presentacion_1

ECUACIONESDIFERENCIALES

POR ELMETODO DE

EULER

FabricioAmaguaña

Leonardo MurilloIván Tapia

Introducción

Método de Euler

Ejemplo

Error

Ejemplo 2

Código

Conclusiones

Referencias

ECUACIONES DIFERENCIALES POREL METODO DE EULER

Fabricio AmaguañaLeonardo Murillo

Iván Tapia

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS -ESPE

23 de febrero de 2015


POR ELMETODO DE

EULER

FabricioAmaguaña


Introducción

Método de Euler

Ejemplo

Error

Ejemplo 2

Código

Conclusiones

Referencias

Introducción

En ingeniería hay procesos que son modelados conecuaciones diferenciales ordinarias, cuya solución esaltamente complicada determinarla por métodos analíticos,es allí la utilidad de los métodos numéricos que calcula unasolución aproximada por medio de un número finito deiteraciones que mejora su efciencia de manera rápida, alutilizar un software adecuado.


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Método de Euler

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Introducción al método

En matemática y computación, el método de Euler, llamadoasí en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento deintegración numérica para resolver ecuaciones diferencialesordinarias a partir de un valor inicial dado.


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Método de Euler

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Conclusiones

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Procedimiento

Tenemos la siguiente ecuación:

dydx = f (x , y) (1)

Con la condición inicial indicada:

y(x0) = y0 (2)

La solución es una función que depende solamente de x:

y = y(x) (3)


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Procedimiento

Esta solución se puede graficar en el plano xy, dando comoresultado la curva que se muestra a continuación:

Fig.1 Curva graficada.


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ProcedimientoEsta curva pasa por el punto (xo,yo). El siguiente paso esaproximar la función en el punto x1, el cual está a unadistancia h del punto xo, es decir el objetivo es acercarse alpunto (x1,y(x1))

Fig.2 Curva graficada aproximada al punto x1.


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Referencias

Procedimiento

Procedemos a integrar la función del problema, para realizarla integral realizamos la siguiente sustitución:

dydx = y ‘(x) (4)

Una vez realizada esta sustitución, planteamos y resolvemosla integral: ∫ x1

x0y ‘(x)dx =

∫ x1

x0f (x , y(x))dx (5)


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Conclusiones

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Procedimiento

En el lado derecho de la integral, dejamos la funciónconstante en xo, esto debido a que el intervalo de xo a x1 espequeño únicamente tomamos en cuenta xo:

y(x1) − y(x0) =∫ x1

x0f (x0, y0)dx (6)

y1 − y0 = (x1 − x0)f (x0, y0) (7)

y1 = y0 + hf (x0, y0) (8)


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Método de Euler

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Error

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Conclusiones

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Procedimiento

Una vez obtenido el valor de y1, podemos plantear tambiénel valor para y2:

y2 = y1 + hf (x1, y1) (9)

El valor de y2 corresponde a un valor x2 ubicado a unadistancia h de x1. Al haber identificado el patrón decreciemiento en y, podemos generalizar la fórmula de lasiguiente manera:

yn+1 = yn + hf (xn, yn) (10)

La fórmula generalizada para x es la siguiente:

xn+1 = xn + h (11)

Las ecuaciones (10) y (11), son las fórmulas a emplear en elmetodo de euler


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Procedimiento

En la resolución de ejercicios habrá ocasiones en donde ladistancia h sea un dato del problema, cuando no contemoscon dicho dato, podemos emplear la siguiente fórmula:

h =xf − xo

n

Donde n es el número de subintervalos de ancho h,existentes en el intervalo de xo a xf


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Ejemplo

Resolver analíticamente y con el método de Euler:

dydx =

xy

y(1) = 2


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EjemploSolución analítica:

ydy = xdxy2

2 =x2

2 + c

222 =

122 + c

y2 = x2 + 3

y =√

x2 + 3


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EjemploSolución numérica: (h=0.5)

x0 = 1

y0 = 2

x1 = x0 + h = 1+ 0,5 = 1,5

y1 = y0 + h(x0y0

) = 2+ h(12) = 2,25

x2 = x1 + h = 1,5+ 0,5 = 2

y2 = y1 + 0,5(x1y1

) = 2,25+ 0,5( 1,52,25) = 2,583


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Referencias

Ejemplo

x3 = x2 + h = 2+ 0,5 = 2,5

y3 = y2 + 0,5(x2y2

) = 2,583+ 0,5( 22,583) = 2,970

x4 = x3 + h = 2,5+ 0,5 = 3

y4 = 2,970+ 0,5( 2,52,970) = 3,391


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Tabla comparativa

x y(analitica) y(Euler) Error Porcentual1.0 2 2 01.5 2.291 2.250 1.82.0 2.646 2.583 2.42.5 3.041 2.970 2.33.0 3.464 3.391 2.1


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Referencias

GráficaFinalmente tenemos la gráfica del problema, donde la línearoja es la aproximación obtenida, y la línea negra es lagráfica de la solución analítica:

Fig.3 Curva comparativa.


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Error

El error presente en el método de Euler es de truncamiento yse acumula en cada iteracción. Dicho error depende en laelección del valor de h, mientras mas pequeño sea el valor deh menor será el error, y viceversa. Esto lo demostramos acontinuación realizando el mismo ejercicio planteadoanteriormente pero tomando un valor mayor y uno menorpara h.


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Referencias

ErrorCon h=0.25:

y =√

x2 + 3

x0 = 1

y0 = 2

x1 = x0 + h = 1+ 0,25 = 1,25

y1 = y0 + h(x0y0

) = 2+ 0,25(12) = 2,125

x2 = x1 + h = 1,25+ 0,25 = 1,5

y2 = y1 + h(x1y1

) = 2,125+ 0,25( 1,252,125) = 2,272

x3 = x2 + h = 1,5+ 0,25 = 1,75

y3 = y2 + h(x2y2

) = 2,272+ 0,25( 1,52,272) = 2,437


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Conclusiones

Referencias

Error

x4 = x3 + h = 1,75+ 0,25 = 2

y4 = y3 + h(x3y3

) = 2,437+ 0,25( 1,752,437) = 2,616

x5 = x4 + h = 2+ 0,25 = 2,25

y5 = y4 + h(x4y4

) = 2,616+ 0,25( 22,616) = 2,807

x6 = x5 + h = 2,25+ 0,25 = 2,5

y6 = y5 + h(x5y5

) = 2,807+ 0,25( 2,252,807) = 3,007

x7 = x6 + h = 2,5+ 0,25 = 2,75

y7 = y6 + h(x6y6

) = 3,007+ 0,25( 2,53,007) = 3,214

x8 = x7 + h = 2,75+ 0,25 = 3

y8 = y7 + h(x7y7

) = 3,214+ 0,25( 2,753,214) = 3,427


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Error

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Conclusiones

Referencias

Tabla comparativa

x y(analitica) y(Euler) Error Porcentual1.0 2 2 01.25 2.136 2.125 0.5141.5 2.291 2.272 0.8291.75 2.462 2.437 1.0152.0 2.645 2.616 1.0962.25 2.839 2.807 1.1272.5 3.041 3.067 -0.8542.75 3.25 3.214 1.1073.0 3.464 3.427 1.068


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Error

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Conclusiones

Referencias

ErrorCon h=1:

y =√

x2 + 3

x0 = 1

y0 = 2

x1 = x0 + h = 1+ 1 = 2

y1 = y0 + h(x0y0

) = 2+ 1(12) = 2,5

x2 = x1 + h = 2+ 1 = 3

y2 = y1 + h(x1y1

) = 2,5+ 1( 22,5) = 3,3


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Error

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Conclusiones

Referencias

Tabla comparativaTabla comparativa

x y(analitica) y(Euler) Error Porcentual1.0 2 2 02.0 2.645 2.5 5.4823.0 3.464 3.3 4.734

Como se puede apreciar en las 3 tablas comparativas,mientras más se reduzca el valor de h más se reducirá elerror, asi podemos conseguir resultados más exactos


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Ejemplo 2

Utilizando el método de Euler para aproximar el valor de lasolución de la ec. diferencial dy

dx = 2x + y con la condicióninicial de y(0) = 1 en el intervalo de 0 a 1 con un n = 5.SOLUCIÓN.-

Fig. Gráfica y Solución de la EDO.


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Ejemplo 2

Por métodos sabemos que:

h =xf − xo

n =1 − 05 = 0,2

Para Xn, Yn:yn+1 = yn + hf (xn, yn)

xn+1 = xn + h

Para X1, Y1:x1 = x0 + 0,2 = 0,2

y1 = y0 + (0,2)f (0, 0) = 1+ (0,2)(1) = 1,2

Para X2, Y2:

x2 = x1 + h = 0,2+ 0,2 = 0,4

y2 = y1 + (0,2)f (x1, y1) = 1,2+ (0,2)(2(0,2) + 1,2) = 1,52


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Ejemplo 2

Para X3, Y3:

x3 = x2 + h = 0,4+ 0,2 = 0,6

y3 = y2+(0,2)f (x2, y2) = 1,52+(0,2)(2(0,4)+ 1,52) = 1,98

Para X4, Y4:

x4 = x3 + h = 0,6+ 0,2 = 0,8

y4 = y3+(0,2)f (x3, y3) = 1,98+(0,2)(2(0,6)+ 1,98) = 2,62

Para X5, Y5:

x5 = x4 + h = 0,8+ 0,2 = 1

y5 = y4+(0,2)f (x4, y4) = 2,62+(0,2)(2(0,8)+ 6,62) = 3,46


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Referencias

Ejemplo 2Para demostrar que el metódo tiene una mejor aproximacióncuando el valor de h es menor, es necesario aumentar el valorde n.Para n=10 tenemos que:

h =xf − xo

n =1 − 010 = 0,1

x1 = x0 + 0,1 = 0,1y1 = y0 + (0,1)f (x0, y0) = 1,1x2 = x1 + h = 0,1+ 0,1 = 0,2y2 = y1 + (0,1)f (x1, y1) = 1,23x3 = x2 + h = 0,2+ 0,1 = 0,3y3 = y2 + (0,1)f (x2, y2) = 1,39x4 = x3 + h = 0,3+ 0,1 = 0,4y4 = y3 + (0,1)f (x3, y3) = 1,63


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Error

Ejemplo 2

Código

Conclusiones

Referencias

Ejemplo 2

x5 = x4 + h = 0,4+ 0,1 = 0,5y5 = y4 + (0,1)f (x4, y4) = 1,83x6 = x5 + h = 0,5+ 0,1 = 0,6y6 = y5 + (0,1)f (x5, y5) = 2,11x7 = x6 + h = 0,6+ 0,1 = 0,7y7 = y6 + (0,1)f (x6, y6) = 2,44x8 = x7 + h = 0,7+ 0,1 = 0,8y8 = y7 + (0,1)f (x7, y7) = 2,83x9 = x8 + h = 0,8+ 0,1 = 0,9y9 = y8 + (0,1)f (x8, y8) = 3,27x10 = x9 + h = 0,9+ 0,1 = 1

y10 = y9 + (0,1)f (x9, y9) = 3,78


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Gráfico de la solución

Fig. Gráfica del valor real y aproximados.


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Código

El código que vamos a emplear en el método es el siguiente:function euler(x,y,x1,n)x=0;y=0;x1=20;n=200;h=0.1h=(x1-x)/n; (tamaño del paso)X=x; (x inicial)Y=y; (y inicial)for i= 1:n ( inico del ciclo)y=y+h*f(x,y); ( iteracion de euler)x=x+h; (x nueva)X=[X;x]; (Actualiza la columna x)Y=[Y;y]; (Actualiza la columna y)end


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Código

fprintf(’ x (tsi) y(vsi)’);A=[X Y]plot(X,Y)grid on


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Ejemplo

Un paracaidista de masa M Kg salta desde un avión ent = 0. Consideremos que la velocidad vertical inicial delparacaidista es cero en t = 0 y que la caída es vertical. Si elarrastre aerodinámico está dado por Faire = cv2 , donde c esuna constante y v es la velocidad vertical (positiva haciaabajo), asuma M = 70kg , c = 0,27kg

m y h = 0,1. Halle lavelocidad del paracaidista para t ≤ 20s


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Referencias

EjemploSolución:la primera ley de Newton, el equilibrio de fuerzas satisface:

M dv(t)dt = −Faire + gM

donde v es la velocidad del paracaidista en m/s (positivahacia abajo) y g es la aceleración debida a la gravedad de9,8 m/s2. La ec. puede escribirse como:

dv(t)dt = − c

M2 v2 + g , v(0) = 0

que es lo mismo a:

v ′ = f (t, v), v(0) = 0

reemplazando los valores indicados arriba tendremos que:

f (t, v) = −0,2770 v2 + 9,8


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Código

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Referencias

Ejemplo

Resolviendo el problema con Euler: function euler(x,y,x1,n)x=0;y=0;x1=20;n=50;h=0.1h=(x1-x)/n;X=x;inicial Y=y;inicial for i= 1:ny=y+h*f(x,y);x=x+h;X=[X;x];Y=[Y;y];


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Error

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Ejemplo

endfprintf(’ x (tsi) y(vsi)’);A=[X Y]plot(X,Y)gridxlabel(’tiempo(s)’);ylabel(’velocidad(m/s)’);


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Ejemplo

Funcion de apoyo:function yp=f(x,y)yp=(-0.27/70)*y2̂+9.8; yp=y’


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Error

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Referencias

Corrida del programa:

x (tsi) y(vsi)A =0 00.6667 6.47851.3333 12.74372.0000 18.61102.6667 23.94273.3333 28.65754.0000 32.72814.6667 36.17075.3333 39.03216.0000 41.37656.6667 43.27507.3333 44.79788.0000 46.0101


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Error

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Código

Conclusiones

Referencias

Grafica obtenida

Fig.1 Curva graficada.


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Ejemplo

Error

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Código

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Referencias

Conclusiones

I Para poder resolver el método de Euler, es necesariotener una condición inicial, ya que a partir de ese valorse da el desarrollo.

I Mientras más reducido sea el valor de h, menor será elvalor del error.

I Es un método sencillo de implementarI La desventaja de este método es que si se desea una

exactitud grande, se tendría que hacer un númeroelevado de iteracciones

I El método de Euler solo aplicable cuando se resuelveecuaciones diferenciales por separación de variables


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Código

Conclusiones

Referencias

Referencias

[1] Instituto Politécnico Nacional - Unidad profesionalinterdisciplinaria de ingenieria Guanajuato (UPIIG) - México- 2011 -https://www.youtube.com/watch?v=9MekMkiqzGA[2] Curtis F. Gerald, Jaime Valls Cabreraa - AppliedNumerical Analysis - Segunda edición - USA - pags 285-292.[3] Marco Cruz Chávez - Licenciatura en Electrónica yComputación - [email protected] - CIICAp -METODO DE EULER -http://www.gridmorelos.uaem.mx/ mcruz//cursos/mn/euler.pdf[4] Universidad Nacional del Callao- Facultad de IngenieríaMecánica Energía Instituto de Investigación-COLLANTE A.-METODO NUMERICOS PARA ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATLAB-http://www.unac.edu.pe/documentos/organizacion/vri/cdcitra/Informes_Finales_Investigacion/Junio_2011/IF_COLLANTE_HUANTO_FIME.pdf


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Error

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Código

Conclusiones

Referencias

Conclusiones

GRACIAS POR SU ATENCIÓN

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