primera practica de metodos numericos
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MÉTODOS NUMÉRICOSPractica N°1: Errores
1. Si la expresión 4 x
(3−2 x2)2 es evaluada en x=1.22 ¿Cuál es el error relativo porcentual si se
trabaja usando aritmética de 3 dígitos con corte en cada operación?SOLUCIÓN:
Evaluamos la expresión cuando X =1.22 ENTONCES⇒ 4 (1.22)
[3−2 (1.22 )2]2= 9066.587396
Este resultado es el valor real del cálculo de la expresión (p)
Ahora aplicando aritmética de tres dígitos con corte en cada operación:
4(1.22)[3−2 (1.22 )2]2
= 4.88[3−2(1.48)]2
= 4.88[3−2.96 ]2
= 4.88[0.44]2
= 4.881.6×10−3
= 3050
Este resultado es el valor de la aproximación (p*)
Hallando el error relativo porcentual: ERP = ERx100Siendo:
ER=¿P¿−P∨ ¿P
=¿9066.5874−3050∨ ¿9066.5874
=0.6636 ¿¿
Respuesta: Siendo entonces el error relativo porcentual de 66%.
2. Si en el ejercicio anterior se trabaja con los tres dígitos de corte con redondeo. ¿el error relativo % aumenta o disminuye?SOLUCIÓN:
Si trabajamos con tres cifras de corte con redondeo:
ENTONCES⇒
Variaría laaproximación y el nuevo p∗seria :
4(1.22)[3−2 (1.22 )2]2
= 4.88[3−2(1.49)]2
= 4.88[3−2 .98]2
= 4.88[0.02]2
= 4.884×10−4
= 12200
Habiendo aumentado el valor de p*, ahora veamos cómo afecta esto al error relativo:
ER=¿P¿−P∨ ¿P
=¿9066.5874−12200∨ ¿9066.5874
=0.3456 ¿¿
Rpta≫≫Al usar redondeo obtenemos un valor de aproximación de 12200 más cercano al valor real por ende el error relativo disminuye.
3. Evalué el polinomio y=x3−5 x2+6 x+0.55 en x=2.73a. Use aritmética de tres dígitos de corte. Evalué el error relativo.b. Repita el paso a pero exprese y como y= [(x-5) x+6] x+0.55 Evalué el error relativo y
compare con el inciso; ¿Aumentó o disminuyó?SOLUCIÓN:
a. Evaluando la función en : x=2.73 ; y=x3−5 x2+6 x+0.55
y=(2.73)3−5 (2.73 )2+6 (2.73 )+0.55=0.011917
Ahora aplicando aritmética de tres dígitos con corte en cada operación:
y¿=(2.73)3−5 (2.73 )2+6 (2.73)+0.55
y¿=20.3−37.2+16.3+0.55=−0.05
Hallando el error relativo:
ER=|y− y¿|
y=
|0.011917−(−0.05)|0.011917
=5.195686834
b. Evaluamos la función como: y= [ (x−5 ) x+6 ] x+0.55 ;en x=2.73
y= [ (2.73−5 )2.73+6 ]2.73+0.55=0.011917
Ahora aplicando aritmética de tres dígitos con corte en cada operación en esta forma: y¿=[ ( x−5 ) x+6 ] x+0.55 ; x=2.73
y¿=[ (2.73−5 )2.73+6 ]2.73+0.55
y¿=[ (−2.27 )2.73+6 ]2.73+0.55
y¿=[−6.19+6 ]2.73+0.55
y¿=[−0.19 ]2.73+0.55
y¿=−0.518+0.55
y¿=0.032
Hallando el error relativo:
ER=|0.011917−0.032|
0.011917=1.685239
Rpta≫≫Ocurriendo que al recortar una operación distinta la aproximación obviada también es distinta, disminuyendo en este caso el error relativo.
Practica N°2: Método de bisección y falsa posición
1. Si la longitud del intervalo inicial es 3 ¿Cuántas iteraciones se necesitan en el método de bisección para satisfacer una tol de 0.005? ¿Y si el intervalo fuera (2,3)? ¿Cuál sería el número de iteraciones?SOLUCIÓN:
a. Siendo el intervalo un valor de 3ENTONCES⇒
b−a=3 y tol=0.005
Por fórmula b−a2n ≤ tol :
32n ≤0.005
600≤2n
ln 600ln 2
≤n
9.23≤n
ENTONCES⇒
n=10
Rpta≫≫El número de iteraciones son 10.
b. Ahora si el intervalo es (2,3):ENTONCES⇒
b−a=1 y tol=0.005
12n ≤0.005
200≤2n
ln 200ln 2
≤n
7.64≤n
ENTONCES⇒
n=8
Rpta≫≫El número de iteraciones son 8.
2. Aplique el método de bisección para encontrar la raíz de x−2−x=0 en el intervalo (0,1) trabaje tres iteraciones.a. ¿Cuál es la solución luego de las tres iteraciones?b. ¿Cuántas iteraciones más se deben realizar si la tolerancia es 0.001?
SOLUCIÓN:
Siendo el f ( x )=x−2−x=0 en el intervalo (0,1)
a. Aplicamos el método de bisección :
n a c b F(a) F(c) F(b) MEP1 0 0.5 1 -1 -0.207107 0.5 0.5
2 0.5 0.75 1 -0.207107 0.155396 0.5 0.25
3 0.5 0.625 0.75 -0.207107 -0.023420 0.155396 0.125
Rpta≫≫Siendo la solución 0.625
La programación y corrida del programa:
x f(x)0 -11 0.5
b. Usando un tol=0.001 :
Por fórmula b−a2n ≤ tol
12n ≤0.001
1000≤2n
ln 1000ln 2
≤ n
9.97≤n
ENTONCES⇒
n=10
Rpta≫≫Se deben realizar 7 iteraciones más.
La programación y corrida del programa:
3. El polinomio de cuarto grado:
f ( x )=230 x4+18 x3+9 x2−221 x−9Tienen dos ceros reales uno en (-0.08,0) y otro en (0.08,1) Trabaje dos iteraciones del método de falsa posición en el intervalo positivo e indique el numero de cifras significativas de dicho resultado, luego de las dos iteraciones.SOLUCIÓN:
Aplicando el método de falsa posición en el intervalo (0.8, 1):
n a c b F(a) F(c) F(b)1 0.8 0.947884 1 -76.616 -9.393214 272 0.947884 0.961335 1 -9.393214 -0.707161 27
Para hallar “c”: c=b−(b−a ) f (b)f (b )−f (a)
Sabiendo que: ¿
( 0.961335−0.9478840.961335 )<5 x10−t
0.013992≤5 x10−t
2.798 x10−3≤10−t
log (2.798 x10−3 )≤−t
2.55≥ t
ENTONCES⇒
t = 2
Aplicando el método de falsa posición en el intervalo (-0.08, 0):
n a c b F(a) F(c) F(b)1 -0.08 -0.04059 0 8.7378 --0.015361 -92 -0.08 -0.03928 -0.04059 8.7378 -0.305777 --0.015361
(−0.03928+0.04059−0.03928 )<5x 10−t
0.03335≤5 x10−t
6.670 x10−3≤10−t
log (6.670 x10−3 )≤−t
3.82≥t
ENTONCES⇒
t = 3
La programación y la corrida del programa:
Practica N°3:
1. Resolver:a. Si en la siguiente función f ( x )=x ex−2 x3+4 x−15=0se despeja el primer x del
primer término. Si se aplica el método del punto fijo. Indique si habrá convergencia o divergencia y de qué tipo.
b. Aplica el método de Newton Raphson (4 iteraciones) e indique si hay o no convergencia.
SOLUCIÓN:
a. Siendo la función f ( x )=x ex−2 x3+4 x−15=0 y aplicando método de punto fijo:
x F(x)2 -8.2213 3.257
x=2x3−4 x+15ex =G ( x )
n G(x) EA0 2.5 -----1 2.9756 0.47562 2.8463 0.12933 2.8874 0.0411 4 2.8749 0.0125
Rpta≫≫ Siendo una convergencia monotómica.
b. Aplicamos el método de Newton Raphson:
f ( x )=x ex−2 x3+4 x−15=0
f ’(x) = ex +xex−¿ 6x2 + 4 x1= X0
−f ( x)f ¿¿
x2= X1−f ( x1)
f ¿¿
x3= X2−f ( x2)
f ¿¿ x4= X3−f ¿¿
n Xn EA0 2.5 -----1 3.1334 0.63342 2.9354 0.19803 2.8814 0.0544 2.8779 0.0035
Rpta≫≫ Si es convergente
La programación y la corrida del programa:
2. Determine las raíces del sistema de ecuaciones:
y=−x2+x+0.5 tol=0.01
y+5 xy=x2 Usar el método de punto fijo.SOLUCIÓN:
y = x2
5x+1 ... (2)
Hacemos (2) en (1) : x2
5x+1 = −x2+ x+0.5
x2+(x2−x−0.5)(5 x+1)5 x+1
=0
F(x) =5x3 -3x2 -3.5x-0.5 = 0
Hallando el g(x):
5x3 = 3x2 + 3.5x + 0.5
Despejamos “x”:
X¿( 3 x2+3.5x+0.55
)1 /3
= ¿)1/3 = g(x)
X F(x)0 -0.51 -22 20.5
Siendo X0 =1.5:
n G(x) EA ER0 1.5 ---- ----1 1.3572 0.1428 0.10522 1.2917 0.0655 0.05073 1.2610 0.0307 0.02434 1.2465 0.0145 0.01165 1.2396 0.0069 0.0056
Rpta≫≫ Es convergente
La programación y la corrida del programa: