muestras FR

0 - 0,5 10 0,14

0,5 - 1,0 22 0,30

1,0 - 1,5 15 0,21

1,5 - 2,0 10 0,14

2,0 - 2,5 7 0,10

2,5 - 3,0 5 0,07

Mas de 3,0 3 0,04

Suma 72 1,00

PRÁCTICA EN CLASE

De una caja que tiene unas tarjetas marcadas con las letras A, B, C. D, E, F, O, H y M, se escoge una tarjeta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la tarjeta seleccionada corresponda a una consonante?

De una caja que contiene 10 fichas numeradas del cero al nueve se extrae una ficha al azar. ¿Cuál e s la probabilidad de que la ficha seleccionada sea un número mayor que 6?

PRÁCTICA EN CLASE

El número de accidentes, por día, que ocurrieron el año pasado, en una fábrica, se presenta en la siguiente tabla:

¿Cuál es la probabilidad de qué en un día cualquiera se presenten 2 accidentes?

Accidentes No. de por día días

0 180 1 60 2 35 3 21 4 5 5 4

mas de 5 3 TOTAL 308


MÉTODO SUBJETIVO

Sucesos que no han ocurrido antes

Sucesos que han ocurrido muy pocas veces

Sucesos que ocurren siempre en diferentes condiciones

P ( E ) = subjetivamente con base en toda la información disponible

Ejemplo

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

Se lanzó 1000 veces una moneda y se registró el numero de caras No. de No. de lanz. No. de No. de caras

lanzamientos acumulado caras acumulado FR

50 50 30 30 0,6000 50 100 23 53 0,5300 50 150 22 75 0,5000 50 200 23 98 0,4900 50 250 22 120 0,4800 50 300 24 144 0,4800 50 350 25 169 0,4829 50 400 25 194 0,4850 50 450 29 223 0,4956 50 500 23 246 0,4920 50 550 28 274 0,4982 50 600 17 291 0,4850 50 650 27 318 0,4892 50 700 18 336 0,4800 50 750 28 364 0,4853 50 800 26 390 0,4875 50 850 28 418 0,4918 50 900 23 441 0,4900 50 950 19 460 0,4842 50 1000 21 481 0,4810

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

FREC

UEN

CIA

REL

AT

IVA

NÚMERO DE LANZAMIENTOS

Probabilidad empírica

PRÁCTICA EN CLASE

Al lanzar un par de dados:

¿A qué número se debe apostar sí se quiere ganar?

¿Qué condición tiene esta afirmación?

MUESTREO

Concepto de muestra (repaso)

Muestreo: Acción de tomar muestras, métodos y técnicas para seleccionar a los elementos de una muestra (Inferencia estadística)

Muestreo experimento aleatorio

Muestreo de caja (concepto)

Muestreo de caja con reemplazamiento

Muestreo de caja sin reeplazamiento

ENSAYOS

Concepto: cada uno de los intentos o pruebas con los que se realiza un experimento aleatorio

Ejemplos

Lanzar una moneda No. de ensayos = ???

Lanzar 3 monedas al tiempo No. de ensayos =?

Lanzar simultáneamente un par de dados = ???

Extraer, al azar, una ficha de una caja = ???

Extraer, al azar, simultáneamente, 5 fichas de una caja = ???

DIAGRAMA DE ÁRBOL

Espacio muestral de lanzar 2 monedas Espacio muestral de lanzar 3 monedas Diagrama de árbol: sucesos simultáneos en

sucesión Diagrama de árbol y espacio muestral para el

lanzamiento de 3 monedas Ejemplo: De una caja que tiene 3 fichas marcadas

con las letras A, B y C se sacan 2 fichas al azar Establecer el espacio muestral sí el muestreo es con

reemplazamiento Establecer el espacio muestral sí el muestreo es sin

reemplazamiento

PRÁCTICA EN CLASE

Al lanzar 3 monedas simultáneamente establecer las probabilidades de: Salga solamente una cara Salga como máximo una cara Salgan al menos 2 caras (como mínimo 2 caras)

De una caja que contiene 2 fichas verdes, una negra y una blanca, se extraen 2 fichas al azar sin reemplazamiento Establecer el espacio muestral Establecer la probabilidad de que la primera ficha sea

verde y la segunda blanca Establecer la probabilidad de que ambas fichas sean

verdes

PRÁCTICA EN CLASE

De una caja que tiene 3 fichas marcadas con los números 1, 2 y 3, se extraen al azar 2 fichas sin reemplazamiento: Establecer el espacio muestral Establecer la probabilidad de que el primer

número sea mayor que el segundo Establecer la probabilidad de que el número que

se forma sea par

Conclusión de la utilidad del diagrama de árbol en el cálculo de probabilidades teóricas

TÉCNICAS DE CONTEO

Limitaciones del diagrama de árbol:

Muestreo de mas de 3 ensayos

Caja con muchos elementos diferentes

Técnicas de conteo

Espacios muestrales grandes

Se usan en cálculos de probabilidades teóricas para establecer el tamaño del espacio muestral y el tamaño de cualquier suceso

TÉCNICAS DE CONTEO

Técnicas de conteo:

Principio Fundamental del conteo (PFC)

Permutaciones

Combinaciones

Concepto de muestreo ordenado y muestreo desordenado

Repaso: muestreo con reemplazamiento y sin reemplazamiento

TÉCNICAS DE CONTEO

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO (PFC)

Condiciones: Muestreo ordenado (orden en que ocurren los

sucesos) Con reemplazamiento o sin reemplazamiento

Concepto:

Ensayo No. de No. Posibilidades

1 2 3 4 - - - - - - k

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

Ejemplo:

Sí se lanzan simultáneamente 3 monedas: ¿Cuántos resultados tiene el espacio muestral?

Lanzamiento No. de

No. Posibilidades

1 2

2 2

3 2

PRÁCTICA EN CLASE

1. De una caja que contiene 2 fichas negras, una roja y una verde, se extraen, al azar 2 fichas con reemplazamiento: • Aplicando el PFC calcule el tamaño (No. de

resultados) del espacio muestral • Aplicando el PFC calcule el tamaño del suceso: las

2 fichas extraídas son de color negro • Aplicando el PFC calcule el tamaño del suceso: la

primera ficha extraída es de color negro y la segunda de color rojo

• Calcule las probabilidades de los dos últimos sucesos

• Verifique los resultados elaborando el diagrama de árbol

PRÁCTICA EN CLASE

2. Repita el ejercicio No.1 sí el muestreo es ahora sin reemplazamiento

3. De una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 fichas verdes y 2 fichas azules, se extraen, al azar, 3 fichas con reemplazamiento.

• Calcule el tamaño del espacio muestral

• Calcule la probabilidad de que las 3 fichas sean rojas

• Calcule la probabilidad de que las 2 primeras fichas sean rojas y la tercera sea verde

4. Repita el ejercicio No.3 sí el muestreo es sin reemplazamiento

PERMUTACIONES

Condiciones: Muestreo ordenado y sin reemplazamiento

Concepto de permutación: Resultados con los mismos elementos en diferente orden

Ejemplo: de una caja que tiene 4 fichas marcadas con las letras A, B, C y D se extraen 3 fichas sin reemplazamiento

A B C B A C C A B D A B

A B D B A D C A D D A C

A C B B C A C B A D B A

A C D B C D C B D D B C

A D B B D A C D A D C A

A D C B D C C D B D C B

PERMUTACIONES

Cálculo del tamaño del espacio muestral o del tamaño de un suceso:

Ejemplo: Para el caso anterior n = 4 y r = 3

Cálculo con las funciones de la calculadora

CÁLCULOS CON PERMUTACIONES

La combinación de una cerradura está compuesta de 3 dígitos del cero al nueve que no se pueden repetir. ¿Cuál es el número de claves posibles? Resuelva el caso anterior aplicando el PFC Resuelva el caso por permutaciones Resuelva el caso anterior sí los dígitos se pueden

repetir Sí los dígitos no se pueden repetir ¿Cuál es la

probabilidad de que los 2 primeros números sean pares y el tercero impar?

Se tienen 5 tiras de los colores: rojo, negro, verde,

azul y naranja, para diseñar banderas tricolores. ¿Cuántas banderas diferentes se pueden diseñar?

PRÁCTICA EN CLASE

De una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 verdes y 2 negras extraen , al azar, 2 fichas sin reemplazamiento. Sí el orden en que se extraen las fichas es importante ¿Cuántos resultados tiene este experimento aleatorio? ¿Cuántos resultados tiene el suceso: Las dos fichas

extraídas son de color rojo? Verifique esta respuesta con el diagrama de árbol ¿Cuál es la probabilidad de que las dos fichas

extraídas sean de color rojo? ¿Cuál es la probabilidad de que la primera ficha

extraída sea verde y la segunda negra? Sí se extraen 3 fichas ¿Cuál es la probabilidad de que

la 2 primeras sean rojas y la tercera verde?

PRÁCTICA EN CLASE

De una caja que tiene 7 fichas numeradas del 3 al 9 se extraen, al azar, 3 fichas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 primeras fichas sean impares y la tercera sea par?

COMBINACIONES

Condición: El orden en que se extraen los elementos de una caja no es importante

Condición: muestreo sin reemplazamiento

Calculo de combinaciones:

A B C B A C C A B D A B

A B D B A D C A D D A C

A C B B C A C B A D B A

A C D B C D C B D D B C

A D B B D A C D A D C A

A D C B D C C D B D C B

COMBINACIONES

A B C A B D A C D B C D

CÁLCULOS CON COMBINACIONES

Cálculo con las funciones de la calculadora Ejemplo : En un grupo compuesto por 6 estudiantes

de administración, 5 estudiantes de ingeniería y 4 estudiantes de derecho, se van a rifar 3 tabletas idénticas: ¿De cuántas maneras se pueden ganar todos los

estudiantes las 3 tabletas? ¿De cuántas maneras se pueden ganar las 3 tabletas los

estudiantes de administración? ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 tabletas se las ganen

los estudiantes de administración? ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 tabletas se las ganen

2 estudiantes de ingeniería y uno de derecho?

PRÁCTICA EN CLASE

Para diseñar un examen de 5 preguntas un profesor dispone de una batería de 20 preguntas, de las cuales, 10 son de dificultad baja, 6 son de dificultad media y 4 son de dificultad alta. Sí el profesor escoge las preguntas al azar: ¿Cuántos exámenes diferentes puede diseñar? ¿Cuántos exámenes diferentes puede diseñar con las

preguntas de dificultad baja? Qué probabilidad existe de que diseñe un examen sólo con

preguntas de dificultad baja? ¿Cuál es la probabilidad de que el examen diseñado tenga

3 preguntas de dificultad baja y 2 de dificultad alta?

MAPA CONCEPTUAL DE TÉCNICAS DE CONTEO

Uso de las técnicas: MUESTREO

CON REEMPLAZAMIENTO

SIN REEMPLAZAMIENTO

DESORDENADO ORDENADO ORDENADO DESORDENADO

?

CLASIFICACIÓN DE LOS SUCESOS

Un solo ensayo: Sucesos mutuamente excluyentes Sucesos compatibles

Ejemplos

Mas de un ensayo:

Sucesos independientes

Sucesos dependientes

Ejemplos

OPERACIONES CON PROBABILIDADES

Suma

Complemento

Multiplicación o probabilidad conjunta

División o probabilidad condicional

SUMA DE PROBABILIDADES

La probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B:

SUCESOS COMPATIBLES

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES


Ejemplo: Sacar una ficha de una caja que tiene 10 fichas numeradas de 0 al 9

clasif de suc


Ejemplo: En una caja se tienen fichas cuadradas, redondas y ovaladas. De estas algunas son negras y otras son verdes como se muestra en la siguiente tabla:

complemento

Sí se extrae una ficha al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea cuadrada u ovalada

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea redonda o verde

Cuadradas Redondas Ovaladas Total

Negras 8 4 3 15

Verdes 2 6 7 15

Total 10 10 10 30

PRÁCTICA EN CLASE

En un curso de estadística de 28 estudiantes de las facultades de administración, sicología e ingeniería hay 15 hombres, 9 estudiantes de administración y 12 estudiantes de sicología. De los hombres 6 estudian administración y 5 estudian ingeniería

a) Sí se escoge un estudiante al azar: ¿Cuál es la probabilidad de que estudie administración o sicología?

b) Sí se escoge un estudiante al azar: ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o estudie ingeniería?

COMPLEMENTO

Concepto: Sí se tiene un suceso A cuya probabilidad de

ocurrencia se conoce, la probabilidad de que NO OCURRA EL SUCESO A, es:

COMPLEMENTO

Ejemplo: la probabilidad de que al lanzar un par de dados, la suma de las caras sea un número mayor que 8 es:

A = Suma de las caras > 8 (verificar)

suma de las caras ≤ 8

PRÁCTICA EN CLASE

De una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 verdes y 2 negras extraen , al azar, 2 fichas sin

reemplazamiento. sea A = las 2 fichas extraídas son rojas

(Verificar)

Calcular la probabilidad de que las fichas extraídas no sean ambas de color rojo

PRÁCTICA EN CLASE

Del ejercicio se extrae una ficha al azar:

a) Calcular la probabilidad de que la ficha extraída sea cuadrada

b) Calcular la probabilidad de que la ficha extraída no sea cuadrada

c) Calcular la probabilidad de que la ficha extraída sea redonda o verde

d) Calcular la probabilidad de que la ficha extraída no sea redonda o verde

CLASIFICACIÓN DE LOS SUCESOS

Mas de un ensayo Sucesos independientes:

• Se extraen 2 fichas con reemplazamiento

Sucesos dependientes: • Se extraen 2 fichas sin reeplazamiento

Suc. dep.

R R

R V V Primer ensayo

Segundo ensayo

Primer ensayo

Segundo ensayo

Sucesos independientes Sucesos dependientes

Clasif de suc

𝑃 𝑉 𝑅 = 1

2

PROBABILIDAD CONJUNTA

SUCESOS INDEPENDIENTES

Para 2 sucesos A y B independientes:

Probabilidad de que ocurran el suceso A y el

suceso B, simultáneamente o en sucesión


Ejemplo No.1

• Experimento: Lanzar un par de dados (un dado 2 veces)

• Resultado : Que salga primero un 5 y después un 6

• Condición: los sucesos son independientes


Ejemplo No.2 • Experimento: Se lanzan 3 monedas (una moneda

3 veces) • Resultado : Que salgan en su orden cara, cara,

sello

• Condición : los sucesos son independientes

PRÁCTICA EN CLASE

• Experimento: Se extraen con reemplazamiento 3 fichas de una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 fichas verdes y 2 fichas blancas

• Resultado : Que las fichas salgan en su orden de color: rojo, rojo y blanco


Sucesos dependientes

Para 2 sucesos A y B dependientes:

Probabilidad de que ocurran el suceso A y el

suceso B, simultáneamente o en sucesión


Ejemplo:

En el ejercicio calcule la probabilidad de que la primera ficha sea verde y la segunda sea roja

PRÁCTICA EN CLASE

• Experimento: Se extraen sin reemplazamiento 3 fichas de una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 fichas verdes y 2 fichas blancas

• Resultado : Que las fichas salgan en su orden de color: rojo, rojo y blanco

PRÁCTICA EN CLASE

Operaciones combinadas

Al lanzar u par de dados ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las caras de 8?

PRÁCTICA EN CLASE

Operaciones combinadas Las piezas que salen de una línea de producción se

empacan en cajas de 20 unidades. De registros anteriores se sabe que el 60% de estas unidades salen de buena calidad, el 30% se pueden reprocesar y el 10% salen desechables.

Sí se abre una caja y se escogen al azar 3 piezas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 piezas sean

de buena calidad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de las piezas

salgan de buena calidad y una reprocesable?

ÁRBOL DE DECISIÓN

Para muestreo con reemplazamiento y sin reemplazamiento.

Diferencia entre diagrama de árbol y árbol de decisión:

De una caja que tiene 3 fichas rojas y 2 verdes se sacan 2 fichas sin reemplazamiento. ¿Cuál e s la probabilidad de que salga una roja y una verde?

PRÁCTICA EN CLASE

Un estudiante que está presentando una prueba de 3 preguntas. Cada pregunta se presenta con 4 posibles respuestas de las cuales sólo una es verdadera. Sí el estudiante escoge al azar la respuesta de cada pregunta:

a) ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente las 3 preguntas?

b) Cuál es la probabilidad de que acierte 2 de las 3 preguntas?

PRÁCTICA EN CLASE

Se escoge una caja al azar y de esa caja, también al azar, se sacan 2 fichas sin reemplazamiento:

¿Cuál es la probabilidad de que las 2 fichas extraídas

sean, ambas, del mismo color?

1 2

5 4

3 6

2

3 5

1

4

1

4

2

3

5

1 2

3

4

2

3 1

4

1 3

2

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Condición: un solo ensayo

Significado: Para dos sucesos A y B cualquiera

La probabilidad de que ocurra el suceso A sí el suceso B ya ocurrió


Ejemplo Una fábrica tiene en existencia, repuestos

comprados a 3 proveedores, con la calidad y cantidad que se muestran en la siguiente tabla:

Sí se escoge un repuesto al azar y sale de segunda

¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor C?

PROVEEDOR

CALIDAD A B C TOTAL

Primera 20 12 6 38

Segunda 10 8 4 22

TOTAL 30 20 10 60


Método intuitivo

???

???

PRÁCTICA EN CLASE

En una caja hay 10 fichas rojas y 6 fichas verdes que están numeradas. 9 de las fichas tienen números pares y 4 de las fichas rojas tienen números impares. Sí se escoge una ficha al azar y tiene número impar ¿Cuál es la probabilidad de que sea verde?

TEOREMA DE BAYES

Se escoge una caja al azar y de esa caja, también al azar, se sacan 1 ficha:

Sí la ficha que se extrajo es de color rojo: ¿Cuál es la

probabilidad de se haya tomado de la caja A1 ?

1 2

5 4

3 6

2

3 5

1

4

1

4

2

3

5

1 2

3

4

2

3 1

4

1 3

2

TEOREMA DE BAYES X

A1

A2

A3

R

V

R

V

R

V

TEOREMA DE BAYES

Ejemplo:

A1

A2

A3

R

V

R

V

R

V

PRÁCTICA EN CLASE

El 70% de los motores que salen de una línea de producción son ensamblados automáticamente, el 20% son ensamblados en un proceso mixto (automático y manual) y el 10% son ensamblados manualmente. De los registros de garantía se sabe que el 1% de los motores de ensamblado automático fallan antes de completar 1500 horas de uso, lo mismo que el 6% de los motores de ensamblado mixto y el 20% de los motores de ensamblado manual. Sí un motor falló antes de completar las 1500 horas de uso: ¿Cuál es la probabilidad de que se haya ensamblado manualmente?

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