7/26/2019 Principio de Trabajos Virtuales

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Principio de Trabajos Virtuales

(una reformulacin "dbil" de las ecuaciones de equilibrio)

En convencin de signos de resistencia de materiales (cargas y desplazamientos transversales

positivos hacia arriba; las fuerzas cortantes son positivas cuando corresponden a un pardextroso; los momentos flectores son positivos cuando se producen compresiones en la fibra

superior):

Vdx

dM

qdx

dV

0

2

2

qxd

Md

Multiplicando por una funcin arbitraria )(* xv e integrando en toda la longitud:

00 2

2

*

dxqxd

Mdv

L

Integrando por partes:

00

*

2

*2

0

*

0

*

0

**

0

*

0 2

2*

dxqvMdx

vdM

dx

vdVv

dxqvxd

dM

dx

vdVvdxq

xd

Mdv

LL

L

LLL

Si )(* xv fuera un hipottico desplazamiento transversal (que no es el desplazamiento real y

por ello se denomina virtual), su primera derivada sera el giro virtual )(* x y su segunda

derivada la curvatura virtual )(*x (todo eso con las aproximaciones comunes de la teora de

vigas). Entonces, aplicando los lmites y reordenando trminos:

dxMdxqvMLMLVvLVLvLL

0**

0

**** )0()0()()()0()0()()(

Conviene ahora reescribir esta expresin empleando las convenciones tpicas del anlisis

estructural por mtodos de rigideces:

ijj

jj

jii

ii

MLML

VLVvLv

MM

VVvv

)()(

)()(

)0()0(

)0()0(

**

**

**

**

Obtenindose:

dxMdxqvMVvMVvLL

ijjjjjiiii 0**

0

****

Si una viga ( o en general una estructura) est en equilibrio y se consideran desplazamientos

virtuales arbitrarios (que no modifiquen las condiciones de apoyo), el trabajo desarrollado por

las fuerzas externas al desplazarse sobre los desplazamientos virtuales es igual al trabajo

desarrollado por los esfuerzos internos sobre las correspondientes deformaciones virtuales.

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Nota: Con las hiptesis tradicionales de la teora de vigas, el nico esfuerzo que realiza trabajo

en la situacin tratada en la pgina anterior es zIMx )/( . La correspondiente deformacin

(virtual) es zx**

. El trabajo desarrollado por el esfuerzo x sobre la deformacin virtual*x resulta:

dxMdxdAzIMdxdAL

A

Lx

A x

L

0*2

*

0

*

0

Matrices de rigidez y fuerzas estticamente equivalentes a las acciones distribuidas:

Los desplazamientos de los nudos pueden interpolarse para obtener el desplazamiento

transversal )(xv en cualquier posicin. Considerando Lxr / :

)(232232 )1(23)1(231 e

j

j

i

i

v

v

LrrrrLrrrrv uN

que es exacta si no se consideran las deformaciones de corte, se obtiene:

)(

)(

22

)23(2)12(6)13(2)21(6

e

e

j

j

i

i

EIEIM

v

v

L

r

L

r

L

r

L

rv

uB

uB

Considerando los desplazamientos virtuales**

uNv y las correspondientes curvaturas

virtuales**

uB , donde los *u son desplazamientos nodales virtuales arbitrarios, se obtiene

)(

0

*

0

** eL

TTTL

T

ij

j

ji

i

T dxEIdxq

M

V

M

V

uBBuNuu

Y dado que los desplazamientos nodales virtuales son arbitrarios, se puede cancelar el factor*

u , obtenindose:)()()(

0)( eeee

uKff en la que:

ij

j

ji

i

e

M

V

M

V

)(f

dxqTL

eNf 0

)(0

dxEIL

Te

0)(

BBK