principios basicos de aritmetica

Alfredo Caicedo BarreroGraciela Wagner de GarcıaRosa Marıa Mendez ParraDocentes Universidad del Quindıo

PRINCIPIOS BASICOS DE ARITMETICA

c©Derechos reservadosReproducido y editado por Ediciones ElizcomPrimera edicion, diciembre del 2010200 ejemplaresISBN: [email protected]: 3113340748Armenia, Quindıo

Contenido

1 Naturaleza de la Aritmetica 1

1.1 Operaciones Basicas de la Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Los Numeros Naturales 5

2.1 Las Nociones de Unidad y Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 La Serie Natural de los Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 La Adicion en los Numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Sustraccion en los Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Multiplicacion en los Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7 Division en los Numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8 Potenciacion en los Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.9 Radicacion en los Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.10 Logaritmacion en los Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Los Numeros Enteros 35

3.1 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Numeros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Maximo Comun Divisor (MCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Mınimo Comun Multiplo (M.C.M.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Congruencia 59

4.1 Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2 Ecuaciones Lineales de Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Numeros Racionales Q 71

5.1 Valor Absoluto en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2 Operaciones Aritmeticas en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Representacion Decimal de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4 Reduccion de Fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.5 Comparacion y Orden en los Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.6 Notacion Cientıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

i

ii Principios Basicos de Aritmetica

6 Razones y Proporciones 916.1 Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3 Magnitudes Proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.4 Regla de Tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5 Magnitudes Proporcionales a Varias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.6 Regla de Tres Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.7 Reparto Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.8 Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.9 Interes Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7 Coeficientes Binomiales 115

8 Sistemas de Numeracion 1218.1 Origen de la Numeracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.2 Sistema de Numeracion Posicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.3 Sistema de Numeracion en Base 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.4 Numeros Octales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.5 Sistema Hexadecimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9 Sistema Metrico Decimal 1339.1 Medidas y Magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.2 Medidas Tradicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.3 Sistema Ingles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.

Introduccion

Es necesario hacer un recorrido formal y riguroso de la aritmetica desde sus inicios, paraformar un docente bien fundamentado con bases solidas desde el estudio de los numerosnaturales, hasta los numeros reales.

Esta propuesta pretende estudiar la matematica desde sus inicios para fortalecer al fu-turo docente en el estudio de: los numeros naturales, su concepto, operaciones y leyesformales, ampliacion de los numeros naturales con los enteros, los racionales definiendonuevamente las operaciones fundamentales y reconociendo la permanencia de las leyesformales, se trabajaran las leyes de las operaciones mediante demostraciones sencillas,de igual manera se estudiaran los numeros primos, las relaciones de divisibilidad y deproporcionalidad, congruencia entre numeros; se incorporaran los recursos que ofrecena la resolucion de problemas aritmeticos y a los metodos para hallar el mınimo comunmultiplo (MCM) y el maximo comun divisor (MCD).

Tambien se hace necesario profundizar en temas que le permitan un mayor conocimientosobre los diferentes conjuntos numericos (numeros naturales, enteros, racionales e irra-cionales), sus distintas formas de representacion y las propiedades y relaciones que loscaracterizan, ademas establecer relaciones entre los conjuntos numericos reconociendosus propiedades especıficas.

Estos elementos le permiten hacer un analisis sobre los tipos de problemas de ındole arit-metico, para obtener la comprension de los multiples usos de las operaciones aritmeticaspara solucionar situaciones cotidianas.

Con el presente material, se pretende que el docente haga un estudio sistematizado yriguroso de los numeros y sus operaciones entre ellos ademas de iniciarse en los diversosmetodos de demostracion usados en aritmetica para validar operaciones, propiedades yproposiciones.

iii

Capıtulo 1

Naturaleza de la Aritmetica

¿Que es la aritmetica?

La aritmetica es una rama de las matematicas que se ocupa del estudio de

los numeros y de las reglas que rigen las operaciones entre ellos

¿Que es una operacion aritmetica?

Una operacion es una combinacion de ciertos numeros, siguiendo determi-

nadas reglas precisas, para obtener otro nuevo numero como resultado

¿Que son las reglas formales de la aritmetica?

Son reglas que establecen las formas como se deben combinar los numeros

para que ası quede definida una operacion entre ellos

Cada operacion que se defina entre numeros cumplira ciertas leyes que son “las reglas dejuego” dentro de la operacion. Estas son llamadas las leyes formales del calculo.

El matematico Felix Klein en su magistral obra: “Matematica Elemental, desde un puntode vista superior”, dice:

“Historicamente durante mucho tiempo, se ha sumado y multiplicado sin darse

cuenta de las leyes formales de estas operaciones. En los anos 20 al 30 del siglo

XIX fueron puestas en evidencia, por primera vez, por matematicos franceses

e ingleses, principalmente, las propiedades formales de aquellas operaciones.”

En vista de los conceptos anteriores se puede redefinir la aritmetica en la siguiente forma:

“La aritmetica es un conjunto de reglas que establecen como son las operaciones

que se pueden ejecutar entre numeros”

1.1 § Operaciones Basicas de la Aritmetica §En aritmetica se han definido 5 operaciones basicas

1. Igualdad (=).

1

2 Principios Basicos de Aritmetica

2. Suma (+).

3. Resta (−).

4. Multiplicacion (×)

5. Division (÷)Por lo tanto se tendran leyes formales para cada una de ellas.

Tambien se ha definido una relacion de ordenamiento entre pares de numeros y sim-bolizada por el signo (<) y que significa “menor que”.

A continuacion relacionamos las leyes formales o fundamentales de las operaciones ar-itmeticas y posteriormente durante el desarrollo del curso se hara un estudio mas pro-fundo de cada una de ellas.

Leyes fundamentales de la igualdad y la ordenacion

I. Ley de la TricotomıaLos numeros forman un conjunto ordenado, es decir, entre dos cualesquiera de ellosa y b, por ejemplo, subsiste una y sola una de las tres relaciones

a < b, a = b, a > b

II. Ley IdenticaTodo numero es igual ası mismo

a = a

III. Ley recıprocaSi un numero es igual a otro este es igual al primero

De a = b se deduce que b = a

IV. Ley transitivaSi un numero es igual a otro y este es igual a un tercero, el primero es igual altercero

De a = b y b = c se deduce que a = c

Si un numero es menor o igual a otro y este es menor a un tercero, el primero esmenor al tercero

De a ≤ b y b < c se deduce que a < c

Si un numero es menor a otro y este es menor o igual a un tercero, el primero esmenor al tercero

De a < b y b ≤ c se deduce que a < c

Leyes fundamentales de la adicion

Para todo par de numeros a y b existe siempre un tercer numero s, llamado suma de a yb, que se designara por a+ b. Esta suma obedece a las siguientes leyes

Operaciones Basicas de la Aritmetica 3

I. Ley de uniformidad de la adicion

De a = a′ y b = b′ se deduce que a+ b = a′ + b′

II. Ley conmutativaSiempre se verifica que

a+ b = b+ a

III. Ley asociativaSiempre se verifica que

(a+ b) + c = a+ (b+ c)

IV. Ley monotonıa

De a b se deduce que a+ c > b+ c

Estas leyes parecen triviales pero constituyen el fundamento de toda la ciencia de losnumeros.

Ley fundamental de la sustraccion

Para cada par de numeros a y b existe siempre un tercer numero c tal que se cumple larelacion a+ c = b.

En esta formulacion se ve la precaucion de considerar la adicion como la operacion pri-maria y a la sustraccion como la operacion inversa de la adicion.

Siempre puede encontrarse un numero c (unico) que sumado al numero a nos de el numerob. Demostremos que c es unico:

Demostracion. Supongamos que existen dos numeros c y c′ que sumados a a nos danb. Si esto es cierto entonces: a+ c = b y a+ c′ = b, entonces, por ley transitiva se obtienea + c = a + c′. Esta solo se cumple cuando c = c′. Si c > c′, entonces, por Ley deMonotonıa se obtiene a+ c > a+ c′. Si c < c′, entonces, tambien por Ley de Monotonıa,se obtiene a+ c < a+ c′. Queda como unica opcion que c = c′

Queda demostrado que un unico numero c cumple la ley fundamental de la sustraccion ylo llamaremos la diferencia c = b− a.

Existencia del Cero. Existe un numero llamado el“cero” con la propiedad de per-manecer neutral frente a la adicion y por consiguiente frente a la sustraccion, es decir queal agregar el cero a a no se produce ninguna variacion.

Busquemos el cero y veamos que es unico

Demostracion. Supongamos que para a existe un cero,

→ a+ 0 = a (1.1)

Supongamos que para a′ existe un cero,

→ a′ + 0′ = a′

→ a′ = a′ + 0′ (1.2)

sumando (1.1) y (1.2) se obtiene:

a+ 0 + a′ = a+ a′ + 0′

de donde(a+ a′) + 0 = (a+ a′) + 0′

y ası0 = 0′

Entonces existe el cero y es unico.

Leyes fundamentales de la multiplicacion

Para cualquier par de numeros a y b siempre existe un tercer numero p al que llamaremosproducto de a y b y designaremos por a × b o ab. Esta multiplicacion obedece a lassiguientes leyes:

I. Ley de uniformidad

Si a = a′ y b = b′ → ab = a′b′

II. Ley conmutativaSiempre se cumple que

ab = ba

III. Ley asociativaSiempre se verifica que

a(bc) = ab(c)

IV. Ley distributiva respecto a la sumaSiempre se verifica que

(a+ b)c = ac+ bc

V. Ley distributiva respecto a la restaSiempre se verifica que

(a− b)c = ac− bc

VI. Ley de monotonıa

Si a 0 → ac < bc

Si a > b y c > 0 → ac > bc

Ley fundamental de la division

Para todo par de numeros a y b existe siempre un tercer numero c, tal que bc = a.

Con esta formulacion se concluye que la division es la operacion inversa de la multi-plicacion.

Capıtulo 2

Los Numeros Naturales

2.1 § Las Nociones de Unidad y Conjunto §Se dice que en las matematicas las ideas mas primarias son las ideas de unidad y deconjunto y por lo tanto se les llama nociones y no necesitan ser definidas o que su definiciones evidente.

“Cualquier objeto es una unidad”“Una agrupacion de objetos es un conjunto”

Todo razonamiento que se haga en matematicas sobre conjuntos no tiene nada que vercon la naturaleza fısica de sus elementos. Es completamente igual para las matematicasque un conjunto sea de piedras, arboles o animales.

Definicion 2.1. Conjuntos Coordinables

Dos conjuntos cualesquiera A y B son coordinables, cuando a cada ele-mento de A le corresponde un elemento de B y a cada elemento de B lecorresponde un elemento de A.

Para expresar que dos conjuntos A y B son coordinables, los separamos por el signo ⊼

(signo de coordinabilidad). Ası, la expresion A ⊼B, se lee: “A coordinable con B”.

Ejemplo Sea A el conjunto de personas que hay en una sala, y sea B el conjuntode sombreros que hay en la sombrerera. Al marcharse cada persona tomasu sombrero, del siguiente modo:

A = { Pedro, Jaime, Carlos, Juan }l l l l

B = { Cafe, Verde, Negro, Azul }

En este caso se dice que entre los conjuntos A y B existe una correspon-dencia biunıvoca es decir, unıvoca (uno a uno) en dos sentidos.

5


Ejemplo Si cada alumno de la clase lleva un lapiz, y solo uno, puede afirmarseque los conjuntos de alumnos y de lapices son coordinables pues a cadaalumno corresponde un lapiz y, recıprocamente a cada lapiz correspondesu dueno

Ejemplo Las butacas de un teatro, que no esta lleno, no son coordinables conlos espectadores, pues a cada espectador corresponde su butaca, pero larecıproca no es cierta, al no estar completa la sala, habrıa butacas sinespectador correspondiente. Estos conjuntos se podrıan esquematizarası:

Espectadores = { △, △, △, }l l l

Butacas = { ∗, ∗, ∗, ∗, ∗ }

Definicion 2.2. Cardinal de un Conjunto

El numero de elementos de un conjunto finito A se llama el cardinal delconjunto y se simboliza con #A o #(A)

Cuando se establece el cardinal de un conjunto se esta estableciendo una correspondenciabiunıvoca entre los elementos del conjunto y los numeros naturales.

Definicion 2.3. Conjuntos Equipotentes

Dos conjuntos son equipotentes cuando tienen el mismo cardinal

Definicion 2.4. Natural de un Conjunto

El numero natural de un conjunto es lo que tienen en comun todos losconjuntos que son coordinables con el

Cuando contamos para conocer la cantidad de elementos en un conjunto, nosotros uti-lizamos los numeros naturales como numeros cardinales. Por lo tanto, el acto de contarimplica el deseo de conocer la cantidad de objetos de un conjunto. El deseo de tener con-trol sobre el numero de elementos en un conjunto puede haber sido la principal motivacionde los seres humanos para contar.

¿Que tan viejo es el acto de contar?¿Otras especies no humanas tambien cuentan?

Uno podrıa sentirse tentado a decir que contar no puede ser anterior al lenguaje, ya queusualmente utilizamos numeros para contar, pero se sabe que algunas sociedades prim-itivas utilizaron una especie de conteo con varas u objetos en el que estos se asignanfısicamente a los objetos que se van a contar. La persona que cuenta con ese metodo no


La Serie Natural de los Numeros 7

concluye su operacion con una palabra adecuada para el numero de objetos sino mas biencon un grupo de objetos que representa la cantidad de elementos en el conjunto.

Un nativo Wedda de la isla de Sri Lanka podrıa contar un monton de cocos asignandoleuna concha de almeja a cada uno. Cuando termina, el no puede decir cuantos cocos tieneporque en su lenguaje no existe una palabra para designar dicho numero, pero si puedesenalar su pila de conchas y decir “ası de tantos”. Si le roban un coco, cuando el realicenuevamente la correspondencia de cocos y conchas, descubrira que tiene una concha queno puede asignarse a un coco, el sabe de inmediato que hay un coco faltante.

Un postulado es una verdad tan simple que se pide que sea admitida sin demostracion.El postulado fundamental de la aritmetica dice:

Postulado Fundamental de la Aritmetica

El numero de elementos de un conjunto no depende del orden de colocacion

Ejemplo El numero de sillas de un salon no cambiara aunque se coloquen todosen fila, en un rincon o unas sobre otras.

2.2 § Serie Natural de los Numeros §Si partimos de un elemento cualquiera, que representamos por x, le agregamos otro, yası sucesivamente, obtenemos una sucesion de conjuntos, llamado la sucesion natural deconjuntos.

{∗}, {∗, ∗}, {∗, ∗, ∗}, {∗, ∗, ∗, ∗}, . . .

Como cada uno de estos conjuntos tiene un cardinal entonces, a esta sucesion naturalde conjuntos le corresponde la sucesion de numeros que representan sus cardinales y querepresentamos por 1, 2, 3, 4, . . . y que recibe el nombre de sucesion natural de los numeros.Si al conjunto vacıo {} le asignamos el cardinal 0 entonces la serie natural de los numeroses 0, 1, 2, 3, 4, . . .. Si estos numeros se agrupan y se consideran como un conjunto entoncesse obtiene el conjunto de los numeros naturales que se simboliza como

N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}

Propiedad Fundamental

La sucesion natural de conjuntos no tiene fin, pues se puede seguir agregando elementosal conjunto, uno a uno, en forma infinita, por lo tanto, la serie natural de los numerosque estan en correspondencia con ella, tampoco tendra fin

“La seria natural de los numeros es infinita”

Representacion Geometrica de N

La serie natural de los numeros puede representarse mediante la sucesion natural de seg-mentos iguales. al numero 1 corresponde el segmento unidad, al numero 2 corresponde elsegmento de 2 unidades, y ası sucesivamente



Postulados o Axiomas de Peano

En 1895 George Peano establecio una forma axiomatica para construir los numeros na-turales mediante los siguientes axiomas:

1. El 1 es un numero.

2. El sucesor de cualquier numero es otro numero.

3. No hay dos numeros que tengan el mismo sucesor.

4. El 1 no es sucesor de algun numero.

5. Si el numero 1 tiene cierta propiedad y el sucesor de cada numero tiene la mismapropiedad, entonces todo numero tiene dicha propiedad.

Refiriendonos a los naturales estos Axiomas se pueden escribir en la siguiente forma:

A1. Uno (1) es un numero natural o mas estrictamente, el sistema de los numerosnaturales contiente un elemento especial llamado uno y denotado por 1.

A2. A un numero natural n le corresponde otro numero n∗ llamado el sucesor inmediatode n.

A3. Dados dos numeros naturales n y m, si n∗ = m∗ entonces n = m.

A4. No existe ningun numero natural cuyo sucesor inmediato sea el 1; es decir, que 1 esel primer numero natural.

A5. Si un conjunto S de numeros naturales satisface las siguientes condiciones:

(a) El 1 pertenece a S .

(b) Si n ∈ S, entonces n∗ ∈ S.

Entonces S contiene a todos los numeros naturales.

Este Axioma (A5) se conoce con el nombre de “Axioma de induccion” y juega papelprimordial en las demostraciones por “Induccion Matematica”.

El numero inmediatamente posterior a 1 es decir 1∗, se denota por 2, el numero in-mediatamente posterior a 2 es 2∗, se denota por 3 etc, ası sucesivamente se obtiene elsistema de los numeros naturales que se designan por la letra N.

Nota:

Es absurda la discusion acerca de la inclusion o no del numero cero en elsistema de los numero naturales. Los numeros naturales que comienzanen uno han sido utilizados por los hombres desde hace mas de 5000 anos,en cambio el descubrimiento del cero como numero es muy reciente,introducido por los indues. Peano axiomatizo la intuicion humana queaun los cavernıcolas tenıan para contar: uno es el primero, uno y uno esdos, dos y uno es tres, tres y uno es cuatro, . . .: ası se forman todos losnumeros


Producto Cartesiano 9

2.3 § Producto Cartesiano §

Definicion 2.5. Producto Cartesiano

Si X e Y son dos conjuntos entonces el producto cartesiano de X por Yes el conjunto de todos los pares ordenados con el primer componenteperteneciente a X y el segundo componente perteneciente a Y.

Simbolicamente:

X × Y = {(x, y)|x ∈ X y y ∈ Y }

Ejemplo Si X = {a, b, c} y Y = {3, 7}, entoncesX × Y = {(a, 3), (a, 7), (b, 3), (b, 7), (c, 3), (c, 7)}Y ×X = {(3, a), (7, a), (3, b), (7, b), (3, c), (7, c)}

Ejemplo Si M = {m,n, s}, entoncesM ×M = {(m,m), (m,n), (m, s), (n,m), (n, n), (n, s), (s,m), (s, n), (s, s)}

Representacion Grafica

Sea A = {a, b, c}, B = {1, 2}

A×B B ×A

Observse que el producto cartesiano no es conmutativo A×B 6= B ×A.

Definicion 2.6. Cardinal del producto Cartesiano

El cardinal de un producto cartesiano es igual al numero de parejas queconforman el producto



Ejemplo Sea A = {5, 6}, B = {a, b, c}

A×B = {(5, a), (5, b), (5, c), (6, a), (6, b), (6, c)} −→ #A×B = 6

B ×A = {(a, 5), (b, 5), (c, 5), (a, 6), (b, 6), (c, 6)} −→ #B ×A = 6

Observese que el orden de los conjuntos en el producto no afecta elcardinal.

2.4 § La Adicion en los Numeros Naturales §

Definicion 2.7. Suma

Dados dos naturales a y b, si A y B son dos conjuntos tales que : #A = a,#B = b y A ∩ B = ∅, se llama suma de a y b al numero natural s talque

s = #(A ∪B) = #A+#B

s = a+ b si A ∩B = ∅

Lo anterior indica que a la pareja (a, b) se le asocia un unico valor que es s; (a, b) → s

Ejemplo Sea A = {a, b} y B = {c, d, e}; sabemos que

A ∪B = {a, b, c, d, e} y que #(A) = 2, #(B) = 3

De donde#(A ∪B) = 5

Luego 5 esta dado por el par ordenado (2, 3), es decir:

(2, 3) +−−−−−−−→5

Cuando A y B son el conjunto N se tiene:

N× N +−−−−→ N

(a, b) +−−−−→ s = a+ b

Por ejemplo

N× N +−−−−→ N

(1, 2) +−−−−→ 3

(5, 7) +−−−−→ 12

......

(20, 10) +−−−−→ 30


La Adicion en los Numeros Naturales 11

En conclusion podemos decir que

“La operacion adicion entre numeros naturales es una aplicacion de N× N en

N que a cada par ordenado (a, b) ∈ N × N llamados sumandos, le asocia un

unico s ∈ N llamado suma”

La adicion entre numeros naturales es una funcion de N x N −−−→ N, mediante la cual

se hace corresponder un par ordenado (a, b) ∈ N x N llamados sumandos, con un terceros ∈ N llamado suma.

Propiedades de la adicion en N

I. Propiedad clausurativa

si (a, b) ∈ N× N→ a+ b ∈ N

La adicion de numeros naturales es una operacion que a cada par de numerosnaturales asocia necesariamente otro numero natural. Tambien se dice que elconjunto N es cerrado con respecto a la operacion adicion

II. Propiedad conmutativa

si (a, b) ∈ N× N,→ a+ b = b+ a.

Como a y b son naturales porque representan la cantidad de elementos de A yB, entonces cambiando el orden de los sumandos se obtiene la misma suma

III. Propiedad de la uniformidad de la adicion

si a = b→ a+ c = b+ c

Si a dos miembros de una igualdad se les suma un mismo numero c ∈ N seobtiene otra igualdad.

IV. Propiedad o ley de la monotonıa

Sean a, b, c ∈ N

si a > b→ a+ c > b+ c

si a < b→ a+ c < b+ c

Si a dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo numero c ∈ N seobtiene otra desigualdad del mismo sentido

a > b a d c < d

a+ c > b+ d a+ c < b+ d

Si se suman miembro por miembro dos o mas desigualdades del mismo sentido,se obtiene otra desigualdad del mismo sentido a las dadas


¿Que se puede afirmar si las desigualdades no son del mismo sentido?Pongase ejemplos numericos y concluya

V. El conjunto extendido de los numeros naturalesSi el conjunto N se une con el cero, se obtiene una extension de los naturalesque se simboliza con No

No = N ∪ {0}No tambien es llamado el conjunto de los numeros cardinales

VI. Propiedad modulativaEn N no hay elemento neutro o elemento identidad para la adicion, porque noexiste un numero natural c tal que ∀a ∈ N se verifique que

a+ c = c+ a = a

Si se considera el conjunto de No el modulo o elemento identidad para la adiciones el cero porque

a+ 0 = 0 + a = a ∀a ∈ No

VII. Propiedad asociativaSi a, b, c, pertenecen al conjunto de los N, entonces

a+ b+ c = (a+ b) + c = a+ (b+ c)

Asociando sumandos de modos distintos se obtiene la misma suma

2.5 § Sustraccion en los Numeros Naturales §La operacion que permite calcular la diferencia de dos numeros se llama sustraccion. Lasustraccion de numeros naturales es la operacion inversa a la adicion. Siempre existe unnumero natural d ∈ N de tal manera que d + b = a con a, b ∈ N, si a > b. Esto significaque d sumado con b produce a.

Definicion 2.8. Diferencia

Si a > b existe un unico numero d tal que a = b + d, entonces ladiferencia entre a y b es p = a− b. En otras palabras:

Dados dos naturales a y b tales que

a = #A y b = #B

B ⊂ A y A−B 6= ∅entonces se llama diferencia de a y b al numero d tal qued = a− b = #(A−B)


Sustraccion en los Naturales 13

Ejemplo Sea A = {a, b, c, d, e} y B = {a, b, c}. Sabemos que

A−B = {d, e}, #(A) = 5 #(B) = 3

De donde

#(A−B) = 2

En general,si (a, b) ∈ N× N, y a > b −→ (a, b) −−−−−−−−→c

Dados el par (7, 4) existe d ∈ N tal que d+ 4 = 7?

Es claro que si existe d ∈ N, el cual es igual a 3. El numero 3 es entonces la dife-rencia entre 7 y 4 y se escribe 3 = 7− 4.

La expresion d + b = a y a − b = d son equivalentes y sus terminos son: d es la di-ferencia, a es el minuendo y b es el sustraendo.

La sustraccion no es una operacion binaria en el conjunto de los naturales, dado queno es posible encontrar para todo par (a, b) de naturales, un d ∈ N tal que: b + d = a olo que es lo mismo d = a− b.

Propiedades de la sustraccion en N

La sustraccion en el conjunto de los N, no es clausurativa, no es conmu-tativa, ni asociativa

I. Propiedad de la uniformidadLa sustraccion cumple la ley de uniformidad porque restando miembro a miem-bro dos igualdades (si la resta es posible), se obtiene otra igualdad.∀a, b, c, d ∈ N

a = b

c = d

a− c = b− d

II. Ley de la MonotonıaLa ley de la monotonıa de la sustraccion presenta 3 formas

1. Si a los dos miembros de una desigualdad se les resta un mismo numero(siendo posible la resta) se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.

si a > b→ a− c > b− c

si a < b→ a− c < b− c

2. Si a los dos miembros de una igualdad se les resta (si es posible) respec-tivamente los miembros de una desigualdad, se obtiene otra desigualdad

pero de sentido contrario a la dada

a = b

c > d

a− c < b− d

a = b

c < d

a− c > b− d

3. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, seobtiene una desigualdad de sentido igual a la primera (en caso de que sepueda efectuar la resta)

a d

a− c < b− d

a > b

c < d

a− c > b− d

Ejemplo 7 = 7 7 = 73 > 2 2 < 3

7− 3 < 7− 2 7− 2 > 7− 3

Ejemplo 17 > 9 7 < 104 < 8 3 > 5

17− 4 > 9− 8 7− 3 < 10− 5

Nota:

Si las dos desigualdades son del mismo sentido nada puede concluirse

La siguiente afirmacion es una consecuencia de la propiedad uniforme de la adicion:

“Si el minuendo se aumenta en una cantidad, la diferencia queda aumentada

en dicha cantidad”

Demostracion.

Sea m− s = d Definicion de sustraccion (1)

Queremos demostrar que (m+ h)− s = d+ h (2)

De (1) tenemos m = s+ d Transposicion de terminos (3)

Sumando h a (3) tenemos m+ h = s+ d+ h Propiedad uniforme de la adicion (4)

(m+ h) = s+ (d+ h) Propiedad asociativa de la suma

Multiplicacion en los Naturales 15

Demostrar:

Si el minuendo se disminuye en una cantidad, la diferencia quedadisminuida en dicha cantidad.

Si (m− n) = 8, cuanto valdra (m− 5)− n?

Que le pasa a la diferencia cuando el sustraendo aumenta o dis-minuye en una cantidad?

Transposicion de Terminos de una Desigualdad

Si un numero se desea cambiar o transponer de un miembro a otro de una desigualdad,basta transponerlo sumando si esta restando o restando si esta sumando

si x+ a < b→ x < b− a

si x− a < b→ x < b+ a

Ejemplo Resolvamos la desigualdad x− 7 > 4

x− 7 > 4 −→ x > 7 + 4 −→ x > 11

Resolvamos x+ 12 < 28

x+ 12 < 28 −→ x < 28− 12 −→ x < 16

2.6 § Multiplicacion en los Numeros Naturales §

Definicion 2.9. Producto

Dados dos numeros naturales a, b si A y B son dos conjuntostales que #(A) = a y #(B) = b, se llama producto de los numeros ay b al numero natural p tal que p = #(A×B) y se denota p = a∗b = a ·b.

Podemos afirmar que la multiplicacion es una suma abreviada osimplificada, es decir,

a× b = a+ a+ . . .+ a︸︷︷︸

b veces

= p

Esta definicion indica que el producto de dos numeros naturales es igual al cardinal delproducto cartesiano de los conjuntos A y B que a su vez tienen como cardinal a a y brespectivamente.


Consideremos los conjuntos

A = {a, b, c} y B = {d, e}

Sabemos que

A×B = {(a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e)} −→ #(A×B) = 6

Luego, 6 esta dado por el par ordenado (3, 2); es decir

(3, 2) ×−−−−−−−→ 6

3 ∗ 2 = 6

A cada par ordenado (a, b) le corresponde un tercer numero llamado producto (p)

La operacion de multiplicacion entre numeros naturales es una aplicacion de N×N en N,tal que a cada par ordenado (a, b) ∈ N× N le asocia p ∈ N donde a = #(A), b = #(B),

p = #(A×B)

y A y B son subconjuntos no vacıos de N.

En esta operacion de multiplicacion, a, b se llaman factores y p se denomina producto.

Propiedades de la multiplicacion en N

Para cualquier par de numeros a y b siempre existe un tercer numero p al que llamare-mos producto de a y b y designaremos por a ∗ b o ab. Esta multiplicacion obedece a lassiguientes leyes:

I. Propiedad clausurativa

Si a, b ∈ N −→ p = a · b ∈ N

El producto de dos numeros naturales siempre sera otro numero natural

II. Propiedad ConmutativaSean A y B dos conjuntos no vacıos cuyos cardinales son #A = a y #B = b.Ademas sabemos que A × B y B × A son dos conjuntos de parejas los cualesson equipotentes, por lo tanto tienen el mismo cardinal, es decir,

#(A×B) = #(B ×A) por lo tanto #A ·#B = #B ·#A

a · b = b · aEn la multiplicacion de numeros naturales el orden de los factores no altera elproducto

III. Propiedad Asociativa

∀a, b, c ∈ N se cumple que (a · b) · c = a · (b · c)


Multiplicacion en los Naturales 17

Demostracion. Sean A,B,C conjuntos no vacıos. Entre los conjuntos (A ×B)×C y A× (B×C) se puede establecer una biyeccion por lo tanto se cumpleque

#[(A×B)× C] = #[A× (B × C)]

Si #A = a, #B = b y #C = c, entonces

#[(A×B)× C] =#(A×B) ·#C

=(#A ·#B) ·#C = (a · b) · c

#[A× (B × C)] =#A ·#(B × C)

=#A · (#B ·#C) = a · (b · c)

IV. Existencia del Elemento Identidad (Modulativa)El natural 1 es el elemento identidad o modulo para la multiplicacion en Nporque: ∀a ∈ N, 1 · a = a · 1 = a

Demostracion. Sean A y B conjuntos no vacıos tales que #A = 1 y #B = b.Ademas sabemos que #(A × B) = #(B × A) = #B por lo tanto #A · #B =#(A×B) = #(B ×A) = #B ·#A = #B = b, entonces 1 · b = b · 1 = 1

V. Propiedad DistributivaLa multiplicacion en N es distributiva respecto a la adicion, es decir:

∀a, b ∈ N, a · (b+ c) = a · b+ a · c

Demostracion.

a · (b+ c) = (b+ c) + (b+ c) + . . .+ (b+ c)︸︷︷︸

a veces

Por definicion

= b+ c+ b+ c+ . . .+ b+ c︸︷︷︸

a veces

Suprimiendo parentesis

= b+ b+ . . .+ b︸︷︷︸

a veces

+ c+ c+ . . .+ c︸︷︷︸

a veces

Prop. conmutativa suma

= (b+ b+ . . .+ b︸︷︷︸

a veces

) + (c+ c+ . . .+ c︸︷︷︸

a veces

) Prop. asociativa suma

= a · b+ a · c Def. de Multiplicacion

La Multiplicacion en N es distributiva respecto a la sustraccion, es decir:

∀a, b ∈ N, a · (b− c) = a · b− a · c

VI. Extension de la multiplicacion al conjunto NoLa multiplicacion en No es una aplicacion de No×No en No tal que a cada pareja(a, b) ∈ No × No se le asocia un elemento p ∈ No representado por p = a · b endonde


1. (a, 0) ×−−−−−−−→0, (0, a) ×−−−−−−−→0, (0, 0) ×−−−−−−−→0, ∀a ∈ No

2. (a, b) ×−−−−−−−→p = a · b si (a, b) ∈ No× No

Esta definicion indica que para extender la multiplicacion del conjunto N alconjunto No solo hace falta determinar los productos 0 · a, a · 0, 0 · 0

Para determinar estos productos consideremos dos conjuntos A y B tales que#A = a y #B = 0 es decir B = ∅. Ahora

#(A×B) = #A×#B, y como B = ∅

A×B = A× ∅ = ∅

por lo tanto

#(A×B) = #(A× ∅) = #(∅ ×A) = #∅

entonces

#A ·#B = #A ·#∅ = #∅ ·#A = #∅

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ No

como ∀a ∈ No, a · 0 = 0, en el caso particular de que a = 0 se tiene que 0 · 0 = 0

VII. Ley de Uniformidad

Si m = n −→ m · a = n · a ∀a ∈ No

Si multiplicamos los dos miembros de una igualdad por un mismo numero na-tural, obtenemos otra igualdad

(a = b) · (c = d) −→ a · c = b · d

Si multiplicamos miembro por miembro varias igualdades obtenemos otra igual-dad

VIII. Ley de Monotonıa

si a b −→ a · c > b · c

Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo numeronatural, se obtiene una desigualdad del mismo sentido

a b

c > d

a · c > b · dSi se multiplican miembro por miembro dos o mas desigualdades del mismosentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido

Division en los Numeros Naturales 19

2.7 § Division en los Numeros Naturales §Dados dos numeros naturales cualesquiera a y b, ¿Existe otro numero natural c tal quemultiplicado por a se obtenga como producto el numero b?

Si tal numero c existe, entonces la operacion que permite calcular dicho c se denom-ina division exacta y se indica con b÷ a = c

Al numero c ∈ N se le llama cociente exacto entre a y b. El numero b ∈ N se llamadividendo. El numero a ∈ N se llama divisor.

Definicion 2.10. Cociente Exacto

Dados dos numeros naturales a y b decimos que c ∈ N es el cocienteexacto entre b y a si b = ac, es decir b÷ a = c

Propiedades de la Division Exacta en N

La division exacta no es clausurativa o cerrada porque no siempre ocurreque la division entre dos naturales de como resultado otro numero natu-ral; no es conmutativa ni asociativa; no existe elemento identidad parala division exacta. No existe un numero natural e tal que ∀a ∈ N severifique que

a÷ e = e÷ a = a

Pero si se puede afirmar que existe un elemento neutro para la divisionen N que es el 1 porque

∀a ∈ N, a÷ 1 = a

I. Distributiva respecto a la adicion

∀a, b, c ∈ N, (a+ b)÷ c = (a÷ c) + (b÷ c)

II. Distributiva respecto a la sustraccion

∀a, b, c ∈ N, (a− b)÷ c = (a÷ c)− (b÷ c)

III. Ley de uniformidad

Si a = b y c = d −→ a÷ c = b÷ d si a÷ c ∈ N y b÷ d ∈ N

IV. Ley de Monotonıa

1. Si a, b, c ∈ N y a b −→ a

c>

b

c

Definicion 2.11. Division Inexacta

La division inexacta entre dos enteros es aquella que produce un cocienteentero mas un residuo

Dados D, d ∈ N tales que no existe cociente exacto en la divisionD ÷ d entonces

D = d · c+ r, con r ∈ N, r < d y c ∈ N0

Donde D es el dividendo, d el divisor, c cociente y r el residuo

La siguiente afirmacion es consecuencia directa de las propiedades uniforme y distributivade la mutltiplicacion respecto de la suma:

“Si el dividendo y el divisor se multiplican por un mismo numero, el cociente

no varıa pero el residuo queda multiplicado por dicho numero”

Demostracion.

D = d · c+ r Por definicion de division

D · h = (d · c+ r) · h Prop. uniformidad de la multiplicacion

D · h = d · c · h+ r · h Prop. distributiva de la multiplicacion

D · h = d · h · c+ r · h Prop. conmutativa de la multiplicacion

(D · h) = (d · h) · c+ r · h Prop. asociativa de la multiplicacion

Numero de cifras del cociente entero

El cociente de una division de numero naturales tiene tantas cifras enteras como ceros sedeben agregar al divisor para que sea mayor que el dividendo.

Ejemplo 5714 14

r c −→ El cociente c tiene 3 cifras porque 14 000︸︷︷︸

3

> 5718

En Efecto,

5714 14

0118 408 ←− 3 cifras

Potenciacion en los Naturales 21

2.8 § Potenciacion en los Numeros Naturales §

Definicion 2.12. Potencia de un Numero

Se llama potencia de un numero natural a al producto que se obtiene almultiplicar el numero a por si mismo cualquier numero de veces

La potenciacion es una multiplicacion abreviada, es decir, un pro-ducto de factores iguales

Sea a, n ∈ N. Si multiplicamos el numero a por si mismo n veces obtenemos el producto

a · a · a · . . . a︸︷︷︸

n veces

y lo simbolizamos con an

En general, si (a, n) ∈ N×N y n ≥ 2, entonces

(a, n) ∧−−−−−−−→an

Podemos afirmar entonces que la potenciacion es una operacion que hace corresponder acada par ordenado de numeros naturales (a, n) su potencia an, donde n ≥ 2

Si a, n ∈ N −→ an es la enesima potencia de a Llamamos base al numero a quese repite. Llamamos exponente al numero n que indica cuantas veces se repite el numeroa

Ejemplo 24 = 2× 2× 2× 2a1 = a

Propiedades de la potenciacion en N y No

Si a, b,m, n ∈ N, entonces

I. Propiedad clausurativap = ab ∈ N

El resultado de elevar un numero natural a una potencia es otro numero natural

II. Propiedad modulativa

a1 = a, 1 es el modulo de la potenciacion

Todo numero elevado a 1 es igual al mismo numero natural

III. Propiedad uniformeSi a = b −→ an = bn

Elevando los dos miembros de una igualdad a una misma potencia se obtieneotra igualdad

IV. Leyes de monotonıa


1. Respecto de la base: Elevando los dos miembros de una desigualdad a unamisma potencia, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido

a < b −→ an < bn

2. Respecto del exponente : de dos potencias de la misma base es mayor lade mayor exponente

Si n < m −→ an < am

Nota:

· Si las bases y los exponentes son distintos, nada puede asegurarse decomo son entre sı las potencias

· La potenciacion no es conmutativa

· La potenciacion no es distributiva respecto de la suma o de la diferencia

Reglas del calculo con potencias

Si a, b,m, n ∈ N, entonces

• Casos de exponente cero

Si n = 0 −→ a0 = 1 (pero 00 no definido)

• Potencia de un producto(a · b)n = an · bn

(20)3 = (2× 10)3 = 23 × 103 = 8× 1000 = 8000

• Potencia de un cociente

Sia

b∈ N −→

(a

b

)n

=an

bn

(2

5

)3

=23

53=

8

125

• Producto de potencias de la misma base

an · am = am+n

23 × 24 = 23+4 = 27 = 128

• Cociente de potencias de la misma base

Si (n−m) ∈ N −→ an ÷ am =an

am= an−m

25

23= 25−3 = 22 = 4

23

25=

1

25−3=

1

22=

1

4

Radicacion en los Naturales 23

• Potencia de una potencia(am)n = amn

(23)4 = 23×4 = 212 = 4096

•a−n

b−m=

bm

any

(a

b

)−m

=

(b

a

)m

2.9 § Radicacion en los Numeros Naturales §

Definicion 2.13. Radicacion

El proceso de radicacion es inverso al proceso de la potenciacion y sedefine de la siguiente forma

Si an = b −→ a = n

√b

Donde b recibe el nombre de radicando, n es el ındice radical,√

es elsımbolo radical y a es la raız enesima

Propiedades de la radicacion

I. Propiedad fundamentaln

√an = a

II. Raız de un producton

√a× b = n

√a× n

√b

2√25× 4 =

2√25× 2

√4 = 5× 2 = 10

III. Raız de un cociente

n

√a

b=

n

√a

n

√b

2

√

25

4=

2√25

2√4

=5

2= 2.5

IV. Raız de una Raızn

√

m

√a = mn

√a

3

√

2√64 =

3·2√64 =

6√64 = 2

· La radicacion no es conmutativan

√a 6= a

√n

· No es distributiva respecto de la suma o la resta

n

√a± b 6= n

√a± n

√b



En las dos ultimas operaciones que hemos analizado, vimos que la potenciacion es unaoperacion directa, es decir, dada una base a y un exponente n, para hallar la potenciarespectiva an basta con multiplicar a por ella misma n veces (an = a× a · · · × a

︸︷︷︸

n veces

= b).

Por ejemplo

54 = 5× 5× 5× 5 = 625

Ahora bien, si en la expresion an = b conocemos el exponente n y la potencia b, parahallar la base a, debemos aplicar la operacion radicacion que es inversa a la potenciacion(a = n

√b). Por ejemplo

a4 = 625 −→ a =4√625 = 5 pues 54 = 625

Es decir, la radicacion es la operacion inversa a la potenciacion con la cual podemos hallarla “base”. Pero si en la expresion an = b conocemos la base a y la potencia b y lo quedebemos hallar es el exponente, la radicacion no sirve en tal caso y debemos recurrir aotra operacion inversa de la potenciacion conocida como la logaritmacion (en realidadpodrıa llamarse exponenciacion pues nos permite hallar el exponente) y que definiremosen seguida.

2.10 § Logaritmacion en los Naturales §

Si bien el estudio completo de los logaritmos se reserva para el Algebra, la introducciondel concepto de logaritmo y de sus primeras propiedades pueden darse en los comienzosdel estudio de las matematicas, con el fin de que el alumno fije bien el esquema completode las operaciones fundamentales, directas e inversas, entre numeros.

Se explicara el concepto de logaritmo mediante un ejemplo

Ejemplo En la igualdad 24 = 16 aparecen tres numeros. Como ya sabemos el 2llamado la base, el 4 llamado el exponente y el 16 llamado la potencia.Si lo que conocemos es la potencia y la base, podemos determinar elexponente con la operacion llamada logaritmacion. El exponente quehay que hallar se llama logaritmo de la potencia en la base dada. Eneste ejemplo la operacion se indica ası: 4 = log2 16 (lease: 4 igual allogaritmo de 16 en base 2)

Definicion 2.14. Logaritmo

Se llama logaritmo de un numero, b, en una base dada, a, al exponenten al que hay que elevar la base para obtener el numero b. Si

an = b −→ loga b = n

n se llama el logaritmo, a es la base y b es el numero al que se le hallael logaritmo


Logaritmacion en los Naturales 25

Propiedades de los Logaritmos

I. Propiedades Fundamentales

• El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a cero

logb 1 = 0

• El logaritmo en base a de a siempre sera 1

loga a = 1

II. Logaritmo de un Producto y un Cociente

• El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de cada factor

logb (u · v) = logb u+ logb v

• El logaritmo de un cociente es igual a la resta del logaritmo del numeradormenos el logaritmo del denominador

logb

(u

v

)

= logb u− logb v

III. Logaritmo de una potencia: el logartimo de una potencia es igual al exponentepor el logaritmo de la base

loga Pn = n loga P

IV. Cambio de base

loga b =logc a

logc b

Problemas

1. Establecer la relacion adecuada entre los numeros 3 y 5; 9 y 7

2. Que significa que el numero m es igual a n; que m > n; m < n?

3. En un colegio hay x dormitorios e y estudiantes. ¿Cuando sera x = y, cuandox > y y cuando x < y, de acuerdo con la coordinacion de los conjuntos que ellosrepresentan?

4. a es un numero de hombres y b es un numero de mujeres. ¿Que relaciones sepodran escribir si al formar parejas sobran jovenes; si sobran muchachas; si nosobran jovenes ni muchachas?

5. ¿Por que cierto numero de lapices es igual a cierto numero de naranjas?

6. Explique cuando cierto numero de personas es menor que cierto numero de som-breros

7. Explique por que el numero de profesores de un colegio es mayor que el numero deaulas del colegio

8. Reparto x lapices entre los n alumnos de una clase dando uno a cada alumno yquedan alumnos sin lapices. ¿Que podras escribir?

9. En un tranvıa de 32 asientos entran x personas y no quedan asientos vacıos. ¿Querelacion se puede escribir?

10. Reparto m lapices entre los 18 alumnos de una clase y sobran lapices ¿Que puedeescribir?

11. En un omnibus que tiene 20 asientos entran n personas y no quedan personas depie. ¿Que relacion puede escribir?

12. La velocidad x de un automovil que poseo no puede pasar de 140 Kms. por hora.¿Que puede escribir?

13. Si la velocidad x de un auto no puede bajar de 8 Kms. por hora ¿que puede escribir?

14. Yo no tengo 34 anos de edad. Si mi edad es x anos, ¿que puede escribir?

15. Para contraer matrimonio un hombre necesita tener 14 anos cumplidos. Si Juanque tiene n anos se casa, ¿cual es su edad?

16. Aplicar el caracter recıproco de las igualdades a x = y; a+ b = c; p = q + r

17. Mis x anos son tantos como los y hermanos de Enrique. ¿Que puede escribir deacuerdo con el caracter recıproco de las igualdades

18. Aplicar el caracter transitivo a las igualdades siguientes:

m = n y n = p

p = q y r = p

x = y y n = y

a+ b = c y x = a+ b

19. Mi aula tiene tantos alumnos como anos tengo yo y Marıa tiene tantos primos comoalumnos tiene mi aula, luego...¿Que caracter aplica para ello?

20. m = n+ p y n+ p = c+ d luego...

21. Si m > n resulta n?m

22. Siendo x < y resulta que y?x

23. Que se deriva de cada una de las parejas siguientes de desigualdades de acuerdo conel caracter transitivo?

7 > 5 y 5 > 2

9 > 3 y 3 > 2

a < b y b < m

m < n y n < p

24. De

6 > 3 y 2 < 3 resulta que...

9 < 11 y 9 > 7 resulta que...

20 > 6 y 3 < 6 resulta que...

25. Expresar el caracter transitivo de la relacion de mayor con los numeros 8, 3 y 7.

26. Represente graficamente el caracter transitivo de la relacion de menor con losnumeros 2, 5 y 9

27. Exprese el caracter transitivo de la relacion de menor con 11, 9 y 7.

28. Yo tengo mas dinero que tu y menos que tu primo. ¿Quien es el mas rico?

29. ¿Son coordinables los conjuntos formados por las letras de las palabras Argentinay Venezuela?

30. ¿Que condicion debe cumplirse para que los alumnos de la clase y el conjunto desus libros sean coordinables?

31. En la siguiente resta, letras diferentes representan dıgitos diferentes:

M O R A

− A M O R

R O M A

¿Cual es el valor de cada letra?

32. Sergio tiene 11 anos y Raul tiene 6. ¿Dentro de cuantos anos tendran ambos lamisma edad?

33. Si de la suma de dos numeros se resta su diferencia, ¿que se obtiene?

34. ¿Que numero de la siguiente sucesion esta equivocado?:

60, 52, 45, 38, 34, 30

35. ¿Que modificaciones pueden hacerse a las cantidades del minuendo y del sustraendode una resta para que la diferencia:

(a) permanezca igual?

(b) aumente en 5 unidades?

(c) disminuya en 3 unidades?

36. Si tengo 17 ovejas y se me escapan todas menos 9, ¿cuantas me quedan?

37. Dados los dıgitos 2, 5, 9, y utilizados sin repeticion, calcule la menor diferenciaposible entre los numeros de tres cifras que pueden construirse con ellos.

38. ¿Cuantas hojas de un libro tengo que pasar para llegar a la pagina 117 desde lapagina 112? ¿Y de la pagina 263 a la 268? ¿Es igual en ambos casos?


39. Vamos corriendo 10 atletas. Si soy el 8o por la cola, ¿en que puesto voy en lacarrera?

40. Hoy he leıdo la novela desde el comienzo de la pagina 13 hasta el final de la pagina34¿Cuantas paginas he leıdo hoy?

41. Las 4 cifras que componen un numero son dıgitos pares escritos en orden ascendentede izquierda a derecha. Este numero, al sumarse con otro, da como resultado 2.989.¿Con que otro numero se ha sumado?

42. ¿Cuantas veces puede sustraerse 20 de 80?

43. ¿Cuantos dıas tarda un sastre en cortar una pieza de 20 metros de largo en lotes de2 metros diarios?

44. Si a la suma de dos numeros se agrega su diferencia, se obtiene 82. ¿Cuanto vale elnumero mayor?

45. En la secuencia numerica 4, , , , 32, cada termino a partir del 3o se obtiene sumandolos dos anteriores. Halle los tres terminos faltantes.

46. Carlos tiene la mitad de dinero que Julio. Si Julio le diera 5.000 pesos a Carlos,este tendrıa 4.000 pesos menos de los que tiene Julio ahora. ¿Cuanto tenıan entreambos al comienzo?

47. Luisa, Amalia y Miriam tienen 10 caramelos cada una. ¿Cuantos caramelos deberıadar Amalia a cada una de sus dos amigas para que, luego del reparto, Luisa tenga13 caramelos mas que Amalia, y Miriam tenga 2 menos que Luisa?

48. La suma de 4 numeros es 3.584. Si el 1o aumenta en 13, el 2o disminuye en 21, el3o disminuye en 18 y el valor de la suma no se altera, ¿que le paso al 4o sumando?

49. La Sra. Tomasa nacio 17 anos despues que el Sr. Ramon, y murio 2 anos antes queeste. Si el Sr. Ramon vivio 85 anos, ¿cuantos anos vivio la Sra. Tomasa?

50. Cuatro socios han ganado 21.175 pesos. El 1o ha de recibir 4.250 pesos mas que el2o; este, 1.700 mas que el 3o; y este ultimo, 1.175 mas que el 4o. ¿Cuanto recibirael 1o?

51. Una botella y su tapon cuestan $1, 10. La botella cuesta $1 mas que el tapon.¿Cuanto cuesta la botella?

52. A fin de ano, los alumnos de la Escuela de Futbol votan para elegir al mejorcompanero. Este ano fueron votados 5 alumnos. Cada uno saco 6 votos menosque el anterior, y Pedro, que quedo de 5o, obtuvo 10 votos. ¿Cuantos alumnosvotaron?

53. Dos arrieros tienen un tonel de 8 arrobas lleno de vino, y dos vacıos de 3 y 5 arrobas.Al separarse quieren llevar cada uno la mitad del vino. ¿Como hacer el reparto portransvases sucesivos?

54. Despues de la graduacion, todos los estudiantes intercambiaron fotos entre sı de talforma que cada estudiante se quedo con una foto de cada uno de sus companeros.Si en total se intercambiaron 870 fotos, ¿cuantos estudiantes se graduaron?



55. Un hombre pesca 60 truchas en un rıo. Se supone que 30 son hembras. Cada truchapone 100 huevos al ano. Se supone que 50 huevos dan hembras. ¿Cuantas truchasmas tendrıa el rıo al cabo de tres anos si el pescador no las hubiera pescado? (Sesupone que las crıas hembras producen a partir del primer ano en la misma cantidady que ni se mueren ni son pescadas por otros pescadores)

56. Dos trenes salen al mismo tiempo de dos ciudades diferentes, en sentidos opuestos.Uno se mueve a 95 km/h y el otro a 120 km/h (velocidades promedio). Si se cruzana las 3 horas de haber salido, ¿cual es la distancia entre ambas ciudades?

57. Hallar el siguiente termino de la sucesion: 9, 18, 15, 30, 27, 54, 51, 102

58. En el mercado mayorista se vende el azucar en empaques de 9, 6 y 2 kg, y la harina,en empaques de 15, 8 y 7 kg. El precio del azucar es el doble de la harina. La senoraSandra compra cinco de los seis empaques disponibles y paga igual por la harinaque por el azucar. ¿Que empaque de cual de los dos productos no ha comprado?

59. Si A, B, C, D, E representan 5 dıgitos diferentes entre sı y distintos de cero, hallarsu valor para que se verifique:

A B C D E

× 4

E D C B A

60. Si me das una naranja, tendre el doble de las tuyas. Pero si te doy una de las mıas,tendremos el mismo numero de naranjas. ¿Cuantas tengo yo?

61. En un conjunto de vacas y de pollos el numero de patas es 14 unidades mayor queel de cabezas, que es 6. ¿Cuantas vacas hay?

62. Una senora tiene 33 anos y su hijo, 7. ¿Dentro de cuantos anos sera la edad de lamama tres veces la de su hijo?

63. Hallar el termino que falta en la serie: 3, 9, , 45, 93, 189

64. Hallar un numero de cuatro dıgitos menores que 5 tales que, considerados deizquierda a derecha, el 4o es el doble del 1o, el 2o es 3 unidades menor que el3o, y la suma del 1o y del 4o es el doble del 3o.

65. En un ano un carnicero vende 145 kg de carne a un panadero a un costo de 4.300pesos/kg. En el mismo perıodo, el panadero le vende al carnicero 406 kg de pan aun precio de 1.500 pesos/kg. ¿Quien de los dos es deudor del otro?

66. Entre billetes de 1.000 y de 2.000 pesos, Carlos tiene 10 billetes. Le faltan 4.000pesos para comprar un pantalon. Si el numero de billetes de 1.000 fuera el de 2.000y viceversa, tendrıa el dinero exacto para la compra. ¿Cuanto dinero tiene?

67. En la cooperativa necesitan un tractor para trabajar en la granja. Les han ofrecidodos alternativas: A) 300.000 pesos por el alquiler + 5.000 pesos por cada hora detrabajo; B) 250.000 pesos por el alquiler + 6.000 pesos por cada hora de trabajo.Si el tiempo de trabajo se estima en algo mas de 50 horas, ¿que opcion resulta masbarata?



68. Julian pesa el doble de su esposa, esta el doble de su hija, y los tres juntos, 154 kg.¿Cuanto pesa la nina?

69. K, E y D representan a tres enteros consecutivos. G y B son otra pareja de enterosconsecutivos, diferentes de los anteriores. Se verifica que E x G B = K E D. ¿Cuales el valor de cada letra?

70. En este momento, la edad de Marcos triplica a la de Rosaura, pero dentro de 14anos solo sera el doble. ¿Cuantos anos tiene Rosaura actualmente?

71. Acabamos de enviar un paquete por medio de una agencia. La agencia cobra 5.000pesos por los primeros 5 kg; por cada uno de los siguientes 5 kg, la mitad delcosto por kg de los 5 anteriores; y ası sucesivamente. Si hemos pagado 8.000 pesos,¿cuanto pesa el paquete?

72. Un vendedor tiene seis cestas, unas con huevos de gallina y otras con huevos decodorniz. Los numeros de huevos en cada cesta son: 6, 29, 12, 23, 5, 14. Elvendedor considera: “Si vendo esta cesta, me quedarıa el doble de huevos de gallinaque de codorniz”. ¿A que cesta se refiere? ¿Que cestas quedarıan conteniendohuevos de codorniz?

73. Sin efectuar la multiplicacion, ¿cuantas cifras enteras y cuantos decimales tiene elproducto de 417, 201× 2, 56?.

74. En unas elecciones, un candidato ganador triplico en votos a su oponente, y juntossacaron 116.000 votos. ¿Cuantos obtuvo el candidato ganador?

75. ¿Que le ocurre al cociente en una division exacta si:

(a) el dividendo se multiplica por 7 y el divisor permanece igual?

(b) el dividendo se divide entre 3 y el divisor permanece igual?

(c) el dividendo permanece igual y el divisor se multiplica por 5?

(d) el dividendo permanece igual y el divisor se divide entre 3?

(e) el dividendo se multiplica por 3 y el divisor se divide entre 2?

76. ¿Que modificaciones simultaneas pueden hacerse a las cantidades del dividendo ydel divisor de una division exacta para que el cociente:

(a) permanezca igual?

(b) se duplique?

(c) se reduzca a su tercera parte?

77. ¿Que le puede haber ocurrido al dividendo de una division exacta si:

(a) el divisor ha permanecido igual y el cociente se ha reducido a su mitad?

(b) el divisor ha permanecido igual y el cociente se ha triplicado?

(c) el divisor se ha duplicado y el cociente se ha cuadruplicado?

78. En una division inexacta el divisor es 36 y el cociente 456; se sabe ademas que elresto es el mayor posible. ¿Cual es el dividendo?

79. ¿Cual es el mayor numero natural que dividido por 30 da un resto igual al cociente?



80. Un Hortelano lleva naranjas y se encuentra con 3 guardas. Al primero le regala lamitad de las naranjas mas dos; al segundo la mitad de las que le quedan mas dos;al tercero la mitad de las sobrantes mas dos. Se queda con una naranja. ¿Cuantasllevaba? (Razonese del final al principio)

81. Pedro tiene 43,75 pesos entre monedas de 0,25; 0,50; 1; 2 y 5 pesos. Si tiene elmismo numero de monedas de cada tipo, ¿cuantas monedas tiene en total?

82. La diferencia de dos numeros naturales es 940 y el cociente exacto del mayor entreel menor es 11. ¿De que numeros se trata?

83. Rafael tiene 40 anos y la suma de las edades de sus tres hijos es 22 anos. ¿Dentrode cuantos anos la edad de Rafael sera igual a la suma de las edades de sus treshijos?

84. ¿Cual es el menor numero impar mayor que 1 tal que, al dividirse por 7 o por 5, dacomo resto 1?

85. Se reparten 134 libros en seis cajas A, B, C, D, E y F. En cada caja y siguiendoel orden anterior, se va colocando un libro cada vez. ¿En que caja se depositara elultimo libro?

86. La suma de dos numeros enteros es 168; al dividirse el mayor entre el menor seobtiene 7 como cociente y 16 como residuo. ¿Cuales son los numeros?

87. Un desague vacıa un deposito de 1 m3 a razon de 20 litros por minuto. ¿Cuantosdesagues iguales al anterior se necesitan para vaciarlo en 10 minutos?

88. Diariamente llegan al aeropuerto un promedio de 6.480 pasajeros. Cada avion trae90 pasajeros. ¿Cual es el promedio de aviones que aterrizan cada hora en el aerop-uerto?

89. Se ha dividido un numero entre 5. ¿Cuantas veces el dividendo contiene al cociente?

90. ¿Cual es el divisor cuando el cociente contiene al dividendo 4 veces?

91. La edad de una persona al morir era casualmente el cociente de dividir su ano denacimiento entre 31. ¿Que edad tenıa esta persona en el ano 1921?

92. A y B son dos numeros escogidos entre 1 y 45, ambos inclusive, tales que su sumaes 45. ¿Cual es el mayor valor posible de la expresion A×B ÷ (A−B)?

93. Acabo de perder el tren por un minuto. Pero si pasaran 3 trenes mas cada horatendrıa que esperar al proximo tren 1 minuto menos que lo que tengo que esperarahora. Y a todo esto, ¿cuanto es lo que tengo que esperar ahora?

94. Todos los numeros naturales desde 8 hasta 2.004 se dividen entre 7. ¿Cuanto da lasuma de los residuos de todas esas divisiones?

95. Un tanque de agua tiene dos grifos. El primero lo llena en 10 minutos y el segundoen media hora. ¿En cuanto tiempo se llenara si se abren los dos grifos a la vez?

96. Debıa multiplicar 78 por un numero de dos cifras, cuya cifra de las decenas es eltriple de la de las unidades. Pero me equivoque y multiplique 78 por el numero conlas dos cifras cambiadas de posicion. El producto obtenido ası es 2.808 unidadesmenor que el que deberıa haberse obtenido. ¿Cual era este producto?



97. Un comerciante compra 12 cajas de mercancıa a 87 pesos cada una y vende 4 deellas por un total de 380 pesos. ¿A como tendra que vender cada una de las cajasrestantes para que pueda obtener una ganancia de 156 pesos por la venta de las 12cajas?

98. Divida 45 en cuatro sumandos tales que si al 1o le agrega 2, al 2o le resta 2, al 3o

lo multiplica por 2, al 4o lo divide entre 2, y vuelve a sumar estos cuatro nuevosnumeros, obtiene otra vez 45.

99. Escriba los numeros pares hasta el 12 utilizando cada vez 4 cuatros y sirviendosede los signos de las operaciones aritmeticas, incluida la potencia (Vale escribir dosdıgitos juntos para constituir un solo numero de dos digitos)

100. Un tren de kilometro y medio de longitud viaja a una velocidad de 30 km/h.¿Cuanto tiempo tardara en atravesar un tunel de kilometro y medio de largo?

101. La senora Antonia compro un lote de caramelos a razon de 270 pesos por cada 9caramelos y los vendio a razon de 10 caramelos por 800 pesos. Al venderlos todosobtiene una ganancia de 21.000 pesos. ¿Cuantos caramelos compro?

102. Una prueba comienza a las 8.25 a.m. y debe terminar a las 9.55 a.m. Si ha tran-scurrido la quinta parte del lapso previsto, ¿que hora es?

103. En una ferreterıa, 1 cuesta 2.500 pesos y 918 cuesta 7.500 pesos. ¿Que se estacomprando?

104. Una persona ha vivido hasta ahora 44 anos, 44 meses, 44 semanas, 44 dıas y 44horas. ¿Cuantos anos y meses cumplidos tiene?

105. Marıa compra tres piezas de la misma tela, en distintos momentos pero al mismoprecio. El costo de la primera pieza fue de 31,05 pesos; la segunda, que tenıa 5metros mas que la primera, costo 36,80 pesos; y la tercera, 85,10 pesos. ¿Cuantosmetros de tela ha comprado en total?

106. Un perro persigue a un conejo que le lleva una ventaja equivalente a 50 saltos deconejo. Si un salto del perro equivale a 3 del conejo, y si el conejo da 8 saltosmientras el perro da 3, ¿en cuantos saltos alcanza el perro al conejo?

107. Tres ninos estan jugando. En cada jugada, uno pierde y dos ganan. Los que ganandoblan el puntaje que traıan y el que pierde resta a su puntaje la suma de lospuntajes que traıan los dos ganadores. Despues de tres jugadas, cada jugador haganado dos veces y ha perdido una. Al final, los tres tienen 40 puntos. ¿Cuantospuntos tenıa cada uno al comienzo del juego?

108. A, B y C son tres numeros diferentes cuya suma es 28. Si A es la tercera parte dela suma de B y C, ¿cuanto suman estos dos ultimos?

109. ¿Cual es el numero siguiente en la secuencia: 1, 9, 36, 100, . . .?

110. ¿Que potencia de 10 equivale a diez millones?

111. La diferencia de los cuadrados de dos numeros naturales no consecutivos es 93.¿Cuales son los numeros?



112. Supon que una sustancia decae de tal modo que 1/2 de ella queda despues de 1hora. Si habıa 640 gramos al inicio, ¿cuanto queda despues de 7 horas? ¿Cuantoqueda despues de n horas?

113. Si una cuerda tiene 243 pies de longitud, ¿cuanto queda despues de 5 cortes si cadavez se corta la tercera parte? ¿Cuanto queda despues de n cortes?

114. Una empresa tiene un plan de 4 anos para aumentar su personal a la cuarta partecada uno de esos anos. Si el personal actual es de 2560, ¿cuantos habra al finaldel plan cuatrienal? Formula una expresion exponencial que represente la fuerzalaboral despues de n anos.

115. Cuando una inversion de P dolares gana el i% de interes anual, y el interes secompone (capitaliza) anualmente, la formula de la cantidad final, A, despues de nanos, es A = P (1+i)n, en la cual i se expresa en forma decimal. Calcula la cantidadA si se invierten $1, 000 al 10% compuesto anualmente durante 3 anos.

116. Usa la formula del problema anterior para calcular el numero de anos que tardarıaen duplicarse una inversion de $1, 000, invertida al 10% de interes compuesto an-ualmente.

117. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 324 m2 ¿Cuanto costara cercarlo si elmetro de valla cuesta 380 pesos?

118. Un propietario tiene un terreno cuyas dimensiones son 32 m de largo por 8 m deancho, y quiere permutarlo por un terreno cuadrado de la misma superficie. ¿Cualdebe de ser el lado del terreno cuadrado?

119. Una mesa cuadrada tiene una superficie de 841 dm2 ¿Cuanto mide su lado?

120. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 635.04 m2 ¿Cual es la longitud quetiene la valla que lo rodea?

121. Un comerciante ha comprado cierto numero de pantalones por $256. Sabiendo que elnumero de pantalones coincide con el precio de cada pantalon, ¿cuantos pantalonescompro?

122. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 2,209 m2 y se quiere rodear con unavalla que cuesta $3.50 cada metro. ¿Cuanto cuesta la obra?

123. ¿Cuales son las dimensiones de un terreno rectangular de 867 m2 si su longitud estriple que su ancho?

124. Se quieren distribuir los 529 alumnos de una escuela formando un cuadrado. ¿Cuantosalumnos habra en cada lado del cuadrado?

125. Se compra cierto numero de bolıgrafos por 196 pesos. Sabiendo que el precio de unbolıgrafo coincide con el numero de bolıgrafos comprados, ¿cual es el precio de unbolıgrafo?

126. Una caja en forma cubica tiene un volumen de 125,000 cm3. Si se corta la mitadsuperior, ¿cuales seran las dimensiones del recipiente resultante?

127. Un deposito en forma cubica tiene una capacidad de 1,728 m3. Si el agua contenidaen el deposito ocupa un volumen de 1,296 m3, ¿que altura alcanza el agua en eldeposito?



128. Un terreno tiene 500 metros de largo y 45 de ancho. Si se le diera forma cuadrada,¿cuales serıan las dimensiones de este cuadrado?

129. En un deposito hay 250047 dms3 de agua, la cual adopta la forma de un cubo. Siel agua llega a 15 dms del borde, ¿cuales seran las dimensiones del estanque?

130. Se compra cierto numero de libros por $729. Si el numero de libros comprado es elcuadrado del precio de un libro, ¿cuantos libros he comprado y cuanto costo cadauno?


Capıtulo 3

Los Numeros Enteros

Antes de empezar el estudio de los numeros enteros es conveniente establecer el conceptode sistema numerico.

Definicion 3.1. Sistema Matematico

Si en un conjunto A se define una o mas operaciones binarias tenemosun sistema matematico

Ejemplo • Los enteros positivos son un sistema matematico porque en el se handefinido la adicion y la multiplicacion que son operaciones binarias.

• Los enteros son un sistema matematico porque en el se han definido laadicion, la sustraccion y la multiplicacion que son operaciones binarias.

Definicion 3.2. Operacion Binaria

Una operacion binaria en un conjunto S es una regla que asigna acualquier par de elementos de S, tomados en un orden definido, otroelemento del conjunto S

Nota:

La sustraccion en N no es una operacion binaria, porque no siempre laresta de naturales produce otro natural. Por el contrario, la sustraccionen Z si es binaria

35


Definicion 3.3. Sistema Numerico

Si en un conjunto A se han definido dos operaciones binarias que verifi-can:

1) Ambas operaciones son conmutativas2) Ambas operaciones son asociativas3) Una de ellas es distributiva respecto a la otra4) Ambas poseen elemento identidad (o neutro)

Entonces A con dichas operaciones constituye un sistema numerico

Por ejemplo, 〈N,+,×〉 es un sistema numerico porque:

1. + y × son clausurativas en N

∀a, b ∈ N a+ b ∈ N, a× b ∈ N

2. + y × son conmutativas en N

∀a, b ∈ N a+ b = b+ a, a× b = b× a

3. + y × son asociativas en N

∀a, b, c ∈ N (a+ b) + c = a+ (b+ c), (a× b)× c = a× (b× c)

4. × es distributiva sobre la suma

∀a, b, c ∈ N a× (b+ c) = a× b+ a× c, (b+ c)× a = b× a+ c× a

5. Existe un elemento neutro

∀a ∈ No, a+ 0 = 0 + a = a

∀a ∈ N, a× 1 = 1× a = a

Si ahora definimos el conjunto de los enteros Z como

Z = N ∪ N− ∪ {0}

entonces Z es un sistema numerico para las operaciones + y × y se nota 〈Z; +,×〉

Es un sistema numerico porque cumple las anteriores propiedades definidas paraN. Ademas en el se cumplen otras propiedades:

(a) Existencia del inverso aditivo. ∀a ∈ Z, existe un unico elemento

(−a) ∈ Z tal que a+ (−a) = (−a) + a = 0

(b) Clausurativa para la sustraccion

Si a, b ∈ Z −→ a− b ∈ Z


Divisibilidad en Z 37

(c) Inverso multiplicativo

∀a ∈ Z, a 6= 0, a× 1

a=

1

a× a = 1

(d)

∀a ∈ Z, n ≥ 0 a−n =1

an= (a−1)n

3.1 § Divisibilidad en los Numeros Enteros §

Definicion 3.4. Divisibilidad

Un entero b es divisible por un entero a 6= 0 si existe un entero c tal queb = a× c

Los divisores de un numero entero es el conjunto de numeros quelo dividen exactamente

En este caso decimos que a divide exactamente a b, que a es un divisor de b, que a es unfactor de b o que b es divisible por a

La notacion a | b significa que a es un divisor de b. La negacion es a ∤ b (a no es undivisor de b).

Propiedades de la Divisibilidad en Z

I. Reflexiva∀a ∈ Z, a 6= 0 a | a

II. Antisimetrica

Si a, b ∈ Z, a, b 6= 0 y si a | b y b | a −→ a = b

III. TransitivaSi a, b, c ∈ Z, y si a | b y b | c −→ a | c

Demostracion.

Si a | b, −→ ∃x tal que ax = b Definicion de divisibilidad (1)

Si b | c, −→ ∃y tal que by = c Definicion de divisibilidad (2)

Reemplazando (1) en (2) se tiene (ax)y = c de donde a(xy) = c y por tantoa | c

Veamos a continuacion algunas proposiciones interesantes que se cumplen en los enteros.

Proposicion 1.0 es divisible por cualquier entero a, a 6= 0



Demostracion.

Sea a 6= 0, x = 0, entonces ax = a× 0 = 0, −→ a | 0

Proposicion 2.Si a | b y a | c, −→ a | (b± c)

Demostracion.

Si a | b −→ ax = b Por definicionSi a | c −→ ay = c Por definicion

ax+ ay = b+ c Propiedad de igualdad

de dondeax+ ay = b+ c −→ a(x+ y) = b+ c −→ a | (b+ c)

Proposicion 3.Si a | b y a | c −→ a | (bx+ cy)

Proposicion 4.Si a | b −→ a | −b, − a | b y − a | −b

Proposicion 5.Si a | b −→ |a| ≤ |b|

Demostracion.

Si a | b −→ b = ax −→ |b| = |ax| = |a||x| Propiedad valor absoluto

como |a||x| ≥ |a| −→ |b| ≥ |a|

Proposicion 6.Si a | b y b | a −→ a = ±b

Demostracion. Usando la proposicion anterior se tiene

Si a | b −→ |a| ≤ |b|

ySi b | a −→ |b| ≤ |a|

por tricotomıa|a| = |b| −→ a = ±b

Proposicion 7.

Si a 6= 0 −→ a | a, a | a2, . . . , a | an, n ∈ Z+


Numeros Primos 39

Proposicion 8.∀x ∈ Z, 1 | x, − 1 | x

Proposicion 9.Si a 6= 0 −→ a | −a, − a | a

Proposicion 10.Si a 6= 0 −→ a | |a|, |a| | a

3.2 § Numeros Primos §

Definicion 3.5. Numero Primo

Un numero p ∈ Z+, p 6= 1, es un numero primo si no tiene otrosdivisores distintos de p y 1

Ejemplo El 17 es un numero primo porque solo es divisible por 1 y por 17

Nota:

• Un numero primo no puede tener menos de dos divisores, ni mas dedos, es decir, tiene exactamente dos divisores.

• El unico primo par es el 2. Todos los numeros primos diferentes de 2son impares. No podemos afirmar que todos los numeros impares sonprimos.

Definicion 3.6. Numero Compuesto

Un numero m ∈ Z, m > 1 se llama compuesto si admite otros divisoresdiferentes de 1 y de m

Teorema 1. Numeros Compuestos

Todo numero compuesto puede descomponerse en factores y presentarse

como el producto de dos numeros enteros menores que el.

Teorema 2. Fundamental de la Aritmetica

Todo numero entero mayor que 1 puede expresarse como el producto de

primos. Este producto de primos es unico, no existen dos conjuntos

diferentes de primos cuyo producto de como resultado un mismo numero

compuesto.



Criba de Eratostenes

Una tecnica para hallar los numeros primos menores que un numero natural n ≥ 1 es lallamada Criba de Eratostenes, en honor al matematico griego Eratostenes (276-194 a.C).Esta tecnica es util cuando el numero n es relativamente pequeno. El metodo consistees escribir los numeros naturales entre 2 y n y luego tachar aquellos numeros menores oiguales a n que sean compuestos, es decir:

1. Tachamos cada segundo numero despues del 2, es decir, 4, 6, 8, 10, . . . ya que cadauno de ellos es compuesto

2. Eliminamos cada tercer numero despues del 3, es decir 6, 9, 12, 15, . . . ya que cadauno de ellos es compuesto

3. Repetimos el proceso anterior eliminando cada quinto despues del 5, cada septimodespues del 7, etc.

En esta pasada por la criba o cedazo muchos numeros se tachan mas de una vez yterminamos el proceso cuando todos los multiplos de un numero primo p se han eliminado.Los naturales que quedan despues del tamizado son los numeros primos menores o igualesa n

Procedimiento para Descomponer un Entero en Factores Primos

1. Dividir el numero que se quiere descomponer por el menor primo por el cual seadivisible

2. Dividir el cociente obtenido en el paso anterior por el menor primo por el cual seadivisible

3. Continuar el proceso de dividir el cociente obtenido por el menor primo por el cualsea divisible hasta obtener un cociente que sea un numero primo, en cuyo caso elmenor primo que lo divide es el mismo.

Ejemplo Vamos a descomponer los numeros 425 y 316 es sus factores primos

425 5 316 2

85 5 158 2

17 17 79 79

1 1

Ası, podemos afirmar que

425 = 5× 5× 17 316 = 2× 2× 79

Teorema 3. Descomposicion en Numeros Primos

Todo numero compuesto puede dividirse entre el producto de cualquier

combinacion de sus factores primos


Numeros Primos 41

Determinacion de los Primos por Divisiones Sucesivas

Para averiguar si un numero n es primo, se divide este por la sucesion de primos

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .

hasta que en una de las divisiones se obtenga un cociente menor que el divisor. Si en estepunto la division no es exacta, se puede afirmar que el numero n es primo.

Ejemplo Determinar si el numero 137 es primo o no

137 2 68 > 2

1 68

137 3 45 > 3

2 45

137 5 27 > 5

2 27

137 7 19 > 7

4 19

137 11 12 > 11

5 12

137 13 10 < 13

7 10

Como en esta ultima division el cociente es menor que el divisor, con-cluimos que el numero 137 es primo

En el ejemplo anterior, si alguna de las divisiones nos hubiera dado exacta (sin residuo)se habrıa concluido que el numero dado es compuesto y no un primo.

Calculo de los divisores de un numero

Conviene en algunas ocasiones conocer los divisores de un numero dado. Para ello, de-scompuesto el numero en factores primos, formaremos el cuadro de los divisores ası: enla primera fila se escribiran la unidad y las sucesivas potencias del primer factor primo;se multiplican los numeros de esta primera fila por las sucesivas potencias del siguientefactor primo; todas las filas formadas se multiplican por las sucesivas potencias de unnuevo factor primo, y ası sucesivamente hasta agotarlos.

Ejemplo Cuadro de divisores del numero 720.

La descomposicion de 720 sera 720 = 24325

1a fila, potencias de 2 1 2 4 8 16

2a fila, producto por 3 3 6 12 24 48

3a fila, producto por 32 9 18 36 72 144

4a fila, producto de la 1a por 5 5 10 20 40 80



De antemano se puede conocer el numero de divisores que se obtendran. La regla esla siguiente: El numero de divisores se obtiene multiplicando los numeros que resultande aumentar en una unidad todos los exponentes que aparecen en la descomposicion enfactores primos.


Ejemplo En el caso anterior los exponentes son 4, 2, 1; luego el numero de divisoreses

(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 5× 3× 2 = 30

como efectivamente se ve en el cuadro

3.3 § Criterios de Divisibilidad §En muchas ocasiones interesa saber si un numero es divisible por otro sin necesidad deefectuar la division. Para ello existen, en algunos casos, procedimientos muy sencillosque permiten determinar en forma rapida cuando un numero es divisible por otro. Estosprocedimientos se llaman “Criterios de Divisibilidad”

Criterio de divisibilidad por 2

Un numero n ∈ Z es divisible por 2 si la cifra de las unidades es un numero par.


Un numero n ∈ Z es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un divisible por 3.

• 1359 es divisible por 3 porque 1 + 3 + 5 + 9 = 18 = 6× 3

• 77744 no es divisible por 3 porque 7 + 7 + 7 + 4 + 4 = 29 y 2 + 9 = 11 y 11 no esdivisible por 3


Un numero n ∈ Z es divisible por 4 si sus dos ultimas cifras son ceros o el numero formadopor ellas es divisible por 4.

• 7800 es divisible por 4 porque termina en dos ceros

• 4524 es divisible por 4 porque sus dos ultimas cifras son divisibles por 4, 24÷ 4 = 6


Un numero n ∈ Z es divisible por 5 si su ultima cifra es 0 o 5.


Un numero n ∈ Z es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9

Criterio de divisibilidad por 8 y 125

Un numero n ∈ Z es divisible por 8 o por 125 si termina en 3 ceros o el numero formadopor las tres ultimas cifras en divisible por 8 o 125 respectivamente.

• 82456 es divisible por 8 porque 456 es divisible por 8: 456 = 8× 57. No es divisiblepor 125 porque 456 no es divisible por 125.

• 4000 es divisible por 8 y 125 porque termina en tres ceros


Maximo Comun Divisor (MCD) 43


Un numero n ∈ Z es divisible por 25 si sus dos ultimas cifras son ceros o el numeroformado por ellas es divisible por 25.


Un numero n ∈ Z es divisible por 11 si la suma alternada de las cifras del numero escritaen orden inverso es 0 o divisible por 11

• 1507 es divisible por 11 porque 7− 0 + 5− 1 = 11

• 1584 es divisible por 11 porque 4− 8 + 5− 1 = 0 y cero es divisible por 11

• 35904 es divisible por 11 porque 4− 0 + 9− 5 + 3 = 11

• 35425 no es divisible por 11 porque 5− 2 + 4− 5 + 3 = 5 y este no es divisible por11.

3.4 § Maximo Comun Divisor (MCD) §

Definicion 3.7. Primos Relativos

Dos numeros enteros son primos relativos o primos entre si, si el unicodivisor comun para ellos es el 1

Ejemplo 14 y 15 son primos relativos porque

Divisores de 14: 1, 2, 7, 14

Divisores de 15: 1, 3, 5, 15

}

−→ El unico divisor comun es el 1

Nota:

Para que dos numeros sean primos relativos no es necesario que ambossean primos. Por ejemplo, 4 y 9 son primos relativos, pero 4 y 9 no sonnumeros primos

Definicion 3.8. MCD

Un entero d > 0 es el maximo comun divisor de dos enteros a y b si d | ay d | b y ademas si c es cualquier otro divisor comun de a y b entoncesc | d

Ejemplo 3 es el MCD de 6, 12 y 21 proque 3 | 6, 3 | 12, 3 | 21, es decir que es elmayor entero que divide simultaneamente a 6, 12 y 21.



Proposicion 11. El M.C.D de dos enteros es unico

Demostracion. Supongase que d y d′ son dos M.C.D de a y b. Entonces d | d′ y tambiend′ | d. Luego por la proposicion 6 se tiene que d′ = ±d y como d > 0 y d′ > 0, entoncesd = d′

Nota:

El M.C.D de dos enteros a y b diferente de cero se simboliza como d =(a, b) y se cumplen la siguientes propiedades:

1. (a, b) > 0

2. (a, b) = (b, a) = (−a, b) = (a,−b) = (−a,−b)

3. (a, b) ≤ |a| y (a, b) ≤ |b|

Ejemplo Hallar el conjunto de divisores comunes y el M.C.D de 36 y 48

Los divisores de 36 son:

D[36] = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Los divisores de 48 son:

D[48] = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

Los divisores comunes de 36 y 48 son los que pertenecen a la insterseccionde D[36] y D[48].

Divisores comunes: D[36]∩D[48] = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. El M.C.D. de 36 y48 es el mayor numero de esta interseccion, es decir, (36, 48) = 12

Teorema 4.

Dos enteros a y b son primos relativos o primos entre sı, si su M.C.D.

es 1

Ejemplo Los numeros 2 y 3 son primos relativos porque (2, 3) = 1

Teorema 5.

Si a y b son primos relativos y a | c y b | c, entonces a · b | c


Maximo Comun Divisor (MCD) 45

Ejemplo Sea a = 2, b = 5, entonces (a, b) = 1 (son primos relativos). a y b sondivisores de 20, entonces el producto ab = 10 es un divisor de 20.

Ejemplo Demostrar que un numero c que es divisible por 2 y 3 tambien es divisiblepor 6

Demostracion. Sabemos que 2 | c y 3 | c y como (2, 3) = 1, entonces,por el teorema anterior, 2 · 3 | c, es decir 6 | c

Ejemplo Sabemos que 4 | 24 y 8 | 24 pero 4 × 8 ∤ 24 porque 8 y 4 no son primosrelativos.

Calculo del M.C.D. de dos o mas enteros

Para hallar el M.C.D. de dos numeros enteros se puede proceder de dos formas o metodos:

a) Por descomposicion de los enteros en factores primos

b) Por el algoritmo de Euclides

A continuacion estudiaremos el primer metodo. El algoritmo de Euclides sera analizadomas adelante.

Calculo del M.C.D. por descomposicion en factores primos

Por el Teorema Fundamental de la Aritmetica sabemos que cualquier numero entero sepuede expresar como el producto de factores primos. Usando este hecho establecemos elsiguiente procedimiento: “Para hallar el M.C.D. de o mas numeros enteros, se descompo-nen simultaneamente estos en sus factores primos comunes”

Ejemplo Hallar el M.C.D. de 144 y 360

Descomponemos los numeros en sus factores primos comunes

144 360 2

72 180 2

36 90 2

18 45 3

6 15 3

2 5

Como 2 y 5 no tienen factores primos comunes, el M.C.D(144, 360) =23 × 32 = 8× 9 = 72


Ejemplo Hallar el M.C.D. de 110, 121 y 77

110 121 77 11

10 11 7

Ası el M.C.D. de 110, 121 y 77 es 11

Algoritmo de Euclides para el M.C.D.

El algoritmo de Euclides esta basado en el algoritmo de la division que dice:

Definicion 3.9. Algoritmo de la Division

Dados dos enteros a y b con b > 0, existe un par unico de enteros q yr tales que: a = bq + r donde 0 ≤ r ≤ b es llamado el residuo y q esllamado el cociente

El algoritmo de la division lo que garantiza es que la division entre dos numeros enterosa y b se puede escribir en forma extendida como a = bq + r

Nota:

Cuando se dice que b divide a a, (b | a) significa que r = 0

Si aplicamos repetidamente el algoritmo de la division se obtiene:

a = bq1 + r1 0 < r1 < b

b = r1q2 + r2 0 < r2 < r1

r1 = r2q3 + r3 0 < r3 < r2...

rk−2 = rk−1qk + rk 0 < rk < rk−1

rk−1 = rkqk+1

Aquı en la etapa k el residuo rk+1 = 0, entonces el proceso se detiene porque no se puededividir por cero, entonces el valor de rk es el M.C.D. de a y b.

Mınimo Comun Multiplo (M.C.M.) 47

Ejemplo Hallar el M.C.D. de 4147 y 10672 usando el algoritmo de Euclides.

10672 = 4147× 2 + 2378

4147 = 2378× 1 + 1769

2378 = 1769× 1 + 609

1769 = 609× 2 + 551

609 = 551× 1 + 58

551 = 58× 9 + 29

58 = 29× 2 + 0

Entonces el M.C.D. de los numeros es (4147, 10672) = 29

Propiedades del M.C.D.

I. Si m ∈ Z+, (ma,mb) = m(a, b)

II. Si m | a y m | b, entonces (a/m, b/m) = (a, b)/m, o (a, b) = m(a/m, b/m)m > 0

III. Si d = (a, b), existen los enteros x y y tales que d = ax+ by

Ejemplo Hallemos el MCD de 986 y 1462

(986, 1462) = (2× 493, 2× 731) = 2(493, 731) = 2× 17 = 34

Ejemplo Primero observamos que ambos son divisibles por 6, entonces

(4410, 8712) = 6

(4410

6,8712

6

)

= 6(735, 1452) = 6× 3 = 18

3.5 § Mınimo Comun Multiplo (M.C.M.) §

Definicion 3.10. Multiplo de un Entero

Dados a, b ∈ Z, decimos que a es un multiplo de b si existe un entero ntal que a = n× b

Los multiplos de un numero entero es el conjunto que resulta demultiplicar dicho numero por el conjunto extendido de los numerosnaturales



Nota:

Los multiplos son infinitos mientras que los divisores son finitos

Propiedades de los Multiplos

I. La suma de multiplos de un entero n es multiplo de n. Si A y B son multiplosde a, entonces A+B es multiplo de a

Demostracion.

A es multiplo de a −→ ∃x|ax = A (1)B es multiplo de a −→ ∃y|ay = B (2)

ax+ ay = A+B sumando (1) y (2)

de donde a(x+ y) = A+B y por lo tanto A+B es multiplo de a

9,12,18 son multiplos de 3, entonces 9 + 12 + 18 = 39 es multiplo de 3.

II. Si dos numeros son multiplos de n entonces su diferencia tambien es multiplode n

40 y 15 son multiplos de 5, entonces 40 − 15 = 25 tambien es multiplo de5

III. Si un numero n ∈ Z es divisor de una suma de dos sumandos y de uno de ellos,entonces es divisor del otro sumando

18 + 36 = 54, 9 | 54 y 9 | 18 −→ 9 | 36

IV. Todo divisor de un n ∈ Z es divisor de los multiplos de ese numero.

Sea n = 15. Algunos de sus multiplos son 45, 60, 75, etc. Los divisores de15 son: 1, 3, 5, 15; entonces ellos son divisores de 45, 60, 75, etc.

V. Si a, b, c, . . . ∈ Z son multiplos de x, y, z, . . . ∈ Z, entonces el producto a · b · c · · ·es un multiplo del producto x · y · z · · ·

Sea x = 3, y = 1, z = 4, entonces xyz = 12. Algunos multiplos de x, y, zson a = 9, b = 4, c = 12, entonces 9× 4× 12 = 432 es multiplo de 12.

Ejercicio:Demostrar los items II, III, IV y V



Definicion 3.11. MCM

El menor numero entero que sea multiplo de dos numeros enteros dadosa y b, se le llama el mınimo comun multiplo de a y b y se simboliza comoM.C.M(a, b)

Ejemplo Hallar el M.C.M(5, 9)

Hallamos los multiplos de 5

M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, . . .}

Hallamos los multiplos de 9

M(9) = {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63}

Los multiplos comunes son

M(5) ∩M(9) = {45, 90, 135, . . .}

De esta lista escogemos el menor de ellos:

MCM(5, 9) = 45

Un metodo mas practico para hallar el MCM de varios numeros es el siguiente:

Algoritmo para hallar el MCM

Descomponer simultaneamente los numeros es sus factores primos comunes y no comunes.El producto de dicha descomposicion sera el MCM de los numeros. El siguiente ejemploilustra este proceso.

Ejemplo Hallar el MCM(72,144,360,288)

72 144 360 288 2

36 72 180 144 2

18 36 90 72 2

9 18 45 36 2

9 9 45 18 2

9 9 45 9 3

3 3 15 3 3

1 1 5 1 5

1 1 1 1

Luego

MCM(72, 144, 360, 288) = 25 × 32 × 5 = 1440



Propiedades del MCM de a y b

Se acostumbra simbolizar el MCM de a y b como 〈a, b〉

I. Si a, b ∈ Z −→ 〈a, b〉 ≥ 0

II. Si a, b ∈ Z −→ a | 〈a, b〉 y b | 〈a, b〉

Demostracion. Sea m = 〈a, b〉 entonces m = na y m = pb para algun n, p ∈ Z.Luego a|m y b|m (definicion de divisibilidad); ası a| 〈a, b〉 y b| 〈a, b〉

Por ejemplo, 〈8, 12〉 = 24, 8|24 y 12|24

III. Si a, b,m ∈ Z, a | m y b | m −→ 〈a, b〉 | m

2|24 y 3|24 entonces 〈2, 3〉 = 6|24

IV. Si a, b ∈ Z, a | b ←→ 〈a, b〉 = b

2|8 entonces 〈2, 8〉 = 8

V. Si a, b ∈ Z, a · b = [(a, b) · 〈a, b〉]

6× 8 = (6, 8) 〈6, 8〉 = 2× 24 = 48

VI. Si a, b son primos relativos −→ 〈a, b〉 = a · b

Teorema 6. MCM

El MCM de dos enteros a y b es igual a su producto dividido por su MCD

〈a, b〉 = a · b(a, b)

Ejemplo Hallar el MCM de 84 y 120 usando el MCD

Primero hallamos el MCD:

120 = 84× 1 + 39

84 = 36× 2 + 12

36 = 12× 3 + 0

Entonces (84, 120) = 12. Ahora el MCM sera

〈84, 120〉 = 84× 120

12= 840



Nota:

Caso especial: Si los numeros dados son primos relativos dos a dos, suMCM es su producto porque 1 es el MCD de dos cualesquiera de ellos.

Problemas

1. ¿Cuales son: 1) los multiplos de 9 hasta 100; 2) los multiplos de 12 hasta 132; 3)los de 15 hasta 150; 4) los divisores de 60, 75 y 90?

2. ¿Que numeros, de los siguientes, son divisibles entre 3? ¿Cuales lo son ademas entre9? 171, 231, 805, 1256, 3204, 7823, 2841, 6705

3. Todo numero divisible entre 9 ¿lo es entre 3 y recıprocamente? Dar ejemplos.

4. En los numeros siguientes, disminuir la cifra de las unidades en la cantidad suficientepara que dichos numeros resulten multiplos de 4: 862, 946, 1353, 2074, 3122, 9075,2227, 7434.

5. Entre los divisores 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25, ¿Cuales son factores de cada uno de losnumeros siguientes? 340, 225, 810, 2430, 4608, 5475.

6. Se quiere dividir tres alambres de 64 m, 48 m, y 40 m, respectivamente, en trozosiguales y del mayor tamano posible; ¿Cual sera la longitud de cada trozo y cuantostrozos habra?

7. ¿Que suma de dinero se necesita para poder comprar el menor numero posible deobjetos que cuesten respectivamente 8, 9, 10, 12, y 15 pesos?

8. ¿Cuantas servilletas cuadradas del mayor tamano posible se pueden hacer con unapieza de tela de 13.20 m de largo por 80 cm de ancho?

9. Tres tanques tiene una capacidad de 240 l, 315 l y 465 l, respectivamente; ¿Quecapacidad ha de tener un bote para que los pueda llenar con el menor numero debotes llenos? ¿Cuantos botes caben en cada uno de los tanques?

10. Averiguar si los numeros siguientes son o no primos: 631, 683, 889, 913, 1021.

11. Dos ruedas dentadas engranadas una con otra tienen 33 y 24 dientes, respectiva-mente; ¿Cuantas vueltas debe dar cada una para volver a encontrarse en la mismaposicion relativa?

12. ¿Cual es la mayor longitud que se puede tomar por unidad para medir exactamentelas dimensiones de un aposento que son respectivamente 7.20 m, 4.20 m, 2.40 m?

13. ¿Que capacidad debe tener un tanque para que tres llaves, que dan respectivamente36 l, 45 l y 48 l, por minuto, puedan llenarlo, cada una por separado, en el menornumero exacto de minutos?

14. Tres barcos salen de Nueva York el mismo dıa; sabiendo que los viajes de cada unode ellos duran, respectivamente, 18, 24 y 30 dıas, se desea saber: 1) dentro de cuantotiempo volveran a salir juntos por segunda vez; 2) cuantos viajes habran hecho cadauno de ellos.



15. Se quiere cercar un campo rectangular de 72 m de largo por 60 m de ancho conun alambrado; ¿Cuantos postes se necesitaran, para que halla uno en cada esquina,que todos esten a igual distancia y que halla el menor numero posible de postes?

16. Tres escuelas compuestas de 408, 512, y 768 alumnos, respectivamente, tienen quetomar parte, por separado, en un desfile, formando en el menor numero posible dehileras iguales; ¿Cuantos alumnos habra en cada hilera?

17. ¿Cual es el menor numero que puede dividirse entre cada uno de los ocho primerosnumeros primos?

18. Se tienen tres piezas de tela del mismo ancho, cuyas longitudes son: 180 m, 225 my 324 m. Se desea dividir las tres piezas en lotes del mismo tamano. ¿Cual debeser la longitud de estos lotes para que el numero de cortes en las tres piezas sea elmenor posible?

19. En un estante de la biblioteca escolar hay menos de 1.000 libros, todos del mismotamano. La bibliotecaria nos dice que se pueden empaquetar, sin que sobre ningunlibro, por docenas, de 28 en 28, o de 49 en 49. ¿Cuantos libros hay exactamente?

20. La edad de la maestra tiene la particularidad de que, al dividirse entre 2, 3, 4, 6 y8, siempre da como resto 1. Pero al dividirse entre 5, da como resto 0. ¿Cuantosanos tiene la maestra?

21. En la manana pague 360 pesos por un lote de fotocopias. En la tarde estuve sacandootras mas y pague 126 pesos. ¿Cuanto cuesta cada fotocopia, si su precio es mayorque 10 pesos?

22. Evalue cada una de las siguientes afirmaciones como verdadera o falsa. Para ello,ayudese con ejemplos, contraejemplos (para refutar), argumentos...

(a) Si un numero es divisor de varios otros, entonces divide a la suma de todosellos.

(b) Si un numero divide a otro, entonces divide a cualesquiera dos sumandos enque se puede descomponer el segundo numero.

(c) Si un numero es divisor de otros dos numeros, entonces divide a la diferenciaentre el mayor y el menor.

(d) Todo numero distinto de 0 tiene infinitos multiplos.

(e) La suma de varios multiplos de un numero no es multiplo de ese numero.

(f) Todo numero distinto de 0 tiene un numero infinito de divisores.

(g) Si dos numeros son multiplos de otro, tambien lo es la diferencia entre el mayory el menor.

(h) Si un numero a es divisor de uno b, y este a su vez es divisor de c, entonces ano tiene por que ser divisor de c.

(i) Si a y b son divisores de un numero N , entonces a+ b tambien es divisor de N .

(j) Si a y b son divisores de un numero N , entonces a× b tambien es divisor de N .

(k) Si a y b son divisores primos de N , entonces a× b tambien es divisor de N .

(l) Si un numero es divisor de otro, entonces tambien es divisor de los multiplosde este.



(m) Si a es divisor de b, entonces es divisor de b+ c (c: cualquier numero natural).

(n) Si a es divisor de b, entonces es divisor de a+ b.

(o) Si a es divisor de b, entonces es divisor de b× c (c: cualquier numero natural).

(p) Si un numero es multiplo de otro, entonces tambien es multiplo de todos losmultiplos de este ultimo.

(q) Si un numero es multiplo de otro, entonces tambien es multiplo de todos losdivisores de este ultimo.

23. Determinar si 13.046 es multiplo: a) de 3; b) de 4; c) de 6

24. Determinar si 148.500 es multiplo: a) de 4; b) de 6; c) de 8; d) de 9; e) de 18; f) de36

25. Hallar todos los posibles valores de las letras en cada caso para que se cumpla que:

(a) 4m68 sea multiplo de 9

(b) 98n sea multiplo de 6

(c) 58b7a sea multiplo de 18

(d) 8m56n sea multiplo de 36

(e) 3r33t sea multiplo de 12

26. De todos los numeros naturales de dos cifras, ¿cual(es) es (son) el (los) que posee(n)mas divisores?

27. Y este otro ejercicio para curiosos (y perseverantes): Halle los divisores de todoslos numeros naturales del 2 al 15. Obtenga ahora los cuadrados de tales numeros yhalle tambien sus divisores. Cuente el numero de divisores obtenidos en todos loscasos. ¿Que observa? ¿Que clase de numeros son los que tienen tres divisores?

28. 12 Halle todas las parejas de numeros primos cuya suma es 999.

29. Los numeros 6, 14 y 15 son divisores de N . ¿Cual puede ser el menor valor de N?

30. Evalue cada una de las siguientes afirmaciones como verdadera o falsa. Para ello,ayudese con ejemplos, contraejemplos (para refutar), argumentos...:

(a) Si dos numeros son primos, entonces son primos relativos.

(b) Cualquier par de numeros naturales consecutivos son primos relativos.

(c) Si dos numeros son primos relativos, entonces cada uno de ellos es primo.

(d) Cualquier par de numeros impares consecutivos son primos relativos.

(e) Si m.c.d.(a, b) = m, entonces los divisores de m dividen a a y a b.

(f) Si m.c.d.(a, b) = m, entonces m divide a todos los divisores de a y de b.

(g) Si m.c.d.(a, b) = m, entonces m divide a todos los multiplos de a y de b.

(h) Si m.c.d.(a, b) = m, entonces m es multiplo de todos los divisores comunes dea y de b.

(i) Si dos numeros se multiplican (o dividen) por un mismo numero, el m.c.d. deambos queda multiplicado (o dividido) por ese mismo numero.



(j) Si un numero divide al producto de dos factores y es primo relativo con unode ellos, necesariamente debe dividir al otro factor.

31. Evalue cada una de las siguientes afirmaciones como verdadera o falsa. Para ello,ayudese con ejemplos, contraejemplos (para refutar), argumentos...:

(a) Si dos numeros son primos relativos, entonces su m.c.d. es el menor de ellos.

(b) Si dos numeros son primos relativos, entonces su m.c.m. es el mayor de ellos.

(c) El m.c.d. de dos numeros es divisor del m.c.m. de ambos numeros.

(d) Si m.c.m.(a, b) = m, entonces los divisores de m dividen a a y a b.

(e) Si m.c.m.(a, b) = m, entonces los divisores de a y b dividen a m.

(f) Si m.c.m.(a, b) = m, entonces m divide a todos los multiplos de a y de b.

(g) Si m.c.m.(a, b) = m, entonces los multiplos de a y de b dividen a m.

(h) Si m.c.m.(a, b) = m, entonces a y b dividen a todos los multiplos de m.

(i) Si dos numeros se multiplican (o dividen) por un mismo numero, el m.c.m. deambos queda multiplicado (o dividido) por ese mismo numero.

32. Hallar una lista de 10 enteros consecutivos que sean compuestos.

33. Si se divide cierto numero por 6, se obtiene 4 como resto. Pero si se divide por 5,el resto disminuye en 1 y el cociente aumenta en 1. ¿Cual es el numero?

34. ¿De cuantas maneras puede escribirse 60 como producto de tres numeros diferentes?

35. ¿Cual es el mayor numero posible tal que, al dividirse 247, 367 y 427 entre esenumero, se obtiene 7 de resto en todos los casos?

36. Atencion: 45, 150, 105, 30 y 90 son “plikos”. Pero 24, 50, 18, 125, 66, 6 y 80 noson “plikos”. ¿Cuales de los siguientes numeros: 40, 75, 120, 36, 60, 96 y 135 son“plikos”?

37. Tome un numero de tres cifras. Escrıbalo de nuevo, a continuacion del anterior,para formar un numero de seis dıgitos. Divıdalo entre 7, 11 y 13 y observara quelas tres divisiones son exactas. Y ası con cualquier otro numero de tres cifras. ¿Porque?

38. El numero N es la cuarta potencia de otro numero. N tiene a 18 como divisor.¿Cual es el menor valor que puede tener el cociente de N entre 18?

39. En un abasto hay menos de 400 huevos para la venta. Si se colocan en envasesde 1 docena, 1 docena y media, 2 docenas, y 2 docenas y media, siempre sobran 3huevos. ¿Cuantos hay?

40. Un numero se divide entre 7 y da como resto 5. ¿Cual sera el resto que se obtieneal dividir el triple de ese numero entre 7?

41. En cada una de las 9 casillas libres coloque uno de los dıgitos del 1 al 9 de talforma que los productos horizontales coincidan con los valores de la derecha y losproductos verticales, con los valores inferiores



70

48

108

64 45 126

42. El dibujo que sigue representa una “piramide numerica”. En ella, cada sector ocuadrıcula tiene asignado un numero natural. Salvo en la fila de la base, estenumero se obtiene multiplicando los numeros de los dos sectores del piso inferiorque le sirven de apoyo. Coloque los dıgitos 1, 2, 3, y 4 en la fila de la base, de talforma que obtenga el mayor producto posible en la cuadrıcula superior

43. Rosaura tiene tres hijos. El producto de sus edades es 200. La edad del mayor esel doble de la del segundo hijo. ¿Cuantos anos tiene cada hijo?

44. Nidia y su abuela cumplen anos el mismo dıa. Durante 6 cumpleanos consecutivosla edad de la abuela ha sido multiplo de la edad correspondiente de Nidia. ¿Cuantosanos tiene ahora Nidia, un dıa despues del ultimo de estos seis cumpleanos?

45. Al sumar dos numeros de dos dıgitos cada uno, a2 y b4, se obtiene un numeromultiplo de 3. ¿Cual es el menor valor que puede tener la suma a+ b?

46. Halle 3 numeros cuyo m.c.m. sea 48.

47. Halle los numeros de todos los anos del segundo milenio tales que la suma de susdıgitos sea 21, y su producto, 162.

48. Beatriz guarda en su alcancıa menos de 100 monedas. Al sacarlas observa que si lasagrupa en montones de 2, 3, 4, 5 y 6 monedas, le sobran, respectivamente, 1, 2, 3,4 y 5 monedas. ¿Cuantas le sobraran si las pone en montones de 7 monedas

49. ¿Cual es el mayor numero escrito con nueve dıgitos diferentes (excluido el 0) que esmultiplo de 18?

50. Se desea pavimentar un piso con baldosas rectangulares de 30 cm x 40 cm, colocadastodas en el mismo sentido. ¿Cual es el menor numero de baldosas necesarias paraformar un cuadrado pavimentado?

51. Tres amigos, cuyas edades pasan de 19 anos, nos indican que el producto de susedades es 17.710. ¿Cuantos anos tienen?

52. Coloque en la tabla siguiente los dıgitos del 1 al 9 (uno en cada casilla)



de manera que el numero formado por los dıgitos de las casillas:

(a) 1 y 2 sea divisible por 2

(b) 2 y 3 sea divisible por 3

(c) 3 y 4 sea divisible por 4.............

(d) 8 y 9 sea divisible por 9

53. Si ABA×AA = AAAA, siendo A y B dıgitos distintos, hallar el valor de B.

54. La combinacion para abrir un cofre es un numero de cinco cifras que, consideradasde izquierda a derecha, cumplen las siguientes condiciones: la primera cifra es par;la suma de las dos primeras es 15; la tercera es igual a la diferencia de las dosprimeras (la mayor menos la menor); el numero es multiplo de 9; la primera cifra esigual a la primera por la cuarta; todas las cifras son diferentes. ¿Cual es el numerode la combinacion?

55. Halle todos los divisores de 1.275.000 que sean cuadrados perfectos.

56. Halle el numero impar que es multiplo de 9 y divisor de 72.

57. Se desea embaldosar un pasillo de 9,20 m de largo y 2,40 m de ancho con baldosascuadradas de la mayor dimension posible, de tal modo que quepan un numero exactode veces a lo largo y a lo ancho del pasillo. ¿Cuanto medira el lado de la baldosa?

58. Halle la capacidad de un tonel si es la menor que se puede llenar exactamente conbotellas llenas de lıquido de cada una de las siguientes capacidades: 60 cl, 90 cl, 1 ly 2 l.

59. ¿De cuantas maneras se pueden agrupar 36 alumnos en filas y columnas completas?

60. El senor Pedro presume de ser joven. Para confirmarlo, nos dice que si su edad sedivide entre 2, 3, 4, 5 y 6, siempre da como resto 1. ¿Realmente es una personajoven?

61. Una caja de base cuadrada tiene una altura cuya medida es el triple del lado de labase. Si el volumen de la caja es de 24.000 cm3, ¿cual es la altura de la caja?

62. Consideremos la suma N de cinco numeros naturales consecutivos. Ademas de launidad y de N , ¿que otros dos divisores posee necesariamente N cada vez?

63. El municipio posee tres lotes de terreno cuyas areas son de 3.675 m2, 1.575 m2 y2.275m2. Los tres lotes se tienen que dividir en parcelas menores, de igual area, parala construccion de viviendas. ¿Cual es el mayor tamano posible de estas parcelas?

64. Usando los dıgitos 3, 4, 6 y 8, ¿cuantos numeros de tres cifras no repetidas puedenformarse, de tal modo que sean a la vez multiplos de 4 y de 6?

65. Sea S = 10723 + 9146. ¿Cual es el menor numero primo que divide a S?

66. Las caras diferentes de una caja son rectangulos cuyas areas son: 24 cm3, 32 cm3 y48 cm3. ¿Cual es el volumen de la caja?



67. Tres personas trabajan como conductores de autobuses en tres rutas que parten delmismo punto y cuyos recorridos completos se llevan 35, 60 y 70 minutos, respectiva-mente. Los tres salen a las 6 de la manana y deciden que almorzaran juntos cuandocoincidan de nuevo en el mismo punto de partida. ¿A que hora sera el almuerzo?

68. La organizadora de una fiesta observa que si los invitados se sientan 7 en cadamesa, quedan 4 por fuera. Y si lo hacen 9 en cada mesa, sobran 3. Al final decideorganizar 4 mesas de 8 invitados cada una, y el resto de mesas, de 7 invitados cadauna. ¿Cuantos invitados hay, si no llegan a 100?

69. ¿Hay algun numero de cuatro cifras que sea divisible por 3 y por 4 y que tenga suscuatro cifras iguales?

70. Una caja de manzanas cuesta 2.000 pesos; una de peras, 3.000; y una de ciruelas,4.000. Si 8 cajas de los tres tipos de frutas cuestan 23.000 pesos, ¿cual es el mayornumero de cajas de ciruelas que pueden comprarse?

71. ¿Cual es la diferencia entre el menor “ano primo” del siglo XXI y el mayor “anoprimo” del siglo XX?

72. Tenemos 36 cubos de igual tamano. ¿Cuantos paralelepıpedos diferentes de 36 cubospueden construirse con ellos?

73. Dos atletas se entrenan corriendo en un circuito, a velocidades constantes perodiferentes. Ambos parten simultaneamente de la raya de salida y a los 72 minutosvuelven a coincidir en ese mismo punto. Si el mas rapido de los atletas da lavuelta completa cada 8 minutos, ¿cuanto tarda el otro atleta en darla (de todas lasrespuestas posibles, sabiendo que es un numero entero de minutos, menor que unahora)?

74. Un campo tiene forma de cuadrilatero y las dimensiones de sus lados son 72, 96,120 y 132 metros. Se desea plantar arboles sobre los cuatro linderos de tal formaque haya uno en cada vertice del campo, que todos esten igualmente espaciados, yque la distancia entre dos arboles consecutivos no sea mayor que 10 metros. ¿Cualsera esta distancia?

75. Halle los valores numericos de a, b, c, d, e para que se cumpla que:

(a) el numero a sea multiplo de 9

(b) el numero ab sea multiplo de 3 y de 4

(c) el numero abc sea multiplo de 2 y de 5

(d) el numero abcd sea multiplo de 7

(e) el numero abcde sea multiplo de 11

76. Armese de infinita paciencia y coloque en la tabla siguiente los dıgitos del 1 al 9(uno en cada casilla)

de manera que el numero formado por los dıgitos de las casillas:

(a) 1 y 2 sea divisible por 2



(b) 1, 2 y 3 sea divisible por 3

(c) 1, 2, 3 y 4 sea divisible por 4..............

(d) 1, 2, ..., 8 y 9 sea divisible por 9


Capıtulo 4

Congruencia

A continuacion vamos a estudiar los numeros enteros en relacion con los residuos (o restos)obtenidos al dividir enteros por otro entero fijo positivo m, al cual lo llamaremos modulo.

Por el algoritmo de la division sabemos que a cada entero le corresponde el residuo de sudivision por m

Definicion 4.1. Congruencia

Si a dos enteros a y b les corresponde el mismo residuo r, se dice queestos dos numeros son congruentes modulo m

Nota:

La congruencia de los numeros a y b respecto del modulo m se escribecomo a ≡ b (mod m)

a ≡ b (mod m) ←→ m | (b− a), m ∈ Z+

Ejemplo 13 ≡ 25 (mod 12) porque

13 = 12× 1 + 1, 25 = 12× 2 + 1

los residuos son iguales y

12 | (25− 13) es decir 12 | 12

Definicion 4.2.

El conjunto de todos los enteros que son congruentes con a modulo m es:

[a] = {x ∈ Z|a ≡ x (mod m)}

59


Ejemplo Si m = 12 entonces

[1] = {. . .− 23,−11, 1, 13, 25, . . .}

porque todos estos numeros son congruentes con 1 modulo 12.

Ejemplo Que valores de m hacen verdaderas las siguientes congruencias

• 5 ≡ 4 (mod m)

5 ≡ 4 (mod m)←→ m | (4− 5)←→ m | −1

entonces m = 1

• 5 ≡ −4 (mod m)

5 ≡ −4 (mod m)←→ m | (−4− 5)←→ m | −9

entonces m = 1, 3, 9

• 10 ≡ −1 (mod m)

10 ≡ −1 (mod m)←→ m | (−1− 10)←→ m | −11

entonces m = 1, 11

Propiedades elementales de las congruencias

I. Reflexividada ≡ a (mod m)

II. SimetrıaSi a ≡ b (mod m) −→ b ≡ a (mod m)

III. Transitividad

Si a ≡ b (mod m) y b ≡ c (mod m) −→ a ≡ c (mod m)

IV. Suma, resta, multiplicacion de congruencias del mismo modulo

Si a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m) −→

1. a± c ≡ b± d (mod m)

2. a · c ≡ b · d (mod m)


61

3. ka ≡ kb (mod m), k ∈ Z

V. Si ka ≡ kb (mod m) y (k,m) = d entonces

a ≡ b (modm

d)

VI. Si a ≡ b (mod m) entonces

an ≡ bn (mod m), n ∈ N

VII. Si a1 ≡ b1 (mod m) entonces

r∑

i=1

ai ≡r∑

i=1

bi (mod m)

VIII. Si a1 ≡ b1 (mod m)r∏

i=1

ai ≡r∏

i=1

bi (mod m)

IX. Si (m,n) = 1 y a ≡ b (mod m), a ≡ b (mod n) entonces

a ≡ b (mod mn)

X. Si ac ≡ bc (mod cm) entonces

a ≡ b (mod m)

XI. Si a ≡ b (mod m) y n | m entonces

a ≡ b (mod n)

XII. Si a ≡ b (mod m) entonces(a,m) = (b,m)

XIII. Si p es primo y ab ≡ 0 (mod p) entonces

a ≡ 0 (mod p) o b ≡ 0 (mod p)

Teorema 7. Pequeno Teorema de Fermat

Si p es primo, a ∈ Z y (a, p) = 1 entonces

1. ap−1 ≡ 1 (mod p)

2. ap ≡ a (mod p)



Ejemplo Sea a = 3 y p = 5, entonces a y p son primos relativos porque (3, 5) = 1,entonces por el teorema de Fermat se tiene que

35−1 ≡ 1 (mod 5) −→ 34 ≡ 1 (mod 5) −→ 81 ≡ 1 (mod 5)

porque

5 | (1− 81) o 5 | −80

Ejemplo 428 ≡ 1 (mod 29) porque

428 ≡ 1 (mod 29)←→ 429−1 ≡ 1 (mod 29)

y 29 es primo; ademas (4, 29) = 1 y por tanto 4 y 29 son primos relativos,entonces por el teorema de Fermat se puede afirmar que la congruenciadada es verdadera. Ademas, si 428 ≡ 1 (mod 29) −→ 4× 428 ≡ 4× 1(mod 29) y ası 429 ≡ 4 (mod 29) (parte 2 del teorema de Fermat)

Ejemplo Use el teorema de Fermat para hallar el valor de b en la siguiente con-gruencia: 34 ≡ b (mod 5)

34 ≡ b (mod 5) −→ 35−1 ≡ b (mod 5) −→ b = 1

Ahora,

34 ≡ 1 (mod 5) −→ 3× 34 ≡ 3× 1 (mod 5) −→ 35 ≡ 3 (mod 5)

4.1 § Criterios de Divisibilidad §A continuacion ilustraremos la forma de utilizar los conceptos de congruencia vistos ante-riormente para establecer criterios de divisibilidad ya mencionados en un capıtulo anterior.

1. Usar la congruencia entre enteros para establecer un criterio de divisibilidad por 3y por 9

Partimos del hecho de que todo entero a se puede escribir en forma decimal como:

a = an10n + an−110

n−1 + . . .+ a3103 + a210

2 + a1101 + a0

donde cada ai esta entre 0 y 9, 0 ≤ ai ≤ 9. Entonces se tiene:

a0 ≡ a0 (mod 3, 9)

10 ≡ 1 (mod 3, 9) −→ a110 ≡ a1 (mod 3, 9)

102 ≡ 1 (mod 3, 9) −→ a2102 ≡ a2 (mod 3, 9)

103 ≡ 1 (mod 3, 9) −→ a3103 ≡ a3 (mod 3, 9)

......

10n ≡ 1 (mod 3, 9) −→ an10n ≡ an (mod 3, 9)


Criterios de Divisibilidad 63

Sumando ambos lados tenemos

a0 + a110 + a2102 + . . .+ an10

n = a0 + a1 + a2 + . . .+ an (mod 3, 9)

como el primer lado de esta igualdad es a, entonces

a = a0 + a1 + a2 + . . .+ an (mod 3, 9)

es decir que a es congruente con la suma de sus dıgitos en modulo 3 y 9; es decir,a y la suma de sus dıgitos tienen el mismo residuo al dividirlos por 3 y el mismoresiduo al dividirlos por 9.

Conclusion. Un numero entero a es divisible por 3 (y por 9) si y solo si, la suma desus dıgitos es divisible por 3 (y por 9 respectivamente)

Ejemplo • 102, 210, 2100, 2001, 2301, son divisibles por 3

• 27, 270, 72, 720, 702, 7002, son divisibles por 9

2. Usar la congruencia para establecer un criterio de divisibilidad por 11

a = an10n + an−110

n−1 + . . .+ a3103 + a210

2 + a1101 + a0

Entonces se tiene:

a0 ≡ a0 (mod 11)

10 ≡ −1 (mod 11) −→ a110 ≡ −a1 (mod 11)

102 ≡ 1 (mod 11) −→ a2102 ≡ a2 (mod 11)

103 ≡ −1 (mod 11) −→ a3103 ≡ −a3 (mod 11)

......

10n ≡ (−1)n (mod 11) −→ an10n ≡ (−1)nan (mod 11)

Sumamos

a0 + a110 + a2102 + . . .+ an10

n = a0 − a1 + a2 − a3 + . . .+ (−1)nan (mod 11)

de donde

a = a0 − a1 + a2 − a3 + . . .+ (−1)nan (mod 11)

de donde podemos concluir que a es congruente con la suma alternada de sus dıgitosmodulo 11. a y la suma alternada de sus dıgitos tienen el mismo residuo en la di-vision por 11, entonces:

Conclusion. Un numero a es divisible por 11, si y solo si, la suma alternada desus dıgitos es divisible por 11.



Ejemplo • 11, 1111, 111111, son divisibles por 11

• 111, 11111 no son divisibles por 11

• 2233445566 es divisible por 11 porque

6− 6 + 5− 5 + 4− 4 + 3− 3 + 2− 2 = 0

Teorema 8.

Todo numero entero a se puede expresar en la forma

a =a0 + a1101 + a210

2 + . . .+ an10n

=(a2a1a0) + (a5a4a3)103 + (a8a7a6)10

5 + . . .

Teorema 9.

Todo entero a es congruente con

a2a1a0 − a5a4a3 + a8a7a6 − . . . (mod 7, 11, 13)

Este ultimo teorema indica que el residuo de la division por 7, 11 o 13 coincide con elresiduo de dividir el numero a2a1a0 − a5a4a3 + a8a7a6 − . . . por 7, 11 o 13

Ejemplo 12345678910 y 565 tienen el mismo residuo al dividir por 7, 11 o 13porque

565 = 910− 678 + 345− 12

entonces 12345678910 es divisible por 7, 11 y 13

Ejemplo Mostrar que los siguientes numeros son divisibles por 7, 11 y 13

• 123123 y 123-123=0 tienen el mismo residuo al dividir por 7, 11, 13 ypor tanto 123123 es divisible por 7, 11 y 13

• 547547 y 547-547=0 tienen el mismo residuo al dividir por 7, 11, 13 ypor tanto 547547 es divisible por 7, 11 y 13

Nota:

Como 7×11×13 = 1001 y todos 3 son primos, el criterio de divisibilidadanterior es tambien un criterio de divisibilidad por 1001


Criterios de Divisibilidad 65

Un Criterio Universal de Divisibilidad

Ya hemos analizado con bastante detenimiento los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9,11, etc. Pero cuando un numero es divisible por 7? o por 17?. A continuacion se presentaun criterio de divisibilidad, el cual permite resolver genericamente la pregunta siguiente:¿Cuando b (b ∈ Z) es un divisor de n (n ∈ Z)? o ¿Cuando n (n ∈ Z) es divisible por b(b ∈ Z)?, ademas, este criterio es de facil evocacion y de sencilla aplicacion

Teorema 10. Criterio 1 Universal de Divisibilidad

Si b es un numero entero no nulo y primo relativo con 10, entonces,

existe a un numero entero tal que para cualquier numero natural n, donden = 10d+ u; 0 ≤ u ≤ 9, se tiene que, b | n ←→ b | (d− au)

Ahora la pregunta que interesa resolver es la siguiente: ¿Como se puede determinar unvalor de a?. Pues bien, para ello tendremos en cuenta el siguiente teorema:

Teorema 11.

Si g es el maximo comun divisor de m y n, entonces, existen x, y ∈ Ztal que

g = mx+ ny

Como el teorema 10 establece que b es primo relativo con 10, entonces MCD(b, 10) = 1y por el teorema anterior tenemos que bx + 10y = 1 y si hacemos y = −a tenemosbx = 10a + 1, es decir, que (10a + 1) es un multiplo de b que termina en 1. Ahora,observese que b es un numero impar y ademas primo relativo con 10, entonces terminaen una de las siguientes cifras 1, 3, 7, 9. Para encontrar a basta entonces con buscar talmultiplo de b y de bx = 10a+ 1, despejar a. En consecuencia procedase ası:

• Si b termina en 1, hagase x = 10k + 1, con k ∈ Z




He aquı una pequena tabla

b 3 7 9 11 13 17 19 23 29 31 101 107

a 2 2 8 1 9 5 17 16 26 3 10 32

Por el criterio universal de divisibilidad, se puede afirmar, por ejemplo, que:

• 7 | n si y solo si 7 | (d− 2u)

• 13 | n si y solo si 13 | (d− 9u)

• 17 | n si y solo si 7 | (d− 5u)



• 19 | n si y solo si 7 | (d− 17u)

• 23 | n si y solo si 7 | (d− 16u)

• . . . . . . . . .

Ejemplo ¿335.257 es divisible por 13?

Aplicando el criterio 1 universal de divisibilidad tenemos

13 | 335.257←→ 13 | (33.525− 9(7))

←→ 13 | 33.46213 | 33.462←→ 13 | (3.346− 9(2))

←→ 13 | 3.32813 | 3.328←→ 13 | (332− 9(8))

←→ 13 | 26013 | 260←→ 13 | (26− 9(0))

←→ 13 | 26

ahora, como sabemos que 13 | 26, entonces concluimos que 13 | 335.257

Nota:

El criterio universal de divisibilidad, tambien se puede expresar haciendouso de la relacion de CONGRUENCIA. Esta forma permite abreviar loscalculos para determinar si un numero b divide o no a un numero n

Teorema 12. Criterio 2 Universal de Divisibilidad

Si c ≡ a (mod n) y n = 10d+ u; 0 ≤ u ≤ 9, entonces,

b | n ←→ b | (d− u)

Ejemplo ¿335.257 es divisible por 13?

Si c ≡ 9 (mod 13) y como 335.257 = 10(33.525) + 7, entonces

13 | 335.257←→ 13 | (33.525− (4780)(7))

←→ 13 | (33.525− 33.460)

←→ 13 | 65

Como 13 divide a 65, concluimos que 13 | 335.257


Ecuaciones Lineales de Congruencia 67

4.2 § Ecuaciones Lineales de Congruencia §Se trata ahora de estudiar el problema de resolucion de una ecuacion en x de la forma

a · x ≡ b (mod m) con 0 ≤ x < m

Los valores hallados para x se llaman la soluciones principales de la ecuacion de congruen-cia.

Ejemplo 3 · x ≡ 7 (mod 11) admite una solucion unica con 0 ≤ x < 11. Lasolucion es x = 6. En efecto, 3·6 ≡ 7 (mod 11) es decir 18 ≡ 7 (mod 11)Para obtener otras soluciones se adiciona k veces el modulo a la solucionprincipal. Entonces x = 6 + k · m tambien es solucion de la ecuaciondada.

Solucion general: x = 6 + k · 11 con k ∈ Z. Por ejemplo, cuando k = 2,x = 6+2×11 = 28, entonces 3 ·28 ≡ 7 (mod 11) pues 84÷11 da residuo7

Teorema 13.

Una condicion necesaria y suficiente para que la ecuacion ax ≡ b(mod m) tenga una solucion es que (a,m) | b. Ademas existen (a,m)soluciones

Nota:

Si x es solucion de la ecuacion ax ≡ b (mod m), entonces ax − b = kmy b = ax + (−k)m. Esta ultima expresion nos sirve para saber a quevalores de b es congruente ax, si se conoce x y se dan valores a k

Teorema 14.

Si (a,m) | b y si x es una solucion de

a

(a,m)x ≡ b

(a,m)

(

modm

(a,m)

)

entonces x tambien es una solucion de

ax ≡ b (mod m)

Ejemplo Aplicar el teorema anterior para hallar una solucion de 42x ≡ 50(mod 76)

Como (42, 76) = 2 y 2 | 50, entonces la ecuacion dada tiene solucion.Ahora, Dividimos la ecuacion dada por (42, 76)

42x

2≡ 50

2(mod

76

2) −→ 21x ≡ 25 (mod 38)

Esta ultima ecuacion tiene solucion porque (21, 38) = 1 y 1 | 25. Ahora,si 21x ≡ 25 (mod 38), entonces multiplicamos ambos lados por 2

2× 21x ≡ 2× 25 (mod 38) −→ 42x ≡ 50 (mod 38)

Ademas, como 42 ÷ 32 da residuo 4 y 50 ÷ 38 da residuo 12, entoncespara 4x ≡ 12 (mod 38) la solucion es x = 3 porque 4 · 3 ≡ 12 (mod 38).

Se ha hallado una solucion (x = 3) para 42x ≡ 50 (mod 38) que esla misma para 21x ≡ 25 (mod 38). Todas las soluciones de 21x ≡ 25(mod 38) son de la forma x = 3+ km o x = 3+ 38k. Estas tambien sonlas soluciones de 42x ≡ 50 (mod 76) pero k solo puede valer 0 o 1 paraque 0 ≤ x < m. Si k = 0 entonces x = 3; si k = 1, x = 41

Procedimiento para resolver ax ≡ b (mod m)

1. Verificar que (a,m) | b

2. Resolver la ecuacion

a

(a,m)x ≡ b

(a,m)(mod

m

(a,m))

3. Si x es una solucion de la ecuacion anterior y x <m

(a,m), entonces las soluciones

distintas (no congruentes entre si mod m) de ax ≡ b (mod m) son

x, x+m

(a,m), x+ 2

m

(a,m), . . . , x+ ((m, a)− 1)

m

(a,m)

es decir que hay (a,m) soluciones distintas.

Ecuaciones Lineales de Congruencia 69

Ejemplo Hallar todas las soluciones distintas de 30x ≡ 18 (mod 78) que esten enel intervalo 0 ≤ x < m

1) (a,m) = (30, 78) = 6, 6 | 18 y por tanto la ecuacion tiene solucion

2) 306 x ≡ 18

6 (mod 786 ) −→ 5x ≡ 3 (mod 13). Solucionamos esta

ultima ecuacion:

como x <m

(a,m)−→ x <

78

6−→ x < 13

Se ve facilmente que x = 11 porque 5×11 ≡ 3 (mod 13). Las solucionesde 30x ≡ 1878 son

11, 11 + 13, 11 + 2× 13, 11 + 3× 13 11 + 4× 13, 11 + 5× 13

o11, 24, 37, 50, 63, 76

todas distintas entre sı modulo 78

Problemas

1. Analizar la validez de las siguientes afirmaciones:(a) 11 ≡ (−1) (mod 6)

(b) 13 ≡ 0 (mod 2)

(c) 102 ≡ 10 (mod 3)

(d) 270 ≡ 15 (mod 5)4

(e) 31 ≡ (−18) (mod 7)

(f) 3 ≡ 3 (mod 2)

(g) 1 ≡ (−1) (mod 2)

(h) 90 ≡ (−1) (mod 1)3

2. Hallar el valor de b que haga que las siguientes congruencias sean validas

(a) 3 ≡ b (mod 4)

(b) 10 ≡ b (mod 5)

(c) 90 ≡ b (mod 1)3

(d) 31 ≡ b (mod 7)

3. Hallar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones de congruencia(a) 330x ≡ 42 (mod 273)

(b) 35x ≡ 14 (mod 182)

(c) 18x ≡ 0 (mod 15)

(d) 7x ≡ 1 (mod 11)

(e) 8x ≡ 0 (mod 13)

(f) 10x ≡ 2 (mod 22)

(g) 2x ≡ 1 (mod 7)

(h) 6x ≡ 3 (mod 21)

Capıtulo 5

Numeros Racionales Q

El conjunto de los numeros racionales esta conformado por todos los numeros de la formax

ydonde x, y ∈ Z y y 6= 0

Ejemplo Los siguientes numeros son racionales

−13

,4

5,

7

−2 ,2

2,1000

100,

0

38, 3

Se puede afirmar que N y Z son subconjuntos de Q y que hay racionales positivos ynegativos

Q =

{x

y| x, y ∈ Z, y 6= 0

}

= Q+ ∪Q− ∪ {0}

Si a, b ∈ Z, b 6= 0 entoncesa

b=−a−b ∈ Q+,

−ab

=a

−b = −a

b∈ Q−

N ⊂ Z ⊂ Q

71


Definicion 5.1. Racional Puro

Un numero racional a/b se llama un racional puro o irreductible si a noes multiplo de b o b no es multiplo de a.

Ejemplo Los siguientes numeros son racionales puros

1

3,

2

5,

7

4,−143

5.1 § Valor Absoluto en Q §

Definicion 5.2.

Sea xy = q ∈ Q, entonces

|q| =

q, si q ∈ Q+

0, si q = 0

−q, si q ∈ Q−

Ejemplo Valor Absoluto∣∣∣∣

3

4

∣∣∣∣=

3

4, |0| = 0,

∣∣∣∣

−35

∣∣∣∣=

3

5

Nota:

El valor absoluto de cualquier numero racional es un numero racional nonegativo

Definicion 5.3. Igualdad en Q

Sea ab ,

cd ∈ Q+, entonces

a

b=

c

dsi y solo si ad = bc

Sea ab ,

cd ∈ Q−, entonces

a

b=

c

dsi y solo si

∣∣∣a

b

∣∣∣ =

∣∣∣c

d

∣∣∣

dos numeros racionales negativos son iguales si sus valores absolutos soniguales


Operaciones Aritmeticas en Q 73

Definicion 5.4. Orden en Q+

Sea ab ,

cd ∈ Q+, entonces

a

b<

c

dsi ad < bc

Ejemplo3

2<

8

3porque 3× 3 < 2× 8

3

4>

2

3porque 3× 3 > 4× 2

Definicion 5.5. Orden en Q−

Sea ab ,

cd ∈ Q−, entonces

a

b<

c

dsi y solo si

∣∣∣a

b

∣∣∣ >

∣∣∣c

d

∣∣∣

Ejemplo−32

> −8

3porque

∣∣∣∣−3

2

∣∣∣∣=

3

2<

8

3=

∣∣∣∣−8

3

∣∣∣∣

−34

< −2

3porque

∣∣∣∣−3

4

∣∣∣∣=

3

4>

2

3=

∣∣∣∣−2

3

∣∣∣∣

Dados dos numeros racionales negativos, es menor el que tenga mayor valor absoluto.

Nota:

Si ab ∈ Q+, entonces a

b > 0 (todo racional positivo es mayor que 0). Siab ∈ Q−, entonces a

b < 0 (todo racional negativo es menor que cero)

5.2 § Operaciones Aritmeticas en Q §Suma

Seax

y,u

v∈ Q, entonces

x

y+

u

v=

xv + yu

yv


Resta

Seax

y,u

v∈ Q, entonces

x

y− u

v=

xv − yu

yv

Multiplicacion

Seaa

b,c

d∈ Q, entonces

a

b· cd=

a · cb · d

Division

Seaa

b,c

d∈ Q, entonces

abcd

=a

b· dc=

a · db · c

Potenciacion

Seaa

b,∈ Q, n ∈ Z+, entonces Sea r ∈ Q, m, n, p ∈ Z entonces

•(a

b

)n

=an

bn• rm · rn · rp = rm+n+p

•(a

b

)0

= 1, si a 6= 0, b 6= 0 • rm

rn= rm · r−n

•(a

b

)−n

=bn

an, si

a

b6= 0

1• (rm)

n= rm·n

Radicacion

Dado un numero a ∈ Q, entonces el numero r ∈ Q se llama raız n-esima de a si y solo sirn = a (donde n ∈ Z, n ≥ 2). Por ejemplo: la raız quinta de −1/32 es −1/2 porque

(

−1

2

)5

= − 1

32

Ahora, la raız cuadrada de 2/3 no existe, puesto que no hay un racional r = x/y tal que

r2 =x2

y2=

2

3

Existen pues raices que no pertenecen a Q y por tanto se hace necesario ampliar dichoconjunto.

Propiedades de la adicion y la multiplicacion en Q

I. Clausurativa

Six

y,u

v∈ Q −→

{xy + u

v ∈ Qxy · uv ∈ Q

II. Conmutativa

Six

y,u

v∈ Q −→

{xy + u

v = uv + x

yxy · uv = u

v · xy


Operaciones Aritmeticas en Q 75

III. Asociativa

Six

y,u

v,w

z∈ Q −→

xy +

(uv + w

z

)=

(xy + u

v

)

+ wz

xy ·

(uv · wz

)=

(xy · uv

)

· wz

IV. Existencia de elementos neutros: ∀x, y ∈ Q se verifica que

x

y+

0

1=

0

1+

x

y=

x

y

x

y· 11=

1

1· xy=

x

y

como 01 = 0, entonces el elemento neutro para la suma es 0

como 11 = 1, entonces el elemento neutro para el producto es 1

V. Existencia de inversos

• ∀xy ∈ Q existe otro elemento −xy ∈ Q tal que:

x

y+

(

−x

y

)

=

(

−x

y

)

+x

y= 0

−xy se llama el inverso aditivo de x

y

• ∀xy ∈ Q, xy 6= 0 existe otro elemento y

x ∈ Q tal que:

x

y· yx=

y

x· xy= 1

yx se llama el recıproco o inverso multiplicativo de x

y

VI. Distributiva de la multiplicacion respecto a la suma

x

y·(u

v+

w

z

)

=x

y· uv+

x

y· wz

(u

v+

w

z

)

· xy=

u

v· xy+

w

z· xy

Densidad en Q

Los numeros racionales tienen una propiedad importante que no poseen los sistemas〈N,+,×〉 y 〈Z,+,×〉 y es la propiedad de densidad, que enunciamos de la siguiente forma

Six

y,u

v∈ Q y

x

y6= u

v

entonces existe un numero racional entre xy y u

v , es decir, entre dos numeros racionalessiempre existe otro numero racional.

En conclusion: el conjunto Q es un conjunto denso


Ejemplo Consideremos dos racionales muy cercanos: 115 y 1

16 . Observamos que:

1

2

(1

15+

1

16

)

=31

480

es un numero racional tal que

1

16<

31

480<

1

15

Ejemplos de Operaciones en Q

Igualdad

• 3

5=

6

10porque 3× 10 = 5× 6

•∣∣∣∣−3

4

∣∣∣∣=

3

4porque

∣∣∣∣−3

4

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

3

4

∣∣∣∣es decir 3 · 4 = 4 · 3

• 2

7=

2

7· 55porque 2 · 7 · 5 = 7 · 2 · 5

Adicion

• 3

4+

1

5=

3 · 5 + 4 · 14 · 5 =

15 + 4

20=

19

20

• 7

4− 1

6=

7 · 6− 4 · 14 · 6 =

42− 4

24=

38

24=

19

12

Multiplicacion

• −54· 3

−2 =−5 · 34 · (−2) =

−15−8 =

15

8

• 7 · 15=

7 · 15

=7

5

Division

• −13÷ 7

4=−13· 47=−421

= − 4

21

• 5

8÷ −3

7=

5

8· 7

−3 =35

−24 = −35

24

Potenciacion

•(3

4· 53· 17· 49

)4

=

(3

4

)4

·(5

3

)4

·(1

7

)4

·(4

9

)4

=34

44· 5

4

34· 1

4

74· 4

4

94

•(1

2

)3

·(3

4

)3

·(2

3

)3

=

(1

2· 34· 23

)3

=

(6

24

)3

=

(1

4

)3

=1

43=

1

64

•[(

−1

2

)3]5

=

(

−1

2

)3×5

=

(

−1

2

)15

= − 1

215

•[(

1

2

)3

÷(1

2

)−2

]6

=

[(1

2

)3−(−2)]6

=

[(1

2

)5]6

=

(1

2

)30

=1

230

Representacion Decimal de Q 77

5.3 § Representacion Decimal de Q §Cuando se efectua la division del numerador por el denominador de cualquier numeroracional, el resultado obtenido se llama la representacion decimal del racional.

Ejemplo • El racional 18 se puede representar por el numero decimal 0.125 porque

1÷ 8 da 0.125

• El racional 5021 se representa por 2.380952380 . . . porque 50

21 =2.380952380 . . .

Definicion 5.6. Fracciones Decimales

Un racional a/b se llama fraccion decimal si b es una potencia de 10

b = 101 = 10

b = 102 = 100

b = 103 = 1000...

b = 10n = 1000 . . . 0︸︷︷︸

n veces

Definicion 5.7. Unidades Decimales

Se denominan unidades decimales a las fracciones decimales de numera-dor 1

Ejemplo • 1

10decimas

• 1

100centesimas

• 1

1000milesimas

• 1

10000diezmilesimas

En general, se dice que un racional a/b es en forma decimal cuando se expresa como elresultado de la division de a por b



Ejemplo 45678/13 es

Definicion 5.8. Fraccion Propia

Si en un racional el numerador es menor que el denominador, la fracciona/b se denomina fraccion propia y su representacion decimal tendra uncero en la posicion de las unidades.

Si el numerador es mayor que el denominador, la fraccion se llama im-propia y habra un valor diferente de cero en la posicion de las unidades

Ejemplo45

12= 3.75 (Fraccion impropia)

18

125= 0.144 (Fraccion propia)

Definicion 5.9. Decimal Periodico Exacto

Si en una fraccion a/b el residuo de la division es cero, la expresiondecimal de llama decimal periodico exacto; si el residuo de la divisionno es cero y el cociente se repite indefinidamente, la expresion decimalse llama decimal periodico no exacto

Ejemplo3

5= 0.6 (Periodico exacto, finito)

4

6= 0.666 . . . = 0.66 Periodico no exacto, infinito

2

7= 0.285714285714 . . . = 0.285714

Definicion 5.10. Decimal Periodico Puro

Se llaman decimales periodicos puros a aquellos numeros decimales cuyoperiodo que se repite empieza inmediatamente despues del punto decimal(o coma)

Se llaman decimales periodicos mixtos a aquellos numeros cuyo periodoque se repite no empieza a partir de la coma sino despues de algunascifras decimales


Representacion Decimal de Q 79

Ejemplo1

6=

1

2 · 3 = 0.1666 . . . = 0.16

7

30=

7

2 · 5 · 3 = 0.2333 . . . = 0.23

Teorema 15.

Si el racional a/b es tal que b contiene alguno de los factores primos 2

o 5 o ambos y algun otro distinto a estos, la representacion decimal es

periodica mixta. En caso contrario la representacion decimal es periodica

pura

Ejemplo14

30=

14

2 · 5 · 3 = 0.4666 . . . = 0.46

3

7= 0.428571

Teorema 16.

La condicion necesaria y suficiente para que el racional a/b sea igual a

una fraccion decimal es que el denominador b contenga unicamente los

factores primos 2 o 5 o ambos

Ejemplo3

50=

3

2 · 25 =3

2 · 52 =3 · 2

2 · 52 · 2 =6

100= 0.06

4

5=

4 · 25 · 2 =

8

10= 0.8

Fracciones Generatrices

Ahora estamos interesados en conocer de cual numero racional proviene una expresiondecimal mixta o pura conocida o dada; en otras palabras, nos interesa saber cual racionalgenero dicha expresion decimal.

El numerador de la fraccion generatriz de una expresion decimal periodica pura se obtienerestando la parte entera del numero entero positivo formado por la parte entera seguidadel periodo. El denominador es el numero formado por tantos nueves como cifras tengael periodo

Ejemplo Hallar el numero racional que da origen a 3.1592

3.1592 =31592− 3

9999=

31589

9999



Ejemplo La fraccion generatriz de 0.666 . . . = 0.6 es

0.6 =6− 0

9=

6

9=

2

3

El numerador de la fraccion generatriz de una expresion decimal periodica mixta, se ob-tiene restando el numerador formado por la parte entera seguida de la no periodica delnumero formado por estas, seguido del periodo.

El denominador es el numero formado por tantos nueves como cifras tiene el periodo,seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periodica.

Ejemplo El racional que da origen a 15.713451 es

15.713451 =15713451− 15713

999000=

15697738

999000=

7848869

499500

Ejemplo El racional que da origen a 0.416 = 0.4161616 . . . es

r =416− 4

990=

412

990=

206

495

El numerador del fraccion generatriz de una expresion decimal exacta es el numero for-mado por la parte entera seguida de la parte decimal. El denominador es 10k donde k esel numero de cifras de la parte decimal

Ejemplo El racional que da origen a 53.72117 es

r =5372117

105=

5372117

100000

5.4 § Reduccion de Fraccionarios §Con frecuencia, cuando un numero racional esta en forma de fraccion, esta fraccion seexpresa en forma reducida si el MCD del numerador y el denominador es 1.

Para reducir una fraccion a su forma racional mas simple, es necesario dividir el nu-merador y el denominador por el MCD de ellos mismos

Ejemplo Reducir la fraccion 54/90

Primero hallamos MCD(54, 90) = 18.

Luego dividimos numerador y denominador por el MCD

54

90=

54÷ 18

90÷ 18=

3

5

Ejemplo Expresar el decimal 0.65 como una fraccion reducida

0.65 =65

100; El MCD(65,100)=5 −→ 65

100=

65÷ 5

100÷ 5=

13

20


Comparacion y Orden en los Racionales 81

Ejemplo Expresar 0.6 como una fraccion reducida.

Sea N = 0.6. Multiplicamos a N por 10 porque solo se repite un dıgito

10N = 6.666 . . .

A esta expresion le restamos N = 0.666 . . . para eliminar la parte que serepite

10N −N = 6.666 . . .− 0.666 . . .

Entonces

9N = 6 −→ N =6

9−→ N =

6÷ 3

9÷ 3=

2

3

es decir que

0.6 =2

3

Nota:

Observese que este procedimiento conduce a hallar la fraccion generatrizde un decimal periodico

Ejemplo Expresar 4.23 como una fraccion reducida.

Sea N = 4.23. Multiplicamos a N por 100, porque se repiten dos dıgitos:100N = 423.23. A esta expresion le restamos N = 4.23

100N −N = 423.23− 4.23 −→ 99N = 419 −→ N =419

99

como 419 es primo, MCD(419, 99) = 1 entonces

N =419

99= 4 +

23

99= 4

23

99

5.5 § Comparacion y Orden en los Racionales §

Cuando se requiere comparar dos fracciones (racionales) para establecer cual es mayor,se reescribe cada fraccion de modo que ambos tengan el mismo denominador y ası ya sepuede hacer mas facilmente la comparacion, solo se necesita comparar los numeradores.


Ejemplo Comparar 5/6 con 7/9

• Hallamos el MCM de los denominadores:

MCM(6, 9) = 2× 32 = 18

• Escribimos cada fraccion de modo que ambos tengan el mismo denom-inador, el MCM de estos

5

6=

5× 3

6× 3=

15

18,

7

9=

7× 2

9× 2=

14

18

como

15

18>

14

18−→ 5

6>

7

9

Ejemplo En Kenia Africa el lenguaje oficial es el Swahili y es hablado solo por el1% de la poblacion. 1/5 de la poblacion habla el Kikuyu y 7/50 de lapoblacion habla el Luo. ¿Cual de estos ultimos dos lenguajes es el mashablado?

Se necesita averiguar cual fraccion es mayor, 1/5 o 7/50

• El MCM de los denominadores es MCM(5, 50) = 50

• Escribimos cada fraccion con denominador 50

1

5=

1× 10

5× 10=

10

50

como10

50>

7

50−→ 1

5>

7

50

entonces el Kikuyu es mas hablado que el Luo.

Nota:

Otra forma de comparar numeros racionales consiste en convertirlos ennumeros decimales y hacer la comparacion entre estos decimales

Ejemplo Comparar 9/16 con 7/10

9

16= 0.5625

7

10= 0.7

como

0.5625 < 0.7 −→ 9

16<

7

10

Ordenacion de Expresiones Decimales Finitas

Para ordenar numeros decimales finitos y saber cual es el mayor o menor, aplicamos unaregla que consta de los siguientes pasos:

Comparacion y Orden en los Racionales 83

1. Se comparan las partes enteras, siendo mayor el que tiene la parte entera mayor

2. Si las partes enteras son iguales, comparamos las decimas, siendo mayor aquelnumero que tiene un numero mayor de decimas

3. Si la cifra de las decimas es igual, comparamos las centesimas y procedemos asısucesivamente hasta agotar todas las cifras decimales

Ejemplo Ordenar en forma descendente los siguientes decimales:

4.35, 3.3521, 4.3521, 3.353, 0.335

El orden es

4.3521 > 4.35 > 3.353 > 0.335

Descomposicion de un Numero Decimal

Nuestro sistema de numeros es un sistema posicional donde cada cifra o dıgito tiene unvalor especıfico segun la posicion que ocupe en el numeral.

En base 10 la notacion expresa que el valor de cada lugar inmediatamente a la izquierdade otro es 10 veces mayor que el valor de este ultimo.

El valor de la posicion inmediatamente a la derecha de una posicion dada es un decimodel valor de esa posicion.

Por tanto, un numero en nuestro sistema decimal esta compuesto de las siguientes partes

Ejemplo el numero 234,567 esta compuesto ası:

2 cent. + 3 dec. + 4 und. + 5 decimas + 6 centesimas + 7 milesimas

2× 102 + 3× 101 + 4× 100 + 5× 1

10+ 6× 1

100+ 7× 1

1000

Ejemplo Expresar en forma polinomica el siguiente numero 7465132,143528

La forma polinomica es:

7× 106 + 4× 105 + 6× 104 + 5× 103 + 1× 102 + 3× 101 + 2× 100

+1× 10−1 + 4× 10−2 + 3× 10−3 + 5× 10−4 + 2× 10−5 + 8× 10−6



Ejemplo Expresar en forma polinomica 0.001

0× 100 + 0× 10−1 + 0× 10−2 + 0× 10−3 + 1× 10−4

Ejemplo Pasar a notacion decimal posicional la siguiente expresion

2× 103 + 5× 102 + 8× 101 + 2× 100 + 2× 10−1 + 2× 10−2 + 3× 10−3

El numero en notacion posicional sera

2000 + 500 + 80 + 2 + 0.2 + 0.02 + 0.003 = 2582.223

5.6 § Notacion Cientıfica §La notacion cientıfica es una forma de expresar numeros grandes o muy pequenos enforma tal que solo contengan una cifra entera y una parte decimal, todo esto multiplicadopor una potencia de 10

Ejemplo 32000000 se escribe en notacion cientıfica como

3.2× 107

Ejemplo Escribir en notacion cientıfica los siguientes valores

a) 3.75 millones −→ 3.75× 106

b) 14 billones −→ 1.4× 1013

c) 0.000068 −→ 6.8× 10−5

d) 0.00000023 −→ 2.3× 10−7

Ejemplo Expresar en forma estandar (decimal)

a) 4.1108× 106 −→ 4110800

b) 9.05× 109 −→ 9050000000

c) 6.08× 10−5 −→ 0.0000608

Conclusion: Un numero escrito en notacion cientıfica consta de un numero entre 1 y 9multiplicado por una potencia de 10 de exponente positivo o negativo. Para hallar elexponente de 10 se cuenta el numero de lugares que se mueve el punto decimal. Si elpunto se mueve hacia la derecha el exponente es negativo; si el punto se mueve hacia laizquierda, el exponente es positivo.

Ejemplo a) 0.00528 −→ 0.00528 = 5.28× 10−3

b) 52800 −→ 52800 = 5.28× 104


Notacion Cientıfica 85

Operaciones con Numeros en Notacion Cientıfica

1. Multiplicacion

(a)

(7.44× 10−5)(4.15× 102) = 7.44× 4.15× 10−5 × 102 =

= 30.876× 10−3 = 3.0876× 10−2

(b)

(8.7× 1018)(4.9× 10−6) = 8.7× 4.9× 1018 × 10−6 =

= 42.63× 1012 = 4.263× 1013

2. Division

(a)

2.4015× 1020

5.35× 1014=

2.4015

5.35× 106 = 0.44887× 106 = 4.4887× 105

(b)

7.25× 10−2

1.32× 10−5= 5.4924× 103

3. Potenciacion

(a)

(0.00392)−3 = (3.92× 10−3)−3 = 3.92−3 × 109

(b)

[(170)2]13 = [(1.7× 102)2]13 = 1.726 × 1052 =

= 981006.66× 1052 = 9.8100666× 1057

4. Radicacion

(a)√

1.12× 104 = (1.12× 104)1/2 = 1.06× 102

(b)6

√

4.28× 105 = (4.28× 105)1/6 = 4.281/6 × 105/6

Problemas

1. ¿Cual es la diferencia entre el 40% de una cantidad y los dos quintos de esa mismacantidad?

2. ¿Cuantos decimales tiene la fraccion 12000?



3. Escriba las fracciones mixtas correspondientes a las fracciones impropias: 32 ,

1510 ,

94 ,

1009 , 76

12

4. Represente las siguientes fracciones en forma decimal: 7/9, 18/5, 12/11, 5/33, 1/14,13/15, 26/99, 5/101

5. Obtenga la fraccion generatriz de las siguientes expresiones decimales:

(a) 0.235

(b) −5.171717 . . .(c) 3.1513

(d) −7.03252525 . . .(e) 19.09

(f) −0.714285(g) 0.000252525 . . .

6. Resuelva los siguientes ejercicios de conversion de fracciones entre los sistemas derepresentacion que se indican:

(a) 4/5 a decimal

(b) 2.5 a fraccion numerica

(c) 200% a decimal

(d) 13/20 a porcentaje

(e) 7 a porcentaje

(f) 6/2 a decimal

(g) 6/2 a porcentaje

7. Halle la fraccion irreducible en cada caso: 28/140, 36/24, 18/108, 13/65, 42/60,76/12, 54/24, 56/24, 15/16

8. Expresar cada decimal como una fraccion o un numero mixto reducido

a) 0.73

b) 0.53

c) 0.42

d) −0.234

e) −2.6f) 9.06

g) −3.18h) 5.2325

9. Determine si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:

(a) 35 y 24

40

(b) 1824 y 39

52

(c) 933 y 54

200

(d) 6024 y 35

14

(e) 27100 y 3

11

10. La longitud del monstruo del lago encantado es de 20 metros, mas la mitad de supropia longitud. ¿Cuanto mide de largo el monstruo?



11. En cada una de las sucesiones siguientes, averiguar el valor de la fraccion omitida:

(a) 1110 ,

97 ,

74 , . . .,

(b) 1218 ,

812 ,

1015 ,

1421 ,

23 , . . .,

12. La diferencia entre el 60% y el 45% de un numero es 30. ¿De que numero se trata?

13. Un sastre compro la mitad de 9 metros de tela y utilizo 4 12 metros. ¿Cuanta tela

sobro?

14. Descomponer forma polinomica los siguientes numeros(a) 0.95478

(b) 47910.0035

(c) 3.0074

(d) 1110.0111

15. Pasar a notacion decimal las siguientes expresiones

(a) 4× 104 + 7× 105 + 9× 104 + 2× 10−1 + 6× 10−2

(b) 6× 106 + 1× 103 + 7× 10−2 + 6× 10−4

16. Indique cuales de las siguientes expresiones no representan a la fraccion 4/3:

(a) 1.333 . . .

(b) 13 × 4

(c) 1 + 13

(d) 1 13

(e) 133%

17. ¿Cuantos libros hay en una biblioteca, si al intentar sumar la mitad mas la terceray la cuarta parte de los mismos nos excederıamos en 3 del total de los libros?

18. Si mn + 6

8 = 34 , ¿cuanto vale m? ¿Y n?

19. En una casa de tres pisos, los dos primeros juntos miden 5 18 m de altura. Si la

altura total de la casa es de 7 34 m, ¿cual es la altura del tercer piso?

20. Diana tiene 17 14 anos de edad. ¿Cuantos anos tiene su hermana, si es 2 3

4 anos masjoven que Diana?

21. ¿Cuanto es el doble de 1/2, mas la mitad de 1/2?

22. ¿Cuantos litros tiene un recipiente que se ha llenado con los 5/6 de 12 botellas de1/2 litro cada una?

23. Dos quintas partes de un numero es el doble de 15. ¿Cual es el numero?

24. ¿Cuantas unidades hay que agregar al denominador de 2/3 para que la fraccion sereduzca a su mitad?

25. Vaciando 18 litros de gasolina en el tanque de un carro, el indicador del nivel degasolina pasa de 1/4 a 5/8 de tanque. ¿Cual es la capacidad total del tanque?

26. Un equipo de futbol tiene que ganar, al menos, 3/5 de todos sus partidos si quierepasar a la fase final. Hasta ahora, de 12 partidos solo ha ganado el 50%. Si faltan13 partidos, ¿cuantos de estos debe ganar, al menos, para clasificar a la fase final?



27. ¿Cual es el 50% del 150% de 50?

28. Llevo dos dıas leyendo una novela. Ayer leı la mitad del libro y hoy la tercera partede lo que me quedaba. ¿Que fraccion del libro me falta por leer?

29. Una piscina vacıa se llena con el agua de un grifo en 2 horas y, una vez llena, puedevaciarse en 3 horas por un desague ubicado en el fondo. Si con la piscina vacıa y eldesague abierto, alguien, distraıdamente, abre el grifo, ¿al cabo de cuanto tiempoempezara a desbordarse el agua de la piscina?

30. En un salon hay 99 ninas y 1 nino. ¿Cuantas ninas tienen que salir del salon paraque las que queden representen el 98% del total de infantes que quedan en el salon?

31. En un almacen se produjo una invasion de insectos daninos. A pesar de que sefumigo con un determinado producto, los insectos no han desaparecido. Consultadosobre el caso, otro experto asegura que ese insecticida pierde cada semana un 25%de la toxicidad que mostraba la semana anterior. Si, actualmente, el insecticida yaha llegado a tener menos del 20% del agente toxico que mata a los insectos, ¿hacecuantas semanas que se fumigo?

32. Decida si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa:

(a) El valor de una fraccion no varıa si se multiplican numerador y denominadorpor una misma cantidad > 1

(b) Idem, si se suma o resta una misma cantidad > 0 al numerador y al denomi-nador

(c) La suma de dos fracciones propias es siempre mayor que la unidad

(d) La suma de dos fracciones es siempre mayor que cada una de ellas

(e) La suma de dos fracciones propias no puede ser nunca un numero entero

(f) En alguna oportunidad, el producto de dos fracciones puede ser igual a una deellas

(g) Al dividir una fraccion entre otra, el resultado nunca puede ser mayor que laprimera fraccion

(h) Al multiplicar dos fracciones, el producto siempre es mayor que cada una deellas

33. El 70% de los habitantes de un paıs habla un idioma y el 60% de los mismoshabitantes habla otro idioma. Si cada habitante habla al menos 1 idioma, ¿queporcentaje de los mismos habla los dos idiomas?

34. Si a los 2/3 de un numero se le suman 24 unidades, se obtiene el doble del numero.¿De que numero se trata?

35. Se ha recibido un determinado numero de solicitudes para un empleo. La mitadha sido rechazada por no cumplir los requisitos. Otros 3 candidatos se excluyendespues de la entrevista. El resto, 2/5 del numero inicial de candidatos, pasa a otraetapa de seleccion. ¿Cuantas solicitudes se recibieron?

36. Hallar la mitad de los tres cuartos de dos tercios.

37. Llevo recorridos 7/15 de un camino y aun me falta 1/3 de km para llegar a la mitad.¿Cual es la longitud del camino?



38. Tres numeros naturales consecutivos son tales que 2/3 del mayor mas 2/5 del inter-medio suman igual que el menor mas 3 unidades. ¿Cuales son los numeros?

39. Rosa ha pasado 2/5 de sus vacaciones en la casa de su hermano; 1/3, en la desu abuelita; 1/5, en un campamento, y 3 dıas de retiro. ¿Cuanto duraron susvacaciones?


Capıtulo 6

Razones y Proporciones

6.1 § Razones §

Definicion 6.1. Razon

Razon es la relacion que se establece entre dos cantidades de la mismaespecie, considerando al compararlas, que multiplo, parte o partes, esuna cantidad de la otra

Una razon expresa el numero de veces que una cantidad contiene a otra; en consecuenciatoda razon es una cantidad abstracta.

Ejemplo El poker es un juego de cartas formado por 52 cartas distribuidas en 4palos: trebol, corazon, picas y diamantes. 13 cartas de cada palo

Palos 1 al 10 J Q K Total

Picas 10 1 1 1 13

Corazones 10 1 1 1 13

Treboles 10 1 1 1 13

Diamantes 10 1 1 1 13

52

Las figuras son J, Q, K 3 para cada palo, 12 en total. El numero defiguras con relacion al total de cartas es 12 a 52 o 12 : 52 o 12/52 o 12 de52. El numero de diamantes con relacion al total es 13 a 52 o 13 : 52 o13/52 o 13 de 52. Tambien se puede decir que las figuras estan en razon12 a 52 con relacion al total

Una forma comun de expresar una razon es como una fraccion reducida

Ejemplo 12/52 = 3/13. Se obtiene el MCD de 12 y 52 que es 4 y se divide elnumerador y el denominador por el MCD

91


Ejemplo De un conjunto de 10 vehıculos, 4 son Ford. En que razon se encuentranlos vehıculos Ford con relacion al total de vehıculos?.

Los Ford son 4 de 10 es decir 4 : 10 = 4/10 = 2/5 ası que 2/5 de losvehıculos del conjunto son Ford o tambien decimos que hay 2 Ford porcada 5 vehıculos.

Nota:

Para que dos cantidades se puedan comparar o expresar en forma derazon, deben estar expresadas en la misma magnitud.

Ası, la razon de 2m a 15dm se expresa como

2× 10

15es decir

4

3de decımetro

Definicion 6.2. Tasa

Si las dos cantidades tienen unidades diferentes (es decir que son dediferente especie) la razon entre ellas se llama tasa

Ejemplo Cual es la tasa de velocidad de un movil que recorre 125Km en 2 horas?

Tasa125Km

2hora=

62.5

1

Km

h= 62.5Km/h

En general, una tasa es una razon de dos medidas expresadas en diferentes medidas.Generalmente, las tasas se expresan en forma tal que el denominador es 1.

Ejemplo En cierta region del paıs la precipitacion de lluvia es de 7cm3 en 28 dıas.Cual es la tasa de precipitacion por dıa

Tasa por dıa =7cm3

28dias=

0.25cm3

1= 0.25cm3 por dıa

Ejemplo 18.32 onzas del producto x valen $5839. Cual es el precio por onza

Tasa =$5839

18.32onzas= $318.72 por onza

Definicion 6.3.

La razon de A a B se expresa como A : B o A/B. Las cantidadesA y B se llaman terminos de la razon, al primer termino se le llamaantedecedente y al segundo se le llama consecuente


Razones 93

Propiedades de las Razones

I. El valor de una razon no se altera si el antecedente y el consecuente se multi-plican o se dividen por la misma cantidad

a

b=

ma

mb, la razon a : b es igual a la razon ma : mb

II. Dos o mas razones pueden ser comparadas reduciendo sus fracciones equiva-lentes a un denominador comun

a : b y x : y, −→ a

b=

ay

bxy

x

y=

bx

by

a : b > x : y si ay > bx

a : b < x : y si ay < bx

a : b = x : y si ay = bx

III. La razon de dos fracciones puede expresarse como una razon de dos enteros.

La razona

b:c

dse mide por la fraccion

abcd

=ad

bc−→ ad : bc

Definicion 6.4. Cantidades Conmensurables

Si la razon de dos cantidades cualesquiera puede ser expresada exacta-mente por la razon de dos enteros, dichas cantidades se llaman conmen-surables; si no se verifica esto, se les llama inconmensurables.

Ejemplo 2302/38 Razon de cantidades conmensurables

√5/4 Razon de cantidades inconmensurables

Definicion 6.5. Razon Compuesta

Razon compuesta es la que resulta de multiplicar varias razones

Ejemplo2a

3b× 6ab

5c2× c

a=

4a

5c

Definicion 6.6. Razon Duplicada

Cuando la razon a : b es compuesta con ella misma, la razon resultantees a2 : b2 y se llama razon duplicada. De igual manera se obtiene a3 :b3, . . . , an : bn

Ejemplo La razon duplicada de 2a : 3b es 4a2 : 9b2

La razon triplicada de 2x : 1 es 8x3 : 1

Definicion 6.7.

Una razon es de mayor desigualdad cuando el antecedente es mayor; es demenor desigualdad cuando el antecedente es menor que el consecuente;es de igualdad cuando el antecedente es igual al consecuente

Teorema 17.

Una razon de mayor desigualdad disminuye si se le suma a los dos

terminos una misma cantidad. Una razon de menor desigualdad

aumenta si se le suma a los dos terminos una misma cantidad

Si a > b −→ a

b>

a+ x

b+ x

Si a 

7 + 5

3 + 5

7

3>

12

8

Si x se resta de los dos terminos de la desigualdad, entonces

Si a > b −→ a

b<

a− x

b− x

Si a 

a− x

b− x

Ejemplo9

7y x = 2 −→ 9

7<

9− 2

7− 2−→ 9

7<

7

5

4

5y x = 2 −→ 4

5>

4− 2

5− 2−→ 4

5>

2

3

Proporciones 95

6.2 § Proporciones §

Definicion 6.8. Proporcion

Cuando dos razones son iguales, se dice que las cuatro cantidades quelas componen son proporcionales. Ası, si a

b = cd ,entonces a, b, c, d son

proporcionales y se nota como

a : b :: c : d o a : b = c : d

Los terminos a y d se llaman extremos y los terminos b y c se llaman medios. Por definicion

a

b=

c

d←→ ad = bc

Si se conocen tres terminos cualesquiera de una proporcion, puede encontrarse el cuarto.Ası, si se conoce a, c, d el cuarto termino sera b = ad

c

Ejemplo Para las razones 15/3 y 45/9 los extremos son 15 y 9; los medios son3 y 45. Como 15 × 9 = 135 y 3 × 45 = 135, entonces el producto delos extremos es igual al producto de los medios y por lo tanto las dosrazones son iguales es decir que forman una proporcion:

15

3=

45

9

Ejemplo Si5

3=

c

6entonces 5× 6 = 3c y por tanto c =

30

3= 10

Series de Razones Iguales

Una expresion de la forma3

2=

15

10=

30

20= · · ·

se denomina una serie de razones iguales.

Teorema 18.

En una serie de razones iguales, la suma de los antecedente dividida

entre la suma de los consecuentes es igual a cualquiera de las razones

dadas. Es decir que

sia

b=

c

d=

e

f−→ a+ c+ e

b+ d+ f=

a

bo

c

do

e

f

Ejemplo1

2=

3

6=

4

8−→ 1 + 3 + 4

2 + 6 + 8=

8

16=

1

2=

3

6=

4

8



Teorema 19.

Sia

b=

c

d=

e

f= · · ·

entonces cada una de estas razones es igual a

(pan + qcn + ren + · · ·pbn + qdbn+ rfn + · · ·

)1/n

donde p, q, r, n son enteros

Ejemplo Sea2

3=

6

9=

4

6, P = 3, q = 2, r = 5, n = 3

3

√

3× 23 + 2× 63 + 5× 43

3× 33 + 2× 93 + 5× 63=

2

3=

6

9=

4

6

Definicion 6.9. Proporcion Continua

Se dice que varias cantidades estan en proporcion continua cuandola primera es a la segunda, como la segunda es a la tercera, como latercera es a la cuarta, etc. Ası, a, b, c, d, . . . estan en proporcion continuacuando

a

b=

b

c=

c

d= . . .

Si 3 cantidades a, b, c forman una proporcion continua se tiene

a

b=

b

c−→ ac = b2

En este caso se dice que b es media proporcional entre a y c y que c es tercera proporcionala a y b

Teorema 20.

Si 3 cantidades forman una proporcion continua, la razon de la primera

a la tercera es igual a la razon duplicada de la primera a la segunda. Es

decir que

sia

b=

b

c−→ a

c=

a

b× b

c=

a

b× a

b=

a2

b2−→ a : c = a2 : b2


Magnitudes Proporcionales 97

Teorema 21.

Sia

b=

c

d, y

e

f=

g

h−→ ae

bf=

cg

dh

Demostracion. Sia

b=

c

d, y

e

f=

g

h

entoncesa

b· ef=

c

d· gh−→ ae

bf=

cg

dh

Corolario:

Sia

b=

c

d, y

b

x=

d

y−→ a

x=

c

y

Propiedades de las Proporciones

I. Sia

b=

c

d−→ a

c=

b

d,

d

b=

c

a,

d

c=

b

a

II. Sia

b=

c

d−→ a+ b

b=

c+ d

dy

a− b

b=

c− d

d

III. Sia

b=

c

d−→ a

a± b=

c

c± d

IV. Sia

b=

c

d−→ a+ b

a− b=

c+ d

c− d

V. Sia

b=

c

d=

e

f−→ a+ c+ e

b+ d+ f=

a

b=

c

d=

e

f

6.3 § Magnitudes Proporcionales §

Definicion 6.10. Proporcionalidad Directa

Se dice que una magnitud A es directamente proporcional a otra B oque varıa proporcionalmente a B, cuando la razon de dos valores de laprimera es igual a la razon de los valores correspondientes en la segunda.

En otras palabras, A y B son directamente proporcionales cuandola razon de sus medidas es constante.



Ejemplo Se esta llenando un recipiente con un lıquido de tal manera que cadasegundo el volumen del lıquido aumenta en 5 litros. La cantidad delıquido y el tiempo seran cantidades directamente proporcionales porquela razon del volumen (V ) al tiempo (T ) es constante e igual a 5

Tiempo Volumen V/T

1 seg 5lts 5/1 = 5

2 seg 10lts 10/2 = 5

3 seg 15lts 15/3 = 5

Ejemplo Si un tren con movimiento uniforme recorre 40km en 60min, recorrera20km en 30min, 80km en 120min, etc; la razon de dos espacios (40 : 20)es igual a la razon de los tiempos correpondientes (60 : 30)

20km

30min=

40km

60min−→ 30min

20km=

60min

40km−→ 40km

20km=

60min

30min

entonces

40 : 20 = 60 : 30

En un movimiento uniforme el espacio es proporcional al tiempo

Definicion 6.11.

Si m es la medida de la cantidad A y n la de la cantidad B y A y B sondirectamente proporcionales,entonces

mn = k = constante de proporcionalidad

ym = kn −→ A = kB

Definicion 6.12. Magnitudes Inversamente Proporcionales

Una magnitud A es inversamente proporcional a otra B, cuando A esdirectamente proporcional a la recıproca de B. Ası, si A es inversamenteproporcional a B, entonces A = k/B, k constante, entonces A ·B = k

Definicion 6.13.

Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando el producto desus medidas es constante


Magnitudes Proporcionales 99

Ejemplo Si 6 hombres hacen determinado trabajo en 8 horas y 12 lo hacen en 4horas, entonces 2 hombres lo haran en 24 horas. El numero de hombreses inversamente proporcional al tiempo empleado, pues si se multiplicael numero de hombres por 2 el tiempo se reduce a la mitad y viceversa

Definicion 6.14.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar unacantidad cualquiera de ellas por un numero cualquiera, la correspon-diente cantidad de la otra queda dividida por el mismo numero

Ejemplo La siguiente tabla muestra las medidas de todos los rectangulos quetienen area 60cm2 y cuyo ancho y largo son numeros enteros

Ancho 1 2 3 4 5 6

Largo 60 30 20 15 12 10

Observese que a medida que el ancho aumenta, el largo disminuye pro-porcionalmente porque el producto del ancho y el largo correspondiente,siempre es 60.

Si se aumenta el ancho se necesita menos largo para llegar a 60. Si seaumenta el largo se necesita menos ancho para llegar a 60

Ejemplo El tiempo empleado por un auto para recorrer una cierta distancia es in-versamente proporcional a la velocidad, porque a mayor velocidad menostiempo y a menor velocidad mas tiempo. Supongamos que la distanciaes d = 100Km

Si v = 100Kh/h −→ t = 1 100 · 1 = 100

Si v = 50Kh/h −→ t = 2 50 · 2 = 100

Si v = 25Kh/h −→ t = 4 25 · 4 = 100

Definicion 6.15.

Una magnitud es directamente proporcional a otras varias, cuando loes directamente a su producto. Es decir, si A = mbc entonces A esdirectamente proporcional a B, A es directamente proporcional a C



Ejemplo El rendimiento producido por un capital es directamente proporcionalal capital invertido, al tiempo y a la tasa de interes.

Definicion 6.16.

A es directamente proporcional a B e inversamente a C cuando A esproporcional a B/C

Ejemplo En la teorıa de los gases se encuentra experimentalmente que la presion pde un gas es directamente proporcional a la temperatura t cuando su vol-umen v se mantiene constante, e inversamente proporcional al volumencuando la temperatura permanece constante; esto es

p ∝ t, cuando v es constante

p ∝ 1v , cuando t es constante

p ∝ tv , cuando t y v son variables

Entonces pv = kt, k constante

Ejemplo La duracion de un viaje de un tren a vapor varıa directamente a ladistancia e inversamente a la velocidad. La velocidad es directamenteproporcional a la raız cuadrada de la cantidad de carbon consumido porkilometro, e inversamente proporcional al numero de vagones del tren.Para recorrer 40Km en 1/2h y con 18 vagones, consume 560Kgr. decarbon. Cuanto carbon se consumira en un viaje de 30Km hecho en 28minutos y con 16 de vagones?

t = tiempo en horas q =Kgrs. de carbon consumido/Km.

d distancia en Km. c = numero de vagones

v = velocidad en Km/h

Segun el enunciado:

t ∝ d

vy v ∝

√q

c

entonces

t ∝ d√q/c

−→ t ∝ cd√q−→ t = k

cd√q, k constante

sustituyendo por los valores dados se tiene:

q =560Kg

40Km= 14Kg/Km,

1

2= k

18× 40√14

entonces


Regla de Tres 101

k =

√14

18× 40× 2=

√14

1440−→ t =

√14

1440· cd√

q

sustituyendo ahora los valores t, c, d dados por el problema tenemos

28

60=

√14

1440· 16× 30√

q−→ √

q =

√14

1440· 16× 30× 60

28=

5√14

7=

50

7

es decir 50 Kgrs. por cada 7 kilometros. En total requiere

50

7× 30 = 214.4 Kg de carbon

6.4 § Regla de Tres §El metodo matematico conocido como regla de tres no es mas que la solucion de unaproporcion, donde se conocen 3 terminos y se desconoce el 4 termino.

a) La regla de tres simple directa es un metodo para resolver problemas en los queintervienen dos magnitudes directamente proporcionales

b) cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales, se tiene unproblema de regla de tres simple inversa

Ejemplo Un movil recorre a velocidad constante 100Km en 2 horas. Cuantos Kmrecorrera en 10 horas?

La distancia recorrida y el tiempo empleado son directamente propor-cionales. Sea x la distancia buscada

distancia tiempo

100Km 2h

x 10h

Entonces100

2=

x

10y ası2x = 100× 10 −→ x = 500 +Km

Ejemplo Si 25 puntos de evaluacion de un test corresponden a una nota o califi-cacion de 5, que nota le corresponde a una evaluacion de 17.5 puntos

puntos nota

25 5

17.5 x

Entonces

25

5=

17.5

x−→ x =

17.5× 5

25= 3.5



Ejemplo Con cierta cantidad de dinero se pueden comprar 15 artıculos de$5000c/u. Si se aumenta el precio de cada artıculo a $7500, cuantosartıculos se pueden comprar con la misma cantidad de dinero?

El precio y el numero de artıculos comprados son inversamente pro-porcionales. Sea x el numero de artıculos comprados al nuevo precio,entonces

precio artıculos

5000 15

7500 x

Entonces

5000

7500=

x

15−→ x =

5000× 15

7500−→ x = 10

Ejemplo Cinco hombres trabajando al mismo ritmo demoran 20 dıas en hacer untrabajo. Cuantos dıas demoraran 25 hombres?

El numero de trabajadores y el tiempo empleado son inversamente pro-porcionales. El producto de sus medidas es constante: 5 × 20 = k. Seax el tiempo buscado y k la constante de proporcionalidad

hombres tiempo

5 20dıas

25 xdıas

Entonces

x =5× 20

25=

100

25= 4 dıas

Ejemplo 3 maquinas hacen 120m de carretera en un dıa. Cuantas maquinas senecesitan para hacer 400m?

El numero de maquinas y la cantidad de trabajo son directamente pro-porcionales. Sea x el numero de maquinas buscado

maquinas metros

3 120

x 400

Entonces

3

120=

x

400−→ x =

3× 400

120= 10 maq.

6.5 § Magnitudes Proporcionales a Varias §

En algunas situaciones se necesita trabajar con magnitudes que dependen simultaneamentede otras, tanto en forma directamente proporcional como en forma inversa


Regla de Tres Compuesta 103

Ejemplo El numero de dıas (t) empleados para realizar una obra depende de lassiguientes magnitudes

a Numero de obreros

b Horas trabajadas al dıa

c Dificultad de la obra

Observese que t es inversamente proporcional a a) y b); c) es directa-mente proporcional a a), b) y t

Propiedad Fundamental de la Proporcionalidad Compuesta

Si A es proporcional a B, C y D, la razon de dos cantidades cualesquiera de

A es igual al producto de las razones correspondientes en B, C y D, escritas

en forma directa o inversa de acuero a si la proporcionalidad de A con B, C

y D es directa o inversa

Ejemplo Supongase que A es proporcional a B y C e inversamente proporcionala D. Si a1, a2 de A les correponden los valores b1 y b2 de B, c1 y c2 deC y d1 y d2 de D, entonces

a1a2

=b1b2· c1c2· d2d1

6.6 § Regla de Tres Compuesta §

La regla de tres compuesta consiste en solucionar proporcionales compuestas, donde sedesconoce uno de los terminos de la razon de la magnitud buscada

Regla Practica: Se compara la magnitud de la incognita con cada una de las otras(considerando constantes las demas). Se ubica el signo + encima de las que son directa-mente proporcionales y el signo − encima de las que son inversamente proporcionales. Seaplica la propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta



Ejemplo 30 maquinas producen 10000 artıculos en 2 dıas. Cuantas maquinas senecesitan para producir 50000 artıculos en 6 dıas

Maq. Art. Dıas

+ −30 10000 2

x 50000 6

El numero de maquinas es directamenteproporcional al numero de artıculose inversamente proporcional al tiempoempleado

30

x=

10000

50000· 62−→ 30

x=

3

5−→ 3x = 30× 5

Ası,

x =150

3= 50 maquinas

Observese que la razon correspondiente a los dıas se toma invertido

Ejemplo 10 bombillos consumen $5000 en 1 mes, estando encendidos 8 horas aldıa. Cuanto consumiran 16 bombillos en 5 meses encendidos 10 horasdiarias?

consumo en $ # bombillos tiempo horas diarias

+ + +

5000 10 1 8

x 16 5 10

Las magnitudes son todas directamente proporcionales con el valor delconsumo. Aplicando la propiedad fundamental de la proporcionalidadcompuesta se obtiene:

5000

x=

10

16· 15· 810

−→ x

5000=

16

10· 51· 108−→ x

5000=

800

80

Ası,

x = 5000× 10 = 50000 pesos

6.7 § Reparto Proporcional §En algunas ocasiones se necesita repartir una cantidad determinada en partes propor-cionales a otras

Reparto Directo

Repartir la cantidad A en partes directamente proporcionales a los valores a, b y c.


Reparto Proporcional 105

Necesitamos repartir A en partes x, y y z en forma tal que formen razones iguales con a,b y c:

x

a=

y

b=

z

cy x+ y + z = A

Si aplicamos a la serie de razones iguales la propiedad fundamental se obiene:

x+ y + z

a+ b+ c=

x

a,

x+ y + z

a+ b+ c=

y

b

x+ y + z

a+ b+ c=

z

c

entoncesA

a+ b+ c=

x

a,

A

a+ b+ c=

y

b,

A

a+ b+ c=

z

c

y ası

x =a ·A

a+ b+ c, y =

b ·Aa+ b+ c

, z =c ·A

a+ b+ c

Ejemplo Tres personas ganaron en un negocio $500000. El primero aporto $2000,el segundo $3000 y el tercero $5000. Cuanto le corresponde a c/u?

Sea x, y y z las partes que les correponden respectivamente. Sea a, b yc los aportes: a = $2000, b = $3000 y c = $5000

x =a ·A

a+ b+ c=

2000× 500000

2000 + 3000 + 5000= $100000

y =b ·A

a+ b+ c=

3000× 500000

2000 + 3000 + 5000= $150000

z =a ·A

a+ b+ c=

5000× 500000

2000 + 3000 + 5000= $250000

x+ y + z = $100000 + $150000 + $250000 = A

Reparto Inversamente Proporcional

Repartir la cantidad A en partes inversamente proporcionales a los numeros a, b, c esdescomponer A en partes que formen con los inversos de a, b, c razones iguales, es decir:

x1a

=y1b

=z1c

y x+ y + z = A

Por la propiedad fundamental se obtiene

x+ y + z1a + 1

b + 1c

=x1a

,x+ y + z1a + 1

b + 1c

=y1b

,x+ y + z1a + 1

b + 1c

=z1c

entoncesA

1a + 1

b + 1c

=x1a

,A

1a + 1

b + 1c

=y1b

,A

1a + 1

b + 1c

=z1c

y ası,

x =1a ·A

1a + 1

b + 1c

, y =1b ·A

1a + 1

b + 1c

, z =1c ·A

1a + 1

b + 1c



Ejemplo Se desea repartir una herencia de $5′000.000 entre 4 herederos en partesinversamente proporcionales a sus edades que son 5, 10, 15 y 20 anos (alde menor edad le corresponde la mayor parte)

A = $5′000.000; a = 5, b = 10, c = 15, d = 20; x, y, z, m: partes en quese reparte A, x+ y + z +m = $5′000.000

x15

=5′000.000

15 + 1

10 + 115 + 1

20

−→ x =15 × 5′000.000

15 + 1

10 + 115 + 1

20

= $2′400.000

y110

=5′000.000

15 + 1

10 + 115 + 1

20

−→ y =110 × 5′000.000

15 + 1

10 + 115 + 1

20

= $1′200.000

z115

=5′000.000

15 + 1

10 + 115 + 1

20

−→ z =115 × 5′000.000

15 + 1

10 + 115 + 1

20

= $800.000

m1

20

=5′000.000

1

5+

1

10+

1

15+

1

20

−→ m =

1

20× 5′000.000

1

5+

1

10+

1

15+

1

20

= $600.000

6.8 § Porcentaje o Tanto por Ciento §Las fracciones comunes se pueden expresar como fracciones decimales por amplificaciony luego a porcentaje

Ejemplo Pasar a porcentaje las fracciones 3/4 y 7/50

3

4=

3× 25

4× 25=

75

100= 0.75 = 75%

7

50=

7× 2

50× 2=

14

100= 0.14 = 14%

Un porcentaje se puede expresar como una fraccion

Ejemplo · 32% = 0.32 = 32100 = 8

25

· 15% = 0.15 = 15100 = 3

20

· 125% = 0.125 = 125100 = 5

4

· 7.5% = 0.075 = 7.5100 = 75

1000 = 15200

El concepto de tanto por ciento (%) o porcentaje esta intimamente ligado con el de razon.Ası cuando enunciamos “El numero de elementos en el conjunto A es el 27% del numerode elementos del conjunto B, queremos decir que en el conjunto A hay 27 elementos porcada 100 elementos que haya en el conjunto B, o que el numero de elementos de A es


Porcentaje 107

27/100 del numero de elementos de B o que la razon entre el numero de elementos de Ay B es 27 a 100”

En general, llamamos tanto por ciento de un numero a, una o varias de las 100 partesiguales en que se puede dividir el numero a

Ejemplo El conjunto A tiene 700 objetos. Si el numero de elementos de otroconjunto B, es el 15% de los elementos de A. Cuantos elementos tieneB?

Los 700 objetos de A, representan el 100%. Los x elementos de B repre-sentan el 15%. Entonces

700

x=

100

15−→ x

700=

15

100−→ x =

700× 15

100= 105

El conjunto B tiene 105 elementos

Ejemplo El 30% de los quindianos casados equivale a 47832. Cuantos quindianoscasados hay en total?

El numero x o total de casados equivale al 100%. El 30% de x equivale47832. Luego el total x es

30% de x = 47832 −→ 30

100x = 47832

entonces

0.3x = 47832 −→ x =47832

0.3= 159440 casados

Ejemplo De 458 estudiantes de matematicas hay 46 con matrıcula condicional.Cual es el porcentaje de estudiantes con matrıcula condicional

El total de estudiantes 458 equivale al 100%. 46 con matrıcula condi-cional equivale a x%

458

46=

100

x−→ x

46=

100

458−→ x =

46× 100

458= 10.04%

Tanto por Ciento Mas

Ahora se trata de hallar un numero x si se conoce en tanto por ciento lo supera otronumero

Ejemplo 480 es el 16% de otro, cual es el otro?

x es el 100%, 480 es el 16%. Entonces

x

480=

100

16−→ x =

480× 100

16−→ x = 3000



Ejemplo Un conjunto A tiene 20% mas elementos que un conjunto B. Si A tiene240 elementos, cuantos tiene B?

El numero x de elementos de B equivale al 100%. El numero 240 deelementos de A equivale al 100% + 20% = 120% entonces

120

100=

240

x−→ x =

240× 100

120= 200

es decir que 240 es el 20% mas que 200

Ejemplo En el paıs hay mas mujeres que hombres. Hay un 6% mas mujeres quehombres. Si el numero de mujeres es 15.200.000, cuantos hombres hay?

El numero x de hombres representa el 100%. El numero 15.200.000 demujeres representa el 100% + 6% = 106% entonces

106

100=

15.200.000

x−→ x =

15.200.000× 100

106−→ x = 14.339.622, 64

entonces 15.200.000 es el 6% mas que 14.339..622,64

Tanto por Ciento Menos

Ahora se trata de hallar un numero x conociendo el tanto por ciento que otro es menorque el.

Ejemplo De cual numero es 765 el 10% menor?

El numero buscado x representa el 100%. El numero 765 representa al100%− 10% = 90% entonces

x

765=

100

90−→ x =

765× 100

90= 850

es decir que 765 es menor que 850 en un 10%. En efecto, el 10% de 850es 85 y 850− 85 = 765

Ejemplo Un conjunto A tiene un 14% menos elementos que B. Si A tiene 3870elementos, cuantos tiene B?

El numero buscado x representa el 100%. El numero 3870 de A repre-senta el 100%− 14% = 86% entonces

x

3870=

100

86−→ x =

3870× 100

86= 4500

Ası, 3870 es menor que 4500 en un 14%


Interes Simple 109

6.9 § Interes Simple §

Una de las actividades comerciales mas difundida es la de prestar dinero por un tiempodeterminado y bajo la condicion de pagar una cantidad adicional (interes) por su empleo.

La cantidad de dinero prestado se denomina C (capital). La cantidad adicional de dineropagada por el uso del capital es la ganancia o interes I. El lapso durante el cual se usa elcapital es el tiempo T .

En el momento de negociar un prestamo las partes pactan la ganancia de cada 100unidades de capital en la unidad de tiempo que se fije; este porcentaje o tanto por cientoacordado se denomina tasa de interes o rentabilidad y se denota con R o I. El problemade determinar el interes I producido por un capital C, prestado a una tasa R, duranteun tiempo T , se denomina regla de interes.

Interes Simple: es el que se calcula tomando como base el capital inicial y se recibe alfinal de periodos iguales

Interes Compuesto: Si al final de cada periodo se adicionan los intereses al capitalinicial y los intereses del siguiente periodo se calculan con base en esta nueva cantidad yası sucesivamente para los otros periodos, este tipo de interes se denomina interes com-puesto.

Calculo del Interes Simple

Prestar dinero a una tasa del 18% anual significa que quien recibe el prestamo debe pagaren un ano $18 por cada $100 que le prestaron.

En la regla del interes simple se presentan 4 casos especiales

a) Cuando la tasa (%) y el tiempo (T ) estan expresados ambos en anos, meses odıas. Aquı el capital (C) y el interes (I) son directamente proporcionales porque alaumentar C aumenta I.

100

C=

R

I−→ I =

CR

100, C =

100I

R, R =

100I

C

Estas formulas son validas cuando T y R estan en la misma unidad de tiempo (ano,mes o dıa)

Para calcular el interes I para varios anos, se multiplica el capital C por T , en-tonces

I =CTR

100, CT =

100I

R−→ C =

100I

RT, ∧, T =

100I

CR, R =

100I

CT



Ejemplo Determine cuanto tiempo hay que invertir un capital de $840.000 paraque produzca un interes de $125.000 al 25% anual

T =100I

C ·R =100× 125000

840000× 25= 0.59 anos

1 ano son 12 meses, cuantos meses seran (x) 0.59 anos?

1

0.59=

12

x−→ x =

0.59× 12

1= 7.08 meses

ahora, 1 mes son 30 dıas, cuantos dıas seran 0.08 meses?

1

0.08=

30

x−→ x = 0.08× 30 = 2.4 dıas

ası, T = 7 meses + 2 dıas

Ejemplo Que tasa de interes se debe fijar para que un capital de $159000 produzca$45000 en 3 anos?

R =100I

CT=

100× 45000

159000× 3= 9.43% anual

b) Cuando la tasa R o % esta expresada en anos y el tiempo T en meses o dıas

Se aplica la formula anterior I =CTR

100pero:

1. Si el tiempo esta en meses, se divide por 100× 12, entonces

I =CTR

100× 12

2. Si el tiempo esta en dıas, se divide por 100× 360, entonces

I =CTR

100× 360

c) Cuando la tasa de interes esta expresada en meses y el tiempo en anos o dıas

Se aplica la formula I =CTR

100pero:

1. Si el tiempo esta en anos, se multiplica T por 12

I =CRT × 12

100

2. Si el tiempo esta en dıas, se multiplica T por 1/30

I =CRT × 1

30

100=

CRT

100× 30


Interes Simple 111

d) Si la tasa R esta dada en dıas y T en anos o meses, se aplica I =CRT

100, pero

reduciendo los anos o meses a dıas, que equivale a multiplicar T por 360 si esta enanos o por 30 si esta en meses

1. I =CRT × 360

100si T en anos y R en dıas

2. I =CRT × 30

100Si T en meses y R en dıas

Problemas

1. Escriba cada razon de 3 maneras distintas:

(a) De 16 banderas 9 son amarillas

(b) 23 de cada 25 hormigas son rojas

(c) 7 de cada 19 dıas son nublados

(d) 11 pasteles de cada 15 tienen pasas

2. Escriba cada razon como una fraccion reducida

(a) De 57 partidos jugados hemos ganado 19

(b) De 18 gatos 14 son atigrados

(c) De un edificio de 32 apartamentos 12 estan desocupados

3. Expresar cada razon como tasa

(a) 395 Kmts. en 5 horas

(b) 3 CD’s en $45.000

(c) Se recorren 79.8 Km. con 3 galones de gasolina

(d) Pedro pronuncia 120 palabras en 3 minutos

(e) 5 gaseosas valen $3.000

4. Si el trabajo hecho por x − 1 obreros en x + 1 dıas es al trabajo hecho por x + 2obreros en x− 1 dıas, como 9 es a 10, hallar x

5. Hallar 4 numeros proporcionales tales que la suma de los extremos sea 21, la sumade los medios 19, y la suma de los cuadrados de los cuatro numeros sea 442

6. Dos barriles A y B se llenan con vino de dos clases diferentes mezclados en el barrilA en la razon 2 : 7 y en el barril B en la razon 1 : 5. ¿Que cantidad debe tomarsede c/u para formar una mezcla que contenga 6 litros de una clase y 27 litros de laotra?

7. Determinar si las magnitudes representadas por x y y son directamente propor-cionales, inversamente proporcionales o ninguna de ellas

(a)x 1 2 3 4 5 6

y 240 120 80 60 48 40



(b)x 1 2 3 4 5 6

y 1 4 9 16 25 36

(c)x 1 2 3 4 5 6

y 10 20 30 40 50 60

(d)x 1 2 3 4 5 6

y 6 3 2 1.5 1.2 1

8. Si x, y son inversamente proporcionales, completa cada tabla

(a)x 2 7

y 70 42 30

(b)x 4 8

y 8 10 4

(c)x 1 2 4

y 1/2 1/6

(d)x 1 10 1000

y 0.5 0.05

9. Sueldo Bruto. La cantidad que lleva un trabajador a su casa es $492.000 despuesde haberle reducido un total del 40% del pago bruto. ¿Cual es su sueldo bruto?

10. Costo Salir A Cenar. Una pareja no desea gastar mas de $70.000 por cenar en unrestaurante. A la cuenta se le agrega un impuesto del 6% y piensan pagar 15%de propina, despues de haber sumado el impuesto. ¿Cuanto es lo mas que puedengastar en alimentos?

11. Pago De Tiempo Extra. El salario basico en un trabajador es $10.000 por hora,pero cuando trabaja mas de 40 horas por semana recibe vez y media este salariohorario, si su cheque en una semana es por $595.000 ¿Cuantas horas de tiempo extratrabajo?

12. Un grupo de hombres y de mujeres declaran su edad por escrito, y se calculan lospromedios de esas edades: el del grupo total, es de 40 anos; el de los hombres, 50anos; y el de las mujeres, 35 anos. ¿Cual es la razon del numero de mujeres alnumero de hombres?

13. Una persona desea darse un bano con agua a 35o C. Para conseguir esa temperatura,debe mezclar agua caliente con agua frıa en una determinada proporcion. Hace dospruebas: en la primera, mezcla 1 parte de agua caliente con 2 de agua frıa, y obtieneagua a 20o C; en la segunda mezcla 3 partes de agua caliente con 2 de agua frıa,y obtiene agua a 28o C. Con estos datos, ¿en que proporcion debe mezclar ambostipos de agua?


Interes Simple 113

14. Se necesitan 6 litros de una solucion al 40%, pero solo se dispone de soluciones al26% y al 50%. ¿Cuantos litros de cada tipo de solucion se requeriran?

15. Si el cafe pierde 1/5 de su peso al tostarlo, y se compra verde a 1.200 pesos el kg,¿a como debe venderse el kilo de cafe tostado para ganar 1/10 del precio de compradel cafe verde?

16. Si 6 muchachos pueden construir 6 casas prefabricadas en 6 dıas, y 12 muchachaspueden construir 12 en 12 dıas, ¿cuantas casas prefabricadas pueden construir 12muchachos y 12 muchachas en 12 dıas?

17. De las 4 horas que Julian dispone como tiempo libre, utiliza 1/5 del tiempo jugandoen la casa, 1.4 leyendo, 3/8 viendo television, y el resto jugando en la calle. Cuantotiempo dedica a esta ultima actividad?

18. Un dispositivo especial permite ahorrar 30% de combustible en un motor; un se-gundo dispositivo, si actua solo, permite un ahorro de un 50%; y un tercero, tambiensi actua solo, de un 20%. Si se instalan los tres dispositivos juntos en el motor, ¿queporcentaje de ahorro de combustible puede obtenerse?

19. ¿Cuantos anos tiene una persona, si cuatro veces un cuarto de su edad es 16?

20. En una fabrica, las mujeres representan el 35% de los trabajadores. Si hay 252hombres mas que mujeres, ¿cuantas personas trabajan en la fabrica?

21. En un recipiente A hay 4 g de sal y 6 cl de agua. En B hay 9 cl de agua, y en C 3 gde sal. ¿Que cantidad de sal hay que colocar en B y que cantidad de agua hay queverter en C para que, al final, el agua de los tres recipientes sea igual de salada?


Capıtulo 7

Coeficientes Binomiales

Antes de entrar a estudiar los coeficientes binomiales estableceremos que es el factorialde un numero natural

Definicion 7.1. Factorial

El factorial de un numero entero n ≥ 1 esta dado por

n! = n× (n− 1)× (n− 2) . . .× 3× 2× 1

Por Definicion, 0! = 1

Ejemplo 5! = 5× 4× 3× 2× 1 = 120

6! = 6× 5× 4× 3× 2× 1 = 720

Ejemplo Mostrar que n!/n = (n− 1)!

n!

n=

n× (n− 1)× (n− 2)× . . .× 2× 1

n

= (n− 1)× (n− 2)× . . .× 2× 1 = (n− 1)!

Ejemplo Calcular 210!208! ,

75!80! , 7!− 5!, 10! + 8!

· 210!

208!=

210× 209× 208!

208!= 210× 209 = 43890

· 78!

80!=

78!

80× 79× 78!=

1

80× 79=

1

6320

· 7!− 5! = 7× 6× 5!− 5! = (42− 1)× 5! = 41× 5! = 4920

· 10! + 8! = 10× 9× 8! + 8! = (90 + 1)× 8! = 91× 8! = 3669120

115


Definicion 7.2. Coeficiente Binomial

Se llaman coeficientes binomiales a los valores numericos que aparecenmultiplicando a los terminos que forman la expansion del binomio (a±b)n

Ejemplo

(a+ b)2 = 1 a2 + 2 ab + 1 b2

⇑ ⇑ ⇑c1 c2 c3

(a+ b)3 = 1 a3 + 3 a2b + 3 ab2 + 1 b3

⇑ ⇑ ⇑ ⇑c1 c2 c3 c4

Estos coeficientes se pueden obtener mediante el llamado Triangulo de Pascal

Coeficientes

(a+ b)0 1

(a+ b)1 1 1

(a+ b)2 1 2 1

(a+ b)3 1 3 3 1

(a+ b)4 1 4 6 4 1

(a+ b)5 1 5 10 10 5 1

(a+ b)6 1 6 15 20 15 6 1

· · ·

Cuando el exponente del binomio es muy grande, el metodo del triangulo de Pascal parahallar los coeficientes ya no es muy adecuado, por lo tanto se debe disponer de una formulamas general para calcularlos. En general:

(a+ b)n = (a+ b)(a+ b) · · · (a+ b)︸︷︷︸

n factores

= an + · · ·+ Can−rbr + · · ·+ br

donde c es el coeficiente de un termino cualquiera an−rbr con a ≤ r ≤ n.

an−rbr se obtiene seleccionando b de cada uno de los r factores (y a de los restanten − r factores). Como se ha hecho una seleccion de r cosas de un total de n, podemosdecir que cada coeficiente binomial es una combinacion de n tomados de a r en r es decir:

C = Cn,r =

(n

r

)


117

Se ha demostrado matematicamente que C se puede evaluar mediante factoriales en lasiguiente forma

C =

(n

r

)

=n!

r!(n− r)!

Ademas el binomio a la n se puede escribir como

(a+ b)n = an +

(n

1

)

an−1b+

(n

2

)

an−2b2 + · · ·+(

n

n− 2

)

a2bn−2 +

(n

n− 1

)

a1bn−1 + bn

Por tanto el triangulo de Pascal toma la siguiente forma

Coeficientes

(a+ b)0(0

0

)

(a+ b)1(1

0

) (1

1

)

(a+ b)2(2

0

) (2

1

) (2

2

)

(a+ b)3(3

0

) (3

1

) (3

2

) (3

3

)

(a+ b)4(4

0

) (4

1

) (4

2

) (4

3

) (4

4

)

· · ·

Ejemplo Hallar el coeficiente del termino x4y3 al desarrollar el binomio (x+ y)7

En este caso n = 7, r = 3. El coeficiente buscado es

C =

(7

3

)

=7!

3!(7− 3)!=

7!

3!× 4!=

7× 6× 5× 4!

3!× 4!=

7× 6× 5

3× 2= 35

Ejemplo Hallar el coeficiente de a10b3 en la expansion del binomio (a− b)13.

En este caso n = 13, r = 3

C =

(13

3

)

=13!

3!(13− 3)!=

13× 12× 11× 10!

3!× 10!=

13× 12× 11

6= 286

Como el segundo termino del binomio es negativo (−b), entonces (−b)3 =−b por lo tanto el coeficiente de a10b3 es negativo: C = −286



Ejemplo Al desarrollar el binomio (3x − 5y)8 que valor tiene el coeficiente deltermino donde aparece x5y4

Aquı a = 3x, b = −5y, n = 8, r = 4. El termino correspondiente sera:C(3x)5(−5y)4

C =

(8

4

)

=8!

4!(8− 4)!=

8× 7× 6× 5× 4!

4!× 4!=

8× 7× 6× 5

4× 3× 2× 1= 70

el termino buscado es

70(3x)5(−5y)4 = 10631250x5y4

Ejemplo Hallar el quinto termino de (a+ 2x3)17

El termino buscado sera de la forma

Can−rbr =

(n

r

)

an−rbr

donde n = 17, r = 4, b = 2x3

C =

(17

4

)

=17!

4!(17− 4)!=

17× 16× 15× 14× 13!

4!× 13!= 2380

El termino es

2380a17−4(2x3)4 = 2380a1316x12 = 38080a13x12

Ejemplo Hallar el termino 14 de (3− b)15

El termino buscado es de la forma

Can−rbr =

(n

r

)

an−r(−b)r

donde n = 15, r = 13, a = 3

C =

(15

13

)

=15!

13!(15− 13)!=

15× 14× 13!

13!× 2!=

15× 14

2= 105

el termino es

105× 315−13(−b)13 = 105× 9× (−b)13 = −945b13

Problemas

1. Efectuar las siguientes operacionesa) 45!− 37!

b) 24! + 21!

c) 425!/422!

d) 52!/58!


119

2. Hallar el 4o termino de (x− 5)13

3. Hallar el 10o termino de (1− 2x)12

4. Hallar el 12o termino de (2x− 1)13

5. Hallar el 28o termino de (5x+ 8y)30

6. Hallar el 4o termino de (x3 + 9y)10


Capıtulo 8

Sistemas de Numeracion

8.1 § Origen de la Numeracion §Desde la antiguedad el hombre se preocupo por hallar metodos y procedimientos parala representacion de los cardinales de los conjuntos en forma simbolica. Los sımbolosutilizados evolucionaron con el transcurso del tiempo, igualmente sucedio con la forma deubicar los sımbolos para representar un numero de varias cifras.

Los primeros sistemas de numeracion eran de tipo aditivo, es decir, que cada sımbolose repetıa varias veces para representar otro numero.

Ejemplo En el sistema de numeracion Egipcio se tenıan los siguientes sımbolos

Ası, por ejemplo, para representar el numero 312 escribıan

que equivale a la suma de

100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1

Pero ellos no repetıan mas de 9 veces un mismo sımbolo, es decir que10 veces un sımbolo lo reemplazaban por el siguiente. Como se observael sistema de numeracion de los egipcios era aditivo pero a la vez multi-plicativo en base 10. La posicion de los sımbolos no se tenıa en cuenta:113 se podıa escribir de cualquiera de las tres siguientes formas

Posteriormente los egipcios abandonaron la nomenclatura jeroglıfica y usaron otra que sellamo el sistema atico cuyos sımbolos basicos eran

1 = I, 5 = , 10 = △, 100 = H, 1000 = X, 10000 = M

121


entonces

50 = △ (5× 10)

500 = H (5× 100)

5000 = X (5× 1000)

50000 = M (5× 10000)

45670 = M M M M X H H △ △ △

Definicion 8.1.

Un sistema de numeracıon se basa en el principio aditivo cuando cadasımbolo o cifra tiene un valor unico sin importar su posicion y cualquiernumero representado se obtiene mediante la suma de los valores de lossımbolos empleados

Ejemplo En el sistema atico

· X X △ △ I I es 1000 + 1000 + 50 + 10 + 1 + 1 = 2062

· H △ I I I es 100 + 50 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 159

8.2 § Sistema de Numeracion Posicional §

Definicion 8.2.

Un sistema de numeracion es posicional cuando un sımbolo toma dis-tintos valores dependiendo de la posicion que ocupe dentro de la cifra onumero

Ejemplo En el sistema Babilonico de base 60

g = 1, ≺= 10

y cada posicion a la izquierda representa un grupo 60 veces mayor, porejemplo

· gg = 60 + 1 = 61

· ggg = 602 + 601 + 600 = 3661

· ≺≺g

g

= 10× 60 + 10 + 2 = 612

· ≺≺≺= 10× 602 + 10× 601 + 10× 600 = 36610


Sistema de Numeracion Posicional 123

Nota:

Para los babilonios los sımbolos g y ≺ se podıan agrupar en forma simplepara los numeros del 1 al 59. Los numeros posteriores al 59 tenıanun valor local o relativo, de acuerdo con la posicion que ocuparan lossımbolos de derecha a izquierda. Este sistema de numeracion era aditivo- multiplicativo y posicional, compuesto por grupos de 60; es decir, deacuerdo con el lugar que ocupaban los sımbolos se iban multiplicandopor potencias de 60.

Definicion 8.3. Base

En un sistema de numeracion, al numero que sirve para hacer los agru-pamientos es decir para determinar el valor de la posicion, se le llama labase del sistema

Ejemplo El sistema de numeracion de los babilonios era de base 60 porque cadagrupo de sımbolos hacia la izquierda era multiplicado por una potenciade 60

Ejemplo Nuestro sistema de numeracion es posicional de base 10

3 8 5 . 7 2

↑ ↑ ↑ ↑ ↑3× 102 + 8× 101 + 5× 100 + 7× 10−1 + 2× 10−2

Ejemplo Supongase un conjunto de 21 elementos agrupados de a 3 elementos.En esta primera no existen elementos sueltos. Si continuamos con lasagrupaciones de 3 en 3 obtenemos 2 agrupaciones c/u con 3 grupos de 3elementos c/u y queda sobrando una agrupacion.

El numero de elementos del conjunto inicial se ha representado por 2grupos de 3 subgrupos c/u mas otro subgrupo y sin elementos aislados.Hemos tomado como base de agrupacion la cantidad 3.

21 elementos = 2× 32 + 1× 31 + 0 = 2103



8.3 § Sistema de Numeracion en Base 2 §Supongase el mismo conjunto de puntos del ejemplo anterior y que hacemos agrupacionesde a dos elementos, despues de a dos grupos y ası sucesivamente. El resultado es:

Verificacion:

1× 24 + 0× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20 = 2110

Observese que solo se han usado 2 sımbolos: el 0 y el 1

Nota:

En el sistema de base 3 se usan unicamente los sımbolos 0, 1 y 2. En elsistema de base 10 se usan los sımbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Definicion 8.4.

Un numero binario tiene la forma decimal

an × 2n + an−1 × 2n−1 + an−2 × 2n−2 + · · ·+ a1 × 21 + a0 × 20

donde cada ai es cero o uno

Ejemplo Hallar el numero decimal (base 10) equivalente al binario 101110

1 0 1 1 1 0

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓1× 25 + 0× 24 + 1× 23 + 1× 22 + 1× 21 + 0× 20 =

= 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 = 46

Entonces 1011102 = 4610


Sistema de Numeracion en Base 2 125

Ejemplo Convertir a decimal el binario 1110.101

1 1 1 0 . 1 0 1

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓1× 23 + 1× 22 + 1× 21 + 0× 20 . 1× 2−1 + 0× 2−2 + 1× 2−3 =

= 8 + 4 + 2 + 0 . 0.5 + 0 + 0.125

= 14.625

Entonces 1110.1012 = 14.62510

Conversıon de un Decimal a Binario

Para convertir un numero decimal a binario se le extraen todas la agrupaciones posiblesde a dos elementos y se tienen en cuenta los residuos o elementos aislados; esto indica quese deben hacer divisiones sucesivas por 2.

Ejemplo Convertir en binario el numero 8710

87 2

1 43 2

1 21 2

1 10 2

0 5 2

1 2 2

0 1 2

1 0

Ası, 8710 = 01010111 = 10101112

Ejemplo Convertir a binario el decimal 4210

42 2

0 21 2

1 10 2

0 5 2

1 2 2

0 1

Ası, 4210 = 1010102



Nota:

Cuando el decimal que se va a convertir a binario es fraccionario, enlugar de dividir por 2, se multiplica por 2 y se escoge la parte entera delresultado de esta multiplicacion. Se sigue multiplicando por 2 al decimalque queda hasta que no aparezca parte fraccionaria

Ejemplo Convertir en binario el decimal 0.84375

0.84375× 2 = 1.6875 −→ 1

0.6875× 2 = 1.375 −→ 1

0.375× 2 = 0.75 −→ 0

0.75× 2 = 1.5 −→ 1

0.5× 2 = 1 −→ 1

Ası, 0.8437510 = .110112

Ejemplo Convertir a binario 5.625

Primero convertimos la parte entera

5÷ 2 = 2 residuo 1 −→ 1

2÷ 2 = 1 residuo 0 −→ 0

1÷ 2 = 0 residuo 1 −→ 1

Ahora la parte decimal

0.625× 2 = 1.25 −→ 1

0.25× 2 = 0.5 −→ 0

0.5× 2 = 1 −→ 1

Ası, 5.62510 = 101.1012

8.4 § Numeros Octales §El sistema octal es el de base 8 y los sımbolos que se utilizan son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Ejemplo Convertir a decimal el octal 24578

2 4 5 7

2× 83 + 4× 82 + 5× 81 + 7× 80 =

= 1024 + 256 + 40 + 7 = 132710

De donde, 24578 = 132710


Numeros Octales 127

Ejemplo Convertir a decimal el octal 642.218

6 4 2 . 2 1

6× 82 + 4× 81 + 2× 80 + 2× 8−1 + 1× 8−2 =

= 384 + 32 + 2 + 0.25 + 0.15625 = 418.26562510

Entonces, 642.218 = 418.26562510

Ejemplo Convertir a octal el fraccionario 418.26562510

convertimos la parte entera

418÷ 8 = 52 residuo 2 −→ 2

52÷ 8 = 6 residuo 4 −→ 4

6÷ 8 = 0 residuo 6 −→ 6

Ahora la parte decimal

0.265625× 8 = 2.125 −→ 2

0.125× 8 = 1 −→ 1

Por tanto, 418.26562510 = 642.218

Tabla de los primeros numeros Binarios y Octales

Decimal Binario Octal

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 10

9 1001 11

10 1010 12


11 1011 13

12 1100 14

13 1101 15

14 1110 16

15 1111 17

16 10000 20

17 10001 21

18 10010 22

19 10011 23

20 10100 24

21 10101 25

Conversion de Octal a Binario

Es muy facil convertir los numeros octales a binarios, basta reemplazar cada uno de losnumeros basicos octales por sus equivalentes en binario



Ejemplo Convertir el octal 5328 a binario

Octal: 5 3 2

↓ ↓ ↓Binario: 101 011 010

Entonces, 5328 = 1010110102

Ejemplo Convertir a binario 74.618

Octal: 7 4 . 6 1

↓ ↓ . ↓ ↓Binario: 111 100 . 110 001

Entonces, 74.618 = 111100.1100012

Conversion de Binario a Octal

Para convertir un binario a octal se separa el binario en grupos de 3 bits hacia la izquierday hacia la derecha del punto decimal del binario y se busca el octal correspondiente a cadagrupo de bits.

Ejemplo Convertir a octal el binario 1101110001002

Binario: 110 111 000 100

↓ ↓ ↓ ↓Octal: 6 7 0 4

Ası, 1101110001002 = 67048

Ejemplo Convertir a octal el binario 1011.10112

Binario: 1 011 . 101 1

↓ ↓ . ↓ ↓Octal: 1 3 . 5 4

Ası, 1011.10112 = 13.548

8.5 § Sistema Hexadecimal §El sistema de numeracion hexadecimal es el sistema de numeracion de base 16 y pararepresentar los numeros utiliza los numeros del 0 al 9 y las letras A, B, C, D, E, F, comose muestra en la siguiente tabla. La ventaja de este sistema es su facilidad de coversiondirecta a un numero binario de 4 bits.


Sistema Hexadecimal 129

Decimal Binario Hexadecimal

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F


16 10000 10

17 10001 11

18 10010 12

19 10011 13

20 10100 14

21 10101 15

22 10110 16

23 10111 17

24 11000 18

25 11001 19

26 11010 1A

27 11011 1B

28 11100 1C

29 11101 1D

30 11110 1E

31 11111 1F

Observese que el equivalente a 16 decimal en hexadecimal es 10, lo que demuestra que eleste sistema tambien emplea el concepto de valor posicional.

Ejemplo Representar en decimal 2B616, A3F.C

Hexadecimal: 2 B 6

Decimal: 2× 162 + 11× 161 + 6× 160 =

= 512 + 176 + 6 = 69410

Hexadecimal: A 3 F . C

Decimal: 10× 162 + 3× 161 + 15× 160 + 12× 16−1 =

= 2560 + 48 + 15 + 0.75 = 2623.7210

Conversion de Decimal a Hexadecimal

Presentaremos el procedimiento de convertir un numero Decimal a Hexadecimal medianteel siguiente ejemplo



Ejemplo Convertir 4510 a hexadecimal

45÷ 16 = 2 residuo 13 −→ D

2÷ 16 = 0 residuo 2 −→ 2

Entonces, 4510 = 2D16

Ejemplo Convertir 250.2510 a hexadecimal

Primero la parte entera

250÷ 16 = 15 residuo 10 −→ A

15÷ 16 = 0 residuo 15 −→ F

ahora la parte decimal

0.25× 16 = 4 −→ 4

Luego, 250.2510 =FA.416

Conversion de Hexadecimal a Binario

Se reemplaza cada sımbolo hexadecimal por el correspondiente grupo de 4 bits binarios

Ejemplo Convertir a binario 3B916, 47.FE16

3 B 9

↓ ↓ ↓0011 1011 1001

Entonces 3B916 = 11101110012

4 7 . F E

↓ ↓ . ↓ ↓0100 0111 . 1111 1110

Luego, 473FE16 = 1000111.111111102

Conversion de Binario a Hexadecimal

Se separa el binario en grupos de 4 bits hacia la izquierda y hacia la derecha del puntodecimal y se busca el hexadecimal correspondiente a cada grupo de bits

Ejemplo Convertir a hexadecimal 101010000101

1010 1000 0101

↓ ↓ ↓A 8 5

Ası, 1010100001012 =A8516


Sistema Hexadecimal 131

Ejemplo Convertir a hexadecimal 10010.0110112

1 0010 . 0110 11

1 2 . 6 C

y por tanto, 10010.0110112 = 12.6C16

Nota:

Cuando un grupo de bits a la derecha o a la izquierda queda con menosde 4 bits, se completa con ceros

Ejemplo Convertir a hexadecima 1000000.00001112

0100 0000 . 0000 1110

↓ ↓ ↓ ↓4 0 . 0 E

Entonces, 1000000.00001112=40.0E16

Problemas

1. Pasar de binario a decimal: 110012, 10110110112

2. Pasar de decimal a binario: 86910, 842610

3. Pasar de binario a octal: 1110101012, 11011.012

4. Pasar de octal a binario: 20668, 142768

5. Pasar de binario a hexadecimal: 1100010002, 100010.1102

6. Pasar de hexadecimal a binario: 86BF16, 2D5E16

7. Pasar de octal a decimal: 1068, 7428

8. Pasar de decimal a octal: 23610, 5274610

9. Escribe los primeros 15 numeros si cuentas en base 2, 3 y 5.

10. Escribe los dos numeros anteriores a los siguientes: 5556; 1007; 10005

11. Sumar: 22345 + 10325 + 33335


Capıtulo 9

Sistema Metrico Decimal

En el pasado cada paıs y en algunos casos cada region seguıan unidades de medidasdiferentes, esta diversidad dificulto las relaciones comerciales entre los pueblos. Paraacabar con esas dificultades en 1792 la Academia de Ciencias de Parıs propuso el Sis-tema Metrico Decimal.

Progresivamente fue adoptado por todos los paıses, a excepcion de los de habla inglesa,que se rigen por el Sistema Ingles o Sistema Imperial Britanico.

En Espana su empleo es oficial desde 1849, aunque sobre todo en el ambito agrario hacoexistido con las medidas tradicionales.

El Sistema Metrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los multiplos y submul-tiplos de una unidad de medida estan relacionadas entre sı por multiplos o submultiplosde 10.

9.1 § Medidas y Magnitudes §

Definicion 9.1. Magnitud

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medirnumericamente

Definicion 9.2. Medir

Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad

Definicion 9.3. Medida

La medida es el numero de veces que la magnitud contiene a la unidad

El Sistema Metrico Decimal lo utilizamos en la medida de las siguientes magnitudes:

133


• Longitud

• Masa

• Capacidad

• Superficie

• Volumen

Las unidades de tiempo no son del Sistema Metrico Decimal, ya que estan relacionadasentre sı por multiplos o submultiplos de 60. El tiempo es una magnitud del SistemaSexagesimal.

Medidas de Longitud

La unidad principal para medir longitudes es el metro.

Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las mas usuales son:

kilometro km 1000 m

hectometro hm 100 m

decametro dam 10 m

metro m 1 m

decımetro dm 0.1 m

centımetro cm 0.01 m

milımetro mm 0.001 m

Observamos que desde los submultiplos, en la parte inferior, hasta los multiplos, en laparte superior, cada unidad vale 10 veces mas que la anterior.

Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicaro dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.

Ejemplo Pasar 50 m a cm

Si queremos pasar de metros a centımetros tenemos que multiplicar(porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidadseguida de dos ceros, ya que entre el metro y el centımetro hay dos lu-gares de separacion.

50× 100 = 5000cm

Ejemplo Pasar 4385 mm a m

Para pasar de milımetros a metros tenemos que dividir (porque vamos apasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tresceros, ya que hay tres lugares de separacion

4385÷ 1000 = 4.385m


Medidas y Magnitudes 135

Otras medidas de longitud:

Para medir distancias muy grandes sobre todo en astronomıa se utilizan:

• Unidad astronomica:Es la distancia media Tierra-Sol. Se utiliza en la medicion de orbitas y trayectoriasdentro del Sistema Solar.

1 UA = 149.597.871 km

• El ano-luz:Es igual a la distancia recorrida por la luz en un ano solar medio. Se emplea enastronomıa para medir grandes distancias. El ano-luz es aproximadamente igual a:

1 ano-luz ≈ 9.461.000.000.000 km

• El parsec:Unidad de medida astronomica correspondiente a la distancia que habrıa a unaestrella que tuviera una paralaje de un segundo. El parsec es aproximadamenteigual a:

1 parsec ≈ 30.857.000.000.000 km

Para medidas microscopicas se utilizan:

• La micra o micrometro:Equivale a una millonesima parte de un metro.

1 m = 0.000001 m

• El nanometro:Utilizado para medir la radiacion ultravioleta, radiacion infrarroja y la luz. Recien-temente la unidad ha cobrado notoriedad en el estudio de la nanotecnologıa, areaque estudia materiales que poseen dimensiones de unos pocos nanometros. Equivalea una mil millonesima parte de un metro.

1 nm = 0.000000001 m

• El angstrom:Es la unidad empleada principalmente para expresar longitudes de onda, distanciasmoleculares y atomicas. Equivale a una diezmil millonesima parte de un metro.

1 A = 0.0000000001 m

Medidas de Masa

La unidad principal para medir masas es el gramo.

Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las mas usuales son:



kilogramo kg 1000 g

hectogramo hg 100 g

decagramo dag 10 g

gramo g 1 g

decigramo dg 0.1 g

centigramo cg 0.01 g

miligramo mg 0.001 g

Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una unidadmayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidadseguida de tantos ceros como lugares haya entre ella.

Ejemplo Pasar 50 kg a dg

Tenemos que multiplicar, porque el kilogramo es mayor que el decigramo;por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay cuatro lugares entreambos.

50kg × 10.000 = 500.000dg

Ejemplo Pasar 408 mg a dg

Tenemos que dividir, porque el miligramo es menor que el decigramo,por la unidad seguida de dos ceros, ya que hay dos lugares entre ambos

408÷ 100 = 4.08dg

Otras medidas de masa:

• Tonelada metrica:Se utiliza para medir masas muy grandes.

1 t = 1000 kg

• Quintal metrico:Utilizado en la agricultura.

1 q = 100 kg

Medidas de Capacidad

La unidad principal para medir capacidades es el litro.

Tambien existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores:



kilolitro kl 1000 l

hectolitro hl 100 l

decalitro dal 10 l

litro l 1 l

decilitro dl 0.1 l

centilitro cl 0.01 l

mililitro ml 0.001 l

Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una unidadmayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidadseguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.

Ejemplo Pasar 50 hl a cl

Tenemos que multiplicar, porque el hectolitro es mayor que el centilitro;por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay cuatro lugares entreambos.

50× 10.000 = 500.000 cl

Ejemplo Pasar 2587 cl a l

Tenemos que dividir, porque el centilitro es menor que el litro, por launidad seguida de dos ceros, ya que hay dos lugares entre ambos.

2587÷ 100 = 25.87 l

Medidas de Superficie

La unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la superficiede un cuadrado que tiene 1 metro de lado.

Otras unidades mayores y menores son:

kilometro cuadrado km2 1.000.000 m2

hectometro cuadrado hm2 10.000 m2

decametro cuadrado dam2 100 m2

metro cuadrado m2 1 m2

decımetro cuadrado dm2 0.01 m2

centımetro cuadrado cm2 0.0001 m2

milımetro cuadrado mm2 0.000001 m2

Observamos que desde los submultiplos, en la parte inferior, hasta los multiplos, en laparte superior, cada unidad vale 100 mas que la anterior.



Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicaro dividir por la unidad seguida de tantos pares de ceros como lugares haya entre ellas.

Ejemplo Pasar 1.5 hm2 a m2

Tenemos que multiplicar, porque el hm2 es mayor que el m2; por launidad seguida de cuatro ceros, ya que hay dos lugares entre ambos.

1.5× 10.000 = 15.000 m2

Ejemplo Pasar 15.000 mm2 a m2

Tenemos que dividir, porque el mm2 es menor que el m2, por la unidadseguida de seis ceros, ya que hay tres lugares entre ambos.

15.000÷ 1.000.000 = 0.015 m2

Medidas de superficie agrarias

Para medir extensiones en el campo se utilizan las llamadas medidas agrarias:

• La hectarea: que equivale al hectometro cuadrado.

1 Ha = 1 Hm2 = 10.000 m2

• El area: equivale al decametro cuadrado.

1 a = 1 dam2 = 100 m2

• La centiarea: equivale al metro cuadrado.

1 ca = 1 m2

Ejemplo Expresar en hectareas

· 211.943 a

211.943÷ 100 = 2.119, 43 ha

· 356.500 m2

356.500÷ 10.000 = 35.65 hm2 = 35.65 ha

· 0.425 km2

0.425× 100 = 42.5 hm2 = 42.5 ha

· 91 m2 33 dm2 10 cm2

91÷ 10.000 + 33÷ 1.000.000 + 10÷ 100.000.000

= 0.00913310 hm2 = 0.00913310 ha

Medidas de Volumen

La medida fundamental para medir volumenes es el metro cubico.

Otras unidades de volumenes son:



kilometro cubico km3 1.000.000.000 m3

hectometro cubico hm3 1.000.000 m3

decametro cubico dam3 1.000 m3

metro cubico m3 1 m3

decımetro cubico dm3 0.001 m3

centımetro cubico cm3 0.000001 m3

milımetro cubico mm3 0.000000001 m3

Observamos que desde los submultiplos, en la parte inferior, hasta los multiplos, en laparte superior, cada unidad vale 1000 mas que la anterior.

Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicaro dividir por la unidad seguida de tantos trıos de ceros como lugares haya entre ellas.

Ejemplo Pasar 1.36 hm3 a m3

Tenemos que multiplicar, porque el hm3 es mayor que el m3; por launidad seguida de seis ceros, ya que hay dos lugares entre ambos.

1.36× 1.000.000 = 1.360.000 m3

Ejemplo Pasar 15.000 mm3 a cm3

Tenemos que dividir, porque el mm3 es menor que el cm3, por la unidadseguida de tres ceros, ya que hay un lugar entre ambos.

15.000÷ 1000 = 15 cm3

Relacion entre unidades de capacidad, volumen y masa

Existe una relacion muy directa entre el volumen y capacidad. 1 l es la capacidad quecontiene un recipiente cubico de 1 dm de arista; es decir, la capacidad contenida en unvolumen de 1 dm3.

Tambien existe una relacion entre el volumen y la masa de agua. 1 g equivale a 1 cm3 deagua pura a 4 ◦C.

Capacidad Volumen Masa (de agua)

1 kl 1 m3 1 t

1 l 1 dm3 1 kg

1 ml 1 cm3 1 g



Ejemplo Expresar en litros

· 23.2 m3

23.200 dm3 = 23.200 l

· 0.07 m3

70 dm3 = 70 l

· 5.2 dm3

= 5.2 l

· 8.800 cm3

8.8 dm3 = 8.8 l

9.2 § Medidas Tradicionales §

Medidas de Longitud

La unidad fundamental era la vara, su valor mas usado era el de 83.6 cm.

Otras medidas eran:

• Pulgada: aproximadamente 2.3 cm

• Palmo = 9 pulgadas, aproximadamente un 20.9 cm.

• Pie = 12 pulgadas, aproximadamente 27.9 cm.

• Vara = 3 pies = 4 palmos, aproximadamente 83.6 cm.

• Paso = 5 pies, aproximadamente 1.39 m.

• Milla = 1000 pasos, aproximadamente 1.39 km.

• Legua = 4 millas, aproximadamente 5.58km.

Medidas de Capacidad

Para lıquidos: Cantara = 16.13 l

Para solidos: Fanega = 55.5 l

Medidas de Masa

La unidad fundamental era la libra, su valor mas usado era el de 460 g.

Otras medidas eran:

• Onza = 1/4 libra, aproximadamente 115 g.


Sistema Ingles 141

• Libra = 460 g

• Arroba = 25 libras, aproximadamente 11.5 kg.

Medidas de Superficie

Fanega de tierra = 65 areas = 6 500 m2.

9.3 § Sistema Ingles o Sistema Imperial Britanico §

Medidas de longitud

• Pulgada = 2.54 cm.

• Pie = 12 pulgadas = 30.48 cm.

• Yarda = 3 pies = 91.44 cm.

• Braza = dos yardas = 1.829 m.

• Milla terrestre = 880 brazas = 1.609 km.

• Milla nautica = 1 852 m.

Medidas de capacidad

• Pinta (Gran Bretana) = 0.568 l.

• Pinta (EE.UU.) = 0.473 l.

• Barril = 159 l.

Medidas de masa

• Onza = 28.3 g.

• Libra = 454 g.

Medidas de superficie

Acre = 4 047 m2.

Problemas

1. Expresa en metros:

(a) 3 km 5 hm 7 dam

(b) 7 m 4 cm 3 mm



(c) 25.56 dam + 526.9 dm

(d) 53 600 mm + 9 830 cm

(e) 1.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm

2. Expresa en litros:

(a) 3 kl 5 hl 7 dal

(b) 7 l 4 cl 3 ml

(c) 25.56 dal + 526.9 dl

(d) 53 600 ml + 9 830 cl

(e) 1.83 hl + 9.7 dal + 3 700 cl

3. Expresa en gramos:

(a) 5 kg 3 hg 4 g

(b) 4 hg 8 dag 2 g 5 dg

(c) 2 dag 3 g 8 dg 7 cg

(d) 35 dg 480 cg 2.600 mg

4. Expresa en centilitros:

(a) 3 dal 7 l 5 dl 4 cl 5 ml

(b) 6 hl 8 l 2 ml

(c) 0.072 kl + 5.06 dal + 400 ml

(d) 0.000534 kl + 0.47 l

5. Expresa en centıgramos:

(a) 3 dag 7 g 5 dg 4 cg 5 mg

(b) 6 hg 8 g 2 mg

(c) 0.072 kg + 5.06 dag + 400 mg

(d) 0.000534 kg + 0.47 g

6. Expresa en metros:

(a) 5 km 3 hm 4 m

(b) 4 hm 8 dam 2 m 5 dm

(c) 2 dam 3 m 8 dm 7 cm

(d) 35 dm 480 cm 2.600 mm

7. Pasa a decımetros cuadrados:

(a) 0.027 dam2

(b) 0.35 m2

(c) 438 cm2

(d) 90.000 mm2

8. Expresa en metros cuadrados:


Sistema Ingles 143

(a) 5 hm2 24 dam2 60 dm2 72 cm2

(b) 0.00351 km2 + 4700 cm2

(c) 0.058 hm2 − 3.321 m2

9. Expresa en hectareas:

(a) 431.943 a

(b) 586.500 m2

(c) 0.325 km2

(d) 7 km2 31 hm2 50 dam2

(e) 51 m2 33 dm2 70 cm2

10. Pasa a centımetros cubicos:

(a) 5.22 dm3

(b) 6.500 mm3

(c) 3.7 dl

(d) 25 cl

11. Expresa en litros:

(a) 13.2 m3

(b) 0.05 m3

(c) 3.9 dm3

(d) 7.700 cm3

12. Calcula y expresa el resultado en metros cubicos:

(a) 7.200 dm3 + (3.5 m3 4.600 dm3)

(b) 0.015 hm3 − (570 m3 5.3 dm3)


Bibliografıa

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145

principios basicos de aritmetica

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