pretensado_ejemplos201

8/6/2019 pretensado_ejemplos201

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PRETENSADO EN FLEXIN

10.1.- Clasificacin

El CIRSOC 201-2005, artculo 18.3.3, establece las siguientes clases de elementospretensados en funcin de la mxima tensin de traccin que se desarrolle en la zonatraccionada por las cargas exteriores y precomprimida por el pretensado:

Clase Descripcin Valor de la tensin ft

U No Fisurados (uncracked) ct f7,0f T Transicin (transition) ctc fff7,0 C Fisurados (cracked) ct ff >

Establece asimismo que las losas pretensadas armadas en dos direcciones debenproyectarse como elementos Clase U.

10.2.- Etapas (Estados Niveles)

En lo que sigue se denominar to al tiempo en que se realiza el tesado de los elementostensores y t al tiempo para el que puede suponerse que ya se han producido todas lasprdidas reolgicas (fluencia, contraccin y relajacin).

El CIRSOC 201-2005 habla de etapas de carga estableciendo que las tres principalesson (artculos C18.2.1 y C18.2.2):

a) Etapa de introduccin o transferencia del pretensado (to y cargas concomitantes)b) Etapa de carga de servicio ( t y cargas de servicio, es decir, no mayoradas)c) Etapa de carga mayorada ( t y cargas mayoradas)

El trmino etapa podra resultar desafortunado dado que da la idea de que unaestructura, a lo largo de su vida til, tendra que recorrer todas las etapas, incluyendo lade carga mayorada lo cual es una situacin absolutamente eventual.

Se mencionan otras posibles etapas tales como la carga de fisuracin.

10.3.- Prdidas

10.3.1.- Generalidades

Se denomina prdida a la diferencia entre la fuerza medida en el gato en el momento deltesado y la fuerza efectiva en un punto cualquiera del cable en un momento cualquiera enel tiempo.

La siguiente Tabla 10.3.1 resume las principales causas de prdidas (artculo 18.6.1):

Pretensado en Flexin Ejemplos de Aplicacin del Reglamento CIRSOC 201-2005.- 151


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Tabla 10.3.1

Instantneas Diferidas

Originadas en el acero Acuamiento de anclajesFriccin Relajacin

Originadas en el hormign Acortamiento elstico Fluencia lentaContraccin

Se denominan prdidas instantneas a aquellas que se originan durante el proceso depuesta en tensin y anclaje de los elementos tensores y diferidas a aquellas que sedesarrollan a travs del tiempo (con un fuerte desarrollo en los primeros das y unatendencia a alcanzar su valor total en el curso de unos pocos aos).

Si bien existen expresiones para calcular prdidas, es bien sabido que dichas expresionesslo aportan una aproximacin a los valores reales los que pueden variar mucho deacuerdo a la composicin del hormign, condiciones ambientales, etc. Si la estructura enestudio resultara muy sensible a la magnitud de las prdidas deber realizarse un estudioms cuidadoso para obtener valores ms realistas de las mismas.

10.3.2.- Expresiones de clculo

El CIRSOC 201-2005 desarrolla las expresiones correspondientes a prdidas por friccinen cables de postesado y en sus Comentarios indica referencias bibliogrficas dondepoder obtener informacin adicional.

Los fenmenos reolgicos (fluencia lenta, contraccin y relajacin) interactan entre s porlo que el clculo del efecto conjunto es extremadamente complejo. Algunos autoressugieren calcular separadamente los efectos y luego sumarlos.

En lo que sigue transcribiremos las propuestas que se desarrollan en el CIRSOC 201-2005 (slo prdidas por friccin) y en la siguiente referencia recomendada por el CIRSOC:Zia, Paul et al., Estimating Prestress Losses, Concrete International: Design andConstruction, Vol 1, No. 6, June 1979, pp. 32-38.

10.3.2.1.- Acortamiento elstico (ES: Elastic Shortening of Concrete)

10.3.2.1.1.- Hormign postesado

Si la armadura estuviera constituida por un nico elemento tensor, el acortamiento delhormign por efecto del proceso de postesado no provocara una prdida en la fuerza delcable dado que, al estar apoyado el gato contra la pieza de hormign, este acortamientosera compensado por un mayor recorrido del cilindro.

En el caso de existir ms de un elemento tensor s existirn prdidas producidas por elacortamiento que introduce la puesta en tensin de un cable sobre los cables yaanclados. Estas prdidas suelen denominarse por no simultaneidad del pretensado. A

los efectos prcticos suele representarse el fenmeno anterior a travs de una prdida detensin media del conjunto de las armaduras activas igual a la mitad del producto de la



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relacin entre mdulos de elasticidad entre el acero y el hormign y la tensin que elpretensado y las cargas externas concomitantes en el momento del tesado producen en elhormign a nivel del centro de gravedad de los elementos tensores. En realidad, si elnmero n de cables a tesar no es muy grande, en lugar de la mitad del cociente citadohabra que tomar una fraccin igual a: (n1)/(2n)

10.3.2.1.2.- Hormign pretesado

Cuando se libera la fuerza anclada en los estribos del banco de tesado la adherenciapone en tensin al hormign. Este, al acortarse produce una prdida de tensin en elacero que es igual al producto de la relacin de mdulos de elasticidad entre el acero y elhormign y la tensin que el pretensado y las cargas externas concomitantes con elmomento del tesado producen en el hormign a nivel del centro de gravedad de loselementos tensores.

10.3.2.1.3.- Expresiones de clculo

ci

cirses E

fEKES

gcpicircir ffKf donde

Kes = 1,0 para elementos pretesadosK

es= 0,5 para elementos postesados en los que los cables son tesados en

forma consecutiva. En cualquier otro caso Kes variar entre 0 y 0,5Es = Mdulo de elasticidad de los elementos tensores (del orden de

196000 MPa)Eci = Mdulo de elasticidad del hormign en el momento del tesado =

cf4700 siendo fc la resistencia del hormign en el momento deltesado

fcir = Tensin de compresin neta en el hormign a nivel del centro degravedad de los elementos tensores inmediatamente despus dehaberse aplicado la totalidad del pretensado

fcpi = Tensin en el hormign a nivel del centro de gravedad de los

elementos tensores producida por la fuerza de tesado consideradassolamente las prdidas por friccin y por acuamiento de anclajes

fg = Tensin en el hormign a nivel del centro de gravedad de loselementos tensores debido al peso propio y otras cargas presentes enel momento del pretensado

kcir = 0,9 para elementos pretensados y 1,0 para elementos postesados

En el caso de elementos con cables no adherentes la expresin a utilizar ser:

ci

cpa

ses E

f

EKES



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dondefcpa = Tensin media en el hormign a lo largo de la longitud de elemento a

nivel del centro de gravedad de los elementos tensoresinmediatamente despus de haberse aplicado la totalidad delpretensado.

10.3.2.2.- Contraccin del hormign (SH: Shrinkage of Concrete)

La contraccin es la deformacin que sufre una pieza de hormign por movimientos delagua no fijada qumicamente al gel de cemento. Aunque el fenmeno ms conocido es laprdida de agua con la consiguiente disminucin de volumen, existe tambin el fenmenoopuesto denominado hinchamiento o expansin.

Obviamente, desde el punto de vista prctico interesa solamente la contraccin que seproduce desde el momento del tesado hasta el momento en que se desea conocer el

pretensado efectivo.

Dado que la mayora de los elementos pretesados son puestos en tensin a edades muytempranas, los efectos de la contraccin son mucho ms importantes que en elementospostesados.

Las variables que intervienen en la evaluacin de la contraccin son muchas pero labibliografa propuesta por el CIRSOC considera solamente las siguientes1:

i) RH: Humedad media del ambiente que rodea al elementoii) V/S: Relacin entre la seccin transversal de la pieza y su permetro (en

rigor se trata de la relacin Volumen/Superficie). En algunos textos se ladenomina espesor ficticio.

iii) Tiempo transcurrido desde la finalizacin del curado hmedo hasta laaplicacin del pretensado

La expresin que propone es la siguiente:

( )RH100SV

024,01EK102,8SH ssh6

dondeKsh = 1,0 para elementos pretesadosKsh = Para elementos postesados se extrae de la Tabla 10.3.2.2.1Es = Mdulo de elasticidad de los elementos tensores (del orden de 196000 MPa)V/S = Est expresado en centmetrosRH = Debera determinarse en cada caso. Una orientacin puede tomarse de la

Tabla 10.3.2.2.2

1 Deja de lado variables tales como la cuanta de armaduras pasivas, la composicin del hormign y el tiempo

transcurrido desde el momento del tesado.



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Tabla 10.3.2.2.1

Tiempo en das (*) 1 3 5 7 10 20 30 60Ksh 0,92 0,85 0,80 0,77 0,73 0,64 0,58 0,45

(*) Tiempo medido desde la finalizacin del curado hmedo hasta la puesta en tensin

Tabla 10.3.2.2.2

Ambiente Humedad relativa media en %En aire muy hmedo 90En general al aire libre 70En aire seco (p.e. en ambientes interiores secos) 50

10.3.2.3.- Fluencia lenta del hormign (CR: Creep of Concrete)

De forma simplificada se engloban en el concepto de fluencia todas las deformacionesdiferidas, elsticas y plsticas, que dependen de la tensin. Tambin en formasimplificada, y siempre que la tensin actuante no sea demasiado elevada (digamos nosuperior al 40 o 50% de la tensin de rotura), la deformacin de fluencia puede suponerseproporcional a la deformacin elstica instantnea.

En rigor la fluencia lenta se ve afectada por prcticamente los mismos factores que lacontraccin aunque la bibliografa recomendada por el CIRSOC hace un abordajebastante simplificado a travs de la expresin:

( )cdscirc

scr ffE

EKCR donde

Kcr = 2,0 para elementos pretesados y 1,6 para elementos postesadosEs = Mdulo de elasticidad de los elementos tensores (del orden de 196000 MPa)Ec = Mdulo de elasticidad del hormign a 28 das = cf4700 fcir = Tensin de compresin neta en el hormign a nivel del centro de gravedad

de los elementos tensores inmediatamente despus de haberse aplicado latotalidad del pretensado (ver el punto 10.3.2.1.3)

fcds = Tensin en el hormign a nivel del centro de gravedad de los elementostensores debida a todas las cargas permanentes que se agregan luego deltesado

La diferencia entre los valores de Kcr para elementos pretesados y postesados admite elmismo comentario respecto a las edades del hormign en el momento del tesado que sehizo en el caso de contraccin.

10.3.2.4.- Relajacin de los cables (RE: Relaxation of Tendons)

La nica prdida significativa que presenta el acero en el tiempo es la relajacin, es decir,la prdida de tensin a deformacin constante.



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El valor de la relajacin depende del tipo de acero, de la tensin de tesado, del tiempotranscurrido desde la puesta en tensin y de la temperatura. Asimismo depende de lainterrelacin con las otras prdidas diferidas.

La bibliografa propuesta por el CIRSOC utiliza la siguiente expresin:

C)]ESCRSH(JK[RE re kre= Valores bsicos de relajacinJ = Factor de interaccin para la reduccin de tensin debido a otras prdidasC = Factor por nivel de tensin (fpi/fpu)

donde Kre y J se extraen de la siguiente Tabla 10.3.2.4.1 en la que se ha realizado unaadaptacin parcial de los aceros para pretensado que se indican en el artculo 3.6 delReglamento.

Tabla 10.3.2.4.1

Tipo de elemento tensor Relevado de tensiones Kre [MPa] J

Cordn de 3 alambres C1950 144 0,16



Cordn de 3 alambres C1650

Trmico(Relajacin Normal RN)

122 0,13

Alambre de acero APL1700 31 0,04

Cordn de 7 alambres C1900 Termomecnico(Baja relajacin BR) 35 0,04

El coeficiente C puede obtenerse a partir de las expresiones que figuran en la siguienteTabla 10.3.2.4.2 (en el trabajo original no figuran expresiones sino valores):

Tabla 10.3.2.4.2

fpi /fpu Acero de Relajacin Normal Acero de Baja Relajacin

0,60 fpi /fpu < 0,70 0,49 + 5(fpi/fpu 0,60) 0,33 + 4(fpi/fpu 0,60)

0,70 fpi /fpu 0,80 1,00 + 9(fpi/fpu 0,70) 0,75 + 5(fpi/fpu 0,70)

En la Tabla 10.3.2.4.2:

fpi = Tensin en los elementos tensores producida por fpi = Ppi/ApsPpi = Fuerza de pretensado en la seccin en estudio descontadas solamente las

prdidas por friccin y por acuamiento de anclajes, pero antes de ES, CR,SH y RE

Aps = Seccin transversal de los elementos tensores



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10.3.2.5.- Friccin

Este tipo de prdidas se da solamente en elementos postesados y se producen durante lapuesta en tensin de los cables.

La puesta en tensin de la armadura implica su alargamiento y por lo tanto undesplazamiento relativo respecto a las vainas. Existen tres causas de prdidas porrozamiento (friccin):

rozamiento en curva rozamiento en recta rozamiento en desviadores (pretensado externo)

El CIRSOC 201-2005, artculo 18.6.2.1, propone la siguiente expresin para el clculo delas prdidas por friccin:

Ppx = Ppj e (K lpx + p px)

Si el valor del parntesis resultara menor o igual que 0,3 la expresin anterior se podrreemplazar por la siguiente expresin aproximada:

Ppx = Ppj (1 + K lpx + p px) 1

dondePpj = Fuerza de tesado en el extremo desde donde se efecta el tesadoPpx = Fuerza de tesado evaluada a una distancia lpx del extremo desde

donde se efecta el tesado

K = Coeficiente de desviacin accidental (rozamiento parsito orozamiento en recta) por metro lineal de cable

lpx = Longitud de cable medida desde el extremo desde donde se efectael pretensado

p = Coeficiente de friccin por curvatura (o en curva)px = Suma de los valores absolutos de las variaciones angulares

(desviaciones sucesivas), medidas en radianes, que se producen enel cable a lo largo de lpx

Los valores K y p deben obtenerse en forma experimental. Los fabricantes que tienen un

sistema de pretensado dan los valores correspondientes a sus sistemas aunque stospueden variar fuertemente de acuerdo con la calidad de ejecucin de los trabajos en obra.

El CIRSOC 201-2005, tabla C18.6.2, da algunos valores orientadores para loscoeficientes anteriores. Estos valores son reproducidos en la siguiente Tabla 10.3.2.5.1:



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Tabla 10.3.2.5.1

Condicin del cable Tipo de acero depretensado

Coeficiente dedesviacin o

curvatura accidental

K

Coeficiente de friccinpor curvatura

p

Cables de alambre 0,0033 0,0049 0,15 0,25Barras de alta

resistencia 0,0003 0,0020 0,08 0,30Cables inyectados

en vainas metlicasCordones de 7

alambres0,0016 0,0066 0,15 0,25

Cables de alambreCables noadherentes cubiertos

con MasticCordones de 7

alambres0,0033 0,0066

Cables de alambreCables no

adherentes pre-engrasados Cordones de 7alambres0,0010 0,0066

0,05 0,15

Dado que el valor de K depende de la flexibilidad de la vaina, cuando se utilicenconductos rgidos, puede suponerse K = 0. Tambin puede hacerse esta suposicincuando se utilicen aceros de gran dimetro dispuestos en conductos semirgidos.

10.3.2.6.- Acuamiento de los anclajes

Para producir la transferencia de esfuerzos del gato a los anclajes, se disminuyegradualmente la fuerza que el gato ejerce sobre los elementos tensores por lo que stostienden a acortarse. Un dispositivo de anclaje ideal sera aquel que impida totalmente quedurante la transferencia se produzcan acortamientos de los elementos tensores en elinterior de la pieza que se est pretensando. Los anclajes reales (sobre todo losconstituidos por cuas) permiten un cierto deslizamiento que en nuestro medio sueledenominarse acuamiento. Los proveedores de sistemas de pretensado dan datosreferentes a los deslizamientos esperables para cada uno de sus sistemas de anclaje(set). Dado que los corrimientos tienden a producir movimientos relativos entre loselementos tensores y las vainas, se ponen en juego fuerzas de rozamiento que, si las

piezas que se estn pretensando son suficientemente largas, terminan por anular losefectos del acuamiento a una cierta distancia del apoyo activo (Figura 10.3.2.6.1). A losefectos prcticos puede suponerse que la friccin acta con igual intensidad tanto en elproceso de alargamiento como en el de acortamiento del cable. En la Figura 10.3.2.6.1 sehan indicado con p a la pendiente de la curva que indica la variacin de la fuerza en loselementos tensores. Puede demostrarse que, si la pendiente es constante e igual para lacarga que para la descarga, valen las siguientes expresiones:

set = (rea rayada en la Figura 10.3.2.6.1) / (Aps Eps)Longitud afectada = (set Aps Eps / p)

1/2

Pcorrimiento = Longitud afectada2p



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Variacin de la fuerzadebida solamente a lafriccin (antes de anclar)

Variacin de la fuerzaluego de anclar

1p

p1

Pcorrimiento

Longitud afectada Figura 10.3.2.6.1

10.4.- Tensiones admisibles bajo estados de servicio

10.4.1.- En el hormign

Para facilitar la identificacin de las secciones crticas se utiliza como ejemplo un casoparticular consistente en una viga pretensada, postesada con un cable parablico conexcentricidad no nula en los apoyos2.

En los prrafos siguientes se resumen las tensiones admisibles fijadas por el CIRSOC201-2005. En ellos todas las tensiones admisibles se expresan como mdulos (sinsignos). Cabe acotar que esas tensiones podran superarse mediante una justificadademostracin experimental.

10.4.1.1.- En el momento del tesado (to)

Figura 10.4.1.1

cif

2

1 cif4

1 cif2

1

cif60,0 cif60,0 cif60,0

El CIRSOC 201-2005, artculo 18.4.1, denomina a este momento etapa de introduccin otransferencia del pretensado.

2 Para hacer ms claro el dibujo se ha forzado la escala vertical.



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a) Tensin normal de compresin cif60,0 b) Tensin de traccin (en general) cif4

1 c) Tensin de traccin en extremos simplemente apoyados cif

2

1 Donde fci es la resistencia del hormign en el momento del tesado.

En elementos postesados los clculos deben tener en consideracin la prdida de seccinoriginada por la presencia de las vainas sin inyectar (utilizar la seccin neta de hormignen lugar de la seccin bruta).

En rigor, las tensiones admisibles de traccin no son mximas absolutas dado que elCIRSOC 201-2005, artculo C18.4.1.b y c, permite que sean superadas pero en esoscasos obliga a disponer armadura adherente (tesa o no tesa) capaz de absorber la fuerza

total de la zona traccionada calculada en la suposicin de seccin no fisurada.La tensina utilizar para el clculo de estas armaduras ser 0,6 fy pero menor o igual que200 MPa.

10.4.1.2.- Bajo cargas de servicio y tEl CIRSOC 201-2005, artculo 18.4.2, denomina a esta situacin etapa de servicio.

Las cargas de servicio varan desde un valor mnimo denominado carga de largaduracin y un valor mximo denominado carga total.

Se establece que para elementos pretensados Clase U y T solicitados a flexin:

a) Tensin normal de compresin debida alpretensado ms cargas de larga duracin 0,45 fc

b) Tensin normal de compresin debida alpretensado ms la carga total 0,60 fc

cf45,0

cf)T(0,1)U(7,0

cf45,0

cf)T(0,1)U(7,0

cf45,0

cf)T(0,1)U(7,0

Figura 10.4.1.2.1



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cf)T(0,1)U(7,0

cf)T(0,1)U(7,0

cf)T(0,1)U(7,0

cf60,0

cf60,0

cf60,0

Figura 10.4.1.2.2

Las tensiones se calculan en base a secciones no fisuradas y luego de que se hanproducido la totalidad de las prdidas de pretensado.

Las tensiones de traccin mximas son las vistas en la definicin de hormigones Clase Uy T.

10.4.2.- En el acero

EL CIRSOC 201-2005, artculo 18.5.1, impone los siguientes lmites a las tensiones en elacero de pretensado:

a) Debidas a la accin directa dela fuerza aplicada por el gato 0,94 fpy

0,80 fpu mximo valor recomendado por el

fabricante del acero de pretensado ode los dispositivos de anclaje

b) Inmediatamente despus de

la transferencia del pretensado 0,82 fpy 0,74 fpu

c) En los dispositivos de anclaje yacoplamiento de cables de postesadoinmediatamente despus de latransferencia de la fuerza de tesado 0,70 fpu

en las expresiones anteriores:

fpy = Tensin de fluencia especificada para el acero de pretensadofpu = Tensin de traccin especificada para el acero de pretensado



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10.5.- Resistencia a flexin

10.5.1.- Equilibrio y compatibilidad en secciones pretensadas

0,85fcc

c = 0,003a

T

t

Deformaciones Tensionesy fuerzas

Figura 10.5.1.1

dp

Aps

C

Seccintransversal

En la Figura 10.5.1.1 se muestran los diagramas de deformaciones y tensionescorrespondientes a una seccin pretensada en el momento de la rotura (M = Mn). Comopuede apreciarse el aspecto de los diagramas no difiere del utilizado para el clculo de laresistencia a flexin de elementos no pretensados.

En pretensado siguen utilizndose las siguientes hiptesis:

El hormign tiene una deformacin de rotura igual a 0,003

Mantenimiento de las secciones planas Resistencia nula del hormign traccionado Puede adoptarse un bloque uniforme de tensiones en el hormign con un valor

constante igual a 0,85fc La profundidad del bloque anterior es: a = 1 c

siendoc = profundidad del eje neutro de deformaciones1 = 0,85 si fc 30 MPa1 = 0,85 0,05(fc 30 MPa) / 7 0,65 si fc > 30 MPa

Al analizar secciones pretensadas no es conocida la tensin del acero de pretensado

aunque si existieran adems armaduras no tesas en ellas s podr suponerse que se haalcanzado la tensin fy dado que son de aplicacin los lmites de deformaciones vistosen flexin de secciones no pretensadas.

El diagrama tensiones-deformaciones de una armadura de pretensado no presenta unescaln claro de fluencia que permita asumir un diagrama bilineal como los vistos en loscasos de armaduras no tesas (Figura 10.5.1.2).



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fp En secciones pretensadas la deformacin del aceroest compuesta por el pre-estiramiento producido porel pretensado indicado con (*) en la Figura 10.5.1.2ms la denominada deformacin efectiva t. La sumade ambas deformaciones originar una tensin fps

que no necesariamente ser igual a la resistencia fpu.

fpufps

El clculo de la deformacin indicada con (*) esrelativamente complejo y est ms all del alcance deestas notas pero, a los fines prcticos, puedesuponerse que esa tensin es aproximadamente iguala la deformacin correspondiente a la tensin efectivade pretensado fpe

3:

Figura 10.5.1.2

tp psps

pe

EA

P

En cuanto a t, esa es la deformacin que quedapendiente resolver.

10.5.2.- Solucin general: compatibilidad y equilibrio

En secciones no pretensadas, al poder asumirse que el acero se encuentra en fluencia,resulta posible plantear una ecuacin cuadrtica que resuelve el problema.

En secciones pretensadas, suelen ser conocidos:

La seccin de acero de pretensado Aps pues el camino ms frecuente declculo consiste en despejar la fuerza de pretensado de modo de verificar lascondiciones tensionales para to y t. Al ser conocida la fuerza de pretensado,se elige un sistema de pretensado y la armadura Aps se obtiene a partir de lastensiones admisibles de tesado en el acero.

El diagrama tensiones-deformaciones del acero4

10.5.2.1.- Elementos con cables adherentes

En este caso puede realizarse un clculo iterativo consistente en:

i) Aumentar gradualmente t hasta llegar a que se igualen las fuerzas en lasarmaduras y en el hormign (T = C). La tensin fps en el acero depretensado se calcula para cada valor de t adicionndole a estadeformacin la deformacin correspondiente al pre-estiramiento.

ii) Calcular Mn para la condicin del punto anterioriii) Verificar si Mu Mn . Los valores de son los vistos para flexin en

secciones no pretensadas.

3

Cabe comentar que el CIRSOC 201-2005 no hace referencia a la forma de calcular las deformaciones en el acero.4 Para facilitar los clculos estos diagramas pueden representarse a travs de ecuaciones como la funcin modificada de

Ramberg-Osgood o cualquier otra que aproxime razonablemente bien a los diagramas reales.



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iv) Si la condicin anterior se verifica el clculo se da por terminadov) Si la seguridad resulta insuficiente existirn dos caminos: agregar armaduras

no tesas o bien agregar armaduras tesas y bajar la tensin de pretensado.En cualquier caso habr que repetir los clculos desde el punto i).La primera solucin (utilizar armaduras pasivas) suele resultar conveniente

pues adicionalmente ayuda al control de la fisuracin.

Este procedimiento de clculo es fcilmente programable incluso en planillas de clculo.

10.5.2.2.- Elementos con cables no adherentes

Para el clculo no es posible hacer un anlisis de seccin para determinar la tensin enla armadura. En efecto, al no existir adherencia el cable no experimenta fuertesincrementos de tensin en coincidencia con las fisuras tal como es el caso de los cablesadherentes. No es vlido plantear aqu compatibilidad de deformaciones a nivel de una

seccin porque al no haber adherencia el cable no sufre alargamientos locales sino unalargamiento global producto de la deformacin general de la pieza. El abordaje analticopara calcular la tensin en las armaduras en forma exacta es bastante laborioso eimplica un anlisis no lineal en el que intervienen las deformaciones de la pieza y delcable (teniendo en cuenta la variacin del mdulo de elasticidad con la deformacin). Esteanlisis suele realizarse a travs de iteraciones.

10.5.3.- Solucin aproximada

El CIRSOC 201-2005 obvia el clculo de t proponiendo expresiones aproximadas parael clculo de fps. Si se considera dato a la tensin en el acero pueden aplicarse lasexpresiones de clculo directo vistas al analizar secciones no pretensadas.

Las expresiones aproximadas que veremos a continuacin slo son de aplicacin cuandola tensin de pretensado efectiva verifica fse 0,5fpu (artculo 18.7.2)

10.5.3.1.- Cables adherentes

La expresin propuesta por el CIRSOC 201-2005, artculo 18.7.2.a, intenta ser muy

general5

por lo que, como contrapartida, est sujeta a algunas restricciones.

La expresin propuesta es:

( )

dd

f

f1ff

pc

pup

1

ppups

donde

fps = Tensin de la armadura tesa para el clculo de la resistencia nominalfpu = Tensin de traccin especificada para el acero de pretensado

5 Incluye la presencia de armaduras pasivas traccionadas y comprimidas.



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fpy = Tensin de fluencia especificada para el acero de pretensadop = Este factor tiene en cuenta la forma del diagrama tensiones-

deformaciones de los aceros (relajacin normal, baja relajacin, etc.) elcual est caracterizado por el cociente fpy/fpu

si p = 0,55 para fpy/fpu 0,80 (barras conformadas depretensado)si p = 0,40 para fpy/fpu 0,85 (barras, alambres y cordones

de relajacin normal)si p = 0,28 para fpy/fpu 0,90 (alambres y cordones de baja

relajacin)

Artculos10.0

yC18.5.1

1 = Factor que relaciona la profundidad del eje neutro con la profundidad delbloque rectangular de tensiones utilizado para los clculos de resistenciaa flexin:

Si fc 30 MPa:

1= 0,85

Si fc > 30 MPa: 1 = 0,85 0,05 (fc 30 MPa) / 7 0,65

p = Cuanta de armadura tesa = Aps /(bdp)b = Ancho del borde comprimido de la seccind = Distancia desde la fibra ms comprimida hasta el baricentro de la armadura

no tesadp = Distancia desde la fibra ms comprimida hasta el baricentro de la armadura

tesa = Cuanta mecnica de la armadura traccionada no tesa = As fy / (bdfc) = Cuanta mecnica de la armadura comprimida no tesa = As fy / (b dfc)

p = Cuanta mecnica de la armadura tesa = p fps / fc

Cuando se analizan secciones T (en general secciones con alas), las cuantasmecnicas deben calcularse para el ancho del alma considerando solamente la cantidadde armadura necesaria para equilibrar las tensiones que se producen en el alma.

La expresin anterior de fps parte de la base de que la armadura de compresin seencuentra en fluencia. Si esto no ocurriera, los resultados quedaran del lado insegurodado que se estara sobrevalorando el valor de la tensin en las armaduras depretensado. Por estos motivos, an cuando exista armadura comprimida, deben tomarselas siguientes precauciones (artculo 18.7.2.a):

i) (

dd

f

f

pc

pup ) 0,17 (controla que el eje neutro no sea muy poco

profundo)ii) Si d > 0,15dp se adopta = 0 (armadura de compresin muy alejada de

la fibra ms comprimida y por lo tanto no estar en fluencia por compresin)(artculo C18.7.2)



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10.5.3.2.- Cables no adherentes

La experimentacin ha demostrado que en estructuras muy esbeltas (p.e. losas en unadireccin, placas planas y losas planas) el incremento de tensin que se origina durante elproceso de carga en los elementos no adherentes es menor que el que se produce en

estructuras tipo viga. Por este motivo el CIRSOC 201-2005 establece expresionesdiferentes de acuerdo con la esbeltez del elemento en anlisis6.

10.5.3.2.1.- Elementos con relacin luz/altura 35 (artculo 18.7.2.b)fpy

fps = fse + 70 + fc / (100 p) con fps fse + 420

10.5.3.2.2.- Elementos con relacin luz/altura > 35 (artculo 18.7.2.c)

fpyfps = fse + 70 + fc / (300 p) con fps

fse + 200

10.6.- Cuantas lmites en flexin

10.6.1.- Cuanta mnima

El CIRSOC 201-2005, artculo 18.8.2, indica que:La cantidad total de armadura tesa y no tesa debe ser la adecuada para desarrollar unacarga mayorada igual, como mnimo, a 1,2 veces la carga de fisuracin determinada enbase al mdulo de rotura, fr .......

Indica asimismo que la prescripcin anterior se puede obviar en los siguientes casos:

a) losas armadas en dos direcciones, postesadas sin adherencia; yb) elementos solicitados a flexin en los cuales los valores de sus resistencias a flexin y

corte sean, como mnimo, el doble de los prescriptos por las condiciones de seguridad

correspondientes.

A pesar de que la prescripcin del CIRSOC 201-2005 habla de cargas el prrafo puedeleerse interpretando cargas por momentos por lo que resulta:

Mn 1,2 Mcrdonde

Mcr = Momento de fisuracin7 calculado para las cargas que producen una tensin

mxima de traccin igual a fr

6 La experiencia parecera indicar que se han tomado precauciones excesivas para el caso de los elementos ms esbeltos.7 Obviamente en este clculo interviene el pretensado por lo que se trata de un caso de flexin compuesta.



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fr = Mdulo de rotura del hormign o resistencia a la traccin por flexin =

cf7,0

10.6.2.- Cuanta mxima

t

= 0,65 + (t 0,002)(250/3)

= 0,7 + (t 0,002)(200/3)

Secciones

controladaspor traccinInterpolacin

Zunchos

Estribos cerrados

Seccionescontroladas

porcompresin

0,002 0,005

0,90

0,700,65

Figura 10.6.2.1(adoptada de lafigura 9.3.2 del

CIRSOC 201-2005)

Estrictamente hablando, como en el caso de secciones no pretensadas, el CIRSOC 201-2005 no establece una cuanta mxima de armaduras. Utilizando como parmetro dereferencia a la deformacin efectiva en la armadura de traccin (t) establece que existentres tipos de secciones: controladas por traccin, de transicin y controladas porcompresin (ver flexin en secciones no pretensadas). En el grfico 10.6.2.1 se resumen

los criterios ya vistos para la adopcin del coeficiente de minoracin a aplicar almomento nominal Mn para la verificacin de la condicin: MuMn para armaduraspasivas con fy = 420 MPa.

Si se han utilizado las expresiones aproximadas dadas por el CIRSOC 201-2005 puededeterminarse, en forma aproximada, la deformacin efectiva a partir de:

t = (fps fpe) / Epsdonde

t = Deformacin efectiva de traccin en las armadurasfps

= Tensin de la armadura tesa para el clculo de la resistencia nominalfpe = Tensin efectiva en la armadura de pretensado despus de producidas

todas las prdidasEps = Mdulo de elasticidad de las armaduras de pretensado

Si se desea aprovechar al mximo la resistencia de los materiales ( = 0,90) convendrlimitar la deformacin efectiva a valores mayores a 0,005 por lo que, si se considera unadeformacin de rotura en el hormign de 0,003, la profundidad del eje neutro deber ser:

pp d375,0d005,0003,0003,0

c +



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Debe recordarse que la deformacin efectiva es la que corresponde al acero mstraccionado de modo que si hubiera armadura no tesa con un valor de d mayor que dp,en la expresin anterior correspondera utilizar la deformacin efectiva de dicha armadurala que puede obtenerse por semejanza de tringulos al ser conocida la deformacin derotura del hormign y la de la armadura tesa.

10.7.- Armadura adherente mnima

Si no existiera armadura adherente los elementos tenderan a trabajar como arcosatirantados muy rebajados, en lugar de como elementos de hormign armado. Por otraparte, las fisuras se abriran sin ningn tipo de control.

Los elementos sin armadura adherente presentan una ductilidad muy baja y una escasacapacidad de disipar energa (son muy poco aptos para zonas ssmicas).

Por estas razones los reglamentos establecen que la mayora de las estructuraspretensadas con cables no adherentes8 deben contener una cantidad mnima dearmadura adherente.

El CIRSOC 201-2005, artculo 18.9.2, indica que la armadura adherente mnima se debedeterminar con la expresin:

As = 0,004Actdonde

Act = rea parcial de la seccin transversal comprendida entre el eje baricntricode la seccin total y el borde ms traccionado (Figura 10.7.1)

Momentopositivo

Momentonegativo

Figura 10.7.1

8 En el captulo correspondiente a sistemas de losas planas puede verse una excepcin.



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PRETENSADO EN FLEXIN EJEMPLOS

Ejemplo 10.IEnunciado: Determinar las armaduras de pretensado para el siguiente elemento

prefabricado que ser utilizado como parte de una cubierta para una naveindustrial. El elemento ser pretesado en banco y los elementos tensoressern rectos. Para disminuir las tracciones originadas por el uso deelementos tensores rectos en la cara superior en las zonas de apoyos seutilizar hormign pretensado clase T.

3,00 m

0,15 m

0,05 m0,60 m

0,10 m

Materiales: - Hormign: H35 (fc = 35 MPa)Ec = 4700fc

1/2 = 27806 MPafci = 24,5 MPa (en el momento del tesado)Eci = 4700fci

1/2 = 23264 MPaH = 25 kN/m3

- Acero:Armaduras pasivas: ADN 420 (fy = 420 MPa)Armaduras activas: C1900 Grado 270

dnominal = 12,7 mmTipo: cordn baja relajacinfpu = 1864 MPafpy = 1682 MPaEps = 195000 MPa

Seccin transversal: Ag = seccin bruta = 0,288 m2

Permetro = 8,202 mIg = momento inercia = 0,00914 m

4

yinf = dist. CG a borde inferior = 0,44 mysup = dist. CG a borde sup. = 0,16 mWinf = mod. resist. borde inf. = 0,0208 m

3

Wsup = mod. resist. borde sup. = 0,0571 m3

Esquema y luz de clculo: Esquema: Viga simplemente apoyada

Luz entre ejes de apoyos: 15,00 m

Cargas exteriores: tD1 = permanentes en el momento del tesado = 0,00 kN/mtD2 = permanentes luego del tesado = 3,00 kN/m



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tL1 = parte de sobrecarga casi-permanente = 0,00 kN/mtL2 = resto de sobrecarga = 6,00 kN/m

Resolucin:

a) Momentos flectores y tensiones

Se calculan los momentos flectores en el centro del tramo y en la denominada seccin detransferencia que es aquella en la que puede considerarse que los elementos tensoresya han transferido totalmente la carga de pretensado al hormign. Se supone que dichoselementos tienen 12,7 mm de dimetro. Del lado seguro, se supondr que la seccin detransferencia se encuentra ubicada a 50 veces dicho dimetro del extremo de la viga, esdecir: 0,635 m.

tDo = Peso propio de la seccin de hormign = 25 kN/m3 0,288 m2 = 7,20 kN/m

Carga actuante en el momento del tesado = tDo + tD1 = 7,20 kN/mCarga semi-permanente = tDo + tD1 + tD2 + tL1 = (7,20 + 3,00) kN/m = 10,20 kN/mCarga total mxima = tDo + tD1 + tD2 + tL1 + tL2 = (7,20 + 3,00 + 6,00) kN/m = 16,20 kN/m

Momentos flectores [kNm]

Luego de prdidas (t=) p/cargaSeccin Dist. al apoyoizquierdo [m]

En el momentodel tesado (t=0) Semi-permanente Total

Transferencia 0,635 32,84 No interesa (*) No interesa (*)

En L/2 7,50 202,50 286,88 455,63

(*) Las tensiones ms desfavorables se producen cuando acta la mayor carga depretensado y la menor carga exterior, es decir, en el momento del tesado.

Tensiones [MPa]

Luego de prdidas (t=) p/cargaSeccin Fibra En el momentodel tesado (t=0) Semi-permanente Total

Superior 0,57

Transferencia Inferior -1,58 No interesa No interesaSuperior 3,54 5,02 7,98En L/2Inferior -9,75 -13,81 -21,93



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b) Tensiones admisibles

b.1) En el hormignExpresin

reglamentariaValor en[MPa]

Compresin 0,60fci 14,70Traccin en apoyos simples 0,50fci

1/2 2,47En el momento del tesado

t = 0Traccin 0,25fci

1/2 1,24Comp. cargas permanentes 0,45fc 15,75Compresin carga total 0,60fc 21,00

Luego de prdidast =

Traccin fc1/2 5,92

b.2) En el acero de pretensado

Por accin directa del gato = mnimo (0,80fpu ; 0,94fpy) = 1491 MPaInstante de transferencia = mnimo (0,74fpu ; 0,82fpy) = 1379 MPaEn anclajes para t = 0 = 0,70fpu = 1305 MPa

c) Clculo de la fuerza de pretensado

La fuerza de tesado se dimensiona de modo de que para carga total la tensin en la fibrainferior no supere la tensin de traccin admisible en el centro del tramo (5,92 MPa). Elpretensado deber compensar entonces una tensin igual a la diferencia entre la tensinproducida por la totalidad de las cargas y la tensin admisible, es decir: 21,93 5,92 =

16,02 MPa.

La tensin de compresin producida en la fibra inferior de la seccin media por la fuerzade tesado vale: Pe/Ag + Pe e/Winfdonde Pe = fuerza de tesado efectiva (luego de prdidas)

e = excentricidad media de los elementos tensores = 0,25 m (*)

(*) este valor se adopt luego de una serie de tanteos.

Con la excentricidad adoptada se obtiene: Pe = 1032,9 kN

Para estimar la seccin necesaria de acero de pretensado se debe conocer la fuerza detesado en el momento de la transferencia. Dado que esa fuerza surge del clculo deprdidas donde ella misma es un dato de partida, es necesario hacer una estimacin quellevar a un clculo iterativo que converge muy rpidamente. En primera instancia (luegose verificar) se supone que en el momento de la transferencia la fuerza es un 7%superior a la fuerza efectiva. En base a la utilizacin de cordones de 12,7 mm (98,7 mm2de seccin) se obtiene:

Cantidad necesaria de cordones = 12,8mkN

mmMN1000mm7,98MPa1379

kN9,103207,12

2

2 =



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Se adoptan 8 cordones, es decir: 8 98,7 mm2 = 790 mm2

d) Clculo de prdidas

d.1) Prdidas instantneas

Dado que se trata de un elemento pretensado pretesado, no existen prdidas por friccin.Las prdidas en los anclajes se compensan dando una mayor tensin inicial al gato.Restan entonces, como prdidas instantneas, solamente las correspondientes alacortamiento elstico del hormign en el momento de la transferencia.

ES = prdidas por acortamiento elstico = Kes Eps fcir / Eci = 39,54 MPa

Kes = 1,00 (elemento pretensado pretesado)Eps = 195000 MPa

Eci = 23264 MPa

fcir = tensin de compresin neta en el hormign a nivel del centro de gravedad delos elementos tensores inmediatamente despus de la transferenciafcir = Kcir fcpi fg = 0,90 11,40 MPa 5,54 MPa = 4,72 MPa

Kcir = 0,90 (elemento pretensado pretesado)

fcpi = tensin en el hormign a nivel del centro de gravedad de los elementostensores debida a la fuerza de tesado descontadas las prdidas de friccin,acuamiento y retroceso de anclaje

fg = tensin en el hormign a nivel del centro de gravedad de los elementostensores debida a las cargas exteriores que actan en el momento del tesado

Ppi = fuerza de tesado descontadas las prdidas de friccin, acuamiento y retrocesode anclaje 1,07 Pe = 1,07 1032,9 = 1105,2 kN

fcpi = Ppi / Ag + Ppi e2/ Ig

= [1105,2 kN / 0,288 m2 + 1105,2 kN (0,25 m)2 / 0,00914 m4] 0,001 MN/kN == 11,40 MPa

fg = [202,50 kNm 0,25 m / 0,00914 m4] 0,001 MN/kN = 5,54 MPa

d.2) Prdidas diferidas

d.2.1) Contraccin del hormign (SH)

SH = 8,210-6 Ksh Eps (1 0,024 V/S) (100 RH) = 36,61 MPa

Ksh = 1,0 (para elementos pretensados pretesados)

Eps = 195000 MPaV/S = Ag / Permetro = 0,288 m2 / 8,202 m = 0,0351 m (3,51 cm)



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RH = 75% (valor correspondiente al emplazamiento de la estructura)

d.2.2) Fluencia del hormign (CR)

CR = Kcr (fcir fcds) Eps / Ec = 33,66 MPa

Kcr = 2,00 (para elementos pretensados pretesados)Eps = 195000 MPaEc = 27806 MPa

fcds = tensin en el hormign a nivel del centro de gravedad de los elementostensores debida a las cargas exteriores permanentes que se agregan luego deltesado.fcds = Mcds e

/ Ig == [(286,88 kNm 202,50 kNm) 0,25 m / 0,00914 m4] 0,001 MN/kN= 2,31 MPa

d.2.3) Relajacin de los cables (RE)

RE = [Kre J (ES + SH + CR)] C == [35 MPa 0,04 (39,54 + 36,61 + 33,79) MPa] 1,004 == 30,73 MPa

Para cordones de baja relajacin se tiene: Kre = 35 MPaJ = 0,04

fpi = Ppi / Aps = [1105,2 kN / 790 mm2] 1000 MN mm2/(kN m2) = 1400 MPa

fpi / fpu = 1400 / 1864 = 0,751

C = 0,75 + 5 (fpi/ fpu 0,70) = 1,004

d.3) Resumen de prdidas y verificacin de tensiones en cordones

ES = 39,54 MPaSH = 36,61 MPa

CR = 33,79 MPaRE = 30,73 MPa

Total Prdidas = 140,66 MPa

La tensin efectiva luego de prdidas vale:Pe / Aps = [1032,9 kN / 790 mm

2] 1000 MN mm2 / (kN m2) = 1308,2 MPa

La tensin luego de anclar en el banco de tesado (luego de prdidas por acuamiento,etc.) = 1308,2 MPa + 140,7 MPa = 1448,8 MPa

Como ya se ha visto, la tensin admisible por accin directa del gato es de 1491 MPa loque da un margen para compensar las prdidas por acuamiento, etc.



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Si se supone que en el momento de la transferencia se ha producido un cuarto de lasprdidas por relajacin, la tensin en dicho momento luego de producida la transferencia(deformacin elstica) ser: 1448,8 MPa 30,73 MPa / 4 39,54 MPa = 1401,6 MPaLa tensin anterior resulta alrededor de un 1,6% superior a la tensin admisible obtenidaanteriormente cuyo valor es de 1379 MPa. A los efectos de este ejemplo, se considera

una diferencia aceptable.

Anteriormente se ha supuesto que en el momento de la transferencia la tensin en loselementos tensores era 1,07 veces mayor que la efectiva. Luego de realizados losclculos se obtiene: 1401,6 MPa / 1308,2 MPa = 1,0714 . Este valor podra dar lugar auna iteracin pero dado que la diferencia no es sustancial y por razones de espacio, sesupondr que el valor obtenido es satisfactorio.

En definitiva resultan:

Ppi = Fuerza en el momento de la transferencia = 1,0714 Pe = 1106,7 kN

Pe = Fuerza efectiva luego de prdidas = 1032,9 kN

e) Verificacin de tensiones en el hormign (tensiones en [MPa])

Seccin en L/2Tiempo t = 0 (Transferencia) Tiempo t = (luego de prdidas)Seccin Transferencia Centro tramo Cargas Permanentes Totales

Fibra Sup. Inf. Sup. Inf. Fibra Sup. Inf. Sup. Inf.Ppi/Ag 3,84 Pe/ Ag 3,59

Ppi ey/Ig -4,84 13,32 -4,84 13,32 Pe ey/Ig -4,52 12,43 -4,52 12,43

My/Ig 0,57 -1,58 3,54 -9,75 My/Ig 5,02 -13,81 7,98 -21,93Total -0,43 15,58 2,54 7,41 Total 4,09 2,21 7,04 -5,92

Trac. Adm. -2,47 ----- -1,24 ----- Trac. Adm. -5,92Comp. Adm. 14,70 Comp. Adm. 15,75 21,00

Como puede apreciarse, la seccin verifica adecuadamente las tensiones a tiempo infinitoy las compresiones en el momento de la transferencia se encuentran ligeramentesuperadas (6,0%). Nuevamente, a los efectos del ejemplo, se supone admisible estapequea diferencia. En un caso real el proyectista evaluar la conveniencia de introducirlos cambios que considere necesarios para corregir esta situacin.

f) Verificacin de la resistencia a flexin

Supondremos (y luego verificaremos) que se trata de una seccin controlada por traccinpor lo que la condicin resistente se expresa como: MuMn = 0,90MnEn este caso: Mu = 1,2 MD + 1,6 ML

= 1,2 286,88 kN + 1,6 168,75 kNm = 614,25 kNm

Para el clculo se utilizar la frmula aproximada para la determinacin de la tensin en el

acero de los cordones en el momento de la rotura, es decir:



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( )

dd

f

f1ff

pc

pup

1

ppups = 1842 MPa

Asimismo se supondr, en primera instancia, que la seccin se comporta como

rectangular (a hf), que no existe armadura significativa de compresin y que no sernecesario adicionar armaduras pasivas.

fc = 35 MPafpu = 1864 MPap = 0,28 (corresponde a aceros de baja relajacin)1 = 0,85 0,05 (fc 30 MPa) / 7 = 0,814p = Aps / (b dp) = 790 mm

2 / (3000 mm 410 mm) = 0,000642p fpu / fc = 0,0342b = 3 m (3000 mm) (ancho total de la placa superior)dp = ysup + e = 0,16 m + 0,25 m = 0,41 m (410 mm) (se adopta el valor medio) = = 0

La fuerza provista por la armadura vale entonces:

T = [1842 MPa 790 mm2] 0,001 kN m2 / (MN mm2) = 1454,69 kN

La profundidad del eje neutro de tensiones ser: a = T/(0,85fc b) = 0,0163 m valorque resulta inferior a hf = 0,05 m por lo que se convalida la hiptesis de suponer que setrata de una seccin que se comporta como rectangular.

El momento nominal vale entonces: Mn = T (dp a / 2) = 584,57 kNmpor lo que se da que:

Mu = 614,25 kNm > 0,90Mn = 0,90 584,57 = 526,11 kNm

no verificndose en consecuencia la condicin resistente.

Se agregan 2 db12 en cada nervio, ubicados de modo que su centro de gravedad seencuentre a 0,05 m del borde inferior de la seccin.

Suponiendo que las armaduras no tesas se encuentran en fluencia se tendr:

T = 1454,69 kN + [4 113 mm2 420 MPa] 0,001 kN m2 / (MN mm2) == 1454,69 kN + 189,84 kN = 1644,53 kN

operando igual que antes:

a = T / (0,85 fc b) = 0,0184 m

Mn = Tarmadura tesa (dp a / 2) + Tarmadura no tesa (h 0,05 m a / 2) =

Mn = 1454,69 kN (0,41 0,0184 / 2) m + 189,84 kN (0,60 0,05 0,0184 / 2) m =



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Mn = 583,02 kNm + 102,66 kNm = 685,68 kNm y ahora s se verifica

Mu = 614,25 kNm < 0,90 Mn = 617,12 kNm

Dado que: c = a /1 = 0,0184 m / 0,814 = 0,0226 m

la deformacin a nivel del centro de gravedad de los elementos tensores vale

ps = 0,003 (dp c) / c = 0,0514 con lo que se verifica que se trata de una seccincontrolada por traccin (ps > 0,005)

g) Verificacin de cuanta mnima

La condicin a verificar es: 1,2 Mcr Mn = 0,90 Mn = 617,12 kNm

El momento de fisuracin es aquel que luego de descomprimir la fibra inferior produce enella una traccin igual a ft siendo: ft = 0,7 fc

1/2 = 4,14 MPa

Al verificar las tensiones en el hormign se vio que el pretensado efectivo produca en lafibra inferior una tensin total igual a: 3,59 MPa + 12,43 MPa = 16,02 MPapor lo que el momento de fisuracin deber producir una traccin igual a:16,02 MPa + 4,14 MPa = 20,16 MPa

Mcr = 20,16 MPa Winf = 20,16 MPa 0,0208 m3 1000 kN/MN = 418,76 kNm

Por lo que la condicin: 1,2 Mcr = 1,2 418,76 = 502,51 kNm Mn = 617,12 kNmse verifica adecuadamente.

Ejemplo 10.IIEnunciado: Calcular las prdidas por friccin que se producen en el cable de la figura

perteneciente a un entrepiso sin vigas. En la Figura la escala vertical hasido forzada (se visualiza 10 veces ms grande que en la realidad) parapoder apreciar el trazado del cable.

0,3

825m

0,3

528m

e = 0,085 m

8,30 /2 = 4,15 m7,50 m

3,7972 m4,1175 m3,00 m

0,125 m

0,125 m



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En principio se piensa en ejecutar el tesado desde un solo extremo. Se utilizan cordones,C1900 Grado 270, de 12,7 mm de dimetro constituidos por 7 alambres de acero debaja relajacin. Se utilizan vainas metlicas que luego sern inyectadas.

Resolucin:

Para el clculo de las prdidas se utilizar la expresin general:

Ppx = Ppj e (K lpx + p px)

donde

Ppj = Fuerza de tesado en el extremo desde donde se efecta el tesadoPpx = Fuerza de tesado en un punto alejado x del extremo desde donde se efecta el

tesadoK = Coeficiente de desviacin accidental (rozamiento parsito o rozamiento en recta)por metro lineal de cable = 0,0020 / m

lpx = Longitud de cable medida desde el extremo desde donde se efecta el pretensadop = Coeficiente de friccin por curvatura (o en curva) = 0,20px = Suma de los valores absolutos de las variaciones angulares (desviaciones

sucesivas), medidas en radianes, que se producen en el cable a lo largo de lpxLos ngulos px se obtienen de la siguiente figura:

Parbola 1 2 3 4 5

Long. parcial 3,00 4,1175 3,7972

Long. acum. 3,00 7,1175 11,65

Flecha 0,085 0,1556 0,1556pi 0,0567 0,0756 0,0819



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Para el clculo de prdidas se eligen algunos puntos singulares y luego se supone queentre los mismos se produce una variacin lineal.

lpx [m] lpx [m] pi [rad] pi [rad] e(p pi + K lpx)

0,00 ---- 0,0000 0,0000 1,00003,00 3,00 0,0567 0,0567 0,98287,1175 4,1175 0,0756 0,1322 0,96017,50 0,3825 0,0756 0,2078 0,9450

7,8528 0,3528 0,0820 0,2898 0,929011,65 3,7972 0,0820 0,3717 0,9070

15,4472 3,7972 0,0820 0,4537 0,885515,80 0,3528 0,0820 0,5356 0,8705

16,1825 0,3825 0,0756 0,6112 0,856720,30 4,1175 0,0756 0,6868 0,837023,30 3,00 0,0567 0,7435 0,8226

La tabla anterior indica que, si la prdida del 18% que experimenta el extremocorrespondiente al anclaje pasivo fuera mayor que lo tolerable, podra pensarse en hacerun tesado desde ambos extremos en cuyo caso la prdida mxima correspondera alpunto medio y sera del orden del 10%.

Falta todava tener en cuenta la prdida originada por el deslizamiento de los cablesdentro del dispositivo de anclaje. En este caso (depende de la patente de pretensado quese est utilizando) se adopta un corrimiento de set = 6 mm. Este corrimiento produce unacortamiento en el cable que se ve gradualmente impedido por el rozamiento de modo

que el efecto se anula para una distancia del anclaje activo.En el ejemplo anterior se calcul la siguiente tensin admisible para un cordn de bajarelajacin:Por accin directa del gato = mnimo (0,80fpu ; 0,94fpy) = 1491 MPa

Suponiendo que se tesa el cordn a ese nivel de tensin se tendr:

Ppj = 98,7 mm21491 MPa 0,001 kN m

2 / (MN mm2) = 147,2 kN



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Suponiendo que la descargaproducida por el corrimiento en elanclaje se produce con pendientessimtricas a las del proceso decarga, se obtiene un diagrama

como el de la figura siguiente. Enella la poligonal superior indica lavariacin de la fuerza de tesadoteniendo en cuenta nicamentelas prdidas por friccin y lainferior representa la variacin dedicha fuerza incorporando elcorrimiento de anclaje. El reasombreada se ha obtenido portanteos de modo de verificar lasiguiente igualdad:

Corrimiento de anclaje = reasombreada / (Aps Eps)

El clculo por iteracin conduce a una longitud afectada de aproximadamente 8,10 m esdecir, que ingresa ligeramente en el segundo tramo.

Este tipo de clculo puede hacerse muy rpidamente con un programa de dibujo asistidopor computadora.



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