Multiplicacin, combinaciones, permutaciones

Si la cantidad de posibles resultados de un experimento es pequea, resulta relativamente fcil contarlas. Por ejemplo, existen seis posibles resultados del lanzamiento de un dado a saber.

Sin embargo, si hay nmero muy grande de

resultados, tal como nmero de caras y cruces en

un experimento con 10 lanzamientos de una

moneda, sera tediosos contar todas las

posibilidades: todos van a ser caras, una cruz y

nueve caras, dos caras y ocho cruces, y as

sucesivamente.

Para facilitar la cuenta, se analizarn tres frmulas para contar:

Frmula de Multiplicacin

Frmula de permutaciones

Frmula de combinaciones

Frmula de multiplicacin:

La frmula de multiplicacin indica que si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas de hacer tanto.

Total de numero de disposiciones: = (m)(n)

Ejemplo: Juan tiene 10 camisas y corbatas de 8.

Cuntos trajes de camisa y corbata tiene?

Total de nmero de disposiciones= (m)(n) =(10)(8) = 80

Un concesionario de automvil quiere anunciar que para un

precio de $229,999 se puede comprar un convertible, un sedn

de dos puertas o un modelo de cuatro puertas con su eleccin

de rines de aluminio, o de rines negros.

Cuntos diferentes arreglos de modelos y cubiertas de rin

puede ofrecer el distribuidor?

Mediante la frmula de la multiplicacin se verifica el resultado, en cuyo caso m es el nmero de modelos y n el tipo de rin.

De acuerdo con la frmula se tiene

Nmero Total de disposiciones = (m)(n) = (3)(2)= 6

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En un saln de eventos sociales de se ofrece la posibilidad de elegir como plato

de entrada ensalada, espagueti o crema de championes; como plato principal

carne, pechugas rellenas , pipian de autor y de postre Flan o helado artesanal.

De cuntas maneras distintas se puede elegir una comida para un evento?

Nmero total de posibles disposiciones= (m)(n)(o)

Primero hay que identificar nuestras variables:

m= plato de entrada: ensalada, espagueti o crema de championes;

entonces m=3

n= plato principal: carne, pechugas rellenas, pipian de autor; n= 3

o= postre Flan o helado: o=2

Nmero total de posibles disposiciones= (3)(3)(2) = 18

Frmula de permutaciones.

Una permutacin es cualquier acuerdo de r objetos de n objetos posibles.

El orden de acuerdo es importante para permutaciones.

Donde: n representa el total de objetos r representa el total de objetos seleccionados

Antes de resolver los dos problemas planteados, note que en las permutaciones y

las combinaciones (que se plantean en breve) se emplea la notacin denominada

n factorial.

sta se representa como n! y significa el producto de: n(n 1)(n 2)(n 3) (1).

Por ejemplo:

1! = 1

2! = 1x2= 2

3! = 1x2x3= 6,

5! = 5 4 3 2 1 = 120.

Por definicin, cero factorial, que se escribe 0!, es 1. Es decir que 0! = 1.

Un ejemplo de operaciones con el factorial:

La notacin factorial se puede eliminar cuando los mismos nmeros

aparecen tanto en el numerador como en el denominador, como se

muestra a continuacin:

6! 3!

4!=

(6 5 4 3 2 1)(3 2 1)

(4 3 2 1)

6! 3!

4!= 6 5 3 2 1 = 180

Muchas de las calculadoras tienen una tecla

con x! que ejecuta el clculo. Ahorrar mucho tiempo.

Por ejemplo, la calculadora Casio tiene la siguiente tecla:

Es la segunda funcin, as que revise el manual del usuario o internet para leer las instrucciones.

Generalmente se utiliza la tecla: SHIFT

Tecleamos el nmero que deseamos calcular su factorial y activamos la tecla factorial: ejemplo

3!

El resultado ser: 6

Frmula de las combinaciones.

Una combinacin es el nmero de formas de elegir objetos r de un grupo de n objetos sin respecto a la orden.

Donde: n representa el total de objetos r representa el total de objetos seleccionados

Ejemplo:

Hay 12 jugadores en el equipo de baloncesto de Carolina bosque High School. El entrenador Thompson debe elegir cinco jugadores entre los doce en el equipo a formar parte del quinteto.

Cuntos grupos diferentes son posibles?

Cuntos grupos diferentes son posibles?

792)!512(!5

!12512

C

Muchas de las calculadoras tienen una tecla especial para la combinacin que ejecuta el clculo.

Ahorrar mucho tiempo.

Por ejemplo, la calculadora Casio tiene la siguiente tecla:

Es la segunda funcin, as que revise el manual del usuario o internet para leer las instrucciones.

Tecleamos el nmero que deseamos calcular la combinacin : ejemplo para el nmero

12C5

El resultado ser: 792

Supongamos adems de seleccionar el grupo, tambin deber estar cada uno de los jugadores en ese quinteto de acuerdo a su capacidad.

18

040,95)!512(

!12512

P

En este caso tambin podemos realizar la permutacin con auxilio de la calculadora.

Ahorrar mucho tiempo.

Por ejemplo, la calculadora Casio tiene la siguiente tecla:

Es la segunda funcin, as que revise el manual del usuario o internet para leer las instrucciones.

Tecleamos el nmero que deseamos calcular la permutacin y activamos la tecla shift y activamos la tecla deseada:

ejemplo para LA PERMUTACIN:

12P5

El resultado ser: 95040

Cuando el nmero de permutaciones o combinaciones es grande, los clculos son laboriosos.

El software de las calculadoras de mano tienen funciones para calcular estos nmeros, y tambin en Excel se puede realizar mediante las siguientes funciones:

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En el siguiente recuadro en Excel aparece la forma en la que se pueden resolver las permutaciones.

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En el siguiente recuadro en Excel aparece la forma en la que se pueden resolver las combinaciones

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Lind, A.D., Marchal, W. G., y Wathen , A, S. (2008) Estadstica aplicada a negocios y la Economa . Edit Mc Graw Hill Interamericana. 13 Edicin.

http://www.ugr.es/~jsalinas/bayes.htm

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/08Teorema%20de%20bayes.htm