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Gradiente

En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo

vectorial. El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio

de , ( ), indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente y

su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector

gradiente. El gradiente se representa con el operador

diferencial nabla seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente

con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre

el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante , o

usando la notación . La generalización del concepto de gradiente a

campos vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.

Definición

Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una

presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un

punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará

más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel

de una montaña como campo escalar, que asigna a cada pareja de coordenadas

latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso

el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima

inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a

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las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define

como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas

parciales del campo escalar, esto es:

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las

derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional

según un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que,

multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El

gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

Interpretación del gradiente

De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal

(perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese

(x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos ejemplos son:

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TONY CARDENAS ALVARADO 3

Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un

campo escalar, de tal manera que en cualquier punto , la

temperatura es . Asumiremos que la temperatura no varía con

respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el

gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura

aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuan rápido

aumenta la temperatura en esa dirección.

Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define como

H(x, y). El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que

hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará

cuán empinada se encuentra la pendiente.

Propiedades

El gradiente verifica que:

Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.

Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.

Su norma es igual a esta derivada direccional máxima.

Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).

El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional,

esto es,

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Expresión en diferentes sistemas de coordenadas

A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de

coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores

de escala, mediante la expresión

Para coordenadas cilíndricas ( , ) resulta

y para coordenadas esféricas ( , , )

En un sistema de coordenadas curvilíneo general el gradiente tiene la forma:

donde en la expresión anterior se usa el convenio de sumación de Einstein.

Gradiente de un campo vectorial

Ver también Tensor_deformación#Tensores_finitos_de_deformación

TRABAJO-FISICA 3

TONY CARDENAS ALVARADO 5

En un espacio euclidiano tridimensional, el concepto de gradiente también

puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente

de un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento:

Fijada una base vectorial, este tensor podrá representarse por una matriz

3x3, que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas

parciales de las tres componentes del campo vectorial. El gradiente de

deformación estará bien definido sólo si el límite anterior existe para todo y

es una función continua de dicho vector.

Técnicamente el gradiente de deformación no es otra cosa que la aplicación

lineal de la que la matriz jacobiana es su expresión explícita en coordenadas.

Ejemplos

1. Dada la función su vector gradiente es

el siguiente:

2. Dada la función su vector

gradiente es el siguiente:

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TONY CARDENAS ALVARADO 6

3. Dada la función su vector

gradiente es el siguiente:

Aplicaciones

Aproximación lineal de una función

El gradiente de una función definida de Rn → R caracteriza la

mejor aproximación lineal de la función en un punto particular en Rn. Se

expresa así:

donde es el

gradiente evaluado en

Aplicaciones en física

La interpretación física del gradiente es la siguiente: mide la rapidez de

variación de una magnitud física al desplazarse una cierta distancia. Un

gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede

presentar variaciones importantes (aquí se entiende por gradiente alto o grande

uno tal que su módulo es grande). Un gradiente de una magnitud pequeño o

nulo implica que dicha magnitud apenas varía de un punto a otro.

El gradiente de una magnitud física posee innumerables aplicaciones en

física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular,

TRABAJO-FISICA 3

TONY CARDENAS ALVARADO 7

existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de

un potencial escalar.

Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico:

Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo

escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una

fuerza conservativa deriva de la energía potencial como:

Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que

verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por

ejemplo, el flujo de calor en un material es directamente proporcional al

gradiente de temperaturas

siendo la conductividad térmica.

TRABAJO-FISICA 3

TONY CARDENAS ALVARADO 8

Divergencia

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo

saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que

rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la

divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será

negativa.

La Divergencia de un campo vectorial

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar,

y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen

conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

donde es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite.

El símbolo representa el operador nabla.

Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del

campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es

positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es

negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo

dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico,

siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del

campo eléctrico.

TRABAJO-FISICA 3

TONY CARDENAS ALVARADO 9

Se llaman fuentes escalares del campo al campo escalar que se obtiene

a partir de la divergencia de

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través

del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.

Coordenadas cartesianas

Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo

expresado en coordenadas cartesianas,

el resultado es sencillo:

Coordenadas ortogonales

Sin embargo, para un caso más general de coordenadas

ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión

se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la

posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:

Donde los son los factores de escala del sistema de coordenadas,

relacionados con la forma del tensor métrico en dicho sistema de

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TONY CARDENAS ALVARADO 10

coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas

cartesianas ( ) se reduce a la expresión anterior.

Para coordenadas cilíndricas ( ) resulta:

Para coordenadas esféricas ( ) resulta

Coordenadas generales

En sistemas de coordenadas generales, no necesariamente ortogonales,

la divergencia de un vector puede expresarse en términos de las

derivadas parciales respecto a las coordenadas y el determinante

del tensor métrico:

Divergencia de un campo tensorial

El concepto de divergencia puede extenderse a un campo tensorial de

orden superior. En una variedad de Riemann la divergencia de un tensor

T completamente simétrico

Se define como:

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TONY CARDENAS ALVARADO 11

Por ejemplo, en teoría de la relatividad especial la energía de un sistema

se representa por un tensor simétrico de segundo orden, cuya

divergencia es cero. De hecho el principio de conservación de la

energía relativista toma la forma:

Teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia, frecuentemente llamado teorema de Gauss,

relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie

cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en el interior del

volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante

tanto en aplicaciones relacionadas con la electrostática como en

la mecánica de fluidos.

El teorema se enuncia así: Sea una función vectorial diferenciable

definida sobre un conjunto y sea un conjunto

cerrado limitado por una frontera o superficie de contorno (que sea

una variedad diferenciable) y sea el vector normal en cada punto de la

superficie, entonces se cumple que:

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Rotacional

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que

muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un

punto.

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del

campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

Aquí, es el área de la superficie apoyada en la curva , que se reduce a un

punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un

vector), sino solo su componente según la dirección normal a y orientada

según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán

calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas

en planos perpendiculares.

Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de

cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo

encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por

una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en

todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:

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La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el

interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre

la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro

de la rueda.

Fuente vectorial y escalar

Al campo vectorial, , que se obtiene calculando el rotacional de un campo en

cada punto,

se conoce como las fuentes vectoriales de (siendo las fuentes escalares las

que se obtienen mediante la divergencia).

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se

denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está

definido sobre un dominiosimplemente conexo entonces dicho campo puede

expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el

campo deriva de un potencial (es decir, es conservativo):

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Expresión en coordenadas cartesianas

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la

expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es

que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del

operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante

un determinante:

Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues

los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de

sentido. Además dicho determinante sólo puede desarrollarse por la primera

fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar

fácilmente la expresión del rotacional.

En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:

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Expresión en otros sistemas de coordenadas

Si se emplean sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano, la expresión

debe generalizarse, para incluir el que los vectores de la base dependen de la

posición. Para un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas,

las cilíndricas o las esféricas, la expresión general precisa de los factores de

escala:

(donde, en cartesianas, y reobtenemos la expresión

anterior. En coordenadas cilíndricas y en coordenadas

esféricas ).

Expresión mediante formas diferenciales[editar]

Usando la derivada exterior, el rotacional se escribe simplemente como:

Obsérvese que tomando la derivada exterior de un campo (co)vectorial no da

lugar a otro campo vectorial, sino a una 2-forma o un campo de bivector, escrito

TRABAJO-FISICA 3

TONY CARDENAS ALVARADO 16

correctamente como . Sin

embargo, puesto que los bivectores generalmente se consideran menos

intuitivos que los vectores ordinarios, elR³-dual se utiliza comúnmente en lugar

de otro: esto es una operación quiral, produciendo un pseudovector que

adquiere valores opuestos en conjuntos coordenados izquierdos y derechos.

Propiedades

Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial

escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,

Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro)

es irrotacional.

En particular, el campo eléctrostático de una carga puntual (y por superposición,

cualquier campo electrostático) es irrotacional.

El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto

es, su divergencia siempre es nula:

Ejemplos

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TONY CARDENAS ALVARADO 17

Un campo vectorial sencillo

Sea el campo vectorial:

que depende linealmente de x e y, que se muestra a continuación:

Mediante inspección visual, se observa que el campo está girando. Si indicara la

dirección de un fluido y se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que

se utilizaban en los barcos de vapor, tendería a rotar en el sentido de las agujas

del reloj. Utilizando la Regla de la mano derecha el vector rotacional apuntará a

la parte negativa del eje zeta (hacia dentro) y no contendrá componentes en el

eje x o y.

Calculando el rotacional:

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Que está en la parte negativa del eje z, como se esperaba. En este caso, el

rotacional es constante, independientemente de su posición. La "cantidad" de

rotación es el mismo en todo punto del espacio. La siguiente figura muestra el

rotacional del campo vectorial en tres dimensiones.

Un ejemplo más complejo

Supongamos otro campo vectorial un poco más complejo:

Su gráfica es:

TRABAJO-FISICA 3

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No se observa con facilidad que este campo sea rotacional, pero investigando

un poco se puede observa que, por ejemplo, el campo es mayor en x=4 que en

x=3. Al igual que en el caso anterior, si pusiéramos de nuevo una rueda de

palas en la zona derecha del gráfico, la «corriente» más fuerte a la derecha

haría rotar a la rueda en el sentido de las agujas del reloj, lo cual corresponde

a un rotacional en la dirección negativa del eje z. En la parte izquierda del gráfico

se observa que la corriente más fuerte esta hacia la izquierda por lo que las

palas girarían en el sentido contrario a las agujas del reloj y el rotacional, en

este caso, apuntaría hacia la parte positiva el eje z. Computando el rotacional

podemos comprobar las suposiciones realizadas.

Efectivamente, el rotacional apunta a la dirección positiva del eje z para x

negativa y a la parte negativa del eje z para x positivo. Obsérvese que el

rotacional ya no es uniforme en todos los puntos:

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Obsérvese que el rotacional solamente depende de la coordenada x.

Otros ejemplos

En un tornado los vientos están rotando sobre el ojo, y un campo vectorial que

muestra las velocidades del viento tendría un rotacional diferente de cero en el

ojo, y posiblemente en otras partes (véase vorticidad).

En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte

individual de un disco que rota, el rotacional tendrá un valor constante

en todas las partes del disco.

Si una autopista fuera descrita con un campo vectorial, y los carriles

tuvieran diversos límites de velocidad, el rotacional en las fronteras entre

los carriles sería diferente de cero.

La ley de Faraday de la inducción y la ley de Ampère-Maxwell, dos de

las ecuaciones de Maxwell, se pueden expresar muy simplemente usando

TRABAJO-FISICA 3

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el rotacional. La primera indica que el rotacional de un campo eléctrico

es igual a la tasa de variación de la densidad del flujo magnético, con

signo opuesto debido a la Ley de Lenz; la segunda indica que el rotacional

de un campo magnético es igual a la suma de la densidad de corrientes

y la derivada temporal de la densidad de flujo eléctrico.

Operador laplaciano

En cálculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador

diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos

problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El

operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace que

estudió soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que

aparecía dicho operador.

Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las

segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable.

Corresponde a div (grad φ), de donde el uso del símbolo delta (Δ)

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o nabla cuadrado ( ) para representarlo. Si , son un campo escalar y un

campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en

términos del operador nabla como:

Problemas relacionados con el operador laplaciano

En física, el laplaciano aparece en múltiples contextos como la teoría del

potencial, la propagación de ondas, la conducción del calor, la distribución

de tensiones en un sólido deformable, etc. Pero de todas estas situaciones ocupa

un lugar destacado en la electrostática y en la mecánica cuántica. En la

electrostática, el operador laplaciano aparece en la ecuación de Laplace y en

la ecuación de Poisson. Mientras que en la mecánica cuántica el laplaciano de

la función de onda de una partícula da la energía cinética de la misma.

En matemáticas, las funciones tales que su laplaciano se anula en un

determinado dominio, se llaman funciones armónicas sobre el dominio. Estas

funciones tienen una excepcional importancia en la teoría de funciones de

variable compleja. Además el operador laplaciano es el ingrediente básico de

la teoría de Hodge y los resultados de lacohomología de De Rham.

Motivación de la ubicuidad del operador laplaciano

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Una de las motivaciones por las cuales el Laplaciano aparece en numerosas

áreas de la física es que las soluciones de la ecuación en una

región U son funciones que minimizan el funcional de energía:

Para ver esto supóngase que es una función, y es una

función que se anula sobre la frontera de U. Entonces,

donde la última igualdad se sigue usando la primera identidad de Green. Este

cálculo muestra que si , entonces el funcional de energía E es

estacionario alrededor def. Recíprocamente, si E es estacionario alrededor de f,

entonces por el teorema fundamental del cálculo integral.

Otra razón de su ubicuidad es que cuando uno escribe la ecuación de Laplace

en forma diferencias finitas se aprecia que el Laplaciano en un punto es la

diferencia entre el valor de la función en el punto y el valor de la función

alrededor. Es decir, cualquier magnitud que puede expresarse como una

magnitud flujo que se conserva satisface la ecuación de Laplace.

Propiedades del operador laplaciano

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El laplaciano es lineal:

La siguiente afirmación también es cierta:

Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas

Coordenadas cartesianas

En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionales, el laplaciano de una

función f es:

En coordenadas cartesianas tridimensionales:

En coordenadas cartesianas en :

Coordenadas cilíndricas

En coordenadas cilíndricas :

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Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas :

Coordenadas curvilíneas ortogonales

En coordenadas ortogonales generales :

Donde son los factores de escala del sistema de coordenadas, que

en general serán tres funciones dependientes de las tres coordenadas

curvilíneas.

D'Alembertiano

El operador D'Alembertiano es la generalización del operador laplaciano a

un espacio de Minkowski, o, más en general, a un espacio de dimensión y

métrica arbitraria. Se suele representar como , o simplemente como .

Técnicamente el D'Alembertiano de una función escalar es el operador de

Laplace-Beltrami asociado a la métrica de dicho espacio, operando sobre dicha

función.

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Su definición es, por analogía con el operador nabla ordinario de , el producto

escalar del vector de derivadas parciales consigo mismo. En una variedad

(pseudo)riemanniana el operador nabla se define como:

Esta forma manifiestamente covariante implica la invarianza de este operador

frente a transformaciones de Lorentz; y representa la ecuación de onda

electromagnética.

En el espacio de Minkowski

La métrica es la métrica plana , y por tanto

el D'Alambertiano es

En un espacio curvo

Se puede hacer que el operador D'Alembertiano sea también invariante frente

a una transformación general de coordenadas si se define en relación a

la derivada covariante:

Ejemplos

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Un ejemplo de utilización del D'Alambertiano sería la ecuación de Klein-Gordon,

que describe campos escalares de spin cero:

Wronskiano

En matemática, el wronskiano es un determinante introducido en 18121 por el

matemático polaco Józef Hoene-Wroński (1776-1853) y nombrado en 18822 por

el matemático escocés Thomas Muir (1844 – 1934). Se utiliza en el estudio de

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las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde a veces puede ser utilizado para

mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente.

Dado un conjunto de n funciones que son (n-1)-veces derivables, f1, ..., fn, el

wronskiano W(f1, ..., fn) está dado por:

El wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones

en el primer renglón (o fila), la primera derivada de cada función en el segundo

renglón, y así hasta la derivada n-1, formando así una matriz cuadrada, algunas

veces llamada matriz fundamental.

En una ecuación diferencial lineal de segundo orden, el wronskiano puede ser

calculado por computadora más fácilmente por la identidad de Abel.

El wronskiano y dependencia lineal (DAMA

El wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones

es linealmente independiente en un intervalo dado:

si el wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo,

entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el

intervalo.

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TONY CARDENAS ALVARADO 29

Esto es útil en muchas situaciones. Por ejemplo, si queremos verificar si dos

soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden son independientes,

quizás podamos usar el wronskiano. Notése que si el wronskiano es cero

uniformemente sobre el intervalo, las funciones pueden ser o no ser linealmente

independientes.

si un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo,

esto implica obligatoriamente que el wronskiano correspondiente

es uniformemente cero en el intervalo, pero lo segundo no implica lo

primero.

Una malinterpretación común (desafortunadamente promulgada en muchos

textos) es que si en cualquier lugar, implica una dependencia lineal - lo

que es incorrecto. Sin embargo si ... son funciones analíticas y en

todas partes, entonces ... son linealmente dependientes.

Ejemplos

Considérese las funciones y definidas para un número real x.

Obténgase el wronskiano:

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Se ve que no es cero uniforme, así que estas funciones deben ser linealmente

independientes.

Considérese las funciones , , y . Estas funciones son

claramente dependientes, ya que . Así, el

wronskiano debe ser cero, siguiendo un pequeño cálculo:

Como se mencionaba anteriormente, si el wronskiano es cero,

esto no significa en general que las funciones involucradas son

linealmente dependientes. Considerando las funciones y ; esto es,

el valor absoluto de . La segunda función puede ser escrita así:

Se puede revisar que estas dos funciones son linealmente independientes sobre

el conjunto de número reales, sin embargo, su wronskiano parece ser cero:

Definición abstracta

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Hay un sentido en el que el wronskiano de una ecuación diferencial lineal de

orden n-ésimo es el producto exterior n-ésimo. Para implementar esa idea se

debe trabajar con algunas formulaciones en las que las ecuaciones diferenciales

son suficientemente parecidas a vectores en el espacio: por ejemplo en el

lenguaje del fibrado vectorial llevando una conexión.

Comprobación: el wronskiano y dependencia lineal[editar]

El teorema es significativamente fácil de probar por medio de su segunda

declaración mencionada anteriormente, siendo: Si las funciones son linealmente

dependientes sobre el intervalo, entonces lo son también las columnas de la

matriz wronskiana asociada (la diferenciación es una operación lineal);

consecuentemente, el determinante wronskiano es cero en todos los puntos del

intervalo.

Jacobiano

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En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante

jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana

como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl

Gustav Jacobi.

En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a

la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde

la curva puede serembebida.

Matriz jacobiana

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de

primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta

matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En

este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial

jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz

dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases

diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún

tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz"

jacobiana es la siguiente, dada una aplicación

cualquiera continua, es decir se dirá que

es diferenciable si existe una aplicación lineal tal que:

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(1)

Función escalar

Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar . En este

caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide

con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable

puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:

Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que en

este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente.

Función vectorial

Supongamos es una función que va del espacio euclídeo n-

dimensional a otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función está

determinada por m funciones escalares reales:

Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de

estas m funciones pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz

jacobiana de F:

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TONY CARDENAS ALVARADO 34

Esta matriz es notada de diversas maneras:

Nótese que la fila, i-ésima fila coincidirá dada con el gradiente de la función yi,

para i = 1,...,m.

Si p es un punto de Rn y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada

por JF(p). En este caso, la aplicación lineal descrita por JF(p) es la

mejor aproximación linealde F cerca del punto p, de esta manera:

para x cerca de p. O con mayor precisión:

En ciertos espacios vectoriales de dimensión no finita, formados por funciones,

puede generalizarse el concepto de matriz jacobiana definiendo una aplicación

lineal jacobiana.

Ejemplos

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Ejemplo 1. La matriz jacobiana de la función F : R3 → R3 definida como:

es:

No siempre la matriz jacobiana es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2. Supóngase la función F : R3 → R4, cuyas componentes son:

Aplicando la definición de matriz jacobiana:

Determinante jacobiano

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Si m = n, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro.

En este caso la matriz jacobiana es cuadrada y podemos calcular su

determinante, conocido como el determinante jacobiano o simplemente

jacobiano.

El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante

sobre el comportamiento de F cerca de ese punto. Para empezar, una

función F es invertible cerca de p si el determinante jacobiano en p es no nulo.

Más aún, el valor absoluto del determinante en p nos da el factor con el

cual F expande o contrae su volumen cerca de p.

Ejemplos

Ejemplo 1. El determinante jacobiano de la función F : R3 → R3 definida como:

es:

El teorema de la función inversa garantiza que la función es localmente invertible

en todo el dominio excepto quizá donde ó (es decir, los valores

para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto pequeño

TRABAJO-FISICA 3

TONY CARDENAS ALVARADO 37

centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto

aproximadamente 40 veces más voluminoso que el original.

Ejemplo 2. Cambiando un poco la función anterior por ésta:

El determinante jacobiano quedará:

En este caso existen más valores que anulan al determinante. Por un lado

, y por otro:

con

Invertibilidad y jacobiano

Una propiedad interesante del jacobiano es que cuando éste es diferente de

cero en el entorno de un punto dado, entonces el teorema de la función

inversa garantiza que la función admite una función inversa alrededor de dicho

punto.

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TONY CARDENAS ALVARADO 38

El teorema anterior expresa una condición suficiente aunque no necesaria, ya

que por ejemplo la función tiene por jacobiano que se anula en el

punto , aunque alrededor de ese punto la función sigue teniendo

inversa aún cuando el jacobiano es nulo en el origen.